tesis doctoral 2013 aportes a la gestión integral de las instituciones ...
TESIS-CLCULO INTEGRAL
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Cálculo Integral
SEP SES DGEST
INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
“CÁLCULO INTEGRAL”
ELABORACION DE TEXTOS Y PROTOTIPOS DIDACTICOS
(OPCION II) LIBRO DE TEXTO
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO INDUSTRIAL E
INGENIERO ELECTROMECÁNICO
PRESENTAN: SASHA ALTAGRACIA CARMONA ROJAS Y
RAFAEL FLORES PEREZ
APIZACO, TLAX. JUNIO 2006
1
Cálculo Integral
PROLOGO
El presente texto está diseñado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel
licenciatura en las diferentes ingenierías del sistema de Institutos Tecnológicos. Se da por
hecho que se tienen conocimientos previos de álgebra y cálculo diferencial, por ende,
centramos nuestra atención en mostrar las técnicas del cálculo integral que se requerirán tanto
en cursos de especialidad, posgrado y con toda seguridad en su futuro ejercicio profesional.
En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta
útil al proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase más
eficazmente y así contribuir significativamente a la comprensión de los temas contenidos en el
programa de estudios.
Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un análisis
exhaustivo a través de muchos años de enseñar cálculo, es decir, no se trata de una hipótesis,
sino del resultado sistemático de un riguroso proceso de investigación.
CARACTERÍSTICAS DIDÁCTICAS.
1. Los contenidos han sido diseñados exclusivamente para cubrir el curso de cálculo
integral (matemáticas II) de las ingenierías que ofrecen los Institutos Tecnológicos
dependientes de la DGEST.
2. En cada unidad, los nuevos conceptos se presentan a través de ejercicios resueltos,
cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde básicos hasta avanzados.
2
Cálculo Integral
3. Al final de cada unidad se presenta una serie de ejercicios cuidadosamente
previstos para que el alumno vaya adquiriendo seguridad y dominio del tema.
4. En la parte final del texto aparecen las soluciones a los ejercicios de número par.
5. Conscientes de que ningún conocimiento vale la pena si no es empleado en la
obtención de un beneficio, se han seleccionado minuciosamente aplicaciones
variadas y realistas, y que requieren un mínimo de conocimientos en otras áreas.
6. No obstante, que el presente libro ha sido elaborado con la intención de contribuir
al enriquecimiento del proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario concluir
que la disposición, creatividad, tenacidad, voluntad, etc., tanto del profesor como
de los estudiantes es factor fundamental en el logro del mismo.
3
Cálculo Integral
JUSTIFICACIÓN
Para muchos estudiantes la matemática es un verdadero dolor de cabeza, ya que no
logran aprenderla, es preocupante que a nivel nacional es la materia que más se reprueba. A
pesar de que durante la educación básica (preescolar, primaria y secundaria) y la educación
media superior (bachillerato) se estudia, los alumnos no pueden superar su deficiente
aprendizaje.
¿Cuántos estudiantes truncan sus estudios por haber reprobado matemáticas? No se sabe el
número aproximado y menos el exacto, debido a que jamás se ha llevado estadística alguna. El
problema es serio, ¿a quién culpar? , ¿a los libros de texto?, ¿a los profesores?.
En una sociedad globalizada como la nuestra en la que imperan los criterios de eficiencia y
eficacia, de productividad y competitividad, de orientación a logros y resultados, es necesario
modificar algunas estrategias pedagógicas para hacer “menos complicado el aprendizaje de las
matemáticas”, particularmente del cálculo integral, en este sentido, es conveniente desde
nuestro particular punto de vista, trabajar en la elaboración de un libro de texto en el que
intervengan la inteligencia y la voluntad para hacer las cosas de manera lúdica, sin dejar de ser
profesional, que ofrezca a los profesores como a los alumnos una propuesta de trabajo que se
pueda desarrollar, sin dificultad, a partir de las indicaciones contenidas en el mismo.
Desde nuestra perspectiva, el papel de los profesores como promotores del desarrollo
individual y colectivo de las habilidades y destrezas de los estudiantes exige un gran esfuerzo,
que se duplica con la carga de trabajo administrativo que deben realizar a lo largo del curso.
4
Cálculo Integral
Conscientes de esta problemática, consideramos este texto como un conjunto de material de
apoyo que contribuya a hacer más accesible el conocimiento de esta importante y noble rama
de la matemática, el cálculo integral.
Es deseable que las sugerencias, incluidas en el libro, motiven la imaginación y creatividad de
los profesores y les sirvan como punto de arranque para diseñar procedimientos didácticos
más acordes con los intereses y las necesidades de los alumnos.
5
Cálculo Integral
INDICE
PROLOGO 2 JUSTIFICACIÓN 4
CAPITULO 1- Diferenciales.
1.1 Incrementos, su interpretación geométrica. 9 1.2 Diferenciales, su interpretación geométrica. 10 1.3 Teoremas típicos de diferenciales. 11 1.4 Cálculo de diferenciales. 12 1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 13
CAPITULO II.- Integrales indefinidas y métodos de integración. 2.1 Definición de función primitiva. 18 2.2 Definición de integral indefinida. 19
2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 20 2.3.1 Directas. 22 2.3.2 Por cambio de variable. 24 2.3.3 Por partes. 33 2.3.4 Trigonométricas. 40 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 47 2.3.6 Por fracciones parciales. 54
CAPITULO III.- Integral definida.
3.1 Definición de integral definida. 66 3.2 Propiedades de la integral definida. 67 3.3 Teorema fundamental del cálculo. 68 3.4 Cálculo de integrales definidas. 68
CAPITULO IV.- Aplicaciones de la integral.
4.1 Longitud de curvas. 73 4.2 Cálculo de áreas. 75 4.3 Áreas entre curvas. 76 4.4 Sólidos de revolución. 80 4.5 Cálculo de volúmenes por el método de los discos. 80 4.6 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo. 86
6
Cálculo Integral
CAPITULO V.- Integrales impropias. 5.1 Definición de integral impropia. 95 5.2 Integral impropia de 1ra clase. 95 5.3 Integral impropia de 2da clase. 97 APENDICE I. 100 APENDICE II. 102 APENDICE III. 104 APENDICE IV. 107 RESPUESTAS A PROBLEMAS PARES. 115 BIBLIOGRAFIA. 129
7
Cálculo Integral
Incremen
Definició
Teorema
Cálculo d
Cálculo d
D I F E R E N C I A L E S
DIFERENCIALES
tos, su interpretación geométrica.
n de diferencial.
s típicos de diferenciales.
e diferenciales.
e aproximaciones usando la diferencial.
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Cálculo Integral
CAPITULO 1 CAPITULO 1
DIFERENCIALES
X
Y
Q
P
1.1 Incrementos, su interpretación geométrica. 1.1 Incrementos, su interpretación geométrica.
Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x
varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable
dependiente y. Si x cambia de x1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por ∆x
( se lee “delta x” ). Es decir, el incremento de x está dado por:
Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x
varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable
dependiente y. Si x cambia de x
∆x = x2 – x1 ∆x = x
Análogamente ∆y denotará la variación de la variable dependiente y, correspondiente al
cambio ∆x. Entonces, el incremento de y, está dado por:
Análogamente ∆y denotará la variación de la variable dependiente y, correspondiente al
cambio ∆x. Entonces, el incremento de y, está dado por:
∆y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1) ∆y = f(x
La representación geométrica de estos incrementos en términos de la gráfica de f se muestra
en la siguiente figura:
La representación geométrica de estos incrementos en términos de la gráfica de f se muestra
en la siguiente figura:
( )( )1 1,Q x x f x x+ ∆ + ∆
( )( )1 1,P x f x y∆
x∆
1x 2x
Cálculo Integral
9
DIFERENCIALES
1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por ∆x
( se lee “delta x” ). Es decir, el incremento de x está dado por:
2 – x1
2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1)
X
Y
Q
( )( )1 1,Q x x f x x+ ∆ + ∆
P( )( )1 1,P x f x y ∆
x∆
1x 2x
Fig. 1
9
Cálculo Integral
Ejemplo 1: Sea y = 2x2 – 3. Encuentre el incremento ∆y si el valor inicial de x es 3 y ∆x = 0.1
Solución: ∆y = f(3.1) – f(3) = f(x1 + ∆x) – f(x1)
∆y = [2(3.1)2 - 3] - [2(3)2 - 3]
∆y = 1.22
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
S
Ejercicios tema 1.1
alcule ∆y para las funciones dadas, considerando los valores de x y ∆x indicados.
. y = x2 en x = 2 y ∆x = 0.3
. y = x en x = 16 y ∆x = 0.1
. y = x3 en x = 13 y ∆x = 0.2
. y = 3 x en x = 8 y ∆x = -0.1
. y = 3x2 + 2x – 5 en x = 1 y ∆x = -0.2
. y = x3 – 3x2 + x – 4 en x = 1 y ∆x = -0.1
. y = 1/x2 en x = 2 y ∆x = 0.2
. y = (x – 2)(x – 3) en x = 0 y ∆x = -0.02
. y = tan x en x = 4π y ∆x =
12π
0. y = sen x en x = 6
π y ∆x = 12
π−
.2 Definición de diferencial.
ea y = f(x) donde f es derivable y sea ∆x un incremento de x. Entonces:
(i) la diferencial dx de la variable independiente x está dada por dx = ∆x
(ii) la diferencial dy de la variable dependiente y está dada por dy = f’(x) ∆x.
Sustituyendo dx en lugar de ∆x obtenemos:
dy = f’(x) dx
10
Cálculo Integral
11
1 du−
2d s n =
1e u
u−
1
2
- dd cos = 1
uuu
−
−
12
dd tan = 1 +
uuu
−
12
- dd cot =u 1 +
uu
−
1
2
dd sec = 1
uuu u
−
−
1
2
- dd csc = 1
uuu u
−
−
du d - v u u
1.3 Teoremas típicos de diferenciales. Puesto que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la
variable independiente, las fórmulas para hallar las diferenciales son las usadas para obtener
las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por dx (diferencial de la variable
independiente).
d (c) = 0
d (x) = dx
d ( u + v – w) = du + dv – dw
d (cv) = c dv
d (xn) = n xn-1 dx
d ( un) = n un-1 du
d (uv) = u dv + v du
u
log e duu
2 dv
v
d ( cos u ) = - sen u du
d ( tan u ) = sec2 u du
d ( cot u ) = - csc2 u du
d ( sec u ) = sec u tan u du
d ( csc u ) = - csc u cot u du
d ( eu) = eu du
d ( au) = au ln a du
d ( sen u ) = cos u du
d (ln u) = d ( u ) =
v
d (log u) =
Cálculo Integral
1.4 Cálculo de diferenciales.
Ejemplo 2: Dada y = 2x3 + 3x2 – 4x +3.
Hallar: (a) dy
(b) el valor de dy para x = 2 y ∆x = 0.2
Solución:
a) dy = ( 6x2 + 6x - 4 ) dx
b) sustituyendo dx = ∆ x = 0.2 y x = 2
dy = [ 6(2)2 + 6(2) - 4] [0.2]
dy = 6.4
E
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Ejercicios tema 1.4
ncuentra la diferencial dy para las funciones dadas, expresándolas en términos de x y dx.
1. y = 100 – 3x2
2. y = 7x2 – 11
3. y = 12
x2 - 14
x + 13
4. y = 2 5 x - 5
3x
5. y = xb
+ 2x a
6. y = 2 3x +
7. y = 3 1x +
8. y = x2 3 4x−
9 y = 1 sen2x−
0. y = sen3x2
21. y = cos2 2x
22. y = 12
cot2 (x2- a2)
23. y = 3 tan 3x
24. y = 12
x - 18sen (2 – 4x)
25. y = x2 sen-1 3x
26. y = cot-1 11
xx
−+
27. y = csc-1 ( x + 1x
)
28. y = ln 1 tan1 tan
xx
+−
29. y = log ( ex + e-x )
30. y = cos2 e3x
12
Cálculo Integral
1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. Cuando ∆x ≈ 0, las diferenciales nos facilitan una manera de “predecir” el valor de f(x1 + ∆x)
conociendo el valor de la función y su derivada en x.
f(x1 + ∆x) = f(x1) + ∆y ∴ f(x1 + ∆x) = f(x1) + dy
haciendo referencia al tema 1.2 obtenemos:
f(x1 + ∆x) = f(x1) + f’(x) dx
Ejemplo 3: Hallar una aproximación a 36.4
Solución: Identificamos la función f(x) = x . En donde deseamos calcular el valor
aproximado de f(x + ∆x) = x x+ ∆ cuando x = 36 y ∆x = dx = 0.4
dy = 12 x
dx
f(x1 + ∆x ) = f(x1) + f’(x) dx
x x+ ∆ ≈ x + 12 x
dx
36.4 ≈ 36 + 12 36
(0.4)
Valor real 6.03324 ≈ 6.03333 Valor aproximado
Considerando que:
Error absoluto = valor real – valor aproximado
Error relativo = error absolutovalor real
Error relativo (%) = error absolutovalor real
(100)
13
Cálculo Integral
Del ejemplo anterior se tiene:
Error absoluto = 6.03324 – 6.03333 = 0.00009
Error relativo = 0.000096.03324
= 0.0000014
Error relativo (%) = 0.00014 %
Ejemplo 4: Hallar una aproximación a 3 29
Solución: Identificamos la función f(x) = 3 x En donde deseamos calcular el valor
aproximado de f(x + ∆x) = 3 x x+ ∆ cuando x = 27 y ∆x = dx = 2
dy = 3 2
13 x
dx
f(x1 + ∆x) = f(x1) + f’(x )dx
3 27 2+ ≈ 3 27 + 3
13 729
(2)
3 29 ≈ 3 + 2
27
3.07231 ≈ 3.07407
Error absoluto = 3.07231 – 3.07407 = 0.00176
Error relativo = 0.001763.07231
= 0.00057
Error relativo (%) = 0.057%
Ejemplo 5: La medida efectuada al lado de un cubo es de 20 cm, con un error posible de
0.01 cm. ¿Cuál es el error máximo posible aproximado en el volumen del cubo? ±
Solución: El volumen de un cubo es V = x3, en donde x es la longitud del lado. Si ∆x
representa el error en la longitud del lado, entonces el error correspondiente en el volumen es:
14
Cálculo Integral
∆V = ( x + ∆x)3 – x3
Para simplificar, se utiliza la dV como una aproximación a ∆V. Por lo que, para x = 20 y
∆x = ± 0.01, el error máximo aproximado es:
dV = 3x2 dx
dV = 3( 20)2 ( ± 0.01) = ± 12 cm3
Error relativo (%) = 128000± (100) = ± 0.15%
Ejercicios tema 1.5Utiliza el concepto de diferencial para encontrar una aproximación a la expresión dada.
31. 38
32. 190
33. (1.3)4
34. 9⅔
35. (1.1)3 + 6 (1.1)2
36. 3 30
37. cos (3
π - 0.2)
38. sen 33
39. tan ( 3
π - 0.2)
40. cos 60.01
41. Se determina que el diámetro de un disco es aproximadamente igual a 15 cm con un error
máximo en la medición de 0.04 cm. Usa diferenciales para estimar el máximo error obtenido
al calcular el área de una de las caras del disco. ¿Cuál es el error relativo y el error porcentual
obtenidos?
42. Se encontró que la arista de un cubo es de 20 cm, con un error máximo en la medición de
0.1 cm, utiliza diferenciales para estimar el error máximo calculando a) el volumen del cubo y
b) el área superficial del cubo.
15
Cálculo Integral
43. Usa diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cada uno de sus
lados aumenta de 12 a 12.1 cm. ¿Cuál es el valor exacto del incremento del volumen?
44. Aplica las diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una
mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un radio de 30 m.
45. La arena que chorrea de un recipiente, va formando un montículo cónico cuya altura es
siempre igual a su radio. Usa diferenciales para estimar el incremento del radio
correspondiente a un aumento de 5 cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 12
cm.
16
Cálculo Integral
INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE
INTEGRACIÓN
Definición de función primitiva.
Definición de integral indefinida.
Cálculo de integrales indefinidas.
• Cálculo de integrales indefinidas directas.
• Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.
• Cálculo de integrales indefinidas por partes.
• Cálculo de integrales trigonométricas.
• Por sustitución trigonométrica.
• Por fracciones parciales.
17
Cálculo Integral
CAPITULO II
INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
2.1 Definición de función primitiva.
En el capitulo anterior mediante las técnicas del Cálculo diferencial hemos aprendido a
calcular la diferencial de una función, operación que se representa por:
d f(x) = f´(x) dx
El Cálculo integral se ocupa de la operación inversa, es decir: Hallar una función f(x) cuya
diferencial f´(x) dx es conocida.
La función f(x) que se obtiene se llama función primitiva o integral de la expresión diferencial
dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el
signo integral delante de la expresión diferencial dada: ∫
∫ f´(x) dx = f(x)
El signo se lee integral o integral de. ∫La función antes mencionada se lee la integral de f´(x) dx es igual a f(x).
Donde la diferencial dx indica que x es la variable de integración. P r ejemplo:
Función Diferencial Función primiti
f(x) = x4 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4
f(x) = sen x f’(x) = cos x dx ∫ cos x dx = s
f(x) = ln x f’(x) = dxx
∫ dxx
= ln x
18
o
va o integral
en x
Cálculo Integral
2.2 Definición de integral indefinida.
En base al tema anterior podemos señalar que:
Función Diferencial Función primitiva o integral
f(x) = x4 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4
f(x) = x4 + 3 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 + 3
f(x) = x4 - 2 f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 - 2
f(x) = x4 + C f’(x) = 4x3dx ∫ 4x3dx = x4 + C
En general, podemos decir que 4x∫ 3dx = x4 + C. La constante arbitraria C se llama constante
de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Como la
constante C puede tomar un número indeterminado de valores, podemos deducir que si una
expresión diferencial dada tiene una integral, también tiene una infinidad de integrales que
solo difieren entre si por una constante C,
∫ f´(x) dx = f(x) + C
y como C es desconocida e indefinida, a la expresión f(x) + C se le llama: integral indefinida
de f´(x) dx .
El valor de C puede determinarse cuando se conozca el valor de la integral para algún valor de
la variable, como se verá en el siguiente capitulo. Por ahora aprenderemos a hallar las
integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas, dando por hecho que toda función
continua tiene una integral indefinida, proposición cuya demostración queda fuera del
propósito del presente texto.
19
Cálculo Integral
En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los
resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expresión diferencial dada.
2.3 Cálculo de integrales indefinidas. La integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se
utilizan tablas de integrales, llamadas tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una
integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas, si se
encuentra registrada en ellas, se sabe la integral; si no está registrada, buscaremos por varios
métodos reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de
artificios que solo la práctica nos puede mostrar, en este libro nos ocuparemos de explicar
detalladamente los métodos para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la
resolución de problemas prácticos.
