Tesis de Licenciatura El problema de similaridad de...

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura

El problema de similaridad de Halmos

Rodrigo Cardeccia

Director: Santiago Muro

Fecha de Presentación Julio 2015

Índice general

Introducción 1

1. Operadores completamente positivos 51.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Operadores completamente positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Teorema de representación de Stinespring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5. Teorema de extensión de Arveson para Mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Teorema de extensión de Arveson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Caracterización de la conjetura de Halmos 332.1. Teoremas de extensión y factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Morfismos completamente acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1. Caracterizacion de los operadores similares a una contracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Contraejemplo de Pisier 493.1. Teorema de Nehari-Page vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Operadores de Foguel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3. Operadores de Foguel inducidos por espacios de operadores Columna y CAR . . . . . . . . . . . . . . . 603.4. Contraejemplo de Foguel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliografía 71

i

Introducción

El problema de similaridad de Halmos nace de una célebre desigualdad demostrada por von Neumann en 1951 [19].Para presentar la desigualdad necesitamos algunas definiciones. Dado H un Hilbert, consideremos B(H) el espacio

formado por los operadores lineales y acotados. El espacio B(H) es un álgebra de Banach con la norma usual y el productola composición de operadores. Dados T un operador y p un polinomio, con p(z) =

∑nk=0 akzk, llamamos p(T ) al operador

lineal p(T ) =∑n

k=0 akT k. A un operador con ‖T‖ ≤ 1 lo llamaremos una contracción y notaremos ‖p‖∞ a sup|z|=1 |p(z)|.Teorema [Desigualdad de von Neumann] Sea T ∈ B(H) una contracción. Entonces para todo polinomio p,

‖p(T )‖B(H) ≤ ‖p(z)‖∞.

Una importante consecuencia de la desigualdad de von Neumann, es que permite dar un morfismo de álgebras unitalP(S1) → B(H) sin la necesidad de que el operador sea normal. El costo que se paga es que a diferencia del cálculofuncional, el morfismo deja de ser una isometría. Veremos también en el Corolario 1.2.19 que dicho morfismo se puedeextender a un morfismo unital A(D)→ B(H), donde A(D) es el álgebra del disco.

El problema de Halmos surge de relajar la hipótesis sobre T . Si en vez de suponer T contractivo, suponemos T similara una contracción, esto es, existe S inversible tal que S TS −1 es contractivo, entonces tenemos una desigualdad débil detipo von Neumann.

Sea T ∈ B(H) similar a una contracción, entonces existe c > 0 tal que para todo polinomio p,

‖p(T )‖B(H) ≤ c‖p‖∞. (1)

Demostración. Usando que T es similar a una contracción, se puede reescribir T n de una manera útil. Sean S inversibley R contracción de modo que S TS −1 = R. Luego,

T n = S −1RS S −1RS ...S −1RS S −1RS = S −1RnS . (2)

De esto es sencillo reescribir el polinomio p(T ),

p(T ) =∑

k

akT k =∑

k

akS RkS −1

= S

∑k

akRk

S = S P(R)S −1.

Finalmente, aplicando la desigualdad de von Neumann a p(R) y tomando c = ‖S ‖‖S −1‖,

‖P(T )‖ = ‖S P(R)S −1‖ ≤ ‖S ‖‖S −1‖‖p(R)‖ ≤ c‖p‖∞.

�

Un operador T que cumple la desigualdad (1) se dice polinomialmente acotado. En el párrafo anterior vimos que todooperador similar a una contracción es polinomialmente acotado. Halmos se preguntó en [8], si vale la recíproca ¿Si T espolinomialmente acotado, es necesariamente similar a una contracción?

La historia del problema es sin duda interesante. El problema de Halmos se remonta al estudio de Sz-Nagy sobreoperadores power bounded. Dado T ∈ B(H), T se dice power bounded si existe c > 0 tal que supn ‖T

n‖ < c. Usando laecuación (2), es sencillo ver que si T es similar a una contracción entonces es power bounded. En 1959, Sz-Nagy [16, 17],

1

2 ÍNDICE GENERAL

se pregunta si vale la recíproca ¿Serán todos los operadores power bounded similares a una contracción? Lo logra probarpara algunos casos particulares. Lo demuestra para el caso en el que el operador es inversible, más aún, prueba que éstosson similares a un unitario . Además lo prueba para operadores compactos. Sin embargo no lo logra en el caso general ytampoco consigue dar una caracterización para operadores similares a una contracción.

En 1964, Foguel descubre el primer ejemplo de un operador power bounded no similar a una contracción [7]. En elCapítulo 3 veremos que dicho operador es de la forma

F =

(S ∗ X0 S

)∈ B(l2 ⊕ l2),

donde S y S ∗ son el shift y coshift usuales de B(l2), y X ∈ B(l2) es una proyección. Al operador X se lo suele llamar elsímbolo de F.

Al poco tiempo de que Foguel presenta su contraejemplo, Halmos da su propia versión en On Foguel’s answer toNagy’s question [8]. Allí observa que aplicando la desigualdad de von Neumann a operadores similares a una contracción,se consigue que estos sean polinomialmente acotados. Además es muy sencillo probar que un operador polinomialmenteacotado es power bounded. Ésto se debe a que se puede reescribir la condición de ser power bounded, en término de que secumpla la desigualdad (1) solo para monomios. Halmos se pregunta entonces si todo operador polinomialmente acotadoes similar a una contracción.

El primer paso para responder a la pregunta de Halmos, era ver si el ejemplo presentado por Foguel era efectivamentepolinomialmente acotado. En 1968 Lebow [14] prueba que dicho ejemplo no es polinomialmente acotado. Dos años mástarde, Halmos presenta el problema en sus notas Ten Problems in Hilbert Space [9], donde expone diez importantesproblemas sin resolver en espacios de Hilbert. A partir de ese entonces es cuando el problema se termina de hacer famosoy se pasa a conocer como “el problema de similaridad de Halmos”.

En 1984 Paulsen [22], usando la novedosa teoría de espacios de operadores, encuentra la primer caracterización delos operadores similares a una contracción. Paulsen prueba que un operador es similar a una contracción si y sólo si escompletamente polinomialmente acotado. Un operador T se dice completamente polinomialmente acotado, si existe c > 0tal que para todo n y para toda matriz de polinomios Q ∈ Mn(P(S1)),

‖Q(T )‖B(Hn) ≤ c‖Q‖Mn(P(S1)).

El caso particular n = 1 muestra que si un operador T es completamente polinomialmente acotado es en particularpolinomialmente acotado. En este punto se reformula el problema de Halmos. La pregunta es ahora si todo operadorpolinomialmente acotado es completamente polinomialmente acotado.

A pesar de fallar el ejemplo de Foguel, muchos matemáticos creían que modificando el símbolo de dicho operador, sepodía hallar un operador polinomialmente acotado no similar a una contracción. Una forma de Hankel A en B(l2) es unamatriz infinita (A)i, j, tal que Ai, j = Ak,l si i + j = k + l. Por otro lado un conocido Teorema de Nehari [18] muestra queuna forma de Hankel tiene asociada una función ψ ∈ L∞(S1) de modo que las coordenadas A0,i son el i-ésimo coeficientede Fourier de ψ. Peller propone que el símbolo de F sea una forma de Hankel inducida por una ψ tal que ψ′ ∈ BMO.En 1984, Peller [25] prueba que un tal F necesariamente es polinomialmente acotado. Sin embargo dos años más tardeBourgain [3] prueba que ψ′ ∈ BMO implica F similar a una contracción. Finalmente en 1996 Peller y Aleksandrov [1]demuestran que un operador de Foguel F, con símbolo una forma de Hankel Aψ, es similar a una contracción si y sólo siψ′ ∈ BMO lo que da por terminada la busqueda de operadores de Foguel con símbolos de Hankel.

Sorprendentemente un año más tarde Pisier [27] encuentra un operador de Foguel-Hankel polinomialmente acotadono similar a una contracción. La diferencia con los anteriores casos radica en que F ya no está definida en B(l2⊕ l2) sino enB(l2(H)⊕ l2(H)) donde H es un Hilbert separable. El símbolo X encontrado es el inducido por una sucesión de operadoresque satisfaga la CAR (canonical anticommutative relations, ver Capítulo 3).

Para probar que dicho operador de Foguel no es similar a una contracción, Pisier usa la caracterización obtenidapor Paulsen. Sin embargo su prueba de que dicho operador es polinomialmente acotado es muy díficil. Al poco tiempode circular la versión preliminar de su paper, otros matemáticos, como Kisliakov [13], McCarthy [15] y Davidson yPaulsen [6] hacen significativos avances. El aporte más importante se debe a Paulsen y Davidson, que encuentran unasimplificación en términos del Teorema de Nehari-Page [21], una generalización al caso vectorial del Teorema de Nehari[18].

Índice general 3

Esta tesis tiene como objetivo principal presentar una resolución del problema de similaridad de Halmos . La tesisestá esencialmente dividida en dos partes. Los Capítulos 1 y 2 están dedicados a demostrar la caracterización de Paulsen,mientras que en el Capítulo 3 se presenta el contraejemplo de Pisier.

En el Capítulo 1 se estudian los operadores completamente positivos. Se da una primera demostración de la de-sigualdad de von Neumann y además que dicha desigualdad induce un morfismo de álgebras ρ : C(S1) → B(H) unital,completamente positivo y completamente contractivo. Para ello será necesario estudiar la relación existente entre ope-radores unitales completamente contractivos y operadores unitales completamente positivos. Luego se demuestra unacaracterización debida a Stinespring de los operadores completamente positivos. Por último un Teorema de extensiónpara operadores completamente positivos.

El Capítulo 2 está dividido en dos partes. La primera de ellas estudia los operadores completamente acotados, endonde se generalizan los resultados obtenidos para operadores completamente positivos. En la segunda parte, agregandola condición de que el operador sea morfismo de álgebras, se estudia la caracterización debida a Paulsen. Como corolariose demuestra un Teorema de Haagerup, que caracteriza una famosa conjetura debida a Kadison.

En el Capítulo 3 se presenta el contraejemplo de Pisier de un operador polinomialmente acotado no similar a unacontracción. Para ello, se estudian primero el Teorema de Nehari Page y los operadores de Foguel-Hankel. Por último sepresenta también el contraejemplo de Foguel de un operador power bounded no similar a una contracción.

Capítulo 1

Operadores completamente positivos

En este capítulo estudiaremos a los operadores completamente positivos. A diferencia de los operadores positivos,esta generalización tiene la ventaja de que se mantienen las fuertes propiedades de los funcionales positivos.

Salvo unos pocos resultados interesantes, sólamente daremos aquellas propiedades necesarias para caracterizar laconjetura de Halmos. Al principio del capítulo daremos una breve introducción de los espacios de operadores, sistemasde operadores y de la ∗-estructura matricial inducida por Mn y una C∗-álgebra A . Antes de estudiar a los operadorescompletamente positivos, nos pareció necesario estudiar a los operadores positivos, una generalización de los funcionalespositivos. Veremos que muchas de las propiedades conocidas ya no son válidas en general y estudiaremos condicionespara recuperar dichas propiedades. Por último veremos que un operador polinomialmente acotado, induce un morfismo deálgebras unital ρ : P(S1) → B(H), y que en el caso en el que el operador sea contractivo, el morfismo se puede extenderde forma positiva a C(S1).

Luego demostraremos algunos resultados generales para operadores completamente positivos, estudiaremos la re-lación entre operadores completamente positivos y completamente contractivos. Veremos también que el morfismo deálgebras inducido por un operador contractivo, admite una extensión completamente positiva a C(S1) y aplicaremos losresultados obtenidos previamente. Finalmente nos enfocaremos en probar dos resultados centrales en esta tesis: el Teo-rema de factorización de Stinespring 1.4.1, que caracteriza a los operadores completamente positivos y el Teorema deextensión de Arveson 1.6.6, que establece que todo operador completamente positivo se puede extender a todo el álgebra.

1.1. Preliminares

Empecemos definiendo una C∗-álgebra. En esta Tesis solo consideraremos C∗álgebras con unidad.

Definición 1.1.1. Sea A una C−álgebra, decimos que un operador ∗ : A → A es una involución si para todo a ∈ A ,λ ∈ C, vale que

i) (a∗)∗ = a,ii) (λa)∗ = λa∗ yiii) (ab)∗ = b∗a∗.

Definición 1.1.2. Decimos que A es una C∗-álgebra si es una C-álgebra, existen una involución ∗ y una norma ‖ − ‖ talque

i) (A , ‖ − ‖) es completo,ii) ‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖ para todo a, b ∈ A ,iii) ‖aa∗‖ = ‖a‖2.Diremos en este caso que ‖ − ‖ es una ∗-norma.

Definición 1.1.3. Sea A una C∗-álgebra y a ∈ A . Llamamos el espectro de a al conjunto σ(a) := {λ ∈ C : λ.1 − a}.Decimos que a es autoadjunto si a∗ = a y que a es positivo si a es autoadjunto y σ(a) ⊂ R≥0.

Además de poseer una ∗-norma, las C∗-álgebras tienen una estructura de orden natural, inducida por los elementospositivos. En general, diremos que b ≥ a si b − a es positivo en A . Como toda C∗ álgebra puede ser representada en un

5

6 CAPÍTULO 1. OPERADORES COMPLETAMENTE POSITIVOS

Hilbert ([5] Capítulo VII, Teorema 5.17), esto es, existe un ∗-monomorfismo π : A → B(H), y los ∗-monomorfismospreservan la positividad, un elemento es positivo en A si y sólo si lo es en B(H). En B(H) hay una caracterización útil,un operador T ∈ B(H) es positivo si y sólo si para todo h ∈ H, 〈T (h), h〉 ≥ 0.

Además de poseer una ∗-norma y una estructura de orden parcial, a una C∗-álgebra se le puede asociar una sucesiónde C∗-álgebras. El estudio de esta sucesión en forma global será fundamental en esta tesis. Veamos como construir dichasucesión. Consideremos Mn(A ) las matrices de dimensión n con coeficientes en A . Puesto que las matrices tienen unproducto y una involución natural, definidos como [AB]i, j =

∑l Ai,lBl, j y [A∗]i, j = A∗j,i, es natural preguntarse si se le puede

dotar de una ∗-norma.Empecemos con el caso sencillo en el que A sea B(H) para algún Hilbert H. Si H es un Hilbert, entonces Hn también,

con

⟨h, g

⟩Hn

=∑

i

〈hi, gi〉H y ‖h‖2Hn =∑

i

‖hi‖2H .

El espacio B(Hn) es una C∗álgebra con la involución y producto usuales. También hay un isomorfismo (lineal) entreB(Hn) y Mn(B(H)),

T1,1 . . . T1,n...

. . ....

Tn,1 . . . Tn,n

h1...

hn

7→

∑l T1,lh1...∑

l Tn,lhn

.El morfismo preserva la involución y el producto. Vía el isomorfismo podemos dotar a Mn(B(H)) de una estructura de

C∗-álgebra.Sea ahora A una C∗-álgebra y π : A → B(H) una representación. El morfismo π induce un monomorfismo πn :

Mn(A ) ↪→ Mn(B(H)) con

πn

a1,1 . . . a1,n...

. . ....

an,1 . . . an,n

7→

π(a1,1) . . . π(a1,n)...

. . ....

π(an,1) . . . π(an,n)

.Vale que el morfismo πn preserva la involución, el producto y además que πn(A ) es un subespacio cerrado de Mn(B(H)).En consecuencia Mn(A ) hereda la estructura de C∗-álgebra de Mn(B(H)). Por otro lado, como dada una C∗-álgebra hayuna única ∗-norma ([5] Capítulo VIII Teorema 4.8), la norma que construimos no depende de la representación elegida.Con esta estructura, πn es un ∗-monomorfismo y entonces (πn, B(Hn)) es una representación de Mn(A ). Como los elemen-tos positivos son estables por ∗-monomorfismos, los elementos positivos de Mn(A ) están unívocamente determinados.Un elemento P ∈ Mn(A ) es positivo si y sólo si πn(P) ∈ B(Hn) es positivo para algún πn, con (π, B(H)) una representaciónde A . Vemos entonces que aparte de poseer una norma y un orden parcial natural, las C∗-álgebras tienen asociada unasucesión de C∗-álgebras.

Debido a que los espacios Mn(A ) y Mn ⊗A son isomorfos, donde el isomorfismo viene dado por (A)i, j 7→∑

i, j Ei, j ⊗

[A]i, j y notamos Ei, j a las matrices elementales usuales de Mn, el espacio Mn⊗A posee una ∗-norma (y es única). Resultaútil entender la estructura de C∗-álgebra desde el punto de vista tensorial.

Dados H y K dos espacios de Hilbert, el espacio H ⊗ K tiene asociado un producto interno natural dado por 〈h1 ⊗

k1, h2 ⊗ k2〉2 = 〈h1, h2〉H〈k1, k2〉K . Sin embargo, el espacio H ⊗ K no necesariamente es completo. Debido a que en estatesis no consideraremos otra norma en H⊗K, en general nos referiremos a H⊗K como la completación de (H⊗K, ‖−‖2).

Dadas las C∗-álgebras Mn y A , el espacio Mn ⊗ A hereda un producto y una involución natural, dados por (A1 ⊗

b1)(A2 ⊗ b2) = A1A2 ⊗ b1b2 y (A ⊗ b)∗ = A∗ ⊗ b∗. Consideremos (π, B(H)), una representación de A . El operadorIdMn ⊗ π : Mn ⊗A → Mn ⊗ B(H) ≡ B(Cn) ⊗ B(H) ≡ B(Cn ⊗ H) es nuevamente un morfismo que preserva la involución,el producto y además Mn ⊗A es cerrado en B(Cn ⊗ H). Luego Mn ⊗A hereda una estructura de C∗-álgebra y IdMn ⊗ π

es una representación de Mn ⊗A .Observemos que en las construcciones consideraremos πn y IdMn ⊗ π morfismos inducidos por π. Ésto se puede hacer

independientemente de la ∗-estructura, dado M un subespacio de una C∗-álgebra, B una C∗-álgebra y φ : M → B unoperador, uno puede considerar φn : Mn(M)→ Mn(B) definido como

1.1. Preliminares 7

φn

a1,1 . . . a1,n...

. . ....

an,1 . . . an,n

7→

φ(a1,1) . . . φ(a1,n)...

. . ....

φ(an,1) . . . φ(an,n)

.Es fácil probar que φn es acotado, sin embargo su norma puede depender de n. Nos va a interesar especialmente el

caso en el que exista una cota que mayore a todas las normas simultaneamente.

Definición 1.1.4. Dada A una C∗-álgebra, decimos que M es un espacio de operadores si es un subespacio cerrado deA .

Definición 1.1.5. Sean M un espacio de operadores, B una C∗-álgebra y φ : M → B un operador. Decimos que φ escompletamente acotado si

supn‖φn‖Mn(M) < ∞.

O equivalentemente si,sup

n‖IdMn ⊗ φ‖Mn⊗M < ∞.

En este caso llamaremos a dicho supremo ‖φ‖cb (Por completely bounded).

En general, dada una Propiedad P para un operador φ, el adjetivo completamente, se refiere a que la propiedad P semantiene para φn para cada n. En la categoría de espacios de operadores, los objetos siguen siendo espacios de Banach,pero los morfismos pasan a ser los operadores completamente acotados. Es importante notar que la estructura varía segúnla C∗-álgebra elegida. En el siguiente ejemplo veremos que todo espacio de Banach puede ser visto como un espacio deoperadores, sin embargo esto no agrega información adicional.

Ejemplo 1.1.6. Todo espacio de Banach puede ser visto como un espacio de operadores.En efecto, consideremos X∗ el dual de X y BX∗ su bola unitaria, que por el Teorema de Alaogu es w∗- compacto

(y además es Hausdorff). Luego C(BX∗ ) es una C∗-álgebra. Veamos que podemos identificar a X con un subespacio deC(BX∗ ). Definamos ˆ : X → C(BX∗ ), como x(φ) = φ(x). Como en C(BX∗ ) estamos considerando la w∗-topología es fácilprobar que ˆ está bien definido y es isométrico, de donde X ↪→ C(BX∗ ).

Ejemplo 1.1.7. Sean X e Y espacios de Banach y consideremos X ↪→ C(BX∗ ) y Y ↪→ C(BY∗ ). Entonces φ : X → Y esacotado si y sólo si φ es completamente acotado. Más aún, ‖φ‖cb = ‖φ‖.

Demostración. Basta ver que para cada n, ‖φn‖ ≤ ‖φ‖. Considerando φ =φ‖φ‖

, podemos suponer ‖φ‖ ≤ 1 y probar que‖φn‖ ≤ 1. Sea (Xi, j)n

i, j ∈ Mn(C(BX∗ )), con cada Xi, j = xi, j. Se puede probar que (y lo haremos en la Observación 1.3.12)

‖Xi, j‖ = supϕ∈BX∗

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

x1,1(ϕ) . . . x1,n(ϕ)...

. . ....

xn,1(ϕ) . . . xn,n(ϕ)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

Mn

= supϕ∈BX∗

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ϕ(x1,1) . . . ϕ(x1,n)...

. . ....

ϕ(xn,1) . . . ϕ(xn,n)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

Mn

.Consideremos φn(Xi, j) y calculemos su norma.

‖φn(Xi, j)‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥φ(x1,1) . . . φ(x1,n)...

. . ....

φ(xn,1) . . . φ(xn,n)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥φ(x1,1) . . . φ(x1,n)...

. . ....

φ(xn,1) . . . φ(xn,n)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

= supψ∈BY∗

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ψ(φ(x1,1)) . . . ψ(φ(x1,n))

.... . .

...

ψ(φ(xn,1)) . . . ψ(φ(xn,n))

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

Mn

. (1.1)

Notemos que como ‖φ‖ ≤ 1, entonces ψ ◦ φ ∈ BX∗ , de donde usando la igualdad (1.1),


‖φn(Xi, j)‖ ≤ supϕ∈BX

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ϕ(x1,1) . . . ϕ(x1,n)...

. . ....

ϕ(xn,1) . . . ϕ(xn,n)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

Mn

= ‖Xi, j‖.

�

Observemos que si A , B y C son C∗-álgebras y φ : A → B y ρ : B → C , entonces (ρ ◦ φ)n : Mn(A ) → Mn(C ),no es otra cosa que ρn ◦ φn. De esto deducimos que si φ y ρ son completamente acotados, entonces ‖ρ ◦ φ‖cb ≤ ‖ρ‖cb‖φ‖cb.

1.2. Operadores Positivos

Así como en un espacio de operadores analizamos las normas ‖(−)n‖ de forma simultanea, también nos va a interesarestudiar de manera conjunta la positividad de los operadores. Ésto ya no lo haremos en la categoría de espacios de opera-dores, sino que lo haremos en la categoría de sistema de operadores. En esta nueva categoría cambian los objetos (sistemasde operadores) y los morfismos (operadores completamente positivos). Antes de estudiar a los operadores completamentepositivos, nos será útil estudiar a los operadores positivos. Éstos son una generalización de los funcionales positivos. Sinembargo, muchas de las propiedades conocidas se pierden. Veremos que no necesariamente un operador positivo admiteuna extensión positiva al álgebra y que su norma no es necesariamente alcanzada en la unidad.

Definición 1.2.1. Si S es un subconjunto de una C∗-álgebra A , definimos S ∗ = {a : a∗ ∈ S }. Decimos que S esautoadjunto si S =S ∗. Por último decimos que S es un sistema de operadores si S es un subespacio (no necesariamentecerrado) autoadjunto y 1 ∈ S .

Definición 1.2.2. Sea B una C∗-álgebra y S ⊆ A un sistema de operadores. Decimos que el operador φ : S → B espositivo si φ(a) es positivo para todo a ∈ S positivo. Además, decimos que φ es completamente positivo si φn : Mn(S ) →Mn(B) es positivo para todo n. Por último decimos que φ es autoadjunto si φ(a∗) = φ(a)∗ para todo a ∈ S .

Uno puede preguntarse por qué son los sistemas de operadores el lugar correcto para analizar la positividad de losmorfismos. Una posible respuesta es que en general se espera que los elementos positivos generen el espacio y ademásque ser positivo implique ser autoadjunto. Si suponemos que S es un sistema de operadores, veremos en las Observaciones1.2.3 y 1.2.4 que esto sucede. Por otro lado, la condición de que 1 ∈ S no afecta a la positividad del operador. Si 1 no estáen S , uno puede considerar S = 1 ⊕ S de forma que S resulta un sistema de operadores. Por otro lado, φ : S → B espositivo, si y sólo si la extensión lineal a S → B, definida como φ(1) = 1 es positiva.

Recordemos que una C∗-álgebra está genererada por sus elementos positivos. Para demostrarlo uno usualmente pruebaprimero que el generado por los elementos autoadjuntos es todo el álgebra y luego que los positivos generan a los auto-adjuntos. Sin embargo, para ver ésto último uno usualmente pasa por el cálculo funcional. Ésto ya no se puede hacer enun sistema de operadores (al menos de forma trivial), ya que vía el cálculo funcional los elementos positivos encontradospodrían no estar en S . A pesar de ello el resultado sigue siendo válido. Las siguientes observaciones explotan la estructurade sistema de operadores.

Observación 1.2.3. Si S es un sistema de operadores entonces está generado por sus elementos positivos.

Demostración. Vaemos primero que los autoadjuntos generan S . Sea x ∈ S , luego x = r1 + r2 con r1 = x+x∗2 y r2 = x−x∗

2i .Sea ahora a autoadjunto y veamos que existen p1 y p2 positivos tal que a = P2 − P1.Tomemos p2 = 1

2 (‖a‖1 + a) y p1 = 12 (‖a‖1 − a). Ambos resultan positivos pues ±a ≤ ‖ ± a‖1 = ‖a‖1 además es claro

que p2 − p1 = a. �

Observación 1.2.4. Si φ es positivo, entonces resulta autoadjunto.

Demostración. Sea a autoadjunto y probemos que φ(a) es autoadjunto. Por la observación previa, existen p2 y p1 positivostal que a = p2 − p1. Luego φ(a) = φ(p2) − φ(p1). Como φ es positivo, tenemos que para cada i, φ(pi) es positivo y enconsecuencia autoadjunto. Como resta de autoadjuntos es autoadjunto, concluimos que φ(a) es autoadjunto.

Sea ahora x ∈ S , por las observaciones previas existen a, b autoadjuntos tal que x = a + ib. Luego

1.2. Operadores Positivos 9

φ(x∗) = φ(a − ib) = φ(a) − iφ(b) = [φ(a) + iφ(b)]∗ = φ(x)∗

�

El siguiente ejemplo muestra que un operador positivo no necesariamente alcanza la norma en la unidad. El mismo esa su vez un ejemplo de un operador positivo que no se puede extender al álgebra, pero para ver esto último necesitamosantes presentar un Teorema debido a Stinespring (Teorema 1.2.9).

Ejemplo 1.2.5 (Arveson). Sea S ⊆ C(S1) el sistema de operadores generado por las funciones: {1, z, z} y sea φ : S → M2

definido como: φ(a1, bz, cz) =

(a 2b2c a

). Entonces φ es positivo y ‖φ‖ , ‖φ(1)‖.

Demostración. Se puede ver que los elementos positivos de S son de la forma a + bz + bz con a ≥ 2|b|. Además unacondición equivalente para que una matriz sea positiva es que sus entradas diagonales y determinantes sean positivos. Es

trivial entonces ver que φ es positivo. Si tomamos p = a + bz + bz, φ(p)=(

a 2b2b a

), resulta positiva porque a ≥ |b|.

Además, teniendo en cuenta que φ(1) = Id y que φ(z)=(

0 22 0

)tenemos que 2 = 2‖φ(1)‖ ≥ ‖φ‖ ≥ ‖φ(z)‖ = 2. �

A pesar de que la norma de un operador positivo no esteé acotada por la norma de evaluarlo en la unidad, ssucede queexiste c > 0 tal que para todo φ positivo, ‖φ‖ ≤ c‖φ(1)‖.

Proposición 1.2.6. Sea S un sistema de operadores y B una C∗-álgebra. Si φ : S → B es un operador positivo, entoncesφ es acotado y además ‖φ‖ ≤ 2‖φ(1)‖.

Usaremos el siguiente lema.

Lema 1.2.7. Sean p1 y p2 elementos positivos en una C∗ álgebra A, entonces ‖p1 − p2‖ ≤ max{‖p1‖, ‖p2‖}

Demostración. Sea (π, B(H)) una representación de A . Como para todo h en B(H) vale que ‖π(h)‖ = ‖h‖ y h es positivosi y sólo si π(h) es positivo, podemos suponer que tanto p1, como p2 pertenecen a B(H). Además p1 − p2 es autoadjunto,por lo que tenemos que ‖p1 − p2‖ = sup‖x‖≤1 | 〈p1(x) − p2(x), x〉 |. Sea x con ‖x‖ ≤ 1 fijo, teniendo en cuenta que p1 y p2

son positivos, resulta que

| 〈p1(x) − p2(x), x〉 | = | 〈p2(x), x〉 − 〈p1(x), x〉 | ≤ max{〈p2(x), x〉 , 〈p1(x), x〉}

≤ max{‖p1‖‖x‖, ‖p2‖‖x‖} ≤ max{‖p1‖, ‖p2‖}.

Luego, ‖p2 − p1‖ ≤ max{‖p1‖, ‖p2‖}.�

Demostración de la Proposición 1.2.6. Sea h un elemento autoadjunto perteneciente a S y sean p1 y p2 como en la Ob-servación 1.2.3, pi = 1

2 (‖h‖1 ± h), y ambos son positivos. Tenemos entonces que φ(h) = φ(p2) − φ(p1) y φ(pi) es positivopara cada i. Aplicando el lema enterior,

‖φ(p2) − φ(p1)‖ ≤ max{‖φ(p1)‖, ‖φ(p2)‖}.

Luego,

‖φ(h)‖ ≤12

max{φ(‖h‖1 + h), φ(‖h‖1 − h)} ≤12

(‖h‖‖φ(1)‖ + ‖φ(h)‖),

de donde, ‖φ(h)‖ ≤ ‖h‖‖φ(1)‖.Finalmente si a es arbitrario, lo podemos escribir como, a = h + ik con h y k autoadjuntos y ‖h‖, ‖k‖ ≤ ‖a‖. Entonces,

‖φ(a)‖ ≤ ‖φ(h)‖ + ‖φ(k)‖ ≤ 2‖φ(a)‖.

�


En el caso particular en el que el sistema de operadores sea todo el álgebra vale que si φ es positivo entonces sunorma es alcanzada en la unidad. Para demostrarlo, necesitaremos previamente probar el resultado para el caso en el queel álgebra sea C(X).

Lema 1.2.8. Sean A una C∗-álgebra con unidad y pi, i = 1, ..., n elementos positivos de A tal que∑n

i=1 pi ≤ 1. Siλi, i = 1, ...n son escalares con |λi| ≤ 1, entonces ‖

∑ni=1 λi pi‖ ≤ 1.

Demostración. Consideremos en Mn(A ) las matrices:

M =

p

121 . . . p

12n

0 . . . 0... . . .

...

0 . . . 0

, N =

λ11 0 . . . 0

0. . .

. . . 0...

. . .. . .

...

0 . . . . . . λn1

y S =

∑ni=1 λi pi 0 . . . 0

0 0 . . ....

