Evangelio de Tomas Explicado48688337 El Evangelio de Tomas Explicado
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
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UNIVERSIDAD DE ALICANTE
FACIJLTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALESUNIVERSID¡ ,D DE ALICANTE
Faeultad de Ciencias Er:snónr icas U Empresar ia les
La p re s e nte T e s i s cl e D, 1".*":p"S:.r,:_Sn'-,*I'.o^\fL S* L!"CAS..................,...h a si do rc ¡.i ir;ii-,a cia a I Fo lio .^.....-á
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TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:
RESULTADOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES
U N | / i i : { S i D ¡ \ l l D E A , L I C A N T EFacu i tad de C isn l ; i i , : . ¡ i i ro l l r . : l r i cas y Er "n¡ r resar ia fe$
Re ' r r i i l o e r J " ¡ ' i i ¡ u i r ¡ . r i r r r o sL . i sü f ¡ i i c en e l d ía cJe Ia f echaacorclí¡ ctor,gar, por urranil ir i i i¿:cj, ¿i la Tti i i ; i f¡:, "i,: i i ir¡,r¡111,¡;¡;¡1,, ¡" Doñ+
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Universitat d'Alacant
ruüflLtüüüLiltl! ililt ilil ilil illt ilil ilil Memoria presentada por
JOSEFA TOMAS LUCAS
para optar aI grado de Doctor
en Ciencias Econó¡nicas.
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
D- c¡BIT¿gN HERRERo BLANCo, CATEDRATICA DEL DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DEL
ANALISIS ECONOMICO DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE,
CERTIFICA: Que la presente memoria "TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:
RESULTADOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES" ha sido realizada bajo
su dirección, en el Departamento de Fundamentos del
Análisis Económico de la Universidad de Alicante, por
la licenciada en Matemáticas Dt. Josefa Tomás Lucas y
constituye su Tésis para optar al grado de Doctor en
Ciencias Económicas y Empresariales (sección Económicas).
Y para que conste,
vigente, presento ante
referida Tésis Doctoral.
en cumplimiento de la legislación
la Universidad de Alicante la
firmando el presente certificado en
Alicante, a 28 de Junio de 1994
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Fdo. CARMEN HERRERO BLANCO
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
INDICE
O. INISODUCCION página
0 . 1 . - T e o r í a s P s i c o l ó g i c a s A l t e r n a t i v a s a I a U t i l i d a d E s p e r a d a . . . . . 1
O . 2 . - E I e f e c t o r i e s g o . 4
0 .3 . - E1 e fec to decepc ión 6
0 .4 . - E l e fec to a r repent im ien to . 8
0 .5 . - E l e fec to punto de re fe renc ia . 9
0 .6 . - Avance de1 conten ido . 12
CAPITT]LO 1. I'NA VERSION DE LA TEORIA DEL ARREPENTIüIE{TO:
NE$'LTADOS TEORICOS
7.L . - Teor Ía de l Amepent in ien to de Loomes y Sugden. . . 16
1.2.- Una versión de Ia Teoría del Arrepent imiento:
Ut i l idad Expandida dependiente de Ia di ferencia. 20
1.3 . - Ind ice temperamenta l . 27
1.4.- Ut i l idad Expandida General 4I
1 . 5 . - C o m e n t a r i o s f i n a 1 e s . . . . 5 1
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CAPITULO 2. TEORIA DEL ARREPET{TII{INTO: uN RESULTADO SOBRE DMRSIFICACION
2 . I . - I n t r o d u c c i o n . .
2.2.- La Teoria Hemisimétr ica SSB de Fishburn:
Re lac ión con Ia Teor ia de l Ar repent in ien to . . . .
2 .3 . - SSB con Es tados
2.4 . - Una ap l i cac ión a Ia va lo rac ión de ac t ivos ar r iesgados.
2 . 5 . - C o m e n t a r i o s f i n a l e s . . . . . . . . .
2 . 6 . - A p é n d i c e
CAPITT'LO 3. VERSION EXPAI{DIDA DE LA TEORIA DEL ANREPE}ITII{IENTO:
REST'LTAIAS EXPER I}'iNTALES
3,1 . - Tes ts exper imenta les de los node los a l te rna t ivos a Ia
Teoría de la Ut i l idad Esperada.
3 .2 . - Teor ía de l Ar repent im ien to : Ev idenc ia empí r ica . .
3.3.- Versión Expandida de la TeorÍa del Arrepent iniento:
Test Experimental
3.4.- Apéndice: Resultados del experimento. . .
I < lREFERENCIAS.. . ¿v¡
53
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64
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I I
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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O. INTRODUCCION
O.T.- TEORIAS PSICOLOGICAS ALTERNATIVAS A LA UTILIDAD ESPERADA
O.2.- EL EFECTO RIESGO
O.3.- EFECTO DECEPCION
0.4.. EL EFECTO ARREPENTIMIENTO
O.5.- EL EFECTO PUNTO DE REFERENCIA
O.ó.- AVANCE DEL CONTENIDO
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O.1.- Teorías Psicológicas Alternativas a la Utilidad Esperada
La Teoría de la Utilidad Esperada ha sido considerada como el
paradigma de la elección racional en condiciones de riesgo desde su
introducción y sistematización por Von Neuman y Morgenstern en L944. No
obstante, y desde el principio se han venido observando y reportando
numerosas violaciones de la misma en los procesos reales de decisión.
Posiblemente el primer y más conocido test fue el propuesto por Allais
(1953) que posteriormente desarrollal"on experimentalmente Kahneman y
Tversky 097q. El intento de acomodar las decisiones observadas de los
individuos con una teoría de comportamiento racional ha dado origen a
diversas extensiones, generalizaciones y alternativas a la Teoría de la
Utilidad Esperada.
Varios trabajos recogen los diferentes aspectos de esta literatura.
Appleby y Starmer (1987) revisan las evidencias empíricas contra la Teoría
Clásica; Machina (L987), Sugden (1987) y Weber y Cameren (1987) discuten
las pnopiedades analÍticas de varias teorías alternativas propuestas con el
objetivo de explicar algunas violaciones de la Teoría Clásica; Fishbunn
(1938) y Karni y Schmeidler (1991) revisan las fundamentaciones axiomáticas
de los distintos modelos alternativos; Hey (1991) presenta una panorámica
de estas teorÍas conectada con el desarrollo de tests experimentales de las
mismas y Epstein (1990) presenta algunas aplicaciones económicas de los
modelos para la elección en condiciones de riesgo.
Un hecho importante puesto de manifiesto por todos los trabajos
mencionados, es que no hay hasta la fecha ningún modelo capaz de acomodar
todas las violaciones del modelo clásico. Al igual que otros autores (ver,
por ejemplo, Bernasconi (1991)) pensamos que ninguna de las teorías de las
que hoy disponemos es una altennativa paradigmática a la Teoría de la
Utilidad Esperada y coincidimos con ellos en gu€, en eI futuro, no se
utilizará un único modelo para el análisis de cualquier problema de
decisión en condiciones de riesgo de la misma manera que se ha utilizado la
Teoría Clásica. Suscribimos la opinión de que para el estudio de cada
problema particular, alguna de las teorías disponibles se adecúa mejor
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dependiendo de las características del mismo.
En este sentido, el tipo de problemas en el que hemos estado
interesados se caracteriza por la importancia que en su análisis deben
tener las consideraciones psicológicas. Ello sería así, tanto en los
problemas de decisión de seguro como en problemas relacionados con la
inversión en activos anriesgados. Algunos de estos efectos psicológicos
pueden producir desviaciones sistemáticas del comportamiento predicho por
la Teoría de la Utilidad Esperada justamente en la dirección que constata
la evidencia empírica.
Recogeremos brevemente aquellas teorías que consideramos más
consistentes con las motivaciones psicológicas y los efectos subyacentes.
Ilustraremos las predicciones de las diferentes teonías en un diagrama,
conocido como el triángulo de Marschak-Machina, [Marschak (1950), Machina
l.regrt.
Consideremos un conjunto de tres resultados monetarios -, a *, a *a.
En la figura O.1, el eje vertical representa la probabilidad de recibir el
pago mayor X3, mient¡"as que el eje horizontal mide la probabilidad de
recibir el menor pago, xt. Ya que sólo hay tres pagos posibles, la
probabilidad asociada con *" se puede encontrar, en cualquier caso,
restando de I la suma de las probabilidades de x, y de xa. Natunalmente se
supone que las probabilidades son no negativas, pudiendo sen para loterías
particulares una o dos de ellas nulas.
3
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o z A p t
f ig. o.1
Un juego 5O-5O entre *, Y *, es representado por A = (O.5O, O.5O, O);
un juego 50-50 entre *, Y "g
por B = (0.5O, O, O.5O); la certeza de x, Por
Q = (O, 1, O) y un juego 2O-3O-5O entre xr, xz, x3 por C = (O.2O, O.3O,
O.5O). El conjunto de loterías factibles está entonces acotado por el eie
vertical, pl - O, por el eje horizontal, P3= O, y la parte superior por la
hipotenusa del triangulo.
Los efectos psicológicos que
"efecto riesgo", "efecto decepción",
punto de referencia"l.
O.2.- El efecto riesgo
ilustraremos serán los siguientes:
"efecto arrepentimiento" y "efecto
La Teoría de la Utilidad Espenada define las preferencias en el
conjunto P de todas las distribuciones de probabilidad P = (xr,Pr;
xr,p"i...xn,pn) sobre el conjunto de resultados X (loterías). Como es
conocido, esta teoría se fundamenta en tres axiomas normativos: ordenación
I
Otros efectos de caracter psicológico como por ejemplo el conocidocomo "efecto inCertidumbre", no son considerados aquí puesto que quedan
fuera del objeto de esta memoria en la que nos limitamos al entorno deriesgo (en el sentido de Knight Í92l)). Una excelente panorámica sobre losmodelos de decisión en incertidumbre se recoge en Camerer y Weber (199D.
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(completitud y transitividad de las prefenencias), continuidad e
independencia. Una discusión detallada de estos axiomas puede vense en
Fishburn (1988, capítulo 1). Nuestro intenés aquí va a estar centrado
exclusivamente en los aspectos de esta teorÍa que caracterizan la actitud
frente al riesgo de los individuos.
La potencia y oper.atividad de esta teoría como herramienta en el
análisis de pnoblemas de riesgo, ha sido puesta de manifiesto en numerosas
aplicaciones económicas (ver por ejemplo, Machina Í9aZ y 1987)).
La ca¡'acterística más importante del mapa de indiferencia en el
tniángulo de Marschak-Machina para la Teoría de la Utilidad Esperada es que
las líneas de indiferencia son rectas paralelas. Para verlo, eonsideremos
la utilidad asociada con una lotería cualquiera p = (xr,pr; xz, l-pr-p.;
xa'Pa):
U(p) = pru(xr) + (1-pl-p3)u(xr) + pru(xr)
Sobre una curva de indiferencia U(p) - k, la utilidad es constante, y
la pendiente de la curva que pasa por p viene dada por la derivada
dP.
qque es positiva y constante a lo
u( xr ) -u(x , )
U=k = uq:ffit
largo del triángulo.
Para un individuo neutral al riesgo cuya función de utilidad sobre
la riqueza es lineal, las líneas de indifereneia se eorresponden con las
líneas de valor espenado constante y la pendiente de las mismas vendná dada
por el cociente (xr-xr)/(x"-xr). Para un agente averso al riesgo cuya
función de utilidad será cóncava, las líneas de indiferencia serán más
empinadas que las de valon espenado constante (ver la figura O.2, en la que
las líneas punteadas corresponden al individuo neutral)2. Naturalmente,
U(x ) -U (x )2 l
x -x2 L
U(x . ) -U (x r )
x - x3 2
Ello es así porque la concavidad implica
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para un amante del riesgo,
pendiente. Vemos que el efecto
de las rectas de indiferencia.
las líneas de indiferencia tendr¿ln menor
riesgo se manifiesta alterando la pendiente
f ig. o.2
O.3.- El efecto decepción
El efecto decepción fue introducido por Bell (1985) y Loomes y Sugden
(1986) como una posible explicación de las desviaciones tipo Allais a la
Utilidad Esperada (ver Appleby y Starmer (1987)). Sugieren que los
individuos se forman unas expectativas a priori ante las opciones
arriesgadas de modo que experimentarán frustración o se sentirán
satisfechos según que el resultado que obtengan en definitiva, sea peor o
supere las expectativas que se habían formado.
Este efecto ha sido modelizado recientemente por Gul (1991) en una
forma que caracteriza claramente una actitud de aversión a la frustración.
Formalmente, una lotería p se evalúa mediante:
U(p) =7(a) f u(x , )n, . /a+ ( l - r (a) ) f u(x , )R, . / (1-a)
u (x )>U(p ) u (x )<U(p )
donde "
= I p, para u(x,) > U(p), z(a) = a/Il+[-úFI y F e (-1,o).
Intuitivamente el modelo separa la utilidad de la lotería en dos
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partes, una asociada al regocijo y otra a la decepción de modo que los
pesos tf ') y l-f(a) caracterizan estas actitudes.
Desde el punto de vista axiomático, este modelo conserva los supuestos
de orden de la Utilidad Esperada pero asume una forma más débit de
linealidad en las probabilidades que implica que las curvas de indiferencia
en el triángulo de Marschak-Machina son rectas pero no necesariamente
paralelas. Esta característica hace que esta teoría pertenezca a un clase
más general de modelos caracterizados por cumplir la propiedad de
los "valores intenmedios" (betweerrn""a)3.
El modelo de Gul pnedice para B ) O, rectas de indiferencia que se
abren en abanico, en la parte inferior del triángulo desde un punto situado
al suroeste y en la parte superior desde un punto del nordeste como se
refleja en la figura O.3. Para B ( O se tiene la situación refleja y para B
= O, la teoría se reduce a la Utilidad Espenada.
3
Dadas dospara todo X, Y,e Y también lo
loterías indifenentes X - Y,lo que significa que si eles entne cualquier mezcla
entonces X - pX + (l-p)Y - Y,individuo es indiferente entre Xde ellas y las propias loterías.
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Un ejemplo que ilustraría bien este sentimiento
una carrera un individuo que duda entre apostar
determinado caballo, decide en definitiva no apostar
puede sentir frustación puesto que al no apostar no
O.4.- El efecto arrepentimiento
Otra forma de incorporar sentimientos psicológicos ante el resultado
final de una determinada elección, derivado del rechazo de opciones
alternativas fue propuesta por Bell (1982) y Loomes y Sugden (1982,, 1987) y
se conoce como Teoría del Arepentimiento. La idea central de la Teoría del
Arrepentimiento consiste en incorponar a la evaluación "a priori" de las
opciones alternativas la futura respuesta psicológica del individuo ante el
resultado final. Así, los agentes elegirán "como si" maximizasen la
esperanza de una utilidad modificada por el arrepentimiento/regocijo
refenida a los resultados posibles.
4es el siguiente
': "En
o no a favor de un
y el caballo gana, no
expectativa, en cambio, puede arrepentirse de no haber
diferente".
se ha fijado ninguna
elegido de una forma
Puesto que nos ocuparemos de esta teorÍa con detalle a lo largo de
esta memoria, adelantamos aquí sólamente sus características básicas. Por
una parte, los agentes eligen entre parejas de acciones (vectores de
resultados estado-contíngentes) en el sentido de Savage (1954)) en vez de
sobre lotenías y por otro lado se prescinde de la tnansitividad sobre las
preferencias. La predición de determinados tipos de ciclos ha permitido
explicar (ver, Loomes, Starmer y Sugden (1991a)) comportamientos que no
acomoda la teoría Clásica como la revensión de prefenencias, pero al no
exigir la tnansitividad no hay posibilidad de resolver en general eI
problema de elección entre n alternativas.
La regla de elección de la Teoría del Arrepentimiento se puede
formular en términos de loterías cuando éstas son estocásticamente
Este ejemplo fué propuesto por Sugden (1987, pp. 16).
8
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independientes, lo que conduce como veremos más adelante, bajo los
supuestos específicos de Loomes y Sugden (1987), a gue las curvas de
indiferencia en el triángulo de Marschak-Machina sean rectas que se abren
en abanico desde un punto del suroeste del triángulo.
Estrechamente relacionada con la Teoría del Arrepentimiento, está la
Teonía Bilineal Hemisimétrica (Skew Symmetric Bilinear Theory (SSB)) de
Fishburn (1982) que a pesar de tener un punto de partida absolutamente
diferente, ya que se trata de una teoría normativa fundamentada
axiomáticamente y no de una teoría psieológica, conduce al mismo tipo de
regla de elección. A diferencia de la Teoría del Arrepentimiento la SSB
resuelve el problema de elección entre n loterías aún en el caso de
pneferencias cÍclicas, garantizando la existencia y proporcionando un
método de cálculo de un elemento maximal en un conjunto cualquiera.
O.5.- El efecto punto de referencia
Khaneman y Tversky (L979), pnoponen el siguiente ejemplo que ilustra
eI efecto que pretendemos considena¡-.
Problema 1. Un individuo recibe IOOO libras israelíes sobre su riqueza
inicial y se le plantea el problema de elegir entre:
A: ganar 1OOO libras con probabilidad O.5 o O en otro caso
B: ganar 5OO con segunidad
Problema Z. Un individuo recibe ahora,
libras israelíes y se le pide elegir entre:
C: perder IOOO libras con probabilidad O.5 o
D: perder 5OO con certeza
sob¡"e su riqueza inicial,
O en otro caso
zooo
En términos de la riqueza final, considerando las cantidades
entregadas inicialmente, las dos problemas son idénticos ya 9u€, las
loterías A y C conducen a la lotería (2OOO, O.5; IOOO, O.5) mientnas B y D
dan 15OO como resultado final. Sin embargo, la mayorÍa de la gente prefiere
la opción más seguna B, cuando las loterÍas se presentan en términos de
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ganancias (problema l) y en cambio, eligen la lotería C cuando la
presentación es en forma de péndidas (problema 2).
Kahneman y Tversky (1979) probanon que este tipo de comportamiento
resultaba consistente con eI modelo propuesto por ellos mismos conocido
como Prospect Theony. Más recientemente, Tversky y Khaneman (1990)
presentaron una formulación más general de su propuesta original conocida
como Cumulative Prospect Theory donde:
n - l n nV(xi ,Rr; . . .* ; ,R ) = v(x ' )w(p, . , ) + !v(x,) tw ( f n,) - w( f pt) I
l = 1 J = l " J - l + l
los resultados xl son ordenados de manera que x' si ' 1
una función de ponderación creciente w: [0,1] ------+ [0,1].
. . . = x ' y w ( . )
Esta teonía aparentemente similar a la Teoría de la Utilidad
Anticipada originalmente propuesta por Quiggin Q98D y conocida también
como EURDP (Expected Utility con Rank Dependent Probabilities), tiene
difenencias sustanciales con ella. En primer lugar, los resultados x, deben
interpretarse como ganancias y pérdidas definidas desde un punto de
refenencia, por ejemplo, la riqueza inicial del agente. En segundo lugar,
la función de ponderación w(.) es distinta para las ganancias y para las
pérdidas lo que contribuye a explicar la reflexión observada de las
preferencias. Y por último a la función v(.) se le impone la forma
reflejada en la figura 0.4.
lo
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(i). Pérdida de aversión: la función de valoración
pérdidas que para las ganancias.
(ii). Sensibilidad decreciente: el valor marginal
de pérdidas decrece con su magnitud de manera
para las ganancias y convexa para las pérdidas.
f ig. O.4
Esta fonma para la función viene inducida por dos hipótesis
intuitivas:
es más empinada para las
tanto de ganancias como
que la función es cóncava
Sobre el diagrama de Marschak-Machina, la EURDP y similarmente la
Cumulative Prospect Theory genenan curvas de indifenencia que mantienen un
cierto paralelismo, tienen la misma pendiente a lo largo de la hipotenusa
del triángulo como aparece reflejado en la figura O.5 ( véase, por ejemplo,
Cámerer (1989)).
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f ig. O.5
0.6.- Avance del contenido
La Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden (1982,, 1987) es capaz
de explicar un buen número de violaciones a la teoría clásica, sin embargo,
cuando se han contrastado empíricamente sus supuestos los resultados no han
sido lo suficientemente satisfactorios. Además, la aplicación de este
modelo al análisis de pr-oblemas concretos con más de 2 alternativas tiene
la dificultad de que no resuelve el problema de elección salvo en el caso
de transitividad.
La idea que motivó este trabajo fue doble: Por un lado proponer una
versión de esta teoría que, desde la misma filosofía, fuese operativa a la
hora de analizar problemas concretos en los que la respuesta psicológica
que quiere recoger fuera relevante y que además, acomodase la evidencia
empÍrica obtenida en experimentos recientes. Por otro lado, la posibilidad
de consideran la Teoría del Arrepentimiento como caso particular de la SSB
con estados podía resolver el pnoblema de elección entre n alternativas
incluso en el caso de preferencias cíclicas proporcionando así, un marco
adecuado para el análisis de problemas más complejos.
En el primer capítulo se propone una versión de la TeorÍa
Amepentimiento que denominamos Utilidad Expandida que caracteriza a
del
los
tz
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individuos por su actitud frente al éxitolfracaso. Esta versión permite en
su particularización al caso dependiente de la diferencia analizar los
problemas de decisión de seguro presentados en la memoria "Tres Ensayos
sobre la Teoría del Arrepentimiento: Aplicación a la Demanda de Seguro"
(Sirvent 0994) obteniéndose unos resultados teóricos consistentes con el
comportamiento real de los agentes. La presentación de un índice de
temperamentalidad permite también en este caso realizar una clasificación
de los agentes que aparece como particularmente útil en el análisis de
situaciones en que las preferencias son estado-dependientes. La versión
general de Utilidad Expandida presentada en la última sección acomodaría en
mayor medida que la anterior los resultados empíricos.
El problema de la valoración de títulos con riesgo y la selección de
cartera es un problema complejo. La Teonía de la Utilidad Esperada explica
la diversificación como consecuencia de la aversión al riesgo de los
agentes y penmite, bajo supuestos bastante restrictivos, diseñar carteras
óptimas. En el capítulo dos de esta memoria, nos aproximamos al problema
teniendo en cuenta aspectos que se separan notablemente del tratamiento
tradicional como la incorporación de sentimientos psicológicos distintos de
la aversión al riesgo. La inconporación del arnepentimiento dentro del
marco de la SSB con estados de Fishburn permite explicar la diversificación
por razones distintas de la aversión explícita al riesgo, Al abondar el
problema desde este enfoque, si bien se garantiza la existencia de \¡n
maximal en la envoltura convexa de los títulos disponibles, al no ser tales
elementos maximales accesibles en general para el decisor por tratarse de
soluciones probabilísticas, asociamos a tales soluciones una cartera
accesible que goza de algunas propiedades que entendemos la hacen
"recomendable". Esta cartera resulta fácilmente computable y óptima bajo
determinadas condiciones.
En los últimos años se han incrementado notablemente las
verificaciones empíricas en el labo¡'atorio de las teorÍas altennativas a la
Utilidad Esperada diseñandose experimentos que permiten discriminar de
entre ellas cuales acomodan mejor las respuestas de los individuos. Con el
objetivo de chequear nuestra propuesta de Utildad Expandida hemos realizado
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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un expenimento que a la vez, investiga las respuestas de los individuos en
problemas que simulan decisiones de seguno. El diseño y los resultados del
mismo conforman el capítulo tercero de esta memoria.
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CAPITULO I
UNA VERS¡ON DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:
RESULTADOS TEORICOS
I.I.- TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO DE LOOMES Y SUGDEN
I.2.- UNA VERSION DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO.
UTILIDAD EXPANDIDA DEPENDIENTE DE LA DIFERENCIA
r.3.- INDICE TEMPERAMENTAL
I.4.. UTILIDAD EXPANDIDA GENERAL
1.5.- COMENTARIOS FINALES
15
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1.1.- Teorfa del Arrepentimiento De Loomes y Sugden
La Teoría del Arepentimiento ó Regret Theory introducida simultánea e
independientemente por Bell (fl}ZJ y Loomes & Sugden $g82)l es de
naturaleza esencialmente descriptiva y pnetende explicar el comportamiento
de los decisores sobre la base de sus reacciones psicológicas frente a las
opciones arniesgadas.
La idea central de la Teoría del Amepentimiento consiste en
incorporar en la evaluación a priori de las opciones alternativas, Ia
futura respuesta psicológica del individuo ante el resultado final, el
sentimiento de pena derivado de haber realizado una elección errónea y, en
su caso, el regocijo por haber hecho una elección acertada. Así, los
agentes elegirán "como si" maximizasen la esperanza de una utilidad básica
modificada por eI arrepentimiento o regocijo (regret/rejoicing), referida a
los resultados posibles para cada pareja de opciones alternativas, en cada
estado del mundo.
La elección no se plantea en términos de loterías sino que se
construye una regla de valoración para parejas de aceiones alternativas.