Para verificar el cálculo de una integral
∫ f´(x) dx = f(x) + C
se deriva
f(x) + C
Si la derivada es igual a f´(x), el cálculo es correcto, pero si es diferente de f´(x),
evidentemente se ha cometido un error. Esta relación entre la derivación y la integración
permite utilizar las siguientes formulas en la obtención de las integrales indefinidas directas:
20
Cálculo Integral
Formulas fundamentales de integración indefinida.
i d = x x C+∫
ii c d C d u u=∫ ∫
iii ( )d d d d d du v w u v w+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫
iv
n + 1
d = + n + 1
n uu u C∫
v d
ln u
u Cu
= +∫
vi ∫ eu du = eu + C
vii ∫ au du =
+ ln a
u
Ca
viii sen u du = - cos u + C ∫
ix ∫ cos u du = sen u + C
x ∫ tan u du = - ln cos u + C
xi ∫ cot u du = ln sen u + C
xii ∫ sec u du = ln (sec u + tan u) + C
2
xiii ∫ csc u du = ln (csc u - cot u) + C
xiv ∫ sec u tan u du = sec u + C
xv ∫ csc u cot u du = - csc u + C
xvi
∫ sec2 u du = tan u + C
xvii ∫ csc2 u du = - cot u +C
xviii 2 2
d u1 1= tan + + a a a
u Cu
−∫
xix 2 2
12a
d - a= ln +
+ a - a u u
Cuu∫
xx 2 2
12a
d a + = ln +
a - a - u
u uC
u∫
xxi 2 2 a
d 1= s n +
a
uue C
u
−
−∫
xxii ( )2 2
2 2
d= ln + a +
a u
u u Cu
±±∫
xxiii2
2 2 2 2 a2 2
1a u d = a u s n + u u
u e−
− − + a C∫
2
2 2 2 2 2 2au
xxiv ( ) 2 2a d = a ln + a + u u u u u±± ± ± C∫
1
Cálculo Integral
2.3.1 Cálculo de integrales indefinidas directas.
Ejemplos ilustrativos:
1. Hallar la integral: ( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx
Solución: aplicando la formula iii:
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = ∫ 6x2 dx - ∫ 5x dx + 2 dx. ∫ Aplicando la formula ii:
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 6∫ x2 dx - 5∫ x dx + 2 dx. ∫Aplicando la formula iv en el primer y segundo términos, la formula i en el tercer
término y simplificando:
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 2 16 C
2 + 1x +
+ - 1 15 C
1 1x +
++
+ 2x + C
( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx = 36 C
3x
+ - 25 C
2x
+ + 2x + C
52 ( 6x∫ 2 – 5x + 2 ) dx = 2 x3 - x2 + 2x + C
Nota.- Cada integración requiere una constante arbitraria, no obstante, escribiremos al final sólo una constante
que representa la suma algebraica de ellas.
2.- Hallar la integral: 22
32 + dx xx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫
Solución: subiendo el denominador en el segundo término y aplicando la formula iii:
22
32 + dx xx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = ∫ 2 x2 dx + ∫ 3 x -2 dx
22
32 + dx xx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ =
2 12 2 1
x +
+ + C +
2 13 2 1x− +
− + + C
22
Cálculo Integral
22
32 + dx xx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 2
3 x3 – 3 x -1 + C
22
32 + dx xx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 2
3x3 – 3
x + C
3. Hallar la integral: 3 23 + 2 1 x x dx
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫
Solución: Dividiendo las expresiones y resolviendo siguiendo la secuencia de los
ejemplos anteriores:
3 23 + 2 1 dx x x
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = ∫ 3 x2 dx + ∫ 2 x dx - ∫ dx
x
empleando la formula v en el tercer término:
3 23 + 2 1 x x dx
x⎛ ⎞−⎜⎝ ⎠∫ ⎟ = x3 + x2 – ln x + C
4. Hallar la integral de: ( ) + dxe x∫ x
( ) + dxe x∫ x = dxe x∫ + dx x∫
( ) + dxe x∫ x = dxe x∫ + ∫ x½ dx
usando las formulas vi y iv respectivamente:
( ) + dxe x∫ x = + xe+ 1
+ 1x½
½ + C
( ) + dxe x∫ x = + xe 23 x 3 2 + C
5. Hallar la integral de: ( )aa + dx x x∫
( )aa + d x x x∫ = + dxa x∫ dax x∫
23
Cálculo Integral
empleando las formulas vii y iv respectivamente:
( )aa + dx x x∫ = aln a
x
+ a + 1
+ Ca + 1x
C
1
2
3
4
5
6
7
8
2
E
s
o
f
e
Ejercicios tema 2.3.1
alcula las integrales siguientes:
. ( )4 3 3 d x x x−∫
. 2 32 2 d
yy y⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
. ( )( ) 1 3 2 d x x x+ −∫
. ( )2 9 3 d θ θ θ−∫ + 4
. 3 d x x x∫
. 2 3 d x x xx
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
. ( )32 9 d y y−∫ y
. ( )3 332 2 dx a x−∫ x
9. 3
3
3 d3x x
x⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠∫
10. 2 32 3 3 d x x x
x⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫
11. ( )33 2 dt t−∫
12. ( )3 12 2 dx x x
− −+∫
13. ( )2 23 3a b dx x x
−+∫
14. 1 1
2 2a dx xx
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
15. ( )2 1
dx
xx
−∫
.3.2 Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.
n los siguientes casos las integrales no se ajustan directamente a las fórmulas fundamentales,
iendo necesario cambiar variables mediante una cuidadosa elección de u, misma que al
btener su diferencial du nos permita adaptarlas a las correspondientes fórmulas
undamentales. Para lo anterior la mejor forma de exponerlo es mediante los siguientes
jemplos ilustrativos:
24
Cálculo Integral
6. Hallar la integral de: ∫ ( 3x2 – 2)3 6x dx
Solución: Tomando u = 3x2 – 2 , du = 6x dx, comparando estos parámetros en la
integral original vemos que se puede adaptar a la fórmula iv, se dice entonces que la
integral esta completa:
∫ (3x2 – 2)3 6x dx = ∫ u3 du = 3 + 1
3 1u C+
+ = ¼ u4 + C
reemplazando u por 3x2 – 2
∫ (3x2 – 2)3 6x dx = 14
( 3x2 – 2 )4 + C
7. Hallar la integral de: 2 d
3 - 2x xx∫
Solución: Tomando u = 3x2 – 2 , du = 6x dx, comparando estos parámetros en la
integral original vemos que nos falta el factor 6 en du, se dice entonces que la integral
esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede
completar adecuándose a la fórmula v de la siguiente manera:
2 d
3 - 2x xx∫ = 1
6 2
6 d3 - 2
x xx∫ = 1
6 du
u∫ = 16 ln + u C
reemplazando u por 3x2 – 2
2 d
3 - 2x xx∫ = 1
6 ln 23 - 2 x C+
8. Hallar la integral de: ∫ 3sen dx xπ
xπSolución: Tomando u = , du=π dx, comparando estos parámetros en la integral
original vemos que nos falta el factor π en du y nos sobra el 3, se dice entonces que la
integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se
puede completar adecuándose a la fórmula viii de la siguiente manera:
25
Cálculo Integral
∫ 3sen dx xπ = 3π ∫ sen π x π dx = 3
π ∫ sen u du
xπaplicando la formula y reemplazando u por
∫ 3sen dx xπ = - 3π cos xπ + C
9. Hallar la integral de: 2
sen d
cos + 16
x x
x∫
Solución: Es necesario señalar que es básico dominar con fluidez el cálculo de
diferenciales para una mejor interpretación de las fórmulas fundamentales de
integración, en el presente ejemplo, tomando u = cos x, du = - sen x; a = 4,
completando el signo – en du se adapta la fórmula xxii como se ilustra a continuación:
2
sen d
cos + 16
x x
x∫ = 2 2
- sen d
cos + 4
x x
x−∫ =
2 2
d
a
u
u +∫
aplicando la formula y reemplazando u por cos x
2
sen d
cos + 16
x x
x∫ = – ln ( )2cos + cos 16 + x x C+
10. Hallar la integral de: ∫ tan2 x sec2 x dx
Solución: Tomando u = tan x , du = sec2 x dx ; por medio de la fórmula iv, tenemos:
∫ tan2 x sec2 x dx = ∫ u2 du = ⅓ u3 + C
aplicando la formula y reemplazando u por tg x
∫ tan2 x sec2 x dx = ⅓ tan3 x + C
11. Hallar la integral de: 2
4 d
25 +
x
xe x
e∫
Solución: Tomando a = 5 , u = , du = 2 dx ; y mediante la fórmula xviii: 2xe 2xe
26
Cálculo Integral
2
4 d
25 +
x
xe x
e∫ = 2
2 42d1
5 + 2
x
xe x
e∫ = 12 2 2
da
uu+∫
aplicando la formula y reemplazando u por 2xe
2
4 d
25 +
x
xe x
e∫ = 1 12 5
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
tan-1 u + C = 110
tan-1 + C 2xe
12. Hallar la integral de: 1
2tan 2 d
1 4x xx
−
+∫
Solución: Tomando u = 1tan 2x− , du = 2
2 d1 + 4
xx
, completando el factor faltante 2 en du
y mediante la fórmula iv, tenemos:
1
2tan 2 d
1 4x xx
−
+∫ = 12
12
2 dtan 21 4
xxx
−
+∫ = 12
du u∫
1
2tan 2 d
1 4x xx
−
+∫ = 14 ( tan-1 2x)2 + C
13. Hallar la integral de: 2d4 3x
x x+ +∫
Solución: Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador, la integral
toma la forma de la fórmula xix de la siguiente manera:
2d4 3x
x x+ +∫ = ( ) ( )2 2
d2 1
xx + −∫ = 2 2
da
uu −∫ =
( )1
2 1 ln 2 1
2 1x Cx
+ −+
+ + = 1
2 ln 1
3x Cx
++
+
14. Hallar la integral de: ( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫
Solución: Haciendo u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2, es preciso descomponer el numerador
en tres términos, ya que, 5 = 2 + 3 para formar dos integrales, de la siguiente manera:
( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ = ( )
2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ + 2
3d2 5
xx x+ +∫
27
Cálculo Integral
( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ = ( )
2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ +
( ) ( )2 2d3
1 2x
x + +∫
Para la primera integral se mantiene u = x2 + 2x + 5, du = 2x + 2 y se aplica la fórmula
v; y para la segunda integral u = x + 1, du = dx, a = 2 y aplicando la fórmula xviii,
tenemos:
( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ = du
u∫ + ( ) ( )2
du3u a+∫ 2
( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫ = ln ( )2 132 5 + tan 1
2x x x− C+ + + +
C
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejercicios tema 2.3.2
t
y
alcula las integrales siguientes:
. ( )2a + b d t t∫
. ( )22 2 d t t−∫
. ( ) 22a+b dy y−
∫. ( )
238 - dx x∫
. ( )3
2 3 23 - 2 d x x x∫
. 1 2 d x x−∫
. 3 a b d x x+∫
. 22 d
6 9 x
x x− +∫
9. ( )2 2
d2 1
x xx −∫
10. ( )2
2x+3 d
3
x
x x+∫
11. ( )2
x+3 d
6
x
x x+∫
12. d+1x
x∫
13. d2 +1
xx∫
14. 2 d
+ 1x x
x∫
15. ( )2
1+2 d + x x
x x∫
28
Cálculo Integral
16. ( )2
1- d -2
x xx x∫
17. ( )2
5-2 d -5
x xx x∫
18. 3 d xe x−∫19. b d xe x−∫
20. d xe xx∫
21. 1
2 d xe x
x∫
22. cos s e n d xe x∫ x
x
x
23. sen cos d xe x∫24. tan 2 26 sec 2 d xe x∫
25. ln
d xe x
x∫
26. d 1
xx
e +∫
27. 2d
2 x
xe− −∫
28. d x xx
e e− −∫
29. d 9 4
x xx
e e−+∫
30. 210 dx x∫
31. 3
5 dx
x−
∫
32. 10 dx
xx∫
33. 1
2a d
x
xx∫
34. ( ) 23 1
d3
x
x x+
∫
35. 2 d2 4
x
xx
+∫
36. sen 3 dx x∫
37. 5sen dx xπ∫
38. ( )sen 2-3 dx x∫
39. ( )cos b+a d x x∫
40. 3 4cos 5x dx x∫
41. cos 1-sen d θ θ θ∫
42. 3cos s e n d θ θ θ∫
43. tan dx xx∫
29
Cálculo Integral
44. tg d x xe e x− −∫45. 2 2tan s ec d x x x∫
46. 5 2tan 2 s ec 2 d x x x∫
47. cot d3
θ θ∫
48. 2 cot d θ θ θ∫
49. 2cot csc d3 3
θ θ θ∫
50. ( )cot ln sen d θ θ θ∫
51. 3sec d4
x x∫
52. 3 3s ec d x xe e− −∫ x
53. 2sec tan d θ θ θ∫
54. 3
2sec tan d θ θ θ∫
55. sec tan d3 3
θ θ θ∫
56. ( ) ( )sec 2 tan 2 d φ φ φ− −∫
57. 2sec d α απ∫
58. ( )2sec 1-2 d x x∫
59. csc 5 d5
πθ θ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫
60. 2csc dx x x∫
61. ( )2cs c a-b d x x∫
62. cs c 2 cot 2 d θ θ θ∫
63. 2 2cs c 2 cot 2 d θ θ θ∫
64. ( )2cs c a-b d θ θ∫
65. 2d
4 9x
x +∫
66. 2d
9 4x
x +∫
67. 2d
5 12x
x +∫
68. 2d2 5x
x x+ +∫
69. 2d
4 4 5x
x x+ +∫
70. 2d
2 2 1x
x x− +∫
71. ( )2
2 5 d2 5
x xx x
++ +∫
72. ( )2
3 5 d1
x xx x
++ +∫
73. 2d
9 1x
x −∫
30
Cálculo Integral
74. 2d
25 4 x
x −∫
75. 2d
3 5 x
x −∫
76. 2 2 2b d
a c x
x −∫
77. 2d4 3
xx x+ +∫
78. 2d2 3
xx x+ −∫
79. 2d
11 30 x
x x+ +∫
80. 2d
3 4 1 x
x x+ +∫
81. ( )2
8 1 d4 4 3
x xx x
−− −∫
82. ( )2
1 d4 4 3
x xx x
−− −∫
83. 2d
4 9 x
x−∫
84. 2d
9 4 x
x−∫
85. 2d
5 3 x
x−∫
86. 2d
3 5 x
x−∫
87. ( ) 2
d4 2 1
xx− −∫
88. 2d
4x
x x−∫
89. 2d
6x
x x−∫
90. ( )2
x+3 d6
xx x−∫
91. 2
d
4 9
x
x +∫
92. 2
d
9 4
x
x +∫
93. 2
d
5 12
x
x +∫
94. 2
d
2 5
x
x x+ +∫
95. 2
d
4 4 5
x
x x+ +∫
96. 2
d
2 2 1
x
x x− +∫
97. ( )2
2 5 d
2 5
x x
x x
+
+ +∫
98. ( )2
3 5 d
1
x x
x x
+
+ +∫
99. 2
d
9 1
x
x −∫
100. 2
d
25 4
x
x −∫
101. 2
d
3 5
x
x −∫
31
Cálculo Integral
102. 2 2 2
b d
a c x
x −∫
103. 2
d
4 3 x
x x+ +∫
104. 2
d
2 3 x
x x+ −∫
105. 2
d
11 30 x
x x+ +∫
106. 2
d
3 4 1 x
x x+ +∫
107. ( )2
8 1 d
4 4 3 x x
x x
−
− −∫
108. ( )2
1 d
4 4 3 x x
x x
−
− −∫
109. 2
d
4 9 x
x−∫
110. 2
d
9 4 x
x−∫
111. 2
d
5 3 x
x−∫
112. 2
d
3 5 x
x−∫
113. ( ) 2
d
4 2 1 x
x− −∫
114. 2
d
4 x
x x−∫
115. 2
d
6
x
x x−∫
116. ( )2
x+3 d
6
x
x x−∫
117. 24 9 dx x+∫
118. 29 4 dx x+∫
119. 25 12 dx x+∫
120. 2 2 5 d x x x+ +∫
121. 24 4 5 d x x x+ +∫
122. 22 2 1 d x x x− +∫
123. 29 1 dx x−∫
124. 225 4 d x x−∫
125. 23 5 dx x−∫
126. 2 2 2a c b d x x−∫
127. 2 4 3 d x x x+ +∫
128. 2 2 3 d x x x+ −∫
129. 2 11 30 d x x x+ +∫
32
Cálculo Integral
141. 2sen d
cos 16x xx +∫ 130. 23 4 1 d x x x+ +∫
131. 24 4 3 d x x x− −∫ 142. 2sen d4 cos
θ θθ−∫
132. 24 9 d x x−∫ 143. 2cos d4 sen
θ θθ−∫
133. 29 4 d x x−∫ 144. 2
2sec dtan 1
θ θθ +∫
134. 25 3 d x x−∫ 145.
x
2
2 d
4 x
e x
e−∫
135. 23 5 d x x−∫ 146.
x
2d
1 xe x
e−∫
136. ( ) 24 2 1 d x x− −∫ 147. 216 d x xe e+ x∫
137. 24 d x x x−∫ 148. 2 9 4 dx x x−∫
138. 26 d x x x−∫
149. x
2 d1 xe x
e−∫
139. 2
sen d
4 cos θ θ
θ−∫
150. ( )2
dln 9
xx x +∫
140. 2
sen d
cos 16 x x
x +∫
2.3.3 Cálculo de integrales indefinidas por partes.
La integración por partes, es uno de los denominados métodos de integración, y consiste en
hallar la integral de funciones que por alguna razón no pueden resolverse por medio de las
fórmulas fundamentales de integración.
33
Cálculo Integral
La integración por partes tiene por objeto hallar la integral de la diferencial de un producto; el
de una función u por la diferencial de otra función dv de la misma variable, quedando
representadas en la siguiente fórmula:
d = du v uv v u−∫ ∫
Para aplicar la fórmula a una integral dada, representamos por u a una parte del integrando y
por dv al resto ( incluyendo dx). No puede darse una regla general que nos permita saber con
facilidad el factor que deba ser u y dv respectivamente, no obstante es importante que la
diferencial dv sea fácilmente integrable. Al sustituir los parámetros u, du, v, y dv, en la
fórmula de integración por partes, se debe comparar la integral que resulta en el segundo
miembro de la igualdad, ya que si ésta es más complicada que la integral original, entonces, la
elección que hicimos de u y dv al inicio no es la correcta y nos veremos en la necesidad de
probar otras opciones.