... . . .. . .

...

0 . . . . . . 0

Notemos que MNM∗ = S y que la norma de S es justamente ‖

∑ni=1 λi pi‖. Por otro lado, ‖MNM∗‖ ≤ 1. Esto se

debe a que, por un lado ‖N‖ ≤ 1 por ser una matriz diagonal y tener sus entradas con norma menor o igual que 1. Porotro lado, MM∗ es otra matriz diagonal con entradas

∑ni=1 pi. Como dichas entradas tienen norma menor o igual que 1,

1 ≥ ‖MM∗‖ = ‖M‖2.�

Teorema 1.2.9. Sean B una C∗-álgebra con unidad, X un conjunto compacto y Hausdorff y φ : C(X)→ B un operadorpositivo. Entonces ‖φ‖ = ‖φ(1)‖.

Demostración. Considerando ψ =φφ(1) , podemos suponer que ‖φ(1)‖ = 1 y Probar que ‖φ‖ = 1. Como 1 = ‖φ(1)‖ ≤ ‖φ‖,

basta probar que ‖φ‖ ≤ 1.Sea f con ‖ f ‖ ≤ 1, debemos ver que ‖φ( f )‖ ≤ 1. Sea ε > 0, como X es compacto, existen xi y Ui abiertos, 0 ≤ i ≤ n talque X ⊂

⋃ni=1 Ui y | f (x) − f (xi)| < ε para todo x ∈ X. Consideremos qi una partición de la unidad subordinada a {Ui}. Es

decir: qi son funciones continuas no negativas con∑n

i=1 qi = 1 y sop(qi) ⊂ Ui. Notemos que si qi(x) , 0, entonces x ∈ Ui

y en consecuencia | f (x) − f (xi)| < ε.Fijemos x ∈ X, entonces∣∣∣∣∣∣∣ f (x) −

n∑i=1

qi(x) f (xi)

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣ f (x)n∑

i=1

qi(x) −n∑

i=1

qi(x) f (xi)

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣n∑

i=1

( f (x) − f (xi))qi(x)

∣∣∣∣∣∣∣ ≤n∑

i=1

| f (x) − f (xi)||qi(x)|

=∑

i:x∈sop(qi)

| f (x) − f (xi)|qi(x) ≤∑

i:x∈sop(qi)

εqi(x) ≤ ε.

Conluimos que‖ f −

∑i

qi f (xi)‖ < ε. (1.2)

Apliquemos el lema anterior con λi = f (xi) y pi = φ(qi). Verifiquemos brevemente que se cumplen las hipótesis. Debemosver que pi son elementos positivos, | f (xi)| ≤ 1 y

∑ni=1 φ(qi) ≤ 1.

Debido a que φ es un operador positivo y qi son funciones positivas, vale que pi es positivo. Además por hipótesis‖ f ‖ ≥ 1 (y φ es contractivo), de donde | f (xi)| ≤ 1. En cuanto a la útlima condición, como 1 −

∑qi ≥ 0 y φ es postivo,

resulta que∑φ(qi) ≤ 1. Aplicando el lema anterior,∥∥∥∥∑ f (xi)φ(qi)

∥∥∥∥ ≤ 1. (1.3)

Finalmente, aplicando las ecuaciones (1.2) y (1.3),

‖φ( f )‖ =∥∥∥∥φ (

f −∑

f (xi)qi +∑

f (xi)qi

)∥∥∥∥≤

∥∥∥∥φ (f −

∑f (xi)qi

)∥∥∥∥ +∥∥∥∥∑ f (xi)φ(qi)

∥∥∥∥≤ ‖φ‖

∥∥∥∥ f (x) −∑

qi f (xi)∥∥∥∥ + 1 ≤ ε‖φ‖ + 1.


�

Ejemplo 1.2.10. El operador definido en el Ejemplo 1.2.5 no se puede extender de forma positiva a C(S1).

Demostración. Vimos en el Ejemplo 1.2.5, que ‖φ‖ = 2‖φ(1)‖. De existir una extensión φ, por el teorema anterior,

‖φ‖ = ‖φ(1)‖ = ‖φ(1)‖ < ‖φ‖.

Que es una contradicción. �

Observación 1.2.11. Una reformulación equivalente a la desigualdad de von Neumann es que si T ∈ B(H) es contractivo,entonces el operador ρT : P(S1) → B(H), donde ρ(p) = p(T ) y P(S1) es el subespacio generado por los polinomios, estambién contractivo. En este punto surge la pregunta natural ¿Será el morfismo ρT positivo?

Definición 1.2.12. Diremos que ρ : P(S1) → B(H) es un morfismo de von Neumann, si ρ es un morfismo de álgebrasacotado y unital.

Observación 1.2.13. Sea H un Hilbert, A = {ρ : P(S1) → B(H) : ρ es morfismo de von Neumann} y B = {T ∈ B(H) :T es polinomialmente acotado}. Entonces las aplicaciones Λ : A → B, y Γ : B → A, definidas como Λ(ρ) = ρ(z) yΓ(T ) = ρT son aplicaciones inversas. Más aún,

‖ρT ‖ = ınfc{‖p(T )‖ ≤ c‖p‖∞}.

A este fenomeno también se lo puede ver desde el punto de vista de los conjuntos espectrales. Se dice que un conjuntoX, compacto de C, es K-espectral para un operador T , si existe un operador ρ : R(X) → B(H) tal que ρ( p

q ) =p(T )q(T ) ,

esté bien definido y tenga norma menor o igual que K. Observemos que a priori la desigualdad de von Neumann no esequivalente a que S1 sea 1-espectral para todo operador contractivo. Sin embargo lo es. En la proposición 1.2.25 veremosque existe ρ : R(S1) → B(H) bien definido y que además es positivo. Por otro lado, en el Corolario 1.2.26, veremos quenecesariamente ρ es contractivo.

Si T es polinomialmente acotado, entonces su morfismo de von Neumann es un morfismo de álgebras, ρ(pq) =

ρ(p)ρ(q). Sin embargo si la extensión de ρ al álgebra S = P(S1) + P(S1) está bien definida, el operador ρ podría dejar deser multiplicativo. De hecho, si fuese multiplicativo,

Id = ρ(1) = ρ(zz) = Tρ(z),

de donde se deduce que T tiene que ser necesariamente inversible.Para responder a la pregunta de la Observación 1.2.11 haremos uso del siguiente lema.

Lema 1.2.14 (Fejer-Riesz). Sea f (z) =∑n=N

n=−N anzn una función continua estrictamente positiva en S1, entonces existe unpolinomio p(z) =

∑n=Nn=0 bnzn tal que

f (z) = |p(z)|2.

Demostración. Observemos que como f es real, an = a−n y a0 ∈ R. En efecto,

n=N∑n=−N

anzn = f (z) = f (z) =

n=N∑n=−N

anzn =

n=N∑n=−N

anz−n =

n=N∑n=−N

a−nzn,

de donde se concluye la afirmación. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir a−N , 0. Consideremos g(z) = f (z)zN ,de forma que g, visto ahora en C, es un polinomio de grado 2N y g(0) , 0. Además debido a la antisimetría de suscoeficientes, g cumple la siguiente igualdad

g(z−1) = z−2Ng(z),

ya que,

g(z−1) = z−1Na0 +

n=N∑n=1

an(z−1)n +

n=N∑n=1

an(z−1)−n

= z−N

a0 +

n=N∑n=1

anz−n +

n=N∑n=1

anzn

= z−2Ng(z).


luego, recordando que 0 no es raíz de g, se deduce que r es una raíz de g si y sólo si r−1 también lo es. Más aún, se puedever que si |r| , 1, la multiplicidad de r y r−1 es la misma. Por otro lado, debido a que f es estrictamente positivo, g notiene raices de módulo 1.

Sean {r1, ..., rn} tal que {r1, r1−1..., rn, rn

−1} son todas las raíces de g y consideremos

p(z) = (z − r1)...(z − rn) , q(z) = (z − r1−1)...(z − rn

−1),

de modo que aN p(z)q(z) = g(z). Veamos que p y q cumplen la siguiente relación:

q(z) = (−1)N zN p(z−1)r1...rN

.

En efecto,

(−1)NzN p(z−1) = (−1)NzN(z−1− r1)...(z−1

− rn)

= (−1)N(1 − zr1)...(1 − zrn)

= (zr1 − 1)...(zrn − 1)

= r1...rn(z − r−11 )...(z − r−1

n )

= r1...rnq(z).

Finalmente, volviendo al círculo unitario y recordando que allí f es positiva,

f (z) = | f (z)| = |zNg(z)| = |g(z)|

= |aN p(z)||q(z)| = |aN ||p(z)||q(z)|

= |aN ||p(z)|

∣∣∣∣∣∣(−1)N zN p(z)−1

r1...rN

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ aN

r1...rN

∣∣∣∣∣ |p(z)|2.

�

Teorema 1.2.15. Sea T un operador contractivo en un Hilbert H y S el sistema de operadores P(S1) + P(S1), entoncesel operador definido por ρ(p + q) = p(T ) + q(T )∗ está bien definido y es positivo (y acotado).

Demostración. Es sencillo ver que ρ está bien definido. Sean p, q, r, s polinomios tal que p + q = r + s, debemos ver quep(T ) + q(T )∗ = r(T ) + s(T )∗. Como p − r = s − q, p − r ∈ S

⋂S ∗, existe λ ∈ R de modo que p − r = λ. Finalmente

p(T ) + q(T )∗ = λId + r(T ) − λId + s(T )∗ = r(T ) + s(T )∗.Para probar la positividad de ρ, basta probar que ρ( f ) es positivo para todo f estrictamente positivo. En efecto, si

f fuese solo positivo, podríamos consirerar gε = f + ε1 que sería estrictamente positivo para cualquier ε > 0 y luegoρ( f ) + εIdH = ρ(gε) > 0. Tomando límite con ε → 0 se deduciría que ρ( f ) ≥ 0.

Sea f ∈ S estrictamente positivo. Por el Lema 1.2.14, f es de la forma

n∑i, j=0

aia jzi− j.

Debemos ver que

ρ( f ) = f (T ) =

n∑i, j=0

aia j T (i − j)

es un operador positivo, donde

T (k) =

{T k, k ≥ 0

T ∗−k, k ≤ 0

).


Veamos que para todo x ∈ H vale que 〈( f (T )x, x〉 ≥ 0 Para ello consideremos la matriz Ti, j = T (i − j),

Ti, j =

Id T ∗ . . . T ∗n

T. . .

. . ....

.... . .

. . . T ∗

T n . . . T Id

y notemos que

〈T ( f )x, x〉H =

⟨∑i, j

T (i − j)a jx, aix⟩

H

=⟨Ti, jh, h

⟩Hn,

donde tomamos h = (a0x, . . . , anx). Luego, basta ver que la matriz de operadores Ti, j es una matriz positiva.Sea

R =

0 . . . . . . . . . 0

T 0 . . . . . ....

0. . . 0 . . .

......

. . .. . .

. . ....

0 . . . 0 T 0

Observemos que ‖R‖ ≤ 1, Rn = 0 y que I − R es inversible (con inversa I + R + R2 + ... + Rn−1). Tenemos entonces que

Ti, j =

n−1∑i=0

Ri +

n−1∑i=1

R∗i= (I − R)−1 + (I − R∗)−1 − I.

Veamos que la matriz Ti, j es positiva. Consideremos y tal que h = (I − R)y.⟨Ti, jh, h

⟩Hn

=⟨((I − R)−1 + (I − R∗)−1 − I)h, h

⟩Hn

=⟨(I − R)−1h, h

⟩+

⟨(I − R∗)−1h, h

⟩− 〈h, h〉

= 〈y, (I − R)y〉 + 〈(I − R)y, y〉 − 〈(I − R)y, (I − R)y〉

= 〈y, y〉 − 〈y,Ry〉 + 〈(I − R)y, y〉 − 〈(I − R)y, y〉 + 〈(I − R)y,Ry〉

= 〈y, y〉 − 〈Ry,Ry〉 .

La última igualdad es siempre positiva por ser R una contracción.�

Observemos que el conjunto formado por las funciones racionales en S1 es exactamente P(S1) + P(S1). En efecto,P(S1) + P(S1) ⊆ R(S1) por estar P(S1) + P(S1) generado por funciones racionales. Por otro lado, R(S1) es la menor álgebraA tal que z, 1

z ∈ A . Como z, z ∈ P(S1) + P(S1) y éste último es un álgebra, deducimos que P(S1) + P(S1) = R(S1).Si T es un operador contractivo en un Hilbert, entonces su morfismo de von Neumann se puede extender de forma

positiva a las funciones racionales. Por la Proposición 1.2.6 dicho morfismo es acotado. Para probar la desigualdad de vonNeumann, lo único que resta ver es que el morfismo tiene norma menor o igual que uno.

Lema 1.2.16. Sean S un sistema de operadores que además es un álgebra, B una C∗-algebra y φ : S → B un operadorpositivo, entonces φ se puede extender de forma positiva a la clausura de S .

Demostración. Trivialmente φ se extiende de forma continua a la clausura de S . Resta ver que la extensión es positiva.Sea p ∈ S un elemento positivo, veamos que existe una sucesión de elementos positivos en S (an) tal que lımn→∞ an =

p. En efecto, sea A una C∗-álgebra tal que S ↪→ A . Considerando (π, B(H)) una representación de A , podemos suponerque S es un sistema de operadores contenido en B(H). Sea (an)n ∈ S tal que (an)n → p. Considerando para cada n,an =

an+a∗n2 , an es autoadjunto y lımn→∞(an)n =

p+p∗

2 = p. Podemos suponer (an)n sucesión de autoadjuntos. Sea (ank )k


subsucesión tal que para cada k, ‖ank − p‖ < 12k . Sea ank = ank + Id

k . Es claro que (ank )k tiende a p y pertenece a S , veamosque es positivo. En efecto,

〈ank +Idk− p(y), y〉 >

(1k−

12k

)‖y‖2 > 0,

de donde ank ≥ p.Sea entonces (an) sucesión de positivos en S tendiendo a p. Como φ es positivo y continuo, para cada n, φ(an) es

positivo y además lımn→∞ φ(an) = φ(p). Como φ(p) es límite de positivos, φ(p) resulta positivo.�

Corolario 1.2.17. Si T es contractivo entonces su morfismo de von Neumann se puede extender de forma positiva aC(S1).

Demostración. Definamos S como P(S1) + P(S1). Por el Teorema 1.2.15 podemos extender ρ a S de forma positiva.Como S es una C∗-álgebra y separa puntos, por el teorema de Stone-Weierstrass S es denso en C(S1) y gracias al lemaprevio, la extensión a C(S1) es positiva.

�

Corolario 1.2.18 (desigualdad de von Neumann). Sea T un operador contractivo en un Hilbert, entonces para todopolinomio p ∈ C(S1),

‖p(T )‖ ≤ ‖p‖∞.

Demostración. Por el Corolario 1.2.17 existe un operador ρ : C(S1) → B(H), ρ( f ) = f (T ) bien definido y positivo.Además, como S1 es un compacto, por el Teorema 1.2.9, la norma de ρ se alcanza en 1. Luego vale que

‖P(T )‖ = ‖ρ(P)‖ ≤ ‖ρ‖‖P‖∞ = ‖ρ(1)‖‖P‖∞ = ‖Id‖‖P‖∞.

�

Corolario 1.2.19. Sea T ∈ B(H) contractivo y sea A(D) el álgebra del disco, las funciones holomorfas en D y continuasen el borde. Entonces existe ρ : A(D)→ B(H) tal que ρ( f ) = f (T ) y ‖ρ‖ ≤ 1.

Demostración. Basta definir ρ en los polinomios y extenderla por densidad. Definamos ρ(p) := p(T ) y veamos que ρ tienenorma menor o igual que 1. Observemos que como los polinomios son armónicos, por el principio del módulo máximose tiene que ‖p‖∞,D = ‖p‖∞,S1 . Luego por la desigualdad de von Neumann 1.2.18,

‖p(T )‖ ≤ ‖p‖∞,S1 = ‖p‖∞,D.

�

Si A es una C∗-álgebra unital, podemos generalizar la desigualdad de von Neumann de forma sencilla. Ésto permitetambién generalizar la noción de morfismo de von Neumann para el caso en el que el codominio sea una C∗-álgebra unital.

Corolario 1.2.20. Sea a ∈ A una C∗-álgebra con 1 ∈ A y ‖a‖ ≤ 1, entonces existe ρ : C(S1)→ A positivo y unital, talque ρ(p) = p(a) para todo polinomio p.

Demostración. Sea (π, B(H)) una representación de A . Como ‖π(a)‖ ≤ 1, existe ρ : C(S1)→ B(H) tal que ρ(p) = p(π(a))y ρ(p∗) = p(π(a∗)) para todo polinomio p. Luego,

ρ(C(S1)) = ρ(P(S1) + P(S1)∗) ⊆ ρ(P(S1) + P(S1)∗)

⊆ C∗(π(a)) ⊂ π(A ).

El operador π−1 ◦ ρ es el buscado. �

El corolario anterior nos permite encontrar una condición sobre el sistema de operadores S de modo que si φ espositivo, entonces su norma se alcanza en 1.


Corolario 1.2.21. Sean B , C C∗-álgebras con unidad, A una subálgebra unital de B, S el sistema de operadoresA + A ∗, y φ : S → C positivo. Entonces ‖φ(a)‖ ≤ ‖φ(1)‖‖a‖.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos asumir ‖a‖ = 1.Como φ es positivo la extensión a S sigue siendo positiva y además S es ahora una C∗-álgebra. Usando el corolario

anterior con S , existe ρ : C(S1) → S tal que ρ(p) = p(a). El operador φ ◦ ρ es positivo y por el Teorema 1.2.9 su normase alcanza en 1. Entonces

‖φ(a)‖ = ‖φ(ρ(z))‖ ≤ ‖φ(ρ(1))‖‖z‖∞ ≤ ‖φ(1)‖1.

�

Corolario 1.2.22. Sean A y B C∗-álgebras con unidad y φ : A → B un operador positivo, entonces ‖φ‖ = ‖φ(1)‖.

Demostración. Aplicar el corolario anterior.�

Hasta aquí estuvimos estudiando condiciones de modo que si φ : S → B es positivo y unital entonces φ sea contrac-tivo. Ahora estamos interesados en la recíproca ¿Si φ es contractivo y unital, entonces es necesariamente positivo?

Para responder a la pregunta haremos uso del siguiente lema.

Lema 1.2.23. Sea A una C∗-álgebra, S ⊆ A un sistema de operadores y ϕ : S → C un funcional con ϕ(1) = 1 y‖ϕ‖ = 1. Entonces,

i) Si a es un elemento normal de A y a ∈ S , entonces ϕ(a) pertenece a la cápsula convexa cerrada de σ(a).ii) ϕ es positiva.

Demostración. Sea a ∈ S un elemento normal y supongamos que no pertenece a la cápsula convexa cerrada de σ(a).Observemos que la cápsula convexa de un compacto es la intersección sobre todos los discos que contienen al compacto.Luego existe α ∈ C y un r > 0 tal que |ϕ(a) − α| > r y para todo λ ∈ σ(a), |λ − α| < r. Consideremos a − α1. Comoσ(a − α1) = σ(a) − α, vale que para todo β ∈ σ(a − α1), |β| < r.

Teniendo en cuenta que a − α1 es normal, se deduce que ‖a − α1‖ = ρ(a − α1) ≤ r. Esto es una contradicción, ya quepor un lado |ϕ(a − α1)| = |ϕ(a) − α| > r y por el otro |ϕ(a − α1)| ≤ ‖ϕ‖‖a − α1‖ ≤ r.

Probemos ahora que ϕ es positivo. Sea a positivo y veamos que ϕ(a) es positivo. Como σ(a) está contenido en losreales no negativos, entonces la cápsula convexa de σ(a) también lo está. Por la parte i) del Lema se deduce que ϕ(a) espositivo.

�

Proposición 1.2.24. Sean S un sistema de operadores, B una C∗-álgebra con unidad y φ : S → B un operadorcontractivo unital, entonces φ es positivo.

Demostración. Sea (π, B(H)) una representación de B. Como π(b) es positivo si y sólo si b es positivo, podemos suponerque B = B(H). Debemos ver que para todo a ∈ A positivo y x ∈ H vale que 〈φ(a)x, x〉 ≥ 0. Sea x ∈ H fijo con ‖x‖ = 1y consideremos ϕx(a) = 〈φ(a)x, x〉. Como φ es unital y contractivo, se tiene que ϕx(1) = 1 y que ‖ϕx‖ ≤ 1. Aplicando ellema anterior concluimos que ϕx es positivo y en consecuencia para todo a ∈ A , x ∈ H, 〈φ(a)x, x〉 ≥ 0.

�

En el Teorema 1.2.15 vimos que si T es contractivo, entonces su morfismo de von Neumann admite una extensiónpositiva a P(S1) + P(S1). Ésto vale en general.

Proposición 1.2.25. Sean A ,B C∗-álgebras con unidad, M un subespacio de A , 1 ∈ M y φ : M → B un operadorcontractivo y unital, entonces la extensión φ : M + M∗ → B definida como φ(a + b∗) = φ(a) + φ(b)∗ está bien definida yes la única extensión positiva de φ a M + M∗.


Demostración. La unicidad de la extensión es clara, ya que los operadores positivos que salen de un sistema de operadoresson autoadjuntos (Observación 1.2.4). Necesariamente φ(a∗) = φ(a)∗ = φ(a)∗.

Probemos la buena definición. Debemos verificar que si a + b∗ = a′ + b′∗, entonces φ(a) + φ(b)∗ = φ(a′) + φ(b′)∗ oequivalmente , tomando c = a − a′, que para todo c ∈ M

⋂M∗, φ(c∗) = φ(c)∗. Observemos que M

⋂M∗ es un sistema

de operadores y que φ|M ⋂M∗ es contractivo y unital. Aplicando la Proposición 1.2.24, tenemos que φ|M ⋂

M∗ es positivo.Como los operadores positivos son autoadjuntos, vale que si c ∈ M

⋂M∗, entonces φ(c∗) = φ(c)∗. Ésto prueba la buena

definición.Para probar que φ es positivo, podemos suponer que B = B(H) con H un Hilbert. Debemos ver que para todo x y para

todo a positivo, vale que⟨φ(a)x, x

⟩es positivo. Sea x con ‖x‖ = 1 fijo y consideremos ϕx : M + M∗ → C :=

⟨φ(a)x, x

⟩. Es

suficiente probar que ϕx es positivo. Sea ahora ϕx : M → C definido como ϕx = 〈φ(a)x, x〉. Notemos que ϕx cumple que esunital, ‖ϕx‖ = 1 y ϕx(a + b∗) = ϕx(a) + ϕx(b). Sea ϕx una extensión de Hahn-Banach de ϕx a M + M∗ con ‖ϕx‖ = 1. Comoϕx es contractivo y unital, entonces por la Proposición 1.2.24 es positivo. Finalmente, por la unicidad de las extensionespositivas a M + M∗ que probamos en la primera parte, ϕx debe cumplir necesariamente que

ϕx(a + b∗) = ϕx(a) + ϕx(b) = ϕx(a) + ϕx(b) = ϕx(a + b∗).

Como ϕx = ϕx y ϕx es positivo, se tiene que ϕx es positivo.�

Corolario 1.2.26. Sean C ,B C∗-álgebras con unidad y sea S el sistema de operadores A + A ∗ con A un subálgebraunital de B. Si φ : S → C es unital, entonces φ es positivo si y sólo si φ es contractivo.

Demostración. Aplicar el Corolario 1.2.21 y la Proposición 1.2.24.�

En el caso de que φ sea un morfismo de von Neumann, el corolario anterior dice que φ tiene extensión positiva aP(S1) + P(S1) si y sólo si el operador T es contractivo.

1.3. Operadores completamente positivos

Comencemos con la definición de un operador completamente positivo.

Definición 1.3.1. Sean S un sistema de operadores, B una C∗-álgebra y φ : S → B un operador. Decimos que φ esn-positivo si, φn : Mn(S )→ Mn(B) definido como

φn

s1,1 · · · s1,n...

. . ....

sn,1 · · · sn,n

=

φ(s1,1) · · · φ(s1,n)...

. . ....

φ(sn,1) · · · φ(sn,n)

es positivo.

Definición 1.3.2. Decimos que φ : S → B es completamente positivo si φ es n- positivo para todo n.

Mostremos algunos ejemplos de operadores completamente positivos.a) El primer ejemplo de un operador completamente positivo es el de un ∗-morfismo. En efecto, si π es un ∗-morfismo,

entonces πn también y como los ∗-morfismos son positivos se deduce que πn es positivo para todo n.b) Para un segundo ejemplo, fijemos x en una C∗-álgebra A y definamos φ : A → A como φ(a) = xax∗. Para probar

que φ es completamente positivo, basta observar que

φn(A) =

x 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . 0 x

A

x∗ 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . 0 x∗

.

1.3. Operadores completamente positivos 17

El último ejemplo es el de un funcional positivo. Como la demostración no es trivial, lo encapsulamos en una Propo-sición aparte.

Proposición 1.3.3. Sea S un sistema de operadores y ϕ : S → C un funcional positivo. Entonces ϕ es completamentepositivo.

Demostración. Sea A ∈ Mn(S ) una matriz positiva, y digamos A = (ai, j)ni, j. Debemos ver que ϕn(A) ∈ Mn es una matriz

positiva. Equivalentemente debemos probar que para todo V ∈ Cn,

〈ϕn(A)V,V〉Cn ≥ 0.

Sea V ∈ Cn con V = (x1, ..., xn), luego

〈ϕn(A)V,V〉 =∑

j

⟨[ϕn(A)V] j, [V] j

⟩C

=∑

j

∑i

⟨[ϕn(A)]i, jxi, x j

⟩C

=∑i, j

⟨ϕ(ai, j)xi, x j

⟩C

= ϕ

∑i, j

ai, jxix j

. (1.4)

Consideremos X ∈ Mn la siguiente matriz.

X =

x1 0 . . . 0... 0 . . . 0

xn 0 . . . 0

.Consideremos también el producto X∗AX. Como A es una matriz positiva, dicho producto es positivo. Observemos

que la expresión (1.4) no es otra cosa que ϕ evaluado en la (1, 1) coordenada de X∗AX. Como la (1, 1) entrada de unamatriz positiva es siempre positiva (considerando 〈Pe1, e1〉) y ϕ es positivo, deducimos que la expresión (1.4) es siemprepositiva.

�

Combinando los dos primeros ejemplos obtenemos el prototipo de un operador completamente positivo. Veremos enel Teorema de representación de Stinespring 1.4.1 que si φ es completamente positivo, entonces existen un espacio deHilbert H, π : A → B(H) un ∗-morfismo y V ∈ B(H) tal que φ(−) = Vπ(−)V∗.

El siguiente lema será de utilidad.

Lema 1.3.4. Sean A una C∗-álgebra con unidad y a, b ∈ A , entonces

La matriz(

1 aa∗ b

)es positiva en M2 si y sólo si a∗a ≤ b.

Demostración. Considerando una representación (π, B(H)), podemos suponer que a, b ∈ B(H) y probar que la matriz

A :=(

Id aa∗ b

)es positiva en M2(B(H)) si y sólo si aa∗ ≤ b en B(H).

Dado h ∈ H ⊕ H con h = (h1, h2), calculemos⟨Ah, h

⟩.

⟨Ah, h

⟩=

⟨(Id aa∗ b

) (h1

h2

),

(h1

h2

)⟩H⊕H

=⟨(

h1 + a(h2) , a∗(h1) + b(h2)),(

h1 , h2

)⟩H⊕H

= 〈h1, h1〉 + 〈a(h2), h1〉 + 〈a∗(h1), h2〉 + 〈b(h2), h2〉 . (1.5)

Supongamos que aa∗ ≤ b. La matriz A es positiva si y sólo si la expresión (1.5) es positiva para todo h ∈ H ⊕ H. Seah ∈ H ⊕ H, luego de la expresión (1.5),

〈Ah, h〉 = 〈h1, h1〉 + 〈a(h2), h1〉 + 〈a∗(h1), h2〉 + 〈b(h2), h2〉

≥ ‖h1‖2 − 2‖a(h2)‖‖h1‖ + 〈a∗a(h2), h2〉

= (‖h1‖ − ‖a(h2)‖)2 ≥ 0.


Recíprocamente, supongamos que la matriz A es positiva. Esto sucede si y sólo si la expresión (1.5) es positivapara todo h1, h2 ∈ H. Debemos ver que a∗a ≤ b. Equivalentemente, debemos probar que para todo h2 ∈ H, vale que〈b(h2) − a∗a(h2), h2〉 ≥ 0. Sea h2 ∈ H, luego como la expresión (1.5) es positiva,

〈b(h2), h2〉 ≥ − 〈h1, h1〉 − 〈a(h2), h1〉 − 〈h1, a(h2)〉 para todo h1, h2 ∈ H.

Tomando h1 = −a(h2), tenemos que

〈b(h2), h2〉 ≥ − 〈a(h2), a(h2)〉 + 2 〈a(h2), a(h2)〉 = 〈a∗a(h2), h2〉 .

�

En el Ejemplo 1.2.5 dimos un ejemplo de un operador positivo unital no contractivo. Ésto deja de ser cierto si agrega-mos una condición un poco más fuerte.

Corolario 1.3.5. Sean S un sistema de operadores, B una C∗-álgebra y φ : S → B un operador unital 2-positivo,entonces φ resulta contractivo.

Demostración. Supongamos que φ es 2-positivo. Sea a con ‖a‖ ≤ 1. Entonces se cumple que a∗a ≤ 1. Consideremos la

matriz A =

(1 aa∗ 1

). Aplicando el lema anterior, vale que la matriz A es positiva y en consecuencia

φ2(A) =

(1 φ(a)

φ(a∗) 1

)es positiva.

Como φ es 2-positivo, es en particular positivo y luego autoadjunto por la Observación 1.2.4. Vale entonces queφ(a∗) = φ(a)∗. Aplicando nuevamente el lema anterior, ahora con φ2(A), se tiene que φ(a)∗φ(a) ≤ 1 y se concluye que φes contractivo.

�

En las Proposiciones 1.2.24 y 1.2.25 probamos que si φ : M → B es contractivo, entonces la extensión natural aM + M∗ resulta positiva (y además es única). Ahora estamos interesados en probar una versión análoga para operadorescompletamente contractivos.

Proposición 1.3.6. Sean A , B C∗-álgebras, M un subespacio de A y S el sistema de operadores M + M∗. Si φ : M → B

es unital y 2-contractivo, entonces φ : S → B es 2-positivo y contractivo. Donde φ es la única extensión positiva de φ enS .

Demostración. Consideremos φ2 : M2(M)→ M2(B) y el sistema de operadores

S = M2(M) + M2(M)∗ = M2(M + M∗) = M2(S ).

Como φ2 es contractivo y unital, por la Proposición 1.2.25, existe una única extensión positiva (φ2) a S . Si vemos que (φ2)coincide con (φ)2, estaríamos probando que φ es 2-positivo. En efecto, sean A, B ∈ M2(M), con A = (ai, j) y B = (bi, j).Entonces

˜(φ)2(A + B∗) = ˜(φ)2(A) + ˜(φ)2(B∗) =

(φ(a1,1) φ(a1,2)φ(a2,1) φ(a2,2)

)+

φ(b∗1,1) φ(b∗2,1)φ(b1,2∗ φ(b∗2,2)

=

(φ(a1,1) φ(a1,2)φ(a2,1 φ(a2,2)

)+

(φ(b1,1)∗ φ(b2,1)∗

φ(b1,2)∗ φ(b2,2)∗

)= φ2(A) + φ2(B)∗ = (φ2)(A + B∗).