Una acción se define, a partir de un conjunto finito y exhaustivo S de
estados del mundo independientes, como un vector A, = (*lt, xtz, *r,.,)
de resultados estado-contingentes.
Así, x.. es el resultado asociado a la elección de A' u t
A cada estado del mundo le corresponde una probabilidadn
modo oue Ip=1.J=l
-
s .J
de
en
p .J
el estado
conocida,
1
Estos autores presentaronteoría, Loomes y Sugden (1987).
posteriormente una versión más general de la
t6
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Considerando una pareja de acciones posibles Ar, Au supongamos gue se
da el estado de la naturaleza j-ésimo y que el agente eligió A, reehazando
Ao por lo que el resultado experimentado será xrr.
ESTADOS DEL MUNDO
PROBABI L IDADES
La idea clave
el resultado de tal
de su comparación
alternativa A .k
Representando por M(x.., x. .) el' ¡J ' kJ
experiencia compuesta de elegir A,
postula que los agentes eligen como
utilidad modificada:
de la teoría es que la utilidad básica del agente para
elección, vendrá m.ad)Ntna.dn por la reacción psicológica
con el nesultado *uj gu" pudo obtener de haber elegido la
nivel de satisfacción derivado de la
y rechazar A. en el estado s., se' k j -
si maximizasen la esperanza de esta
o, ? ou or!,or'"t*rj' xr,i) - M(xu.,' x,.,)l ! o
Llamando ú(xr,, "*r)
= M(xiJ, *ur) - M(x*r, *rr) la regla de elección
se expresa:
o, i ou orlror*t*u' **r) I o
donde la función r/r(.,.) resulta hemisimétrica pon construcción
independiente de las transformaciones de semejanza de razón positiva.
Loomes y Sugden (1987) en su versión general de la Teoría del
Arrepentimiento imponen las tres condiciones siguientes. OPC: ordenación de
s s s . . sr Z J n
p r p 2 . p J . . p n
xxx . xl l 1 2 l j l n
x x . x . xkl kZ kJ kn
T7
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
los resultados ciertos, I: crecimiento
,/(.,.). Estos supuestos, prescindiendo de
y C: convexidad para la función
los subíndices se expresan:
( O P C ) : x t I < r
( I) : ! l (x,
V¡(x, y) > o
<r ú(x, d '2
V$, zlv) :o
(C ) : x>y>z + $ ( x , z ) > r y ' ( x , y )+
V x , y r z .
úU, z)
Aunque la teorÍa se plantea en término de acciones y
posible analizar sobre el triángulo de Marschak-Machina
líneas de indiferencia.
no
la
de lote¡'ías es
forma de sus
Consideremos dos loterías L y M sobre los resultados z < y < x que
supondnemos estocásticamente independientes y tales que: L = (pr, p", p*) y
M = (q, q , q ). Se tendrá entonces la siguiente matriz de resultados paraz y x
el problema de elección entne L y M donde llamaremo, ú*" = {t(x,z) a la
diferencia entre la utilidad modificada que un individuo consigue cuando el
resultado de su elección es x y la utilidad modificada que tendnía si
hubiera elegido la acción alternativa y hubiera conseguido z. Análogamente
ú*, = ry'(x, y) y ú", = $(y, z\.
p qz z
P"Q" PrQ*
(tz x
Utx z
P"Q, P"Q" p qy x
p q p q p qx z x y x x
L
M
Utz z
{t z z
tltz y
Uty z
Ity z
{t zy
(tvv
{tvv
{t y x
Itxy
{t* .2
{t z x
{t (txy xx
Vt Vtx x
Teniendo en cuenta la propiedad de hemisimetría de la función {t el
individuo será indiferente entre L y M si:
(p"9"- p.9")úy" + (p*ez- prqx){txz + (p*ey- p"g*) ú*y = tl1
l8
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Si tomamos los valones (qr, gy, g*) fijos y traTamos la línea de
indiferencia que pasa por este punto cuando varían (P", P", px), ya que [1)
es una ecuación lineal en pr, py, p*, debe ser una recta. Además, para
cualesquiera valones de (q=, gy, g*) la lfnea definida por tll pasa por el
punto:
Se tendrá pues que todas las curvas de indiferencia pasan por el
punto del plano (pr, p*) definido por [21.
El supuesto C que los propios autores denominan posteriormente de
aversión al arrepentimiento implica que ambas coordenadas son negativas y
este punto estará situado al suroeste del triángulo. Se deduce de ésto que
las lineas de indiferencia se abren en abanico a través del triángulo y
desde este punto.
Esta versión de la Teoría del
oniginal de Loomes y Sugden l1982)
hacía depender de la diferencia €
básicas de los resultados, donde u:
para los individuos aversos al riesgo:
Arrepentimiento venía a generalizar la
en la que la función de valoración se
= u(x) - u(y) entne las utilidades
R [O, 1l es creciente y cóncava
ry'(x, y) = ú(€) + R(€) - R(-€)
R(€) es no decreciente, R(O) = O y tal que R"(€) > R"(-€) V € > O lo que
determina que r/(€) resulte convexa para argumentos positivos.
En el trabajo mencionado Loomes y Sugden (1982) y en Loomes y Sugden
(1983) utilizan esta estructura aditiva particular que les permite explicar
las violaciones más frecuentes a la Teoría de la Utilidad Esperada.
19
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1.2.- Una versión de la TeorÍa del Arrepentimiento. Utilidad Expandida
dependiente de la diferencia2.
En este punto vamos a presentar una versión de la Teoría del
Arrepentimiento dependiente de la diferencia (Loomes y Sugden (Jgg4).
Como punto de partida se
estados del mundo {"r, sz,
probabilidades { pr, pz, pJ,n
IP , = 1 .J= l
'
un sistema finito y exhaustivo de
. "r,
) cuyas correspondientes
supondremos conocidas y tales que
considera
' "J'Pr, )
Se suponen resultados monetarios y que las preferencias de los agentes
sobre los resultados ciertos son representables mediante una función de
utilidad (básica) continua y creciente u:@ ->R donde @ es el conjunto de
resultados. Así, la acción A vendrá asociada al vector de las utilidades
básicas de los resultados en cada estado del mundo.
El problema que enfrenta el agente decisor,
parejas de acciones alternativas que denotaremos A, y
Se tendría la siguíente matriz:
ESTADOS DEL MUNDO
PROBABIL IDADES
es la elección entre
A .2
zLos resultados
"LJna versión de lasegurorr de Sirvent y
formales de esta sección aparecen mayoritariamenteTeoría del Arepentimiento: Aplicación a la demandaTomás (,199D.
ende
s s s . . sl Z J n
p p _ p . . . p^ l ' ? ' j - n
uuu .u1 l 1 2 l j l n
uuu .u21 22 ZJ 2n
20
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Donde u
monetario x..U
( j=1 , 2 , . . , n ) .
¡J
de la
u(xrr) es la utilidad que proporciona
acción A,(i = l, 2) cuando.se da el estado
el resultado
del mundo sJ
de la elección de A, V elDefinicion l.l: Llamaremos utilidad expandida er.,
rechazo de A, en el estado "¡
(i = l, 2, ..., n) a:
'r.,= (tr., - tzJ) h(urr' urr)
donde h(., .) es una medida del arrepentimiento/regocijo.
Definición 1.2: Llamaremos utilidad expandida .r, d" la elección de A, V el
rechazo de A, en el estado ",
(i = l, 2, ..., n) a:
t"r= (utr - trr) h(ur.,' urr)
Obsérvese que en la definición de €-. figurarJutilidad básica u, del resultado de la acción rechazada
del mismo modo en €_- figura u,.. Así, la valoración2J tj
relativizada, por- un lado a través de la diferencia
otro, mediante la función h(u-., u..) i,k = l, 2 i * k.rJ- KJ
que h(.,.) recoge diferentes actitudes psicológicas del
arrepentimiento, regocijo, frustración, responsabilidad...
explícitamente la
en el estado s vJ -
que da doblemente
(u,, - uuJ) Y' PonSe puede entenden
individuo como el
Nótese que en la definición de .rj figura explícitamente la utilidad
báiica u. del resultado de la acción rechazada en el estado s, J del mismo
modo en arJ figura rrJ. Así, la valoración queda doblemente relativizada,
por un lado a través de la diferencia tr, tu, J, por otro, mediante la
función h(u- -, u. -) i, l¡ = 1, 2, i * k. Esta estructura determina, como serJ' kj
verá más adelante, propiedades de simetría en las funciones de valoración.
Es natural imponer que h(urJ,r*j)
otro caso se invertiría el sentido de la valoración relativa básica. Según
2T
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
se tenga h(. .) mayor o menor que la unidad, el efecto sená respectivamente
una expansión o una contracción de la utilidad relativa básica. Se podría
interpretar que h(. .) necoge diferentes actitudes psicológicas del
individuo, arrepentimiento, frustración, regocijo, responsabilidad...
También es natural
u v decrezca con uu - k j
imponen que la utilidad expandida .rj crezca con
Continuando con el esquema de Loomes &
consiste en suponer que la elección se lleva a
maximizasen la esperanza de la utilidad expandida,
Sugden, nuestra propuesta
cabo como si los agentes
esto es:
A > At - 2
< + I p ( e - € ) = o, I r ' i u 2 J
Definiendo ú(urJ,
utilidad expandida para
s., resulta:J
que nepresenta
y el rechazo de A
balance de
en el estado
u )zJla
E
l j
elección
el
z
- €2J
d e AI
Ft',.,' "ú(urJ, trr) = (tr, - trr) ,J) * h(urJ' trr']
urr) > o
H(urj, rrr)
Ú(urj' trr) = (t'
es entonces:
Definiendo la función expansora H(ur1, urr),
h(u.. , u^,) + h(u^:, u-.) resulta simétr ica y la funciónu' 2J 2J' lj
- u^.) H(u-., ¡^.), hemisimétrica. La regla de elecciónzJ lj- 2J
A > Al " 2
* ,!, P, ú(',,'
y la función de valoración resulta independiente de las transformaciones de
semejanza de razón positiva.
Esta regla de elección entre pares de acciones alternativas no
zz
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
proporcionará en general una ordenación completa de las preferencias sobre
el conjunto de acciones, pudiendo presentarse ciclos cuando se valoran tnes
o más. Son numerosos los experimentos que evidencian prefenencias cíclicas
en determinados problemas de elección en condiciones de riesgo (Véanse por
ejemplo, Tversky (1969), Fishburn (1988) y Loomes, Starmer y Sugden (1989,
l99l)), por lo que dar cabida a esta posibilidad dentro de nuestro modelo
no puede ser considerado como una debilidad del mismo.
Nótese también que la representación obtenida para las preferencias
entre pares de acciones, resulta independiente de las transformaciones de
semejanza de razón positiva sobre h y en consecuencia sobre H y ú, de modo
que h y c,h con cr)O, modelizan al mismo agente.
Al objeto de hacer operativas las propuestas anteriores, impondremos:
HIPOTESIS A.l. h: R -+ R depende sólo de la diferencia €, = *rJ u' en cada
estado s- del mundo, con lo queJ
H(€r) = h(€r) + h(-€j) > o y por tanto, ú(€.¡) = €jH(€J)
La regla de elección se expresa ahona:
I e^ o Ip.€.H(€.) > o¿ . L - J J J
J = l
- i p. r/(€.) = o: ? r r J
En el caso de que H(.) sea constante,
a la de Von Neumann y Morgenstenn.
la regla anterior comespondería
cuando H({) = I + R(€) : R(-€), ""
correspondenía con la regla de' €
elección de Loomes y Sugden (1982).
23
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Por simplificar
subíndice j.
Formalmente, el
y a su derivada h'({)
HIPOTESIS 4.2.
El supuesto S.l,
posibilidad de que los
para los que pueda
propiedad esta última
Morgenstern.
S.2 es un supuesto
versión más general.
El supuesto
expandida e, con la
h ( € ) + € h ' ( € ) > o
de
S.l : h(€) > O, V€ + O, h(O) > O
S,2: h(€) es de clase C2
s.3: h(€) + {h'({) > o V€ * o
S.4 : h ' (€ ) - h ' ( -€ ) o b ien h ' ( { ) s h ' ( -€ ) VE > O
+ R(€. ) -R(-€. ) l > oJ J
prescindimos a partir de ahora del
la util idad
€2, es decir,
su vez que
ei1
A < - > I p2 " ' 1
J = l -
la notación
r€,
conjunto de supuestos que exigiremos a la función h(€)
será el siguiente,
además de imponer que h(€) = O V€, excluye la
agentes consideren indistinguibles estados del mundo
obtenerse distinto resultado según la elección,
que también verifican los agentes Von Neumann y
técnico del que se podría prescindir en una
S.3, plasma el crecimiento regular de
utilidad relativa € y el decrecimiento dede
significa que t > o V € * o y ad€
2 = -h(-€) + {h,(-€) = -th(-€) - €h'(-E)l < o.dE
Las condiciones alternativas del supuesto S.4 determinan dos
actitudes temperamentales distintas a la hora de expandir o contraer la
valoración relativa básica, lo que permite clasificar a los individuos en:
24
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
"Temperamentales frente al éxito/fracaso" cuando:
h ' ( { ) = h ' ( -€ ) , €> o
"Tibios frente al éxito/fracaso" cuando:
h ' ( { ) s h ' ( -€ ) , €> o
Estas condiciones pueden interpretarse de la siguiente manera: los
agentes temperamentales son aquellos que manifiestan una mayor sensibilidad
frente a las ganancias que frente a las pérdidas en términos de utilidad
relativa, mientras que los individuos que hemos llamado tibios son más
sensibles frente a estas últimas. Las diferencias de sensibilidad en la
valoración de pérdidas y ganancias en términos absolutos, han sido
apuntadas por otros autores como por ejemplo Kahnemann y Tversky
(1979,1991) y Sugden (1987).
Por otra parte, estas condiciones garantizan una mínima regularidad
de comportamiento gü€, además de hacer manejable la teoría, permiten
abarcar una gran variedad de respuestas psicológicas.
CONSECUENCIAS DE A.l Y A.2z
a) H(€) = h(€) + h(-€) t o VE * o, H(o) = o.
b) H(€) = H (-€) Y€
c) H(€) es de clase
(simetría).
Cz por serlo h({).
d) H'(€) = h'(€) - h'(-€) Y€ de manena 9u€, por S.4, se
tendriin las dos siguientes posibilidades:
( i ) H ' ( € ) 2 0 , c u a n d o { > O y p o r s i m e t r í a d e H ( € ) , H ' ( € ) = O c u a n d o
€ < O con lo que H(€) será cuasiconvexa V€ y el individuo será
temperamental, o bien:
(ii) H'(€) s O, cuando { > O y H(€) es cuasicóncava V{ pero
no puede ser cóncav?, 13 que H({) > O V € y el individuo será tibio frente
E
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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al éxito,/fracaso.
(iii) En cualquien caso H'(Q) = 9.
Cuando H(.) es cuasiconvexa, reflejarfa actitudes en las que se
resaltan las utilidades relativas grandes: "amor al éxito" (figura 1.1(a)).
Por el contrario, cuando H(.) sea cuasicóncava, quedarían resaltadas las
pequeñas utilidades relativas: "tibieza frente al éxito" (figuna 1.1(b)).
f i g . t . 1 ( a )
e) La función ú(€) = €H(€) es de clase C2.
f) r/(€) = q H(€) = - t (-€) (hemisimetría) y ú{O) = o
C) t/(€) es estrictamente creciente:
t/(€) = €H(€)=
det / ' ( € )
d€creciente V{.
r ' l{ ln({)+h(-€) l = €h(€)
L J
dez ) o, v{*o y como
d€
f i e . l . l ( b )
€ - €t 2
será estrictamente
[-enr-er] =
ú(O)=O, t / (€)
26
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
De todo lo anterior se concluye que r/(€) será cuasimonotónica
estricta, es decin, cuasicóncava y cuasiconvexa estricta.
Loomes y Sugden lJ98D consiguen explicar las paradojas más
frecuentes de la Utilidad Espenada haciendo la hipótesis de que {tl-) es
convexa estricta para argumentos positivos, siendo razones empíricas las
que les inclinan a imponer esta condición.
Desde la perspectiva más amplia de la versión expandida en la que
t/(.) es cuasimonotónica, se puede dar cabida no sólo al supuesto anterior
sino a otras respuestas incluso opuestas, que también se reflejan en los
mismos experimentos.
1.3.- Indice temperamental TAU.
La versión expandida de la teorÍa del arrepentimiento postula dos
tipos básicos de respuesta psicológica frente al posible éxito o fracaso en
los problemas de elección entre pares de alternativas en condiciones de
riesgo, que han sido denominados actitud temperamental y actitud de
tibieza.
Recordemos que los agentes temperamentales son aquellos que, en cada
estado del mundo, expanden la correspondiente utilidad relativa mediante
una función que es creciente para los argumentos positivos, lo que equivale
a decir que esta clase de agentes resalta en la valoración a priori de las
acciones, precisamente las mayones diferencias de utilidad. Por su parte,
los agentes tibios resaltan las pequeñas utilidades relativas al
expandirlas mediante una función que es decreciente para argumentos
positivos. Los agentes con función expansora constante (neutrales frente al
éxito/fracaso) valoran los pares de acciones maximizando la esperanza de la
utilidad relativa: son los agentes Von Neumann y Morgenstern.
Vinculada la actitud frente al niesgo a la forma (cóncava o convexa)
de la función de utilidad básica u(.) sobre los resultados monetarios
ciertos, el índice de Arrow-Pratt (Pratt (1964)) resulta una medida local
27
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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adecuada de la intensidad o grado
decisores cuando enfrentan problemas
Et índice relativo de Arrow-Pratt
de aversión al riesgo de los agentes
de elección en condiciones de riesgo.
no es más que la elasticidad de la
fndice absoluto la derivada
como una medida del grado local
de utilidad particular de cada
utilidad marginal de la riqueza y el
logarftmica de esta misma utilidad marginal
de concavidad (curvatura) de la función
individuo.
Al tener en cuenta la respuesta temperamental de los agentes en
problemas de elección en condiciones de riesgo con resultados monetarios,
nos proponemos construir un índice que mida la intensidad y el sentido de
dicha actitud, variables de un individuo a otro. Puesto que las actitudes
frente al éxitolfracaso han sido vinculadas al carácter creciente o
decreciente de la función expansora, parece natural definir tal índice a
través de la derivada loganítmica y de la elasticidad de la mencionada
función expansora.
1.3.1.- Indice local absoluto
Proponemos ahora un índice, que llamaremos índice temperamental TAU
(z) como medida larÁL de la actitud frente al éxito/fracaso de los
individuos dentro del modelo de Utilidad Expandida.
Exigiremos que dicho índice tome el valor cero para los agentes que no
manifiestan actitud frente al éxito/fracaso, es decir, para los agentes Von
Neumann-Morgenstern, con H'({) = h'(€) - h'(-€) = O V € y que sea creciente
con la intensidad del grado temperamental, de modo que r < O para los
agentes tibios y r > O para los agentes temperamentales.
Es claro que habiéndose definido la actitud global frente al
éxitolfracaso a tnavés del signo de H'(€) para € ) O, el índice debe
relacionarse con la derivada de la función expansora H({), pero también es
claro que H'(€) no es una medida adecuada por no ser independiente de las
transformaciones de semeja¡za de razón positiva, es por ello que damos la
siguiente definición:
2a
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Definición 1.3: Para cada
temperamental absoluto t(€)
cociente:
utilidad relativa €
del agente con función
O llamamos índice
expansora H({), al
H' (€ )r(€) =
H(€ )
Como H(€) es estrictamente positiva V € * O, la función t(€) está bien
definida para todo tipo de agentes, siendo además diferenciable V € > O.
Obsénvese que una utilidad relativa nula, determina que el estado del
mundo que la genera es irrelevante en la elección. Ello es así en la Teoría
Clásica de la Utilidad Esperada y también en nuestra versión de Teoría del
Arrepentimiento. Por ello, el que t(€) no esté definido en general en el
origen, no afecta a los resultados.
Comprobaremos ahora que z({) verifica las siguientes propiedades:
Propiedad l.l.- Siempre que z({) mantenga signo constante V { > O el índice
permite clasificar a los agentes en tibios, neutrales y temperamentales
frente al éxito/fracaso.
(i) z(€) = O V€>O <+ el agente es neutral al éxito/fracaso:
z({} = O V€>O <+ H'(€) = O Y€>O e H(€) es constante e ú(€) es lineal,
es decir se trata de agentes Von Neumann & Morgenstern.
(iil t(€) > O V€>O e el agente es temperamental:
z(€) =
(iii) z(€) < o
éxito,/frecaso.
H' (E) > oH(€)
<+ H'(€) ) O, por ser H(€) > O, V€.
V{>O <+ H'(€) < O
29
el agente es tibio frente al
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Se está suponiendo que H(E) es no estacionania. Si se incluye esta
posibilidad, agentes aversos o tibios podrían localmente comportarse como
neutros frente al éxito.áracaso.
Propiedad 1.2.- EI lndice temperamental z(€) es independiente de las
transformaciones de semejanza de raz6n positiva.
Como sabemos, HA(€) y Hr(€) = c Hn(€) con c ) o modelizan el mismo
tipo de agente. Se tendná entonces:
Propiedad 1.3.- Para cada valor fijo €o, el fndice temperamental r(€o)
establece una ordenación de los agentes según su grado temperamental.
Fijada la utilidad relativa € = €o ) O, el índice temperamental
zo= r(€o) dependerá del valor Ho= H(€o) y de la pendiente H'o= H'(€o) de
la función H(€) del agente, de modo que ro= z(H'o,Ho), entonces:
(i)
6 r €o - n= - ) ñ
E H ' Ho o
El grado de temperamentalidad crece con la pendiente de la función utt €o.
( i i )
0 t H 'o o = - ..............- de modo que:
ó Ho [Ho ]z
30
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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6 r o
A Ho
> O cuando el agente es tibio frente al éxito
0 r o ( o c u a n d o e lA H
o
con lo que la intensidad de
agentes tibios y decrece para
agente es temperamental
la actitud temperamental
los temperamentales.
con Ho
para los
1.3.2.- Indice local relativo z*(€).
Definición 1.4: Para cada utilidad relativa € ) O, llamamos indice
temperamental relativo z*(€) del agente con función expansora H({) a Ia
elasticidad de dicha función:
z*(€) = € #E €>o
Este indice cumple las propiedades de discriminación de los agentes
(temperamentales, neutrales y tibios frente al éxito,4racaso),
independencia de las tnansformaciones de semejanza de razón positiva y
ranking de los agentes por su gnado temperamental.
1.3.3.- Indice temperamental y geometrÍa de las funciones H(€) V ú(€).
Considerando p(€) = H"(€) (opuesto del índice de Arow-Pratt paraH ' ( € )
H(€)) como uDa medida de la curvatuna-convexidad para la función H(€) y
z(€) como una medida del crecimiento, es posible obtener el siguiente
conjunto de caracterizaciones geométricas de los índices z(€) y zR(€), que
determinan a su vez formas particulares para las funciones expansora y de
valoración.
31
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1.3.4.- Indices temperamentales z(€) y t*(€) constantes y monótonos.
Considerando r(€) = r constante Y E > O, la variación de la expansión
es proporcional en cada punto al valor de la misma. La clase de funciones
que expande la utilidad relativa de los agentes en cada estado es:¡F
H(€) = C e'=, C ) O, por independencia de las transformaciones de semejanza
de razón positiva podemos tomar C =1 (ver fig. 1.2(d y 1.2(b)).
f ie. 1.Zl .a) f i e . 1 . 2 ( b )
Para los agentes de temperamento constante se tiene la siguiente
propiedad.
Propiedad 1.4.- Si T es constante se cumple que la función de valoración
r/(€) es cóncava en todo el intervalo significativo de las utilidades
relativas para el caso de agentes tibios y convexa en dicho intervalo para
el caso de agentes temperamentales.
H ( € ) H " ( € ) - [ H ' ( € ) ] 2Ya que z'({) =
tH (€ ) I 2= O , € > O
lo que impl ica H(€) H"(€) = [H'(€)]2
32
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
y dividiendo por H(q)H'(€) * O, V € > O se tiene que:
7 = H ' ( € ) - H " ( € )
v € > oH ( € ) H ' ( € )
El crecimiento de la función r/(€) exige que r
,/r'({) = H(€) + {H'({) y en consecuencia
_ T = _ H ' , ( € ) _ _ H " ( € ) . I . 2- T - ' - T - { e ( O ' l lH ( € l H ' ( € )
Puesto que ry'"({) = 2 H'(€) + { H"({) concluimos que:
H ' ( € ) > O - - - + H " ( { ) > O y ú " ( € ) > o , { e ( o , 1 l
H ' ( € ) < O - - - + H " ( € ) < O y r ¿ " ( € ) < 0 , { e ( O , l J
Esta propiedad se puede formular como la condición geométrica:
Para cualquier tipo de agentes, z'(€) = O e p(€) = z(€), V€>O
Propiedad 1.5.- Para un agente temperamental se tiene que el Índice r(€) es
monótono creciente si y sólo si p(€) > r(€) para { > O y las funciones
expansora U(€) y de valoración ú(€), son ambas convexas para { > O.
z'(€) > o c=+ H(€)H"(€) > tH'(€)12
como H'(€) > O, dividiendo por H({) H'({) tendremos:
H " ( € ) H ' ( € )
H ' ( € ) H ( € )
e p(g) > ¡ (€) > o
Como p(€) > O se concluye que H"(€) > o y puesto que ry'"({) = 2H'(€)
+ { H"(€), será ry'"(€) > O.