Mediante la práctica podremos reconocer que tipo de integrales es preciso hallar por este
método, sin embargo, podemos adelantar que generalmente la integración por partes tiene
aplicación en productos indicados, funciones trigonométricas inversas, funciones logarítmicas,
como veremos en los siguientes:
Ejemplos ilustrativos:
15. Hallar: sen dx x x∫
Solución: u = x, entonces du = dx
si dv = sen x dx , entonces v = sen dx x∫ = − cos x
sen dx x x∫ = (x) ( - cos x ) − ( )cos dx x−∫ ,
sen dx x x∫ = - x cos x + sen x + C
34
Cálculo Integral
16. Hallar: ∫ x2 cos x dx
Solución: Si u = x2; entonces du = 2x dx
si dv = cos x dx, entonces v = cos dx x∫ = sen x, sustituyendo en la fórmula:
∫ x2 cos x d x = ( x2) (sen x) − 2 ∫ x sen x dx
comparamos la integral que resulta en el segundo miembro, ∫ x sen x dx, y como
podemos ver, es más simple que la integral original, ∫ x2 cos x dx, por lo que la
elección de u y dv ha sido correcta, sin embargo, dicha integral aún no puede
resolverse mediante fórmulas fundamentales, siendo necesario aplicar nuevamente el
método de integral por partes en ∫ x sen x dx, y como ya ha sido mostrado en el
ejemplo 15 queda de la siguiente manera:
x∫ 2 cos x dx = x2 sen x – 2 [ ] - x cos x + sen x C+
x∫ 2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x – 2 sen x + C
17. Hallar: sen dxe x∫ x
Solución: si u = , entonces du = dx xe xe
y dv = sen x dx, entonces v = sen dx x∫ = – cos x, sustituyendo en la fórmula:
= – cos x + sen dxe x∫ x xxe cos dxe x∫
comparando la integral del segundo miembro, cos dxe x x∫ , es de igual grado de
dificultad que la integral original, sen dxe x x∫ , validando con esto la elección de u y
35
Cálculo Integral
dv, siendo necesario aplicar nuevamente el método de integración por partes de la
siguiente manera:
= – cos x + sen dxe x∫ x xxe cos dxe x∫
si u = , entonces du = dx xe xe
si dv = cos x dx, entonces v = cos dx x∫ = sen x, sustituyendo en la fórmula:
= – cos x + sen x – sen dxe x∫ x xxe xe sen dxe x∫
la integral que se forma en el segundo miembro de la igualdad, es igual a la integral
original, por tanto, mediante la transposición de términos, como está restando, pasa
sumando al primer miembro:
sen dxe x∫ x x + sen dxe x∫ = – cos x + sen x xe xe
2 = sen x – cos x sen dxe x∫ x
x
xe xe
sen dxe x∫ = 12
( sen x – cos x ) + C xe
18. Hallar: ∫ x2 dx xe
Solución: supongamos que; u = entonces du = dx xe xe
si dv = x2 dx , v = ∫ x2 dx = 13 x 3, sustituyendo en la fórmula:
∫ x2 dx = xe 13 x 3 – xe 1
3 ∫ x3 dx xe
al comparar la integral del segundo miembro con la integral inicial del primer miembro
de la igualdad, podemos constatar que es de mayor grado de dificultad, por lo que en
esta ocasión, invalidamos la elección de u y dv, y nos disponemos a elegir otra opción:
36
Cálculo Integral
supongamos ahora que; u = x2, entonces du = 2x dx
si dv = dx , v = ∫ dx = , sustituyendo en la fórmula: xe xe xe
∫ x2 dx = xxe 2 xe − 2 ∫ x dx xe
en esta ocasión la integral de la derecha es de menor grado de dificultad que la de la
izquierda, validando la elección de u y dv, sin embargo, es necesario aplicar
nuevamente el método de integración por partes:
u = x, du = dx
dv = dx , v = xe ∫ xe dx = , sustituyendo en la fórmula: xe
∫ x2 dx = xxe 2 – 2 xe ∫ x dx xe
∫ x2 dx = xxe 2 – 2 xe dx xxe e x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∫
∫ x2 dx = xxe 2 – 2 x + 2 + C = ( xxe xe xe xe 2 – 2x + 2 ) + C
19. Hallar: 2 ln dx x x∫
Solución: u = ln x, du = dxx
dv = x2 , v = ∫ x2 dx = 13x3
2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – ∫ 1
3 x3 dx
x
2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – 1
3 ∫ x2 dx
2 ln dx x x∫ = 13 x3 ln x – 1
9 x3 + C
37
Cálculo Integral
20. Hallar: 2 1 s n dx e x−∫ x
e x−
Solución: u = s n , du = 1
2
d
1
x
x−
dv = x2 dx, v = ∫ x2 dx = 13 x3, sustituyendo en la fórmula:
2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 – 1s ne − x 1
3
3
2
d
1
x x
x−∫
integrando nuevamente por partes:
u = x2, du = 2x dx
dv = 2
d
1
x x
x−∫ , v = 2
d
1
x x
x−∫ = - 21 2 1 x−
2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 – 1s ne − x 1
3
2 2 21 2 x 1 + 1 dx x x x⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 + 1s ne − x 1
6 2 2 21
31 1 dx x x x x− − −∫
2 1 s n dx e x−∫ x = 13 x3 + 1s ne x− 1
62 2 1
61 + x x− ( )3
21 x−
C
1
2
3
4
Ejercicios tema 2.3.3
alcula las integrales siguientes:
. s n 2 dx e x∫ x
. s n 3 dx e x x∫
. 2 sen dx x x∫
. cos 2 dx x x∫
5. cos 4 dθ θ θ∫
6. se n a sen b dx x x∫
7. se n sen 3 dx x x∫
8. 2 sen 2 dθ θ θ∫
38
Cálculo Integral
9. 2 cos 3 dθ θ θ∫
10. 2 cos dx x x∫
11. 2 cos 2 dx x x∫
12. 2 sen 3 dx x x∫
13. 2 sec 2 dx x x∫
14. 2 tan dx x x∫
15. s e n d2
x xe x∫
16. 5 s e n π dt
e t∫ t
t
17. cos dte t−∫18. 4 cos π d
te t∫ t
19. 10 dxx x∫
20. 2 dxx x∫
21. 2 e dxx x∫
22. 3 e dxx x∫
23. 2 2 e dxx x∫
24. 2 e dxx x−∫
25. ( )ln +2 dx x∫
26. ln 3 dx x∫
27. ln 3 dx x x∫
28. 3 ln dx x x∫
29. 2ln 2 dx x∫
30. 3ln dx x x∫
31. 2 ln dx x x∫
32. 3 ln dx x x∫
33. ( )sen ln dx x∫
34. ( )cos ln dx x∫
35. ( )ln cos sen dx x x∫
36. ( )2 2ln a dx x x+ +∫
37. ( )2ln d
1x x
x +∫
38. ( )ln 1 d
1x xx+
+∫
39
Cálculo Integral
39. 3ln dt t
t∫ 47. 1tan a dθ θ−∫
48. 2 1tan dθ θ θ−∫ 40. 2 2 ln dx x x∫
49. 1cot dx x x−∫ 41. 1s e n 2 dθ θ−∫
50. 2 1cot dx x x−∫ 42. 1s e n dθ θ−∫
51. 1 dx x x+∫ 43. 2 1s e n 2 dθ θ θ−∫
52. 3 2 1 dx x x+∫ 44. 1cos d2θ θ−∫
53. 2 1 dx x x+∫ 45. 1 2cos dθθ
−∫
54. ( )
5
23
d
8
t t
t +∫ 46. 2 1cos d2θθ θ−∫
2.3.4 Cálculo de integrales trigonométricas.
Se presentan con frecuencia algunas diferenciales trigonométricas, que a simple vista no se
adaptan a las fórmulas fundamentales, no obstante, se pueden integrar fácilmente por medio de
reducciones trigonométricas sencillas.
Caso I. integrales de la forma: s n cos dm ne u u u∫
Si m o n es entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, la integral puede resolverse,
transformando la expresión por medio de la identidad: mediante la
fórmula iv:
2 2s n + cos = 1e θ θ
n + 1
d = + n + 1
n uu u C∫ . Si m es impar, escribiremos 1s n s n me eθ θ− y podremos
40
Cálculo Integral
sustituir 1s n me θ− por su equivalente 2s n 1 cose 2θ θ= − , hasta convertir la expresión a la
siguiente forma:
( )suma de términos que contienen cos sen du u∫ u
Si n es impar, escribiremos 1cos cos n θ θ− y sustituyendo 1s nme θ− por su equivalente
2cos = 1 s ne 2θ θ− , y convertir la expresión a la forma:
( )suma de términos que contienen sen cos du u∫ u
Ejemplos ilustrativos:
21. Hallar: 4 3cos s n dx e x∫ x
Solución: = 3 2s n s n s ne x e x e x= ( )2 1 cos sen x x−
4 3cos s n dx e x x∫ = ( )4 2 cos 1 cos sen dx x x− x∫
4 3cos s n dx e x x∫ = 4 6cos sen d cos sen dx x x x x x−∫ ∫
haciendo u = cos x, du = sen x dx; −
4 3cos s n dx e x∫ x = 15− 5 71
7
cos + cosx x C+
22. Hallar: 5 2cos s n dx e x∫ x
Solución:
( ) ( )25 4 2 2 4cos cos cos 1 s n cos = 1 2s n s n cosx x x e x x e x e x= = − − + x
5 2cos s n dx e x∫ x = ( )2 4 21 2s n s n s n cos dxe x e x e x x− +
5 2cos s n dx e x∫ x = 2 4 6s n cos d 2 s n cos d + s n cos de x x x e x x x e x x x−∫ ∫ ∫
41
Cálculo Integral
haciendo u = s n , d = cos de x u x x
5 2cos s n dx e x∫ x = 3 5 71 2 13 5 7
s n s n + s n + e x e x e x C−
23. Hallar: 7s n de x∫ x
Solución: ( ) ( )7 6 2 3 2 3s n s n s n = s n s n = 1 cos s ne x e x e x e x e x x e= − x
7s ne x ( )2 4 6= 1 3cos 3cos cos s nx x x e− + − x
x
x
7s n de x∫ = 2 4 6s n d 3 cos s n d + 3 cos s n d cos s n de x x x e x x x e x x x e x x− −∫ ∫ ∫ ∫
= 7s n de x∫ − 3 5 73 15 7
cos + cos cos + cos + x x x x− C
Cuando m y n son ambos pares, enteros y positivos, la expresión diferencial dada puede
transformarse por sustituciones trigonométricas, empleando las siguientes identidades
trigonométricas:
12
s n cos = s n 2e eθ θ θ
2 1 12 2
s n = - cos 2e θ θ
2 1 12 2
cos = + cos 2θ θ
24. Hallar: 2cos dx x∫
Solución: 2cos dx x∫ = 1 12 2
+ cos 2 dx x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 1 1
2 4 + s n 2 + x e x C
42
Cálculo Integral
25. Hallar: 4 4s n cos de x x x∫
Solución: ( ) ( ) (44 24 4 21 1
2 16s n cos = s n cos = s n 2 = s n 2e x x e x x e x e x)
( ) ( )24 4 21 1 1 1 1 1 1
16 2 2 16 4 2 4
s n cos = cos 4 = cos 4 cos 4 e x x x x x− − +
( )4 4 1 1 1 1 3 1 11 1 + 16 4 2 4 128 32 1282 2
s n cos = cos 4 cos 8 cos 4 + cos 8e x x x x x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
− + = −
4 4 3 1 1
128 32 128 s n cos d = d cos 4 d + cos 8 de x x x x x x x x−∫ ∫ ∫ ∫
= 4 4s n cos de x x x∫ 3 1 1128 128 1024
s n 4 + s n 8x e x e x C− +
Caso II. integrales de la forma: tan dn u u∫ o cot dn u u∫
Si n es un entero par o impar, las identidades trigonométricas pitagóricas siguientes son de
gran ayuda:
2 2 2 2sec tan = 1 y csc cot = 1θ θ θ θ− −
descomponiendo las expresiones diferenciales dadas como a continuación se indica:
( )2 2 2 2tan = tan tan = tan sec 1n n nu u u u u− − −
( )2 2 2 2cot = cot cot = cot sc 1n n nu u u u c u− − −
26. Hallar: 5tan dx x∫
Solución:
( ) ( )5 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2tan tan tan = tan sec 1 tan sec - tan = tan sec tan sec 1x x x x x x x x x x x x= − = − −
5tan dx x∫ = 3 2 2tan sec tan sec tan x x dx x x dx x dx− +∫ ∫ ∫
haciendo u = tan x, du = 2sec dx x
5tan dx x∫ = 4 21 14 2
tan - tan + ln sec + x x x C
43
Cálculo Integral
27. Hallar: 3cot dx x∫
Solución:
3 2 2 2cot cot cot x = cot x (csc 1) = cot x csc cot xx x x x= − −
3cot dx x∫ = 2cot csc d cot dx x x x x−∫ ∫
haciendo en la primera integral para aplicar las
formulas iv y xi respectivamente:
2cot ; d csc du x u x= = − x
3cot dx x∫ = 212
cot lnx sen x C− − +
Caso III. integrales de la forma: sec dn u u∫ o csc dn u u∫
Cuando n es número entero positivo par, las expresiones diferenciales dadas se descomponen
como a continuación se indica:
( )2
2 2 2 22sec sec sec tan 1 secn
n nu u u u−
−= = + u
( )2
2 2 2 22csc sc csc cot 1 scn
n nu c u u u c u−
−= = +
28. Hallar:
6 dsec x x∫Solución:
( )26 4 2 2 2 4 2 2 2 tan 1 sec tan sec 2 tan sec secsec x sec x sec x x x x x x x x= = + = + + 2
= 6 dsec x x∫ 4 2 2 2 2tan sec d 2 tan sec d sec dx x x x x x x x+ +∫ ∫ ∫
haciendo en la primera y segunda integral, empleando las 2tan ; d sec du x u x= = x
formulas iv y xvi:
= 6 dsec x x∫ 5 31 25 3
tan tan tanx x x C+ + +
44
Cálculo Integral
29. Hallar: 4 dcsc x x∫Solución: ( )4 2 2 2 2 2 2 cot 1 cot csc x csc x csc x x csc x x csc x csc x= = + = + 2
= 4 dcsc x x∫ 2 2 2cot csc d + dx x x csc x x∫ ∫ ;
haciendo para emplear las formulas iv en la primera
integral y xvii en la segunda:
2 ; d du ctg x u csc x x= = −
= 4 dcsc x x∫ 313
cot cotx x C− − +
Caso IV. integrales de la forma: tan d o cot c d m n m nu sec u u u sc u u∫ ∫
Si n es un número entero positivo par, se procede similarmente al caso III.
30. Hallar: 4 4tan sec dx x∫
Solución:
( )4 4 4 2 2 4 2 2 6 2tan x tan x tan x tan x+1 tan x sec x sec x sec x sec x sec x sec x= = = 2+
4 4tan sec dx x∫ = 6 2 2tan d + dx sec x x sec x x∫ ∫ = 717
tan tan x x C+ +
31. Hallar: 4 6cot dx csc x x∫
Solución:
( )24 6 4 2 2 8 2 6 2 4cot csc cot cot 1 csc cot 2cot cot 2x x x x x x csc x x csc x x csc x= + = + +
4 6 8 2 6 2 4 2cot d cot d 2 cot d cot dx csc x x x csc x x x csc x x x csc x x= + +∫ ∫ ∫ ∫
4 6 9 7 51 2 19 7 5
cot d - cot cot cotx csc x x x x x C= − −∫ +
45
Cálculo Integral
Si m es impar, se deben descomponer como se ilustra en el siguiente ejemplo:
32. Hallar: 5 4tan sec x x dx∫
Solución: ( )25 4 4 3 2 3tan sec tan sec tan sec sec 1 sec sec tan x x x x x x x x x= = − x
5 4 7 5 3tan sec sec sec tan - 2 sec sec tan sec sec tan x x dx x x x dx x x x dx x x x dx= +∫∫ ∫ ∫
haciendo u = sec x ; du = sec x tg x dx y empleando la formula iv:
5 4 8 6 41 1 18 3 4
tan sec sec - sec secx x dx x x x C= + +∫
C
1
2
3
4
5
6
7
Ejercicios tema 2.3.4
alcula las integrales siguientes:
. 2sen dx x∫
. 2sen a dx x∫
. 2cos dx x∫
. 2cos a dx x∫
. 3sen dx x∫
. 3sen 2 dθ θ∫
. 3cos dx x∫
8. 3cos 2 dθ θ∫
9. 4sen dx x∫
10. 4sen a dx x∫
11. 4cos dx x∫
12. 4cos a dx x∫
13. 5sen dx x∫
14. 5sen b dx x∫
46
Cálculo Integral
26. 2 3sen cos d2 2θ θ θ∫ 15. 6cos dx x∫
16. 6cos b dx x∫ 27. 3 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫
17. 2 2sen a cos a dx x x∫ 28. 3tan dθ θ∫
18. 2 2 2 2 sen cos dx x x∫ x 29. 5tan 3 dθ θ∫
19. 3 3sen cos dx x x∫ 30. 3 3tan sec d3 3θ θ θ∫
20. 3 3sen m cos m dt t∫ t 31. 6tan dθ θ∫
21. 4 4sen cos d2 2θ θ θ∫ 32. 4 4tan sec dπθ πθ θ∫
22. 4 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫ 33. ( )2tan + ctg dθ θ θ∫
23. 2 4sen 2 cos 2 dθ θ θ∫ 34. ( )2tan sec dθ θ θ+∫
24. 3 2sen cos dπθ πθ∫ θ
25. 4 2sen cos d2 2θ θ θ∫
2.3.5 Cálculo de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica.
El método de integrar por sustitución consiste en reemplazar la variable de integración, o una
expresión que la contenga, por otra variable o una función de otra variable. Mediante esta
sustitución se transforma el integrando propuesto en otro de más fácil realización.