Concluimos entonces que φ es 2-positivo. Finalmente, por el corolario anterior φ es contractivo.�

Proposición 1.3.7. Sean A , B C∗-álgebras, M un subespacio de A y S =M + M∗. Si φ : M → B es unital y completa-mente contractivo, entonces φ es completamente positivo y completamente contractivo.


Demostración. El operador φ es 2n-contractivo para todo n. O equivalentemente, identificando canónicamente M2n(M)con M2(Mn), φn es 2-contractivo para todo n. Luego, por la proposición anterior, la extensión φn a Mn(M) + Mn(M)∗ es2-positiva. Igual que en la demostración de la proposición previa (antes con n = 2), (φn) = (φ)n. Luego φ2n = (φn)2 = (φn)2

que es positivo. Como n-positivo implica k-positivo para todo k menor que n, deducimos que φ es completamente positivo.Probar que φ es completamente contractivo es similar. Como φn es 2-positivo para todo n, por la proposición anterior

φn es contractivo para todo n. �

Así como los operadores positivos son acotados, es esperable que los operadores completamente positivos resultencompletamente acotados.

Proposición 1.3.8. Sean S un sistema de operadores y B una C∗-álgebra. Si φ : S → B es completamente positivo,entonces φ es completamente acotado. Más aún:

‖φ(1)‖ = ‖φ‖ = ‖φ‖cb.

Demostración. Como ‖φ(1)‖ ≤ ‖φ‖ ≤ ‖φ‖cb, basta ver que ‖φ‖cb ≤ ‖φ(1)‖. Sea A ∈ Mn(S ) con ‖A‖ ≤ 1. Consideremos

A ∈ M2n(S ) =

(IdMn(S ) A

A∗ IdMn(S )

). Como ‖A‖ ≤ 1, por el Lema 1.3.4, A es positiva y debido a que φ es completamente

positivo, resulta que φ2n(A) ∈ M2(Mn(B)) =

(φn(Id) φn(A)φn(A∗) φn(Id)

)es positivo. Nuevamente, aplicando el Lema 1.3.4 (con

P = φn(Id)) y observando que φn es autoadjunto (ver Observación 1.2.4), vale que φn(A)φn(A)∗ ≤ φn(Id)2, de donde

‖φn(A)‖ ≤ ‖φn(Id)‖Mn(B) = ‖φ(1)‖B.

�

Recordemos que para operadores positivos y unitales, no vale que éstos sean necesariamente contractivos (ver Ejemplo1.2.5). Para que esto valiese había que pedir condiciones sobre S . Por otro lado, la recíproca era siempre cierta: todooperador contractivo y unital resulta positivo (ver Proposición 1.2.24). La situación en los completamente positivos esbien distinta.

Corolario 1.3.9. Sean S un sistema de operadores, B una C∗-álgebra y φ : S → B un operador unital. Entonces φ escompletamente contractivo si y sólo si es completamente positivo.

Demostración. Una implicación es la proposición previa.La recíproca se deduce de la Proposición 1.2.24 aplicada a φn. �

Estamos en condiciones de dar un ejemplo sencillo de un operador positivo, no completamente positivo. Basta encon-trar un operador positivo unital cuya norma no se alcance en la unidad.

Ejemplo 1.3.10. El operador φ definido en el Ejemplo 1.2.5 no es completamente positivo.

Demostración. Habíamos demostrado en el Ejemplo 1.2.5 que ‖φ‖ = 2‖φ(1)‖. Por la Proposición 1.3.8, φ no puede sercompletamente positivo.

�

En el Teorema 1.2.15 vimos que si T es contractivo, entonces su morfismo de von Neumann admite una extensiónpositiva a P(S1) + P(S1) ¿Serán dichos morfismos completamente positivos? Observemos que por la Proposición 1.3.7esto es equivalente a que los morfismos sean completamente contractivos. En efecto, sea ρ un morfismo de von Neumanny ρ su extensión a P(S1) + P(S1). Si ρ es completamente positivo, entonces por el corolario anterior es completamentecontractivo. Pero como

1 = ‖ρn‖ ≥ ‖ρn‖ ≥ ‖ρn(IdP(S1))‖ = ‖IdMn(H)‖ = 1,

se deduce que ρ es completamente contractivo. Recíprocamente, si ρ es completamente contractivo, entonces por laProposición 1.3.7 ρ resulta completamente positivo.

La respuesta a la pregunta se halla en un Teorema mucho más general.


Teorema 1.3.11 (Stinespring). Sean X un espacio topológico compacto y Hausdorff, B una C∗-álgebra y φ : C(X)→ B

un operador positivo, entonces φ es completamente positivo.

Para demostrar el teorema necesitaremos hacer tres observaciones. La primera trata sobre matrices de funciones enMn(C(X)). Así como en C(X) la norma de f es el supremo de | f (x)| sobre X, es esperable que si F es una matriz defunciones, la norma de F sea el supremo de ‖F(x)‖ sobre X. Análogamente, es razonable esperar que si una matriz defunciones F es positiva, entonces F(x) sea positiva en Mn.

Observación 1.3.12. Sea F ∈ Mn(C(X)), entonces1)‖F‖Mn(C(X)) = supx∈X ‖F(x)‖Mn .

2) Si F es positiva, entonces para cada x, F(x) es positiva en Mn.

Demostración. Sea ‖ − ‖′ = supx∈X ‖F(x)‖Mn . Como en una C∗-álgebra hay una única ∗-norma, para probar que ‖ −‖Mn(C(X)) = ‖ − ‖′, basta ver que supx∈X ‖F(x)‖Mn es una ∗-norma en Mn(C(X)). Es claro que ‖ − ‖′ es una norma. Veamosque ‖FF∗‖′ = ‖F‖′2. Esto es sencillo ya que ‖ − ‖Mn es una ∗-norma en Mn y para cada x, (F)∗(x) = F(x)∗, donde laprimera involución es en Mn(C(X)) y la segunda en Mn. En efecto,

‖FF∗‖′ = supx∈X‖F(x)F(x)∗‖Mn = sup

x∈X‖F(x)‖2Mn

= ‖F‖′2.

Probemos el segundo postulado. Primero observemos que si una matriz de funciones F es inversible, entonces eva-luando en x, F(x) también debe serlo. Deducimos entonces que det(F)(x) , 0 para todo x ∈ X. Sea ahora F una matriz defunciones positiva y supongamos que existe x0 tal que F(x0) es no positivo. Esto es equivalente a que exista λ un autovalorno positivo de F(x0). Afirmamos que λ pertenece al espectro de F. Si no, λId − F sería inversible y luego det(λId − F)(x)sería distinto de cero para todo x. Evaluando en x0 llegamos a una contradicción. Concluimos entonces que λ perteneceal espectro de F, lo que es un absurdo ya que F era positiva y λ no positivo.

�

La segunda observación es una cota de la norma de una matriz en términos de la norma de cada una de sus coordenadas.

Observación 1.3.13. Sea A una C∗-álgebra, A ∈ Mn(A ). Entonces ‖A‖Mn(A ) ≤ n2maxi, j‖Ai, j‖.

Demostración. Considerando (π, B(H)) una representación de A , podemos suponer A ∈ B(Hn). Sea h ∈ Hn con ‖h‖ ≤ 1y h = (h1, .., hn). Como ‖h‖ ≤ 1, cada coordenada h j tiene norma menor o igual que 1 en H. Sea m = maxi, j‖Ai, j‖, luego

‖Ah‖2 =∑

i

∥∥∥∥∥∥∥∥∑

j

Ai, jh j

∥∥∥∥∥∥∥∥2

≤∑

i

∑j

‖Ai, j‖

2

≤ n3m2.

�

Observación 1.3.14. Sean B una C∗-álgebra, p ∈ B un elemento posivo y (λi, j) una matriz escalar positiva. Entoncesla matriz p ∗ (λi, j) ∈ Mn(B), definida como [p ∗ (λi, j)]i, j = pλi, j es positiva.

Demostración. Basta probar que si (π, B(H)) es una representación de B, entonces πn(p∗(λi, j)) es positivo. Consideremosen B(H), las matrices (P)i, j = δi, jπ(p) y (Λ)i, j = λi, jIdH . Notemos que πn(p∗λi, j) = PΛ y que P y Λ conmutan. Luego, bastaprobar que las matrices P y Λ son ambas positivas. La positividad de P es inmediata. Como la inclusión i : C ↪→ B(H) escompletamente isométrica, por el Corolario 1.3.9, Λ es positivo. �

Demostración del Teorema de Stinespring 1.3.11. La prueba es de la misma idea que la del Teorema 1.2.9. Sea F ∈Mn(C(X)) una matriz positiva. Debemos ver que φn(F) es positivo en Mn(B). Sea ε > 0. Como X es compacto, existe uncubrimiento por abiertos {Ul}

nl=1 y elementos xl ∈ Ul tal que |Fi, j(x)−Fi, j(xl)| < ε para todo x ∈ Ul y para toda coordenada

(i, j). Llamemos pli, j a los Fi, j(xl). Sea (ul)n

l=1 una partición de la unidad subordinada al cubrimiento Ul. Es decir, los ul


son funciones positivas,∑

l ul = 1 y el soporte de ul está contenido en Ul. Notar que si ul(x) , 0, entonces x ∈ Ul y enconsecuencia |Fi, j(x) − pl

i, j| < ε. Sea x0 ∈ X fijo, luego∣∣∣∣∣∣∣Fi, j(x0) −∑

l

pli, ju

l(x0)

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∑l

Fi, j(x0)ul(x0) −∑

l

pli, ju

l(x0)

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∑

{l:ul(x0),0}

(Fi, j(x0) − pli, j)u

l(x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣≤

∑{l:ul(x),0}

∣∣∣(Fi, j(x0) − pli, j)u

l(x0)∣∣∣ ≤∑

l

εul(x) = ε.

Aplicando la Observación 1.3.13, tenemos que∥∥∥∥∥∥∥F −∑

l

(pli, ju

l)i, j

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ cnε. (1.6)

Consideremos ahora la matriz Pl ∈ Mn(C(X)) inducida por los pli, j. Es decir, (Pl)i, j = pl

i, j y observemos que al ser Pl

la matriz proveniente de evaluar F en xl, por la Observación 1.3.12 la matriz Pl es escalar positiva. Siguiendo la notaciónde la Observación 1.3.14, consideremos para cada l, ul ∗ Pl. Notemos también que (1.6) es equivalente a que∥∥∥∥∥∥∥F −

∑l

ul ∗ Pl

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ cnε. (1.7)

Por la observación previa al teorema, ul ∗ Pl es positivo. Calculemos φn(ul ∗ Pl),

φn(ul ∗ Pl) =

φ([ul ∗ Pl]1,1) . . . φ([ul ∗ Pl]1,n)

.... . .

...

φ([ul ∗ Pl]n,1) . . . φ([ul ∗ Pl]n,n)

=

φ(ul pl

1,1) . . . φ(ul pl1,n)

.... . .

...

φ(ul pln,1) . . . φ(ul pl

n,n)

=

φ(ul)pl

1,1 . . . φ(ul)pl1,n

.... . .

...

φ(ul)pln,1 . . . φ(ul)pl

n,n

= φ(ul) ∗ Pl.

Nuevamente, por la observación anterior al teorema y porque φ es positivo, φ(ul) ∗Pl es positivo. Como suma de positivoses positivo, vale que φn(

∑l(ul) ∗ Pl) es positivo. Por la desigualdad (1.7),∥∥∥∥∥∥∥φn(F) − φn(

∑l

(ul)Pl)

∥∥∥∥∥∥∥ ≤ ‖φn‖cnε.

Como ε > 0 es arbitrario, φn(F) pertecene a la clausura del conjunto de los elementos positivos. Como dicho conjunto escerrado, φn(F) es positivo·

�

Englobamos las observaciones previas al Teorema en los siguientes dos corolarios.

Corolario 1.3.15. Si ρ es un morfismo de von Neumann contractivo, entonces la extensión de ρ a P(S1) + P(S1) escompletamente positiva.

Corolario 1.3.16. Si un operador T es contractivo, entonces su morfismo de von Neumann es completamente contractivoy además admite una extensión completamente contractiva a C(S1).

Escribamos que quiere decir que un morfismo de von Neumann sea completamente contractivo. Esto quiere decir quepara cada n, si Q es una matriz de polinomios en Mn(P(S1)), entonces

‖Q‖Mn(P(S1)) ≥ ‖ρn(Q)‖Mn(B(H)) =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ρ(Q1,1) . . . ρ(Q1,n)

.... . .

...

ρ(Qn,1) . . . ρ(Qn,n)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

Q1,1(T ) . . . Q1,n(T )...

. . ....

Qn,1(T ) . . . Qn,n(T )

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Podemos entonces generalizar la desigualdad de von Neumann de la siguiente manera.


Corolario 1.3.17. Sea T ∈ B(H) contractivo, entonces para cada matriz polinomial P vale que

‖P(T )‖B(Hn) ≤ ‖P‖Mn(P(S1)).

El corolario anterior motiva la siguiente definición.

Definición 1.3.18. Sea T ∈ B(H). Decimos que T es completamente polinomialmente acotado si existe una constanteC > 0 tal que para cada n y para toda matriz de polinomios P,

‖P(T )‖B(Hn) ≤ C‖P‖Mn(P(S1)).

Observación 1.3.19. En términos de morfimos, que T sea completamente polinomialmente acotado, es equivalente a quesu morfismo de von Neumann sea completamente acotado. Por otro lado, el hecho de que los morfismos de von Neumanncontractivos resulten automáticamente completamente contractivos, se traduce en que si T es contractivo, en particular escompletamente polinomialmente acotado.

Es claro que todo operador T completamente polinomialmente acotado es en particular polinomialmente acotado¿Valdrá la recíproca? ¿Equivalentemente, es todo morfismo de von Neumann completamente acotado? Por otro lado,así como los operadores similares a una contracción son polinomialmente acotados, es fácil probar que éstos son tam-bién completamente polinomialmente acotados. Nos hacemos entonces la siguiente pregunta ¿Serán todos los operadorescompletamente polinomialmente acotados similares a una contracción? Responderemos estas preguntas en los capítulos2 y 3, cuando hayamos desarrollado una teoría adecuada.

1.4. Teorema de representación de Stinespring

El siguiente teorema caracteriza los operadores completamente positivos.

Teorema 1.4.1 (Stinespring). Sean A una C∗-álgebra y φ : A → B(H) un operador completamente positivo, entoncesexisten un espacio de Hilbert K, un ∗-morfismo unital π : A → B(K) y un operador V : H → K con ‖φ(1)‖ = ‖V‖2 talque

φ(a) = V∗π(a)V.

Más aún, si φ es unital se puede tomar V isometría.

Demostración. Construcción de K.Consideremos el producto tensorial algebraico A ⊗ H y la forma bilineal conjugada 〈, 〉φ definida como

〈a ⊗ h, b ⊗ g〉φ = 〈φ(b∗a)h, g〉H

El hecho de que φ sea completamente positivo se traduce en que la forma bilineal sea semi-definida positiva. En efecto, sitomamos

A ∈ Mn(A ) =

a1 0 . . . 0...

.... . .

...

an 0 . . . 0

y h ∈ Hn = (h1, ..., hn) (1.8)

y recordamos que 〈g, h〉Hn es simplemente∑〈gi, hi〉H , vale que⟨∑

i

ai ⊗ hi,∑

j

a j ⊗ h j

⟩φ

=∑i, j

⟨ai ⊗ hi, a j ⊗ h j

⟩φ

=∑i, j

⟨φ(a∗jai)hi, h j

⟩H

=⟨φn(AA∗)h, h

⟩Hn.

Sea N = {x ∈ A ⊗ H : 〈x, x〉φ = 0}. Como las formas bilineales semidefinidas positivas cumplen Cauchy-Schwartz(〈x, y〉 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉), N es igual a {x ∈ A ⊗ H : 〈x, y〉φ = 0 para todo y ∈ A ⊗ H}. Además N resulta unsubespacio.En el cociente A ⊗H

N , la forma bilineal inducida(que la seguiremos notando igual) resulta un producto interno, pues si0 = 〈[x], [x]〉φ = 〈x, x〉φ, entonces x ∈ N y luego [x]=0.Tomemos entonces K como la completación de A ⊗H

N con respecto a 〈, 〉φ.

1.4. Teorema de representación de Stinespring 23

Construcción de π.Dado a ∈ A , definimos π(a) : A ⊗ H → A ⊗ H, que en principio es solo lineal, vía

π(a)(∑

ai ⊗ hi

)=

∑aai ⊗ hi.

Veamos que π(a) pasa al cociente, es decir que π(a) : A ⊗HN → A ⊗H

N está bien definido. Donde π(a)([b⊗ h]) = π(a)(b⊗ h).Para ello basta ver que π(a)(N) ⊂ N.

Usaremos la siguiente desigualdad: sean x, y ∈ A y y ≥ 0, entonces

xyx∗ ≤ ‖y‖xx∗. (1.9)

Sea n ∈ N, n =∑

ai ⊗ hi. Veamos que π(a)(n) ∈ N, es decir que 〈π(a)(n), π(a)(n)〉φ = 0.

〈π(a)(n), π(a)(n)〉φ =⟨∑

π(a)(ai ⊗ hi),∑

π(a)(ai ⊗ hi)⟩φ

=∑i, j

⟨π(a)(ai ⊗ hi), π(a)(a j ⊗ h j)

⟩φ

=∑i, j

⟨aai ⊗ hi, aa j ⊗ h j

⟩φ

=∑i, j

⟨φ(a j

∗a∗aai)hi, h j

⟩H

=⟨φn((aA)∗aA)h, h

⟩Hn.

Donde tomamos A y h como en (1.8). Aplicando la desigualdad (1.9) en Mn(A ) con y = a∗aId,x = A y recordando que φera completamente positivo, tenemos que⟨

φn((aA)∗aA)h, h⟩

Hn=

⟨φn(A∗a∗aIdA)h, h

⟩Hn≤ ‖a∗a‖

⟨φn(A∗A)h, h

⟩Hn

= ‖a∗a‖∑i, j

⟨φ((ai)∗a j)h j, hi

⟩H

=‖a∗a‖∑i, j

⟨a j ⊗ h j, ai ⊗ hi

⟩φ

= 0.

Análogamente se prueba que π(a) : A ⊗HN → A ⊗H

N es acotado con ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. Luego π(a) se extiende a un operadoracotado en K (que seguiremos notando igual).

Resta ver que π : A → B(K) es morfismo de C∗-álgebras.Veamos primero que π es multiplicativo. Como A ⊗H

N es denso en K, basta ver que π es multiplicativo en A ⊗HN . Sean

a, b ∈ A y x ∈ A ⊗HN , x=

∑i ai ⊗ hi, luego,

π(a)π(b)

∑i

ai ⊗ hi

= π(a)∑

i

bai ⊗ hi =∑

i

abai ⊗ hi = π(ab)(x).

Para ver que π(a)∗ = π(a∗) basta probar la igualdad en A ⊗HN . Sean x, y ∈ A ⊗H

N con x =∑

i ai ⊗ xi y y =∑

i bi ⊗ yi.

〈π(a)x, y〉φ =

⟨π(a)

∑i

ai ⊗ xi,∑

j

b j ⊗ y j

⟩φ

=∑i, j

⟨aai ⊗ xi, b j ⊗ y j

⟩φ

=∑i, j

⟨φ(b j

∗aai)xi, y j

⟩H

=∑i, j

⟨φ((ab j)∗ai)xi, y j

⟩H

=∑i, j

⟨ai ⊗ xi, a∗b j ⊗ y j

⟩φ

= 〈x, π(a∗)y〉φ .

Veamos ahora como definir V .Definamos V : H → K como, V(x) = 1 ⊗ x. V es acotada, pues

‖V(x)‖2 = 〈1 ⊗ x, 1 ⊗ x〉φ = 〈φ(1)x, x〉H ≤ ‖φ(1)‖‖x‖2.

Tenemos entonces que ‖V‖ ≤ ‖φ(1)‖. La otra desigualdad también es cierta, ya que, como V es positivo, ‖V‖2 =

sup‖x‖≤1 〈φ(1)x, x〉H = ‖φ(1)‖.Además, es trivial ver que si φ(1) = 1, entonces V es isometría:

‖V(x)‖2 = 〈φ(1)x, x〉H = ‖x‖2.

Finalmente, veamos que V∗π(a)V = φ(a). Sean h, g ∈ H,

〈V∗π(a)Vg, h〉H = 〈π(a)Vg,Vh〉φ = 〈π(a)(1 ⊗ g), 1 ⊗ h〉φ = 〈 a ⊗ g, 1 ⊗ h〉φ = 〈φ(a)g, h〉H

Como para todos g, h ∈ H, vale que 〈V∗π(a)Vg, h〉H = 〈φ(a)g, h〉H , entonces V∗π(a)V = φ(a).�


Observación 1.4.2. Si φ(a) = V∗π(a)V con π,V,K como en el Teorema 1.4.1, entonces φ es completamente positivo.

Demostración. Sea A ∈ Mn(A ), A ≥ 0. Debemos ver que φn(A) ≥ 0 en Mn(B(H)). Identificando a Mn(B(H)) con B(Hn),

(V∗π(A)V)n = Vn∗πn(A)Vn,

donde tomamos Vn : Hn → Kn, Vn((h1, ..., hn)) = (V(h1), ...,V(hn)). Además, al ser π es un *-morfismo, es tambiéncompletamente positivo. Veamos entonces que φ es completamente positivo:

φn(A) ≥ 0⇔ Vn∗πn(A)Vn ≥ 0⇔

⟨V∗nπn(A)Vn(h), h

⟩Hn ≥ 0 para todo h ∈ Hn,

⇔ 〈πn(A)Vn(h),Vn(h)〉Kn ≥ 0 para todo h ∈ Hn.

La última desigualdad es válida por ser πn completamente postivo. �

Por lo tanto el teorema de Stinespring caracteriza los operadores completamente positivos que van de una C∗-álgebraen B(H).

Observación 1.4.3. Si φ es unital, V resulta una isometría. En ese caso podemos identificar a H con V(H). Con estaidentificación V∗ no es otra cosa que la proyeccíon de K en H y por lo tanto,

φ(a) = PHπ(a)|H .

Definición 1.4.4. Al trío (π,V,K) obtenidos como en el Teorema 1.4.1 lo llamamos una representación de Stinespring deφ.

Dada una representación de Stinespring de φ, podemos considerar K la clausura del espacio generado por π(A )V(H)y π : A → B(K) la restricción de π a K. Como π(A )(K) ⊂ K, π es un ∗-morfismo bien definido. (π,V, K) sigue siendouna representación de Stinespring pero con la propiedad adicional de que la clausura de π(A )V(H) es K.

Definición 1.4.5. Decimos que (π,V,K), una representación de Stinespring, es minimal, si el generado por la clausurade π(A )V(H) es K.

La siguiente proposición muestra que dos representaciones de Stinespring minimales no son muy distintas. Éstas sonunitariamente equivalentes.

Proposición 1.4.6. Sean A una C∗-álgebra con unidad, φ : A → B(H) un operador completamente positivo y (πi,Vi,Ki)dos representaciones de Stinespring minimales, entonces existe U : K1 → K2 unitario tal que para todo a ∈ A

UV1 = V2 y Uπ1(a)U∗ = π2(a).

Demostración. De existir una tal U, entonces necesariamente vale que

Uπ1(a)V1(h) = π2(a)UV1(h) = π2(a)V2(h).

Definimos entonces U : π1(A )V1(H)→ π2(A )V2(H) como

U

∑i

π1(ai)V1(hi)

=∑

i

π2(ai)V2(hi).

Veamos que U es una isometría(y por lo tanto está bien definida),∥∥∥∥∥∥∥∑i

π1(ai)V1(hi)

∥∥∥∥∥∥∥2

=∑i, j

⟨π1(ai)V1(hi), π1(a j)V1(h j)

⟩=

∑i, j

⟨V∗1π1(a j

∗ai)V1(hi), h j

⟩=

∑i, j

⟨φ(a j

∗ai)(hi), h j

⟩=

∥∥∥∥∥∥∥∑i

π2(ai)V2(hi)

∥∥∥∥∥∥∥2

.

Como π1(A )V1(H) es denso en K1 y π2(A )V2(H) es denso en K2 , podemos extender U a B(K1,K2) de manera que sigasiendo una isometría. Además como π2(A )V2(H) ⊂ Im(U), U resulta sobreyectiva y por lo tanto unitaria. Finalmente, lascondiciones UV1 = V2 y Uπ1 = π2U se satisfacen trivialmente por como definimos a U.

�

1.4. Teorema de representación de Stinespring 25

Aplicando la caracterización de Stinespring 1.4.1 a los morfismos de von Neumann contractivos, podemos obtener elTeorema de dilatación de Sz-Nagy. Éste dice que todo operador contractivo, se puede ver como un unitario en un espaciomás grande. Esto resulta muy interesante ya que el Teorema de dilatación de Sz-Nagy también implica la desigualdad devon Neumann. Es decir, la desigualdad de von Neumann y el Teorema de dilatación de Sz-Nagy son equivalentes. Por otrolado, el Teorema de dilatación de Sz-Nagy admite una generalización al caso de dos operadores conmutativos(Teoremade dilatación de Ando 3.1.1), lo que permite demostrar una desigualdad de von Neumann para el toro 2-dimensional.Sorprendentemente, la desigualdad de von Neumann para n-operadores conmutativos es falsa (Un ejemplo en [31]), loque obliga a que no exista una generalización de Sz-Nagy para n operadores conmutativos.

Para dar una versión más fuerte del Teorema de dilatación de Sz-Nagy, introduciremos la siguiente definición.

Definición 1.4.7. Sean H un espacio de Hilbert, U ∈ B(H) y M ⊆ H un subespacio. Decimos que M reduce a U siU(M) ⊆ M y U(M⊥) ⊆ M⊥.

Teorema 1.4.8 (Teorema de dilatación de Sz-Nagy.). Sea T ∈ B(H) con ‖T‖ ≤ 1, entonces existen un espacio de HilbertK conteniendo a H como subespacio y un operador unitario U ∈ B(K) con la propiedad de que K es el espacio cerradomás chico que reduce a U y contiene a H tal que

T n = PHUn|H .

Más aún, si (K′,U′) cumple las mismas propiedades, entonces existe un unitario V : K → K′ con Vh = h si h ∈ H yVUV∗ = U′.

Demostración. Consideremos S ⊂ C(S1) el sistema de operadores P(S1) + P(S1)∗ y ρ : S → B(H) definido comoρ(p + q) = p(T ) + q(T )∗. Por el Corolario 1.3.15 la extensión de ρ a C(S1) es completamente positiva.Sea (π,V,K) una representación minimal de Stinespring de ρ. Tomemos g(z) = z ∈ C(S1). Como g es unitario y π es un∗-morfismo, U = π(g) también resulta unitario.Observemos que ρ(1) = IdH y luego por la Observación 1.4.3, vale que

T n = ρ(gn) = PHπ(gn)|H = PHUn|H .

Veamos en que se traduce la minimalidad de (π,K). El par (π,K) es minimal si π(C(S1(H) = K. Como los polinomiostrigonométricos son densos en C(S1), esto es equivalente a que π(P(S1) + P(S1))∗(H) = K. O lo que es lo mismo, queel generado por {π(z)n(H) : n ∈ Z} sea denso en K. Recordemos que π(z) no era otra cosa que U. Veamos que esto esequivalente a que no exista un subespacio cerrado y propio que reduzca a U y contenga a H. En efecto, supongamosque existe M tal espacio, luego Un(H) ⊂ Un(M) ⊆ M y entonces K = 〈Un(H) : n ∈ Z〉 ⊆ M = M. Recíprocamente,considerando M = 〈Un(H) : n ∈ Z〉 es fácil probar que H ⊆ M y que reduce a U, de donde M = K.

La última afirmación es una consecuencia directa de la unicidad de las representaciones minimales.�

Éste teorema motiva dos nuevas definiciones.

Definición 1.4.9. Sean H ↪→ K dos espacios de Hilbert y sean T ∈ B(H) y U ∈ B(K) dos operadores con U unitario.Decimos que U es una dilatación de T si

T n = PHUn|H .

Además decimos que la dilatación es minimal si K es el espacio cerrado más chico que reduce a U y contiene a H.

Veamos como se deduce la desigualdad de von Neumann a partir del Teorema de dilatación de Sz-Nagy.

Corolario 1.4.10 (desigualdad de von Neumann). Sea T un operador contractivo en un Hilbert H, entonces para todopolinomio p,

‖p(T )‖ ≤ ‖p‖∞.

Demostración. Sea U una dilatación de T . Como para todo n, T n = PHUn|H , se sigue que p(T ) = PH p(U)|H para todopolinomio p. Luego, como U es normal,

‖p(T )‖ ≤ ‖P(U)‖ = sup{|p(λ)| : λ ∈ spec(U)}

y el espectro de un unitario esta contenido en S1, resulta que sup{ |p(λ)| : λ ∈ spec(U)} ≤ ‖p‖∞.�


1.5. Teorema de extensión de Arveson para Mn

En el Ejemplo 1.2.5 vimos que un operador positivo φ : S → Mn no necesariamente admite una extensión positivaa todo el álgebra. El teorema de extensión de Arveson 1.6.6 establece que si φ es completamente positivo esto no pasa.Todo operador completamente positivo admite una extensión completamente positiva a todo el álgebra. En esta secciónnos enfocaremos en demostrar dicho teorema para el caso en que el codominio sea Mn.

Para ello usaremos la dualidad existente entre L (M,Mn) y L (Mn(M),C) y explotaremos las fuertes propiedades delos funcionales positivos.

Comencemos explicitando la dualidad.Dado un espacio de operadores M y φ : M → Mn, definimos S φ : Mn(M)→ C como

S φ(A) =1n

∑i, j

[φ(A)]i, j.

Podemos pensar a S φ como el operador que viene de aplicar φn, identificar Mn(Mn) con Mn2 canónicamente y luegosumar todas sus coordenadas. El factor 1

n hace que, si 1 ∈ M, y φ es unital, S φ sea unital.Alternativamente, si no identificamos Mn(Mn) con Mn2 , podemos escribir a S φ como

S φ(A) =1n〈φn(A)x, x)〉⊕n

i=1Cn , (1.10)

donde ,si notamos {ei}ni=1 a la base canónica de Cn, x es el vector ⊕n

i=1ei. En efecto,

(φn(A)x)i =

φn(A)

e1...

en

i

=∑

j

[φn(A)]i, je j.

Luego φn(A)(x) = ⊕ni=1

∑j φ(Ai, j)e j, de donde

〈φn(A)x, x〉⊕ni=1C

n =∑

i

⟨∑j

φ(Ai, j)e j, ei

⟩Cn

=∑i, j

[φ(A)]i, j.