Propiedad 1.6.- Para un agente temperamental se tiene que:
z'({) < o e p(€) < t(€) V € > o.
33
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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En este caso, no está determinada la forma particular para las
funciones H(€) y t/(€).
Propiedad 1.7.- Para un agente tibio se tiene que: t'(€) < O e p(€) > z(€)
V € > O y la función de valoración rl(€) es cóncava.
z'(€) < o c+ H(€)H"(€) < tH'(€)12
como H'({) < O, dividiendo por H(€) H'(€) < O tendremos:
H " ( € ) H ' , ( € ): > .+
H' (€ ) H (€ )
(=+ p(€) > z(€)
H' l l l t . , ^ ^ r ^ r , , ^ ^ H" (€ )_ L . 2como --::S:> V € > O, se deduce - -- - --
H ( € ) € H ' ( E )
y como H'(q) < o + -€ H"(€) > 2 H'(€) es decin 2 H'(E) + { H"({) < O
y por tanto ry'"(€) < O.
Propiedad 1.8.- Para un agente tibio se tiene que: r'(€) > O <+ p(€) <
r(€), v €>o.
Nótese que como p(€) < z(€) < O, sólo tiene sentido que H"(€) < O. En
estas condiciones si p(€)
limitada, se puede garantizar que r/({) es cóncava para { > O.
Los agentes con z*(€) constante tienen funciones expansoras del tipoT
H(€) = € * por lo que no existirán agentes tibios de esta clase al no estar
definida para ellos la función expansora en el onigen, y sólamente los
agentes temperamentales con H(O) = O pueden sen de esta clase.
Propiedad 1.9.- Para los agentes con fndice t*(€) constante, la función
ú(€) es convexa Y € > O y Ia función expansora H(€) es cóncava o convexa
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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según que O < TR(€) < I ó TR(€) > I respectivamente.
T - l T - 2Siendo H'(€) = TR
tendremos' H" (q)
H ' ( € )
€ * H " ( € ) = z * ( z * - l ) € R
T - 1R=--T- H ' ( € )
H ( € )
TR= - -
H" (€ ) = H ' ( € ) _ 1
H ' , (€ ) H (€ ) E
H" (g )_ I H ' (E ) . L . 2- -r ' (€) ---
"(€)-E-Tentonces -E H"(E) < 2H'(€), es decir, 2H'(€) + { H"({) = = ú"(€) > 0
y la función ú(€) es convexa para { > O en los agentes temperamentales con
Índice relativo constante. Entonces:
t * t 1 <+ H"(€) ¡ O, Tp = I e H"(€) = O y "*
. I e H"({ ) < O.
que corresponden a los casos (a), (b) y (c) r'eflejados en la figura 1.3.
( a - l ( b )
f ig. 1.3
Para todos estos agentes, el indice
decreciente ya que r*(€) = € z(€).
temperamental absoluto es
Pana el análisis de los casos de temperamento relativo monótono
(a- l
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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tendremos en cuenta que ti(€) se puede escribir como:
I z'lt ¡ { , ' (E ) H ' (€ ) - l _zl({)= z(€) + € l ' - ---; | - r(€) + €z'(€)^ L H(€) H(€)" J
r ' lcon H'({) + o, zi(€) se expresa: zi(€) = z(€)
Lt * Etotq) - z{€)lJ
y resultan inmediatas las siguientes caracterizaciones para el índice
relativo.
Propiedad l.lO.- Para un agente temperamental se tiene:
( i ) . z i ( { ) = oep(€ ) =z (€ ) - * t o vg>o .
( i i ) . z i ( { ) >o<¡p (€ ) >z (€ ) - f , o v€>o .
(ü tü ) . r i (€ ) ( oep(€) < z (€) - * t o v €>o.
(üv). En los casos (i) e (¿¿) en que p(€) es positivo se puede asegurar la
convexidad de las funciones H(€) V ú(€).
tp(€ ) >z (€ ) - t t o imp l i caqueH" ( { ) > o lo que asuvez imp l i ca
Vr"(€) > o.
Propiedad l.ll.- Para un agente tibio se tiene que:
zi(€) < o e p(€) > z(€) + v €>o.
zi(€) > o e p(€) < z(€) + v €>o.
Recuérdese que no existen agentes tibios con índice relativo constante.
1.3.5.- Indice temperamental para un problema dado.
Hemos definido el índice r(€) para una utilidad relativa fija go.
Pretendemos ahora definir un índice que sea una medida global de la actitud
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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frente al éxitolfracaso de cada individuo para cada problema de elección
entre un par de alternativas.
A todo problema de elección entre un par de alternativas A, y A, en
condiciones de riesgo, se asocia un vector € = (€r, €2,...€,.,) cuyas
componentes son las utilidades relativas gue, en cada estado del mundo,
supone la elección de A, y el rechazo de A". De esta forma, el problema de
elección entre A v A está vinculado al vector de utilidades relativasl ' z
€ = (€r, €2, €r,).
El primer paso para construir un índice temperamental para este
pnoblema consiste en reducir" el vector de utilidades relativas a un escalar
único € qu" mida la "utilidad relativa global" del problema en cuestión.
Como medida global € de la utilidad relativa del problema parece
natural adoptar la norma del vector, que mediría la intensidad resultante
de las utilidades relativas en cada estado del mundo. Tomaremos | = ll{ll,que pondera por igual la utilidad relativa de todos los estados del mundo.
Consideremos, a modo de ilustración, un problema con sólo dos estados
de la siguiente forma:
I -tt
donde €r= u(xrr) - u(xrr) y €, = t(*rr) - u(xrr)
Tomando la distancia u¡tAann E = ll€ll, = l€rl * l€rl "omo medida de la
utilidad relativa global del problema, observemos (figura 1.4), que todos
los puntos sobre MN,NP, PQ, y QM se asocian a problemas con la misma
utilidad relativa global. De entne los vectores cuya norma es f, existe un
único vector (or, c) con resultado cie¡"to o = ltZ > O que representa a todos
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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los problemas cuya utilidad relativa global es €. Si, de entre tales
problemas, seleccionamos el que enfrenta la acción cierta E = (E/2, EIZ)
frente a la acción (O, O) para los mismos estados del mundo, este problema
elemental tiene la misma utilidad relativa global que el problema planteado
entre Ar l Ar.
' - - - - /T\
. a l
z l
, ' It l
, l<--! t
III
1l- - - - - - - l
En general
generado por
O = ( O , . . . , O ) .
f ig . 1 .4
n
l l€l l , =r lE,l , EJ = l "
es equivalente al
- ( €- \ n t
generado
F. ,i). el regocijo
por (E, O), con
s i € =
( A . A )r ' 2
Podríamos dar entonces la siguiente definición:
Definición 1.5.- Para un
un agente expansor de la
problema dado, definimos el indice
utilidad relativa como:
- H ' (E)z({ )= -a-- ,8=l l€ l l ,
H ( € )
global r de
T =
38
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2.1 6.- Prima de arrepentimiento asociada a un problema.
Sea el problema P siguiente:
Estados del mundo ", " ,
. . . "J "r , n
Probab i l i dades Í , n r . . . nJ . . . t r n , _ I r o r= t
uuuu1 l 1 2 r J l n
uuuu2 r 2 z 2 J 2 n
Acción A
Acción A
I
2
con €j = trJ- trJ siendo € = (€r, Er, €,r) el vector de utilidades
relativas y € = I l€,¡. Llamaremos equivalente temperamental de P a E =
- J = l J ' P
tr-r, siendo n el número de estados del mundo.
Definición 1.6: Para cada problema P cuyo vector de utilidades relativas
sea {, llamaremos prima de arrepentimiento asociada, al vector A{ tal que:
FFo€, +
- € , pa ra€r= o y A€ i= - i - € rpara€r . o
Proposición l.l- Dado el problema P, si el vector { de utilidades relativas
se incrementa en la prima de amepentimiento, se obtiene un nuevo problema
con vector €' = € + A€ para el cual la elección es independiente de la
actitud frente al éxito./fracaso.
Prueba. Definiendo los conjuntos
s + = { s . / E . > O ' , y s - = { s . , / € . < O }J - J - J - J
y llamando ol = n, si s, e s* y ol= o, si sre s- podemos reordenar los
estados del mundo y considerar el pno&tnma qtrptwod,o P':
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tÍn
+It
I
+It
k
+Í
zTT
k + l
A'I
A '2
€ €n n
I
n o
€n
cuyo vector de utilidades relativas es
F F E{ '= ( - -> . . - : - . - -- n n n
El problema compensado P' es equivalente a:
¡.para el cual se tiene obviamente eue Ai'> Ar' e+ i "i
= * ""
decir, losJ = l
resultados de las acciones hacen que la elección entne A;' y A;'
(equivalentemente entre A; y A; en P') resulte independiente de la accitud
frente al éxito/fnacaso.
Obsérvese que {'= € + ¿€ de modo que:
€, = €r+ a€, cuando €r= O
a
n
F
n
€, = €r* o€., + cuando €r. o
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Los A{. en cada s. vienen a compensar el- i J
asociado a, los resultados enfrentados , de modo
la respuesta temperamental de los agentes.
Obsérvese cómo a diferencia de la prima
vinculada a la forma de la utilidad de cada
ciertos, la prima de arrepentimiento aquí
problema bina¡"io de elección concreto ante el
responde de una manera distinta.
1.3.- Utilidad Expandida General
arrepentimiento o regocijo
que el vector A{ equilibra
de riesgo clásica que está
agente sobre los resultados
definida está asociada al
que cada agente particular
10 zo
T4
En esta sección se presenta una generalización de la versión Expandida
dependiente de la diferencia que se introdujo en la sección 1.1.
La motivación de esta extensión fueron los resultados de algunos
experimentos como los de Loomes (1989), Hey y Di Cagno (1990) y Hey y Orme
(1993). Hey y Orme en particular, plantearon a 80 individuos cien problemas
de elección entre pares de alternativas que involucraban cuatro resultados
distintos en grupos de tres, lo que les permitió estimar las lineas de
indiferencia de los encuestados a partir de las respuestas a 25 cuestiones
sobre cada uno de los triángulos de Marschak'Machina siguientes en los que
las cantidades corresponden a libras esterlinas:
Tl: O, lO, 2O; T2: O, lO, 30; T3: O,2O, 3Q; T4: lO, ZO, 30
La figura 1.5 muestra los triángulos en el plano (*, y) de resultados.
1 0 2 0
T1
3 0l o3 01 03 0 2 0
T3
fig. 1.5
4l
/
/
T2
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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El objeto de dicho experimento
indiferencia para cada individuo en
entre las teorías alternativas a la
propiedad de los valones intermedios
mejor a los datos obtenidos.
era el de estimar las líneas de
cada triángulo para determinar, de
Utilidad Esperada que verifican la
(betweenness), cuales se ajustaban
individuos no
respecto a su
La Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden (198?) predice que
las líneas de indiferencia se abnen en abanico a lo largo de los triángulos
desde un punto al suroeste. Este hecho viene implicado pon la condición de
aversión al arrepentimiento o de convexidad:
ú ( x , x ) > ú ( x , x . . ) + r / ( x . . , x )max m¡n max meolo meoto mtn
( * )
Con los datos del experimento se chequeó esta condición con el
objetivo de computar cuantos individuos eran compatibles con ella a lo
largo de los cuatro triángulos. Los resultados fueron: el 157. de los
individuos verificó la condición (*) en los cuatro triángulos, el 167.
verificaron la desigualdad no estricta rr<rr mientnas el 3O7" de los
individuos cambiaba el sentido de la desigualdad de ) a = de unos
triángulos a otros. El comportamiento del resto de
estaría de acuerdo con el cnecimento de la función
primera componente en alguno de los triángulos3.
los
{t
La intención de esta extensión de nuestra versión expandida de la
TeorÍa del Arrepentimiento, no es otra que la de acomodar en mayor medida
las predicciones del modelo a esta evidencia experimental, lo que nos lleva
a una redefinición de las actitudes de temperamentalidad y tibieza que abra
la posibilidad de que los agentes puedan cambiar su actitud como de hecho
se observa empíricamente.
3
El propio Hey señala que estos resultados deben leerse con precaución,ya que se tnata de una muestra de 80 individuos pero que a la vez no haymotivo para pensar que son menos representativos que cualesquiera otrosobtenidos en distintos experimentos (ver, Hey y Orme (1993)).
42
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Recordemos de la sección l.l que el problema que enfrenta el agente
decisor, es la eleóción entre parejas de acciones alternativas que
denotamos A, ! Ar, donde la matriz de resultados viene dada por:
La regla de elección viene dada por:
A > A € l p ( e - € ) > Ot - z tZr ' i l i zJ
donde .rJ= (rrJ - trr) h(urr, urr) y e= (u -u )h (u u )2J 2J lj zJ- lj
ú(ur,, trr) = .rj - .rJ representaría el balance de utilidad expandida
para la elección de A, y el rechazo de L" en el estado =J y definiendo
H(urJ, trr) = h(urj, trj) + h(uzj, trr) que llamamos función expansora la
regla de elección se expresa:
ESTADOS DEL MUNDO
PROBABILIDADES
A > At - 2
A > Al ' 2
* ,i,
o, ú(t,r' *rr) = o o bien
n
c > t p ( u - u ) H ( u u ) > O,],
' i u 2J r i ' 2J
Cuando H(., .) es constante, la regla anterior correspondería a la de
Von Neumann y Morgenstern según la cual, los agentes maximizan la esperanza
de la utilidad relativa (rr, - urr).
Prescindiendo ahora de la hipótesis A.l de la sección 1.1 por la que
" , s 2 .
" J . . . s n
p l p 2 . p J . . p n
u u . u . ul l 1 2 l J l n
uu . . u .uZl ZZ 2J 2n
43
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
la función h(.,.) se hacía depender de la difenencia entre las utilidades
básicas y de la diferenciabilidad, los supuestos formales que exigiremos,
donde por agilidad en la notación llamaremos x = trJ e y = tz,, son los
siguientes:
S1': h(x, y) > o v x + X ; h(x, x) ¿ O Vx.
S2': h(x,y) es continua en R2.
S3 ' : V z , x > y imp l ica (x - z ) h (x , y ) > (y - z ) h (y , z )
y también (z - x) h(2, x) < (z - y) h(2, y)
S4': V x > y > z se verifica:
h(x,z) > h(x,y) + h(y,z) y h(z,x) > h(y,d + h(x,z)
h(x,z) = h(x,y) + h(y,z) y h(z,x) s h(y,x) + h(x,z)o bien
El primer supuesto S1' prohibe que la expansión altere el sentido de
la valoración relativa básica (x - y) de forma análoga a como lo hace el
supuesto Sl en la versión dependiente de la diferencia. Según se tenga
h(x, y) mayor o menor que la unidad, el efecto será respectivamente de una
expansión o de una contracción de la utilidad relativa básica.
En el segundo supuesto SZ' se prohibe que la valoración cambie
bruscamente para pequeñas variaciones en los resultados.
El supuesto 53' impone, como parece natural, gu€ la utilidad expandida
crezca con el resultado de la acción elegida y decrezca con el resultado de
la opción rechazada, es decir, e(x, z) > €(y, z) y e(2, x) < e(2, y).
El supuesto 54' es un supuesto de regularidad que permite definir a
través de la función expansora H(x,y) = h(x,y) + h(y,x), los dos tipos de
agentes siguientes:
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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"Temperamentales" cuando H(x,z) > H(x,y) + H(y,z) V x > y > z
"Tibios" ante el éxito/fracaso cuando H(x,z) s H(x,y) + H(y,z) Y x > y > z
Consecuencias:
Cl: H(x, y) = h(x, y) + h(y, x) > O V x + y ; H(x, x) = o
C2t H(x, y) = H(y, x): La función expansora es simétrica con respecto a la
recta J = x por definición.
C3: H(x,y) es continua en R2 por serlo h(x,y)
C4; x > y implica ry'(x, y) = (x - y) H(x, y) > O, que se corresponde con
el supuesto OPC de Loomes y Sugden (1987).
C5: ú(x, y) = - ú(y, x): La función de valoración es hemisimétrica y por
tanto Vr(x, x) = O.
C6z ry'(x, y) es continua en R2.
Cilz ú(x, y) es creciente en el primer argumento y decreciente en el
segundo.
En efecto: del supuesto 53' se tiene que con x > y
(x - z) h(x, z) > (y - z)h(y, z) y (z - x)h(2, x) < (z -y)h(2, y) Vz
La segunda desigualdad es equivalente a (x -z)h(2, x) > (y -z)h(2, y),
por lo que sumada a la primena da (x - z)H(x, z) ¡ (V - z)H(y, z), es
decir:
g(x, z) > {t(y, z) Vz
Por hemisimetría se tiene de forma inmediata que ry'(2, x) < {t(2, y) Vz.
De lo visto se deduce que para x ) ! ) z, por el crecimiento en la
45
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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primera componente ry'(x, z) > ú$, z)
argumento ry'(x ,z) > ry'(x, y), entonces
$$, z) para todo tipo de agentes.
en el
d
v
SC
por decrecimiento
verificará 2 lt(x,
segundo
ú(x y) +
C8: Para los agentes temperamentales, las lÍneas de indiferencia se abren
en abanico desde un punto al sunoeste del triángulo de Marschak-Machina.
En efecto: Para x > y > z, para un agente temperamental se tiene que
H(x, z) > H(x, y) + H(y, z), ello implica por tratanse de cantidades
positiva que:
H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) > H(x, y) se tendrá
(y - =) H(x, z) > (y - z) H(y,
(x - y) H(x, z) > (x - y) H(x,
Sumando (x - z) H(x, z) > (x - y) H(x, y) + (y - z) H(x, z) es decir,
z )
y)
ú(x, d > ú(x, y) + ttt$, z)
Esta desigualdad implica que las líneas de indiferencia
abanico desde un punto del suroeste del triángulo al igual que
del Arrepentimiento (sección 1.1) como muestra la figura 1.7.
se
en
abren en
la Teoría
/ 7
/ . , / // / - '
,.2
46
fie. r.7
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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C9: Pa¡ a los agentes tibios las líneas de indiferencia en el triángulo de
Marschak-Machina pueden cerarse o abrirse en abanico desde un punto del
suroeste del triángulo,
Para x > y > z , de 54' se tienen para un agente tibio las
posibilidades (a), (b), (c) y (d) siguientes:
(a) H(x, d < H(y, z) y H(x, z) < H(x, y)
(b) H(x, d > H(y, z) y H(x, z) > H(x, y)
(c) H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) < H(x, y)
(d) H(x, z) < H(y, z) y H(x, z) > H(x, y)
En el caso (a): H(x, z) < H(y, z) y H(x, z) k H(x, y) de manera que
(y - z) H(x, z) < (y - d H(y, z)
(* - t) H(x, z) < (x - y) H(x, y)
y sumando las desigualdades anteriores:
(x - z) H(x, z) < (x - y) H(x, y) + (y - z) H(x, z l
r ! (x, z) < ú(x, y) + g(y, z)
lo que significa que las líneas de indiferencia se abren desde un punto del
noreste del triángulo ya que según vimos en la sección 1.1 las líneas pasan
pon el punto:
¡ -ú ú*= -ú", l(P"' P"' P*) = l.' T*=fl=q-' ga::a:- v-.' T-jET-. )' x ,z yz xy x ,z yz xy xz yz xy
donde ú(x, d = ú*", (t(y, z) = ú"", ry'(x, y) = úxy, (ver figuna 1.8).
47
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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f ig. 1.8
En el caso (b): H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) > H(x, I) se tendrá de nuevo
al igual que para los individuos temperamentales, líneas que se abren en
abanico desde el suroeste del triángulo.
En los casos (c) y (d), podrá tenerse ú(x, zl > ú(x, y) + ú(y, z) 6
bien ry'(x, z) < ry'(x, y) + ú(y, z) según el rango de los resultados y de la
forma particular de la función H(., .) del agente de que se trate.
CIO: La función expansora de cualquien tipo de agente verifica que:
x - y H ( x , z )> - l V z
De la consecuencia C7 que establece el cnecimiento de la función de
valoración ry'(.,.) con respecto al primer argumento, se tiene que:
x > y + ( x - z ) H ( x , z ) > ( y - z l H ( y , z l V z .
Como x - z = y - z + x - y, la condición anterior se puede
expresar como:
(y - z) H(x, z) + (x - y ) H(x, z) > (y - z) H$, z) V z.
4A
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Esta condición supone una limitación en
nespecto al primer argumento de la función
extensión de la condición de acotación del
definió en el caso dependiente de la diferencia4.
O sea: (y - z)[H(x, z) - H(y, z)l > - (x - y) H(x, z)
Con ello se verificará que:
y - z H (x , z ) - H (y , z ) > - l Yzx -y H(x , z
Yz .
el posible decrecimiento con
expansona H(.,.) y es una
índice temperamental que se
Una interesante consecuencia de ello es que cuando en particular
considera x > y > z siendo y próximo a x, la función expansora H(.,.)
todos los agentes tenderá a ser creciente en el primer argumento.
En efecto: Expnesando y - z = & (x - y) se tendrá que
H(x, z) r -ii "
H(y*, z)
donde y* = T+-
Con ello, para valores grandes de a, esto €S, para valores de
próximos al valor del resultado mayor x, debe verificarse que H(x, z)
H(y*, z).
4
Como x > y + x - z > y - z Vz, en el caso dependiente de ladi ferenciapodemos hacer x- z = y - z+k = € + k con k > O y, supuestaH(€) diferenciable, la condición anterior se reduce a:
se
de
a,
y*
z({)={ #8'-1
49
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S e c o n c l u y e e n t o n c e s q u e l o s a g e n t e s t i b i o s p a r a l o s c u a l e s r y ' ( x , z ) <
ú(x, y) + ú(y, zl podrían invertir el sentido de la anterior desigualdad
(cambiar la forma de apertura en abanico de sus líneas de indiferencia en
triángulo de Marshak-Machina), precísamente cuando el resultado intermedio
y* sea próximo a x o equivalentemente, alejado del resultado mínimo z.
1.3.1.- Actitudes temperamental y tibia
Hemos visto (consecuencia C'l) que para todos los agentes se verifica
que 2ry'(x, z) > ú(x, y) + ry'(y, z). Mientras para los agentes tempenamentales
debe tenerse siempre ú(x, z) > ú(x, y) + ú$, d para cualesquiera
x > y ) z, para los agentes tibios sólo debe cuplirse la condición más
débil A!(x, z) > ú(x, y) + ú(y, d con ry'(x, d <,y'(x, y) + ú(y, z) o bien
ú(x, ) > ú(x, y) + ú(y, z) dependiendo de los resultados y de su función
expansora.
Calificaremos de "actitud temperamental" a la asociada con la
condición ry'(x, d > ú(x, y) + ú(y, d y de "actitud tÍpicamente tibia" a la
asociada a la desigualdad opuesta que denominamos "concavidad"
palalelamente a la condición de "convexidad" de Loomes y Sugden (1987).
Según esta definición los agentes temperamentales mantienen la actitud y se
corresponderían con los aversos al arepentimiento de Loomes y Sugden
(1987). Los agentes que hemos llamado tibios podrÍan manifestar actitud
típicamente tibia o por el contrario cambiar dicha actitud en función del
rango de los resultados o de su función expansora panticular.
Los agentes temperamentales o tibios de la versión dependiente de la
diferencia quedarían englobados dentro de los que manifiestan
permanentemente actitud temperamental o tibia respectivamente-
En el experimento de Hey y Orme (1993) al que hacíamos referencia aI
principio de la sección, las respuestas del 6L7. de los individuos
encuestados se podrían explicar dentro de este esquema de Ia versión
expandida general y ello nos animó a llevar a cabo el expenimento que se
reporta en el último capítulo de esta memoria con el objetivo de chequear
50
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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el modelo.
1.5.- Comentarios fináles
Et arrepentimiento/regocijo es una reacción psicológica que puede
surgir en los individuos al enfrentar una paneja de opciones en condiciones
de riesgo. En este capítulo a través de la estructura multiplicativa de la
función de valoración se ha definido un tipo de respuesta más general que
hemos denominado temperamentalidad/tibieza. En la versión de Utilidad
Expandida dependiente de la diferencia ha sido posible la definición de un
índice que clasifica a los individuos en temperamentales y tibios y los
ordena según la intensidad de su respuesta frente al éxito/fracaso.