En este capitulo trataremos particularmente tres sustituciones trigonométricas importantes:
47
Cálculo Integral
I. Cuando aparece 2a 2x− en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo:
a x
θ
2 2a x−
Y se sustituirá de la manera siguiente:
x = a sen θ
dx = a cos θ dθ
2a 2x− = a cos θ
Ejemplo: Hallar: 2
2
dx
4 - x
x∫
Solución: Tomando a = 2, tenemos:
x = 2 sen θ
dx = 2 cos θ dθ
24 x− = 2 cos θ
2
2
dx
4 - x
x∫
= ( )22s e n 2 cos d2 cos θ θ θ
θ∫ = 4 2s e n dθ θ∫ = 4 ( )1 1
2 4 sen 2θ θ−
2
2
dx
4 - x
x∫ = 2θ - sen 2θ ;
48
Cálculo Integral
Por medio de identidades trigonométricas, tenemos que sen 2θ = 2 sen θ cos θ , y en el
triángulo rectángulo se toma: 2
1 ,
2 24s e n = s e n , cos =
2x x xθ θ θ− −
= , quedando de la
manera siguiente:
2
2
dx
4 - x
x∫ = 2θ - 2 senθ cosθ = 2
1 42 - 2
2 22s e n
x xx− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
dx
4 - x
x∫ =2
1 4 2 -
2 2s e n x x x
C− −
+
II. Cuando aparece 2a 2x+ en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo:
2 2a x+ x
θ
a
Y se sustituirá de la manera siguiente:
x = a tan θ
dx = a s e 2c θ dθ
2 2a x+ = a sec θ
Ejemplo: Hallar: 2 2
d
16
x
x x+∫
Solución: Tomando a = 4, tenemos:
x = 4 tan θ
dx = 4 2s ec θ dθ
49
Cálculo Integral
216 x+ = 4 sec θ
2 2
d
16
x
x x+∫
= 2
24 sec
(4 tan ) 4secdθ θ
θ θ∫ = 2sec 16 tan
dθ θθ∫
2 2
d
16
x
x x+∫ = 1 1 116 16 16
cos = = cot csc tan sen tan sen cos
d
d dθ
θθ θ θ θθ θ θ θθ
∫ ∫ ∫
2 2
d
16
x
x x+∫ = 1
16csc θ− ; del triángulo rectángulo, se tiene que: csc θ =
216 xx+
2 2
d
16
x
x x+∫ = ( )2
116
16 x Cx+
− +
III. Cuando aparece 2 ax − 2 en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo:
x 2 2ax −
θ
a
Se sustituye:
x = a sec θ
dx = a sec θ tan θ dθ
2 ax − 2 = a tan θ
Ejemplo: Hallar: 3
2
d
25
x x
x −∫
Solución: Tomando a = 5, tenemos:
x = 5 sec θ
dx = 5 s ec tan θ θ dθ
50
Cálculo Integral
2 25 5 tan x θ− =
( )333
2
5 sec 5 sec tan dd 125 s ec sec d5 tg 25
x x
x
θ θ θ θθ θ θ
θ−= =∫ ∫ ∫
( )3
2 2 2 2 2
2
d 125 s ec 1+ tan d = 125 s ec d + 125 tan s ec d 25
x x
xθ θ θ θ θ θ θ θ
−=∫ ∫ ∫ ∫
33
2
d 125125 tan tan325
x x Cx
θ θ+ +−
=∫ , pero 2 25tan = 5
xθ − ;
33 2 2
2
d 25 125 25125 5 3 525
x x x x
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=∫
( )3 32 2
2
13
d 25 25 2525
x x x x Cx
− + − +−
=∫
C
1
2
3
4
5
6
Ejercicios tema 2.3.5
alcula las integrales siguientes:
. 2 21 dx x x−∫
. 2 29 dx x x−∫
. 3 24 dx x x−∫
. 3 25 2 dx x x−∫
. 3 24 25 dx x x−∫
. 3 2 16 dx x x−∫
7. 3 24 dx x x+∫
8. 3 216 5 dx x x+∫
9. 23 dx x
x−∫
10. 25 dx x
x−∫
11. 24 9 dx xx−∫
51
Cálculo Integral
12. 2 25 dx x
x−∫
13. 2 16 dx x
x+∫
14. 2 5 dx x
x+∫
15. 2
216 dx x
x−∫
16. 2
24 9 dx x
x−∫
17. 2
24 9 dx x
x−∫
18. 2
22 5 dx x
x−∫
19. 2
29 dx x
x+∫
20. 2
23 5 dx x
x+∫
21. 2
d
16
x
x x−∫
22. 2
d
25
x
x x−∫
23. 2
d
3
x
x x+∫
24. 2
d
4 9
x
x x −∫
25. 2
2
d
25
x x
x−∫
26. 2
2
d
16 3
x x
x−∫
27. 2
2
d
6
x x
x −∫
28. 2
2
d
9 4
x x
x −∫
29. 2
2
d
5
x x
x+∫
30. 2
2
d
9
x x
x +∫
31. 2 2
d
5
x
x x−∫
32. 2 2
d
7 4
x
x x−∫
33. 2 2
d
4
x
x x −∫
34. 2 2
d
4 9
x
x x −∫
35. 2 2
d
9 2
x
x x + 5∫
36. 2 2
d
25 16
x
x x +∫
37. 3
2
d
4
x x
x−∫
52
Cálculo Integral
38. 3
2
d
9 4
x x
x−∫
39. 3
2
d
4 7
x x
x −∫
40. 3
2
d
9
x x
x −∫
41. 3
2
d
4 1
x x
x +∫
42. 3
2 2
d
a
x x
x +∫
43. 3 2
d
5
x
x x−∫
44. 3 2
d
7 4
x
x x−∫
45. 3 2
d
4
x
x x −∫
46. 3 2
d
4 9
x
x x −∫
47. 3 2
d
9 2
x
x x +∫ 5
48. 3 2
d
25 16
x
x x +∫
49. ( )3
2 2 2a dx x−∫
50. ( )3
2 24 dx x+∫
51. ( )3
3 2 29 4 dx x x−∫
52. ( )3
3 2 28 dx x x+∫
53. ( )
32 2
d
5
x
x−∫
54. ( )
32 2
d
25
x
x−∫
55. ( )
32 2
d
1
x
x −∫
56. ( )
32 2
d
3
x
x −∫
57. ( )
32 2
d
3
x
x +∫
58. ( )
32 2
d
2
x
x +∫
59. ( )
2
32 2
d
3
x x
x−∫
60. ( )
2
32 2
d
4
x x
x−∫
61. ( )
2
32 2
d
8
x x
x +∫
62. ( )
2
32 2
d
2
x x
x +∫
53
Cálculo Integral
63. ( )
2
32 2
d
1
x x
x −∫ 67.
( )2
52 2
d
8
x x
x +∫
64. ( )
2
32 2
d
3
x x
x −∫ 68.
( )2
52 2
d
2
x x
x +∫
65. ( )
2
52 2
d
3
x x
x−∫ 69.
( )2
52 2
d
1
x x
x −∫
66. ( )
2
52 2
d
4
x x
x−∫ 70.
( )2
52 2
d
3
x x
x −∫
2.3.6 Cálculo de integrales indefinidas por fracciones parciales.
Es posible escribir cualquier expresión racional ( )( )
fg
xx
como una suma de fracciones cuyos
denominadores son potencias de polinomios de grado no mayor que dos;
( )( )
fg
xx
= F1 + F2 + …+ Fk
donde a cada Fi se le denomina fracción parcial de ( )( )
fg
xx
, y tiene una de las dos formas
siguientes:
( ) ( )m n2
A C o p q a b c
xx x x+ + +
+ D
donde m y n son enteros positivos y ax2 + bx + c es una expresión cuadrática sin raíces reales,
es decir, b2 – 4ac < 0.
Para descomponer una expresión racional ( )( )
fg
xx
en fracciones parciales es necesario que f(x)
tenga grado menor que g(x). Si no es así, se deberán dividir algebraicamente las expresiones
hasta conseguir tal situación, después se representa el denominador g(x) como un producto de
54
Cálculo Integral
factores de la forma px + q ó expresiones cuadráticas irreducibles de la forma ax2 + bx + c;
después agrupamos los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un
producto de factores distintos de la forma ( px + q )m ó ( ax2 + bx + c )n donde m y n son
enteros positivos, y aplicamos lo siguiente:
Caso I. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite.
Para cada factor de la forma ( Ax B)+ , la expresión racional ( )( )
fg
xx
se descompone de la
siguiente manera:
( )( ) 1 1 2 2
. . .n n
f x A B CA x B A x B A x Bg x +
= + + ++ +
Ejemplo: Hallar: ( )3 2
3 d6 5
x xx x x
+− +∫
Solución: ( ) ( )( )( )3 2
3 d 3 d5 16 5
x x xx x xx x x
+ +=
x− −− +∫ ∫
( )( )( )
3 A B C 5 1 5
x1x x x x x x
+= + +
− − − −, donde A, B y C son constantes por determinar:
Multiplicando por , obtenemos: ( )(5x x x− − )1
x + 3 = A ( x – 5 )(x – 1 ) + B x ( x – 1 ) + C x ( x – 5)
x + 3 = ( A + B + C) x2 + ( -6A – B – 5C) x + 5A
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
obtenemos tres ecuaciones simultáneas:
A + B + C = 0 -6A – B – 5C = 1
5A = 3 resolviendo el sistema, obtenemos:
A = 35
, B = 25
, C = - 1
55
Cálculo Integral
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
( ) ( )( )( )3 2
3 25 53 d 3 d A B C -1d d
5 1 5 1 5 16 5 x x x x
x xx x x x x x x x xx x x
+ + ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − − −− + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=∫ ∫ ∫ ∫ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
5 5
3 23 25 5
3 d 5 ln ln 5 ln 1 ln
16 5 x x x x
x x x Cx
Cx x x
+ −= + − − − + = +
−− +∫
Caso II. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.
Para cada factor de la forma ( px + q )m donde m 1, la expresión racional ≥ ( )( )
fg
xx
se
descompone de la siguiente manera:
( )( ) ( ) ( )
1 2m 1
f A A . . .g pp q p q m
xx xx x −= + + +
mAq++ +
donde cada Ai es un número real.
Ejemplo: Hallar: ( )
2
3( 1 )d
2x xx
+
−∫
Solución: ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 2( 1 ) A B C
22 2 2x
xx x x+
= + +−− − −
multiplicando por ( )32x −
obtenemos: x2 + 1 = A + B ( x – 2 ) + C ( x – 2 )2
x2 + 1 = C x2 + ( B - 4C ) x +A-2B + 4C
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
obtenemos tres ecuaciones simultáneas:
C = 1 B – 4C = 0
A -2B + 4C = 1
Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5, B = 4, C = 1
56
Cálculo Integral
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )2
3 3 2( 1 ) d A B C
22 2 2 x x dx
xx x x
⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟
⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
3 3 2( 1 ) d 5 4 1 d
22 2 2 x x x
xx x x
⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟
⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
3 2( 1 ) d -5 4 ln 2
22 2 2 x x x C
xx x+
= − + −−− −∫ +
Caso III. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y ninguno se repite.
Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c ), la expresión racional ( )( )
fg
xx
se descompone de la
siguiente manera:
( )( )
1 1 2 + 2 n n2 2 2
1 1 1 2 2 2 n n. . .
f A x+B A x B A x+Ba b c a b c a b cg
xx x x x x xx
= + + ++ + + n+ + +
donde cada i, Ai y B i son números reales
Ejemplo: Hallar: 3d
1x
x +∫
Solución: ( )( )3 22
1 1 A B x+11 11 1
x Cx x xx x x
+= = +
+ −+ − + +
( )( )2multiplicando por 1 1x x x+ − +
1 = A ( 2 1x x− + ) + ( Bx + C )( x + 1)
1 = ( A + B ) 2x + ( B – A + C ) x + ( A + C )
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
obtenemos tres ecuaciones simultáneas:
57
Cálculo Integral
A + B = 0 -A + B + C = 0 A + C = 1 resolviendo el sistema, obtenemos: A = 1
3, B = 1
3
− , C = 23
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
3 2
-1 21 3 33 dd dx+11 1
x xx xx x x
+= +
+ −∫ ∫ ∫ +
( ) ( )2 13
1 1 1 l l
3 6 2 3d 2 n x+1 n 1 tan
1 3 x x 1x x C
x− −
= − − + ++∫ +
( )
( )
13
13 1
2 6
12 3
x+1d 2 ln tan 1 31 x x C
x x x
− −= +
+ − +∫ 1
+
Caso IV. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten.
Para cada factor de la forma (ax2 + bx + c )n donde n 1 y ax≥ 2 + bx + c es una expresión
cuadrática irreducible, la expresión racional ( )( )
fg
xx
se descompone de la siguiente manera:
( )( ) ( ) ( )
1 1 2 + 2 n nn 1 22 2
. . .f A x+B A x B A x+B
a b cg a b c a b cn
xx xx x x x x
−= + + +++ + ++ +
donde cada i, Ai y B i son números reales.
Ejemplo: Hallar: ( )
( )
3
22
3 d
1
x x x
x
+
+∫
Solución: ( )( ) ( ) ( )
3
2 2 22 2
3 A B C D 11 1
x x x xxx x
+ + += +
++ +, multiplicando por: ( )
22 1x +
3 3x x+ = ( )A Bx + + ( )( )2C D 1x x+ +
3 3x x+ = Cx3 + Dx2 + ( A + C )x + ( B + D )
58
Cálculo Integral
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas:
C = 1 D = 0
A + C = 3 B + D = 0
Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3, B = 0, C = 1, D = 0
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
( )
( )
3
22
3 d
1
x x x
x
+
+∫ = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2
A B C D 3 d d 1 11 1
x x x xx xx x
x x+ ++ = +
+ ++ +∫ ∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )3
2 22 2 22
3 d 3 1 3 ln 1 ln 1 22 1 2 11
x x xx x C
x xx
+ −+ + = + − +
+ ++=∫
C
1
2
3
4
5
6
Ejercicios tema 2.3.6
alcula las integrales siguientes:
. 2d2 3x
x x+ −∫
. 2d2 15x
x x+ −∫
. 2d6 5x
x x− +∫
. 2d
4 12x
5x x− +∫
. 2d
2 5x
4x x+ +∫
. 2d
4 6 1x
0x x+ +∫
7. 2d
6 9 15x
x x− +∫
8. 2d
21 4xx x− −∫
9. 2d
3x
x x+∫
10. 2d
2 6x
x x−∫
11. 3d
4x
x x−∫
12. ( )2
d4
xx x −∫
59
Cálculo Integral
13. ( )( )
2
2
d2 3 4 1
x xx x+ −∫
14. 3
2 d4 3
x xx x− +∫
15. 4
2 d
1x xx −∫
16. ( )( )( )
1 d3 2
x xx x
−− +∫
17. ( )2
1 d2 6 9
x xx x
++ +∫
18. ( )2
5 d6
x xx x
++ −∫
19. ( )2
7 d2 8
x xx x
++ −∫
20. ( )3 2
3 d6 8
x xx x x
−+ +∫
21. ( )2
2 3 d30
x xx x
++ −∫
22. ( )2
3 2 dx xx x+
+∫
23. ( )( )( )( )
3 7 d1 2
x xx x x
++ + +∫ 3
24. ( )
( )2
4 2 d
2 1
x x
x x
+⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
25. ( )
( )2
2
1 d
4
x x
x x
+
−∫
26. ( )
( )
2 1 d
2 5
x x
x x
+
−∫
27. ( )2
3
1 dx x
x x
+
−∫
28. ( )2
3
5 3 dx x
x x
−
−∫
29. ( )2
3
5 9 d
9
x x
x x
−
−∫
30. ( )
( )4
2
1 d
1
x x
x x
+
−∫
31. ( )( )( )
4 3
2
3 d
2 1
x x x
x x
−
− −∫
32. ( )2
3
6 8 d
4
x x x
x x
+ −
−∫
33. ( )2
2
3 d
6
x x x
x x
+ −
+ −∫
34. ( )2 1 d
2 7 10
x x x
x x
+ +
− +∫
35. ( )2
3 2
2 d
2 3
x x x
x x x
+ +
+ −∫
36. ( )
( )( )( )
2 1 d
1 2 3
x x x
x x x
+ +
− − −∫
37. ( )
( )( )( )
2 2 3 d
1 2 3
x x x
x x x
− +
+ − −∫
60
Cálculo Integral
38. ( )
( )( )( )
2 17 22 d
1 2 3
x x x
x x x
− +
− + −∫
39. ( )
( )( )( )
3 1 d
1 2 3
x x x
x x x x
+ +
− − −∫
40. ( )
( )( )2
2
3 11 2 d
3 1
x x x
x x
+ +
+ −∫
41. ( )2
d1
xx x −∫
42. ( )2d
1x
x x +∫
43. ( )2
d2 1x
x x x+ +∫
44. ( )2 2
d2 1
xx x x− +∫
45. ( )2 2
d4
xx x −∫
46. ( )( )2
d2 1
xx x− +∫
47. ( )
2
3 d1
x xx −∫
48. ( )
3
2 d3
x xx +∫
49. ( )
3
4 d1
x xx +∫
50. ( )( )22
+1 d1
x xx x −∫
51. 3 4dx
x x+∫
52. 2
2
3 d4 5
x xx x
+⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫
53. ( )4 3
2 d2 2
x xx x x
++ +∫
54. ( )3 2
8 d4 4
x xx x x
−− +∫
55. ( )( )( )2
3 +4 d6 2x x
x x− +∫
56. ( )( )2
3 +4 d4
x xx x −∫
57. ( )( )
2
2
+1 d
2
x x
x +∫
58. ( )
( )
2
3
4 d
1
x x
x
−
+∫
59. ( )
( )
2
3
2 1 d
2
x x
x
+
−∫
60. ( )
( )
2
2
3 6 d
2 1
x x x
x
+
+∫
61. ( )( )( )
2
2
3 5 d
1 1
x x x
x x
+
− +∫
61
Cálculo Integral
62. ( )
( )
2
3
3 2 d
2
x x
x
−
+∫
63. ( )
( )
3
3
1 d
1
x x
x x
+
−∫
64. ( )5
4 3
2 d
2
x x
x x
−
−∫
65. ( )( )( )
2
2
1 2 d
3 1
x x x
x x
− −
− −∫
66. ( )( )( )
2
2
3 3 5 d
3 3
x x x
x x
− +
+ −∫
67. ( )
( )( )
2
2
5 14 10 d
2 1
x x x
x x
+ +
+ +∫
68. ( )( )( )
2
2
24 10 5 d
2 1 2 1
x x x
x x
+ +
− +∫
69. ( )3
4 3
2 4 d
2
x x x
x x
− −
+∫
70. ( )
( )( )
3 2
3
4 2 1 d
2 1
x x x x
x x
− + +
− +∫
71. 3d
1x
x −∫
72. 3d
8x
x +∫
73. 3d
8x
x −∫
74. 4d
1x
x −∫
75. 4d
16x
x −∫
76. 4 2dx
x x+∫
77. 4 2d
9x
x x+∫
78. ( )( )2
d1 1
xx x− +∫
79. ( )2
d1
xx x +∫
80. ( )( )2
d1 1
xx x+ +∫
81. ( )( )2 2
d1
xx x x+ +∫
82. ( )( )2
d4 1x x
x x+ −∫
83. 4 2 d3 4
x xx x+ −∫
84. ( )( )
2
2
d2 3 9
x xx x+ +∫
85. 3
2d
1x x
x x+ +∫
86. ( )( )( )2
+3 d1 1
x xx x+ +∫
62
Cálculo Integral
87. ( )2
+4 d
4
x x
x x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
88. ( )3
18 d4 9x x
x x−
+∫
89. ( )( )2
2 1 d1
x xx x
+
+∫
90. ( )( )2
5 12 d4
x xx x
+
+∫
91. ( )
( )( )2
2
d
1 1
x x x
x x
+
− +∫
92. ( )
( )( )2
2
4 3 d
2 2
x x
x x x
−
− + +∫ 5
93. ( )2
3
4 6 d
3
x x
x x
+
+∫
94. ( )
( ) ( )3
2 2
1 d
1 1
x x
x x
+
− +∫
95. ( )3
3
1 dx x
x x
−
+∫
96. ( )4
3
1 dx x
x x
+
+∫
97. ( )
( )( )4
2
3 d
1 1
x x
x x
+
+ +∫
98. ( )
( )( )2
2
8 d
2 3 2 2
x x x
x x x
− −
− + +∫
99. ( )
( )( )2
2
9 29 d
4 2 3
x x x
x x x
+ +
− + +∫
100. ( )( )( )
2
2
2 8 8 d
2 4
x x x
x x
− −
− +∫
101. ( )
( )( )2
2
2 3 2 d
2 2 2
x x x
x x x
+ +
+ + +∫
102. ( )3 2
4 2
2 2 2
3 2
dx x x x
x x
+ + +
+ +∫
103. ( )
( )2 3
2 2
15 5 10 d
5
x x x x
x x
− + −
+∫
104. ( )3 2
2
2 8 3
4
dx x x x
x
− + −
+∫
105. ( )( )( )
3
3
3 3 6 d
1 1
x x x
x x
+ −
+ +∫
106. ( )3
4 2
3 3 1 d
3
x x x
x x
+ +
+∫
107. ( )22
d
1
x
x x +∫
108. ( )2 2
d1
xx x +∫
109. ( )( )22
d1 1
xx x+ +∫
110. ( )
5
22
d
4
x x
x +∫
63
Cálculo Integral
111. ( )
( )
3
22
3 d
1
x x x
x
+
+∫ 114. ( )( )
3
22
d
2
x x x
x
+
+∫
112. ( )
( )
5 3
32
4 d
2
x x x
x
+
+∫ 115. ( )
( )
3 2
22
4 3 18 12 d
4
x x x
x
+ + +
+∫x
113. ( )
( )
2
22
4 2 8 d
2
x x x
x x
+ +
+∫
64
Cálculo Integral
INTEGRAL DEFINIDA
Definición de integral definida.