Observemos que esta última definición, muestra que si M es un sistema de operadores y φ es n-positivo, entonces S φ

es positivo. Recíprocamente, dado S un funcional de Mn(M), podemos definir φS : M → Mn como

(φS (a))i, j = S (a ⊗ Ei, j).

Donde a ⊗ Ei, j denota la matriz que en el lugar (i, j) vale a y en el resto tiene ceros.Es fácil probar que las aplicaciones Ψ : L (M,Mn) → L (Mn(M),C), con Ψ(φ) = S φ y Γ : L (Mn(M),C) →

L (M,Mn), con Γ(S ) = φS están bien definidas y son aplicaciones inversas.Vimos recién que si φ es n-positivo, entonces S φ es positivo. La recíproca es también válida. Más aún, si S φ es positivo,

entonces φ es k-positivo para todo k. Lo englobamos en la siguiente proposición.

Proposición 1.5.1. Sea S un sistema de operadores y φ : S → Mn un operador. Son equivalentes:i) El operador φ es completamente positivo,ii) el operador φ es n-positivo,iii) el funcional S φ es positivo.

Para probar la proposición, necesitaremos dar un Lema previo. Éste resulta muy útil para determinar si un operador esn-positivo.

Lema 1.5.2. Sea A una C∗-álgebra y A ∈ Mn(A ) una matriz positiva. Entonces A es la suma de n matrices positivas Pl

tal que para cada l, existe {pl1, ...p

ln} ⊆ A con (Pl)i, j = (pl

i)∗pl

j

1.5. Teorema de extensión de Arveson para Mn 27

Demostración. Primero veamos que una tal Pl debe ser positiva. Consideremos R la matriz cuya primer fila es pl1, ..., pl

n

y sus otras filas son nulas. La matriz R∗R es positiva y en la coordenada (i, j) vale (pli)∗pl

j, de donde Pl es positiva. Seaahora A ∈ Mn(A ) positiva. Entonces existe B tal que B∗B = A. Sea Rk la matriz cuya k-ésima fila coincide con la k-ésimade B y el resto son nulas. Luego B = R1 + .... + Rn. Como R∗i R j = 0 cuando i , j, vale que A = B∗B = R∗1R1 + .... + R∗nRn.

�

Observemos que por el lema anterior, para probar que φ : A → B es n-positivo, basta verificar que φn(A) es positivopara todo A con Ai, j = a∗i a j y {a1, ...an} ⊆ A .

Demostración de la Proposición 1.5.1. Si φ es completamente positivo es en particular n-positivo y por la definiciónalternativa (1.10) si φ es n-positivo entonces S φ es positivo. Resta probar entonces que si S φ es positivo, entonces φ escompletamente positivo.

Sea φ tal que S φ es positivo y probemos que φ es completamente positivo. Afirmamos que podemos suponer S = A .En efecto, si S φ : Mn(S ) → C es positivo, por un conocido Teorema de Krein (ver [11]), existe S : Mn(A ) → C unaextensión positiva de S φ. Tomemos ψ = φS . Veamos que ψ extiende a φ. Sea s ∈ S . Debemos probar que ψS (s) = φ(s).En efecto,

[ψS (s)]i, j = S (s ⊗ Ei, j) = S φ(s ⊗ Ei, j) = [φS φ(s)]i, j = [φ(s)i, j].

El operador ψ está definido en A , cumple que S ψ = S φS= S , es positivo y como ψ extiende a φ, si ψ es completamente

positivo, entonces φ también.Supongamos entonces que S = A . Sean k ∈ N y A ∈ Mk(S ) una matriz positiva, debemos ver que φk(A) ∈ Mk(Mn)

es positiva. Por el lema anterior, podemos suponer que Ai, j = a∗i a j para algún conjunto {a1, ..., ak} ⊆ A . Por otro lado,φk(A) ∈ Mk(Mn) es una matriz positiva si y sólo si para todo x ∈ ⊕k

j=1Cn,

〈φk(A)x, x〉⊕kj=1C

n ≥ 0.

Como x ∈ ⊕kj=1C

n, si notamos {e j} a la base canónica de Cn, existen λi, j ∈ C tal que xi =∑n

j λi, je j. Veamos cuanto vale(φk(A)x)i

(φk(A)x)i =

k∑l

φk(Ai,l)xl =

k,n∑l, j

φ(a∗i al)λl, je j.

Luego,


n =

k∑i

〈(φk(A)x)i, xi〉Cn =

k∑i

⟨ k,n∑l, j

φ(a∗i al)λl, je j,

n∑m

λi,mem

⟩Cn

=∑

i, j,l,m

⟨λl, jλi,mφ(a∗i al)e j, em

⟩Cn

=∑

i, j,l,m

λl, jλi,m[φ(a∗i al)]m, j

=∑

i, j,l,m

λl, jλi,mS φ(a∗i al ⊗ Em, j).

Consideremos Ai la matriz cuya primera fila es el vector {λi,1, ..., λi,n} y el resto de sus filas son nulas. Vale que(Ai)∗Al =

∑m, j λi,mλl, jEm, j.

En consecuencia,∑i, j,l,m

λl, jλi,mS φ(a∗i al ⊗ Em, j) =∑

i,l

S φ(a∗i al ⊗∑m, j

λi,mλl, jEm, j)

=∑

i,l

S φ(a∗i al ⊗ (Ai)∗Al) = S φ[(∑

i

ai ⊗ Ai)∗(∑

i

ai ⊗ Ai)].

Luego


n =∑

i, j,l,m

λl, jλi,mS φ(a∗i al ⊗ Em, j) = S φ[(∑

i

ai ⊗ Ai)∗(∑

i

ai ⊗ Ai)].

Que es una matriz positiva por ser S φ positivo. Concluimos que φ es k-positivo para todo k.�


Como corolario de la proposición anterior, vale que los operadores completamente positivos ∈ L (S ,Mn) se puedenextender a toda la C∗-álgebra.

Corolario 1.5.3 (Extensión de Arveson para Mn). Sean S ↪→ A con S un sistema de operadores y A una C∗-álgebra,si φ : S → Mn es completamente positivo, entonces existe φ : A → Mn una extensión completamente positiva de φ. Másaún ‖φ‖ = ‖φ‖.

Demostración. Como φ es completamente positivo, se tiene que S φ : Mn(S )→ C es positivo. Como S φ es un funcionalpositivo, por el Teorema de Krein (ver [11]), existe S : Mn(A ) → C una extensión positiva de S . Sea ψS : A → Mn eloperador asociado a S . Con el mismo argumento que el usado en la proposición anterior, ψS extiende a φ. Además, por laproposición anterior es completamente positivo.

Para finalizar la demostración, falta probar que ‖φ‖ = ‖φ‖, pero esto es trivial ya que como φ y φ son completamentepositivos ambos alcanzan la norma en 1 (ver Proposición 1.3.8). Además como S es un sistema de operadores, 1 ∈ S .Luego,

‖φ‖ = ‖φ(1)‖ = ‖φ(1)‖ = ‖φ‖.

�

También vale una versión análoga para el caso contractivo y unital. Recordemos que por el la Proposición 1.2.25 si unoperador unital φ : M → B es contractivo, entonces el operador φ : M + M∗ → B, φ(p + q∗) = φ(p) + φ(q)∗ es positivo.Más aún si M es un álgebra vale la recíproca (Corolario 1.2.26).

Corolario 1.5.4. Sean M un espacio de operadores y φ : M → Mn un operador unital. Entonces son equivalentes:i) el operador φ es completamente contractivo,ii) el operador φ es n-contractivo,iii) el funcional S φ es contractivo.

Demostración. Si φ es completamente contractivo, entonces claramente es n-contractivo.Para probar que si φ es n-contractivo entonces S φ es contractivo, recordemos la definición alternativa de S φ (1.10),

S φ[(Ai, j)] =1n

⟨φn[(Ai, j)]x, x)

⟩⊕n

i=1Cn,

donde x = ⊗ni=1ei y {ei}

ni=1 es la base canónica de Cn. Observemos que ‖x‖2 =

∑i ‖ei‖

2Cn = n.

Sea A ∈ Mn(M), entonces

∥∥∥S φ(A)∥∥∥ =

∥∥∥∥∥1n〈φn(A)x, x〉⊕n

i=1Cn

∥∥∥∥∥ ≤ ‖φn(A)‖1n‖x‖2 ≤ ‖φn‖‖A‖

‖x‖2

n≤ ‖A‖.

Veamos que si S φ es contractivo entonces φ es completamente contractivo. Existe A una C∗-álgebra tal que M ↪→ A .Observemos que como φ es unital, entonces S φ también. Luego, por las observaciones previas al corolario, podemosconsiderar S φ : Mn(M)+(Mn(M))∗ → C con S φ un funcional positivo. A su vez, por el Teorema de Krein (ver [11]), existeuna extensión positiva S de S φ a todo el álgebra A . Por la Proposición 1.5.1, el operador ψS asociado a S : A → Mn escompletamente positivo. Además, con la misma demostración que en la Proposición 1.5.1 vale que ψS extiende a φ y comoφ es unital, ψS también. Luego ψS es completamente positivo y unital, y en consecuencia es completamente contractivopor el Corolario 1.3.9. Finalmente, como ψS extiende a φ, se concluye que φ es completamente contractivo.

�

Observemos que el corolario anterior muestra que si φ : M → Mn es unital y n-contractivo, entonces su norma cb esigual a ‖φn‖. Smith probó que este resultado sigue valiendo si φ es acotado (y no necesariamente unital). Si φ : M → Mn

es acotado, entonces ‖φ‖cb = ‖φn‖. En el capítulo 2, Proposición 2.1.8, daremos una versión más débil (‖φ‖cb = ‖φ2n‖). Laprueba del postulado de Smith se puede encontrar en [30].

1.6. Teorema de extensión de Arveson 29

1.6. Teorema de extensión de Arveson

Esta sección está dedicada a probar el teorema de extensión de Arveson 1.6.6 para operadores completamente po-sitivos. Éste dice que, si el codominio es B(H), se puede extender a los operadores completamente positivos a todo elálgebra.

Antes de atacar el teorema, necesitamos dotar a B(S , B(H)) de una w∗-topología. Veremos que con esta topología, losoperadores completamente positivos con norma uniformente acotada forman un conjunto compacto.

Empecemos con B(X,Y∗), donde X e Y son dos espacios de Banach e Y∗ denota al dual de Y . Para dotar a B(X,Y∗)de una w∗-topología, necesitamos encontrar un espacio de Banach Z tal que Z∗ � B(X,Y∗). Dados x ∈ X e y ∈ Y ,consideremos el funcional x ⊗ y ∈ B(X,Y∗)∗ definido como

x ⊗ y(L) := L(x)(y).

Debido a que |L(x)(y)| ≤ ‖L‖‖x‖‖y‖ vale que ‖x ⊗ y‖ ≤ ‖x‖‖y‖. De hecho vale la igualdad. Sean x∗ ∈ X∗, y∗ ∈ Y∗ tal quex∗(x) = ‖x‖ e y∗(y) = ‖y‖. Definamos L ∈ B(X,Y∗) como L(x) := x∗(x)y∗. Luego ‖x ⊗ y(L)‖ = ‖L(x)(y)‖ = ‖x∗(x)y∗(y)‖, dedonde se deduce la igualdad.

Por otro lado, es fácil probar que la aplicación (x, y) 7→ x ⊗ y es C-bilineal. A los funcionales de la forma x ⊗ ylos llamaremos tensores elementales. Definamos Z ⊆ B(X,Y∗)∗ como la clausura del espacio generado por los tensoreselementales. El espacio Z es el que estamos buscando.

Lema 1.6.1. El espacio B(X,Y∗) es isométricamente isomorfo a Z∗. Donde el isomorfismo φ viene dado por

φ(L)(x ⊗ y) = x ⊗ y(L).

Demostración. Definamos ψ : Z∗ → B(X,Y∗) como ψ(z∗)(x)(y) := z∗(x⊗y). Es trivial probar que φ y ψ son inversas, luego,basta probar que ψ es isometría. Para ello debemos verificar que para todo x ∈ X, z ∈ Z∗, ψ(z∗)(x) ∈ Y∗ y ψ(z∗) ∈ B(X,Y∗).

Sea x ∈ X fijo, entonces para cada y ∈ Y vale que

‖ψ(z∗)(x)(y)‖ = ‖z∗(x ⊗ y)‖ ≤ ‖z∗‖‖x‖‖y‖.

Como además ψ(z∗)(x) es lineal en Y , deducimos que ψ(z∗)(x) ∈ Y∗.Con el mismo razonamiento vale que ψ(z∗) : X → Y∗ es lineal y acotado. Probemos ahora que φ es isométrico. Sea

L ∈ B(X,Y∗), entonces

‖φ(L)‖Z∗ = sup{z∈Z:‖z‖≤1}

|φ(L)(z)| = sup{z∈Z:‖z‖≤1}

|z(L)| ≤ ‖L‖.

Por otro lado,

‖L‖B(X,Y∗) = sup{x∈X:‖x‖≤1}

‖L(x)‖Y∗ = sup{x∈X:‖x‖≤1}

sup{y∈Y:‖y‖≤1}

|L(x)(y)|

= sup{x∈X, y∈Y: ‖x‖, ‖y‖≤1}

|x ⊗ y(L)|.

Recordemos que ‖x ⊗ y‖ = ‖x‖‖y‖ y luego

‖L‖B(X,Y∗) = sup{x∈X, y∈Y: ‖x‖, ‖y‖≤1}

|x ⊗ y(L)| = sup{‖x⊗y‖≤1}

|x ⊗ y(L)| = sup{‖x⊗y‖≤1}

φ(L)(x ⊗ y)

≤ sup{z∈Z:‖z‖≤1}

|φ(L)(z)| = ‖φ(L)‖Z∗

�

Definición 1.6.2. A la w∗-topología inducida por Z∗ en B(X,Y∗) la llamaremos la BW-topología (por bounded-weak).

El siguiente lema caracteriza la BW-convergencia.

Lema 1.6.3. Sea (Lλ)λ una red acotada en B(X,Y∗). Entonces (Lλ)λ converge a L en la topología BW si y sólo si paratodo x ∈ X, (Lλ(x))λ converge w∗ a L(x).


Demostración. Sea (Lλ)λ una red en B(X,Y∗) una red BW-convergente a L. Entonces (x ⊗ y(Lλ))λ tiende a x ⊗ y(L) paracada tensor elemental x ⊗ y. Sea x ∈ X fijo, luego para cada y,

(Lλ(x)(y))λ = (x ⊗ y (Lλ))λ → x ⊗ y (L) = L(x)(y).

Recíprocamente sea (Lλ)λ red acotada tal que para todo x, Lλ(x)(y)λ tiende a L(x)(y). Para cada tensor elemental x ⊗ y

(x ⊗ y (Lλ))λ = (Lλ(x)(y))λ → L(x)(y) = x ⊗ y(L).

Concluimos entonces que t(Lλ)λ tiende a t(L) para todo t en el espacio generado por los tensores elementales. Parafinalizar la demostración resta verificar la convergencia en la clausura, pero esto es trivial ya que la red (Lλ)λ es acotada.

�

Nos interesa el caso concreto B(S , B(H)), con S un sistema de operadores cerrado. Para dotar a B(S , B(H)) de una BW-topología hay que tomar un espacio de Banach Y tal que Y∗ = B(H). Consideremos el espacio generado por los operadorestraza (TC) en B(H). Sea {ei}i∈I una base de H. Un operador T ∈ B(H) pertenece a TC si y sólo si ‖T‖1 = tr(|T |) < ∞,donde tr(T ) :=

∑i | 〈Tei, ei〉 |. A la función tr(−) la llamaremos traza. Se puede ver que la traza de un operador no depende

de la base elegida y además que si A ∈ B(H) y T ∈ TC, entonces AT ∈ TC . Podemos definir entonces el siguienteisomorfismo Γ : B(H)→ TC,∗

Γ(A)(T ) := tr(AT ).

Dados h, k ∈ H, definimos Rh,k ∈ B(H) como el operador Rh,k(x) := 〈x, k〉 h. Como Rh,k es de rango 1, es de trazafinita. Además, como la traza no depende de la base, eligiendo una base cuyo primer elemento sea Ah

‖Ah‖ se ve que paratodo A ∈ B(H),

tr(ARh,k) = 〈Ah, k〉 . (1.11)

También vale que el generado por estos operadores es denso en TC.Para una información detallada de los operadores Traza consultar [4].Dotemos a B(S , B(H)) de la BW-topología inducida por la identificación B(H) ≈ TC∗. Veamos como se traduce la

caracterización de la BW convergencia del Lema 1.6.3 para el caso B(S , B(H)).

Lema 1.6.4. Sea (Lλ)λ una red acotada en B(S , B(H)). Entonces (Lλ)λBW→ L si y sólo si para todo h, k ∈ H, s ∈ S ,

〈Lλ(s)h, k〉λ → 〈L(s)h, k〉 .

Demostración. Por el Lema 1.6.3, una red acotada (Lλ)λ en B(X,Y∗) converge BW a L si y sólo si vía la identificación

B(H) ≈ TC∗, para todo s ∈ S , (Lλ(s))λw∗→ L(s). Equivalentemente, para todo s ∈ S , T ∈ TC, tr(Lλ(s)T )λ → tr(L(s)(T )).

Sea (Lλ)λ una red BW-convergente a L, tomando el caso particular T = Rh,k y recordando la igualdad (1.11) tenemos que

〈Lλ(s)h, k〉λ = tr(Lλ(s)Rh,k)λ → tr(L(s)Rh,k) = 〈L(s)h, k〉 .

Recíprocamente, sea (Lλ)λ una red acotada tal que para todo h, k ∈ H, x ∈ X, 〈Lλ(s)h, k〉λ → 〈L(s)h, k〉 .Equivalentemente para todo operador Rh,k,

tr(Lλ(s)Rh,k)λ → tr(L(s)Rh,k).

Luego, Lλ(s)(T ) → L(s)(T ) para todo operador T perteneciente al generado por los Rh,k. Finalmente, como la red(Lλ)λ es acotada, la convergencia pasa a la clausura del espacio generado por los Rh,k que es TC. �

Como aplicación a los operadores completamente positivos (y completamente acotados) tenemos que la bola unitariade los completamente positivos (completamente acotados) es BW-compacta.

Teorema 1.6.5. Sea S un sistema de operadores cerrado. Entonces los siguientes conjuntos son BW-compactos:i) Br(S ,H) := {L ∈ B(S , B(H)) : ‖L‖ ≤ r},ii) CBr(S ,H) := {L ∈ B(S , B(H)) : ‖L‖cb ≤ r},iii) CPr(S ,H) := {L ∈ B(S , B(H)) : L es completamente positivo , ‖L‖ ≤ r, }iv) CP(S ,H, P) := {L ∈ B(S , B(H)) : L es completemente positivo y L(1) = P}.

1.6. Teorema de extensión de Arveson 31

Demostración. Como la BW-topología es una w∗- topología, por el Teorema de Alaogu, el conjunto Br(S ,H) es BW-compacto. Como el resto de los conjuntos son subconjuntos de éste último, basta ver que son BW-cerrados.

Demostraremos sólamente el caso CPr(S ,H), ya que las demás demostraciones son similares.Sea (Lλ)λ una red en CPr(S ,H) BW-convergente a L, debemos ver que L ∈ CPr(S ,H). Como Br(S ,H) es BW-cerrado

y CPr(S ,H) ⊆ Br(S ,H) se deduce que L ∈ Br(S ,H), es decir, que ‖L‖ ≤ r. Para que L pertenezca a CPr(S ,H) resta probarque es completamente positivo.

Sea A ∈ Mn(S ) una matriz positiva, debemos ver que Ln(A) es positivo en Mn(B(H)) ≈ B(Hn). Esto último pasa si ysólo si para todo h ∈ Hn, ⟨

Ln(A)h, h⟩

Hn≥ 0.

Sea entonces h ∈ Hn y digamos h = ⊕ni=1hi. Calculemos [Ln(A)h]i.

[Ln(A)h]i =∑

j

[Ln(A)]i, j[h] j =∑

j

L(Ai, j)h j.

Luego, ⟨Ln(A)h, h

⟩Hn

=∑

i

⟨[Ln(A)h]i, [h]i

⟩H

=∑

i

⟨∑j

L(Ai, j)h j, hi

⟩H

=∑i, j

⟨L(Ai, j)h j, hi

⟩H.

Análogamente, como para cada λ, Lλ es completamente positivo, vale que∑i, j

⟨Lλ(Ai, j)h j, hi

⟩H≥ 0.

Por el Lema 1.6.4∑

i, j

⟨Lλ(Ai, j)h j, hi

⟩H

tiende a∑

i, j

⟨L(Ai, j)h j, hi

⟩H

que es positivo por ser límite de positivos. Luego

0 ≤∑i, j

⟨L(Ai, j)h j, hi

⟩H

=⟨Ln(A)h, h

⟩Hn.

�

Estamos en condiciones de demostrar el teorema de extensión de Arveson.

Teorema 1.6.6 (Teorema de extensión de Arveson). Sea A una C∗-álgebra, S ⊂ A un sistema de operadores y φ : S →B(H) un operador completamente positivo, entonces existe φ : A → B completamente positivo que extiende a φ.

Demostración. Para cada F subespacio de dimensión finita de H, consideremos φF : S → B(F) la compresión de φ aF. Es decir, φF(a) := PFφ(a)|F . Verifiquemos que φF sigue siendo completamente positivo. Sea A ∈ Mn(S ) una matrizpositiva, debemos ver que (φF)n(A) es una matriz positiva en Mn(B(F)) � B(Fn). Esto último sucede si y sólo si para todox ∈ Fn,

〈(φF)n(A)x, x〉Fn ≥ 0.

Observemos que (φF)n(A) es (PF)n ◦ φn(A) ◦ (iF)n, donde (PF)n : Hn → Fn es la suma directa de n copias de PF . Porotro lado (PF)n no es otra cosa que la proyección de Hn en Fn. Análogamente (iF)n es la suma directa de n copias de iF ya su vez la inclusión de Fn en Hn.

Sea x ∈ Fn, luego

0 ≤ 〈φn(A)x, x〉Hn = 〈PFnφn(A)x + PFn⊥φn(A)x, x〉Hn = 〈PFnφn(A)x, x, 〉Hn

= 〈PF nφn(A)iF nx, x, 〉Hn =⟨(φF)n(A)x, x

⟩Fn .

Como φF : S → B(F) es completamente positivo y B(F) � Mk para algún k, por el Teorema de extensión de Arvesonpara el caso finito 1.5.3, existe un operador completamente positivo ψF : A → B(F) con ‖ψF‖ ≤ ‖φF‖ que extiende a φF .


Tenemos entonces que

‖ψF‖ = ‖φF‖ ≤ ‖φ‖.

Consideremos ahora ψF : A → B(H) definido como la extensión lineal de

ψF(a)(x) :={ψ(a)(x) si x ∈ F

0 si x ∈ F⊥.

Veamos que ψF es completamente positivo y que ‖ψF‖ ≤ ‖φ‖.Sea A ∈ Mn(A ) una matriz positiva y h ∈ Hn, luego⟨

ψF(A)(h), (h)⟩

=⟨ψF(A)PF(h) + ψF(A)PF⊥ (h), (h)

⟩=

⟨ψF(A)PF(h), (h)

⟩=

⟨ψF(A)PF(h), (h)

⟩=

⟨ψF(A)PF(h), PF(h)

⟩+

⟨ψF(A)PF(h), PF⊥ (h)

⟩=

⟨ψF(A)PF(h), PF(h)

⟩≥ 0.

Similarmente‖ψF(h)‖ = ‖ψF PF(h)‖ = ‖ψF PF(h)‖ ≤ ‖ψ‖‖PF‖‖h‖ ≤ ‖φ‖‖h‖.

Además, por como construimos ψF , ψF restringido a S y F coincide con φF . Si s ∈ S y x ∈ F,

ψF(s)(x) = φF(s)(x).

El conjunto de los subespacios de dimensión finita contenidos en H forma un conjunto dirigido bajo la inclusióny luego {ψF} es una red en CP‖φ‖(A ,H), que por el teorema anterior es BW- compacto (ya que A es un sistema deoperadores cerrado). Entonces existe una subred {ψG} BW− convergente a un operador completamente positivo ψ.

Afirmamos que ψ extiende a φ. En efecto, sean s ∈ S y x, y ∈ H. Tomemos F el espacio generado por {x, y, φ(s)(x)}.Por el Lema 1.6.4,

lımG〈ψG(x), y〉 = 〈ψ(x), y〉 .

Por otro lado, si F ⊇ F, ⟨ψF(s)(x), y

⟩=

⟨φF(x), y

⟩=

⟨PFφ(s)iF(x), y

⟩=

⟨PFφ(s)(x), y

⟩= 〈φ(s)(x), y〉 .

Finalmente, como el conjunto {F ⊇ F} es cofinal,

〈φ(s)(x), y〉 = lımF⊇F

⟨ψF(s)(x), y

⟩= lım

G〈ψG(s)(x), y〉

= 〈ψ(s)(x), y〉 .

De lo que se deduce que φ(s) = ψ(s) para todo s ∈ S .�

Capítulo 2

Caracterización de la conjetura de Halmos

El objetivo principal de este capítulo es caracterizar el problema de similaridad Halmos. Veremos que un operador Tes similar a una contracción si y sólo si su morfismo de von Neumann ρ : P(S1)→ B(H) es completamente acotado. Paraello necesitaremos primero estudiar las generalizaciones de los teoremas de extensión y factorización de operadores com-pletamente positivos para operadores completamente acotados. Luego, agregando la hipótesis de φ morfismo de álgebrasunital, probaremos una caracterización obtenida por Paulsen en [22] para morfismos de álgebras completamente acotadosde A → B(H) con A un álgebra de operadores. El caso particular A = P(S1) nos dará lugar a nuestro resultado buscado.

2.1. Teoremas de extensión y factorización

Teniendo en cuenta el caso base de esta tesis, donde φ : P(S1) → B(H), las C∗-álgebras consideradas serán todas conunidad. Además, tampoco será relevante que algunos resultados valgan sólo cuando el codominio es B(H). Ya vimos quetodo operador de la forma V∗π(−)V , para algún ∗- morfismo π, es completamente positivo (Observación 1.4.3). Por otrolado, vimos también que todo operador completamente positivo admite dicha factorización (Teorema de Stinespring 1.4.1).Si ahora suponemos V1 , V2, es trivial probar que los operadores de la forma V∗1π(−)V2 son completamente acotados.Veremos que la generalización natural para operadores completamente acotados es válida, todo operador completamenteacotado se puede factorizar como V∗1π(−)V2. La generalización para el Teorema de extensión de Arveson 1.6.6 es todaviamás fácil de establecer. Ésta será simplemente que todo operador completamente acotado φ : M → B(H) con M unespacio de operadores, se puede extender de forma completamente acotada a todo el álgebra. La técnica para obtenerambas generalizaciones será la misma, veremos que los operadores completamente contractivos se pueden pensar comola (1, 2) coordenada en M2(A ) de un operador completamente positivo unital, allí aplicaremos el teorema a generalizar yluego proyectaremos sobre el codominio.

Es claro que Mn(Mm(A )) es ∗-isomorfo a Mnm(A ), donde el isomorfismo viene dado simplemente por “expan-dir” cada coordenada Ai, j. A su vez Mnm(A ) es del mismo modo ∗-isomorfo a Mm(Mn(A )). Consideremos ahora A ∈Mn(Mm(A )), A es de la forma (Ai, j)n

i, j=1 con cada Ai, j ∈ Mm(A ), es decir Ai, j = (ai, j,k,l)mk,l=1. Definiendo Bk,l = (ai, j,k,l)n

i, j=1obtenemos un elemento de Mn(A ) y luego B = (Bk,l)m

k,l=1 ∈ Mm(Mn(A )). Identificando Mn(Mm(A )) y Mm(Mn(A )) conMnm(A ) y pensando a A y a B como elementos de Mnm(A ), el operador que mapea A 7→ B no es otra cosa que una per-mutación, y en consecuencia un ∗-morfismo. A dicho operador, pensado ahora definido en Mn(Mm(A ) → Mm(Mn(A )),lo llamaremos el Shuffle canónico. Es importante notar, que al ser un ∗-isomorfismo, el Shuffle canónico no afecta nila positividad ni la norma. Un ejemplo visual de como opera el morfismo: si A ∈ Mn(M2(A )), A = (Ai, j)n

i, j=1 con cada

Ai, j =

(bi, j ci, j

di, j ei, j

), la imagen de A es

(B CD E

), donde B = (bi, j)n

i, j=1, C = (ci, j)ni, j=1, D = (di, j)n

i, j=1 y E = (ei, j)ni, j=1.

También puede ser útil entender el morfismo desde el punto de vista tensorial. Recordemos que Mn(A ) � A ⊗ Mn,vía (Ai, j)n

i, j=1 7→∑n

i, j=1 Ai, j ⊗ Ei, j donde (Ei, j)ni, j=1 son las matrices elementales de Mn. Consideremos A ∈ Mn(Mm(A )) y

notemos a las matrices elementales de Mm como Fk,l. La imagen de A vía el isomorfismo Mn(Mm(A )) � Mm(A ) ⊗ Mn

es∑n

i, j=1 Ai, j ⊗ Ei, j, donde cada Ai, j ∈ Mm(A ). Aplicando nuevamente el isomorfismo, esta vez entre Mm(A ) y A ⊗ Mm,tenemos que la imagen de cada Ai, j es

∑mk,l ai, j,k,l ⊗ Fk,l y luego la imagen de A en (A ⊗ Mm) ⊗ Mn es

33

34 CAPÍTULO 2. CARACTERIZACIÓN DE LA CONJETURA DE HALMOS

n∑i, j=1

m∑k,l=1

(ai, j,k,l ⊗ Fk,l) ⊗ Ei, j.

Por otro lado, si empezamos con B ∈ Mm(Mn(A )), dada por el Shuffle canónico, y aplicamos los isomorfismos Mm(Mn(A )) 7→Mn(A ) ⊗ Mn 7→ (A ⊗ Mn) ⊗ Mm obtenemos

m∑k,l=1

n∑i, j=1

(ai, j,k,l ⊗ Ei, j) ⊗ Fk,l.

Vemos que el Shuffle canónico es la composición de los morfismos

Mn(Mm(A )) � (A ⊗ Mn) ⊗ Mm � (A ⊗ Mm) ⊗ Mn � Mm(Mn(A )).

La técnica presentada en el siguiente lema será fundamental para generalizar los teoremas de representación de Stin-sepring y de extensión de Arveson. Si bien un operador completamente contractivo puede no ser completamente positivo(por no ser unital), se puede ver como una coordenada de un operador completamente positivo y unital en otro espacio deoperadores.

Lema 2.1.1. Sean A , B C∗-álgebras con unidad, M ↪→ A un espacio de operadores y φ : M → B completamentecontractivo. Sean S M ⊂ M2(A ) el sistema de operadores generado por{(

α1 ab∗ β1

): α, β ∈ C , a, b ∈ M

},

y ψ : S M → M2(B) definido como,

ψ

[(α1 ab∗ β1

)]=

(α1 φ(a)φ(b)∗ β1

).

Entonces ψ resulta completamente positivo.

Demostración. Sean n ∈ N y N perteneciente a Mn(S M) una matriz positiva. Debemos ver que ψn(N) es positiva. Lamatriz N es de n x n, donde cada coordenada es un elemento de S M , de la forma

(N)i, j =

(αi, j ai, j

b∗i, j βi, j

).