La Utilidad Expandida general no permite definir de modo similar un
índice que clasifique y ordene a los agentes ya que precisamente lo que
este modelo propone es que los individuos que en él se han denominado
tibios puedan cambiar de actitud y manifestar temperamentalidad para
deterrninados resultados. Así, este modelo más general estaría de acuerdo
con los resultados empíricos en mayor medida que la versión dependiente de
la diferencia. No obstante a la hora de analizar teóricamente problemas
concretos pensamos que es importante, como ya resaltamos en la sección O.l,
elegir un modelo que pueda recoger las características principales de cada
problema particular, y eD este sentido pensamos que para el análisis de los
problemas de decisión de seguro, por ejemplo, la versión Expandida
dependiente de la diferencia es adecuada ya que además de resultar
operativa es capaz de incorponar al análisis sentimientos psicológicos que
como el arrepentimiento/regocijo pueden tener peso en la decisión como se
ha hecho en la memoria "Tres Ensayos sobre la Teoría del Arrepentimiento:
Aplicación a las decisiones de Seguno".
5l
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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CAPITULO 2
TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO: UN RESULTADO SOBRE DIVERSIFICACION *
2.I.- INTRODUCCION
2.2.- LA TEORIA HEMISIMETRICA SSB DE FISHBURN:
RELACION CON LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO
2.3.- SSB CON ESTADOS
2.4.. UNA ¡.TT-ICICION A LA VALORACION DE ACTIVOS ARRIESGADOS
2.5.- COMENTARIOS FINALES
2.6.. APENDICE
* El contenido de este capítulo se corresponde esencialmente con eltrabajo "Valonación de títulos con riesgo: Hacia un enfoque alternativo" deSirvent y Tomás (1992), WP-EC 9Z-O4, ME,.
52
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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2.1.- Introducción
El problema genérico de la valoración de activos arriesgados es un
tema clásico de la literatura de decisión en condiciones de riesgo, para la
cual la Teoría Clásica de la Utilidad Esperada, presentada por Von Neumann
y Morgenstern (1944), continúa siendo el paradigma a pesar de que se apoya
en supuestos tan controvertidos como el axioma de independencia. Los
resultados clásicos del análisis del problema de selección de cartera,
vienen a explicar la diversificación entre activos indiferentes y la
existencia de cartera óptima a través de la aversión al riesgo, es decin, a
través de la concavidad de Ia función de utilidad del agente sobre el
dinero. Pon otro lado, los cómputos explícitos de la cartera óptima
requieren restricciones paramétricas y/o funcionales como por ejemplo el
que en la valoración de los activos con riesgo, se tome sólo en
consideración la media v la varianza.
Nuestra intención es la de aproximarnos a este problema analizando en
concreto el caso de un agente que se enfrenta a la valoración de { activos
financieros (títulos) teniendo en cuenta aspectos que se sepanan
notablemente del tratamiento tradicional como la incorporaeión de
sentimientos psicológicos distintos de la aversión al riesgo que obligan a
relativizar la elección valorando por pares y apareciendo en consecuencia,
la posibilidad de que las preferencias del agente no sean necesariamente
transitivas. Estas mismas ideas fueron aplicadas al problema de la toma de
seguros, explicando la existencia de contratos entre agentes neutrales
frente al riesgo y un posible mecanismo de selección favorable. También
Shefrin y Statman (1990), analizan el problema de la existencia de los
brokers en los mercados bursátiles como un mecanismo de delegación en el
que la variable que explica dicha delegación no es la aversión al riesgo,
sino una componente psicológica que modifica las preferencias del agente.
Con la idea de eliminar las incongruencias entre el comportamiento
observado y las predicciones de la teoría normativa clásica, han surgido a
lo largo de los últimos años, no pocas propuestas alternativas a la Teoría
de la Utilidad Esperada, y algunas de ellas se ajustan perfectamente a
53
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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nuestro propósito. Tal es el caso de la Teoría del Arrepentimiento (Loomes
y Sugden (1982, 1987), una teorÍa de elección por parejas cuya idea central
consiste en que los agentes, al elegir una determinada opción, tienen en
cuenta que están de hecho rechazando otra opción alternativa. El
arepentimiento,/regocijo BS, entonces, una modificación de la utilidad que
el agente deriva de lo que ha elegido, provocada por el sentimiento de
aquello a lo que ha renunciado.
I-a. Teoría del Arrepentimiento, de carácter esencialmente descriptivo,
no resuelve el problema de elección entre n alternativasl, salvo en el caso
de transitividad, pero es posible considerar esta' teoría dentro de un
modelo más general como es la Skew-Symmetric Bilinear (SSB) con estados de
Fishburn (1984b). En este marco de la teoría de Fishburn,
existencia de elementos maximales incluso en el caso
cíclicas.
se
de
garantiza Ia
prefenencias
Al abordar nuestro problema desde este enfoque, si bien se asegura la
existencia de un maximal en la envoltura convexa de los activos
disponibles, tales elementos maximales no resultan, en general, una
posibilidad real para el decisor ya que se trata de soluciones
probabilísticas. Lo que nosotnos hacemos en este trabajo es asociar a tales
soluciones una cartena accesible que goza de algunas propiedades que
entendemos la hacen "recomendable". Además, probamos que tal cartera es
fácilmente computable y óptima bajo determinadas condiciones.
I
En un reciente trabajo, Sugden (1993), recuperando algunas ideasapuntadas en Loomes y Sugden (1987), extiende Ia TeorÍa del arrepentimientoal caso de n alternativas, de modo que la valoración sigue siendo binaria,pero tiene en cuenta no sólo el par concreto que se enfrenta, sino tambiénel resto de alternativas disponibles. No obstante, esta generalizacióncontinúa sin resolver el problema de la existencia de elementos maximales.
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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2.2.- La Teoría Hemisimétrica SSB de Fishburn: Relación con la TeorÍa del
Amepentimiento.
Aunque la Teonía SSB (Skew-Symmetric-Bilinear) de Fishburn ¡9eZ)
tiene características comunes con la TeorÍa del Arrepentimiento de Loomes y
Sugden (1982, 1987) hay también algunos puntos que las separan. Pretendemos
en esta sección hacer un resumen de la SSB par"a poderla comparar con Ia
TeorÍa del Arrepentimiento que presentamos en el capítulo anterior, sección
1 . 1 .
2.2.1.- La teorÍa hemisimétrica SSB de Fishburn
La TeorÍa Hemisimétrica o SSB de Fishburn (J982) es una de las teorías
alternativas a la Utilidad Esperada que renunciando a una representación
uniparamétrica de las preferencias hace hincapié en la elección entre
parejas de alternativas.
Aunque esta teoría se construye, al igual que la Teoría Clásica,
partiendo de un conjunto de axiomas sobre el conjunto de loterías la
racionalidad que determina es menos rÍgida que la impuesta por la
axiomática clásica. La regla de elección se fonmula también sobne loterías.
La SSB prescinde del axioma de independencia y de la transitividad
sobre las preferencias y aporta un resultado particularmente interesante:
la posibilidad de encontrar maximales entne múltiples alternativas aún en
el caso de preferencias cíclicas, si se amplÍa el conjunto de elección a la
envoltura convexa.
El punto de partida de esta teonía es el conjunto X + a de los
resultados posibles de una elección. A partir de él se construye una
o-álgebra I de subconjuntos de X que contenga todos los resultados simples
{x'} / x e X. Se considera eI conjunto convexo P, de medidas de probabilidad
definidas sobre f[ con soponte finito: P - {p: f --s [O,l] / sop p es
finito ).
55
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Los supuestos que se hacen sobre los elementos del conjunto P
(loterias o prospects) son los siguientes:
C ( C o n t i n u i d a d ) : p ) q , q ) r = ) 3 a e ( O , L ) / q - c ¿ p + ( 1 - a ) r .
D (Dominancia-Convexidad):
P > Q, P : r =) p ) a q + (1-a) r , V a e (O,l)
g ) p, r : p -> d, q + (l-a) r ) p, V c¿ e (0,1)
p - g, p - r =) p - a q + (1-c) r , Y a e (O,1)
S (Simetría): p > q, q ) r, p ) r, g - 0/D p + 0/D r =)
a p + (1-c) r - 0/D p + 0/2) q (=) cr r + (1-c¿) p - 0/D r + Í/2) 9
Estos axiomas son condiciones necesarias y suficientes para la
existencia de un funcional SSB (hemisimétrico y bilineal) que represente
las preferencias sobre loterias resultado que se recoge en el siguiente
Teorema de representación (Fishburn, 1982)
La relación ) sobre P satisface los axiomas C, D, y S si y solamente
si existe una función $: P x P --*-+lR, hemisimétrica, bilineal y única
salvo transformación de semejanza tal que:
p > q e {(p,q) > O, V (p,q) e P x P
Una vez definida la representación
loterías P X P, se puede extender la
siguiente forma.
SSB en el conjunto de pares de
definición a los resultados de la
Dado el conjunto X de resultados y el conjunto P de medidas de
p r o b a b i l i d a d d e f i n i d a s s o b r e X , c o n s o p o r t e f i n i t o , e s d e c i r , p ( x ) >
para todo x y p(x) > O para un número finito de puntos de X, de forma que
I p(x) = l, se define la función ry' en X x X como:x
Vr(x, y) = S(p,q) cuando p(x) = p(y) = t
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teniéndose entonces aplicando la bilinealidad de la función 0(..), la
siguiente relación:
c(p,q) = t[ I
p(x)x*, rJ = |
p(x)ó(x*,q) =
=I Ip (x )q (y )ú (x* ,y * )=x y
= I I p(x)q(y)r/x,y).x y
Expresada la valoración en términos de los resultados, ry'(x,y)
reflejaría la intensidad relativa de las preferencias del individuo al
enfrentar los resultados x e y. C(p,q) aparacería entonces, consideradas
las loterías independientemente, como el valor espenado de estas
intensidades ponderadas por las probabilidades p(x)q(y).
Los supuestos D y S de dominancia-convexidad y simetría implican que
las líneas de indiferencia sean rectas que pueden contarse en el interior
del triángulo de Marschak-Machina (pueden verse los detalles en Fishburn
(1982, 1988).
2.2.2.- Conexión entre la Teoría del Arrepentimiento y la SSB.
Tanto la SSB de Fishburn (1982) como la Teoría del Arrepentimiento de
Loomes y Sugden (1987) son teorías binarias en las que la elección se
plantea sobre pares de alternativas y se prescinde, en general, de la
transitividad. Aunque ambas teorías presentan rasgos comunes, sus puntos de
partida y sus "filosofÍas" son distintos.
La TeorÍa del Amepentimiento es descriptiva e intenta recoger
aspectos psicológicos de los individuos mientras la SSB es una teoría
normativa fundamentada en una axiomática que prescribe un determinado
comportamiento racional.
La. Teoría del Amepentimiento plantea la elección entre acciones
I n{x)O[x*, I qty)v*)
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(vectores de resultados estado-contingentes) y la SSB parte del conjunto de
resultados y opera con loterías o distribuciones de probabilidad sobre
tales resultados.
Las características comunes a ambas teorías se concretan en que
prescinden del axioma de independencia así como de la transitividad, por lo
que permiten la existencia de preferencias cÍclicas y resultan consistentes
con buena parte de las violaciones constatadas a la Teoría Clásica. Además,
ambas teorías conducen al mismo tipo de regla de elección.
La elección entre loterías, contemplada desde la Teoría del
Arrepentimiento no resulta posible a menos que la matriz de resultados
estado-contingentes esté perfectamente definida, ( hay que tenen en cuenta
que una pareja de loterías puede ser consistente con matrices diferentes
puesto que acciones distintas pueden corresponder a una misma lotería).
Pero en el caso de que las loterías sean estocásticamente independientes sí
es posible determinar unívocamente la matriz de resultados contingentes
definiendo un sistema de estados del mundo de manera que para el estado del
mundo s la lotería p de el resultado x y la loterÍa q el resultado y con
probabilidad p(x)q(y). La regla de elección para la Teoría del
Arrepentimiento sená en este caso coincidente con la regla de valoración
SSB.
P : q <r I I p(x)n(r)¡y'(x,y) = ox y
Un estudio detallado de estas conexiones puede verse en Loomes y
Sugden (198?) y Fishbunn (1987).
58
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2.3.- SSB con estados.
Resuminemos en esta sección la Teoría SSB con estados de Fishburn
(19S4b) que pretendemos utilizar para nuestro análisis de la valoración
binaria de { activos arriesgados cuando las preferencias no son
necesariamente transitivas.
Si la Teoría SSB original (Fishburn (1982)) parte como hemos visto de
un conjunto X de resultados posibles y toma como conjunto de elección el
conjunto P de loterÍas sobre X como en la Utilidad Espenada, la Teoría SSB
con estados (Fishburn (1984b) parte, al modo de Savage (1954), de un
conjunto finito y exhaustivo S de estados del mundo excluyentes entre sí y
asocia a cada estado del mundo una lotería o distribución de probabilidad
sobre X, de manena que los elementos del conjunto de elección son lo que en
la literatura se conoce como acciones-loterías (Anscombe & Aumann, (1963);
Pratt, Raiffa & Schlaifer (1964)). Tenemos asÍ las siguientes definiciones:
Una acción es una función A:S ---+X, que asocia a cada estado del mundo
s e S un resultado, siendo A(S) finito.
Una acción-lotería se define de modo que a cada estado del mundo se
h a c e c o r r e s p o n d e n u n e l e m e n t o d e P , ñ r S - - - - - - + P , P = { p : X - - + Í O , l l /
s o p ( p ) f i n i t o y I p ( x ) = I ) .x€Sop ( p )
Si una acción asocia un resultado ciento a cada estado del mundo y
una loterÍa una probabilidad a cada resultado posible, una acción-lotería
asigna a cada estado del mundo una distribución de probabilidad de soporte
finito sobre el conjunto X = { "r,
Xt,...x*,..} de resultados posibles
como se detalla en la siguiente tabla
59
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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El conjunto de acciones-lotenías será entonces:^nP" = {p= (p r ,p r , .pn ) / Ore P Y r }
de manera que p. es la distribución de probabilidad de los resultados queJ
se asigna al estado sr.
En el conjunto Pt se definen las combinaciones convexas de
acciones-loterías de forma natural:
rp + (1-l)9 = ()tpr+ (l-)r)er, . . ¡pr,* (l-r)er,)
modo que en cada estado sr, la distribución de probabilidad asociada es
+ (1-)t)q. .J
Con ello, Pt es un mixture set. Supongamos que el agente tiene
definidas sus preferencias sobre Pt, verificandose las hipótesis de C
(Continuidad), D (Dominancia-Convexidad) y S (Simetría) de la SSB vistas en
la sección anterior. En este caso el teorema de representación (sección
2.2) gararrtiza Ia existencia de una función bilineal y hemisimétrica O: Pnx
PN
de
^0,
60
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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O(p,q) * Q (=) p > q. La valonación relativa de acciones-loterías se resume
entonces en el anáIisis de los valores que toma la funcional 0. En
particular, la funcional 0 permite comparar acciones, ya que éstas son
casos particulares de acciones-loterÍas, para las cuales cada una -de las
distribuciones p1,...,p. son degeneradas (vectores canónicos).
Nótese que, por extensión, podemos considenar O definida sobre PxP,
def iniendo $(p,q) = o[(p,p,. . . ,p),(q,q,. . . ,q)1, como el valor que toma o
sobre las acciones loterÍas constantes que asocian la lotería p
(respectivamente la lotería g), a todos los estados del mundo. De forma
análoga, podemos suponer que O está también definida sobre XxX,
i d e n t i f i c a n d o c a d a r e s u l t a d o x € X , c o n l a l o t e r í a P " : X - >
forma que p--(x) = 1, p--(y) = O, V y É x. Así, al disponer de una funcional- - x ' x -
que valora por pares acciones-loterías, tenemos recogida en ella en
particular las valoraciones por pares de acciones, loterÍas y resultados.
La introducción de supuestos adicionales permite diferentes
especificaciones de la forma anterior. Un conjunto de axiomas particular
que presentaremos a continuación (véase Fishburn (1984b)), proporciona una
regla de valonación operativa.
Dados p, g € P, denotaremos [p, q]r al elemento de Pn que asocia la
loterÍa q a todos los estados, excepto al estado ri, al que le asocia la
lotería p. Por otro lado, designaremos por ñ" a la acción-loteria que
asocia la lotería p a todos los estados.
El concepto siguiente se refiere, intuitivamente, a la "probabilidad"
que el agente asigna a ciertos estados del mundo:
Definición 2.1. Un estado s, se dirá nulo si [p, rl, - [q, rl, V p, q, re P
La idea de estado nulo puede vincularse al concepto de que eI agente
piensa que esüe estado no tiene probabíLidad de ocurrír, por lo que si dos
acciones-loterÍas son idénticas, salvo en la loterÍa que asignan al estado
"i, el agente resulta indiferente ent¡"e ambas. Se considera entonces el
6l
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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siguiente conjunto de axiomas:
Fl.- Al menos hay un estado no nulo.
F2.- Si ",
I "j
son estados no nulos, [p,rl, > [q, r]r =) [p, rl, > [9, rl,
F3.- Si f , g, h, es una permutación cualquiera de [p, rJr,[g, rlr,-f,
entonces:
f - re + ( r - I )h -> ! , * f ,h
- i hg + ( l - r )h l .
: h
El axioma F2, expresa que la relación de preferencias en P, dentro de
cada estado (fijada una misma dist¡"ibución en el resto de los estados), es
la misma para cada estado no nulo. Es una forma de deci¡' que los estados no
tienen utilidad por sí mismos, sólo tienen posibilidad de ocurrir.
El axioma F3 es una versión restr"ingida del axioma de Henstein y
Milnor (1953) que no lo implica, como tampoco implica la transitividad para
Ias acciones-loterias constantes.
Se tiene entonces el siguiente teorema:
Teorema (Fishburn f984b).- Si en (P', t ) tenemos definida una relación
de preferencias, las condiciones siguientes son equivalentes:
(i) se verifican los axiomas C, D, S, Fl, F2 y F3
(ii) existen una funcional bilineal y hemisimétrica iD : Pt* Pt-> R,
y números n > O únicos ,i rr=, , oJ= Q (=) s- es nulo) de. ¡ l r J J J
manera que:
v f,{e P" o(ñ, a) =.i_o, o(pr,e¡)J = 1
-
En el caso en que se den todas las hipótesis especificadas en los
axiomas C, D, S, Fl, FZ y F3, la valoración de las acciones-loterías
resulta, pues, particularmente openativa. Nótese que f, valora prospects en
cada estado del mundo como en la SSB original (Fishburn 1982); cuando p, y
9, son degeneradas se tiene la regla de valoración como en la Regret TheoryJ
62
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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(Loomes & Sugden
resultados ciertos
respectivamente.
nlg82) O(t,q) = f try'(xo,xo ),
J = l - ' J ' J
asociados a las distribuciones
siendo *or' *or' los
degenerada" pJ, eJ,
En el marco de la teoría que estamos comentando, un elemento F ¿" pt
es maximal para la relación de preferencias cuando se cumple que O(f,,f,) = O
para todo A en Pn. El resultado siguiente garantiza la existencia de
elementos maximales cuando nos movemos en La envoltura convexa de un
conjunto fínito de elementos en Pn:
Teorema (Fishburn, f984a).- Sea el conjunto Pn en el que tenemos definida
una relación de preferencias que satisface los supuestos C,D,S. Entonces,
para todo subconjunto finito Q c Pn, existe un elemento p* en }t(Q) tal que
O* : n, para todo q e ?C(Q), siendo }f(Q) la envoltura convexa de Q.
La prueba del teorema anterior proporciona, a su vez, un método para
la obtención de f,* "orno
solución de un juego simétrico cuya matr iz de pagos
es la matriz hemisimétrica de valoración de los panes de elementos de e.
63
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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2.4.- Una aplicación a la valoración de activos arriesgados
Comenzamos esta sección identificando, en el problema de la selección
entre activos arriesgados, los diferentes tipos de entes que v¿rmos a
considerar, para posteriormente, proceder a su valoración en los términos
de la teoría presentada en la sección anterion.
2.4.1.- Títulos, tltulos compuestos y carteras.
Por título entenderemos un activo financiero que da derecho a la
participación en los beneficios de una Compañía (que cotiza en Bolsa), de
manera que al final de un determinado período de tiempo proporcionará, por
unidad monetaria invertida, un rendimiento que dependená de que se
produzcan ciertos eventos que se entienden fuera del control del inversor.
El rendimiento se define como:
va lo r de l t í tu lo a l f ina l de l per íodo -va lo r in ic ia l + d iv idendos
t -
v a l o r i n i c i a l
con lo que r será un número real.l
Un título pues, lo podemos representar como un vector de resultados
estado-contingentes en los que el agente ha estimado un resultado cierto,
dependiendo del estado del mundo que se realice. Se tiene entonces
representado un título mediante una acción, como es habitual en el
tratamiento clásico del problema de valoración de títulos y selección de
cartera. (Ver por ejemplo Fond (1983) o Sharpe (1970)).
El problema que que vamos a considerar es el que enfrenta un decisor
al valorar los 0 títulos disponibles T1, Tz,...TL, para distribuir una
1
La posibilidad de activos sin riesgo o con rendimiento fijoindependiente de los estados del mundo como el ahorro en el Banco o losBonos del Estado está incluida en el concepto general de título.
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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unidad monetania de su riqueza en la compra de uno o más de ellos. Haremos
Ios siguientes supuestos:
Supondremos que el inversor es capaz
exhaustivo (que puede ser simple o muy
exc luyentes en t re s Í : S = { " r , s2 , . . . ,
prevalecerá al fin del período considerado.
de construir un sistema finito y
detallado) de estados del mundo
s ), uno sólo de los cuales*.-r P
Supondnemos que las cantidades inventidas en cada título no pueden serT,
negativas ni mayores que la unidad así, I l, = I I trr = O Vi, siendo 2t, lal = l
parte de riqueza que se invierte en el título T..I
Este supuesto
es utilizado en los modelos standard de selección de cartera que
tampoco contemplan la posibilidad de "quedarse corto" o pedir prestado.(Ver
por ejemplo Markowitz (1987) o Sharpe (i970)). En nuestro caso, resulta
imprescindible pana poder aplicar al problema la teorÍa SSB con estados.
Supondremos por último que es posible inventir cualquier cantidad )t €
[O, 1] en cualquiera de los 0 tÍtulos.
Un tÍtulo se puede nepresentar como una acción, como ya hemos visto, o
bien como una acción lotería de la siguiente forma: Si llamamos X, el
conjunto finito de resultados del título T, y X = X, u X, v u X¿
podemos representar el título I,
como vector. de distribuciones de
probabilidad degenenadas T, = 1ni, p'2, ...p:) donde p': H(X) ---+ [0, 1] es
una distnibución de probabilidad que asocia a cada estado s
cierto y H(X) es la envoltuna convexa de X2.
. un resultadoJ
Definición 2.2.- LLamaremos título a todo n-vector de loterías degeneradas,
que asocia por tanto un resultado cierto a cada estado del mundo.
)En principio es suficiente considerar sólo el conjunto X para poden
representar un título como una acción-lotería, para poder incorporarposteriormente las carteras como títulos consideraremos de entrada H(X).
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Definición 2.3.- Consideremos un título Tr. Definimos una participación-tr
P,(T.) en T. como un nuevo vector de resultados estado-contingentes queA l t
proporciona en cada estado del mundo s. (j=t,/...n) los rendimientos 1,x..,J T J
siendo x los rendimientos de T.
Según la definición, P,(T.) corresponde a la inversión de )t unidades' A t
monetarias en el título Ti. Ya que hemos excluido la posibilidad de venta
de títulos y de dinero prestado tendremos O = ¡, = l.
Definición 2.4.-
participaciones S
Dados 0 títulos Tr, T2...,
= Ptr (Tr) + PI (T2) + . . . +
Tn definimos la suma deL
P, (Tr) como la acción quen L L' L z
proporciona el resultado I l.x-. en cada s-., l r i i i J
Definición 2.5.- Dados 0 títulos Tr, Tz, T¿ consideremos las
participaciones Ptr (T1), Ptr (T2), ..., P) (Tr). Llamaremos cartera-i C(I),I z
n l L
I = (Ir, tr¿), de los títulos Tr, ..., Tt a toda participación
simultánea en ellos (suma) que esté normalizada, esto es:
c(i) = Pr (Tr) + P, (T^) + .. . + P. (T¿),n r ' n¿
Lc o n t I = l v
l 'i = 1
T = O V iI
Queda pues definida una cartera mediante
monetaria distribuída en participaciones en
disponibles.
inversión de una unidad
los diferentes títulos
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sI
T(.I
s2
TE2
sn
ltn
l 2
x2 2
*¿"
P; , , (T r )
P ^ 2 ( T 2 )
Pr¿ ( T¿)
Definición 2.6.- Dados
compuesto T de ellos
te(TfT2,. . . ,T¿,).