Propiedades de la integral definida.
Teorema fundamental del cálculo.
Cálculo de integrales definidas.
65
Cálculo Integral
66
CAPITULO III
INTEGRAL DEFINIDA
3.1 Definición de integral definida.
Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ ],a b . La integral definida de f desde a
hasta b denotada por ( ) db
af x x∫ , está dada por:
( ) ( )0
d lim i iP i
b
af x x f w x
→= ∆∑∫
siempre que el límite exista.
La expresión ( )' db
af x x∫ se conoce como la integral definida de f desde a hasta b, el proceso
de hallar c en la expresión anterior, se llama calcular la integral definida, el símbolo ∫ se llama
signo integral y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y las sumas de
Riemann1. A los números a y b se les llama límites de integración; a es el límite inferior y b el
límite superior, en estos casos la palabra límite se refiere a los números mínimo y máximo del
intervalo [ ],a b y no tiene relación con los límites en cálculo diferencial, la expresión ( )f x se
llama integrando y el signo dx, únicamente indica la variable, no debe confundirse con la
diferencial de x definida en el capitulo 1.
( ) ( )' d = - ' db a
a bf x x f x x∫ ∫
Siempre que se use un intervalo [ ],a b se considera que < , pero en aquellos casos en los
que se tenga que b > , es decir, cuando el límite inferior es mayor que el límite superior,
entonces:
a b
a
Cálculo Integral
1.- Si el alumno desea profundizar el estudio de las sumas de Riemann, se sugiere consultar SWOKOWSKI, Earl
W. Calculo con geometría analítica. Páginas 227-230.
( )' d = 0b
af x x∫
Asimismo, cuando se tenga que , es decir, cuando el límite inferior sea igual al límite
superior, tendremos:
= a b
3.2 Propiedades de la integral definida
A continuación se presentan las propiedades de la integral definida únicamente de manera
informativa, es decir, sin ocuparnos de la demostración de las mismas por considerar que éstas
se encuentran fuera de los propósitos del presente.
1. Si k es cualquier constante, entonces:
( ) d b
ak x k b a= −∫
2. Si f es integrable en [ ],a b y si k es cualquier constante, entonces:
( ) ( ) d dbb
a ak f x x k f x x=∫ ∫
3. Si f y g son integrables en [ ],a b , entonces f ± g en [ ],a b .
( ) ( ) ( ) ( ) d = d db b
a a
b
af x g x x f x x g x+⎡ ⎤⎣ ⎦ x+∫ ∫ ∫
4. Si f es integrable en [ ] [ ] [ ], , , , ,a b a c y c b donde < c < a b
( ) ( ) ( ) d = d db c b
a a cf x x f x x f x x+∫ ∫ ∫
5. Si f y g son integrables en [ ],a b y si ( )f x ≥ ( )g x para toda x en [ ],a b , entonces:
( ) db
af x x∫ ≥ ( ) d
b
ag x x∫
67
Cálculo Integral
6. Si f es continua en [ ],a b . Si m y M son, respectivamente, los valores mínimo absoluto y
máximo absoluto de f en [ ],a b de tal forma que: ( ) para ,m f x M a x b≤ ≤ ≤ ≤ entonces:
( ) ( ) ( )b
a d m b a f x x M b a− ≤ ≤ −∫
3.3 Teorema fundamental del cálculo.
Históricamente, los conceptos básicos de la integral definida fueron empleados por los
antiguos griegos, principalmente por Arquímedes (287-212 a. C.), hace más de 2000 años, es
decir, mucho antes de que se descubriera el cálculo diferencial.
En el siglo XVII, casi simultáneamente, pero trabajando en forma independiente, en
Inglaterra; Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en Alemania,
descubrieron el Teorema Fundamental del Cálculo, denominado así por su importancia en la
evaluación de integrales definidas y sobre todo por mostrar la conexión entre el cálculo
diferencial y el cálculo integral. Es principalmente por este descubrimiento que se les atribuye
a estos sobresalientes matemáticos la invención del cálculo.
Así, el Teorema Fundamental del Cálculo se define de la siguiente manera:
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ ],a b , entonces:
( ) ( ) ( ) ' db
af x x f b f a= −∫
siendo f la integral de la expresión diferencial ( )' df x x
3.4 Cálculo de integrales definidas
Para el cálculo de integrales definidas se puede proceder de la siguiente manera:
a) Se integra la expresión diferencial dada.
b) Se reemplaza la variable en esta integral indefinida primero por el límite superior,
después por el límite inferior y se resta el segundo resultado del primero.
Es decir:
68
Cálculo Integral
( ) ( ) ( ) ( ) ' d = b b
aaf x x f x f b f a= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫
Ejemplos ilustrativos:
1. Hallar: ( ) ( )3 3 32 31 1
3 31
3
1
8 d = 3 1 3
x x x ⎡ ⎤⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
2. Hallar: [ ]1 1 1 2 2 200
sen 2 d = cos 2 cos 2 cos 0 2 = 1x x xππ
π ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− = − − = − −⎣ ⎦∫
3. Hallar: 31 1 11 1
2 3 3 30
3
0
d = tan tan 1 tan 0 129
xxx
π− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+∫ =
4. Hallar: 21 1 1
-1
1
1
1 d = x x ee x e e ee
−
−
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
Ejercicios tema 3.4.1Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:
1. 2
12 d x x∫
2. ( )3
23 +1 d x x∫
3. ( )2
11 d x x−∫
4. 28
04 d
16x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
5. ( )25
17 5 d x x x− −∫
6. ( )2 2 d a
aa x x
−−∫
7. ( )23
26 d x x x
−+ −∫
8. ( )24
08 d x x x−∫
9. ( )26
33 d x x−∫
10. 32
0d x x∫
11.6
2
dxx∫
12.4
2
d1
xx −∫
13. 22
1
d2
x xx− +∫
14. 32
0
d1
x xx +∫
69
Cálculo Integral
15. -
1
23
d 1
x
x+∫
16. 2
3
2
2 d 1
x xx+∫
17. 2 2
40
d 64
x xx+∫
18. 1
22
d 4 13x
x x− + +∫
19. 22
5 d2 3
xx x− −∫
20. ( )
3
240
2 d
16
x x
x +∫
21. ( )2
0
4
2 d x x x+∫
22. 2
0
1
25-16x d x∫
23. 2
0
3
x 16 d x+∫
24. 0
16 4
x dxx −∫
25. 2
sen dx xπ
π−∫
26. 0
2-3sen d2x x
π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫
27. 4 2
0se n 2 d
π
θ θ∫
28. 2 3
6
se n dπ
πθ θ∫
29. 2
2
cos dπ
πθ θ
−∫
30. 0
2 cos dπ θ θ
θ∫
31. 22
0cos d
π
θ θ∫
32. 34
0cos 2 d
π
θ θ∫
33. 3
0tan d
π
θ θ∫
34. 24
4
tan dπ
πθ θ
−∫
35. 32
4
cot dπ
πθ θ∫
36. 24
4
sec dπ
πθ θ
−∫
37. 2
0se n cos d
π
θ θ θ∫
38. 22 20
se n cos dθ θπ
θ∫
39. 1
4 -1
0se n 2 dx x∫
40. 1
2 -1
12
se n dx x x−∫
41. 2
0se n dx x x
π
∫
42. 2 2
0se n dx x x
π
∫
70
Cálculo Integral
49. 1
0 dxx e x∫ 43.
4 2
0 se n 2 dx x x
π
∫
50. 6
0cos 2 dxe x
π− x∫ 44.
4 2
4
cos 1+sen dπ
πθ θ θ
−∫
51. 4
1ln dx x∫ 45.
4 2
0sec 3 + tg d
π
θ θ θ∫
52, 1
ln de x xx∫ 46.
13
0 dxe x−∫
53. 1
1 ln de x xx
+∫ 47. 3ln2
0
d
1
x
x
e x
e+∫
54. ( )2
6
ln sen cos dx x xπ
π∫ 48.
ln3
0
d1
x
xe xe +∫
71
Cálculo Integral
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Longitud de curvas.
Cálculo de áreas.
Áreas entre curvas.
Sólidos de revolución.
Cálculo de volúmenes por el método de los discos.
Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
72
Cálculo Integral
CAPITULO IV
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
4.1 Longitud de curvas.
Para determinar la longitud de una recta, basta con determinar el número de veces que cabe en
ella una unidad de longitud tomada como medida. Sin embargo, para determinar la longitud de
una curva es imposible hacer que sobre ella coincida una unidad de longitud tomada como
medida; es decir, no podemos medir las líneas curvas de la misma manera que las rectas.
Para determinar la longitud de una curva, se divide el arco de la curva en cualquier número de
partes y unimos los puntos sucesivos de división formando una poligonal. Así, definimos la
longitud de un arco de curva como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el
número de los puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados
tiende a cero. Hallar la longitud de una curva se le llama también “rectificar la curva”.
Para obtener la longitud de una curva ( )y f x= , comprendida entre dos puntos de abscisas
y x a y= b= , se aplicará la siguiente fórmula:
( ) 21 ' db
a
b
af x xL = + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫
Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva 26y x= ; en el intervalo [ ]0, 4
Solución: ( ) 216
f x x=
( ) 13
' f x x=
2 24 4 4 42 24 9
0 93 90 0 0 0
11 d 1 d = d 9 d3
xx xx x xL +⎡ ⎤= + = + = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ x x
73
Cálculo Integral
( )4
2 240
0
1 x 9
3 2 220 + 9 ln 3 9 ln 9 4.98
6x x xL ⎡ ⎤= + + + + = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦
Ejemplo 2: Hallar la longitud de la circunferencia 2 2 25x y+ =
Solución: Despejando ( ) 225f x x= − ;
( )2
'25
xf xx
−=
−;
Tomando el arco correspondiente a un cuarto de la circunferencia,
2 25 5 550 2 22 20 0 0
25 5d1 d = 1 d = d = 25 2525 25
5
0
x x xx x xLx xx x
⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥
− −− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
1 1 150
5
5 0
55 se n 5 se n 1 5 se n 0 = 2
xL
π− − −⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
5Longitud de la circunferencia 4 = 102π π⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejercicios tema 4.1.11. Hallar la longitud de la curva 2y x= ; en el intervalo [ ]0, 2
2. Hallar la longitud de la curva 22y x= ; en el intervalo [ ]0,1
3. Hallar la longitud del arco de la parábola 24y x= ; del vértice a un extremo del lado recto
4. Hallar la longitud de la curva 2 2 2x y 0+ + = ; entre los puntos ( ) ( )2, 2 ; 0,1− −
x
5. Hallar la longitud de la curva 2 4y = ; en el intervalo [ ]0,3
6. Hallar la longitud del arco de circunferencia 2 2 25x y+ = ; en el intervalo [ ]3, 4
7. Hallar la longitud de la curva ( 223y x x )1= − ; en el intervalo [ ]0,1
74
Cálculo Integral
75
8. Hallar la longitud de la curva 18 ; en el intervalo ( 22 )6y x x= − [ ]0,6
9. Hallar la longitud de la curva 3
2y x= ; en el intervalo [ ]0, 4
10. Hallar la longitud de la curva 2y x3= ; en el intervalo [ ]0,8
11. Hallar la longitud de la curva 2ay x3= ; en el intervalo [ ]0,5a
12. Hallar la longitud de la curva ; del punto 29 4y = 3x ( )0,0 al punto ( )3,2 3
)
13. Hallar la longitud de la curva ; en el intervalo ( 32 2y x= − [ ]2,6
14. Hallar la longitud de la curva ( 32 2 1y x )= − ; en el intervalo [ ]0,5
4.2 Cálculo de áreas.
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [ ],a b y ( ) 0f x ≥ para todo x en [ ],a b ,
entonces el área limitada por el eje x, la grafica de f y las abscisas y x a y= b= , viene dada
por: ( )a
A = b
f x dx∫
Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje de las x y las ordenadas
. 2 y 3x x= − =
Solución: En la figura se muestra el área a determinar;
x=-2 x=3
5
X
Y
2y x=
Cálculo Integral
( )33 2 31 27 8
3 3 32 2A= dx x x
− −⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∫ 35
3=
Algunas veces es necesario encontrar el área de una región acotada por las gráficas de
y la de una ecuación de la forma c y dy y= = ( )x f y= , donde f es continua para todo y en [ ]c,d .
En este caso, por la forma de la grafica es necesario cambiar la variable de integración de la
siguiente manera:
( )A = d
cf y dy∫
Ejemplo 2: Hallar el área limitada por la parábola 2x y= , el eje de las y y las abscisas
. 3 y 1y x= − =
Solución:
y=-3
y=1
5 X
Y 2x y=
( )1 1
2 31 1 27 283 3 333
A= y dy x−−
⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∫ 3=
4.3 Áreas entre curvas.
Si f y g son continuas en [ ]a,b y ( ) ( )f x g x≥ para todo x en [ ]a,b . Entonces el área A de la
región acotada por las gráficas de f, g, a y bx x= = , está dado por:
76
Cálculo Integral
( ) ( )b
aA f x g x= − dx⎡ ⎤⎣ ⎦∫
Ejemplo 3. Hallar el área limitada por la parábola 21y x= − y la recta . 1y x= −
(1,0)
X
Y
(-2,-3)
1y x= −
21y x= −
Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de
intersección son: ( ) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. (2, 3 1,0y− − )
( ) ( )1 1 12 2 21 1
2 3 22 2
9 1 ( 1) 2 2 2A x x dx x x dx x x x−− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤3∴ = − − − = − − = − − =⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫
Ejemplo 4. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 ; 16y x y x= = .
774
5
X
Y(4,8)
2 16y x=
22y x=
Cálculo Integral
Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de
intersección son: ( ) siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. ( )0,0 4,8 ,y
( )4 2
0
32 16 ( ) 2 3xA x dx⎡ ⎤∴ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ =
Se sugiere como ejercicio para el alumno, realizar este mismo problema cambiando la variable de
integración, ( )A = d
cf y dy∫ usando como límites para la integral las ordenadas de los puntos de
intersección.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ejercicios tema 4.3.1
. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje X y las rectas 1; 4.x x= =
. Hallar el área limitada por la parábola 2 4y x x= + , el eje X y las rectas 4; 2.x x= − = −
. Hallar el área limitada por la parábola 1 22y x x= + , el eje X y las rectas 1; 4.x x= =
. Hallar el área limitada por la parábola 29y x= − , el eje X y las rectas 0; 3.x x= =
. Hallar el área limitada por la parábola 24y x x= − , el eje X y las rectas 1; 3.x x= =
. Hallar el área limitada por la parábola 25y x x= − , el eje X y las rectas 0; 4.x x= =
. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje Y y las rectas 1; y 4.y = =
. Hallar el área limitada por la parábola 24y x= − , el eje Y y las rectas 0; y 3.y = =
. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= , el eje Y y las rectas 1; y 4.y = =
78
Cálculo Integral
10. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje Y y las rectas 1; y 8.y = =
11. Hallar el área limitada por la parábola 2 1y x x= + + , el eje X y las rectas 2; x 3.x = =
12. Hallar el área limitada por la parábola 2 2y x x 2= − + , el eje X y las rectas 1; x 3.x = − =
13. Hallar el área limitada por la parábola 2 8 1y x x 5= − + , el eje X y las rectas 2; x 5.x = =
14. Hallar el área limitada por la parábola 22 4y x x 7= − + , el eje X y las rectas 1; x 2.x = − =
15. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje Y y la recta y 8.=
16. Hallar el área limitada por la curva 33y x= , el eje X y las rectas 2; x 3.x = − =
17. Hallar el área limitada por la curva 3y x= , el eje X y las rectas 0; x 4.x = =
18. Hallar el área limitada por la curva 3 8y x x= − , el eje X y las rectas 0; x 2.x = =
19. Hallar el área limitada por la curva 39y x x= − , el eje X y las rectas 3; x 3.x = − =
20. Hallar el área limitada por la curva 3 23 2y x x x= + + , el eje X y las rectas 3; x 3.x = − =
21. Hallar el área limitada por la parábola 2y x= y la recta 2 3 0.x y− + =
22. Hallar el área limitada por la parábola y la recta 232 5y x= 4 5 80.y x= +
23. Hallar el área limitada por la parábola y la recta 16232 5y x= 5 20.y x− =
24. Hallar el área limitada por la parábola 2
4xy = y la recta 3 2 4 0.x y− − =
25. Hallar el área limitada por la parábola 2 2x y= + y y la recta 2 0.x y+ =
26. Hallar el área limitada por la parábola 2 4x y= − y la recta 0.x =
27. Hallar el área limitada por la parábola 2 3x y y= + y la recta 3 .x y= +
28. Hallar el área limitada por la parábola 2 1y x= + y la recta 1.x y+ =
29. Hallar el área limitada por la parábola 24y x= − y la recta 4 4 .y x= −
30. Hallar el área limitada por la hipérbola 2 24x y 4− = y la recta 6.x =
79
Cálculo Integral
31. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva 3y x= y la recta 4 .y x=
32. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva 3 3y x x= − y la recta .y x=
33. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 1 ; y x y x 5= + = + .
34. Hallar el área limitada por las parábolas 2 29 ; y x y x= − = .
35. Hallar el área limitada por las parábolas 2 25 ; 2 5y x x y x x= − = − .
36. Hallar el área limitada por las curvas . ( ) ( 224 5 - x ; y x y x= = )2−
37. Hallar el área limitada por las curvas ( )2 24 - y ; x 4x y y y= = − .
38. Hallar el área limitada por las curvas 2 216 ; y x y 3x= = .
39. Hallar el área limitada por las curvas 2 2 23 16 ; x 2y x y 5= + = .
40. Hallar el área limitada por las circunferencias 2 2 2 225; x 16 39 0x y y x+ = + − + =
0
.
41. Hallar el área limitada por las parábolas 2 22 3 0; x 6 3x x y x y− − − = − + + = .
42. Hallar el área limitada por las parábolas ( ) ( )2 24 1 ; 2 2y x y x= − − − − .
43. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las curvas 2 2 25; 12.x y xy+ = =
44. Hallar el área limitada por las curvas 2 26 ; x 4y x y= + = − .
4.4 Sólidos de revolución.
Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido
de revolución y se dice que el sólido está generado por la región. La recta alrededor de la cual gira
la región, se llama eje de revolución.