Análogamente, (ψn(N))i, j es (αi, j φ(ai, j)

φ(b∗i, j) βi, j

).

Observemos que S M es un subespacio de Mn(M2(A )) y que M2(Mn(A )) � Mn(M2(A )) vía el Shuffle canónico. Sinotamos a A = ai, j, B = bi, j, H = αi, j, K = βi, j ∈ Mn(A ), la imagen de N vía el Shuffle canónico es(

H AB∗ K

). (2.1)

Similarmente la imagen de ψn(N) es (H φn(A)

φn(B∗) K

). (2.2)

Luego, como el Shuffle canónico es un ∗-isomorfismo y preserva la positividad, es suficiente probar que si (2.1) espositivo, entonces (2.2) también.

Observemos que si (2.1) es positivo, necesariamente tiene que valer que A = B y que H y K también son positivos.Fijemos un ε > 0 y consideremos Hε = H + ε.Id, Kε = K + ε.Id de forma que Hε y Kε son estrictamente positivos

2.1. Teoremas de extensión y factorización 35

y en consecuencia inversibles. Luego tiene sentido considerar Hε− 1

2 y Kε− 1

2 . Multiplicando a derecha y izquierda por

D =

Hε− 1

2 00 Kε

− 12

, resulta que

D(

Hε AA∗ Kε

)D =

Id Hε− 1

2 AKε− 1

2

Kε− 1

2 A∗Hε− 1

2 Id

es una matriz positiva y aplicando el Lema 1.3.4 tenemos que ‖Hε

− 12 AKε

− 12 ‖ ≤ 1.

Por otro lado, como Hε− 1

2 y Kε− 1

2 son matrices escalares(i.e sus entradas son de la forma λ1 con λ ∈ C), se cumpleque φn(Hε

− 12 AKε

− 12 ) = Hε

− 12 φn(A)Kε

− 12 .

En efecto,

[φn(Hε− 1

2 AKε− 1

2 )]i, j = φ([Hε− 1

2 AKε− 1

2 ]i, j) = φ

∑k

[Hε− 1

2 A]i,k[Kε− 1

2 ]k, j

=

∑k

φ([Hε− 1

2 A]i,k)[Kε− 1

2 ]k, j =∑

k

φ

∑l

[Hε− 1

2i,l ]Al,k

[Kε− 1

2 ]k, j

=∑

k

∑l

[Hε− 1

2 ]i,lφ(Al,k)[Kε− 1

2 ]k, j = [Hε− 1

2 φn(A)Kε− 1

2 ]i, j

Muliplicando nuevamente a izquierda y derecha por D obtenemos la igualdad

D(

Hε φn(A)φn(A)∗ Kε

)D =

Id Hε− 1

2 φn(A)Kε− 1

2

Kε− 1

2 φn(A)∗Hε− 1

2 Id

=

Id φn(Hε− 1

2 AKε− 1

2 )φn(Kε

− 12 A∗Hε

− 12 ) Id

.Recordemos que φ era completamente contractivo y que ‖Hε

− 12 AKε

− 12 ‖ ≤ 1. Aplicando nuevamente el Lema 1.3.4, de-

ducimos que esta última matriz es positiva. Multiplicando a izquierda y derecha por D−1(y observando que es positiva)

obtenemos que(

Hε φn(A)φn(A)∗ Kε

)es positiva para todo ε>0. La demostración concluye tomando límite con ε tendiendo

a 0.�

Observación 2.1.2. Como ψ es completamente positivo y unital es además completamente contractivo (ver Corolario1.3.9).

Observación 2.1.3. Si no suponemos φ completamente contractivo y solo pedimos completamente acotado, aplicandoel lema anterior con φ =

φ‖φ‖cb

, obtenemos ψ completamente positivo tal que φ es la (1,2)-coordenada de ψ. Si ahoraconsideramos ψ = ‖φ‖cbψ, tenemos que ψ es completamente positivo y que φ es la (1,2)-coordenada de ψ. La diferenciasustancial con el caso anterior es que ψ pierde la propiedad de ser unital.

Observación 2.1.4. Con exactamente la misma prueba, vale en realidad que si φ es k-contractivo, entonces ψ es k-positivo.

El siguiente lema nos sirve para recuperar información de φ a partir de ψ.

Lema 2.1.5. Sean A una C∗-álgebra, i : A → M2(A ) y j : M2(A ) → A la inclusión y proyección en la (1, 2)-coordenada. Es decir,

i(a) =

(0 a0 0

)y j

[(∗ a∗ ∗

)]= a.

Entonces i y j son completamente contractivos.

Demostración. Probaremos solamente j completamente contractivo, ya que la resolución de i completamente contractivoes similar.

Probemos primero que j es contractivo. Considerando (π, B(H)) una representación de A , podemos suponer A =

B(H). Sea A ∈ M2(B(H)) y digamos A =

(a1 aa2 a3

).


Tomemos un h ∈ H con ‖h‖ ≤ 1, entonces∥∥∥∥∥∥(

a1 aa2 a3

)∥∥∥∥∥∥M2(B(H))

≥

∥∥∥∥∥∥(

a1 aa2 a3

) (0h

)∥∥∥∥∥∥H⊕H

= ‖(a(h), a3(h)‖H⊕H ≥ ‖a(h)‖H = ‖ j(A)(h)‖H .

Tomando supremo sobre los {h : ‖h‖H ≤ 1} se concluye la desigualdad.Para probar que j es completamente contractivo, debemos probar que para todo n, jn : Mn(M2(A )) → Mn(A )

es contractivo. Sin embargo, si notamos por el momento θ al Shuffle canónico Mn(M2(A )) → M2(Mn(A )), jn ◦ θ :M2(Mn(A )) → Mn(A ) no es otra cosa que la proyección en la (1, 2)-coordenada tomando ahora ˜A = Mn(A ). Comoya probamos que las proyecciones son contractivas, deducimos que jn ◦ θ es contractivo. Como θ es un ∗-morfismo,concluimos que jn es contractivo.

�

Observación 2.1.6. Supongamos ψ, S M y φ como en el Lema 2.1.1, pero ahora sin ninguna condición sobre φ. Si ψ escompletamente positivo, entonces φ es completamente contractivo.

Demostración. Observemos que φ no es otra cosa que la composición j ◦ ψ ◦ i. Con j e i los operadores proyeccióne inclusión en la (1, 2) coordenada. Como cada componente es completamente contractiva, la composición entre ellastambién lo es.

�

Si juntamos la observación anterior con el Lema 2.1.1 obtenemos el siguiente resultado.

Lema 2.1.7. Sea φ : A → B con A y B C∗-álgebras con unidad y sean ψ y S M como en el lema 2.1.1. Entonces ψ escompletamente positivo si y sólo si φ es completamente contractivo.

Vimos en los Ejemplos 1.2.5 y 1.3.10 que si φ : M → Mn, φ podía ser positivo y no completamente positivo. Quedabapendiente la pregunta de si φ acotado implica completamente acotado. Estamos en condiciones de dar una respuestasencilla.

Proposición 2.1.8. Sea M un espacio de operadores y φ : M → Mn un operador acotado. Entonces ‖φ2n‖ = ‖φ‖cb.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos asumir ‖φ2n‖ = 1 y probar que ‖φ‖cb ≤ 1. Como φ es 2n-contractivo,ψ : S M → M2n es 2n-positivo y en consecuencia, por la Proposición 1.5.1, completamente positivo. El hecho de que ψsea completamente positivo implica que φ es completamente contractivo.

�

Smith probó que, debido a las caracteristicas de ψ y S M , la norma cb es alcanzada en ‖φn‖.

Proposición 2.1.9 (Smith). Sea M un espacio de operadores y φ : M → Mn un operador acotado. Entonces ‖φn‖ = ‖φcb‖.

La demostración se puede encontrar en [30].Paulsen probó que la conjetura de Halmos es equivalente a que todo morfismo de von Neumann ρ : P(S1) → B(H)

sea completamente acotado. En este contexto, las proposiciones anteriores muestran que para un ejemplo de un morfismode von Neumann no completamente acotado, el espacio de Hilbert H será necesariamente de dimensión infinita.

A continuación demostraremos la generalización del teorema de extensión de Arveson 1.6.6 para operadores comple-tamente acotados.

Teorema 2.1.10 (Teorema de extensión de Wittstock). Sea A una C∗-álgebra unital, M ⊂ A un espacio de operadoresy φ : M → B(H) un operador completamente acotado, entonces existe φ : A → B(H) una extensión completamenteacotada de φ con ‖φ‖cb = ‖φ‖cb.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos asumir ‖φ‖cb ≤ 1. Consideremos S M y ψ como en el Lema 2.1.1.Como ψ es completamente positivo, por el teorema de extensión de Arveson 1.6.6, existe un ψ : M2(A ) → M2(B(H))extendiendo a ψ. Observemos que como ψn es completamente positivo, la norma de ψn se alcanza en la identidad (ver


Proposición 1.3.8 y como ψn es unital, ψ resulta completamente contractivo (ver Corolario 1.3.9 . Definamos φ : A → Hcomo la composición j ◦ ψ ◦ i, donde tanto la inclusión como la proyección son en la coordenada (1, 2). Es decir,

ψ

(0 a0 0

)=

(∗ φ(a)∗ ∗

).

Es claro que φ es lineal. Como ψ extiende a ψ y la proyección en la coordenada (1,2) de ψ coincide con φ, tenemosque φ extiende a φ. Además, φ es completamente contractivo ya que j, ψ e i son completamente contractivos.

�

Observación 2.1.11. Si el codominio es una C∗-álgebra B, la podemos representar en un espacio de Hilbert H y aplicarel teorema anterior. Sin embargo, no necesariamente vale Rg(φ) ⊆ B. Tenemos entonces el siguiente diagrama conmuta-tivo:

Aφ // B(H)

M

i

OO

φ // B

i

OO

Como consecuencia del Lema 2.1.1 probaremos a continuación que un operador completamente acotado se puede vercomo una coordenada de un completamente positivo en M2(A ), y además, si el codominio es B(H), se puede conseguirque las demás coordenadas sean operadores completamente positivos.

Teorema 2.1.12. Sea A una C∗-álgebra unital y φ : A → B(H) completamente acotado, entonces existen operadoresφi, completamente positivos con ‖φi‖cb = ‖φ‖cb, i = 1, 2, tal que el operador ψ : M2(A )→ B(H ⊕ H) dado por:

ψ

[(a bc d

)]=

(φ1(a) φ(b)φ(c)∗ φ2(d)

)es completamente positivo. Más aún si ‖φ‖cb ≤ 1, podemos tomar φi(1) = IdH .

Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir ‖φ‖cb = 1.Aplicando el Lema 2.1.1 con M = A obtenemos un ψ : S A ⊆ M2(A )→ B(H ⊕ H) completamente positivo y unital.

Por el teorema de extensión de Arveson 1.6.6, podemos extender ψ a todo M2(A ) manteniendo la completa positividad.

A dicha extensión la seguiremos notando ψ. Como(

0 bc 0

)∈ S M , por la definición de ψ, vale que

ψ

[(0 bc 0

)]=

(0 φ(b)

φ(c)∗ 0

).

Veamos cuanto vale ψ en un elemento de la forma(

a 00 0

).

Para ello consideremos un p ∈ A tal que 0 ≤ p ≤ 1. Es claro que 0 ≤(

p 00 0

)≤

(1 00 0

)y en consecuencia, como

ψ es positivo,

(0 00 0

)≤ ψ

[(p 00 0

)]≤ ψ

[(1 00 0

)]=

(1 00 0

).

Un cálculo elemental muestra que a ψ[(

p 00 0

)]no le queda otra opción que ser de la forma

(∗ 00 0

).


En efecto, si(

a bc d

)= ψ

[(p 00 0

)]. Como

(a bc d

), y

(1 − a −b−c −d

)son positivas, se deduce que b∗ = c y que

d y −d son positivos, de donde d = 0. Como la matriz(

a bb∗ 0

)es positiva, para todo h1, h2 ∈ H,

0 ≤⟨(

a bb∗ 0

)(h1, h2), (h1, h2)

⟩H2

= 〈ah1, h1〉 + 2Re(〈bh2, h1〉H).

Supongamos que existen h2, h1 con 〈bh2, h1〉H , 0. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que Re(〈bh2, h1〉H) > 0.Luego, para todo t ∈ R con t , 0, vale que

0 ≤ 〈ah1, h1〉 + 2Re(〈tbh2, h1〉H).

Tomando límite con t tendiendo a infinito llegamos a una contradicción.Como A es el generado por sus elementos positivos (Observación 1.2.3), existe φ1 : A→ H tal que

ψ

[(a 00 0

)]=

(φ1(a) 0

0 0

).

Además como un elemento p ∈ A es positivo si y sólo si(

p 00 0

)es positivo tenemos que φ1 es positivo. Con el mis-

mo argumento, es inmediato ver que (φ1)n es positivo. Sea A ∈ Mn(A ) positiva, para cada A(i, j) vale que ψ[(

A(i, j) 00 0

)]=(

φ1(A(i, j)) 00 0

)y entonces, bajo el Shuffle canónico entre M2(Mn(A )) y Mn(M2(A )), ψn

[(A 00 0

)]=

((φ1)n(A) 0

0 0

)que es positivo por ser ψ completamente positivo.

De forma análoga se prueba la existencia de un φ2 completamente positivo tal que

ψ

[(0 00 d

)]=

(0 00 φ2(d)

).

Luego ψ y φi son de la forma deseada puesto que

ψ

[(a bc d

)]= ψ

[(0 bc 0

)+

(a 00 0

)+

(0 00 d

)]=

(φ1(a) φ(b)φ(c)∗ φ2(d)

).

Finalmente, como los φi son completamente positivos y φi(1) = 1, tenemos que

‖φi‖ = ‖φi(1)‖ = 1 = ‖φ‖cb.

�

Estamos en condiciones de generalizar el teorema de Stinespring 1.4.1 para operadores completamente acotados.

Teorema 2.1.13 (Generalización del teorema de Stinespring para φ completamente acotada). Sean A una C∗-álgebraunital y φ : A → B(H) un operador completamente acotado. Entonces existen un espacio de Hilbert K, un ∗-morfismoπ : A → B(K) y operadores acotados Vi i=1,2, con ‖φ‖cb = ‖V1‖‖V2‖ tal que

φ(a) = V∗1π(a)V2.

Más aún si ‖φ‖cb = 1, entonces se pueden tomar Vi isometrías.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que ‖φ‖cb = 1. Por el Teorema 2.1.12, existen φ1, φ2, ψcompletamente positivos tal que


ψ

[(a bc d

)]=

(φ1(a) φ(b)φ(c)∗ φ2(d)

).

Como ψ es completamente positivo, por el teorema de representación de Stinespring 1.4.1, existe (π,V, K) una re-presentación de Stinespring de ψ. Existen un espacio de Hilbert K, un ∗-morfismo π : M2(A ) → B(K) y un operadorV : H ⊕ H → B(K) tal que ψ(−) = V∗π(−)V . Además como ψ es unital, podemos tomar V isometría y π unital.

Afirmamos que existe una representación unital π : A → B(K), tal que π = π2.Para ello se deben cumplir las siguientes condicionesi) K = K ⊕ K.

ii) π[(

a bc d

)]=

(π(a) π(b)π(c) π(d)

).

Primero construyamos K. Consideremos P := π

[(1 00 0

)]∈ B(K). Observemos que por ser π un ∗-morfismo,

P2 = P y P∗ = P, de lo que se deduce que P es una proyección ortogonal. Luego obtenemos la descomposición K =

Rg(P) ⊕ Ker(P), con Ker(P) = Rg(P)⊥. Definamos K como Rg(P).

Por otro lado, consideremos P := π

[(0 00 1

)]. Es claro que P es también una proyección ortogonal, pero además,

como P + P = π

[(1 00 0

)]+ π

[(0 00 1

)]= IdK , P no es otra cosa que PK⊥ .

Veamos ahora que K es isométrico a K⊥. Consideremos π[(

0 01 0

)]∈ B(K) y notemos que como,

π

[(0 01 0

)](x) = π

[(0 00 1

)]π

[(0 01 0

)](x) = PK⊥π

[(0 01 0

)](x),

donde x es un elemento arbitrario de K, vale que

Rg(π

[(0 01 0

)])⊆ K⊥.

Definamos ϕ : K → K⊥ como π

[(0 01 0

)]∣∣∣∣∣∣K

. Es fácil ver que ϕ es inversible con inversa π[(

0 10 0

)]∣∣∣∣∣∣K⊥

y también,

ya que π es un ∗-morfismo, que ‖ϕ‖ ≤ 1 y ‖ϕ−1‖ ≤ 1. Luego, se concluye que ϕ es una isometría.Identificando K con K⊥ se tiene que

K = K ⊕ K.

En este punto la definición de π es natural. Definamos π como

π(a) := PK ◦ π

[(a 00 0

)]◦ ik donde iK y PK son la inclusión y proyección en K.

Vale que π es un ∗-morfismo unital. Sólo probaremos que π es multiplicativo, las otras condiciones se demuestran enforma similar.

Teniendo en cuenta que

π

[(1 00 0

)]π

[(a 00 0

)]= π

[(a 00 0

)],

deducimos que

Rg(π

[(a 00 0

)]◦ iK

)⊆ K ⊆ K.

En consecuencia


π(ab) = PK ◦ π

[(a 00 0

)]π

[(b 00 0

)]◦ iK = PK ◦ π

[(a 00 0

)]◦ iK ◦ PK ◦ π

[(b 00 0

)]◦ iK = π(a)π(b).

Veamos que se cumple la condición ii). Basta probar que para todo a, b, c, d ∈ A ,

π

[(a 00 0

)]=

(π(a) 0

0 0

), π

[(0 b0 0

)]=

(0 π(b)0 0

),

π

[(0 0c 0

)]=

(0 0π(c) 0

)y π

[(0 00 d

)]=

(0 00 π(d)

).

Probaremos solamente que π[(

0 b0 0

)]=

(0 π(b)0 0

)ya que las demás igualdades son análogas.

Sean x, y ∈ K, luego,

π

[(0 b0 0

)] (xy

)= π

[(b 00 0

)]π

[(0 10 0

)] {π

[(1 00 0

)] (x0

)+ π

[(0 00 1

)] (0y

)}= π

[(b 00 0

)]π

[(0 10 0

)] (0y

)= π

[(b 00 0

)] (y0

)= π

[(1 00 0

)]π

[(b 00 0

)] (y0

)=

(π

[(b 00 0

)] (y0

), 0

)=

(π(b)(y) , 0

)=

(0 π(b)0 0

) (xy

).

De donde conluímos ii). Ya tenemos el de espacio de Hilbert K y la representación π. Resta decir quienes son V1 y V2.Sea h ∈ H y notemos que

(h0

)=

(IdH 00 0

) (h0

)=

(φ1(1A ) 0

0 0

) (h0

)= V∗

(π(1A ) 0

0 0

)V

(h0

)= V∗

(IdK 00 0

)V

(h0

)= V∗PKV

(h0

). (2.3)

Esta última igualdad implica que V(

h0

)=

(∗

0

). En efecto, sea

(xy

)= V

(h0

). Por (2.3), vale que

(h0

)=

V∗(

x0

). Luego, ∥∥∥∥∥∥

(xy

)∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥V(

h0

)∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥(

h0

)∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥V∗(

x0

)∥∥∥∥∥∥ ≤ ‖V∗‖ ‖x‖ = ‖x‖. (2.4)

y concluimos que y = 0.Existe entonces V1 : H → K tal que V(h, 0) = (V1(h), 0). Además, por la desigualdad (2.4), V1 tiene que ser necesa-

riamente una isometría.Análogamente definimos V2 como la isometría que cumple la propiedad V(0, h) = (0,V2(h)).Finalmente, veamos que (π,V1,V2) cumplen la condición deseada.(

φ1(a) φ(b)φ(c)∗ φ2(d)

)= ψ

[(a bc d

)]= V∗π

[(a bc d

)]V =

(V1∗ 0

0 V2∗

) (π(a) π(b)π(c) π(d)

) (V1 00 V2

)=

(V1∗π(a)V1 V1

∗π(b)V2

V∗2π(c)V1 V2∗π(d)V2

).

Tomando (1,2)-coordenada, se concluye el teorema.�

2.2. Morfismos completamente acotados 41

2.2. Morfismos completamente acotados

En esta sección nos enfocaremos en caracterizar los morfismos unitales de álgebras A → B(H) completamenteacotados. Veremos que éstos son necesariamente similares a un morfismo completamente contractivo. Comencemos conlas siguientes definiciones elementalales.

Definición 2.2.1. Sean B una C∗-álgebra y A una subálgebra (no necesariamente ∗-cerrada)de B. Entonces decimosque A es un álgebra de operadores.

Definición 2.2.2. Sea A un álgebra de operadores y ρ, ρ : A → B(H) dos operadores. Decimos que son S -similares siexiste S ∈ B(H) inversible tal que S ρ(−)S −1 = ρ. Además, diremos que S es una similaridad.

Definición 2.2.3. Sea A un álgebra de operadores y ρ : A → B(H). Decimos que ρ es similar a una contracción (o aun completamente contractivo) si existe ρ : A → B(H) contractivo (completamente contractivo) tal que ρ es similar a ρ.

Veamos como se traduce la noción de similaridad si ρ y ρ son morfismos de von Neumann.

Observación 2.2.4. Sean T y R dos operadores polinomialmente acotados en B(H). Entonces T y R son S -similares si ysólo si sus morfismos de von Neumann asociados son S -similares.

Demostración. Sean ρT y ρR los morfismos de von Neumann asociados a T y R respectivamente. Supongamos que T y Rson S -similares. Debemos ver que S ρT (−)S −1. Sea p ∈ P(S1), luego,

S ρT (p)S −1 = S p(T )S −1 = p(S TS −1) = p(R) = ρR(p).

Recíprocamente, supongamos que ρT y ρR son S -similares. Luego,

S TS −1 = S ρT (z)S −1 = ρR(z) = R.

�

De la observación anterior, podemos concluir el siguiente corolario.

Corolario 2.2.5. Sea T un operador en B(H). Entonces T es similar a una contracción si y sólo si su morfismo de vonNeumann es similar a una contracción.

Demostración. Supongamos que T es similar a una contracción. Entonces es polinomialmente acotado (Ecuación (1) de laIntroducción) y en consecuencia su morfismo de von Neumann está bien definido (Observación 1.2.13). Sea R contractivotal que R y T son S -similares y consideremos ρR y ρT los morfismos de von Neumann asociados a R y T respectivamente.Por la desigualdad de von Neumann 1.2.18, ρR es contractivo. Aplicando la Observación 2.2.4, concluimos que ρR y ρT

son similares.Recíprocamente sea ρ contractivo tal que ρT y ρ son similares. Sea R = ρ(z) ∈ B(H). Como ρ es contractivo, resulta

que R es también contractivo y aplicando la Observación 2.2.4, tenemos que R y T son similares.�

Recordemos que por la Observación 1.3.16 un morfismo de von Neumann es contractivo si y sólo si es completamentecontractivo. Concluimos entonces que un morfismo de von Neumann es similar a un contractivo si y sólo si es similar aun completamente contractivo.

Consideremos A un álgebra de operadores y ρ : A → B(H) un morfismo de álgebras unital y sea S similaridad talque π = S ρS −1 es completamente contractivo. Sea S n : B(Hn) → B(Hn) la suma directa de n copias de S . Entoncestenemos que (S n)−1 = (S −1)n y además que ‖S n‖ = ‖S ‖. Luego,

‖ρn‖ = ‖(S πS −1)n‖ = ‖S nπnS −1n‖ ≤ ‖S n‖‖πn‖‖S −1

n‖ ≤ ‖S ‖‖S −1‖.

Concluimos que ρ es completamente acotado y además su norma completamente acotada es menor o igual que‖S ‖‖S −1‖. Deducimos la siguiente proposición.


Proposición 2.2.6. Sea A un álgebra de operadores y ρ : A → B(H) un morfismo similar a un completamente contrac-tivo, entonces ρ es completamente acotado. Más aún,

‖ρ‖cb ≤ in f {‖S ‖‖S −1‖ : S ρS −1 es completamente contractivo}.

Paulsen probó que para morfismos unitales vale la recíproca. Más aún probó que el ínfimo es en realidad un mínimo.Esto nos llevará luego a una reformulación de la conjetura de Halmos.

Teorema 2.2.7 (Paulsen). Sean A un álgebra de operadores y ρ : A → B(H) un morfismo unital, entonces ρ escompletamente acotado si y sólo si ρ es similar a un completamente contractivo. Más aún, en este caso, se puede tomarS similaridad con ‖S ‖‖S −1‖ = ‖ρ‖cb.

Demostración. Una implicación del teorema es la proposición previa.Supongamos que ρ es completamente acotado. Separaremos la demostración en dos pasos. En el primer paso, cons-

truiremos otro espacio de Hilbert (H, | − |) equivalente a (H, ‖ − ‖). Luego probaremos que es suficiente mostrar queρ : A → (B(H), | − |) es completamente contractivo. Finalmente probaremos que ρ : A → (B(H), | − |) es contractivo.

En el segundo paso probaremos que ρ : A → (B(H), | − |) es completamente contractivo, para ello consideraremosρn : Mn(A ) → (B(Hn), ‖ − ‖Hn ). Por el paso uno, existirá un espacio de Hilbert (Hn, | − |′) de modo que ρn : Mn(A ) →(B(Hn), | − |′) sea contractivo. La demostración conluirá probando que en Hn las normas | − |′ y | − |Hn coinciden.

Paso uno.Como A es un álgebra de operadores, existe B una C∗-álgebra tal que A ↪→ B. Por el teorema de extensión de

Wittstock 2.1.10, podemos extender ρ a B de forma completamente acotada. A dicha extensión la seguiremos llamandoρ. Notar que, si bien ρ perdió la propiedad de ser multiplicativo, ρ|A lo sigue siendo. Como el dominio es ahora unaC∗-álgebra, podemos usar la caracterización de Stinespring de ρ (Teorema 2.1.13). Existen un espacio de Hilbert K, un ∗morfismo π : B → B(K), y dos operadores acotados Vi : H → K tal que ‖ρ‖cb = ‖V1‖‖V2‖ y ρ(a) = V1

∗π(a)V2.Definamos | − | otra norma en H.

|h| := ınf{∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi

∥∥∥∥ :∑

ρ(ai)hi = h, ai ∈ A , hi ∈ H},

donde el ínfimo se toma sobre todas las sumas finitas. Es sencillo ver que | − | es una seminorma. Veamos que | − | esen realidad una norma. Para ello vamos a probar que | − | y ‖ − ‖ son equivalentes.

Sean ai y hi tal que h =∑ρ(ai)hi. Entonces,

‖h‖ =∥∥∥∥∑ ρ(ai)hi

∥∥∥∥ =∥∥∥∥∑ V1

∗π(ai)V2hi

∥∥∥∥ ≤ ‖V1∗‖

∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi

∥∥∥∥ .Tomando ínfimo sobre las representaciones de h, resulta que ‖h‖ ≤ ‖V1

∗‖|h| y entonces ‖ − ‖ ≤ ‖V1∗‖| − |. Para probar

la otra desigualdad, basta con tomar como representación de h a ρ(1).h, luego,

|h| ≤ ‖π(1)V2h‖ ≤ ‖V2‖‖h‖.

Las normas | − | y ‖ − ‖ son equivalentes y en consecuencia el espacio (H, | − |) es un Banach. Veamos ahora que elespacio (H, | − |) es de Hilbert. Para ello es condición necesaria y suficiente que se satisfaga la ley del paralelogramo,

|h + k|2 + |h − k|2 = 2(|h|2 + |k|2) para todo h, k ∈ H.

Además, es suficiente probar que para todo h, k ∈ H vale que

|h + k|2 + |h − k|2 ≤ 2(|h|2 + |k|2)

. En efecto, si vale esa desigualdad tenemos que

2|h|2 + 2|k|2 =12

[|(h − k) + (h + k)|2 + |(h − k) − (h + k)|2]

≤12

[2|h − k|2 + 2|h + k|2].


Veamos entonces que |h + k|2 + |h − k|2 ≤ 2(|h|2 + |k|2). Sean h =∑ρ(ai)hi y k =

∑ρ(bi)ki. De manera que h ± k =∑

ρ(ai)hi ±∑ρ(bi)ki. En consecuencia,

|h + k|2 + |h − k|2 ≤∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi +

∑π(bi)V2ki

∥∥∥∥2+

∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi −∑

π(bi)V2ki

∥∥∥∥2

= 2∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi

∥∥∥∥2+ 2

∥∥∥∥∑ π(bi)V2ki

∥∥∥∥2.

Y tomando ínfimo, resulta que |h + k|2 + |h − k|2 ≤ 2(|h|2 + |k|2).Consideremos S : (H, | − |)→ (H, ‖ − ‖) la identidad. Es claro que S es inversible, acotada y como ‖ − ‖ ≤ ‖V1

∗‖| − | y| − | ≤ ‖V2‖‖ − ‖, resulta que ‖S ‖‖S −1‖ ≤ ‖V1

∗‖‖V2‖ = ‖ρ‖cb.Supongamos por un momento que S −1ρS es completamente contractivo y consideremos U : (H, ‖ − ‖) → (H, | − |)

un operador unitario. De forma sencilla se ve que U−1S −1ρS U es completamente contractivo, pues ‖(U−1S −1ρS U)n‖ =

‖Un−1(S −1ρS )nUn‖ ≤ ‖U∗n‖‖(S ρS −1)n‖‖Un‖ ≤ 1, donde Un indica las n copias de U en B((H, ‖ − ‖)n, (H, | − |)n). Tomando

como similaridad a R = S U resulta que ρ es similar a un completamente contractivo. Por otro lado, ‖US ‖‖(US )−1‖ ≤

‖S ‖‖S −1‖ ≤ ‖ρ‖cb y por la proposición previa al teorema, ‖ρ‖cb = ‖US ‖‖(US )−1‖. En conclusión, para demostrar elteorema, basta probar que S −1ρS es completamente contractivo.

Observemos que S −1ρS no es otra cosa que ρ, pero visto ahora en B((H, | − |)). Vamos a probar primero que ρ escontractivo con la norma | − |. Debemos ver que si a ∈ A , entonces |ρ(a)| ≤ ‖a‖A . Es decir, que |ρ(a)h| ≤ |h|‖a‖A . Seanh =

∑ρ(ai)hi y notemos que ρ(a)h =

∑ρ(aai)hi, luego,

|ρ(a)h| ≤∥∥∥∥∑ π(aai)V2hi

∥∥∥∥ ≤ ‖π(a)‖∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi

∥∥∥∥ ≤ ‖a‖A ∥∥∥∥∑ π(ai)V2hi

∥∥∥∥ .Tomando ínfimo, resulta que |ρ(a)h| ≤ ‖a‖A |h|.Paso dos.Para ver que ρ es completamente contractivo con la norma | − |, debemos ver que ρn : Mn(A ) → B(Hn, | − |Hn )

es contractivo para todo n. Recordemos que si (H, ‖ − ‖) es un Hilbert, entonces (Hn, ‖ − ‖Hn ) también, donde ‖h‖2Hn =

‖h1‖2 + ‖h2‖

2 + ... + ‖hn‖2 y hi es la coordenada i-ésima de h ∈ Hn.