¿T = I I T
i tI = l
* ¿ r ,
I xr t 2
I x2 2 2
\¿ . *¿ " . " ' t r¿ *¿ r ,
*¿ ,
t r xI 1 l
) t x? 2 L
\¿*¿,
c( r)
Dados dos título" Tr, Tz, una combinación convexa de ellos T = ). T, +
(1-I)T^ ), € [O,l], la interpretamos como un nuevo título (que llamaremoszcompuesto) T = 1pr, pz, . . . ,prr) , con pJ = Iel + {r- f)nl , para j = l , 2,
n de manera que da el resultado *J, con probabilidad ^o, y el
resultado x.^ con probabilidad (f-¡)2. para el estado del mundo s. cuyaJ 2 J . J
probabilidad es n.. Tiene pues sentido hablar de la envoltura convexa de
los 2 títulos, por ,lo Ou" damos la siguiente definición:
¿¿I ) t x I ) t x
I n l l 2l = 1 l = 1
T,t ) \ = |
tl= i
¿I l,*,,,
l = l
los
a
tÍtulos Tl, Tz, T¿, llamamos título
todo elemento de la envoltura conyexa
: O V it
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T,c o n D = I ) t r 't - ' ' i i J J = l ' ¿ ' " ' ' n '
' l = 1
-
Es claro que los títulos compuestos no se pueden representar como
acciones sino como acciones-loterías: Dado un estado del mundo, un título
compuesto da una distribución de probabilidad sobre los resultado ciertos
de los títulos originales por lo que no están al alcance del agente. Por
otra parte, un título compuesto no es tampoco una cartera (una cartera es
una acción). No obstante, dado un título compuesto podemos asociarle una
cartera de la siguiente forma:
Definición 2.7.- Sean
título compuestoI T
t I = I : Te P ' .V rt t
l = l
T= I ^ iT . ,O=^ r= t ,l = 1
¿definiremos Ia cartera C(f,) asociada a T como: C(I) = t P. (T )
A Il = 1 t
Siendo el título compuesto T una ponderación probabilística de los
tÍtulos elementale" Tr, la cartera asociada ha sido definida como una
participación simultánea de )., unidades monetarias en cada Tr. La idea base
en la asociación mencionada consiste en tomar ponderaciones monetarias a
partin de las ponderaciones probabilísticas del título compuesto.
Se tiene entonces la siguiente propiedad:
Proposición 2.1.- Sea T € 1t(Tr,...,Tr) un tÍtulo compuesto y construyamos
la cartera asociada C. Entonces, para cualquier distribución de
probabilidad que el agente asigne a los estados del mundo, nf-..fi.r con
tr, 2 o para todo j = lr. . .rD, ! o, = r,J = 1
J
(i) T y C poseen la misma media.
(ii) La varianza de C es estrictamente menor que la varianza de T.
La prueba de (i) es inmediata ya que asociada al título compuesto T
Tr, T z,
T, títulos elementales. A partir del
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se tiene la cartena
C(lt, lz, . . . , ^¿) = Ptrr(Tr) + P^r(Tr)+ .. . + P^r(Tr)
de modo que E, = E..
Para probar (ii) tendremos en cuenta que los momentos de segundo ordende la cartera y el tÍtulo compuesto T son:
2 _ 2 2m = L + o
c c c
z ^ 2 2m = t . + ( '
T T T
I
v' l
) tx + ( l - ) t )vI - l
tT= f )\rT, tr,=O
l = l
x2
v' 2
l x + ( 1 - ) t ) v2 ' 2
- 2Aft x
2 2
2,l t x l
n n
T.I )\.=l
Il = 1
(cartera)
(título compuesto)
J
vJ
. ¡ * ( l - l )Y j ) tx , r+ (1- ) t ) r '
donde n" y "i
son las varianzas respectivas, para probar que n'. , "".,
bastará probar que ^" . *;. Comencemos considerando dos títulos:
s2
TÍ,2
sI
rf.I
sj
7t
sn
TTn
T2
c() r )
T= t rT r+ (1 -2 \ )Tz
r ' ;= rz rxz+( l - rh r ry?
= )t[tt xz + Í xz + ...
+
+
+
+
(r-7oÍzy: +
(r-I)tzrrf
+^n x2n n
2+ fÍ v +2 - Z
t(r-)t)z y-n n
2 .+ r y Jn n1 1 2 2
- ^*i * tr-l)ml (r)
donde *] ""
el momento de segundo orden de T-l - 1
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*l ""
el momento de segundo onden de T-.2 - z
Para la cartera C()t) tendremos:
mz = zr[2txr + (l-l)yrlz + n"I\xz + J-\t)yzlz * ... +n.,[)\xr, + (1-)r)y,r]2 =
= ¡zÍor*21 * n"*Z + ... + or,*'l * tt-ltlzfurll * o"y| + ... + nnr(l * n =
= r'-f + (t-r)zml + c
donde a = 2l(l-l)[nrxry,
de (I) y ( I I )
(u)
* or*rY.- + ... + orr*rrYr,l
* [tr-rt'
- (1-r)] mf, + z)tí-r)tn,x¡2 - zlnrxr!, * o"i"rr+ ... + o"*r,rJ
.3 -*í=(^2-
Ttxy l= I ( r -1 ) fmn n n L
c o m o l ( ) t - l ) < O , O < ¡ , < l
2 ( z x v + t t x v + . . . +I 1 - l 2 2 ' 2
que:
2 2 2 2m + m = z x + t t x
L Z 1 1 2 2
' 2 2 ' ' 2= I t t X + V J + t t [ XI I - l 2 2
+ f t x v + . . . +| 2 1 2
' - ^ ' < o c u a n d o ̂ " * ^ " ,se tenora que mc T I Z
urrxrrlrr), peno ello siempre se verifica puesto
2 2+ ' '* *rr*r, * orY,.
z 2* nzYz + ... + orrYr, =
z - . - 2 . . 2* Yrri = ttrlxr-Yrl + Ízlxz-yzl +2 , , 2+ y ^ , + . . . + 1 r ( x¿ n n
)r)m2I
2 + mI
. . . + Í I* -y l ' + Zn-x]y. + zTt-x-y-+ . . . + 2 n x yn n - n I l - l ? 2 ' 2 n n - n
así:
^ t * ^ ' - Z ( n x v + ? r x v + . . . + n x v ) =' =1r'*, -t r'r-') . -:r':, - ,tl '. ": :-"
o r , ( * . r - I r r ) 2 > o
' 2 , ' > Z ( o * v + . . . + z x v ) . y D o r t a n t oPon lo que ml + ' ' t
r l - t n n -n -
2 2o < o
C T
En general sean ahora T , ,T ".
. . T ¿ para los que tend¡"emos el título
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T = I tr,T, Y la car"tera asociada C(l) = I PI (Tr)l = 1 l = 1 t
L-t 2.- tConsideremos U = IUrTr, C(F) = f Pr..(Tr)
l = 1 l = 1 ' I
L-t ¿.entonces: T = cr U + (l-cr)Tn = ü t pJr* (l-c)T, = I lr Tr con
" t l , r = l
i = 1, 2, . . . (2-I) ; ) t , = (1-c)L
Para la cartera C(a) tendr-emos:
I =1 wi,
C(cr) = Pc(U)
Pero C(a) =
L - tPT
al = 1
De modo
+ Pr-o(Tr) Y, Por el resultado anterior, "?,or*",
Po(C(r)) + Pr_o(Tr)=
l - t ¿tult,' + P1-6r(T¿)=,lrtour(T,)+ Pr-o(T¿) =
,frt^,tt,' = c(r)'
que o]lr< ";.f
2.4.2.- Valoración de tÍtulos y carteras.
Nos planteamos aho¡ a el problema de la valoración de títulos por un
agente decisor particular. Recordaremos brevemente algunos resultados
clásicos.
En el caso de un agente VNM, cuya utilidad básica viene dada por la
función u:R
regla de Ia utilidad espenada, esto €s, define una función v(Tr) = i o,J = 1 -
u(xrr), i = I,...,1, siendo (zr,...,zrr) las probabilidades asignadas a los
estados del mundo. Este tipo de agente valorará las carteras de la
siguiente manera: Una cartera C()\) es una lotería cuyos resultados, en cada!.
estado del mundo s- vienen dados por ulr^u*ur,
i=l,...,D. En este sentido,
/
7t
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la valoración de un agente que maximice la utilidad esperada de la cartera
C(tr) es, simplemente,
vlc()r)l = I o,J = 1 "
¿u[ f ?tox",l
k = 1
Un resultado elásico es entonces eue, si los tÍtulos T1,...,T¿ son
indiferentes para el agente, y éste es averso al riesgo (u(.) estrictamente
cóncava), la cartera C(I) es prefenida a cualquiera de los tÍtulos que la
comPonen. AsÍ, la aversión al riesgo aparece como una justificación de la
diversificación entne títulos indiferentes. Por otra parte, si la función u
es conocida, la cartera óptima se encuentra nesolviendo el siguiente
problema de optimización:
Max vlC(I) lT.
s . a . t ) \ = lk
k = l
Una de las dificultades a la hora de resolver el problema de
optimización anterion es la falta de algoritmos, salvo en el caso en que la
función u tenga propiedades muy particulares. La literatuna clásica sobre
selección de carte¡'a ha destinado una buena parte de sus esfuerzos al
análisis de este problema en casos particulares que resulten operativos. El
modelo más conocido es el denominado "media-varianza", presentado
inicialmente por Tobin (1958), y que supone que La valoración de una
cartera es únicamente funcíón de La media y La va¡ianza de dicha cartera.
Elto supone que vtc(I)l puede expresarse como una función FtEr(^),r3(^)1,n 2 2 L L
d o n d e E ^ , , . = I z - [ I I x - - ] , u , ^ u - F F l I o . s i e n d o t r l a-C(^ ) , : . J . - . r ( r (J t "C(^ ) - .L - .L - " t " j - rJ '
U
covarianza de los iitlt"r ;:: t.. i=rr=l
L ' J
Para conseguir expresar la valoración de carteras mediante una función
F que dependa sólo de la media y de la varianza de las mismas, hay que
suponer bien que la utilidad básica es cuadrática, o alternativamente, que
las distnibuciones de probabilidad sobre los rendimientos de los títulos
son particulares. Muchos de estos supuestos han sido ampliamente criticados
[Pueden verse al respecto Arrow (1974), Borch (1969), Feldstein (1969),
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Tobin 1969, chamberlain (1983) y Ross (1978)1. Además, la valoración de
canteras y tÍtulos mediante la regla de la utilidad esperada supone el
admitir unas propiedades específicas (alguna de ellas también muy
criticada) acerca de las prefenencias del agente sobre el espacio de las
loterías.
2.4.3.- Aplicación de la SSB con estados a la valoración
títulos. Un primer resultado de diversificación.
de
Vamos ahora a suponer que los agentes
preferencias ] sobne el conjunto convexo de títulos
Tr) de modo que se verifiquen los axiomas C,L
(Fishburn (1984b). En tal caso, sabemos que existen
hemisimétrica
O: l f(Tr, Tr, . . . , Tr)xlf(Tr, Tr, . . . , T¿) -t
y números (zr,...,rzrr) no negativos, cuya suma es l, y que podemos
identificar con las probabilidades que el agente asigna a los estados del
mundo, de tal forma que V T,U e }t(Tr, Tz, ..., TL)
0 ( T , U ) = f o , 0 ( p , , 9 , )J = r -
siendo T = ( pr, pr, . . .pn), u = ( gr, gr, . . .grr) . En tal caso,
nT > U (=) O(T, U) = I o, C(p,, 9,) > O
J = 1 '
La bilinealidad de o permite calcular o(T,u) en función de la
valoración de las parejas de rendimientos de los tÍtulos Tr,...Tr: Llamemos
bltl a una matriz lxl tal que úu.= o(Tr,Tk), i,k = 1,...,1- Entonces, o(T,u)¿ L
= I I trr&u úro = (trr,...,Ir)[r/ l(ur,...,1r¿)'l = l k = l
siendo T = IrT, +...+7tf, y U = FrT, *.. .+ l t f¿
Pon otro lado, para las parejas de títulos, se tiene que
tienen definidas sus
compuestos X((Tr, Tz,
D, S, Fl, FZ, y F3
una funcional bilineal
73
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T, i To (+ o(Tr, Tk) = .,!ro,
,y'(xiJ, x.r) = o
donde *rJ ""
el resultado asociado a la acción (título) T, en el estado del
mundo s,. Así, las probabilidades asociadas a los estados del mundo,J
permiten ponderar las valonaciones relativas de resultados para títulos
alternativos, mientras que las probabilidades asociadas a los diferentes
títulos, cuando nos movemos en la envoltura convexa ?l(T{...,T¿), permiten
ponderar las valoraciones relativas de parejas de títulos para valorar
tÍtulos compuestos.
Consideremos entonces el problema de decisión con que se enfrenta un
agente, ante el cual se presenta un conjunto finito de alternativas
arriesgadas, dadas po¡. los I títulos T1,...,T¿. Supongamos que se da el
caso de que dichos tÍtulos resultan ser, para el agente, indiferentes dos a
dos, esto es Ó(Tt,Tk) = O para todo i,k =1,...,¿. Consideremos una cantera
C(f), construída a partir de dichos títulos,
Entonces: C([) :
carteras,
, *["i,^"*n' *"JTa
n(+ f , z
J = 1
i 9. Además, dadas dos
c(t) > c{[) <=> i ou* t I ^,*,u, I u,*,u ] = ok = l l = 1 l = 1
En estas circunstancias, si se conoce la funcional ,lt que valora las
parejas de resultados, es fácil compar"ar carteras alternativas, si bien no
es posible encontrar en general, cuando las preferencias no sean
transítivas, la cartera óptima.
No obstante, es posible obtener un primer resultado de diversificación
que tiene interés:
Proposición 2.2.' Si la funcional ry' es estrictamente cóncava en el primer
argumento, y los tÍtulos Tr,...,T, son indiferentes dos a dos, cualquier
cartera C()t) es estrictamente preferida a cualquiera de los mencionados
74
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tÍtulos.
Prueba:n l -
C()t) > T, .=t I zu út I tr,*,n , xÉk I > Ok = l l = l
Supuesta ry' cóncava estricta en el primer argumento,
r r l 2 . n
L nuÚ [ I trrxrr, x"r ] t I r, I o*Ú (xr¡.,x"¡.)k = l I = 1 l = 1 k = 1
pero el segundo miembro es una combinación convexa de ceros, ya que T, es
indiferente a T=, cualquiera que sean i,s =1,...,L, por lo eü€,
efectivamente, C(tr) es estrictamente preferida a cada Ts.I
El resultado de la Proposicián 2.2 mereee algún comentanio. Nótese que
la concavidad de It en el primer argumento puede provenir de diversas
causas: puede ser debida a que el agente es avenso al riesgo, en cuyo caso
la función de utilidad básica es eóncava, y esta concavidad puede ser
heredada por la funcional ry'. Pero también puede provenir del sentimiento de
arrepentimiento./regocijo con el que se modifica la utilidad básica, de tal
forma gue, agentes neutrales al riesgo, pero con un determinado tipo de
temperamento, preferirían dive¡'sificar su inversión entre activos
indiferentes antes que invertir en uno solo de dichos activos. AsÍ, la
proposición 2.2 se puede entender como una extensión del resultado clásico
de diversificación dando un esquema explicativo más completo. Nótese que al
vincular la actitud frente al riesgo a la forma de la utilidad básica u(x)
sobre los resultados ciertos, si ry'(x,y) = f(u(x),u(y)), entonces la
concavidad en la primera componente puede darse en agentes neutrales al
riesgo cuando 62f/6tt2 < O lo que se asociaría a una actitud de
arrepentimiento/regocijo. Por otra parte, esta misma actitud temperamental
podría determinar que agentes aversos al riesgo no diversificaran cuando
62f,26u2 >o.
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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2.4.4.- Valoración de titulos compuestos. Diversificación por ciclos:
Titulo ideal y cartera recomendada.
Dados los { títulos, y puesto que las preferencias de nuestro agente
no son necesariamente transitivas, puede darse el caso de gu€, al
compararlos, aparezcan ciclos. Si esta es la situación, al disponer de una
regla de valoración bilineal hemisimétrica sobre el conjunto te(T',...,T¿),
podemos encontrar un elemento óptimo entre los títulos compuestos. Este
hecho nos conduce a elegir una cartera determinada (de cómputo sencillo),
como recomendación al agente que presenta ciclos en las preferencias entre
títulos, En efecto, se tiene el siguiente resultado:
Proposición 2.3.- Si el agente decisor presenta ciclos en las preferencias
entre Z tÍtulos, es posible encontrar un elemento T* e ,{(T1,...,T¿), de
tal forma que T* > Tr, para todo i=1,...,2. Asociada al título compuesto T*
= T()t*), (título ideal), podernos definir (y recomendar) la cartera C(tr*).
La existencia de T* se deriva directamente del teorema de Fishburn
(198aa). En dicha prueba se proporciona, asimismo, un método de cómputo del
título ideal, como solución de un juego simétrico, cuya matriz de pagos es
la matniz hemisimétrica de valoración de los pares de tÍtulos Tr.
En un apéndice al capítulo damos un ejemplo numérico de valoración de
títulos y cómputo del título compuesto T*.
Llamaremos título IDEAL al título T* que resulte de resolver el
mencionado problema. Este título ideal es una acción-loterÍa: no €S, por
tanto, una cartera. No obstante, asociada al título T* (que es una lotería
sobre los tÍtulos Tr,...,T¿, con probabilidades I1,...,)r¡, podemos
construir la cartera C()t*), que distribuye cada unidad monetaria en
participaciones IT, . . . ,II en los títulos T \,.
. . ,T L, respectivamente. La
racionalidad de tal recomendación descansa en la Proposición I que
garantiza que C()t*) conserva el valor esperado del título ideal y posee
menon varianza.l
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Siendo C(l*) una alternativa accesible al agente, podrÍa éste
enfrentarla a los títulos disponibles. Si C(¡*) es pneferida, inventir en
ella será sin duda una buena elección. Si algún T, fue¡"a preferido a esta
cartera, no habría difícultad en repetir el proceso generando un nuevo
tftulo ideal y una nueva cartera recomendada y así sucesivamente.
Investigar la convergencia del proceso y las propiedades de las carteras
generadas en cada iteración es un problema abierto en el que seguimos
trabajando.
No obstante, la optimalidad de la cartera recomendada puede aseguranse
cuando eI agente decisor valora las acciones mediante una funcional V
cóncava en el primer argumento, hecho este que como ya se comentó más
ar¡'iba puede ser debido a una actitud psicológica frente al éxito o
fracaso, superpuesta o no a la aversión al riesgo.
Proposición 2.4.- En el caso de preferencias cÍclicas sobre los tÍtulos
elementales, si la funcional ry' es cóncava en eI primer argumento, la
cartera recomendada C(),*) asociada al título ideal T* es óptima, esto es:
c( ) \ * ) :c fu) vpesn
donde S,, es el simplex standard en el espacio de acciones.
Prueba:
Sea C(tr*) la cartena asociada al título ideal T* y sea C(p) la cartera
asociada a un título cualquiena T e 1((Tr, Tz,...T¿).
n
OIC( ) I * ) , c ( ¡ r ) l = f rj = l
por concavidad de {¡ en el primer argumento
*u, ] =r -L
.i Úl-,!.ri *,¡'¿.
rPok = 1
77
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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L r"=.I_rT | .I ", ú( xrj,
l = 1 L J = 1 -
¿ 1
r ¡, n**.¡) I
por la bilinealidad de O
l = 1
Así pues, C()t*) es preferida o indiferente
los t í tulos T.I
a cualquier
Valgan de nuevo los comentarios hechos
2.2 sobre el posible origen de la concavidad
funcional ry'.
2.5.-Comentarios finales
En este capítulo hemos abordado el problema de la valoración de ¿
activos arriesgados desde una perspectiva diferente de la tradicional. La
elección del marco de la valonación de Fishburn (1984b) de las
acciones-loterías permite enfrentan el problema de decisión en un contexto
de mayor riqueza conceptual y computacional. Este marco teórico resulta
compatible con la incorporación, en la valoración del agente, de
sentimientos psicológicos que modifican la mera evaluación de los
resultados. Se tiene así una teoría normativa capaz de sustentar algunas de
las teorÍas descriptivas más usuales, como es el caso de la Teoría del
Arrepentimiento de Loomes y Sugden Q982, I9g7). Es claro que desde esta
perspectiva, no resulta posible abordar eI problema de la selección de
cartera en toda su complejidad, con lo que nuestro objetivo no puede ser
otro que el de contribuir desde el punto de vista teórico a la explicación
de determinadas estrategias invensoras en un contexto más general que el de
la Utilidad Esperada, en el que tienen cabida las actitudes psicológicas de
n l . F 2 . 1= ,1, ",,1,^i ú F',' nr,uu
*o, J =
¿= I ^i o(T,, T) =
l = 1
= o( I llr,, r) = o(T*, T) > o I
a
en
otra carterd de
propósito de la Proposipión
el primer argumento dé la
7a
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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los decisores y en el que los fallos de transitividad pueden dar cuenta de
la diversificación.
Tres son los resultados básicos ofrecidos: en primer lugar, una
extensión del resultado tradicional de diversificación ante títulos
indiferentes, explicado ahora pon razones que pueden ser diferentes de la
aversión explícita al riesgo. En segundo lugar, se enfrenta el problema de
la elección en el caso de que la valoración de los títulos conduzca a un
ciclo. En este caso, se proporciona una solución recomendada aI problema de
decisión, sugiriendo al agente una cartena que resulta tener la misma media
y menor varianza que un título ideal, ente no disponible en el mercado, y
que sería preferido por el agente a cualquiera de los títulos del ciclo en
cuestión. Por último, se prueba la optimalidad de la cartera recomendada
cuando la valoración de los resultados en cada estado del mundo es cóncava
en su primer argumento, con independencia de la actitud frente al riesgo.
Admitir la posible presencia de ciclos en las preferencias supone una
notable sepal'ación de la teoría tradicional. No obstante, la evidencia
empÍrica indica claramente que en el tratamiento de muchos problemas de
decisión en condiciones de riesgo, las hipótesis de la utilidad esperada
resultan particularmente restrictivas. Pensamos que la introducción de
teorías alternativas, que permitan un rango de compontamiento más amplio
para los agentes, pero que conserven las caracterÍsticas deseables de
openatividad, pueden dar algunas respuestas satisfactorias a la cantidad de
problemas abiertos en este área. Esta parte de la memoria no pretende ser
más que un modesto paso en esta dinección.
79
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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2.6.- Apéndice.
Ejemplo de cálculo del título compuesto T* y la cartera asociada.
Considérense disponibles tres tÍtulos Tr, T" I Ta de manera que:
T_ proporciona un rendimiento cierto del 16,3 7..l '
Se estima que el rendimiento de T, será del 29,3 7" si se produce un
determinado evento A, y del 5,2 7. en otro caso.
El rendimiento de T" dependerá de que se produzcan o no los eventos
compatibles A y B de modo que: si se realizan ambos, el rendimiento será
del 22,5 7. y si se realiza A pero no B, del 29,3 7,. Para los sucesos
Á n B y Á n É , l o s r e n d i m i e n t o s r e s p e c t i v o s s o n O % y 2 2 , 5 7 ^ .
Para representar los títulos partiremos de los cuatro estados del
mundo:
s =AnB s =AnEt 2
cuyas respectivas probabilidades son:
rr, = O,3O n, = o'19
s =ÁnB3
za = 0,33 zn = O,18
s =AnB4
E"lol
,l:l
o
o
o
I
o
rl'ltl r'=
"l.J
o
o
o
o
I
;l,lI
1 l T -t''l
'l
rI
r z
r3
r4
r5
= Q
= O,o52
= O¡ ló3
= O,zZs
= 0'293
J =I
oo
oo
1 l
oo
:o
o
o
1
o
o
00
o1
oo
oo
10
o l
oo
oo
oo
10
. t I I Il r = (P , p2 p3 p4 , 3 3 3 3 ,l " = ( P , P , P . P n '
80
, z 2 2 2 ,l z = t P , p 2 p 3 p 4 )
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
o(Tl' Tz) =r!ro, o{n]' nll
Tr7T" €+ o (T1 ,Tz ) z o
IolO(nf,nlt=to o 1 o o )túl1 i l=ry'(r.,r.)=ry'(o,163, o,2s3)
L?] J O
OtV'r, o?rl = ry'(o.163, o.2g3)
otnl, nll - o{nro, o'o) =
l-ell l l
=(O O t O Ottr/t l O | = ú{"", ,") = ú(0.163, O.O52)lo l
-LO-J
a) Valoración de TI
de modo que:
frente a Tz
T, , - T , (+ (0 .30+0 .19 ) r r (0 .163 , O .293 ) +
+ ( O . 3 3 + O . 1 8 ) r / ( O . 1 6 3 , 0 . O 5 2 ) = O
81
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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b) Valoración de T, f rente a T.