4.5 Cálculo de volúmenes por el método de los discos.
80
Cálculo Integral
81
Si la región acotada por la grafica (i) de ,x y= por el eje Y y 9y = , gira alrededor del eje Y,
genera un sólido como se muestra en la figura (ii), y el volumen del sólido de revolución generado
se obtiene mediante: ( ) 2V = dy
b
af yπ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫
X
Y
4
Y
5
X
x y=
(i) (ii)
Si la región acotada por la grafica (iii) de por el eje X y 2 ,y x= 3x = , gira alrededor del eje X,
genera un sólido como se muestra en la figura (iv) y el volumen del sólido de revolución generado
se obtiene mediante: ( )2
V = dxb
af xπ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫
X
Y
4
Y
5
X
2y x=
Cálculo Integral
(iii) (iv)
Por ejemplo, si f es una función constante, entonces la región es un rectángulo y el sólido
generado es un cilindro circular recto. Si la grafica de f es un semicírculo tal que ( ) ( ),0 y ,0a b
con b>a son los extremos de uno de sus diámetros, entonces el sólido de revolución es una esfera
de diámetro b-a.
Ejemplo1. Sea ( ) 12.2f x x= + Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la
grafica de f entre
Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la
grafica de f entre 0 y 1
+
0 y 1x x= = alrededor del eje X.
X
Y
Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera:
( ) ( )2 21 1
2 4 21 12 40 0
47V = d = d = d = 60b
af x x x x x x xπ π π⎡ ⎤+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π
Ejemplo 2. Sea ( ) 12.2f x x= + Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la
grafica de f entre 12 y y 2y = = alrededor del eje Y.
82
Cálculo Integral
Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera:
( ) ( )2 22 2
1 12 21 1
2 2
9V = 8b
af y dy y dy y dyπ π π⎡ ⎤= − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π
X
Y
Ejemplo 3. La región acotada por el eje Y y las gráficas de 3, 1 y 8y x y y= = = gira alrededor del
eje Y. Calcula el volumen del sólido resultante.
( )2 28 8 2
33
1 1
93V = 5
b
af y dy y dy y dyπ π π⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ π=
83X
Y
Cálculo Integral
1
v 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g 1v 1s 1i 1g
Ejercicios tema 4.5.1
. La superficie limitada por 1 , 1, 2, 0,y x x yx= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el
olumen generado.
. La superficie limitada por 2 6 , 0,y x x y= − = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por 32 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por 2 , 9, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por 2 , 9, 3y x x y= = ,=
0,
gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
25 32 , 1y x x= =
. La superficie limitada por 2 24 , 8 4,y x y x= = − gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por 2 24 , 5 ,y x y x= = − gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
. La superficie limitada por 2 3, 4, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
0. La superficie limitada por ( )32 2 , 0, 1, 0,y x x x y= − = = = gira alrededor del eje X. Hallar el olumen generado.
1. Hallar el volumen del elipsoide generado cuando la superficie limitada por el eje X y la mitad uperior de la elipse gira alrededor del eje X. 2 29 25 225x y+ =
2. La superficie en el primer cuadrante limitada por la derecha por y por la zquierda por 16
2 2 25x y+ =23 ,x y=
8
gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.
3. La superficie limitada por la elipse 2 23 4 4x y+ = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen enerado.
84
Cálculo Integral
14. La superficie limitada por la elipse gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.
2 29 16 144x y+ =
15. La superficie limitada por 2 24 9 36, x y x 5,− = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 16. La superficie limitada en el primer cuadrante por la curva
gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 2 2 29 12 0, 0, 0, x y y y x x+ − = = = = 3, 17. La superficie limitada por 1, 1, 3, 0,xy x x y= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 18. La superficie limitada por 5, 6,xy x y= + = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 19. La superficie limitada por ( )1 2, 2, 5, 0,x y x x y− = = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 20. La superficie limitada por ( )24 8, 0, 2, 0,x y x x y+ = = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 21. La superficie limitada por ( )2 216 2, 4,x y x x+ = − = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 22. La superficie limitada por ( )2 2 29 9 ,x y+ = − x gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 23. La superficie limitada por , 0, 2, 0,xy e x x y= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 24. La superficie limitada por , 0, 5, 0,xy e x x y−= = = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 25. La superficie limitada por , 0, 0,xy e x y−= = = gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 26. La superficie limitada por 2 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 27. La superficie limitada por 28 , yy x 2,= = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.
85
Cálculo Integral
28. La superficie limitada por 216 , 0,y x y− = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 29. La superficie limitada por 3, 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 30. La superficie limitada por 32 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 31. La superficie limitada por 34 , 2, 0,y x x y= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 32. La superficie limitada por 2 24 ; y 5 ,y x x= = − gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.
33. La superficie limitada por 2 2 4, 0y x x ,= + = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 34. La superficie limitada por 2 9 , 0y x x ,= − = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 35. La superficie limitada por 2 32 , y 0, y x x 2,= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 36. La superficie limitada por 2 3, y 0, 4,y x x= = = gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 37. La superficie limitada por gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.
2 29 16 144,x y+ =
38. La superficie limitada por gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.
2 23 4 4x y+ = 8,
4.6 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
Deseamos encontrar el centro de masa de una lámina delgada de cierto material con densidad
constante y forma irregular. El centro de masa de un sistema de partículas es el punto en el que
podría concentrarse toda la masa sin alterar los momentos del sistema con respecto a los ejes
coordenados.
86
Cálculo Integral
Consideremos una lámina que tiene la forma de una región ilustrada en la figura, donde f es
continua en [ ], .a b
X
Y
y = f(x)
x=a x=b
Si la densidad es ρ , la masa de la lámina se define por medio de:
( )m db
af x xρ= ∫
El momento Mx de la lámina con respecto al eje X se define por medio de:
( ) 212 d .
b
xa
M f x xρ= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫
Análogamente, El momento My de la lámina con respecto al eje Y se define por medio de:
( ) d .b
ya
M x f x xρ= ∫
Las coordenadas x y y del centro de masa de la lámina se definen mediante:
x y y .y xm M m M= =
Si sustituimos las formas integrales de y despejando , y xm M M y y x y , obtenemos:
( )
( )
d
d
b
ab
a
x f x xx
f x x= ∫
∫
( )
( )
212 d
d
b
ab
a
f x xy
f x x
⎡ ⎤⎣ ⎦= ∫
∫
Por tanto, el centro de masa será el punto ( ), .P x y
87
Cálculo Integral
88
Ejemplo1. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:
3 4 24.x y+ =
X
Y
3x + 4y = 24
5
5
( )
( )
( )( )
8 81 240 0
8814
00
24 3 d d 24 84 24 3 3 d 2
4
b
ab
a
xx xx f x x x x xx
xf x x x xdx
−⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =−⎛ ⎞ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫∫ ∫∫ ∫∫
3 d
4 3 d=
( )
( )
( )
( )
22 8 81 21 1
202 32 088 1
40 0
24 3 d d 244 24 3 d 2 d
4
b
ab
a
x xf x x x xy
xf x x x xx
−⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠= = =
−⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫∫ ∫
∫ ∫3 d
24 3 d
=
( )83 El centro de masa es el punto P ,2∴
Ejemplo 2. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y las rectas:
2;y x=
6, 0, 3.x y y x+ = = = 2;y x=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 32
380 2 3
372 32 6
0 2
d x d 6 - d 76 37 d x d 6 - d
b
ab
a
x f x x x x x x xx
f x x x x x
+= = =
+
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22 3 21 1 12281
2 2 20 2 30372 3
2 60 2
6 - 281 185 6 -
b
ab
a
f x dx x dx x dxy
f x dx x dx x dx
+⎡ ⎤⎣ ⎦= = =
+
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
=
Cálculo Integral
( )76 28137 185 El centro de masa es el punto P ,∴
X
Y
x + y = 6
5
5x=3
Trabajo. En mecánica, el trabajo realizado por una fuerza constante F que causa un
desplazamiento d es el producto Fd . Cuando F es variable, esta definición conduce a una
integral. En esta ocasión vamos a considerar dos casos:
Trabajo de bombeo. Supongamos que deseamos saber el trabajo que se realiza al vaciar un aljibe
cuya forma es la de un sólido de revolución con eje vertical. Consideremos que el eje X de la
curva que gira sea vertical y que el eje Y esté en el plano de la parte superior del aljibe.
X
Y
a
b
89
Cálculo Integral
El trabajo realizado al vaciar un aljibe en forma de un sólido de revolución, de manera que la
superficie del líquido pase desde la profundidad hasta la profundidad b siendo W el peso de la
unidad cúbica del líquido viene dado por la fórmula:
a ,
Tr 2abajo d ,b
aW y x xπ= ∫
donde el valor de y debe sustituirse en términos de x obtenido de la ecuación de la curva que gira.
Ejemplo 1. Calcular el trabajo que se realiza bombeando el agua que llena un aljibe hemisférico
de 5m de hondo.
X
Y
Solución. La ecuación del círculo es: 2 2 5, 1000, los límites son: 0 y 5.x y W x x+ = = = =
252 2
0Trabajo d 1000 25 d 156250 Kgm.
b
aW d y x x x x xπ π ⎡ ⎤ π∴ = = − =⎣ ⎦∫ ∫
1
2
Ejercicios tema 4.6.1
. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:
4 5 20.x y− =
. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo cuyos vértices son:
( ) ( ) ( )A 0,0 , B 4,0 y C 6,3 .
90
Cálculo Integral
3. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo rectángulo formado por las
rectas ; 1; 0.y x x y= = =
4. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta 2;y x= 2 3.x y− = −
5. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta
24y x x= − ;
.
;
2 3x y− =
6. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y la recta 26y x x= − .y x=
7. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola 2 4 16 0 y el eje X.x y+ − =
8. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola
24 , el eje X y la recta 2.y x x= =
9. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por las
circunferencias 2 2 2 24 y 4.x y x x y+ = + =
10. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola y la
circunferencia
2 8x y− = 0
2 2 128.x y+ =
11. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y las rectas
3;y x=
2, 0.x y= =
12. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva
y la recta
3;y x=
.y x=
13. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva 13x
y =
y hacia la derecha de la recta 1.x =
14. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva
y la recta 3 3y x x= − .x y=
15. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva 34y x x= − y el eje X.
91
Cálculo Integral
16. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el lazo de la curva 2 24 .y x x= − 3
3x17. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva 2 24y x= − arriba del eje X.
18. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas sen ,y = x
.20, 0, y x x π= = =
19. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el primer arco de la curva
y el eje X.
2sen ,y x=
20. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas cos ,y = x
.20, 0, y x x π= = =
21. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas
,xy e=
.0, 0, 1y x x= = =
22. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y las rectas
,xy e−=
.0, 0, 1y x x= = =
23. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva ln ,y x= y el eje X.
24. Una cisterna cilíndrica vertical de 6 m de diámetro y 5 m de profundidad está llena de agua.
Calcular el trabajo al bombear el agua hasta el borde de la cisterna.
25. Una cisterna cónica que tiene 5 m de diámetro superior y 5 m de profundidad está llena de
agua. Calcular el trabajo de subir el agua 3 m más alto que el borde.
26. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 3Kg
m. Calcular
el trabajo de subir el petróleo hasta el borde del tanque.
27. Calcular el trabajo que se hace al vaciar un aljibe semielipsoidal lleno de agua. La parte
superior es un círculo de 3 m de diámetro y 2 m de profundidad.
92
Cálculo Integral
28. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 3Kg
m. El
petróleo se bombea, hasta un nivel 2 m más alto que el borde del tanque, mediante un motor de
1 2 h p . ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?
29. Un aljibe cónico que tiene 2.5 m de diámetro superior y 2 m de profundidad está lleno de un
líquido que pesa 1280 3Kg
m. Calcular el trabajo de subir el líquido hasta el borde del tanque.
30. Un tanque para agua tiene la forma de un hemisferio de 6 m de diámetro coronado de un
cilindro del mismo diámetro y 2 m de altura. Calcular el trabajo que se hace al vaciarlo con una
bomba cuando está lleno hasta 0.5 m debajo del borde.
93
Cálculo Integral
INTEGRALES IMPROPIAS
Definición de integral impropia.
Integral impropia de 1ra clase.
Integral impropia de 2da clase.
94
Cálculo Integral
CAPITULO V
INTEGRALES IMPROPIAS
5.1 Definición de integral impropia.
En el capitulo III, al referirnos a la integral definida ( ) d ,b
af x x∫ supusimos que el intervalo [ ],a b
tenía longitud finita y que f era continua, no obstante, en algunos casos encontramos integrales que
no poseen estas características. En este capitulo final, trataremos una clase de integrales llamadas
impropias.
Nos referiremos como integrales impropias de primera clase, a las integrales definidas en las que
uno o ambos límites de integración es infinito, y como integrales impropias de segunda clase,
cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en los límites de integración.
5.2 Integrales impropias de primera clase.
Si quisiéramos hallar el área de la región limitada por: 11 , 2, 0.xy x y−= = =
X
Y
y = 1/(x-1)
a c
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ],a ,+∞ el área bajo la gráfica de f
entre está dada por: y a + ∞
( ) ( )0
Área d lim dc
c af x x f x x
+∞
→+∞= =∫ ∫
95
Cálculo Integral
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ], b ,−∞ + el área bajo la gráfica de
f entre está dada por: y b−∞
( ) ( )Área d lim db b
c cf x x f x x
→−∞−∞= =∫ ∫
X
Y
y=-1/x
b
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ ], ,−∞ +∞ el área bajo la gráfica de
f entre está dada por: y +−∞ ∞
( ) ( ) ( )Área d lim d lim db c
c cc af x x f x x f x x
+∞
→−∞ →+∞∞= = +∫ ∫ ∫
Cuando los límites existen, se dice que la integral impropia es convergente, en caso de que los
límites no existan la integral es divergente.
Ejemplo 1. Evaluar: 1
2 dx x
+∞
∫
Solución: [ ] ( )1 122
d lim d lim ln lim ln ln 2c c
x xc c ccx x x c
+∞
→+∞ →+∞ →+∞= = = −∫ ∫ = +∞
Ejemplo 2. Evaluar: 2
1
2 d
xx
+∞
∫
Solución: ( )2 2
1 1 1 12 222 2
d lim d lim limc c
x cx xc c cx x
+∞
−→+∞ →+∞ →+∞
⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫ ∫ 1 1=
96
Cálculo Integral
Si esta integral representa el área de la superficie limitada por 2
1 , 2, el eje X,x
y x= = entonces, una
región infinita, es decir, que no está acotada, puede tener un área finita.
Ejemplo 3. Evaluar: 0
2 dxe x−∞∫
Solución: ( )0 0 01 1 12 2 2
2 2 2 d lim d lim limx x x
cc c cce x e x e e
→−∞ →−∞ →−∞−∞⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∫ ∫ 12
2c =
Ejemplo 4. Evaluar: 2 dx x+∞
−∞∫
Solución: ( ) ( )0
2 2
0 2 d lim 2 d lim 2 d lim lim 0
c
c c c ccx x x x x x c c
+∞
→−∞ →+∞ →−∞ →+∞−∞= + = − +∫ ∫ ∫ =
5.3 Integrales impropias de segunda clase.
Existe otro tipo de integrales impropias, cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en
los límites de integración. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar el área de la región limitada por:
11 , 1, 2, 0.xy x x y−= = = =
X
Y
y = 1/(x-1)
1 2
Como la gráfica tiene una asíntota vertical en 1,x = la región mencionada no esta acotada, es decir,
se prolonga al infinito en dirección vertical.
97
Cálculo Integral
( ) ( ) d lim db b
u aa uf x x f x x
+→=∫ ∫
Si f es una función continua no negativa en un intervalo ( ], el área bajo la gráfica de f está dada
por:
,a b
( ) ( ) d lim db u
u ba af x x f x x
−→=∫ ∫
Si f es una función continua no negativa en un intervalo [ ), el área bajo la gráfica de f está dada
por:
,a b
Si f es una función continua no negativa en un intervalo [ ], excepto en un punto en ,a b c ( ),a b ,el
área bajo la gráfica de f está dada por:
( ) ( ) ( ) d lim d lim db u b
u c u ca a uf x x f x x f x x
− +→ →= +∫ ∫ ∫
Ejemplo 5. Evaluar: 2
21
x0 dx∫
El integrando es discontinuo en 0, entonces:x =
( )2 2
2 2 21 1 1 1 120 0 00
d lim d lim limx ux x uu u uux x
+ + +− −
→ → →⎡ ⎤= = =⎣ ⎦∫ ∫ = +∞
Ejemplo 6. Evaluar: 2
20
d 4
xx−∫
El integrando es discontinuo en 2, entonces:x =
( ) ( )2
1 12 222 22 2 200 0
d d lim lim s n lim s n s n 14 4
u uux
u u u
x x e e ex x
1 π− − −
− −
→ → →⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦− −∫ ∫ − =
Ejemplo 7. Evaluar: ( )
4
20
d 2x
x −∫
El integrando es discontinuo en el cual está dentro de 2,x = ( )0, 4 , entonces:
( ) ( ) ( )
4 4 41 1
2 2 2 2 202 2 2 20 0
d d dlim lim lim lim2 2 2
u u
x x uu u u uu
x x xx x x− + − +
− −− −→ → → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − −∫ ∫ ∫ = +∞
98
Cálculo Integral
E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Ejercicios tema 5.3.1
valuar las siguientes integrales:
. 2
d
2 x
x
+∞
∫
. 2
d xe x+∞ −∫
. 2
0 d xx e x
+∞ −∫
. 20
d x
e x+∞ −
∫
. 0
2 d xx x+∞ −∫
. 2
12 d x x
+∞ −∫
. d15
xx
+∞
−∫
. 3 2
d
45 x x
x
+∞
−∫
. 2
2 d43
xx
+∞
+∫
0. d ln x
x xe
+∞
∫
11. 0 d
1
x
xe x
e+−∞∫
12. ( )2
5 d2
xx−−∞∫
13. 0
dxx e x−∞∫
14. 0 2 dxx e x−∞∫
15. 1 2 dxe x−∞∫
16. dxe x+∞ −
−∞∫
17. ( )3
2
2 d
3 1
x x
x
+∞
−∞+
∫
18. 2
dxx e x+∞ −
−∞∫
19. 2d
9xx
+∞
+−∞∫
20. 2d
1 9xx
+∞
+−∞∫
21. ( )2
5d
2 2x
x− +∫
22. 3
3
1
d 1
xx− +∫
23. 2
2 d
5 4
x x
x
−
− −∫
24. 2
5 d
2 4
x x
x −∫
25. 2
d 20
xx−∫
26. ( )2
0d
4 3x
x− +∫
27. 2d
0x
x
+∞
∫
28. 2
3
1 1
x dx
x −∫
29. 3
d 11
xx−−∫
30.0
ln dx x+∞
∫
99
Cálculo Integral
APENDICE I
Requerimientos algebraicos
Por todos es sabido que el álgebra constituye un elemento básico para el estudio del Cálculo y es
ahí, justamente, donde el alumno presenta generalmente los mayores obstáculos para la
comprensión del Cálculo.
Por ello, hemos creído conveniente incluir esta sección, donde el alumno encontrará algunos
elementos más representativos del álgebra que le pueden ser útiles al momento de realizar los
ejercicios sugeridos en el presente texto.