Consideremos ρn : Mn(A ) → B(Hn, ‖ − ‖Hn ). Como con esta norma ρn es completamente acotado, por el pasouno podemos construir | − |′Hn de modo que ρn sea | − |′Hn -contractivo. Para construir | − |, primero necesitábamos unarepresentacion de Stinespring de ρ. Consideremos V1

∗πn(−)V2 : Mn(A ) → B(Hn), donde V i : Hn → Kn es el vector n

copias de Vi. Es claro que πn es un ∗-morfismo y que ρn = V1∗πnV2. De modo que (πn,V1,V2,Kn) es una representación

de Stinespring de ρn.Por el paso uno, si definimos | − |′Hn como

|h|′Hn := in f{∥∥∥∥∑ πn(A j)V2h j

∥∥∥∥Hn

:∑

ρn(A j)h j = h, A j ∈ Mn(A ), h j ∈ Hn}.

el espacio (Hn, | − |′Hn ) es un Hilbert y ρn es | − |′ contractivo. Si logramos ver que | − |′Hn = | − |Hn , la demostración estáterminada.

Veamos primero que | − |Hn ≤ | − |′Hn .Sean ε > 0 y

∑ρn(Ak)gk = h tal que

|h|′2Hn + ε ≥

∥∥∥∥∥∥∥∑k

πn(Ak)V2gk

∥∥∥∥∥∥∥2

Hn

.

Tomando coordenada i-ésima,

hi =

∑k

ρn(Ak)gk

i

=∑k,l

[ρn(Ak)]i,l[gk]l =∑k,l

ρ([Ak]i,l)[gk]l.

Luego |hi| ≤ ‖∑

k,l π([Ak]i,l)V2[gk]l‖. Finalmente,


|h|′2Hn + ε ≥

∥∥∥∥∥∥∥∑k

πn(Ak)V2gk

∥∥∥∥∥∥∥2

Hn

=∑

i

∥∥∥∥∥∥∥∑

k

πn(Ak)V2gk

i

∥∥∥∥∥∥∥2

H

=∑

i

∥∥∥∥∥∥∥∑k,l

[πn(Ak)]i,lV2[gk]l

∥∥∥∥∥∥∥2

H

=∑

i

∥∥∥∥∥∥∥∑k,l

π([Ak]i,l)V2[gk]l

∥∥∥∥∥∥∥2

H

≥∑

i

|hi|2

H = |h|2Hn .

Tomando límite con ε tendiendo a cero, se concluye la desigualdad deseada.Veamos la otra desigualdad.Sean ε > 0, h ∈ Hn y hi sus coordenadas i-ésimas. Para cada i, existen (ai, j) j y (k j,i) j tales quei)

∑j ρ(ai, j)k j,i = hi.

ii) |hi|2 + ε

n ≥ ‖∑

j π(ai, j)V2k j,i‖2(H,‖−‖).

Por otro lado, si A = (ai, j)ni, j=1 y K = (k j,i)n

i, j=1, consideremos Ki los vectores columna de K y Ai las matrices cuyas

i-ésimas filas coinciden con las de A y el resto de las filas son nulas. Notemos que∑

i ρn(Ai)Ki = h. En efecto, teniendoen cuenta la igualdad i),

(ρn(Ai)Ki)l =∑

j

ρ(Ail, j)k j,i =

{0 si i , l∑

j ρ(ai, j)k j,i si i = l=

{0 si i , lhi si i = l.

Sumando sobre i se concluye la afirmación. Luego, por definición de | − |′,

|h|′2 ≤

∥∥∥∥∥∥∥∑i

πn(Ai)V2Ki

∥∥∥∥∥∥∥2

Hn

.

Fijemos una coordenada l y miremos cuanto vale ‖[∑

i πn(Ai)V2Ki]l‖2H .

∥∥∥∥∥∥∥∑

i

πn(Ai)V2Ki

l

∥∥∥∥∥∥∥2

H

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∑

i

∑j

π(Ail, j)V2k j,i

∥∥∥∥∥∥∥∥2

H

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∑

j

π(All, j)V2kl, j

∥∥∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∑

j

π(Al, j)V2kl, j

∥∥∥∥∥∥∥∥2

≤ |hl|2 +

ε

n.

Donde la última desigualdad vale por la igualdad ii). Finalmente,

|h|′2 ≤

∥∥∥∥∥∥∥∑i

πn(Ai)V2Ki

∥∥∥∥∥∥∥2

Hn

=∑

l

∥∥∥∥∥∥∥∑

i

πn(Ai)V2Ki

l

∥∥∥∥∥∥∥2

H

≤∑

l

|hl|2 +

ε

n= |h|2Hn + ε.

Y tomando límite queda con ε tendiendo a cero queda demostrado el teorema.�

2.2.1. Caracterizacion de los operadores similares a una contracción.

Tenemos las herramientas para caracterizar a los operadores similares a un contracción. Paulsen encontró, estudiandolos morfismos de von Neumann asociados, una condición necesaria y suficiente: la de ser completamente polinomialmenteacotado.

Recordemos que un operador T es completamente polinomialmente acotado si y sólo si su morfismo de von Neumannes completamente acotado (Observación 1.3.19).

Teorema 2.2.8. Sea T ∈ B(H), entonces T es similar a una contracción si y sólo si su morfismo de von Neumann escompletamente acotado.


Demostración. Supongamos primero que T es similar a una contracción, en particular T es polinomialmente acotado(Ecuación (1) de la Introducción), y en consecuencia su morfismo de von Neumann asociado es acotado (Observación1.2.13). Llamemos a dicho morfismo ρT . Por otro lado, existe S tal que R = S TS −1 es contractivo. Como R es contractivo,por el Corolario 1.3.16, su morfismo de von Neumann ρR es completamente contractivo.

Observemos que ρR = S ρT S −1. En efecto,

ρR(p) = p(R) = p(S TS −1) = S p(T )S −1 = S ρT S −1.

En consecuencia, ρT es similar a un completamente contractivo, y por el Teorema de Paulsen 2.2.7 resulta ademáscompletamente acotado.

Recíprocamente, sea ρ el morfismo de von Neumann asociado a T , como ρ es completamente acotado, por el Teoremade Paulsen 2.2.7, existe S tal que S ρS −1 es completamente contractivo. Luego,

‖S TS −1‖ = ‖S ρ(z)S −1‖ ≤ 1.‖z‖ ≤ 1.

�

Recordemos que la conjetura de Halmos establece que todo operador polinomialmente acotado es similar a una con-tracción. Por otro lado, un operador es polinomialmente acotado si y sólo admite un morfismo de von Neumann 1.2.13.Podemos entonces reformular el problema de Halmos de la siguiente manera:

-Todo morfismo de von Neumann es completamente acotado.

En el Capítulo 3 presentaremos un ejemplo debido a Pisier de un operador T cuyo morfismo de von Neumann esacotado pero no completamente acotado. Lo que resuelve la conjetura por la negativa.

El teorema de Paulsen también permite caracterizar otro problema famoso. La conjetura de Kadison [12] establece quetodo morfismo unital C → B(H), con C una C∗-álgebra, es similar a un ∗-morfismo. Con las herramientas que tenemospodemos demostrar sencillamente un Teorema de Haagerup que reformula la conjetura de Kadison. Antes, observemos losiguiente.

Observación 2.2.9. En una C∗-álgebra los morfismos unitales completamente contractivos, completamente positivos,positivos y ∗-morfismos coinciden.

Demostración. En efecto, por el Corolario 1.3.9 un operador φ unital es completamente positivo si y sólo si es completa-mente contractivo.

Sea ahora ρ un morfismo positivo. Por la Observación 1.2.4, ρ es autoadjunto. Como además es morfismo, se deduceque es un ∗-morfismo.

Finalmente, si π es un ∗-morfismo, πn sigue siendo un ∗ morfismo y en consecuencia contractivo. �

Corolario 2.2.10 (Haagerup). Sea A una C∗-álgebra unital y ρ : A → B(H) un morfismo de álgebras unital. Entoncesρ es similar a un ∗ morfismo si y sólo si ρ es completamente acotado. Más aún, en el caso ρ completamente acotado, sepuede tomar S similaridad con ‖S ‖‖S −1‖ = ‖ρ‖cb.

Demostración. Basta aplicar el Teorema de Paulsen 2.2.7 y la observación anterior. �

Luego podemos reformular la conjetura de Kadison de la siguiente forma:

-Sean C una C∗-álgebra y ρ : C → B(H) un morfismo unital. Entonces ρ es completamente acotado.

Si bien ambas conjeturas pueden parecer similares, ya que al fin y al cabo ambas se reducen a estudiar la completa acota-ción de los morfismos, son sutilmente distintas. La diferencia radica en los dominios y en que no hay una biyección ca-nónica entre los morfismos completamente acotados de L (P(S1), B(H)) (los de von Neumann) y los de L (C(S1), B(H)).Recordemos que por el Corolario 1.2.17, podemos extender todo morfismo de von Neumann contractivo a C(S1) de formacompletamente positiva. Sin embargo dicha extensión podría no ser un morfismo (de hecho una condición necesaria esque ρ(z) sea inversible en B(H)).


Recordemos que un operador T ∈ B(H) se dice power bounded si supn∈N{‖Tn‖} < ∞. Debido a que la condición

de ser power bounded se puede reescribir en términos de que exista una constante c > 0 tal que para todo monomio p,‖p(T )‖ < c‖p‖∞, si T es polinomialmente acotado, entonces es en particular power bounded. Sz-Nagy probó el siguienteTeorema [16].

Teorema 2.2.11 (Sz-Nagy). Sea T ∈ B(H) un operador inversible y power-bounded, entonces T es similar a un unitario.

No daremos la demostración del Teorema ya que ésta se aleja de las técnicas usadas hasta el momento. Sin embar-go, utilizaremos el Teorema de Sz-Nagy para caracterizar los morfismos de von Neumann que admiten una extensiónmultiplicativa a C(S1).

Proposición 2.2.12. Sea ρ un morfismo de von Neumann. Entonces son equivalentesi) El operador ρ(z) es inversible,ii) ρ admite una extensión multiplicativa a C(S1),iii) ρ es similar a un morfismo de von Neumann que se extiende a un ∗-morfismo.

Demostración. ii)⇒ i). Es trivial probar que si ρ admite una extensión multiplicativa, entonces ρ(z) es inversible. Enefecto, sea ρ dicha extensión. Luego,

ρ(z)ρ(z) = ρ(zz) = ρ(1) = 1.

i)⇒ iii). Supongamos que ρ(z) es inversible. Veamos que ρ es similar a un morfismo que se extiende a un ∗-morfismo.Sea T = ρ(z), como T admite un morfismo de von Neumann, T resulta polinomialmente acotado (Observación 1.2.13 yTeorema 1.3.11) y en consecuencia, power bounded. Luego, como T es inversible y power bounded, por el Teorema deSz-Nagy, existe un operador unitario U tal que T es similar a U. Sea ρU el morfismo de von Neumann asociado a U yS la similaridad entre U y T . Luego, ρ y ρU son similares con similaridad S . Además, por el Corolario 1.2.17, podemosextender ρU a C(S1) de forma completamente positiva, donde la extensión restringida a P(S1) + P(S1) está definida comoρU(p + q) = p(U) + q(U)∗ y luego se extiende por densidad a C(S1). Veamos que ρU es multiplicativa. Por densidad, bastaprobar que ρU es multiplicativa en el álgebra generada por {p, q : p, q ∈ P(S1)}. Observemos que el álgebra esta generadapor z y z. Luego, basta probar que

ρU(zz) = ρU(z)ρ(z) y que

ρU(z2) = ρU(z)2.

Esto es trivial, ya que

ρU(z)ρU(z) = UU∗ = Id = ρU(1) = ρU(zz).

La otra igualdad es análoga. Finalmente, como ρU es positivo, es autoadjunto (Observación 1.2.4). Como además esmorfismo, concluimos que ρU es un ∗-morfismo.

iii)⇒ii) Supongamos que ρ es similar a un morfismo de von Neumann que se extiende a un ∗-morfismo y veamosque ρ admite una extensión multiplicativa. Sean φ un morfismo de von Neumann y S , tales que ρ y φ son similares consimilaridad S y φ tal que admite una extensión φ que es un ∗-morfismo. Consideremos U = φ(z) y T = ρ(z). Luego U yT son similares con similaridad S . Además, como φ es un ∗-morfismo, U es unitario. En efecto,

U−1 = φ(z−1) = φ(z) = U∗.

Definamos ρ como S φS −1. Es claro que ρ extiende a ρ. Veamos que ρ es multiplicativa. Nuevamente, basta probar que

ρ(zz) = ρ(z)ρ(z) y que

ρ(z2) = ρ(z)2.


Pero esto es trivial, ya que

ρ(z)ρ(z) = S φ(z)S −1S φ(z)S −1 = S UU∗S −1

= Id = ρ(zz).

La otra igualdad es análoga. �

Como corolario, podemos probar la conjetura de Kadison para el caso C(S1).

Proposición 2.2.13. Sea ρ : C(S1)→ B(H) un morfismo unital. Entonces ρ es similar a un ∗-morfismo.

Demostración. Consideremos ρ|P(S1), y observemos que ρ|P(S1) es el morfismo de von Neumann asociado a ρ(z). Por laproposición anterior el operador es similar a un morfismo de von Neumann que se extiende a un ∗-morfismo. Sea φ dichomorfismo y φ la extensión. Consideremos T = ρ(z) y U = φ(z). Por la proposición anterior T es inversible con inversaρ(z). Además, vale que U es unitario. Luego T y U son similares con similaridad S . Veamos que ρ y φ son similares consimilaridad S . Por densidad, basta ver que

ρ|P(S1)+P(S1) = S φS −1|P(S1)+P(S1).

A su vez, como ρ|P(S1) = S φS −1|P(S1), basta probar que

ρ|P(S1) = S φS −1P(S1)

.

Pero como ρ y S φS −1 son multiplicativos, basta probar que

ρ(z) = S φ(z)S −1.

Esto último es trivial, ya que como T es similar a U con similaridad S , T−1 es similar a U∗ con similaridad S , luego

ρ(z) = T−1 = S U∗S −1 = S φ(z)S −1.

�

Aplicando la reformulación de la conjetura de Kadison tenemos el siguiente colorario.

Corolario 2.2.14. Sea ρ : C(S1)→ B(H) un morfismo unital acotado. Entonces ρ es completamente acotado.

Capítulo 3

Contraejemplo de Pisier

En este capítulo presentaremos el ejemplo de Pisier [27] de un operador polinomialmente acotado no similar a unacontracción. La prueba original de que dicho operador era polinomialmente acotado era extremadamente difícil, involu-crando técnicas de martingalas. Al poco tiempo de circular la versión preliminar del trabajo de Pisier, varios matemáticoslograron hacer varias simplificaciones. Por un lado Kisliakov [13], y McCarthy [15] encontraron argumentos de teoría defunciones para evitar las técnicas probabílisticas, mientras que al mismo tiempo Davidson y Paulsen [6] lograron sim-plificar sustancialmente la prueba desde una aproxmación distinta, siendo ésta última significativamente más sencilla.En esta presentación seguiremos la línea de Davidson-Paulsen. Para ello, antes de estudiar el contraejemplo de Pisier,demostraremos una generalización, debida a Page [21] de un conocido Teorema de Nehari [18]. La simplificación deDavidson-Paulsen se debe a un Corolario del Teorema de Nehari-Page vectorial (Corolario 3.1.21). Veremos a dichageneralización como consecuencia de unos resultados relativos a dilataciones de operadores contractivos mutuamenteconmutativos y a una representación entre los espacios L∞(S1, B(H)) y l2Z(H).

Foguel logró encontrar el primer ejemplo de un operador power-bounded que no es similar a una contracción. Apesar de no ser éste polinomialmente acotado, el ejemplo de Pisier es del mismo prototipo. Por eso estudiaremos losoperadores de Foguel y caracterizaremos cuando éstos resultan power-bounded, polinomialmente acotados y similares auna contracción. Aprovecharemos dichas caracterizaciones para al final del capítulo presentar también el contraejemplode Foguel.

3.1. Teorema de Nehari-Page vectorial

Como dijimos anteriormente, veremos al Teorema de Nehari-Page como Corolario de unos Teoremas relativos aoperadores contractivos mutuamente conmutativos. El primer resultado a probar es el Teorema de dilatación de Ando.Éste es una generalización del Teorema de Nagy para dos operadores contractivos mutuamente conmutativos. De hecho,adaptaremos una de las pruebas conocidas de Nagy para probarlo.

Teorema 3.1.1 (Teorema de dilatación de Ando). Sean T1, T2 dos operadores conmutativos, contractivos en un espaciode Hilbert H, entonces existe un espacio de Hilbert K conteniendo a H como subespacio y dos operadores unitariosconmutativos U1, U2 de manera que para todo n, m ∈ N,

T n1 T m

2 = PHUn1Um

2 |H .

Separaremos la demostración en dos Teoremas interesantes por smismos. Primero probaremos que n isometrías con-mutativas se pueden dialatar a n operadores unitarios. Luego probaremos que dos operadores conmutativos se puedendilatar a dos isometrías.

Teorema 3.1.2. Sea {V1, ...,Vn} un conjunto de isometrías mutuamente conmutativas definidas en un espacio de HilbertH. Entonces existe un espacio de Hilbert K conteniendo a H como subespacio y un conjunto de operadores unitarios{U1, ...,Un} mutuamente conmutativas, definidos en K tal que para todo k1, k2, ...kn ∈ N,

Vk11 ...V

knn = PHUk1

1 ...Uknn |H .

49

50 CAPÍTULO 3. CONTRAEJEMPLO DE PISIER

Demostración. Sea (U1,K1) una dilatación minimal de V1 (ver Definición 1.4.9). Luego, el generado por {Un1(H) : n ∈ Z}

es denso en K1.Construyamos para cada i , 1, una isometría Wi que extienda a Vi y que siga conmutando con U1. Definamos a Wi en

el denso {Un1(H) : n ∈ Z}.

Wi

N∑k=−N

Uk1(hk)

=

M∑k=−N

Uk1Vi(hk).

Veamos que Wi está bien definido y que es isometría. Notemos antes que U1(H) ⊆ H. En efecto, descomponiendoa K1 como H ⊕ H⊥, U1(h) = V1(h) + P|H⊥U1(h). Como tanto V1 como U1 son isometrías, ‖P|H⊥U1(h)‖ = 0. Por últimonotemos que no necesariamente vale U1(H) = H (V1 debería ser unitario).

∥∥∥∥∥∥∥M∑

k=−N

Uk1Vihk

∥∥∥∥∥∥∥2

=∑n,m

〈Un1Vihn,Um

1 Vihm〉

=∑n≥m

〈Un−m1 Vihn,Vihm〉 +

∑m<n

〈Vihn,Um−n1 Vihm〉

=∑n≥m

〈Vn−m1 Vihn,Vihm〉 +

∑m<n

〈Vihn,Vm−n1 Vihm〉

=∑n≥m

〈ViVn−m1 hn,Vihm〉 +

∑m<n

〈Vihn,ViVm−n1 hm〉

=∑n≥m

〈Vn−m1 hn, hm〉 +

∑m<n

〈hn,Vm−n1 hm〉

=∑n≥m

〈Un−m1 hn, hm〉 +

∑m<n

〈hn,Um−n1 hm〉

=

∥∥∥∥∥∥∥M∑

k=−N

Uk1hk

∥∥∥∥∥∥∥2

.

Esta igualdad prueba que Wi es una isometría bien definida sobre K1. Observemos que si V j ya era unitario, entonces suextensión lo sigue siendo. Esto se debe a que por la definición de W j, W j{Un

1(H) : n ∈ Z} = {Un1(H) : n ∈ Z} y entonces

W j es una isometría de rango denso. Además es fácil ver que el conjunto {U1,W2, ...,Wn} es conmutativo. En efecto, bastaverificarlo en un denso.

U1W j

(∑Unhn

)= U1

∑Un

1V jhn =∑

Un+11 V jhn

= W j

(∑Un+1

1 hn

)= W jU1

(∑Un

1hn

).

De forma similar, vale que W jWi = WiW j para i , j. La última observación que hay que hacer es que como U1(H) ⊂H, U1|H = V1 y para cada i, Wi|H = Vi entonces,

PHUk11 Wk2

2 ...Wknn |H = Vk1

1 Vk22 ...V

knn .

Finalmente, iterando el mismo proceso n veces, obtenemos la igualdad deseada.�

Si bien la desigualdad de von Neumann es falsa para n operadores, el teorema anterior nos permite dar una generali-zación para el caso en el que los operadores sean isometrías.

Corolario 3.1.3. Sea {V1, ...,Vn} un conjunto de isometrías conmutativas y sea p un polinomio en n variables. Entonces‖p(V1, ...Vn)‖ ≤ ‖p‖Tn,∞.

Demostración. Por el teorema anterior, existen U1, ...Un operadores unitarios tal que

p(V1, ...,Vn) = PH p(U1, ...,Un)H .

�

3.1. Teorema de Nehari-Page vectorial 51

Como las proyecciones e inclusiones son contractivas, tenemos que ‖p(V1, ...Vn)‖ ≤ ‖p(U1, ...,Un)‖. Debido a que cadaUi conmuta con U j, vale que para todo i, j U−1

i conmuta con U j, y como los Ui son unitarios, para todo i, Ui conmutacon U∗j . Luego la C∗-álgebra genererada por U1, ...,Un es conmutativa. Por el Teorema de Gelfand podemos identificarC∗(U1, ...Un) con C(K) donde K es el conjunto w∗-compacto formado por los caracteres de C∗(U1, ...Un). Recordemosque χ : C∗(U1, ...Un)→ C es un caracter si es morfismo de álgebras y χ(Id) = ‖χ‖ = ‖1‖.

Sea p un polinomio, luego

‖p(U1, ...Un)‖ = supχ|χ(p(U1, ...Un))| = sup

χ|p(χ(U1), ...χ(Un))|,

y como cada Ui es unitario y ‖χ‖ = 1,

supχ|p(χ(U1), ...χ(Un))| ≤ sup

|

z j| = 1|p(z1, ..., zn)|.

Teorema 3.1.4. Sean T1, T2 dos operadores conmutativos, contractivos en un espacio de Hilbert H, entonces existe unespacio de Hilbert K conteniendo a H como subespacio y dos isometrías conmutativas V1, V2 de manera que para todon, m ∈ N0,

T n1 T m

2 = PHVn1 Vm

2 |H . (3.1)

Demostración. Consideremos K = l2(H) e identifiquemos a H con la primer coordenada de l2(H). Como ‖Ti‖ ≤ 1,IdH − T ∗i Ti es positivo y tiene sentido considerar para i = 1, 2, Di = (IdH − T ∗i Ti)

12 . Consideremos

Vi(h1, h2, ...) = (Tih1,Dih1, h2, ...).

Afirmamos que los operadores Vi son isometrías y cumplen la ecuación (3.1). Observemos también que de probar laafirmación, estaríamos probando el Teorema de dilatación de Nagy 1.4.8.

Probemos primero que {Vi} cumplen la ecuacion (3.1).

Vk22 |H(h1) = (T k2

2 h1,D2T k2−12 h1, . . .D2h1, 0, . . .)

Vk11 Vk2

2 |H(h1) = (T k11 T k2

2 h1,D1T k1−11 T k2

2 h1, . . . ,D1T k22 h1, . . .D2h1, 0, . . .)

PHVk11 Vk2

2 |H(h1) = T k11 T k2

2 h1.

Para probar que los Vi son isométricos hay que notar que

‖Ti(h)‖2 + ‖Di(h)‖2 = 〈T ∗T (h), (h)〉 + 〈(IdH − T ∗T )12 (h), IdH − T ∗T )

12 (h)〉

= 〈T ∗T (h), (h)〉 + 〈IdH − T ∗T (h), h〉 = ‖h‖2,

de donde ‖Vi(h)‖2 = ‖Ti(h1)‖2 + ‖Di(h1)‖2 +∑

j ‖h j‖2 = ‖h‖2.

Sin embargo {Vi} puede no ser conmutativo en l2(H). En efecto,

V1V2(h) = (T1T2h1,D1T2h2,D2h3, h4, . . .)

V2V1(h) = (T2T1h1,D2T1h2,D1h3, h4, . . .).

Asumamos por el momento que existe un operador unitario U : H ⊕ H → H ⊕ H tal que para cada h ∈ H,

U(D1T2h,D2h) = (D2T1h,D1h)

y consideremos el siguiente operador unitario

W(h1, h2, h3, . . .) = (h1,U(h2, h3),U(h4, h5), . . .).

Definamos W1 = WV1 y W2 = V2W−1. Por ser composición de isometrías, cada Wi sigue siéndolo. Además {Wi} siguecumpliendo la ecuación (3.1). Esto se debe a que la primer coordenada de W es simplemente IdH , de donde se deducefácilmente que PHWk1

1 Wk22 |H = PHVk1

1 Vk22 |H = T k1

1 T k22 . Veamos que ahora las isometrías Wi conmutan.


W1W2(h) = WV1V2W−1(h1, h2, h3, . . .)

= WV1V2(h1,U−1(h2, h3),U−1(h4, h5), . . .)

= W(T1T2(h1),D1T2h1,D2h1,U−1(h2, h3),U−1(h4, h5), . . .)

= (T1T2h1,U(D1T2h1,D2h1), h2, h3, . . .)

= (T1T2h1,D2T1h1,D1h1, h2, h3 . . .)

= V2V1(h) = V2W−1WV1(h) = W2W1(h).

Para obtener al operador U deseado, observemos que

‖D1T2h‖2 + ‖D2h‖2 = 〈(Id − T ∗1 T1)T2h,T2h〉 + 〈(Id − T ∗2 T2)h, h〉

= 〈(T ∗2 (Id − T ∗1 T1)T2 + Id − T ∗2 T2)h, h〉 = 〈Id + (T ∗1 T ∗2 T2T1)h, h〉

= 〈(Id − T ∗2 T2)T1h,T1h〉 + 〈(Id − T ∗1 T1)h, h〉

= ‖D2T1h‖2 + ‖D1h‖2.

Luego U define una isometría sobreyectiva entre los subespacios R := {(D1T2h,D2h : h ∈ H} y S := {(D2T1h,D1h) :h ∈ H} de H⊕H. Por lo tanto U define una isometría sobreyectiva entre R y S . Para poder extender U a todo H, necesitamosque ambos espacios tengan la misma codimensión. Éste es el caso cuando H es de dimensión finita, ya que R y S sonisométricos y por lo tanto tienen la misma codimensión. Para el caso infinito necesitamos hilar más fino. Redefinamos lasisometrías Vi para garantizar que ambos espacios tengan codimensión la dimensión de H. Redefinimos Vi vía

Vi(h) = (Tih1,Dih1, 0, h2, 0, h3, . . .).

Para reproducir el argumento necesitamos ahora U : H(4) → H(4) tal que

U(D1T2h, 0,D2h, 0) = (D2T1h, 0,D1h, 0).

Los 0 extras, garantizan que en el caso infinito dimensional la codimensión de ambos subespacios sea la dimensión deH. Definiendo W(h) = (h1,U(h2, h3, h4, h5),U(. . .), . . .), resulta que WV1 y V2W−1 son las isometrías buscadas.

�

Como corolario de los teoremas previos obtenemos el Teorema de dilatación de Ando.

Corolario 3.1.5 ( Teorema de dilatación de Ando). Sean T1, T2 dos operadores conmutativos, contractivos en un espaciode Hilbert H, entonces existe un espacio de Hilbert K conteniendo a H como subespacio y dos operadores unitariosconmutativos U1, U2 de manera que para todo n, m ∈ N0, vale que

T n1 T m

2 = PHUn1Um

2 |H .

Demostración. La demostración es una consecuencia inmediata de los Teoremas previos. �

El Teorema de dilatación de Ando permite generalizar la desigualdad de von Neumann para el caso de dos operadorescontractivos y conmutativos.

Corolario 3.1.6 (Desigualdad de von Neumann para dos operadores conmutativos). Sean T1 y T2 dos operadores con-tractivos, mutuamente conmutativos y sea p un polinomio en dos variables. Entonces

‖p(T1,T2)‖ ≤ ‖p‖∞.

Demostración. La prueba es análoga a la hecha en el Corolario 3.1.3 �

El siguiente resultado que nos interesa analizar, es el caso en el que uno solo de los operadores sea contractivo. Éstees una reformulación del Teorema de Ando debida a Sz-Nagy y Foias, comunmente llamada conmutant lifting theorem.


Teorema 3.1.7. Sea T un operador contractivo en un espacio de Hilbert H y (U,K) su dilatación minimal. Si R conmutacon T , entonces existe S ∈ B(K) tal que,

US = S U, ‖R‖ = ‖S ‖ y para todo n ∈ N0, RT n = PHS Un|H .

Demostración. Sin pérdida podemos suponer ‖R‖ = 1. Por el Teorema de dilatación de Ando, existe un espacio de HilbertK1 y operadores unitarios conmutativos U1 ,U2 tal que

RnT m = PHUn1Um

2 |H .

Como (U,K) es la dilatación minimal de T , podemos identificar a K con la clausura del generado por {Un2h : n ∈

Z, h ∈ H} y ademásU = PKU2|K .

Como tanto U como U2 son unitarios, identificando K1 con K ⊕ K⊥, podemos pensar a U1 y U2 como los sistemasmatriciales

U2 =

(U 00 PK

⊥U2|K⊥

)U1 =

(S ∗

∗ ∗

).

Como U2 y U1 conmutan, se sigue que S y U conmutan. Más aún PKU1Un2 |K = S Un. Luego,

PHS Un|H = PHU1Un2 |H = RT n.

Finalmente,1 = ‖R‖ ≤ ‖S ‖ ≤ ‖U1‖ = 1.

�

Por último tenemos el siguiente resultado,.

Corolario 3.1.8. Sean Ti dos operadores contractivos en espacios de Hilbert Hi y (Ui,Ki) sus dilataciones unitariasminimales. Si A ∈ B(H1,H2) es un operador con AT1 = T2A, entonces existe R ∈ B(K1,K2) tal que para todo n ∈ N0,

RU1 = U2R, ‖A‖ = ‖R‖ y AT n1 = T n

2 A = PH2 Un1R|H1 = PH2 Un

2R|H1

Demostración. Observemos que el hecho de que AT1 = T2A, equivale a que las matrices

A =

(0 0A 0

)y T

(T1 00 T2

)conmutan. Por otro lado, si (U1,K1) y (U2,K2) son las dilataciones minimales de T1 y T2 respectivamente, la dilataciónminimal de T no es otra cosa que

U =

(U1 00 U2

)donde U actúa en K1 ⊕ K2. Aplicando el Teorema anterior con A y T , existe R con ‖R‖ = ‖A‖, RU = UR y

AT n = PH1⊕H2 RUn|H1⊕H2 .

Considerando R como la (2, 1) coordenada de R, obtenemos que PH2 Un1R|H1 = AT n

1 .La otra igualdad se deduce de que AT n

1 = T n2 A y como R y U conmutan, RU1 = U2R. Finalmente, ‖A‖ ≤ ‖R‖ ≤ ‖R‖ =

‖A‖.�

Dado H un Hilbert, podemos considerar H = l2(H), el espacio de Hilbert formado por las sucesiones de vectores de Hque suman al cuadrado. Para falicitar notación, indexaremos a dichas sucesiones con n ≥ 0. Además a un elemento típicode l2(H) lo notaremos como h, mientras que h j indicara su coordenada j-ésima.