T , i T . < = + ( O . 3 O + O . 1 8 ) r / ( 0 . 1 6 3 , O . 2 Z S ) +
+ O , 1 9 i Í ( O . 1 6 3 , O . 2 9 3 ) + O . 3 3 V ( O . 1 6 3 , O ) > O
c) Valoración de T, frente a T.
T ^ > T ^ e + O . 3 O . ! ( O . 2 9 3 , 0 . 2 2 5 ) +2 - 3
+ 0 . 3 3 { I ( O . O 5 Z , 0 ) + O . 1 8 r / ( 0 . O 5 2 , O . ? 2 5 ) > O
Supongamos ahora que el agente tiene una utilidad cuadrática sobre el
rendimiento
u ( r ) = - r 2 + 2 r r s l
En lugar de la tabla de rendimientos:
TABLA I
TI
Tz
T3
o.163
o.293
o.225
0 .163
o.293
o.293
o .163 0 .163
0.o52 0 .o52
o o .22s
82
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utilizaremos la tabla de las u(rr)
TABLA II
0 .30 o . l 9 o. 33 o .18
T
T
T
I
z
3
o .2994
o .5001
o .3994
o .2994
o .5001
0 .5001
o .2994
o . I o13
o
o .2994
o. ro13
o .3994
Para la valoración de los rendimientos, tomaremos:
Iu(rr) - u{rr)]e*t"("i)-u(rr)l
J Y Vr(rr, rr) = - r/r(rr, rr)
Esta función, en nuestna versión de Utilidad Expandida dependiente de
la diferencia presentada en el primer capítulo coresponde a un agente
tibío fnente al éxito-fracaso y explícitamente averso al riesgo:
l lamando € = u(r) - u(r) se t iene que:- i j '
ú(r . , r . ) =r J
c o n r = rI
ü,(€) = €H(E),
Con ello obtenemos:
H(€) = e - l€ l v E
0(Tr, T2) = O.49 .I|GO.ZOOT) + O.51 ry'(O.rget)=
= O.49(-O.16420) + 0.51(0.16249) = O.OO241 > O
por lo eue T, > T,
83
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O(T1, T3) = O.48 |/r(-0.1) + O.19 V|?O.ZOO7) + O.33 \t(O.2994)=
= O.48(-O.O9048) + O.19(-0.16420) + O.33(0.22193)=
=-O .OOI39<O
T >T3 1
O(T^, T^) = O.3O r/(O.1OO7) + O.l9 ú(O) + O.33 '/(O.lO13) +2 ' 3
O.L8 VIGO.Z981) =
= O.3O(O.O9IO5) + o.33(O.O9r54) + O.I8GO.ZZL26) =
= O.O1769 > O
T >T2 3
En consecuencia, las preferencias resultan cÍclicas:
. T
Obsénvese que la aversión explícita al niesgo es irrelevante para que
las preferencias resulten cíclicas. Puede tomarse u(r) = r y tomar la TABLA
I[ como tabla de rendimientos.
El Teorema de Fishburn (1984a) garantiza la existencia de un elemento
T* e H(Tr, Tr, T.) de manera que T* > T VT e H(Tr, Tz, T3).
84
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EI Teorema proporciona además, un método para determinan T* como
solución del juego bipensonal simétrico de matriz:
o o.ooz4L -o.oor39
-o.oo24r o 0.01769
o.ool39 -0.01769 0
La solución es:
\* = 0.8232I
tr* = O.O6472
Il = o'ttzt
correspondiente al título compuesto o "título ideal"
Tx = O.8232T + 0.0647 T + O.1121 Tr 2 3
TIF -t -
o o o.Ltzt o
o o 0.0647 0.0647
0.8232 0.8232- O.a?32 O.aZ3Z
o.rtzr o o o.tLzl
0.0647 0.1768 0 0
La cartera c(I*) asociada a T*, correspondiente a la inversión
de 0.8232 u.m. en TL, 0.0,647 en T, y O.LLZI en T., tiene la misma esperanza
que T* y varianza menor:
85
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42.32 % en T,
6.47 7. en T,
ll.Zl 7" en T3
Los rendimientos de la cartera C(tr*),
son: 0.1784, O.1860, O.1375, 0.1628). Es fácil
caso, la cartera es estrictamente preferida a
(i = 1, Z, 3) y se tiene:
ESPERANZA
La cartera C(¡1, ^t, ^l)
del agente:
es la "recomendada" dadas las preferencias
en cada estado del mundo
comprobar cómo, en este
cada uno de los títulos T,
VARIANZA
o
0 .o145
o . o138
o. ooo4
ya que
Tt
Tz
Tg
c( t * )
o . 1 630
0 .1701
o . I 637
o .1635
Además,
la función ry'(€)
la
CS
cartera C(tr*) es la cartera óptima para el agente,
cóncava en el intervalo [0, l].
86
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CAPITULO 3
VERSION EXPANDIDA DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:TEST EXPERIMENTAL
3.I.- TESTS EXPERIMENTALES DE LOS MODELOS ALTERNATIVOS A LA
TEORIA DE LA UTILIDAD ESPERADA.
3.2.- TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO: EVIDENCIA EMPIRICA.
3.3.- VERSION EXPANDIDA DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:
TEST EXPERIMENTAL.
3.4.- APENDICE: RESULTADOS DEL EXPERIMENTO.
a7
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
3.1.- Introducción: Tests experimentales de los modelos al ternat ivos a la
TeorÍa de la Utilidad Esperada
La distinta forma y disposición de las curvas de indiferencia en el
triángulo de Marschak-Machina asociada a las diferentes teorías, ha
inspirado un buen número de experimentos cuya finalidad es poder comparar
los distintos modelos alternativos entre ellos mismos y a su vez con la
Utilidad Esperada para ver cuales se ajustan mejor a los datos empíricos
obtenidos.
Un primer enfoque consiste en construir conjuntos de lotenías
dispuestas en distintas zonas del triángulo y pedir a los encuestados que
realicen una serie de elecciones entre pares formados con estas loterías
hasta tener un número suficiente de puntos para poder estimar las curvas de
indiferencia de cada individuo. Los patrones de pneferencias revelados se
pueden comparar entonces con los predichos por los diferentes modelos
alternativos. En esta línea están los trabajos de camerer (1989); Battalio,
Kagel y Jiranyakul (1990); Hey y Di Cagno (1990); Camerer (1992); Starmer(1992) y Hey y Orme (1993).
La ventaja de esta clase de experimentos en los que las cuestiones son
de elección directa entre pares de alternativas, es que son relativamente
fáciles de implementar con muestras grandes y que los individuos no tienen
dificultades en general en la comprensión ni del proceso de elección ni
tampoco del mecanismo de incentivos utilizado que es a menudo del tipoI
RSLP^. El mayor inconveniente que presentan es que el número de cuestiones
debe ser suficientemente grande para poder tener un amplio rango de datos
dentro de cada triángulo ya que de lo contrario, como las preferencias de
los individuos varÍan considerablemente, puede haber una parte de ellos
I
El mecanismo RSLP (random-selection-lotery-procedure) consistesimplemente en sortear al final del experimento una cuestión particular ypagar a los individuos según su respuesta a esta cuestión. Con ello seconsigue que se piense en cada uno de los problemas como si el pago sefuera a realizar sobre él ya que de hecho puede ser así.
88
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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para los que el diseño no sea
elecciones puede reducir este
dificultades como la falta de
ejemplo, Camerer (1989).
discriminatorio. Incrementar el número de
problema pero implica otro tipo de
motivación o de concentración (ver, por
Otra posibilidad alternativa para estimar las curvas de indiferencia
de los individuos es plantear cuestiones típo-índíferencta. Una estrategia
consiste en empezar desde un punto tal como G en el triángulo de
Marschak-Machina (figura 3.1) y preguntar a los encuestados la probabilidad
p- que hace G - F = (x-, p-; X^,1-p-) sobre la hipotenusa. Después se' l ' 1 ' ' l ' 3 ' ^ l '
determinan otras probabilidades hasta tener un número nazonable de puntos
sobre la línea de indiferencia que pasa por G. Repitiendo este proceso
desde distintos puntos de partida en el triángulo, el experimento puede
construir un mapa de indiferencia para cada individuo.
f ig. 3.1
La ventaja de este tipo de experimentos es que proporcionan más
infonmación que los antes mencionados para la obtención del mapa de
indiferencia de cada individuo. El mayor inconveniente es que resultan más
complicados a nivel de realización pues mucha gente puede encontrar
conceptualmente difícil manejar las probabilidades con precisión y se hace
necesario entrevistar a los individos uno a uno para explicarles el
mecanismo o bien ayudarse de un programa de ordenador. No obstante, se
han realizado algunos trabajos de esta clase con muestras pequeñas (ver,
89
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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por ejemplo, Hey y Strazzera (1989)).
Otra altennativa distinta también con cuestiones tipo-indiferencia, es
el procedimento de buscar valores equivalentes propuesto por Loomes (1991)
y que ya había utilizado antes, en Loomes (1988a,b). Vamos a describir
brevemente este método en el contexto del diagrama triangular.
El experimento se desarrolla en torno a diferentes combinaciones de
las cinco matrices siguientes (figura 3.2):
t - p
I ( I - p ) 1-r
G
l ( l - p ) I -)r
G
)tp l - I - I p
G
A:
I p
B:
C:
)tp
D:
F x z
G v v
z.A,x z z
z)\ v v z
x.2tx z x
x . I v v x
,z .A
x z z
,2. tr z z v
90
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1-2)t+trp ¡ ( 1 - p )
G
,x.) \ x z x
x.tr x x v
f ig. 3.2
Las filas muestran acciones alternativas y las columnas representan
estados del mundo cuyas probabilidades se expresan en términos de )t y p
donde o < ¡, < I y o < p < 1. La figura 3.3 presenta sobre el triángulo las
tres prit.reras matnices para los valores p = O.6 y I = O.5. Las líneasrectas que unen cada par de acciones alternativas son paralelas. Unmaximizador de la Utilidad Esperada preferirá las aeciones F en las tres
matrices o preferirá las G, o bien sera indiferente en los tres casos,dependiendo de si el gradiente de sus curvas de indiferencia es menor,mayor o igual al de las lineas dibujadas en el triángulo,
f ig. 3.3
Si consideramos el tipo de teorÍas conformes con la hipótesis deMachina (1982) de apertura en abanico para las lÍneas de indiferencia ypensamos en un individuo tal que una de sus líneas de indiferencia pasa porG y por F, se tendrá entonces que para este agente la lfnea que pasa por
,\
FE:
9 l
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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G*.^ cortará la hipotenusa al noreste d" F".)t, mientras que su curva por
G".^ cortará a la hipotenusa al sureste del punto F".I, dicho de otra
manera, en contraste con la Utilidad Espenada ahora F - G implica F*.1 <
G * . ) r Y F " . t r > G r . ) t '
Para las teorías que predicen líneas que se abren en abanico desde un
punto situado al suroeste, en la parte inferior del triángulo y que se
cierran hacia el noreste en la parte superior del mismo (una teoría que
implica tal patrón de preferencias es la de Gul (1991)), la indiferencia
F - G implicará F*.I > G*.)r I a la vez Fr.)r ( G*.^.
Aunque las implicaciones de estos dos tipos de modelos son claramente
diferentes entne sÍ, es difÍcil diseñar un experimento del primer tipo
(estimando las líneas de indiferencia con elecciones directas), capaz de
discriminarlos, las figuras 3.4(a) y 3.a(b) ponen de manifiesto las
limitaciones de este enfoque.
fig. 3.4(a) f ig.3.a(b)
El criterio utilizado en este nuevo tipo de expenimentos supone fijar
todos los parámetros excepto "y" y buscar el valor que da la indiferencia
para cada par de alternativas. Las predicciones de las distintas teorías se
formulan ahora en términos de los diferentes valo¡'es establecidos para "y".
Pon ejemplo, si llamamos Io "
yo a los valores para los que el individuo es
indiferente entre los pares que aparecen en A y D respectivamente, aquellos
que se comporten según la Utilidad Esperada establecerán yA = yD. Sin
92
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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embargo, un individuo cuyas curvas de indiferencia se abran en abanico
F G implica Fr.Lt Gr.f de manera que el valor de "y" que de la
indiferencia en la matriz A producirá una preferencia estricta por F en D.
Para alcanzar la indiferencia en la matriz D se necesita un valor mas
grande del parámetro "y". Es decir, si las curvas se abren en abanico
entonces yA a Jo, recíprocamente si las curvas se cierran en abanico
v > v- A ' D
Es interesante observar cómo las distintas matrices presentadas pueden
evaluar también los modelos cuya elección se realiza sobre acciones como la
Teoría del Arrepentimiento (Bell (1982), Loomes y Sugden Q982, 198?)).
Para las teorías que basan su elección en loterías, las matrices A y D son
equivalentes como también lo son C y E, mientras no lo son para los modelos
con "arrepentimiento" que tienen en cuenta la yuxtaposición de las
consecuencias de diferentes acciones en el mismo estado del mundo.
De las dos formas básicas de evaluar las preferencias de los
individuos a las que nos hemos referido: los procesos de elección directa y
los de indifenencia, estos últimos serían en principio preferibles ya que
con ellos se puede obtener más información. No obstante, hay objeciones al
procedimiento de establecer equivalentes ciertos. Karni y Safra (1987) han
demostrado que si la gente se comporta según determinados modelos de
utilidad no esperada (cuando no se verifica el axioma de independencia), el
mecanismo de Becker-DeGroot MarschakZ que se utiliza en este tipo de
experimentos puede producir una ordenación de las preferencias, basada en
calcular valores equivalentes, distinta de la producida con elecciones
directas. Aunque ésta es una posibilidad teórica, no hay evidencias de que
z
Este mecanismo fue propuesto por Becker-DeGroot y Marschak (1964): Unindividuo, frente a una loteria, puede optar por quedarse con el juego obien venderlo, para lo que se Ie pide que establezca su precio de ventamínimo. A continuación se fija aleatoriamente un precio de compra, si esteprecio es mayor o igual al del individuo se le compra el boleto por- esteprecio, en caso contrario el individuo conserva la lotería. Ver laimplementación del método, por ejemplo, en Davis y Holt (1993).
93
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
este mecanismo produzca tales efectos [ver, por ejemplo, Tversky, Slovic y
Kahneman (1990)1.
Un hecho constatado en todos los experimentos realizados hasta el
momento es que los resultados son mixtos, en el sentido de que ninguno de
los modelos puede dar cuenta de todos los datos observados (ver, por
ejemplo, Cameren (1989)). Es difícil saber si esto es atribuible al
pnocedimiento experimental: los parámetros usados, la forma en que se
proponen los problemas' o a alguna otra caracterÍstica del mismo. Quizás,
apunta Loomes (1991, p. 664) la raz6n por la que cada teoría puede dar
cuenta de sólo parte de los datos es porque la población es heterogénea y
hay gente que elige según predice un modelo mientras que la elección de
otros se realiza según otro modelo distinto. Loomes añade gue, además de
que individuos dist intos es posible que actuen según modelos dist intos,
puede ocurr i r también, que un mismo individuo esté motivado por dist intas
tendencias, y que alguna de ellas se manif ieste con mayor fuerza
dependiendo de elementos externos como la forma de presentación, los
parámetros del problema o quizá los procedimientos utilizados para evaluar
las respuestas.
3.2.- TeorÍa del Arrepent imiento: Evidencia empÍr ica.
Si los experimentos a los que nos hemos referido en la sección
anterior tenían como objetivo el evaluar y comparar distintos modelos entre
sí y frente a la Utilidad Esperada, queremos ahora comentar algunos
experimentos más específ icos en los que se ha pretendido poner de
manifiesto la evidencia empírica del arrepentimiento como una explicación
plausible de algunas paradojas de la Utilidad Esperada.
La Teoría del Arrepentimiento y Ia versión que hemos llamado Utilidad
3
Para una discusién general de la importancia dede presentar un problema particular ver, por ejemplo,(1981) .
las distintas formasTversky y Kahneman
94
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Expandida difieren de la mayoría de teorías alternativas a la Teoría de la
Utilidad Esperada y de ésta misma en dos aspectos importantes. No se adopta
el axioma de la transitividad y las preferencias sobre pares de loterÍas no
están unívocamente determinadas ya que dependen de la yuxtaposición de
consecuencias en la matriz acciones,/estados del mundo. Aunque el principio
del "resultado seguro" (sure-thing axiom) se mantiene para las acciones, el
axioma de independencia puede ser violado si hay cambios en la
yuxtaposición de las consecuencias. De esto se deriva que el axioma de
independencia no se mantiene para loterías estocásticamente independientes
y se pueden entonces explicar las explicar las paradojas que tienen como
origen las violaciones de este axioma.
Vamos a ver cómo desde la TeorÍa del Arrepentimiento se explica el
efecto del "ratio común".
Consideremos el siguiente problema
(1989): la elección entre una lotería
p r o b a b i l i d a d p y O c o n p r o b a b i l i d a d
arriesgada): ganar xz con probabilidad )tp
O < p < l y ) t € ( O , l ) .
propuesto por Starmer y
S (mas segura): ganar
( l -p) y otra lotería
y O con ( l - Ip). Donde O <
Sugden
x conI
R (mas
x < xl 2
La Uti l idad Esperada establece U(S) = pu(xr) y U(R) = ) ,pu(xr) o sea
los cambios en p no afectan las preferencias. Sin embargo, hay una
considerable evidencia experimental de que la gente tiende a cambiar de
S > R a R > S cuando p decrece (ver por ejemplo Hagen (1979), Kahneman y
Tversky (1979), MacCrimon y Larson U979), Chew y Waller (1986)): éste es
el efecto conocido como cornrnon ratio effect.
Si expresamos este problema en la forma de acciones en una matriz
de consecuencias estado,/contingentes tendremos:
95
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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pw^ p ( I - w ) l p( I -w l ) l - p l t + ( l - w ) l l
R x2
x2
o 0
S x o xI
o
El parámetro w describe el
decir, la probabilidad de que la
que R de xz. Obsérvese que w
independientes y que el valor
teorías definidas sobre loterías.
grado de yuxtaposición entre xr y xz, es
acción S de el resultado xr. condicionada a
= p cuando S y.R son estocást icamente
de w es irrelevante para todas aquellas
Según la Teoría del Arrepentimiento:
n ] S e f(w) = wtrry '(xr,x,) + ( l -w)lú(xr,O) + ( l -wI)ú(O, xr) > O
Para w fijo las prefenencias son independientes de p, pero para p fija
las preferencias pueden verse afectadas por cambios en w. Si derivamos f(w)
respecto a w y utilizamos la propiedad de hemisimetrÍa de la función ry' se
tendrá que:
d f (w) /áw = t r [ r l (x - , x ) + ry ' (x , O) - r / . ¡ (x ,O) ]' 2 ' l t - 2 '
La hipótesis de aversión al arrepentimiento determina que la derivada
8f(w)/0w sea negativa para *, t *, > O con lo cual si para algún valor w*
s e v e r i f i c a q u e R - S e n t o n c e s p a r a w ) w * , S > R y p a r a w ( w * , R > S ,
es decir, la Teoría del Arrepentimiento predice una tendencia a cambios en
las preferencias de S > R a R > S cuando disminuye el valor de w.
Si R y S son estocásticamente independientes tenemos w = p, de manera
que un cambio en p implica el mismo cambio en w. De esta forma se explica
el efecto del ratio común pues se obtiene la tendencia a cambiar de S > R a
R > S c u a n d o p d e c r e c e .
96
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
En la versión expandida la función ry' cumple la condición de "aversión
al arrepentimiento" para los índividuos que allí Ilamamos temperamentales
teniéndose entonces la mismas posibilidades que en la Teoría del
Arepentimiento, los agentes tibios podrían responder como temperamentales
dependiendo de la función expansora particular y/o del rango de los
resultados.
Experimentos llevados a cabo para evaluar este heeho son los
realizados por Starmer y Sugden (1989), Loomes (1991) y más recientemente
por Humphrey (1993).
La otra característica fundamental que diferencia la Teoría del
Arrepentimiento es la de no exigir la transitividad como un axioman
normativo '.
Esta teonía predice, como consecuencia de la hipótesis de
convexidad que si aparecen ciclos éstos serán, como veremos a continuación,
en una determinada dirección y no en la opuesta (Loomes, Starmer y Sugden
(1991a).
Esta predicción de la Teoría del Arrepentimiento se ha presentado como
una interesante explicación del fenómeno de la reversión de las\
preferencias". Recordemos que la paradoja surge cuando se evalúan loterías
que tienen aproximadamente el mismo valor esperado: una lotería con un pago
pequeño relativamente "seguro" $ I otra mas "arriesgada" P con un pago alto
y una probabilidad pequeña de lograrlo.
4
Para unanormativo ver
discusión enSugden (1985)
torno a la transitividad como un principioy Fishburn (1991).
5
Esta paradojay Slovic (1971), side Grether y Plott
fue originalmentebien se considera
0e7e).
puesta de manifiestocomo trabajo clásico
por Lichtensteinen este tema el
97
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Si Ilamamos V* al
que un individuo está
correspondiente para la
Las tres filas son
s e s u p o n e n a ) b ) c >
pares {A, B}, {8, C} y {C,
pnecio de reserva de la lotería
dispuesto a vender su ticket y
lotería P se t iene:
$ - U $ = V " - P < - - - - + $ > P
acciones alternativas A, B
d = e. Apl icando la regla
A) se t iene:
$ (precio mínimo
no jugan) y Uo
y C, Ias consecuencias
de elección a los tres
al
el
La reversión de las preferencias se produce porque hay individuos para
los que V$ t V" pero P > $. Es decir, asignan un valor superior a la
lotería con mas premío pero cuando se trata de elegir prefieren la lotería
mas segura.
Veamos cómo desde la Teoría del Arrepentimiento se puede explicar la
paradoja de la reversión de las preferencias.
Consideremos la matriz de consecuencias estado-contingentes siguientel
b ) + p ' 2
c ) + p ' 2
a ) + p ' z
pt
p t
p l
A >
B >
C >
B
C
A
V(a,ry'(b,
ú(c ,
, !(d,
ry'(b,
úb,
P3ry'(d'
P.Ú(e,
PrÚ(c,
b )
c )
d )
e )=o
c ) = O
d )=o
Sólo
y c > A .
sean no
negativas.
son pos ib les dos c ic los : A > C, C ) B , B > A o b ien A > B, B > C
Para que se de el primero es necesario que las tres desigualdades
positivas, mientras que el opuesto requiere desigualdades no
98
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Sumando los tres términos y haciendo uso de la hemisimetría tendremos:
[ r / (a, b) + ry '(b, c) - r l (a, c)] + pz[ú(b, c) + r /(c, d) - r / (b, d)] +
lr / (c, d) + ry '(d, e) - ry ' (c, e) l
La propiedad de convexidad de la función Vt en la Teoría del
Arrepentimiento obliga a que los dos primeros corchetes de la última
expresión sean estrictamente negativos y el tercero no positivo, siendo por
tanto sólo el primer ciclo consistente con la teoría. Los resultados del
experimento de Loomes, Starmer y Sugden (l99la) pusieron de manifiesto la
aparición sistemática de intransitividades y que la mayoría de Ios ciclos
observados eran en la dirección predicha por la teoría.
Supongamos ahora un individuo cuyas preferencias presenten el ciclo B
> A, C > B, A ) C. Para esta persona el equivalente cierto de A (la apuesta
$) debe ser más grande que c, mientras que el equivalente cierto de B (ta
apuesta P) debe ser menor qu" "6.
Peno ya que B > A la lotería de mayor
probabilidad de premio es preferida en la elección directa, lo que se
corresponde precisamente con el hecho de revertir las preferencias.
Nos gustaría hacer notar cómo la posibilidad de que la función ttt
cumpla la propiedad de concavidad (compatible con la versión expandida)
permitirÍa explicar las cíclos en las dos direcciones. El hecho de que el
primer ciclo aparezca con mayor frecuencia no es contradictorio con el
modelo de la utilidad Expandida pues éste intuitivamente predice un mayor
número de agentes con actitud temperamental que con actitud tibia y
acomodaría la observación empírica de que la reversión de las preferencias
sea mas frecuente en uno que en otro sentido.
pl
p3
6
Ya que el resultado "ganar" para la accion Aaccion B que por el contrario tiene una probabilidadpodemos considerar A como una lotenía $ y B
es mayor que para lamás elevada de ganar,
como una lotería P.
99
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Otras posibles explicaciones al fenomeno de la reversión de
preferencias, pueden Verse en los trabajos de Karni y Safra (198?), Segal
(1987), Holt (1986) y Tversky, Slovic y Kahneman (1990).