1. Productos notables:
• ( )2 2 22a b a ab b± = ± +
• ( )3 3 2 23 3a b a a b ab b± = ± + ± 3
• ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
• ( )( ) ( ) ( )( )2x a x b x a b x a b± ± = + ± ± + ± ±
2. Teoría de los exponentes:
• ( ) ( ) ( )n m nx x x += m
m
m
• ( ) ( ) ( )n m nx x x −÷ =
• ( ) ( )( )( )mn nx x⎡ ⎤ =⎣ ⎦
• ( ) ( )nnm mx x=
• ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n n m m
m n
a x a x y a y abb y b x b x y
− −
− −= = = n m
100
Cálculo Integral
• 0 1n
n nn
x x xx
−= = =
3. Descomposición en factores.
• ( )3 2 2ax bx cx x ax bx c+ + = + +
• ( ) ( ) ( )( )a x y b x y x y a b+ + + = + +
• ( )(2 2 )x y x y x y− = + −
• ( )( )3 3 2 2x y x y x xy y± = ± +m
• ( )22 22x xy y x y± + = ±
• ( )33 2 2 33 3x x y xy y x y± + ± = ±
• ( )(2 .)x bx c x d x e± ± = ± ± El signo del segundo término del trinomio será el signo
del primer binomio; el producto de los signos del segundo y tercer término del
trinomio será el signo del segundo binomio; si los signos en los binomios son iguales,
entonces: ( )( ) y ;d e b d e c+ = = si los signos en los binomios son diferentes,
entonces: ( )( ) y .d e b d e c− = =
• Después se resuelve como el caso anterior,
dividiendo al final entre
( ) ( ) ( )( )22 .ax bx c ax b ax a c± ± = ± ±
.b
101
Cálculo Integral
APENDICE II
Formulario de trigonometría
1. Funciones trigonométricas de los ángulos agudos en triángulos rectángulos.
• . sen cat opuesto
hipotenusa=
• . adyacentecos cat
hipotenusa=
• . tan
. cat opuesto
cat adyacente=
2. Identidades trigonométricas fundamentales.
• Recíprocas: csc 1; cos sec 1; tan cot 1.senθ θ θ θ θ θ= = =
• Pitagóricas: 2 2 2 2 2 2cos 1; sec tan 1; csc cot 1.sen θ θ θ θ θ θ+ = − = − =
• Cocientes: costan ; cot .cossen
senθ θθ θθ θ
= =
3. Fórmulas para el ángulo negativo.
• ( ) ( ) ( ); cos - cos ; tan - tan .sen senθ θ θ θ θ− = − = = − θ
4. Fórmulas para la mitad de un ángulo.
• 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos; cos ; tan .2 2
sen θ θ θ
1 cosθ θ θ
θ− +
= = =+−
5. Fórmulas para el doble de un ángulo.
• 2 22
2 tan2 2 cos ; cos 2 cos ; tan 2 = .1- tan
sen sen sen θθ θ θ θ θ θ θθ
= = −
6. Fórmulas para la suma de dos ángulos.
• ( ) cos cos .sen sen senθ φ θ φ θ± = ± φ
102
Cálculo Integral
• ( )cos cos cos .sen senθ φ θ φ θ± = m φ
• ( ) tan tantan .1 tan tan
θ φθ φθ φ±
± =m
7. Fórmulas para productos.
• ( ) ( )12cos .sen sen senθ φ θ φ θ= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦φ
• ( ) ( )12 cos cos .sen senθ φ θ φ θ= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦φ
• ( ) ( )12cos cos cos cos .θ φ θ φ θ= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦φ
8. Fórmulas de factorización.
• 2 22cos cos .sen sen θ φ θ φθ φ ±± = m
• 2 2cos 2cos cos .cos θ φ θ φθ φ + −+ =
• 2 2cos 2s s .cos en enθ φ φθ φ + −− = θ
9. Ley de senos.
• .a b csenA senB senC
= =
10. Ley de cosenos.
• 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − .
.
.
• 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
• 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
11. Propiedades logarítmicas.
• ( )ln ln ln .φθ φ= + θ
• ( )ln ln ln .φθ
φ θ= −
• ln ln .uu θ θ=
103
Cálculo Integral
• ( ) ( )lnln ; .u ue u e= = u
APENDICE III
1. Coordenadas rectangula
• ( )21 2d x x= − +
• ( )1 2 1 2,2 2
x x y ymP + +
• 1 2
1 2
y ymx x
−=
−
2. Ecuación de la recta.
• Conociendo dos p
• Conociendo un pu
• Forma simétrica:
• Forma pendiente-
• Forma general: Ax
• Forma normal: cx
• Condición de para
• Condición de perp
• Ángulo entre dos
3. Ecuación de la circunfer
• Con centro en el o
Resumen de Geometría Analítica
res.
( )21 2y y−
untos: ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 1y y x x y y x x− − = − −
nto y su pendiente: ( ) ( )1 1y y m x x− = −
1x ya b
+ =
intercepción: y mx b= +
0.By C+ + =
os 0y sen pθ θ+ − =
lelismo: 1 2 1Si // , entonces: l l m m2=
endicularidad: Si 1 2 1 2 , entonces: 1l l m m⊥ = −
rectas: 2 1
1 2
tan1m m
m mθ −
=+
encia.
rigen y radio r: 2 2 2x y r+ =
104
Cálculo Integral
• Con centro en ( ) : ,h k ( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =
• Forma general: 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
4. Ecuación de la parábola.
• Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje X: 2 4x py= ±
• Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y: 2 4y p= ± x
) )• Con vértice en ( y eje paralelo al eje X: ,h k ( ) (2 4x h p y k− = ± −
• Con vértice en ( y eje paralelo al eje Y: ) ),h k ( ) (2 4y k p x h− = ± −
• Forma general y eje paralelo al eje X: 2 0Ax Dx Ey F+ + + =
• Forma general y eje paralelo al eje Y: 2 0Cy Dx Ey F+ + + =
5. Ecuación de la elipse.
• Constantes: eje mayor 2 ;a= eje menor 2 ;b= distancia entre focos 2 ;c= cae = < 1;
longitud del lado recto2
2 22 y .b c a ba
2= = −
• Centro en ( y eje principal horizontal:)0,02 2
2 2 1x ya b
+ =
• Centro en ( y eje principal vertical:)0,02 2
2 2 1x yb a
+ =
• Centro en ( y eje principal horizontal:),h k ( ) ( )2 2
2 2 1x h y k
a b− −
+ =
• Centro en ( y eje principal vertical:),h k ( ) ( )2 2
2 2 1x h y k
b a− −
+ =
• Forma general: > 0. 2 2 0; Ax Cy Dx Ey F AC+ + + + =
6. Ecuación de la hipérbola.
105
Cálculo Integral
• Constantes: eje transverso 2 ;a= eje conjugado 2 ;b= distancia entre focos 2 ;c= cae = > 1;
longitud del lado recto2
2 22 y .b c a ba
2= = +
• Centro en ( y eje principal horizontal:)0,02 2
2 2 1x ya b
− =
• Centro en ( y eje principal vertical:)0,02 2
2 2 1x yb a
− =
• Centro en ( y eje principal horizontal:),h k ( ) ( )2 2
2 2 1x h y k
a b− −
− =
• Centro en ( y eje principal vertical:),h k ( ) ( )2 2
2 2 1x h y k
b a− −
− =
• Forma general: < 0. 2 2 0; ACAx Cy Dx Ey F+ + + + =
7. Ecuación general de segundo grado con dos variables.
• Forma general: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =
• Es una parábola si 0.AC =
• Es una elipse si AC> 0.
• Es una hipérbola si AC<0.
106
Cálculo Integral
APENDICE IV
Tablas de integrales
I. Formas racionales que contienen .a bu+
1. 2
d 1 lnu u a bu a a bu Ca bu b
= ⎡ + − + ⎤ +⎣ ⎦+∫
2. ( ) ( )2
2 23
d 1 1 2 ln2
u u a bu a a bu a a bu Ca bu b
⎡ ⎤= + − + + +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦∫ +
3. ( )2 2
d 1 lnu u a a bu Cb a bua bu
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+∫ +
4. ( )
2 2
2 3
d 1 2 lnu u aa bu a a bu Cb a bua bu
⎡ ⎤= + − − + +⎢ ⎥++ ⎣ ⎦
∫
5. ( ) ( )3 22
d 1 12
u u a Cb a ba bu a bu
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
++ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ u
+
6. ( )
d 1 lnu u Cu a bu a a bu
= ++ +∫
7. ( )2 2
d 1 lnu b a b Cu a bu au a u
+= − + +
+∫a
8. ( ) ( )2 2
d 1 1 lnu u Ca a bu a a buu a bu
= ++ ++∫ +
II. Formas que contienen a bu+
9. ( )( )3
23
2 d 3 215
u a bu u bu a a bu Cb
+ = − + +∫
10. ( )( )32 2 2 2 2
3
2 d 15 12 8105
u a bu u b u abu a a bu Cb
+ = − + + +∫
107
Cálculo Integral
11. ( )( ) ( )
32
12 2 d d2 3 2 3
nn nu a bu anu a bu u u a bu u
b n b n−+
+ = − ++ +∫ ∫
12. ( )2
d 2 23
u u bu a a bu Cba bu
= − ++∫ +
13. ( )2
2 2 23
d 2 3 4 815
u u b u abu a a bu Cba bu
= − + ++∫ +
14. ( ) ( )
1 d 2 2 d2 1 2 1
n n nu u u a bu an u ub n b na bu a bu
−+= −
+ ++ +∫ ∫
15. d 1 lnu a bu Cu a bu a a bu a
+ −= +
+ + +∫a si a > 0
16. 1d 2 tanu a Cau a bu a
− +=
−+ −∫bu
+ si a < 0
17. ( )
( )( )1 1
2 3d d1 2 1nn n
b nu a bu u Ca n u a nu a bu u a bu− −
−+= − − +
− −+ +∫ ∫
18. d d2a bu u ua bu a Cu u a bu
+= + + +
+∫ ∫
19. ( )( )
( )( )
32
1 1
2 5 d d1 2 1n n
a bu b na bu u a bu uu a n u a n u− −
+ −+ += − −
− −∫ ∫ n
III. Formas que contienen 2 2u a±
20. ( )4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 2 ln8 8u au u a u u a u a u u a C± = ± ± − + ± +∫
21. 2 2 2 2
2 2 d lnu a u a u au a a Cu u
+ += + − +∫
+
22. 2 2
2 2 1 d secu a u uu a a Cu a
−−= − − +∫
108
Cálculo Integral
23. 2 2 2 2
2 22
d lnu a u u a u u a Cu u± ±
= − + + ± +∫
24. 2 2
2 2 2 2
2 2
d ln2 2
u u u au a u u a Cu a
±= ± − + + ± +
±∫
25. 2 2
2 2
d 1 lnu a u Ca uu u a
+ += − + +
+∫
a
26. 1
2 2
d 1 secu u Ca au u a
−= +−
∫
27. 2 2
22 2 2
d u u a Ca uu u a±
= − +±±
∫
28. ( ) ( )43
2 2 2 2 2 2 2 22 3 d 2 5 ln8 8u au a u u a u a u u a C± = ± ± + + ±∫ +
29. ( )
3 2 2 22 2 2
d u u Ca u au a
= − +± ±±
∫
IV. Formas que contienen 2 2a u−
30. 2 2 2 2
2 2 d lna u u a a ua u a Cu u
− += − − +∫
−
31. 2 2 2 2
2
d a u u a u usen Cu u− −
= −∫ a+
32. 2
2 2
2 2
u d u + 2
u ua u sen Caa u
= − − +−
∫
33. 2 2 2
2 2
u d 1 lnu a a u Ca uu a u
+ −= − + +
−∫ = 11 cosh a C
a u−− +
34. 2 2 2
22 2
u d + u a u Ca uu a u
−= −
−∫
109
Cálculo Integral
35. ( ) ( )43
2 2 2 2 2 2 12 3 d 2 58 8u aa u u u a a u sen C
a−− = − ± − +∫
u+
V. Formas que contienen 2au – u2
37. 2
2 2 12 d 2 cos 1 2 2
u a a uau u u au u Ca
−− ⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
38. 2 2 3
2 2 12 32 d 2 cos 1 6 2
u au a a uu au u u au u Ca
−− − ⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
39. 2
2 12 d 2 cos 1 au u u uau u a Cu a
−− ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
40. 2 2
12
2 d 2 2 cos 1 au u u au u u Cu u
−− − ⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ a
41. 1
2
d cos 1 2
u u Caau u
− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠−
∫ +
42. 2 1
2
u d 2 cos 1 2
u uau u a Caau u
− ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠−
∫
43. ( )2 22 1
2
3u d 3d 2 cos 1 2 22
u au au au uaau u
−+ ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠−
∫u C
44. 2
2
d 2 d2
u au uu Cauu au u
−= +
−∫
45. ( )
3 22 2
u d 22
u u Ca au uau u
= +−−
∫
VI. Formas que contienen funciones trigonométricas
46. 1 21 1 cos n n nsen u du sen u u sen u dun n
− −n−= − +∫ ∫
47. 1 21 1 cos cos n n ncos u du u sen u u dun n
− −n−= − +∫ ∫
110
Cálculo Integral
48. 1 21 tan tan 1
n ntan u du u u dun
− −= −−∫ ∫ n
49. 1 21cot cot cot 1
n n nu du u u dun
− −= − −−∫ ∫
50. 2 21 2 sec tan sec 1 1
n n nsec u du u u u dun n
− −n−= +
− −∫ ∫
51. 2 21 2 csc cot csc 1 1
n n ncsc u du u u u dun n
− −n−= − +
− −∫ ∫
52. ( )( )
( )( )
2 2sen m n u sen m n u
sen mu sen nu du Cm n m n
+ −= − + +
+ −∫
53. ( )( )
( )( )
cos cos
2 2sen m n u sen m n u
mu nu du Cm n m n
+ −= +
+ −∫ +
54. ( )( )
( )( )
cos cos cos
2 2m n u m n u
sen mu nu du Cm n m n
+ −= − − +
+ −∫
55. - cos u sen u du sen u u u C= +∫
56. cos cos u u du u u sen u= + +∫ C
57. ( )2 2 2 2 cos u sen u du u sen u u u C= + −∫ +
58. ( )2 2 cos 2 cos 2 u u du u u u sen u= + −∫ C+
u
du
59. 1 sen cos + cos n n nu u du u u n u u d−= −∫ ∫
60. 1 cos n n nu u du u sen u n u sen u−= −∫ ∫
61. 1 1
2 cos cos cos
m nm n m nsen u u m nsen u u du sen u u C
m n m n
− +−−
= ++ +∫ ∫ +
1 1
2 cos 1 cos
m nm nsen u u n sen u u C
m n m n
+ −−−
= ++ + ∫ +
111
Cálculo Integral
VII. Formas que contienen funciones trigonométricas inversas
62. -1 -1 2 1- sen u du u sen u u C= +∫ +
63. 1 1 cos cos 1 u du u u u C− −= − −∫ 2 +
64. 1 1 tan tan ln 1 u du u u u C− −= − +∫ 2 +
65. 1 1 cot cot ln 1 u du u u u C− −= + +∫ 2 +
66. -1 -1 2 sec sec - ln -1 u du u u u u C= + +∫ 1 1 sec cosh u u u C − −= − +
67. 1 1 2 csc csc ln 1 u du u u u u C− −= − + − +∫ 1 1 csc cosh u u u C− − = + +
VIII. Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas
68. ( ) 1 u uue du e u C= − +∫
69. 1 n u n u n uu e du u e n u e du C−= − +∫ ∫
70. 1 ln ln
n un u n uu a nu a du u a du C
a a−= − +∫ ∫
71. ( ) 1 1
1 1 1
u u
n n
e du e e duu n u n u− −= − +
− −∫ ∫ u
n
72. ( ) -1 -1
ln - -1 -1
u u
n n
a du a a a duu n u n u
= +∫ ∫
u
n
73. ln ln u du u u C= +∫
74. ( )
( )1
2ln 1 ln 1 1
nn uu u du n u u
n
+
= + −+∫ C+
112
Cálculo Integral
75. ln ln lndu u C
u u= +∫
76. ( )2 2 cos
auau ee sen nu du a sen nu n nu C
a n= −
+∫ +
77. ( )2 2 cos cos
auau ee nu du a nu n sen nu C
a n= +
+∫ +
IX. Formas que contienen funciones hiperbólicas
78. cosh + senh u du u C=∫
79. cos + h u du senh u C=∫
80. tan ln cosh + h u du u C=∫
81. cot ln + h u du senh u C=∫
82. ( )1 tan sech u du senh u C−= +∫
83. 1
2 ln tanh csch u du u C= +∫
84. 2 tanh sech u du u C= +∫
85. 2csc coth h u du u C= − +∫
86. tanh sec sech u u du h u C= − +∫
87. coth csc csch u u du h u C= − +∫
88. 2 1 1
4 2 sech u du senh u u C= −∫ +
89. 2 1 1
4 2csc + h u du senh u u C= +∫
90. 2tan tanh h u du u u C= − +∫
113
Cálculo Integral
91. 2cot coth h u du u u C= − +∫
92. cosh u senh u du u u senh u C= −∫ +
+93. cos senh cos u h u du u u h u C= −∫
94. ( )2 2 sen cosh
auau ee h nu du a senh nu n nu C
a n= −
−∫ +
95. ( )2 2 cos cosh
auau ee h nu du a nu n senh nu C
a n= −
−∫ +
114
Cálculo Integral
( ) ( )2 2 2 2 22 cot csc x x a x a dx−− −
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PARES
CAPITULO I
Ejercicios tema 1.1
2. ∆y = 0.0124
4. ∆y = - 0.0083
6. ∆y = 0.1990
8. ∆y = - 0.9600
10. ∆y = - 0.0045
Ejercicios tema 1.4
12. dy = 14 x dx
14. dy = 64 5 52 3
5 5 x x d− −⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠x
16. dy = 2 3dxx +
18. dy = ( )26 10
3 4
x x dx
x
−
−
20. dy = 6 2 2 2cos x sen x x dx
1 2
22. dy =
24. dy = cos ( )2 x dx−
26. dy = ( )2
1
dxx
−+
28. dy = ( )
2
2
sec 1 tan
x dxx−
30. dy = 3 3 3 2 x xe sen e dx−
Ejercicios tema 1.5
32. 0.1049
34. 4.3333
36. 3.1111
38. 0.5529
40. 0.4913
42. a) V = 8120 cm3 , b) A = 404 cm2
44. 62.8300 lts
115
Cálculo Integral
CAPITULO II
Ejercicios tema 2.3.1
2. 32
3
3+ y Cy
+
4. 3 23
23 4 + Cθ θ θ− +
6. 5 1
2 26
5 4 x x C− +
8. 317 4
26 3
6 3
17 4 x a x C− +
10. 1
3
2 + 9 3 ln x x x+ + C
12. 22 x Cx
− +
14. 1 1
2 2 ln + 2 a x x + C
Ejercicios tema 2.3.2
2. ( )32 2
6
tC
−+
4. ( )5
33
5 8 x C− − +
6. ( )3
2
1 2
3 x
C−
− +
8. ( )
2 3
Cx
−
− +
10. ( )1
222 3 + x x C+
12. ( )ln 1 + x C+
14. 2ln 1+ x C+
16. ( )21
2 ln 2 + x x C− −
18. 31
3 + xe C−−
20. 2 + xe C
22. cos + xe C−
24. 3 + tan 2 xe C
26. ( ) ln 1 + xe C−− +
28. ln + x
x
a e Ca e
+−
30. 210
2 ln10
x
C+
32. 102 ln10
x
C+
34. 3 3 2 ln 3 ln 3
x x
x C−
+ − +
116
Cálculo Integral
( )3
2 12 7 3
2 + 1ln
36. 1
3 cos3 x C− +
38. ( )1
3 cos 2 3 x C− +
1 tan 3 3
xx x C−+ + + +
( ) ( )1 116 2 8
2 3ln ln 4 4 32 + 1x x x Cx
− − − − +
40. 41
20 5 sen x C+
42. 4cos +
4Cθ
−
44. ln cos xe C− +
46. 6tan 2
12x C+
48. 2ln sen Cθ +
50. 2ln sen Cθ +
52. ( )3 31
3 ln sec tan x xe e− −+ + C
54. 3
22
3sec Cθ +
56. ( ) sec 2 Cθ− − +
58. ( )1
2 tan 1 2x C− − +
60. 2 2ln csc cot x x C− +
62. 1
2 csc 2 Cθ− +
64. ( )1 cot
ba b Cθ− +
66. 11 3
4 2 tan x C− ⎛ ⎞ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
68. 11
2
1tan2
x C− +⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
70. 2 2ln 2
x Cx−
+
72.