Consideremos S H ∈ B(l2(H)) el operador Shift, definido como


S H(h0, h1, ...) = (0, h0, h1, ...)

y S ∗H su adjunto (el operador Coshift), con

S ∗H(h0, h1, ...) = (h1, h2, ...).

Matricialmente, podemos pensar al Shift y Coshift como las siguientes matrices infinitas

S H =

0. . .

. . .. . .

IdH 0. . .

. . .

0 IdH 0. . .

. . .. . .

. . .. . .

y S ∗H =

0 IdH 0. . .

. . . 0 IdH. . .

. . .. . . 0

. . .

. . .. . .

. . .. . .

.

Es decir, [S H]i, j = δi, j+1IdH y [S ∗H]i, j = δi+1, jIdH . Cuando no haya confusión acerca del espacio de Hilbert involucrado,notaremos a S H y S ∗H como S y S ∗ respectivamente. Es fácil probar que S es una isometría, mientras que S ∗ es sólo unacontracción.

Dada (an)n≥0 una sucesión de operadores en B(H), podemos intentar definir Ai+ j ∈ B(l2(H)), vía

[Ai+ j(h)]i =∑

j

ai+ j(h j).

Matricialmente, podemos identificar Ai+ j con la matriz infinita cuya coordenada (i, j) es ai+ j.

Ai+ j =

a0 a1 a2 . ..

a1 a2 . ..

. ..

a2 . ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

.

Definición 3.1.9. En el caso en el que Ai+ j esté bien definido y acotado, diremos que Ai+ j es una forma de Hankel.

Observación 3.1.10. Si Ai+ j es de Hankel, entonces Ai+ jS = S ∗Ai+ j = Ai+ j+1, donde [Ai+ j+k]i, j = ai+ j+k. En general valeque Ai+ jS n = Ai+ j+n.

Demostración. Hagamos la cuenta matricialmente. Para falicitar notación llamemos A a la matriz (Ai+ j).[S ∗A]i, j =

∑l S ∗i,lAl, j =

∑l δi+1,lIdH Al+ j = Ai+ j+1 mientras que

[AS ]i, j =∑

l Ai,lS l, j =∑

l Ai+lδl, j+1IdH = Ai+ j+1.�

Teorema 3.1.11. Sea H un espacio de Hilbert y {An}n∈N ⊂ B(H) una sucesión de operadores. Entonces el operador deHankel Ai+ j ∈ B(l2(H)) es acotado si y sólo si existe An, n < 0, tal que Ai+ j ∈ B(l2Z(H)) es acotado. Más aún,

‖Ai+ j‖B(l2(H)) = mın{An:n<0}

‖Ai+ j‖B(l2Z(H)).

Demostración. Supongamos que existe (An)n<0 tal que ‖Ai+ j‖B(l2Z(H) < ∞. Para diferenciarla de la matriz de Hankel origi-nal, llamemos a esta última (Ai+ j). La demostración concluye observando que la matriz Ai+ j no es otra cosa que

Ai+ j = Pl2(H)Ai+ j|l2(H).

Recíprocamente, sea Ai+ j ∈ B(l2(H)) una forma de Hankel acotada y sean S y S ∗ el shift y coshift. Calculemos lasdilataciones minimales de S y S ∗ respectivamente. Afirmamos que US no es otra cosa que el shift S visto en B(l2Z(H)),con [S (h)] j = h j−1. Análogamente, US ∗ es S ∗. Para ver esto hay que ver que son unitarios, minimales y dilataciones. Loprimero se debe a que ambos son trivialmente isométricos y suyectivos (y además resultan mutuamente inversibles), para


lo segundo, debemos ver que el conjunto C = {S n(h) : n ∈ Z y h ∈ l2(H)} es denso en l2Z(H). Ésto es evidente, dado quetodo vector de soporte finito de l2Z(H) está en C. La cuenta de que S n = Pl2(H)S n|l2(H) es elemental y no la hacemos.

Como la matriz Ai+ j es de Hankel, por la Observación 3.1.10 S ∗A = AS = Ai+ j+1, luego por el Corolario 3.1.8 , existeR ∈ B(l2Z(H)) tal que Ai+ jS n = Pl2(H)RS n|l2(H), ‖R‖ = ‖Ai+ j‖ y RS = S ∗R. Afirmamos que esto último implica que R es deHankel. En efecto, consideremos la sucesión de operadores (Cn)n∈Z = (Rn,0)n∈Z y veamos que (Ri, j) = Ci+ j. Dado h ∈ H,notemos h j al vector cuya i-ésima coordenada es δi, jh, además observemos que [R]i, j(h) = [R(h j)]i. Luego,

[R]i, j(h) = [R(h j)]i = [RS j(h0)]i = [S ∗ jR(h0)]i

= [R(h0)]i+ j = Ri+ j,0(h).

Concluimos que existe (Rn)n<0 tal que la forma de Hankel Ri+ j es acotada y Rn = An en n ≥ 0. Por último, ‖Ri+ j‖ = ‖Ai+ j‖.�

Consideremos ahora dos espacios H y K ambos de Hilbert separables, y φ : B(H) → B(K) un operador acotado. SiAi+ j es una forma de Hankel, considerando (φ(An))n, φ induce una forma de Hankel sobre K. Notaremos a dicha formaφ(Ai+ j). Sin embargo, no es trivial que φ(Ai+ j) sea acotado. Para probarlo, identificaremos B(L2(S1,H)) con B(l2Z(H)) yveremos que bajo esta identificación una forma de Hankel tiene asociado un “símbolo” ψ ∈ L∞(S1, B(H)). Es en esesentido es en el que el Teorema de Nehari-Page vectorial generaliza al Teorema de Nehari.

Dado H un Hilbet separable, queremos considerar L2(S1,H), las funciones con valores en H integrables al cuadrado.Para hablar de integrabilidad primero tenemos que dar una medida.

Diremos que una función f : S1 → H es simple si f =∑

k hkχσk , con σk⋂σ j = ∅ si j , k y σk medible para todo k.

Diremos que f es fuertemente medible si existe ( fn)n simples tal que fn → f ctp.Se puede probar que si f es fuertemente medible y H es separable, entonces ‖ f (−)‖ es una función medible ([10]

Capítulo VI, Observacón 6.2).Definimos el espacio L2(S1,H) como { f : existe ( fn)n funciones simples con lımn→∞ ‖ f − fn‖2 < ∞}. El espacio

L2(S1,H) es un Hilbert con el producto interno y norma usuales. Muchas de las propiedades de L2(S1) se mantienen, porejemplo, los polinomios trigonométricos, definidos como p(eiθ) =

∑N−N einθhn, son densos en L2(S1,H). Veremos también,

que vía la serie de Fourier podemos identificar L2(S1,H) con l2Z(H).Dada f ∈ L2(S1,H) notamos f (n) ∈ H a

f (n) =

∫S1

f (eiθ)e−inθ.

Proposición 3.1.12. Sea f ∈ L2(S1,H), entonces el operador F : L2(S1,H) → l2Z(H) definido como F ( f ) = ( f (n))n esuna isometría suyectiva.

Demostración. Para hacer la identificación (haremos una aproximación diferente a la usual) veremos primero que L2(S1,H)es isométrico a L2(S1) ⊗ H. Como el espacio de las funciones simples es denso en L2(S1,H), basta definir la isometría enel espacio de las funciones simples. La isometría es la evidente, ϕ(

∑k hkχσk ) =

∑k(χσk ) ⊗ hk.

Para probar que ϕ es una isometría, basta observar que como σk⋂σ j = ∅ cuando j , k,∥∥∥∥∥∥∥∑k

hkχσk

∥∥∥∥∥∥∥2

L2(S1,H)

=

∫⋃

k σk

∥∥∥∥∥∥∥∑k

hkχσk

∥∥∥∥∥∥∥2

H

=∑

k

∫σk

‖hk‖2 =

∑k

|σk |‖hk‖2.

Por otro lado, debido a que χσk ⊗ hk y χσ j ⊗ h j son ortogonales cuando j , k,∥∥∥∥∥∥∥∑k

χσk ⊗ hk

∥∥∥∥∥∥∥2

=∑

k

‖χσk ⊗ hk‖2 =

∑k

|σk |‖hk‖2.

Igualando ambas expresiones deducimos que ϕ es isométrico. Como el rango de ϕ es denso en L2(S1)⊗H, ϕ es ademássobreyectiva. Para finalizar la demostración hay que observar que vía la serie de Fourier usual,

L2(S1,H) ≡ L2(S1) ⊗ H ≡ l2Z ⊗ H = l2Z(H).


Además F : L2(S1,H) → l2Z(H) es la composición de dichas isometrías. Para probarlo, basta chequearlo en el densode las funciones simples. Por linealidad, basta chequear el caso en el que f = hχσ. En efecto,

hχσ 7→ χσ ⊗ h 7→ (χσ(n))n ⊗ h 7→ (χσ(n)h)n.

Basta verificar entonces que χσ(n)h = χσh(n). Pero esto es fácil, ya que

χσh(n) =

∫χσhe−inθdθ = h

∫χσe−inθdθ

= χσ(n)h.

�

Observación 3.1.13. Como los espacios L2(S1,H) y l2Z(H) son isométricos, los espacios B(L2(S1,H)) y B(l2Z(H)) son∗-isomorfos. El isomorfismo π viene dado por π(A)(h) = F AF −1(h).

Otro espacio que nos va a interesar considerar es L∞(S1, B(H)), el espacio de las funciones escencialmente acotadas.La medida que tomaremos es la siguiente. Una ψ : S1 → B(H) es S OT medible si y sólo si para todo x ∈ H, ψ(−)(x) esfuertemente medible. Al igual que en el caso escalar, podemos ver a los elementos de L∞(S1, B(H)) como multiplicadoresen B(L2(S1,H)).

Observación 3.1.14. El espacio L∞(S1, B(H)) es una C∗ álgebra con la involución usual. Una posible representación parael espacio es (π, B(L2(S1,H))), con π(ψ(eiθ)) = Mψ, el operador multiplicar por ψ,

Mψ( f )(eiθ) = ψ(eiθ)( f (eiθ)).

Demostración. El único detalle distinto al caso escalar, es probar que Mψ( f ) es una función fuertemente medible. Éstose deduce de que si f es una función simple, entonces ψ(eiθ)( f (eiθ)) = Mψ( f ) es fuertemente medible. Como límite defuertemente medibles es fuertemente medible, Mψ está bien definida. �

Dada una forma de Hankel Ai+ j ∈ B(l2Z(H)), nos va a interesar verlo como un operador en B(L2(S1,H)). Para ello serámás fácil considerar la matriz Ai− j.

Definición 3.1.15. Decimos que un operador A ∈ B(l2Z(H)) es de Toeplitz si existe una sucesión de operadores (An)n∈Z ∈

B(H) tal que [A]i, j = Ai− j.

La siguiente observación muestra que dada una forma de Hankel en l2Z(H) y considerar la forma de Toeplitz inducidano hace perder información.

Observación 3.1.16. Sea (An)n∈Z una sucesión de operadores y sea W ∈ B(l2Z(H)) el operador unitario definido comoW(. . . , h−1, h0, h1 . . .) = (. . . , h1, h0, h−1, . . .), entonces Ai+ jW = Ai− j y Ai− jW = Ai+ j.

Demostración. Sea h ∈ l2Z(H), luego [Ai+ jWh]l =∑

j Al+ jh− j =∑

j Al− jh j = [Ai− jh]l. Como W2 = Id, resulta queAi− jW = Ai+ j. �

De forma similar a que una forma de Hankel cumple S ∗A = AS (con S ∗ y S los shift y coshift en l2Z(H)), una formade Toeplitz cumple S ∗AS = A.

Observación 3.1.17. Sea Ai− j ∈ B(l2Z(H)) una forma de Toeplitz, entonces Ai− j cumple la relación

S ∗AS = A.

Demostración. Se puede probar que [S ∗AS ]i, j = [A]i+1, j+1, y como la forma es de Toeplitz, [A]i+1, j+1 = Ai− j. �

Antes de calcular la imagen de Ai− j en B(L2(S1,H)) por el isomorfismo de la Observación 3.1.13, nos será útil calcularla imagen de S en B(L2(S1,H)).

Observación 3.1.18. Sea S ∈ B(l2Z(H)) el shift, entonces la imagen de S en B(L2(S1,H)) es el multplicador Mz, dondeMz( f )(eiθ) = eiθ f (eiθ). Análogamente, la imagen de S ∗ es el multiplicador Mz.


Demostración. Por la Observación 3.1.13, π−1(S )( f ) = F −1S F ( f ), donde F ( f ) es la sucesión inducida por los coefi-cientes de Fourier de f .

Luego,

F −1S F ( f ) = F −1S ( f (n))n = F −1( f (n − 1))n

=∑

n

f (n − 1)einθ = eiθ∑

n

f (n)einθ = eiθ f .

�

Lema 3.1.19. Sea Ai− j ∈ B(l2Z(H)) una forma de Toeplitz, entonces existe ψ ∈ L∞(S1, B(H)) tal que,i) π−1(Ai− j) = Mψ,

ii) ‖π−1(Ai− j)‖ = ‖ψ‖∞.

Demostración. Para falicitar notación, llamemos AF a π−1(Ai− j). Como Ai− j es una forma de Toeplitz, entonces conmutacon S y con S ∗. Debido a que π es un ∗-morfismo y a que la imagen de π−1S es el multiplicador Mz, AF conmuta con losmultiplicadores Mz y Mz.

Definamos ψ(eiθ) =∑

An(−)einθ y supongamos que ψ ∈ L∞(S1, B(H)).Observemos que para cada n, el operador An(−)einθ ∈ B(H) y eiθ 7→ An(−)einθ es un multiplicador en L∞(S1, B(H))

que conmuta con Mz y Mz, deducimos que Mψ conmuta con Mz y Mz.Veamos que AF y Mψ son iguales. Para ello, basta verificar que coinciden en el denso de los polinomios trigonomé-

tricos. Debido a que AF y Mψ conmutan con Mz y Mz, por linealidad, basta verificar que AF (h.1) = Mψ(h.1) para todoh ∈ H.

En efecto, consideramos F : L2(S1,H)→ l2Z(H) la representación de Fourier y veamos que F AF (h.1) = F Mψ(h.1).Observemos que F (h.1) = h0, donde h0 es el vector cuya i-ésima coordenada es δi,0h, luego

[F AF (h.1)]i = [FF −1Ai− jF (h.1)]i = [Ai− jh0]i

=∑

j

Ai− j[h0] j = Ai(h).

Por otro lado, como las coordenadas de∑

n An(h)einθ en la base {einθ} son los coeficientes de Fourier de∑

n An(h)einθ,F ∑n

An(h)einθ

i

= Ai(h).

Concluimos que los operadores Mψ y AF son iguales. Resta ver que ψ(eiθ) =∑

n Aneinθ pertenece a L∞(S1, B(H)).Sean x e y ∈ H con ‖x‖ = ‖y‖ = 1. Consideremos ϕ : S1 → C, definida como ϕ(eiθ) = 〈ψ(eiθ)(x), y〉. Si probamos que ϕpertenece a L∞(S1), con norma que no dependa de x e y, valdría que ψ(eiθ) ∈ L∞(S1, B(H)).

Veamos que Mϕ es un multiplicador acotado en B(L2(S1)), para ello basta ver que es un multiplicador acotado en elespacio de los polinomios trigonométricos.

Sea p(eiθ) =∑

aneinθ un polinomio trigonométrico, luego

ϕp(eiθ) = 〈ψ(eiθ)x, y〉p(eiθ) = 〈p(eiθ)ψ(eiθ)x, y〉 = 〈Mψ(px)(eiθ, y〉,

de donde,

‖ϕp‖L2 = ‖〈Mψ(px), y〉‖L2 ≤ ‖‖Mψ(px)‖H‖L2 = ‖Mψ(px)‖L2(S1,H)

≤ ‖Mψ‖‖px‖L2(H) = ‖Mψ‖‖p‖L2 = ‖AF ‖‖p‖L2 .

Debido a que Mϕ es un multiplicador en B(L2(S1)) con ‖Mϕ‖ ≤ ‖Mψ‖ = ‖AF ‖, vale que ‖ϕ‖∞ ≤ ‖Mψ‖ = ‖AF ‖.En efecto, sea C medible, entonces ∫

|ϕ|2χC = ‖MϕχC‖2 ≤ ‖Mψ‖

2|C|.


Extendiendo el funcional a las funciones simples, y luego a todo L1(S1), |ϕ|2 define un funcional acotado sobre L1 connorma menor o igual que ‖Mψ‖

2. Deducimos que ϕ ∈ L∞ y ‖ϕ‖∞ ≤ ‖Mψ‖. Luego ‖ψ‖∞ = sup‖x‖=‖y‖=1, θ∈[0,2π] |〈ψ(eiθ)x, y〉| ≤‖Mψ‖ = ‖AF ‖

Por último, por la Observación 3.1.14 y porque π es un ∗-morfismo,

‖ψ‖∞ = ‖Mψ‖ = ‖Ai− j‖.

�

Dada ψ ∈ L∞(S1, B(H)), notamos ψ(n) ∈ B(H) al operador ψ(n)(h) :=∫ψ(eiθ)he−inθ. Se puede probar, de forma

sencilla, que π(ψ) ∈ B(l2Z(H)) es una matriz de Toeplitz con coordenadas, [πψ]i− j = ψ(i − j).Como corolario del lema anterior podemos asociarles a las formas de Hankel un “símbolo” ψ ∈ L∞.

Corolario 3.1.20 (Nehari-Page vectorial). Sea H un espacio de Hilbert separable y {An}n∈N ⊂ B(H) una sucesión deoperadores tal que el operador de Hankel Ai+ j ∈ B(l2(H)) es acotado. Entonces existe ψ ∈ L∞(S1, B(H)) tal que paratodo n ≥ 0, An = ψ(n) y ‖Ai+ j‖ = ‖ψ‖∞.

Demostración. Por el Teorema 3.1.11, podemos extender Ai+ j a B(l2Z(H)) de forma que se mantenga la norma. Por laObservación 3.1.16, la forma de Toeplitz Ai− j tiene la misma norma que Ai+ j. Finalemente, por el lema anterior, existe ψcumpliendo ‖Ai− j‖ = ‖Mψ‖ = ‖ψ‖∞, donde ψ =

∑Aneinθ. �

Como corolario del Teorema de Nehari-Page vectorial, podemos probar un lema debido a Davidson y Paulsen.

Corolario 3.1.21 (Davidson-Paulsen). Sean H y K espacios de Hilbert separables y φ : B(H) → B(K) un operadoracotado. Si Ai+ j ∈ B(l2(H)) es una forma de Hankel acotada, entonces φ(Ai+ j) ∈ B(l2(K)) también es acotada. Más aún

‖φ(Ai+ j)‖ ≤ ‖φ‖‖Ai+ j‖.

De esta demostración daremos solo una idea, ya que no contamos con la teoría adecuada para dar una prueba formal.La base de la demostración sigue la prueba de Pisier de [28] Lema 9.5.

Sea ψ ∈ L∞(S1, B(H)) tal que para todo n ≥ 0, ψ(n) = An y ‖ψ‖ = ‖Ai+ j‖. Consideremos ϕ = φ ◦ ψ. Una fácildemostración, pero con un detalle incorrecto, es considerar

‖φ(Ai+ j)‖B(l2(K)) ≤ ‖φ(Ai+ j)‖B(l2Z(K))‖ = ‖ϕ‖L∞(S1,K) ≤ ‖φ‖‖ψ‖ = ‖φ‖‖Ai+ j‖B(l2(H)).

Sin embargo la función φ ◦ ψ no es necesariamente S OT medible. Para esquivar ese problema consideramos paracada r < 1, ψr =

∑n∈Z r|n|ψ(n)einθ. El operador ψr no es otra cosa que convolucionar ψ con el núcleo de Poisson [20]

Observaciones 3.3.4 y 3.11.3. Aplicando φ, obtenemos que

φ ◦ ψr(eiθ) = φ

∑n∈Z

r|n|ψ(n)einθ

=∑n∈Z

r|n|φ(ψ(n))einθ

=∑n∈Z

r|n|ϕ(n)einθ = ϕr(eiθ). (3.2)

Ahora ϕr es una función continua y luego S OT medible. Se puede probar que ‖ψr‖ ≤ ‖ψ‖ ( ver [20] Lema 3.11.6).Aplicando esto último a la ecuación (3.2),

‖ϕr‖ = ‖φ ◦ ψr‖ ≤ ‖φ‖‖ψr‖ ≤ ‖φ‖‖ψ‖.

Como los coeficientes de ϕr en la base einθ son r|n|φ(An), vale que π(ϕr) ∈ B(l2Z(H)) es la matriz de Toeplitz r|i− j|φ(Ai− j).Luego,

‖r|i+ j|φ(Ai+ j)‖B(l2(H)) ≤ ‖r|i+ j|φ(Ai+ j)‖B(l2Z(H)) = ‖r|i− j|φ(Ai− j)‖B(l2Z(H)) = ‖ϕr‖

≤ ‖φ‖‖ψr‖ ≤ ‖φ‖‖ψ‖. (3.3)

Finalmente, la matriz de operadores r|i+ j|φ(Ai+ j) ∈ B(l2(H)) es fácil de analizar, ya que en este caso, r|i+ j|φ(Ai+ j) =

ri+ jφ(Ai+ j) = Drφ(Ai+ j)Dr, donde Dr es la matriz diagonal cuya i-ésima coordenada es riIdH . Como lımr→1 Dr = Id, valeque lımr→1 ‖r|i+ j|φ(Ai+ j)‖ = ‖φ(Ai+ j)‖. Aplicando la ecuación (3.3), resulta que ‖φ(Ai+ j)‖ ≤ ‖φ‖‖ψ‖.

3.2. Operadores de Foguel 59

3.2. Operadores de Foguel

Pasamos a desarrollar el prototipo de operador presente en el contraejemplo de Pisier. Curiosamente, si bien el ejemplode Foguel de un operador power-bounded no similar a una contracción falla en ser polinomialmente acotado, Pisierencontró otro ejemplo usando el mismo tipo de operadores.

Definición 3.2.1. Sean H un Hilbert y X ∈ B(l2(H)), al operador F ∈ B(l2(H) ⊕ l2(H)), definido matricialmente como

F =

(S ∗ X0 S

),

lo llamaremos de Foguel con símbolo X. En el caso en el que X sea de Hankel, lo llamaremos de Foguel-Hankel.

Observación 3.2.2. Sea F de Foguel con símbolo X. Nos será útil calcular Fn. Si definimos para n ≥ 2. Xn como∑n−1j=0 S ∗ jXS n−1− j, entonces

Fn =

(S ∗n Xn

0 S n

).

Luego, definiendo X1 = X y X0 = 0, la fórmula vale para todo n. En particular, en el caso en el que el operador sea deFoguel-Hankel, Xn no es otra cosa que nXS n−1 = nAi+ j+n−1.

Demostración. Veamos sólo que la coordenada (1, 2) de Fn es Xn ya que las demás son triviales.Lo hacemos por inducción en n. Para n = 2 vale ya que F2

1,2 = S ∗X + XS = X2. Sea n ≥ 3, supongamos queFn−1

1,2 = Xn−1 y veamos que Fn1,2 = Xn.

[Fn]1,2 = [Fn−1F]1,2 =

2∑l=1

Fn−11,l Fl,2 = S ∗n−1X + Xn−1S

= S ∗n−1X +

n−2∑j=0

S ∗ jXS n−2− j

S = S ∗n−1XS n−1−(n−1) +

n−2∑j=0

S ∗ jXS n−1− j

=

n−1∑j=0

S ∗ jXS n−1− j = Xn.

En el caso en el que X sea de Hankel, por la observación anterior, S ∗X = XS y en consecuencia, Xn =∑

j S ∗ jXS n−1− j =∑j XS n−1 = nXS n−1.

�

Estamos interesados en caracterizar cuando un operador de Foguel es power-bouded, polinomialmente acotado osimilar a una contración.

Proposición 3.2.3. Sea F de Foguel con símbolo X. Entonces F es power bounded si y sólo si supn{‖Xn‖} < ∞.

Demostración. Supongamos que F es power-bounded y sea c tal que ‖Fn‖ < c. Observemos que la la proyección en la(1, 2) coordenada es contractiva, Entonces

‖Xn‖ = ‖P1,2(Fn)‖ ≤ ‖Fn‖ < c.

Recíprocamente supongamos que existe c > 0 tal que supn{‖Xn‖} < c. Recordemos que por la Observación 1.3.13 lanorma de una matriz A ∈ Mn(A ) está acotada por n2maxi, j‖Ai, j‖A .

Además como S y S ∗ son contractivos, S n y S ∗n también son contractivos. Luego,

‖Fn‖ ≤ 22max{‖S n‖, ‖S ∗n‖, ‖Xn‖} ≤ 4 max{1, c}.

�


Así como

Fn =

(S ∗n Xn

0 S n

), por linealidad vale que dado p =

∑n anzn un polinomio,

p(F) =

(p(S ∗)

∑n anXn

0 p(S )

).

Definamos entonces el operador δ : P(S1) → B(l2(H)) como δ(zn) = Xn y luego extender linealmente. Observemos queen el caso en el que X sea de Hankel, δ(p) =

∑n anXn =

∑n nanXS n−1 = Xp′(S ).

Proposición 3.2.4. Sean F de Foguel con símbolo X y δ : P(S1)→ B(l2(H)) definido como

δ(zn) = Xn

y luego extender linealmente. Entonces F es (completamente) polinomialmente acotado si y sólo si δ es (completamente)acotado.

Demostración. Al ser S y S ∗ contractivos ambos admiten un morfismo de von Neumann completamente contractivo (verCorolario 1.3.16).

Supongamos que F es polinomialmente acotado y sean ρF , ρS ∗ , ρS los morfismos de von Neumann asociados a F, S ∗, Srespectivamente, entonces

ρF(p) =

(ρS ∗ (p) δ(p)

0 ρS (p)

).

Luego,

‖δ(p)‖ = ‖P1,2 ◦ ρF(p)‖ ≤ ‖ρF(p)‖.

Recíprocamente, si δ(p) es acotado, entonces por la Observación 1.3.13,

‖ρF(p)‖ ≤ 4max{‖ρS∗(p)‖, ‖ρS (p)‖, ‖δ(p)‖} ≤ 4max{1, ‖δ‖}‖p‖∞.

Veamos ahora el caso completamente acotado. Éste es análogo al anterior aplicando el Shuffle canónico entre Mn(M2(B(l2(H))))y M2(Mn(B(l2(H)))). Notemos θ a dicho morfismo.

Supongamos ρF completamente acotado, y sea Q ∈ Mn(P(S1)), luego

‖(ρF)n(Q)‖ = ‖θ(ρF)n(Q)‖ =

∥∥∥∥∥∥(

(ρ∗S )n(Q) δn(Q)0 (ρS )n(Q)

)∥∥∥∥∥∥ .Nuevamente, como la proyección en la (1, 2) coordenada es contractiva, ‖δn(Q)‖ ≤ ‖(ρF)n‖ ≤ ‖ρ(F)‖cb.La prueba de que si δ es completamente acotado entonces ρF también es completamente acotado es análoga al caso

anterior. �

3.3. Operadores de Foguel inducidos por espacios de operadores Columna yCAR

Para comenzar con el contraejemplo de Pisier, necesitamos antes estudiar una familia de operadores Foguel-Hankelfáciles de analizar. Consideremos H = l2 y Ei, j ∈ B(l2) las matrices elementales usuales. Es decir, [Ei, j(h)]k = δ j,khi.Vamos a quedarnos solamente con los operadores “columna”, {Ei,0}i≥0. Para facilitar notación, a una Ei,0 la notaremos

3.3. Operadores de Foguel inducidos por espacios de operadores Columna y CAR 61

como Ei. Observemos que E∗i E j = δi, jE0. Los operadores columna cumplen una propiedad bonita: generan un subespacioisométricamente isomorfo a l2. En efecto, si definimos T : l2 → B(l2), vía T (h) =

∑l hlEl, vale que

‖T (h)‖2 = ‖T (h)∗T (h)‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∑l, j

hlEl∗h jE j

∥∥∥∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∥∥∥∑

j

|h j|2E0

∥∥∥∥∥∥∥∥ =∑

j

|h j|2‖E0‖ = ‖h‖2l2 .

No necesariamente la sucesión (En)n induce una forma de Hankel acotada. Sin embargo, dada (an)n una sucesión escalarpodemos considerar X = ai+ jEi+ j. El siguiente Teorema caracteriza cuando el operador de Foguel con símbolo ai+ jEi+ j essimilar a una contracción en función de la sucesión (an)n.

Teorema 3.3.1. Sean {an}n≥0 una sucesión escalar y F el operador de Foguel-Hankel con símbolo X = (ai+ jEi+ j). Enton-ces son equivalentes

i) F es similar a una contracción,ii) F es polinomialmente acotado,iii) F es power bounded,iv) supn{n

2 ∑∞k=n−1 |ak |

2} es finito.

Demostración. Claramente si F es similar a una contracción es polinomialmente acotado, y si es polinomialamente aco-tado entonces es power bounded. Supongamos que F es power bounded. Por la Proposición 3.2.3 esto es equivalente aque supn ‖Xn‖ < ∞, donde Xn es nai+ j+n−1Ei+ j+n−1.

Calculemos la norma de Xn. Para ello basta calcular ‖X∗nXn‖. Veamos primero que matriz infinita es X∗nXn.

[X∗nXn]i, j =∑

k

[X∗n]i,k[Xn]k, j = n2∑

k

ai+k+n−1E∗k+ j+n−1a j+k+n−1Ek+ j+n−1 = n2∑

k

ai+k+n−1a j+k+n−1δi, jE0.

Luego X∗nXn es una matriz de operadores diagonal con entradas diagonales

[X∗nXn]i,i =∑

k

|ai+k+n−1|2E0 =

∞∑k=i+n−1

|ak |2E0.

Notemos que como E0 es positivo, [X∗nXn]i,i también es positivo. Además, como ‖E0‖ = 1,

‖[X∗nXn]i,i‖ =

∞∑k=i+n−1

|ak |2.

Por último, al ser X∗nXn una matriz diagonal positiva, su norma es exactamente

supi‖[X∗nXn]i,i‖ = sup

i

∞∑k=i+n−1

|ak |2.

Como∑∞

k=i+n−1 |ak |2 ≤

∑∞k=l+n−1 |ak |

2 cuando i ≤ l, el supremo ocurre cuando i = 0.

‖Xn‖2 = n2

∞∑k=n−1

|ak |2,

de donde supn{n2 ∑∞

k=n−1} < ∞.Supongamos ahora que supn{n

2 ∑∞k=n−1 |ak |

2} < ∞ y veamos que F es similar a una contracción. Consideremos lamatriz infinita de operadores Yi, j = − jai+ j−1Ei+ j−1. Por el momento supongamos Y es acotado. Afirmamos que

YS − S ∗Y = −X.