Otno de los tópicos en esta literatuna es el de la monotonicidad o
preferencia por la dominancia estocástica de primer orden. Esta hipótesis
es considerada por una amplia mayoría como una hipótesis de racionalidad en
elección en condiciones de riesgo e incertidumbre. Una de las implicaciones
sorprendentes de la Teoría del Arrepentimiento es que los individuos pueden
violar la monotonicidad.
La hipótesis de crecimiento en la pr imera componente de la función de
valoracion ,lt implica Ia propiedad de preferencia por la estado-dominancia.
Una acción A. estado-domina a otra acción O, si "ru
= "ju
es cierto para
todo k, con, al menos, una desigualdad estricta. La propiedad
preferencia estado-dominancia significa que A, será preferida a A..
Es fácil probar que
estado-domina a A. entonces:
(¿) Ah >
A, impl i"J cu" Rn ,
(¿¿) A . >
A . imp l ica que A. >j - h
' - i
7
An y A, son estocásticamente
misma distribucion de probabilidad
dadas tres acciones Ah, A¡, A donde
Aj
Ah
Si una acción A. domina estocásticamente a otra A., existe una terceraJ
acción A. tal que A. estado-domina a A. y A. es estocásticamenteh ? - i h - h
equivalente a A.'. La Teoría del Arrepentimiento o la versión ExpandidaJ
verificarían la monotonicidad si las acciones estocásticamente equivalentes
fueran siempre indiferentes, pero si éste no es el caso, pueden aparecer
violaciones de la misma.
equivalentes si se pueden reducir a la
sobre sus consecuencias.
loo
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Supongamos las acciones A,
matriz l. Las consecuencias son x
misma probabilidad 1/3 de ocurrir.
I A, estocásticamente equivalentes de
, ' *, t *a Y los tres estados tienen
la
la
A t A
2
Matr iz I
t / 3 1 /3 r / 3
<r ry '(x", xr) - r / (xr, *r) - ry ' (xr, xr) > O
De nuevo, la hipótesis de convexidad para la función Vr hace que la
Teoría del Arrepent imiento impl ique A, u Ar, Io que es una violación de la
equivalencia. Este ejemplo i lustra la intuición psicológica detrás del
arrepentimiento: el individuo es averso a grandes "arrepentimientos" y ante
dos acciones estocásticamente equivalentes elige la que proporciona menor
potencial de arrepentimiento.
Obsérvese que en este caso los individuos t ib ios del modelo expandido
pueden elegir la acción A, dando más peso en la valoración global, a los
dos estados del mundo que comportan menores diferencias entre los
resultados.
Consideremos ahora la matriz 2. Esta representa la elección entre la
misma acción A- de la matriz I y una nueva acción A^ que es idéntica a AI - 3 ' - - - - - - - - - - - - z
excepto una pequeña cantidad que se ha añadido al resultado xr. Ya que A"
domina estocásticamente a A, la monotonicidad requiere que sea preferida a
ésta. Sin embargo, será posib le encontrar un valor posi t ivo para €,
suficientemente pequeño, de manera que A, t Aa, violando así la dominancia
estocástica.
lo l
x x x3 1 2
xxxr 2 3
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Mat r i z Z
L / 3 t / 3
EI trabajo de Loomes, Starmer y Sugden (l99Ib) desarrolla un
experimento para chequear las violaciones de la dominancia estocástica y de
la equivalencia. Los resultados obtenidos ponen de manifiesto el gran
número de violaciones a la dominancia estocástica de acuerdo a las
predicciones de la Teoría del Arrepentimiento. Sin embargo, no se
observaron violaciones a la equivalencia.
A continuación presentamos un experimento para chequear empíricamente
la versión general del modelo expandido. Si la Teoría del Arrepentimiento
predice que las desviaciones respecto a la Utilidad Esperada son siempre en
el sent ido que determina la aversión al arrepent imiento, la versión
expandida permite además que Ios agentes denominados tibios puedan
responder en sentido opuesto dependiendo de los resultados y de su función
expansora.
/ 3
t02
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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t l 1
3.3.- Versión Expandida de la Teorla del Arrepentimiento: Test experimental
Consideremos el problema de elección entre el par de alternativas N y
F siguientes:
P l - p
donde x- > x^ > O son resultados monetarios y donde p y (l-p) son last zprobabilidades de los estados del mundo correspondientes.
Supóngase que un individuo es indiferente entre N y F para la
probabilidad p = p*.
Si se considera ahora el problema:
' 7 , o ) , 1 -P*
P o x zx + x
t 2-*---z-F xz x
2x
2
Para un agente maximizador de la utilidad esperada, se verificará que:
N - F <r (1-p*) u(xr) = u(xr)
donde u(.) es la utilidad sobre la riqueza que se entiende cóncava
para los agentes aversos al riesgo.
Normalizando de modo que u(xr) = l, se tendrá que u(xr) = l-p*.
Para el problema [2] se verificará que:
lzl
. i , . ' u(xr) l $u(xr)+(r-p*)" [4 j1]
N o xI
F x2
x2
t03
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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( l -p* )
Y por la concavidad de u(.):
f - x + x I(1-p*),,1-+_lr iP . ' rr-$r i
F. Si el
P - F .
*,t-o*, = (r- g)+ u(x,)+ + u(xr)= + +
De manera que P
verificarse obviamente que
Si observamos el problema
acciones N y F, vemos que se
decisión de seguro pleno en el
cuantía de la pérdida es x, y la
N corresponde al no seguro y la F
agente fuese neutral al riesgo, debería
[1], que presenta la elección entre las
podría interpretar como un problema de
que la probabilidad de pérdida es p, la
prima que paga el agente *r- *, (la acción
al seguro pleno).
El problema [2] presenta la elección entre el seguro pleno y el seguro
denominado probabilístico en el caso particular de Khaneman y Tversky
0979). Se considera la prima justa para la que el individuo es indiferente
entre asegurarse o no, o bíen, dada la prima, Ia probabilidad p* de
indiferencia y, en este caso, para r = l/z la alternativa p se corresponde
con el seguro pnobabilístico chequeado por Kahneman y Tversky (19?9). Este
experimento puso de manifiesto que el 8O7" de los individuos prefería el
seguro pleno en contra de la predicción de la Utilidad Esperada. [ver para
más detalle la memoria "Tres ensayos sobre la Teoría del Arrepentimiento:
Aplicación a problemas de seguro, capítulo II, Sirvent (1994)1.
Consideremos ahora un agente que elige
Arrepentimiento de Loomes y Sugden (1982).
supone:
acuerdo con la Teoría del
i n d i f e r e n c i a e n t r e N y F
de
La
p* ry'(O, xr) + (t-p*¡ ry'(x,, xr) = O y por la
lo4
hemisimetría de la función
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
(l-p*) ry'(xr, *r) = p* ry'(xr, o)
En el segundo problema la elección entre F y P para esta probabilidad
de indiferencia verificará:
! n* l - x . + x^ lt? t <+ T l l t t * " ,o )+( l -p* lúL*r ,#)
ls
ñ* t- x- + x^lé T úl*r, o) + (l-p*l U[_*2, -+) i o
l - x +x I<r p* r!(xr, ü Z z (l-p*) ,!l*+, *,
J
T x +x I. l ( l-p*) ry'(x,, xr) I z (t-p*) f l-t*, *,
l
* + ú(x,, xr): -[ *, *r*,,
*, ]
La convexidad de la función {t garantizaría que el primer miembro de la
desigualdad fuera mayor con lo que se tendría F > p, es decir, los
individuos aversos al arrepentimiento pueden elegir el seguro pleno con loque Ia teoría del Arrepentimiento es compatible con este tipo de elección.
El modelo expandido establece:
. i , * , ry ' (x , , x , ) : - [ * ' ) * ' ,
* , ]
o !.&,-*,) H(x,, *,)'¿ i+] "[ *'
; .'
, *, ]f x +x I
c+ H(x,, *r) .1 "L-a=--3, ", l
l05
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
I x .+x^ . l l - x .+x^ IH(x,, xr) > HL -+, *,
) . H[ *o -#
]
l - x +x Ique implica H(x,, *r) r H[ -J23, xz
J elesirán el seguro pleno,
mientras los tibios podrán elegir el seguro probabilístico o el pleno. Losagente tfpicamente tibios para los cuales la función expansora cumple:
l -x .+x^ IH(xr, *") .
" | -!ZJ , xz
I elesirán el seguro . probabilfstico al igual
que los .g.nt"r-.aximizador"" a" la util idad esperada.
Consideremos un tercer problema en el que enfrentamos ahora el seguro
probabilístico a la posibilidad de no comprar ningún tipo de seguno para la
misma probabilidad de indiferencia entre N v F.
Los agentes temperamentales, para los cuales:
o) , o ) , I - p*
N o o xI
P o x2
x + xt 2
¿
Para un agente Von Neumann se tendrá: F ¡ N, p > F y p > N.
Veamos que es compatible con los otros modelos que los individuos no sean
transitivos para estos tres pares de acciones:
N - P e (1-p*) ry'(xr, xr) = p* ry'(xr, O)
t31
*i" *{ , lrc,*r)*(r-p*)*[*,,+"] io
l06
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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.t- *r**, I ,2(1-p*) Vl#, *r) i o* ,ltlxr, o) = (1 -P*) ry'(xr, xr)
. l- *r**rl,2(l-p*) ,L*r, Z ,l . p* ú(xr, O) = (l -p*) ry'(xr, xr)
I x +x - l
I - x +x I, l I z | . l | 2 | >,l'L----Z-, *") * úL*,, --l . ,/(*,, *z)
Puesto que *, , * t
)" ' . * , la hipótesis de aversión al
arrepentimiento o de convexidad para la función {t en la Teoría del
Arrepentimiento.
T x +x I l - x +x ' l' / l -+, *,1 * ' i I xt,-Lz 3 | < v,{*,, xr)
L A " J L I ' J
explicaría uno de los posibles ciclos: N - F > P > N. El ciclo opuesto
F - N > P > F se explicaría con la actitud típicamente tibia.
Para las mismas cantidades ",
y x2 que aparecen en el problema tll
consideremos una nueva elección representada por las acciones N' y M en el
siguiente problema I l l ' :
l - q
I r ] '
Para cualquier pareja {*r, tr) con ",
u *, ) O, el problema tllpresenta la elección entre dos alternativas N y F y el problema [1]' entre
las alternativas N' y M como las de la figura 3.S.
l07
N ' o xI
M x2
o
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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.l
/ '1
J I
f ig 3 .5 (a)
Si en ambos problemas consideramos la probabilidad de indiferencia, la
Teoría de la Utilidad Esperada implica:
N 7
z - '.2- -
a'DF
( l - p*) u(x , ) = u(xr )
(1 - q*) u(xr) = q* u(xr) = ( l - p*) q* u(xr) -> (t -p*¡
lo que signif ica que las lÍneas de indiferencia NF(ver figura 3.5).
La TeorÍa del Arrepentimiento predice:
t l l p* V,(O, *r) * ( l - p*) ry'(xr, xr) = O
o (l - p*) ú(xl, *r) - p* ú(xz, o) + ú(x2, o) - ry'(xr,
<r (1 - p*) lry'(xl, xr) + ry'(xr, O)l = rl(xr, O)
[1] ' q* V,(O, tr l * (1 - q't-¡ ú(xr, O) = O
<+ (1 - q*) ú(xr, o) - q* r!(xr, o)
l - q ne ry'(xr, O) = --¡*- ry'(xr, O)
l - q *=
q*
y N'M son paralelas
O ) = O
l08
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Por tanto de [1] y [1] ' se t iene:
(1 - o*¡ [ry'(xr, x"l + ú(xr, o)l = !I
r/(x¡, o)
Si la función r/ verifica la condición de
ry'(xr, xr) + rlt(xr, O) < ry'(xr, O) -----+ (l -
Si la función r/ verifica la condición de
ty'(xr, xr) + {t(xr, O) > ú(xr, O) ------+ (l -
convexidad:
l - q *p*) > -dr-
concavidad:
1 - q *p*) < --
q-
La condición de convexidad implica en el triángulo de Manschak-Machina
que la pendiente de las lÍneas de indiferencia es mayon en N que en N', loque significa que dichas líneas de se abren en abanico, ver fig. 3.5(a),
Ieste sería el caso de la Teoría del Arrepentimiento o el del individuo
temperamental en la Utilidad Expandidal.
La condición de concavidad supone que las líneas de indiferencia
tienen menor pendiente en N que en N' y ésto se interpreta como cierne enabanico hacia un punto del noreste del triángulo, ver fig. 3.5(b). Lavensión Expandida de la Teoría del Arrepentimiento permite esta posibilidad
y a la vez que los individuos clasificados como tibios puedan cambiar, para
distintos triángulos, la forma de sus líneas de indiferencia permitiendo
que en unos triángulos se cierren y en otros se abran en abanico.
Partiendo de estos presupuestos se planteó la prueba empfrica conlos siguientes objetivos:
(a): Volver a repetir el experimento de Khaneman y Tversky respecto alseguro probabilístico con pagos reales (el experimento or"iginal no estuvomotivado f inancieramente).
(b): Observar el comportamiento de los individuos
l09
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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cuando se enfrentan los dos tipos de seguro (el pleno y el probabilfstico)
al no seguro, para validar los res¡¡ltados del capítulo II de la
memoria "Tres Ensayos sobre la Teorfa del Arrepentimiento:
Aplicaciones a problemas de seguro", Sirvent (1994)
(c): Verificar la aparición o no de ciclos en las preferencias, puesto que
se trata de tres alternativas valoradas por parejas y corroborar asÍ, la
posibilidad de intransitividades cuando la elección es binaria.
(d): Como objetivo último del experimento se pretendía chequear los
distintos tipos de agentes predichos por" el modelo expandido: qué
proporción de individuos tienen las curvas de indiferencia abiertas en
abanico (son temperamentales), cuántos tienen curvas de indiferencia que se
cierren en abanico (son tibios típicos ) y cuántos cambian su actitud, es
decir, la forma de sus líneas de de indiferencia dependiendo de los
resultados.
3.3.1.- Diseño del experimento.
El experimento constaba de dos partes diferenciadas una de las cuales
recogía cuestiones de elección directa entre un par de alternativas. Estas
cuestiones pretendían chequear el comportamiento de tos individuos en
problemas relativos a los seguros. Las cuestiones de la otra parte trataban
de dilucidar la probabilidad de indiferencia de los individuos para
distintas loterías y poder testar así los distintos tipos de individuos
según su actitud temperamental.
Se plantearon 16 problemas de elección en cuatro formatos distintos:
formato (a), formato (b) y problemas de seguro en los formatos (c) y (d)
como muestra la figura 3.6.
ilo
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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A o xI
B x z x2
formato (a)
? too
p t l o o - p
fo rmato (b )
? too
q ' I O O - q
fo rmato (c )
p / 2 , p / Z | 1 0 0 - p
fo rmato (d )
Ptz p roo
p / 2 ' p / 2 | I O O - p
f ig . 3 .6
De las 16 cuestiones, 12 formaban 6 pares de problemas (a) y (b) donde
A o xI
B x2
o
P lz ! ' rgo
A o x2
xxt + 2_-;-
¿-
B x2
x2
x2
A o o xI
B o x2
x + xt 2------;-
¿
n l
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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las cantidades que apareclan para xr y xz eran las mismas para cada par.
Las 4 cuestiones restantes eran dos panes de problemas (c) y (d) con las
cantidades *, ! *" también iguales para cada par.
Al inicio de cada sesión cada individuo se sentó frente a un ondenador
personal y eligió al'azar un sobre de un montón de lOO y lo conservó hasta
finalizar el experimento. Cada uno de los sobres contenfa una tarjeta con
un número del I al 1OO. Cada individuo dispuso de un folleto (ver Apéndice)
donde aparecía la explicación detallada del experimento. Además, se realizó
una explicación verbal al mismo tiempo que en el ordenador se resolvían
cuatro cuestiones prácticas, una de cada tipo. 'El
objetivo de estas
cuestiones prácticas era que cada uno de los sujetos participantes en el
experimento se familiarizase con el equipo y el procedimiento experimental
aunque se insistió en que podían pedir cuantas aclaraciones deseasen
durante el desarrollo de la sesión. La figura 3.7 muestra las dos
cuestiones prácticas propuestas en los formatos (a) y (b).
Problema (a) Problema (b)
l ig . 3 .7
En los problemas (a) y (b), la primera alternativa A ofrece laposibilidad de ganar fO.OOO pesetas si el número del sobre elegido por el
individuo está comprendido entre 5l y IOO y O pesetas si dicho número está
comprendido entre I y 5O. La alternativa B en el formato (a) garantiza unpago de 4.OOO pesetas con independencia del número contenido en el sobre y
en el formato (b) es otro juego que ofrece el 50% de oportuninades de tener
3ooo pesetas. La línea inferior de la tabla explicita el número deposibilidades o "suertes" correspondientes
altennativa.
to . oooi s l
fiz
a cada resultado en cada
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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Dependiendo de las preferencias del individuo, el programa plantea un
nuevo problema de decisión en el que las suertes o posibilidades de obtener
los diferentes pagos son modificadas. si la elección inicial es A, el
programa desplaza la linea central (punteada) 24 puntos a la derecha, de
manera que A ofrece en la segunda iteración 26 suertes de IO.OOO y 74 de
cero mientras que B, en el problema (a) sigue ofreciendo 4OOO con seguridad
y en el problema (b) ofrece 74 oportunidades de 4.OOO frente a 26 de nada.
En esta nueva posición de la línea, los participantes tienen que repetir la
elección y, en esta iteración, la línea se mueve 12 puntos a la derecha o a
la izquierda dependiendo de la preferencia manifestada. Después de una
tercera elección, la línea se mueve 6 puntos en la dirección apropiada. Por
último, en lugar de una nueva elección, aparece un mensaje recordando al
individuo sus decisiones previas y permitiéndole un ajuste final de la
probabilidad con la tecla del cursor hasta que alcanza el punto donde las
dos alternativas son igualmente atractivas, lo que se le advierte al
individuo con el mensaje "si otra persona decidiese por usted, le daría
exactamente lo mismo cual fuese la alternativa elegida y cual la
rechazada".
El otro tipo de problemas que se plantearon en este experimento eran
de elección directa. La figura 3.8 muestra las otras dos cuestionesprácticas que se realizaron y que corresponden a los formatos (c) y (d).
P r o b I e m a ( c )
Plz p
p / 2 I O O - p
l l 3
A o 4 . O O O 7 . O O O
B 4 . O O O 4 . O O O 4 . O O O
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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A o o lo . ooo
B o 4 . O O O 7 . O O O
Prob I ema (d )
Ptz
P / 2 p / 2
f ig. 3.8
l o o
Los participantes debían resolver cuatro cuestiones de esta clase. El
problema (c) plantea la elección entre el seguro probabilístico de Kahneman
y Tversky (1979) y el seguro pleno; el segundo modelo (d) se corresponde
con un no seguro enfrentado, de nuevo, al probabilístico. La probabilidad
que aparece en ambos casos es la propia del individuo para la que manifestó
indiferencia cuando enfrentó el seguro pleno al no seguro (problema (a)).
No se permitió la indiferencia y en los casos en que el individuo fuese
indiferente entre las dos alternativas debía simplemente elegir al azar
entre una de las dos opciones.
Después que los individuos respondieron al total de los 16 problemas
planteados en cada sesión, se sorteó el número de cuestión sobre la que
debian realizarse los pagos. Este es el mecanismo usual en este tipo de
experimentos, el hecho de que los pagos no dependan en un principio de una
cuestión concreta induce a que los participantes traten cada una de las
cuestiones como si de ella, en particular, dependiese su premio.
si la cuestión sobre la que se realizan los pagos es una del tipo depreferencia estricta, cada individuo recibe el pago dependiendo de que
haya elegido A o B y del número que contiene su sobre. Si la cuestión esdel tipo indiferencia el mecanismo es como sigue: Cada individuo esemparejado aleatoriamente con otro y el pago que recibe depende de suspreferencias en la tabla de su compañero/a, por ejemplo, supongamos que lacuestión sobre la que se materializan los pagos presenta para los dosindividuos emparejados los datos de las siguientes tablas:
f i4
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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A
B
A
B
I n d i v i d u o I Ind i v iduo 2
Puesto que el primer individuo afirma ser indiferente entre lO suertes
de IOOOO pesetas y 4OOO con seguridad, es claro que 2O suertes para 1OOOO
le parecen una mejor elección, por lo que en esas condiciones preferiría A
en la tabla del individuo 2, si ahora abre su sobre y el número está
comprendido entre 80 y loo, recibirá lo.ooo pts. Si el número del sobre
está entre I y 8o, no recibirá pago alguno. Para el segundo individuo, como
manifestó su indiferencia para 2O suertes de 1OOOO pesetas, la decisión del
pnimero (indiferente lo suertes de loooo), le parecerá peor: con
independencia del número que contenga el sobre, recibirá 4ooo pesetas.
Este mecanismo fue discutido ampliamente en cada sesión. Se explicó
eu€, decir la verdad respecto a las pneferencias garantiza jugar a una
alternativa que es al menos tan preferida como la no jugada. El hecho de
mentir no garantiza tener algo más preferido y si puede, en cambio, obligar
a jugar una alternativa menos preferida, en el folleto explicativo del
experimento (ver Apéndice) aparecía una comprobación. Una demostración
formal de este hecho aparece en el trabajo de Loomes (1999).
3.3.2.2 Resultados y anáI is is
El experimento se realizó en dos etapas y en total tomaron parte lO6
estudiantes de los últimos cursos de Económicas, Sociología y
Empresariales.
La primera etapa se realizó con pagos reales y en ella participaron SZpersonas de los tres colectivos mencionados, en tres sesiones sucesivas v
l l 5
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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se pagó a cada uno de los individuos según la nespuesta dada a la cuestión
sorteada.
En la segunda etapa no se realizaron pagos en general y para motivan a
los individuos a que pensaran cuidadosamente sus respuestas se sortearon,
al final de cada sesión, dos estudiantes a los que se pagó con el mismo
mecanismo de la primera fase. Se realizaron también tres sesiones en esta
segunda etapa y cobraron seis de los 54 participantes. Aunque los
resultados no difieren sustancialmente los presentaremos por separado y
conjuntamente.
3.3.2.1.- Análisis de los problemas de seguro.
Los problemas de elección dinecta
fueron cuatro, divididos en dos pares
enfrentaba el seguro probabilístico
probabilístico al no seguro N, la figura
que resolvieron los encuestados.
p * / z
p* /z
p * / z
relativos a problemas de seguro
del mismo tipo. En cada par se
P, al pleno F, y el seguro
(3.9) muestra los cuatro problemas
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
*/z
N o o to. ooo
P o 7 . O O O 8 .500* 1 0 0 - p
f ig. 3.9
Las probabilidades se fijaban para cada individuo dependiendo de la
probabilidad de indiferencia p* que él mismo había establecido en el
problema (a) correspondiente. En este problema aparecían enfrentados el no
seguro al seguro pleno para los valones *, = IO.OOO y *r= 9 OOO en el
primer par y Xr= lO.OOO y xr= 7.000 en el segundo. Los individuos
contestaron pues, a dos tripletas de problemas NF, PF y NP donde
en primer lugar establecían la probabilidad p* tal que N - F.
Somos conscientes de las limitaciones de la simulación de un seguro
en este t ipo de experimentos ( téngase en cuenta'que las pérdidas aparecen
como no ganancias y las cantidades de dinero ofrecidas son relativamente
pequeñas si se compara con un seguro real), pero es bien sabido que es
difícil encontrar candidatos para realizar estos experimentos con pérdidas
reales. No obstante, se piensa que estas cantidades son adecuadas para que
el colectivo particular de estudiantes encuestados las considere
relevantes: de hecho las cantidades de dinero ofertadas en este
experimento, han sido relativamente mayores a las ofertadas en otros
experimentos semejantes dirigidos a colectivos de estudiantes, (ver, por
ejemplo, Hey y Di cagno (199o); Loomes (1989) o Loomes, Starmer y Sugden(leel)
Los resultados que se obtuvieron, recogidos en las tablas l(A) y l(B)
del apéndice son los siguientes:
EL 627. de individuos eligieron
probabilístico en la fase con pagos reales
seguro pleno frente al
un 56.5 % en la etapa con
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el
v
n7
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
pagos parciales. En términos globales el 59.5 7. eligió el seguro pleno. En
los problemas que enfrentaban el seguro probabilfstico al no seguro, los
resultados presentaban una asimetrfa similar, en el sentido de que los
sujetos pnef irieron mayoritariamente cubnirse fnente al riesgo (globalmente
el 6Q% eligió el seguro probabilístico). Ello nos permite pensan que aunque
no se permitió la'indiferencia, los encuestados no contestaron al azar y
eligieron de acuerdo con sus verdaderas preferencias. Se confirmarfan
entonces las predicciones de Kahneman y Tversky 0979) aunque no en el
elevado porcentaje que ellos obtuvieron. No obstante, recuérdese que la
pregunta formulada por estos autores era hipotética y que no hubo
motivación financiera.