74. ( )1
20
5 1ln 5 + 1x Cx
− +
76. c ln + c2b ax Caxac
− +
78. ( )1
4 1ln + 3x Cx
− +
80. 3 + 1ln 3 + 3x Cx +
82.
84. ( )1123 2 ln 3 2
x Cx+ +−
86. 1
2 15
3 5 ln3 5
x Cx
+ +−
88. ( )1
4ln 4 x Cx +−
90. ( ) 2
ln6 6
x Cx x x
+− −
92. ( )1
32ln 3 9 4x x C+ + +
94. ( )2ln 1 2 5x x x C+ + + + +
96. ( )22
2 ln 2 1 2 2 1x x x C− + − + +
117
Cálculo Integral
72
2 21
43 1 l n 1x x x x x⎛ ⎞+ + + + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠C
118
( )1
42 1 24 4 34
ln
98.
100. ( )1
52ln 5 25 4x x C+ − +
102. ( )2 2 2 ln b
aax a x c C+ − +
104. ( )( )2ln 1 2 3x x x+ + + − + C
2 1 4 4 3 x xx x x C− −− + − − − +
106. ( )( )23
3 ln 3 2 9 12 3x x x+ + + + + C
108.
110. 11 2
2 3 sen x C− +
112. 15 5
5 3 se n x− + C
114. 1 2 2
xsen C− −+
116. 1 2 3 6 6
3xsen x x C− −
− − +
( )2 21 2
2 3 9 4 + ln 3 9 4 x x x x+ + + C+118.
( )( )2
2 2
2
1 2 5 + ln 1 2 5 x x x x x x−− + − + − + +120. C
( )( )2 21
4 2 2 1 2 2 1 + ln 2 1 2 2 1 x x x x x x⎡ ⎤− − + − + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
C122.
( )
252 2
2 25 4 ln 5 25 4 x x x x− − + − +124. C
( )
22 2 2 2 2 2
2 ln
2ax ca x c ax a x c C− − + − +126.
( )( )22 21 2 3 ln 1 2 3 2
x x x x x x C+ + − − + + + − +
Cálculo Integral
119
2 15
2
3
3 55 3 + 2
x x sen x C− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )2 1
2 1 2 14 2 1 + 4 2x xx sen C−− −− − +
( )2 1
92
3 36 + 2 3x xx x sen−− −− + C
11 22 9 4 9 2 ln 2 3
xx x sen C−⎛ ⎞
− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )16 3
2 23 2 9 12 3 3 2 9 12 3ln x x x x x x C⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
+
( )2 2 cos a cos bb abb a
ax sen bx sen x x C−
− +
21
4
cos 2 + 2 cos 22 2
sen Cθ θθ θ θ−
128.
130.
132. 2 12 3
3 24 9 + 2
x x sen x C− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
134.
136.
138.
140. ( )2ln cos cos 16 x x C− + + +
142. 1
42 cosln 2 cos
Cθθ
−+⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
144. ( )1tan tan Cθ− +
146. 1ln 1
x
x
e Ce
++
−
148.
150. 11
3
lntan 3x C− +
Ejercicios tema 2.3.3
2. 1 1
9 3 3 cos 3 sen x x x C− +
+ +
2 2 cos 2 x sen x x x sen x C+ − +
4. 1
2 4 2 cos 2 x sen x x C+ +
6.
8.
Cálculo Integral
21 1 1
4 12 72 6 cos 6 x x sen x x C+ + +
( )11 2 14
1
22 1sen sen Cθ θ θ θ θ− −+ − − − +
3 21 2 13 2 3 2
1
2cos 4 sen Cθ θ θθ− −+ − + +
( )3 1
1 2 6 1
6tan ln 1
3Cθ θ θ θ− 2+ + − +
1 132 4
3
10.
12.
8 4 2 a ax sen ax sen ax C+ − +
1 132 4
3
8 4 + 2 a ax sen ax sen ax C+ +
21
2 tan ln cos x x x x+ + C+14.
[ ]
5
2 5 25 cos25 1
te sen t t Cπ π ππ
− ++
16.
[ ]
4
2 16 4 cos16 1
te sen t t Cπ π ππ
+ +−
18.
20. [ ]2
2 ln 2 1ln 2
x
x C− +
22. [ ]3 1xe x C− +
24. 2 2 2xe x x C− ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦
26. ln 3 x x x− + C
2 3 21
42 ln 3ln 3ln 1x x x x C⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦
( )3 1
1 2 26 1
6 cot ln 1
3x x x x− C+ + − +
28. [ ]23
42 ln 1x x C− +
30.
32. [ ]41
164 ln 1x x C− +
34. ( ) ( )cos ln ln2x x sen x C+ +⎡ ⎤⎣ ⎦
36. ( )2 2 2 2ln x x x a x a C+ + − + +
38. ( )2 1 ln 1 2x x C+ + − +⎡ ⎤⎣ ⎦
40. 3
2 96 ln 4 ln96x x x x x C⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
42.
44. ( )1 2
2cos 4 Cθθ θ− + − +
46.
48.
50.
52. ( ) ( )3
2 221
5 1 3 2x x C+ − +
54. ( ) ( )3
33
1
3 ln 8
3 8tt C
t+ − +
+
Ejercicios tema 2.3.4
2. 1 22 4x sen ax C
a− +
4. 1 + 22 4x sen ax C
a+
6. 3
1
2
co
8. 1 1
2 6
3 2 2 sen sen Cθ θ− +
10.
12. s 2 cos 2
6Cθ θ− +
120
Cálculo Integral
1 3 5
2 1
3 5 cos bx cos cos b bx bx C⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦
+
35 3 1 1
16 64 4 48
1 sen 4bx + sen 2bx sen 2bxx Cb
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦+
[ ]1
2048 16 8 cos 8 48 sen Cθ θ θ− + +
( )3 31 23 81 81
98 + 9 9x x xsen x x C−⎡ ⎤− − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
2
( ) ( )5 32 21 16
125 75 16 5 + 16 5x x C+ + +
2 2 2 5 2 52 ln x x x Cx x
⎛ ⎞+ − −− +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠2 23 3 5 3 53 ln
5x x x C
x
⎛ ⎞+ + +− +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
222 1
27 8
3 9 4 ln 9 42
x x x x C⎛ ⎞+ −
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+
( ) ( )5 32 21 5
20 12 5 2 5 2x x C− − − +
( ) ( )5 32 21 16
5 3 16 + 16x x C− − +
22 5 55 ln + 5x x C
x
⎛ ⎞− −− +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2 1
525 5 sec xx C−− − +
28 31
43
16 3 2
x x xsen C− −− +
14.
16.
18. 2 21 1
16 64 sen 4xx C+ +
20. 1 3
48
1cos 2 cos 216
mt mt Cm
− +
22.
24. 5 35
3
1 cos cos 5
Cπθ πθπ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦
26. ( ) ( )3 41 4
2 22 3 sen sen Cθ θ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦
28. 1 2
2 tan ln sec Cθ θ− +
30. ( ) ( )33 53 35
sec sec Cθ θ− +
32. 7 57
5
1 tan tan 7
Cπθ πθπ
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
34. 2 tan 2sec Cθ θ θ+ − +
Ejercicios tema 2.3.5
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14. 2
25 5ln + 5x x Cx
⎛ ⎞+ −+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
16. 2
312
4 93 x xsen Cx
− −− +
18.
20.
22. 2
1
5
5 25 ln x Cx
⎛ ⎞+ −+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
24. 2
1
3
2 ln4 9
x Cx
⎛ ⎞+⎜ ⎟
−⎝ ⎠
26.
121
Cálculo Integral
221 9
2 2
9 9 ln3
x xx x C⎛ ⎞+ +
+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2
2
2
7 7
7 7 4 7 4ln 2 14
x x Cx x
⎛ ⎞− − −− +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
225 4
128 25
25 16 4 25 16ln + 5
x x Cx x
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( )2 33 1 32 2
38 304 152 4 ln
28.
30.
32. 2 4 4
x Cx−
+
34. 2
2
9
4 9 xx
−+ C
36. 29 25 5
x Cx+
− +
38. ( )32 21
3 4 4 4x x C− − − +
4 + 42
x x x x x x C⎛ ⎞+ +
+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )32 2 2 2 21
3 x a a x a+ − + + C
22 21
227 3
4 9 sec 18
x x Cx
− −+ +
2
2
2ln 2 2
x x x Cx
⎛ ⎞+ +− +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
40. ( )32 21
3 9 + 9 9x x C− − +
42. 2
2
3ln 3 3
x x x Cx
⎛ ⎞+ −− +⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠
44.
46.
48.
50.
52. ( ) ( )7 52 21 8
7 5 8 8x x C+ − + +
54. 2
25 25
x Cx
+−
56. 2
3 3
x Cx
+−
58. 2
2 2
x Cx
++
60. 122
4
xx sen Cx
−− +−
62.
64.
66.( )
3
32
3 4
x Cx
+−
68.( )
3
32
6 2
x Cx
++
70.2
9 3
x Cx
− +−
122
Cálculo Integral
( ) ( ) ( )3 122 2ln
Ejercicios tema 2.3.6
2. 1
8
3ln + 5
x Cx
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
4. 1
1 + ln 1 ln 3 + x x x C+ − − +
( ) ( )2
27 27ln 3 6 3 2
xx x Cx
+ + + − ++
( )12
1tan 2 4 5
x Cx x
− + − ++ +
8
2 5ln + 2 1x Cx
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
6. 1
14
4 10ln + 1
x Cx
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
8. 1
10
3ln + 7x C
x−⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
10. 1
6
3ln + x Cx−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
12. ( )
12 8
14
4ln +
xC
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
14. ( )27 23ln 4
1 2x x x Cx−
+ + +−
16. ( ) ( )( )2 31
5 ln 3 2 + x x C− +
18. ( )( )
7
21
5
2ln +
3x
Cx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
20. ( ) ( )( )735 1
4 8 4ln 2 ln + x xx C++ −
22. ( )3 2ln + x x C+
24. ( )( )
2
2
1ln +
2
xC
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
26. ( )29 1 1
20 2 2 ln 2 5 ln x x x− + − + C
28. ( )5 3ln x x C− +
30. 2 2
1ln
2x x C
x−
+ +
32. ( )( )
2
2
2ln
2x x
Cx
−+
+
34. ( )( )
31
71
3
5ln
2x
Cx
−+
−
36. ( ) ( )( )
3 132 2
7
1 3ln
2x x
Cx
− −+
−
38. ( )( ) ( )
4
2
2ln
3 1x
Cx x
++
− −
40.
42. 1 1ln x Cx x+
− +
44. ( )
21 1 3ln 1
x x Cx x x+ +⎛ ⎞ − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠
46. ( )
192 1ln +
1 3 1x Cx x
−⎛ ⎞ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
48.
50. ( )
3 3 1ln 1 1
x x Cx x x
−⎛ ⎞ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
52.
123
Cálculo Integral
( )( )
4 2 2
1 22 4
2 1 4 1ln + + 2 22
x x x Cx xx x
− − −+
−
( ) ( )41 671
36
23ln 3 3 6 18
x x Cx
+ − − +−
( ) ( )2
12
1
8
2ln 4 tan 1
2 4x
x Cx x
−+− +
− ++
( )2
1 112 2
1 tan 1 ln 1
xx Cx
− ++ − +
+
( )4 1110 2 5tan ln 1 4 x x x C−− − + + +
( ) 12 15 3
1
5ln 2 3 4 tan xx x C−+ + − +
( )2
1 1 2
2 2ln + tan 1 2 3
x x x Cx
−+ ++ +
−
( )3 11
3 3 3
1ln 3 tan 3
xx x Cx
−+ − − +
( ) ( )2
22
8 4 ln 4 2 4x x C
x− − + +
+
( )1
2 32
1
2ln + 12 tan
4 9xx C
x− +
+
( ) 3 12 12 2
1ln 2 + ln t an 2
xx x C− +− + +
( ) ( )3
4 3
4
9ln
54. 22 3ln
2 1 + + 8 2 1
x x Cx
+ ++
2
x Cx x−⎛ ⎞ − +⎜ ⎟ −⎝ ⎠
56. 1
4 4ln 4 4
x Cx x
⎛ ⎞ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
58. ( )24 7ln 1 +
2 1xx Cx
++ +
+
60.
62. ( )( )
32
12 19ln 2 + 2
xx Cx
++
++
64.
66.
68. ( )( )2 3ln 2 1 2 1 + 4 2
x x Cx
+ − ++
70. ( )( )( )
32
5 4ln 2 1 + 1
xx x Cx
+− + +
+
72.
74. 1 14
12
1ln tan 1
x x Cx
−−− +
+
76. 11 tan x Cx
−− − +
78. ( )21
2
1
4
-1 ln tan
2x
x Cx
−+ ++
80.
82.
84.
86. ( )211
2
1ln 2 tan
1x
x Cx
−+− +
+
88.
90. 5 12 22
3ln + tan 4
xx Cx
− ++
92.
94. ( ) 1 3ln 1 2 tan 1
x x Cx
−− − −−
+
96.
2 212
1ln + 2
x x Cx+
+
98.
100. 22 4ln
2x Cx
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
102. ( )2 1ln 2 + tan x x C−+ +
104. 1 2
22 tan + x x x C− − +
106.
108. 1 1 tan x Cx
−− − +
110.
124
Cálculo Integral
112. ( ) ( )2
2
1
2
1 ln 2 2
x Cx
+ − ++
114. ( ) ( )2
2
1
2
1ln 2 + 2 2
x Cx
+ ++
CAPITULO III
Ejercicios tema 3.4.1
2. 1
28
4. 64 3
6. 32 a
8. 2
342
10. 4
12. ln 3
14. 8
3 ln 3−
16. ln 2
18. 15
20. 1128
22. 170.53
24. ∞
26. 2 6 π −
28. 3 38
30. 0
32. 13
34. 42
π−
36. 2
38. 23
40. 3 158−
42. 2π −
44. ∞
46. 0.3167
48. ln 2
50. ( )6 3 1 2
6
eπ−
− +
52. 12
54. 0.1534−
125
Cálculo Integral
CAPITULO IV
Ejercicios tema 4.1.1
2. 1.14
4. 1.79
6. 1.41
8. 6.92
10. 24.24
12. 143
14. 26.33
Ejercicios tema 4.3.1
2. 163
4. 18
6. 563
8. 143
10. 454
12. 24
14. 21
16. 1912
18. 12
20. 59
22. 360
24 13
26. 323
28. 16
30. 13.45
32. 74
34. 18 2
36. 14324
38. 25615
40. 8.20
42. 83
44. 29.81
126
Cálculo Integral
Ejercicios tema 4.5.1
2. 1296 5
π
4. 126 π
6. 320 π
8. 20 π
10. 15 4
π
12. 124 3
π
14. 48 π
16. 2π
18. 64 3
π
20. ( )2π π +
22. ( )3 2π π −
24. ( )101 12
e−−
26. 8 π
28. 128 π
30. 485
π
32. 0.56 π
34. 3
5129 π
36. 64 π
38. 32 π
Ejercicios tema 4.6.1
2. 10 , 13
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4. 171 , 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
6. 5 , 52
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
8. 3 3 , 2 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
10. ( ) 0 , 4.56
12. 8 8 , 15 21
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
14. ( )1.25 , 0.75
16. 16 , 07
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
18. ( )1 , 0.39
20. ( )0.57 , 0.39
22. ( )0.41 , 0.34
127
Cálculo Integral
24. 93750 .kg mπ
26. 1
311458 .kg mπ
28. 26325 .373
kg mw
π
30. 57600 .kg mπ
CAPITULO V
Ejercicios tema 5.3.1
2. 2e−
4. 2
6. 18 ln 2
8. − ∝
10. + ∝
12. 1 3
−
14. − ∝
16. 0
18. 0
20. 0
22. + ∝
24. 21
26. + ∝
28. 8
30. + ∝
128
Cálculo Integral
BIBLIOGRAFÍA
1. Anton Howard. Cálculo con Geometría Analítica.
Editorial Wiley.
2. Bermudez Morata Lluis. Cálculo Integral. 1ª Edición.
Editorial Mediana.
3. Cartas Chiñas Juan. Cálculo Integral. 1ª Edición.
Editorial Limusa
4. Casteleiro Villalba José Manuel. Cálculo Integral. 1ª Edición.
Editorial Esic
5. Cenbranos Pilar. Cálculo Integral Iniciación al Método Matemático. 1ª Edición.
Editorial Anaya. 6. Coquillat Duran Fernando. Cálculo Integral Metodología y Problemas. 2ª Edición. Editorial Tebar Flores. 7. Deborah Hughes Hallet. Cálculo. 2ª Edición. Editorial CECSA 8. Demidovich.
Cálculo integral para funciones de una variable. 1ª Edición Vol. 2. Editorial URRSS 9. Edwin J. Porcel, Date Varberg.
Cálculo diferencial e integral. 6ª Edición. Editorial Pearson Educación.
10. Fraleigh John B. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Addison – Wesley.
11. Frank Ayres Jr., Elliot Mendelson
Cálculo. 4a edición. Serie Schaum McGraw Hill.
129
Cálculo Integral
12. George B. Thomas Jr. Edición original. Cálculo infinitesimal y geometría analítica.
Editorial Aguilar. 13. Gonzalez Buron.
Cálculo elemental de Integrales. 1ª Edición. Editorial Progensa.
14. Granero Rodríguez Francisco.
Cálculo Integral y Aplicaciones. 1ª Edición. Editorial Prentice Hall. 15. Granville William A.
Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Noriega – LIMUSA.
16. Larson – Hostetler.
Cálculo con Geometría. Editorial Mc Graw Hill.
17. Larson Ron; Hostetler kubert P.
Cálculo. 8ª Edición. Editorial Mc Graw Hill. 18. Leithold Louis.
El Cálculo 7a Edición. Editorial OXFORD. University Press.
19. Matarix Plana José Luis. Mil Problemas de Calculo. 11ª Edición Vol. 2 Editorial Dossat.
20. N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. 6ª Edición Vol. 2 Editorial Mir Moscu.
21. Robert T. Smith, Roland B. Milton
Cálculo. 1ª Edición Tomo 1. Editorial Mc. Graw Hill.
22. Swokowsky Earl W.
Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 23 Zill Dennis G.
Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica
130