En efecto,


[YS − S ∗Y]i, j = [YS ]i, j − [S ∗Y]i, j =∑

l

−lai+l−1Ei+l−1δl, j+1IdH −∑

k

δi+1,kIdH − jak+ j−1Ek+ j−1

= −( j + 1)ai+ jEi+ j − (− j)ai+ jEi+ j = −[X]i, j.

Si consideramos R =

(Id Y0 Id

), R−1 =

(Id −Y0 Id

), vale que R es una similaridad para F.

RFR−1 =

(Id Y0 Id

) (S ∗ X0 S

) (Id −Y0 Id

)=

(S ∗ X + YS0 S

) (Id −Y0 Id

)=

(S ∗ X + YS − S ∗Y0 S

)=

(S ∗ 00 S

).

De donde F es similar a una contracción. Resta probar entonces que Y es acotado.Calculemos la norma de Y∗Y .

[Y∗Y]i, j =∑

l

−iai+l−1E∗i+l−1 − jal+ j−1El+ j−1 =∑

l

(−1)2i jai+l−1al+ j−1δi, jE0.

Luego Y∗Y es una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son

[Y∗Y]i,i =∑

l

i2|ai+l−1|2E0.

Como cada sumando es positivo, el operador [Y∗Y]i,i es positivo y su norma es exactamente∑

l i2|ai+l−1|2. En conse-

cuencia

‖Y∗Y‖ = supn

n2∑

l

|an+l−1|2 < ∞.

�

Dado un operador de Foguel-Hankel sobre H con símbolo X y φ : B(H)→ (K), el Lema de Davidson-Paulsen 3.1.21permite considerar un operador de Foguel sobre K inducido por φ. Éste viene simplemente de considerar el operador deHankel φ(X). A dicho operador lo notaremos Fφ.

Fφ =

(S ∗ Xφ

0 S

).

También nos podemos preguntar si F es power-bounded, polinomialmente acotado o similar a una contracción implicaque Fφ también lo sea. Usando el Lema de Davidson-Paulsen 3.1.21 es relativamente sencillo probar que las dos primeraspropiedades son ciertas. Sin embargo, para reproducir una demostración análoga para la tercera propiedad necesitaríamosφ completamente acotado. Efectivamente es falso para operadores similares a una contracción y esto será la fuente paranuestro contraejemplo. Si encontramos un operador de Foguel similar a una contracción tal que Fφ no lo sea, entonces Fφ

sería polinomialmente acotado pero no similar a una contracción.

Proposición 3.3.2. Sean H, K espacios de Hilbert, F de Foguel-Hankel sobre H con símbolo XF . Sea φ : B(H) → B(K)acotado, y sea Fφ el operador de Foguel-Hankel sobre K con símbolo Xφ. Entonces

i)Si F es power-bounded, entonces Fφ es power-bounded.ii)Si F es polinomialmente acotado, entonces Fφ es polinomialmente acotado.

Demostración. Probaremos solamente que F polinomialmente acotado implica Fφ polinomialmente acotado, ya que laotra demostración es análoga.

Recordemos que un F de Foguel es polinomialmente acotado si y sólo si el operador δF : P(S1) → B(l2(K)) definidocomo δF(zn) = (Xn)FnS n−1 es acotado ( Proposición 3.2.4). Debemos probar entonces que δFφ

es acotado.


Sea XF el operador de Hankel asociado a F y digamos XF = Ai+ j. Entonces, n(Xn)FS n−1 = nAi+ j+n−1. Si consideramos(Bk)k = (nAk+n−1)k, vemos que δF(zn) es una forma de Hankel con δF(zn) = Bi+ j. Como suma de formas de Hankel es deHankel, δF(p) es de Hankel para todo p.

Por otro lado, Xφ no es otra cosa que φ(Ai+ j) y en consecuencia resulta que n(Xφ)nnS n−1 = φ(Ai+ j+n−1). Concluimosentonces que δFφ(p) es la forma de Hankel inducida por φ y la forma de Hankel δF(p).

Sea p fijo y Bi+ j la forma de Hankel asociada a δF(p), luego

‖δFφ(p)‖ = ‖φ(Bi+ j)‖ ≤ ‖φ‖‖Bi+ j‖

= ‖φ‖‖δF(p)‖ ≤ ‖φ‖‖p‖∞‖δF‖.

�

El contraejemplo usa otro espacio de operadores isómetricamente isomorfo a l2.

Definición 3.3.3. Sea (Cn)n ∈ B(H) una sucesión de operadores, decimos que (Cn)n satisface la CAR (por Canonicalanticommutation relations) si para todo i, j,

i) CiC j + C jCi = 0.ii) CiC∗j + C∗jCi = δi, jIdH .

Proposición 3.3.4. Dada (Cn)n una sucesión de operadores que satisface la CAR, podemos definir T : l2 → B(H) víaT (h) :=

∑j h jC j. El espacio T (l2) es otro espacio de operadores isómetricamente isomorfo a un Hilbert.

Demostración. Sea h ∈ l2, consideremos Tn(h) ∈ B(H) vía Tn(h) =∑n

j=0 h jC j. Veremos que para cada n, ‖Tn‖2 =∑n

j=0 |h j|2 y probaremos que la sucesión (Tn(h))n es de Cauchy. Para aliviar notación llamaremos Tn a Tn(h).

Observemos que TnT ∗n ≤ TnT ∗n + T ∗n Tn y que ambos son positivos, luego

‖TnT ∗n (h)‖ ≤ ‖TnT ∗n + T ∗n Tn(h)‖. (3.4)

Por otro lado, si calculamos TnT ∗n + T ∗n Tn, por la segunda propiedad de la definición de CAR 3.3.3 resulta que

TnT ∗n + T ∗n Tn =

n∑i, j=0

hih jCiC∗j + h jhiC∗jCi =

n∑i=0

|hi|2IdH . (3.5)

Combinando (3.4) y (3.5), deducimos que

‖Tn‖2 = ‖T ∗n Tn‖ ≤ ‖TnT ∗n + T ∗n Tn‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∑i

|hi|2IdH

∥∥∥∥∥∥∥ = ‖h|ln2‖2.

Observemos ahora que por la primer propiedad de la definición de CAR 3.3.3, T 2n = 0. En efecto,

T 2n =

n∑i, j=0

hih jCiC j =∑i< j

hih jCiC j +∑i> j

hih jCiC j +∑i= j

hih jCiC j

=∑i< j

hih jCiC j −∑i< j

hih jCiC j = 0

Calculemos ‖Tn‖ notando que por la cuenta anterior TnTnT ∗n T ∗n = 0.

‖Tn‖4 = ‖(TnT ∗n )2‖ = ‖TnT ∗n TnT ∗n‖ = ‖TnT ∗n TnT ∗n + TnTnT ∗n T ∗n‖ = ‖Tn(T ∗n Tn + TnT ∗n )T ∗n‖

=

∥∥∥∥∥∥∥Tn

n∑i=0

|hi|2Id

T ∗n

∥∥∥∥∥∥∥ =

n∑i=0

|hi|2‖Tn‖

2.

De donde concluimos que ‖Tn‖2 =

∑ni=0 |hi|

2.


Para probar que (Tn)n es de Cauchy, hay que observar que reproduciendo la misma cuenta, dados n,m la norma‖Tn − Tm‖

2 =∑m

i=n |hi|2, de donde se deduce fácilmente que la sucesión es de Cauchy. Luego tiene sentido considerar

T (h) =∑

i hiCi y como Tn → T (h),

‖T (h)‖ = lımn‖Tn‖ = lım

n

n∑i=0

|hi|2 = ‖h‖l2 .

�

Explotando la isometría entre los operadores CAR y los operadores columna, podemos dar una caracterización paralos operadores CAR similar a la del Teorema 3.3.1.

Teorema 3.3.5. Sean H un Hilbert, (Cn)n ∈ B(H) una sucesión que satisface la CAR y (an)n una sucesión real. Sea F eloperador de Foguel-Hankel con símbolo ai+ jCi+ j. Entonces son equivalentes

i)F es polinomialmente acotado,ii)F es power-bounded,iii)supn{n

2 ∑k=n−1 |ak |

2} < ∞.

Demostración. Claramente si F es polinomialmente acotado, entonces F es power bounded. Supongamos que F espower bounded y recordemos que por la Proposición 3.2.3 esto es equivalente a que supn ‖Xn‖ < ∞, donde Xn =

nai+ j+n−1Ci+ j+n−1. Observemos que como ‖XnX∗n‖ ≤ ‖X∗nXn + XnX∗n‖ ≤ 2‖XnX∗n‖, supn ‖Xn‖ < ∞ si y sólo si supn ‖X

∗nXn +

XnX∗n‖ < ∞. Calculemos la norma de X∗nXn + XnX∗n (Que es lo que sabemos computar).

[X∗nXn + XnX∗n]i, j =∑

k

[X∗n]i,k[Xn]k, j + [X∗n]i,k][X∗n] j,k

=∑

k

n2(ai+k+n−1a j+k+n−1C∗i+k+n−1C j+k+n−1 + ai+k+n−1a j+k+n−1Ci+k+n−1C∗j+k+n−1)

=∑

k

n2ai+k+n−1ak+ j+n−1δi, jId. (3.6)

Luego X∗nXn + XnX∗n es una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son

[X∗nXn + XnX∗n]i,i = n2∑

k

|ai+k+n−1|2Id,

que son operadores positivos. Al ser X∗nXn +XnX∗n una matriz diagonal con entradas positivas, su norma es exactamente

‖X∗nXn + XnX∗n‖ = supi

n2∑

k

|ai+k+n−1|2.

Como n2 ∑k |ai+k+n−1|

2 < n2 ∑k |a j+k+n−1|

2 cuando i < j, dicho supremo ocurre cuando i = 0.

‖X∗nXn + XnX∗n‖ = n2∑

k

|ak+n−1|2 = n2

∞∑k=n−1

|ak |2.

Finalmente, supn n2 ∑k=n−1 |ak |

2 < ∞.Supongamos que supn{n

2 ∑k=n−1 |ak |

2} < ∞. Debido al Teorema 3.3.1 el operador de Foguel F con símbolo ai+ jEi+ j

es polinomialmente acotado. Si encontramos φ : B(l2) → B(H) tal que φ(Ei) = Ci, entonces por la Proposición 3.3.2,el operador Fφ con símbolo φ(ai+ jEi+ j) = ai+ jCi+ j sería acotado. Observemos que al tener el mismo símbolo, Fφ y Fcoinciden.

Recordemos que el espacio de operadores columna (COL) y el espacio de operadores CAR, eran ambos isométrica-mente isomorfos a l2, donde las isometrías vienen dadas por T1 : l2 → Col y T2 : l2 → CAR, T1(ei) = Ei y T2(ei) = Ci.Por otro lado, la proyección P de B(l2) en el espacio de operadores columna es acotada por ser el espacio de operadoresColumna complementado en B(l2). Consideremos φ : B(l2)→ B(H) la composición

B(l2)P→ COL

T−11→ l2

T2→ CAR.

Por lo visto anteriormente, φ es acotado y luego F resulta polinomialmente acotado. �


Por motivos que se verán en la demostración del Teorema 3.3.11, nos será útil encontrar finitos operadores que cumplanla CAR en M2n .

Ejemplo 3.3.6. Consideremos las siguientes matrices en M2,

V =

(1 00 −1

), C =

(0 01 0

)y I2 =

(1 00 1

).

Vale que V2 = I2, C2 = 0, CC∗ = E2,2, C∗C = E1,1, CV = C y VC = −C.

Para 0 ≤ i ≤ n − 1, definamos en M2k � M2

k︷︸︸︷⊗...⊗ M2 las siguientes k matrices.

Wi,k = V⊗(i) ⊗C ⊗ I⊗(n−i−1)2 ,

donde X⊗(k) indica Xk︷︸︸︷⊗...⊗ X ∈ M2k .

Cuando no haya confusión acerca de la dimensión, notaremos a Wi,k simplemente como Wi. Afirmamos que los Wi

satisfacen la CAR. En efecto, notemos que

Wi2 = (V2)⊗(i) ⊗C2 ⊗ I⊗(n−i−1)

2 = I⊗(i)2 ⊗ 0 ⊗ I⊗(i)

2 = 0, (3.7)

W∗i Wi = (V∗V)⊗(i) ⊗C∗C ⊗ I⊗(n−i−1)2 = I⊗(i)

2 ⊗ E1,1 ⊗ I⊗(i)2 y (3.8)

WiW∗i = I⊗(i)2 ⊗ E2,2 ⊗ I⊗(i)

2 . (3.9)

Por otro lado, para 0 ≤ i < j ≤ n − 1,

WiW j = I⊗(i)2 ⊗CV ⊗ V⊗( j−i−1) ⊗CI2 ⊗ I⊗(n− j−1)

2 = −W jWi, (3.10)

WiW∗j = I⊗(i)2 ⊗CV ⊗ V⊗( j−i−1) ⊗C∗I2 ⊗ I⊗(n− j−1)

2 = −W∗j Wi. (3.11)

De las ecuaciones (3.7) y (3.10) se deduce que WiW j + W jWi = 0 mientras que de (3.8), (3.9) y (3.11) se sigue queWiW∗j + W jW∗

i = δi, jIdH .

Veamos ahora que el generado por los Wi ⊗Wi ∈ M2k ⊗ M2k es canónicamente isomorfo a ln1.

Proposición 3.3.7. Sean {Wi} los operadores construidos en el ejemplo anterior. Entonces,

12

n−1∑i=0

|ai| ≤

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=0

aiWi ⊗Wi

∥∥∥∥∥∥∥ ≤n−1∑i=0

|ai|.

Demostración. La segunda desigualdad es sencilla, ya que como ‖Wi ⊗Wi‖ = ‖Wi‖2 = 1, vale que∥∥∥∥∥∥∥

n−1∑i=0

aiWi ⊗Wi

∥∥∥∥∥∥∥ ≤n−1∑i=0

‖aiWi ⊗Wi‖ ≤

n−1∑i=0

|ai|.

Probemos ahora que 12∑n−1

i=0 |ai| ≤ ‖∑n−1

i=0 aiWi ⊗Wi‖.

Identifiquemos M2n ⊗M2n con (M2⊗M2)n︷︸︸︷⊗...⊗ (M2⊗M2), y estudiemos a

∑i aiWi⊗Wi en (M2⊗M2)

n︷︸︸︷⊗...⊗ (M2⊗M2).

Como dicha identificación es un ∗ morfismo, la norma de∑

i aiWi ⊗Wi es invariante. Notemos que

Wi ⊗Wi ≈ (V ⊗ V)⊗(i) ⊗ (C ⊗C) ⊗ Id⊗(n−i−1)M4

. (3.12)

Para cada i, sea ωi ∈ S1 tal que ωiai = |ai| y consideremos xi ∈ C

2 ⊗ C2,

xi =1√

2(e1 ⊗ e1 + ωie2 ⊗ e2).


Notemos que para cada i, xi es unitario y además,

V ⊗ V(xi) =1√

2(V(e1) ⊗ V(e1) + ωiV(e2) ⊗ V(e2)) =

1√

2(e1 ⊗ e1 + ω1(−e2) ⊗ (−e2)) = xi, mientras que(3.13)

C ⊗C(xi) =1√

2(C(e1) ⊗C(e1) + ωiC(e2) ⊗C(e2)) =

e2 ⊗ e2)√

2.

Sea x ∈ (C2 ⊗ C2)⊗(n) definido como,

x = x1 ⊗ ... ⊗ xn.

Por ser x un tensor elemental de elementos unitarios, x es unitario. Además, debido a las ecuaciones (3.12) y (3.13),

Wi ⊗Wi(x) = (V ⊗ V)⊗(i) ⊗ (C ⊗C) ⊗ Id⊗(n−i−1)M4

(x1 ⊗ ... ⊗ xn)

=1√

2x1 ⊗ ... ⊗ xi ⊗ (e2 ⊗ e2) ⊗ xi+1... ⊗ xn. (3.14)

Afirmamos que 〈∑

i aiWi ⊗Wi(x), x〉 = 12∑

i |ai|.En efecto, basta ver que para cada i, 〈aiWi ⊗Wi(x), x〉 = 1

2 |ai|. Debido a la ecuación (3.14) y a que cada xi es unitario,

〈aiWi ⊗Wi(x), x〉 =ai√

2〈x1 ⊗ ... ⊗ xi ⊗ (e2 ⊗ e2) ⊗ xi+1... ⊗ xn, x1 ⊗ ... ⊗ xn〉

=ai√

2

∏j,i

〈x j, x j〉

〈xi, e2 ⊗ e2〉

=12ωiai =

12|ai|.

Finalmente, como ‖∑

aiWi ⊗Wi‖ ≥ supx∈Bx〈∑

aiWi ⊗Wix, x〉, deducimos que ‖∑

aiWi ⊗Wi‖ ≥12∑

i |ai|. �

Hasta aquí hemos construido finitos operadores que satisfacen la CAR, cumpliendo además

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=0

aiWi ⊗Wi

∥∥∥∥∥∥∥ ≤n−1∑i=0

|ai|.∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=0

aiWi ⊗Wi

∥∥∥∥∥∥∥ ≥ 12

n−1∑i=0

|ai|.

Esto vale en general. Si {Ci}i satisface la CAR, entonces

∑i

12

n−1∑i=0

|ai| ≤

∥∥∥∥∥∥∥n−1∑i=0

aiWi ⊗Ci

∥∥∥∥∥∥∥ ≤n−1∑i=0

|ai|. (3.15)

Esto se deduce del siguiente Teorema, cuya demostración puede encontrarse en [2].

Teorema 3.3.8. Sean {Ci}ni=1 y {Wi}

ni=1 dos conjuntos de operadores que satisfacen la CAR, entonces existe un único

∗-morfismo π : C∗(C1, ...Cn)→ C∗(W1, ...,Wn), tal que π(Wi) = Ci para todo i.

Para probar la desigualdad (3.15) usando el teorema anterior, basta observar que∑n−1

i=0 aiWi ⊗ Ci no es otra cosa queπn(

∑n−1i=0 aiWi ⊗Wi). Para evitar estudiar a los operadores CAR en detalle, haremos otra aproximación. Nos construiremos

una sucesión {Ci} de operadores cumpliendo las desigualdades (3.15) y que “casi” satisfagan la CAR.


Ejemplo 3.3.9. Consideremos H = ⊕nC2n

y K su completado. Sean Wi,n los operadores construidos en el Ejemplo 3.3.6.Si i > n, definamos Wi,n = 0. Para cada i, definamos Ci como

Ci = ⊕nWi,n.

Veamos que (Ci)n satisface las siguientes cuatro ecuacionesi) ‖

∑i≥0 aiCi‖

2 =∑

i≥0 |ai|2 si ai ∈ l2.

ii) 12∑n−1

i=0 |ai| ≤ ‖∑n−1

i=0 aiCi ⊗Wi,n‖ ≤∑n−1

i=0 |ai|.

iii) CiC j + C jCi = 0.iv) CiC∗j + C jC∗i = δi, j(I − Pi), si Pi es la proyeccón sobre ⊕i

n=1 C2n

.Si bien (Ci)i no satisface la CAR, su imagen cocientando por la C∗-álgebra generada por los operadores compactos si

lo hace. Como H es denso en K basta verificar las ecuaciones en H. Verificaremos solamente las primeras dos ya que lasecuaciones iii) y iv) son elementales.

La ecuación i) se debe a que si ai ∈ l2, podemos identificar∑

i aiCi con el operador ⊕n∑

i aiWi,n. De donde,∥∥∥∥∥∥∥∑i

aiCi

∥∥∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥∥∥⊕n

∑i

aiWi,n

∥∥∥∥∥∥∥2

= supn

∥∥∥∥∥∥∥∑i

aiWi,n

∥∥∥∥∥∥∥2

C2n

= supn

n∑i

|ai|2 = ‖ai‖

2.

Debido a que (Ci)i es isométrico a l2, la segunda desigualdad de la ecuación ii) es clara. Veamos la primera. Fijemosn y notemos que PC2n Ci|C2n = Wi,n. Luego∥∥∥∥∥∥∥

n−1∑i=0

aiCi ⊗Wi,n

∥∥∥∥∥∥∥⊕nC2n

⊗C2n

≥∥∥∥PC2n

⊗C2n aiCi ⊗Wi,n|C2n⊗C2n

∥∥∥ = ‖aiWi,n ⊗Wi,n‖C2n⊗C2n

≥12

n−1∑i=0

|ai|

Observación 3.3.10. Nos interesa poder aplicar el Teorema 3.3.5 a los operadores (Ci)i definidos en el ejemplo ante-rior. Sin embargo (Ci)i no cumple la CAR, así que no se cumplen las hipótesis del Teorema. Veamos como adaptar lademostración.

Recordemos que el Teorema 3.3.5 establecía que si (Ci)i que satisface la CAR, (ai)i es una sucesión real y F es eloperador de Hankel con símbolo ai+ jCi+ j, entonces son equivalentes,

i) F es polinomialmente acotado,ii) F es power bounded,iii) supn{n

2 ∑k=n−1 |ak |

2} < ∞.Para probar que si supn{n

2 ∑k=n−1 |ak |

2} < ∞ entonces F es polimoliamente acotado, lo único que habíamos usado esque existía una isometría entre el espacio CAR y l2. Por la ecuación i), esto sigue valiendo.

La prueba de que si F es power bounded, entonces supn{n2 ∑

k=n−1 |ak |2} < ∞ es similar a la demostración del Teorema

3.3.5. La única diferencia es que por la ecuación iv), en la ecuación (3.6) de la demostración del Teorema 3.3.5, resulta

[X∗nXn + XnX∗n]i, j =∑

k

n2ai+k+n−1ak+ j+n−1δi, j(Id − Pi).

La demostración concluye en forma análoga a la del Teorema 3.3.5, como [X∗nXn + XnX∗n]i, j es una matriz diagonal conentradas positivas, su norma es el supremo de sus coordenadas,

‖[X∗nXn + XnX∗n]‖ = supi

∥∥∥∥∥∥∥∑k

n2a2i+k+n−1(Id − Pi)

∥∥∥∥∥∥∥ =∑

k

n2a2k+n−1,

de donde∑

k n2a2k+n−1 < ∞.

El siguiente Teorema vale para toda sucesión de operadores CAR (en la demostración solo usamos la desigualdad3.15) pero lo enunciamos para la sucesión construida en el Ejemplo 3.3.9


Teorema 3.3.11. Sea (an)n una sucesión escalar tal que∑∞

k=0(k + 1)2|ak |2 = ∞ y (Ci)i la sucesión de operadores construi-

das en el ejemplo 3.3.9. Entonces el operador de Foguel-Hankel con símbolo X = ai+ jCi+ j no es similar a una contracción.

Demostración. Por la Proposición 3.2.4 basta probar que el operador δ : P(S1) → B(l2(H)), donde δ(zn) = nXS n−1 =

nai+ j+n−1Ci+ j+n−1 no es polinomialmente acotado. Sea P la (0, 0)-proyección de B(l2(H)) en B(H). Como la proyecciónes completamente contractiva, basta probar que P ◦ δ : P(S1) → B(H) no es completamente acotada. Notemos quePδ(zn+1) = P(n + 1ai+ j+n+1−1Ci+ j+n+1−1) = n + 1anCn.

Supongamos que Pδ es completamente acotado. Para cada n consideremos Wi,n los operadores construidos en elEjemplo 3.3.6 y consideremos qn(z) =

∑n−1i=0 (i+1)aiWi,nzi ∈ M2n (P(S1)). Calculemos la norma de qn(z). Por la Observación

1.3.12, ‖qn(z)‖ = supz0∈S1 ‖qn(z0)‖. Como los Wi,n son isométricos a ln2, fijado z0 ∈ S1, la norma de qn(z0) es exactamente

(∑

i((i + 1)|ai||z0|)2)12 . Tomando supremo sobre z0, deducimos que

‖qn(z)‖ =∑

i

((i + 1)|ai|)2)12 . (3.16)

Observemos ahora que desde el punto de vista tensorial, qn(z) no es otra cosa que∑n−1

i=0 (i + 1)aiWi,n ⊗ zi. Luego(Pδ)2n (qn(z)) =

∑i(i + 1)2(ai)2Wi,n ⊗Ci. Por la desigualdad 3.15, resulta que

‖(Pδ)2n (qn(z))‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∑i

(i + 1ai)2Wi,n ⊗Ci

∥∥∥∥∥∥∥ ≥ 12

∑i

(i + 1)2|ai|2.

Aplicando la igualdad (3.16), tenemos que∑i

(i + 1)2|ai|2

) 12 ‖Pδ‖cb ≥ ‖(Pδ)2n (qn(z))‖

≥12

∑i

(i + 1)2|ai|2.

Finalmente ‖Pδ‖cb ≥12 (

∑n−1i=0 (i + 1)2|ai|

2)12 y tomando límite con n tendiendo a infinito llegamos a una contradicción. �

Corolario 3.3.12 (Contraejemplo de la conjetura de Halmos). Consideremos (an)n≥0 definido como

ak =

{2− j si 2 j = k + 10 si no.

y sea (Ci)i la sucesión de operadores construidas en el Ejemplo 3.3.9. Entonces el operador de Foguel-Hankel con símboloai+ jCi+ j es polinomialmente acotado pero no similar a una contracción.

Demostración. Por los Teoremas 3.3.5 y 3.3.11, basta probar que supn(n + 1)2 ∑k=n−1 |ak |

2 < ∞ mientras que∑

k=0(k +

1)2|ak |2 = ∞. Observemos que el soporte de la sucesión es exactamente la subsucesión a2 j−1 = 2− j Luego, supn(n +

1)2 ∑k=n−1 |ak |

2 = sup j 22 j ∑k= j(2−k)2. Como la serie es de potencias con razón 1

22 , para cada j,

22 j∞∑

k= j

(2−k)2 =22 j

22 j

∞∑k=0

2−2k =43,

de donde obtenemos que sup j 22 j ∑∞k= j(2

−k)2 = 43 . Por otro lado,

∞∑k=0

(k + 1)2|ak |2 =

∞∑j=0

22 j2−2 j = ∞.

�

3.4. Contraejemplo de Foguel 69

3.4. Contraejemplo de Foguel

Para finalizar el capítulo presentaremos el contraejemplo de Foguel [7]. Éste fue el primer ejemplo de un operadorpower-bounded no similar a una contracción. Más tarde Lebow mostró que este ni siquiera era polinomialmente acotado[14].

Consideremos en B(l2) el operador elemental Er,r y el operador de Foguel,

Fr =

(S ∗ Er,r

0 S

).

Recordemos que por la Observación 3.2.2 vale que

Frn =

(S ∗n Xn,r

0 S n

)Donde

Xn,r =

n−1∑k=0

S ∗kEr,rS n−1−k =

n−1∑k=0

Er−k,r−n+k+1

y adoptamos la convención que Ei, j = 0 si i o j < 0. Además sus entradas son 0 o Id ocurriendo éstas últimas a lo largode la antidiagonal i + j = 2r − n + 1, de donde Xn,r es autoadjunto. Observemos que para n > r, Xn,r = 0. Dados r y s, valeque

Xn,rXn,r =

2r+1−n∑l=r−n

El,l, mientras que

Xn,rXn,s =

n∑k,l=0

Er−k,r−n+k+1Es−n+l+1,s−l.

Observemos que cada término de la suma es 0 a menos que r − n + k + 1 = s − n + l + 1, s > n − l − 1, r > n − k + 1,r ≥ k y s ≥ l. De la primera igualdad deducimos que r + k = s + l y reemplazando en las demás desigualdades obtenemosr + k = s + l > n − 1, r > k y s > l. Como 2r > r + k > s + l, vale que 2r > s. Análogamente 2s > r. Luego si 2r + 1 < s o2s + 1 < r entonces Xn,rXn,s = 0.

Teorema 3.4.1 (Foguel). Sea (ak)k una sucesión de números naturales tal que 2ak + 1 < ak+1. Entonces el operador deFoguel con símbolo X =

∑k Eak ,ak es power-bounded.

Demostración. Recordemos que por la Proposición 3.2.3 un operador de Foguel es power-bounded si y sólo si supn ‖Xn‖ <

∞, donde Xn =∑n−1

j=0 S ∗ jXS n−1− j. Debido a que X =∑

k Eak ,ak ,

Xn =

n−1∑j=0

S ∗ jXS n−1− j =

n−1∑j=0

S ∗ j∑

k

Eak ,ak Sn−1− j (3.17)

=∑

k

n−1∑j=0

S ∗ jEak ,ak Sn−1− j =

∑k

Xn,ak .

Notemos que además, como 2ak + 1 < ak+1 y Xn,r es autoadjunto para todo r, entonces para k , l, Xn,ak X∗n,al= 0

Calculemos la norma de Xn.

XnX∗n =∑l,k

Xn,al Xn,ak =∑

l

X2n,al

=∑

l

2al+1−n∑j=al−n

E j, j.

Como los intervalos [al − n, 2al + 1 − n]l son disjuntos dos a dos (ya que al+1 − n > 2al − n + 1), los E j, j no se repiteny luego XnX∗n ≤ IdB(l2). Deducimos que ‖Xn‖ ≤ 1.

�


Para probar que el operador definido en el teorema anterior no es polinomialmente acotado, necesitaremos usar unteorema relativo al álgebra del disco. Su demostración se puede encontrar en [23] Teorema 10.8.

Teorema 3.4.2. Sea (an)n una sucesión de números naturales tal que 2an + 1 < an+1. Sea Γ : A(D) → l2 definida comoΓ( f ) = ( fa1 , fa2 , ...) si f =

∑k=0 fkzk. Entonces Γ es contractiva y sobreyectiva.

Teorema 3.4.3 (Lebow). Sea an una sucesión tal que 2an + 1 < an+1 y sea X =∑

k Eak ,ak . Entonces el operador de Foguelcon símbolo X es power-bounded pero no polinomialmente acotado.

Demostración. Consideremos h ∈ l2 con h j = 1n+1 y (bn)n = (2an + 1)n. Como 2bn + 1 = 2(2an + 1) + 1 < 2an+1 + 1 = bn+1,

podemos aplicar el teorema anterior con (bn)n. Luego existe f ∈ A(D) tal que f (z) =∑

k=0 fkzk con f2ak+1 = 1k+1 .

Supongamos que el operador de Foguel es polinomialmente acotado. Recordemos que un operador polinomialmenteacotado induce un operador ρF : A(D)→ B(H) acotado (ver Corolario 1.2.19), donde ρF(

∑k fkzk) =

∑k fkFk. Como

Fk =

(S ∗ Xk

0 S

),

si consideramos ρF( f ) y proyectamos en la (1, 2)-coordenada, obtenemos que el operador Y =∑

k fkXk es acotado.Recordemos también que por la ecuación (3.17) Xk no es otra cosa que

∑l Xk,al , donde Xk,al es

∑k−1j=0 Eal− j,al−k+ j+1.

Fijemos n y r y calculemos 〈Xn,re0, e0〉.

〈Xn,re0, e0〉 =

⟨∑j

Er− j,r−n+ j+1e0, e0

⟩= 〈δr, jer−n+ j+1, e0〉

= 〈e2r−n+1, e0〉 = δ2r,n−1.

Luego,

〈Xke0, e0〉 =

{fk si existe l con 2al + 1 = k0 si no.

Finalmente 〈Ye0, e0〉 =∑

k f2ak+1 =∑

k1k = ∞.

�

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