Los dos tripletas de problemas, la primera con xz = 9.OOO y la segunda
con x-= 7.OOO arrojan prácticamente resultados idénticos por lo que2
podríamos entender que la valoración no depende del valo¡. relativo del
resultado central xz. Ello avalaría el análisis de estos seguros utilizando
el modelo de Utilidad Expandida dependiente de la dife¡"encia de ¡.esultados
nealizado en la memoria "Tres Ensayos sobre la Teor'fa del Arrepentimiento:
Aplicación a las decisiones de seguro", Sirvent (1994).
Resaltaremos también la existencia de fallos de transitividad. En las
dos etapas del experimento aparecen individuos cuyas preferencias son
clclicas entre las alternativas F, P y N: Hay dos tipos de ciclos posibles,
N - F > P > N y F - N > P > F. El hecho de que el núme¡"o de veces que
aparece el primer ciclo (4L.57. sobre los datos globales) sea
considerablemente superior
posibilidad de que sean
segundo (21.5 7.1 descarta de nuevo la
errores los últimos causantes de las
intransitividades. Si así fuera, el número de ciclos debe¡"ía ser idéntico
en ambos sentidos. Este resultado asimétrico confirma el obtenido por
Loomes, Starme¡" y Sugden (1991). señalaremos además, gu€ el segundo tipo de
ciclo es compatible con el modelo Expandido y correspondería a posibles
respuestas de un agente que manifiesta tibieza frente al éxito/fracaso.
al
los
l l 8
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
3.4.2.22 Análisis de los problemas tipo indiferencia.
La tabla 2 del Apéndice recoge las respuestas de los individuos a los
6 pares de problemas (a) y (b) como sigue: Las filas primera y segunda
recogen el número de individuos que establecen claramente l-p > (l-q)/q ó
l-p < (l-ql/q en cada par8, de uno a otro par sólo cambia el resultado
central xr. Ya que p y q son enteros (con valores entre I y IOO) serfa casi
imposible el que apareciesen individuos con la igualdad exacta, se han
ajustado los decimales al entero más próximo por arriba o por abajo al
valor entero de l-p además, se han considerado iguales todas aquellos datos
cuya diferencia es de una unidad en uno u otro sentido (las tablas 3(A) y
3(B) del Apéndice recogen los resultados ajustados para cada individuo). La
tercera fila recoge todos los casos en los que con este ajuste se ha dado
l-p = (l-q),2q. En la última fila aparecen bajo la denominación de "otros"
todos aquellos casos donde se ha violado la dominancia, estableciendo p > q
o q < 50. La tabla I recoge por separado las respuestas de los encuestados
en tres bloques: 2(A) para el experimento con pagos reales (primera etapa),
2l3) para el experimento con pagos parciales y 2n para los datos
globales.
Hay autores que piensan que el comportamiento observado de los
individuos se podría corresponder con agentes que maximizan la utilidad
esperada pero que cometen errores (véase, por ejemplo, Hey y orme (t993)).
Aceptando la dificultad que supone el establecer la probabilidad
equivalente y el hecho de que los individuos pueden cometen errores tanto
en la comprensión como en la valoración sería realmente dicífil que
apareciesen verdaderos maximizadores de la utilidad esperada en estaspruebas experimentales. En su lugar lo que se puede hacer (ver Loomes(1989)) es pensar que un individuo que se comporte según esta teoría
establezca l-p = (l-q),zq un número igual de veces que l-p s (l-q),2q.
Tomando esta hipótesis como la hipótesis nula, frente a la hipótesis
alternativa de que el resultado l-p > (l-q)/q ocurre más frecuentemente que
8
El valor de p es el de la(a) y el de q la probabi l idad de
probabilidad de indiferencia en el problemaindiferencia en el problema (b).
l l 9
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
p = (l-q)/q la tabla 1 muestna cómo la hipótesis nula se puede rechazar en
3 de los 6 pares (justamente en los pares de problemas (a), (b) en los que
el resultado intenmedio x, es mayor). Ya que los fallos de dominancia son
casos en los que debe darse l-p < (l-q)/q, si los incluimos en el análisis
obtenemos que la hipótesis nula puede entonces rechazarse todavía
claramente en los mismos tres pares9.
Los diagnamas de barras I(A) y I(B) del Apéndice muestran los
porcentajes de los resultados l-p > [-Q/q y de l-p < (1-q),2q. Si los
individuos se comportan según la Teonía del Arrepentimiento las
probabilidades de indiferencia deberían cumplir siempre l-p > (l-q)/q, si
admitimos que los individuos se pueden comportar como aversos al
arrepentimiento con errores, tendniámos el mismo númeno de desviaciones en
todos los pares. Sin embargo, los diagramas muestran que los individuos no
se comportan de la misma forma en unos triángulos que en otros. Para
resaltar este hecho obsérvese que si en los tres primenos pares el
porcentaje de los individuos que establece l-p > (I-q)/q es del 35.5% y Ios
que establecen l-p < (L-q)/q son el 36.77", estos porcentajes se convierten
en el 637. para ">" frente aI ?57" para "<".
Estos resultados son consistentes con la versión Expandida de la
Teoría del Arrepentimiento: los individuos temperamentales eligen en el
triiángulo de Marschak-Machina como los aversos al arrepentimiento pero los
tibios, pueden cambiar su elección en la dirección temperamental. Ello
ocurre preferentemente cuando eI resultado x, es más próximo al resultado
mayor *r. Ello estaría en concordancia con las implicaciones sobre la
función expansora H(.,.) de nuestra versión Expandida de la Teoría del
Arrepentimiento (ver sección 1.3, consecuencia CIO)
Otra forma de estudiar los datos es la de tomar al individuo como la
unidad de análisis. Si consideramos 7 clases distintas que van desde un 6:O
9
El individuorespuestas fueron
número 52 no se haabsolutamente idénticas
incluido en la muestra pues susen todas las cuestiones.
LZO
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
hasta un 0:6 según el número de veces que se haya establecido l-p > (l-q)/q
o l-p < (I-q)/q en los seis pares de problemas, cada individuo estará
clasificado en una de ellas. En los casos donde l-p = 1-q)/q, se considera
media observación en cada una de las clases adyácentes así por ejemplo, unindividuo que establezca ">" en 3 pares, "<" en dos panes
" "=" en un p¿Ir
es clasificado como media observación en la clase 3:3 y media en la clase
4:2. Las tabias 3(A) y 3(B) del Apéndice recogen los valores de l-p y de(l-q)/q para cada individuo y la clase a la que pertenece.
Si la hipótesis nula es que los individuos son realmente maximizadores
de la utilidad esperada y que las desigualdades entre l-p y 0-ü/q son
debidas sóIo a errores, la frecuencia de las observaciones en cada una de
las siete clases se podría estimar sobre la base de la distribución
binomial con p = 0.5. Los diagramas II(A) (con pagos), II(B) (con pagosparciales) y II(C) (datos globales ) muestran la frecuencia real de cada
clase (barras rayadas) y la distribución binomial para p = O.5 Oíneacontinua). Un test chi-cuadrado muestra claramente para los datos globales
que se puede rechazar la hipótesis nula, la probabilidad de que elcomportamiento observado sea consistente con una muestra de maximizadores
de la Utilidad Esperada es menor que O.OO0096.
Si clasificamos los datos globales en dos muestras que recojan por unaparte, las respuestas de los individuos a los pnoblemas donde x2 toma losvalores looo, 2o0o y 3ooo y por otra, las respuestas a los problemas donde
x, vale 7OOO, 8OOO y 9OOO, podemos observar (ver diagramas III(A) y III(B))
la notable diferencia entre ambos conjuntos. Mientras en los triángulos
corespondientes a valores de x, bajos, el compontamiento observado podría
ser consistente con una muestra de individuos maximizado¡"es de ia Utilidad
Esperada con errores, para los valores de x, próximos a IO.OOO la hipótesis
de que los individuos se comportan según la teoría clásica es claramente
rechazada.
Si bien es cierto que la Teoría del
versión Expandida son generalizaciones
comportamiento diferenciado, dependiendo
Arrepentimiento al igual que la
de la Utilidad Espenada, este
del resultado centnal, no lo
r2l
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
explicaría la Teoría del Arrepentimiento y en cambio serfa compatible con
el modelo Expandido. Este cambio en el tipo de respuesta dado por los
individuos como consecüencia del valor relativo del resultado central ya
venfa apuntado como una posibilidad en el trabajo de Loomes (1989). Este
experimento confirmarÍa la idea de que el individuo manifiesta su respuesta
temperamental (la aversión al arrepentimiento) precisamente cuando las
diferencias entre "lo que ha conseguido frente a lo que ha perdido son
elevadas".
tzz
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
3.4.- Apéndice: Resultados del experinento.
TABLA 1 (A)
F: Seguro pleno. P: Seguro probabi l íst ico. N: No seguro
sujeto
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P > F . . . . . 4 3 . 5 %
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N > P . . . . 4 7 %
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
ST'I'ÍARIO GLOBAL. DATOS TOTALES
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Porcentajes globales: F > P. S9.S%
P > F 4 2
P > N 6 2
N > P 4 4
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F - N > P > F 2 7
727
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
x ---+ 10002
l-p > (t-q)/q t4
l-p < (t-q)/q
p = ( l -q)/q
¡otnos!
x --)2
l-p > (l-q)/q
l-p < U-s)/q
p = ( l -q ) /q
¡otros!
1000
t6
18
1 3
7
x ----) 10002
l-p > (l 'ql/q 30
l-p < (l-q)/q
p = ( l -q ) /q
¡o t ros !
TABLA. - 2(A)
3000
22
18
8000 9000
8000 9000
38
7000 8000 9000
26
33
15
34
l 41 6
23
t71 8
31 1
8
11
29
1 3
t 2
t2
18
5
TABLA. - 2(.B)
3000
t9
22
L2
t
TABLA. - 2rc)
3000
41
40
18
2000
36
7 l634t
27
8t424
61 015
r28
15
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
'?g
OIAGRAIIA OE BAFIRAS I (A)
FORCENTAJES TOTALES DE l-p ) ( l-q).zq
0 1 0 0 0 4 0 0 0 3 0 6 0 4 0 0 0 5 0 0 0 5 0 6 0 ' ? g g o a o e o g o o a t o o o o
U¡lor dt X 2
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6 g
5 0
I
¡+JctoLo0.
t g
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
60
OIAGFIAMA DE EAFIRAS I(EI)
PORCENTAJES TOÍALES OE l-p ( ( l-q).zq
0 1000 29g6 30e0 40sg s000 6000 ' 7606 a900 9900 19000
Vr lor d. X a
4 g¡a
.lJc¡uLo0,
3 6
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
DIAGRAT.IA OE BARRAS ¡¡(A)
EXPER¡¡,IENTO CON PAGOS
Srgundr conponrntr dr cl¡¡r
131
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
OIAGRAT.IA OE
EXPERII.IENTO CON
BARRAS I ¡ (B)
PAOOS PARCIALES
Srgund. compon.ntl da c¡a.¡
t32
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
t
f¡cIfott.$
DIAERAHA DE BARRAS T¡(C)
DATOS TOTALEg
S.gund. cgnponant¡ dr cla¡a
r33
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
50
DIAGRAT.IA ¡¡¡ (A)
OATOS TOTALES (x e)
50
40
DIAORAT.IA II¡(B)
OATOS TOTALES
I
uc!fuIl.L
aucIft¡ILL
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- 1
Srgundr conponrntr dr cl¡¡r
134
Srgundr componrntr dr cl¡¡r
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
TABLA. - 3(A)
RESI'LTÁMS DEL EXPERI}.IET.ITO CON PAGOS
PROBLE'ÍAS (a) Y (b)
x^ 1000 2000 3000 7000 8000 9000¿Sujeto
1 1-p 74 26 26 74 T4 98
(7-q)/q 16 3s 3s 54 81 1oO 0:6
2 1-p 10 38 35 90 95 9T
n-ü /q 16 33 33 62 7s 62 3 :3
3 l -p 81 68 81 92 95 95
l -Q/q 27 62 48 73 GT BZ 6 :0
4 1-p 26 98 93 98 98 98([-q)/q 36 62 62 79 Tg 1OO 5:1
5 1-p t4 26 26 98 98 98
n-q) /q 16 17 35 1OO 1OO 1OO 1:5
6 l-p t4 t4 26 49 86 98
0 - ú / q t 6 7 6 3 5 1 O O 1 o O 6 2 1 : 5
7 1-p 44 74 70 86 S0 98
(7-d /q 47 43 62 79 69 aZ 4 :2
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
x2
1-p
(L-q)/q
1-p
Q-Q/q
10 l -p
(1-q)/q
1-p
(7-q) /q
LZ 1-p
(7-q)/q
13 l -p
(1-q)/q
t4 1 -p
(7-q)/q
15 l -p
(1-q)/q
1000 2000 3000 7000 8000 9000
10
2
98
8 6 4 z Z
26
77
44
78
92
62
92
48
92
82
92
96
36
37
50
6 7
48
69
38
17
25
25
40
42.
25
9
80
I2
70
62
40
100
80
25
74
62
85
96
95
93
74
aZ 3 :3
e8 e:o(1)6 2 ¿
, S: f ( l )
97
17 3 :3
90
67 5 :1
e6 s: r ( l )93ó
, + :Z ( ) l
50
6L
37
34
35
6 I
20
31
50
1.2
38
L 7
25
25
1 1
98
82
98
79
95
76
92
62 4 :2
68
57
80
62
98
62 5 :1
90
34
98
62
86
62
80
62
86
62
44
63
136
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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1000 2000 3000 7000 8000 90002
L6 l -p
( t -Q/q
77 1-p
e-ú/q
18 1-p
( l -q),zq
L9 1-p
0-d/q
20 1-p
(1-q)/q
1-p
(7-q)/q
22 1-p
(I-q)/q
23 l-p
0-d/q
38
L 7
1 0
9
96
93
a270
92
73
70
43
86
62
73
56
96
79
86
67
95
82
38
36
35
61
10
LL
74
t6
t4
33
38
7 7
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62
36
34
62
96
50
36
10
17
38
67
92
62
20
44
50
6T
92
62
15
L2
92
62
80
37
98
100
86
100
92
62 6 :0
e8 s: r (1)a2¿
q:z( ! )> - 2 '
97
9 3 4 : 2
90
7 2 5 : 1
86
1 O O 2 : 4
96
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98
t :o 3 :3
47
77
I 4
96
18
23
L4
L2
27
1
2
26
35
38
6L
98
86
98
62
t37
3 :3
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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x^ 1000 2000 3000 7000 8000 9000¿
24 1-p Z 74 13 81 98 98
( l -q ) /q 2 76 L4 t22 52 62 3 :3
= ( =
25 l-p 50 62 74 96 9T 98
Q-q)/q 100 62 67 1OO lOO 67 3:3
( =
26 l-p 26 38 so 86 T4 98
(t-q)/q 35 36 35 62 62 1OO 4zZ
2 7 1 - p 4 2 0 6 7 9 0 8 0 s 3 i6:o ( i )
(L-q)/q 5 13 35 54 73 86 ¿
=
28 1-p 26 49 38 56 58 53(7-q)/q 36 92 67 96 1OO 36 1:5
29 1-p 14 38 38 92 95 98 S: r (1)0-ü/q 16 3s 35 T9 96 62 2
30 l -p 3 14 L4 86 9T 92 S :s ( l )(t-q)/q =' :' : :' : 7' z,+rit
31 l-p 14 38 38 98 98 50
( t -q ) /q 16 36 6 t 1OO 1OO 1oo 2 :4
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1000 2000 3000 7000 8000 9000
32 1-p 10 20 20 73 95 97
0-ú /q 5 25 12 59 82 70 5 :1
33 1-p L4 26 26 6L 74 98 s : g (1^)
Í-q)/q 13 35 3s 59 67 1OO ¿
=
34 l-p 2 24 Zo 88 97 98 S: g(1^)
(t-q)/q 3 31 31 92 39 ZS ¿
=
35 1-p 20 62 67 65 90 86 q :Zé)1-q)/q 16 62 1Oo 43 az gZ z
) =
36 1-p 26 50 50 74 98 86
( t - q ) / q 6 1 6 t 1 O O 1 O O 1 O o 1 O O O : 6
37 l -p s0 92 86 98 e8 92 o:o( l )l-Q/q 100 100 loO 97 tt? 1Oo ¿
38 1-p L4 26 26 74 90 95( t -q) /q 16 58 76 54 1OO 54 3:3
39 1-p 10 24 26 62 96 TO(t-q)/q 16 29 33 82 aZ 85 1:5
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
x2
1000 2000 3000 7000 8000 9000
1 0
1 1
10
25
4I
40 1-p
(7-q)/q
1-p
(7-q)/q
42 l-p
(1--q)/q
43 l-p
(1-q)/q
1-p
0-d/q
4s 1-p
(t-q) /q
46 1-p
(t-q)/q
47 1-p
(7-q) /q
t 9
77
6 t
61
83
39
82
47
37
25
26
6L
98
7 0 5 : 1
76
20
85
34
45
66
98
93
85
79
eo s: r (1)6 7 ¿
, e:O(l)
70 z : + ( \ )7 9 é
. 1 : 5 ( : )
8
2
98
36
37
53
74
36
86
82
62
69
z2
t4
2s
25
33
50
36
85
82
38
36
10
11
95
6 L
86
100
95
100
85
54
98
34
60
8 1
98
62
98
82
98
89
44
74
36
37
66
98
36 5 : t
73
59 1 :5
98
100 4 :2
74
39
80
67
70
6L
98
8 2 6 : O
98
89 4-.2
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1000 2000 3000 7000 8000 90002
1-p
(7-q)/q
49 1-p
(7-q)/q
1-p
(L-q)/q
51 1-p
(L-q)/q
1-p
(7-q)/q
L 4
7
98
62
98
9 7 4 : 2
95
67
86
70
86
100
74
35
80
85
38
52
26
t7
z535
26
35
T 4
28
74
614
47
42
86
62
25
T7
26
35
25
43
?
50
43
2
74
89
65
43
?
86
100
98
67
65
43
2
30
43
2
86
L O A 2 : 4
86
7 3 4 : 2
e8 r :s(1)9 7 ¿
1z: a())¿
50
43
?
L47
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
TABLA.. 3(B)
REST'LTADOS DEL EXPERIüffTO CON PAGOS PARCIALES
PRoBLHAS (a) y (b)
Sujeto
x_ 1000 2OOO 3000 7000 8000 90002
1 1-p 10 20 25 70 80 90(l-q)/q
:t :" tn
:t : t : ,
3:3
2 1-p 10 20 30 70 80 90(L-q)/q
:. :t :. ,=o ,=t
:,
3:3
3 l -p ZS 20 31 To 86 90 A:Z(=)(I-q)/q 30 25 30 62 5Z 79 ¿
4 1-p 26 3s 3s 70 7t 83 s : t ( l )1-q)/q 31 30 34 59 ST Tg ¿
s l -p 10 2s zz 60 8s 85 s :g( l )(t-q)/q 7 t2 25 66 6Z gZ ¿
6 l -p L4 49 37 97 97 8s s :S( l )(L-q)/q t6 36 58 62 9T 95 ¿
7 l-p L4 38 50 98 98 98(t-q)/q 14 36 61 43 63 97 4:2
=
r42
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
x_ 1000 2000 3000 7000 8000 90002
8 1-p 26 26 38 74 74 e8 g , g(1)I - i l /q 31 17 36 73 82 T6
¿
9 1-p 40 38 70 97 98 9T
(L-q)/q 66 66 67 67 82 82 4:2
t 0 1 - p 2 0 3 6 8 1 9 6 9 8 e B , r .6 : O ( : )
lr-q) /q t=o :' :t :'
',o :t s, t rit
LL 1-p 38 38 35 74 90 Tzg-q)/q 34 42 54 89 IT 6T 4:Z
12 l-p 38 38 45 54 65 qn i¿ v 3 : 3 ( l )
(7-q)/q 36 67 61 67 66 6T ¿
13 1-p 38 4s 4s 85 90 95
(L-q)/C 34 54 34 57 79 86 5:1
14 1-p 74 38 49 8s 81 98(l-q)/q 16 36 34 62 54 82 5:1
15 1-p L4 38 38 86 86 92(t-q)/q 3 36 36 62 62 1OO 5:1
143
Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
x2
1000 2000 3000 7000 8000 9000
t6 l -p
Q-d/q
t7 1 -p
(L'q)/q
18 l -p
(I-q)/q
19 1-p
(L-q)/q
20 1-p
0-Q/q
1-p
(t-q)/q
22 1-p
(t-q)/q
23 1-p
(L-ü/q
6 1
6 7
I 4
7 4
26
L7
35
53
86
36
80
100
97
47
80
67
98
100
50
78
86
82 3 :3
62
85
74
59
98
97
98
62
60
6 7
85
67
98
62
62
63
98
93
85
6 7 4 : 2
98
1oo 3 :3
e4 e: a( f )79
, + :Z( ) )
e7 s: s(1)9 7 ¿
+:z(!)¿
98
6 2 3 : 3
86
100 3 :3
98
6 9 2 2 4
74
3
26
61
50
6T
34
53
25
33
38
53
62
48
62
88
L4
76
26
35
35
53
30
L7
23
25
6
3
26
35
1 4
7 4
27 62
43
86
36
86
62
24
t 7
L 4
L 6
t44
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1000 2000 3000 7000 8000 9000
24
25
1-p 50
(I-q)/q 100
1-p
( 1-q)/q
26 l-p
(L-q)/q
27 1-p
(1'q)/q
28 1-p 38
(1-q)/q 100
29 l-p
( 1-q).zq
30 l-p
(1-q)/q
t-p
(L-q)/q
62
100
38
36
62
62
38
61
62
100
50
100
40
66
50
100
62
66
98
100
50
100
90
100
98
93
62
100
86
62
62
81
98
100
98
100
45
29
98
62
97
1 0 0 1 : 5
86 s:s(1)6 2 ¿
, + :Z( ) )
98
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98
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53 3 : 3 ( : )
tz z :4( - )
86
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e8 r :s( l )100 ¿
. z:a(f,)
98
6 7 4 2 2
26
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39
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86
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64
74
100
74
67
62
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FOLLETO EXPLICATIVO DEL EXPERIMENTO
Este es un experimento sobre elección en condiciones de riesgo en elque usted tiene la posibilidad de ganar hasta IO.OOO pesetas.
A la entrada del aula verá un montón de cien sobres cerradosy debidamente barajados, de los cuales usted elegirá uno, que no seráabierto hasta que concluya el experimento. El sobre, contiene un número del1 al lOO, y el pago que usted reciba dependená de dicho número.
Recogerá usted también una etiqueta por la que quedará asignado alordenador en el cual contestará a una serie de cuestiones.
El tipo de cuestiones a las que usted deberá responder se ajusta alsiguiente esquema:
que plantea un problema de elección entre dos alternativas A y B.
La pnimera de ellas (A) le ofrece la posibilidad de ganar lo.ooopesetas si el número del sobre que usted eligió está comprendido entre 31 y1oo y o pesetas si dicho número está comprendido entre I y 30. (Líneasuperior de la tabla).
La alternativa (B), le garantiza un pago de 4.OOO pesetas conindependencia del número que contenga el sobre.
Observe que la linea inferior de la tabla explicita el número deposibilidades o suertes correspondientes a cada resultado en eadaalternativa.
usted deberá decidirse por la alternativa A o B que le resultepreferida en cada una de las cuestiones planteadas.
Según sean sus preferencias, el pnograma le planteará un nuevoproblema de decisión en el que las suertes o posibilidades de obtener losdiferentes pagos según sea su elección, se venán modificadas. Su respuestafinal se concretará en fijar las suertes para las cuales sea ustedindiferente entre las opciones A y B, de modo que si otra persona decidiesepor usted, le darÍa exactamente lo mismo cual fuese la alternativa elegiday cual la alternativa rechazada.
Deberá contestar a un total de LZ cuestiones de este tipo, si bien elpago final que reciba dependerá de sólo una de ellas, que será determinadapor sorteo al final del experimento. Es por ello por lo que se lerecomienda que trate cada una de las cuestiones como si de ella enparticular dependiese su premio.
Antes de proceder al sorteo del número de cuestión que determine lospagos' será usted emparejado aleatoriamente con otro participante y eldinero que usted reciba estará de acuerdo con SUS preferencias sobre latabla de su compañero/a del siguiente modo:
Suponga que la cuestión sobre la que se materializan los pagos es ladel ejemplo anterior y gue en ella se pronunció usted como indiferente
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Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas
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entre A y B para las siguientes suertes:
Suponga que su pareja manifestó su indiferencia para la tabla:
Puesto que usted afirmó sen indiferente entre 10 suertes de IOOOOpesetas y 4O00 con seguridad, es claro que 2O suertes para IOOOO le parecenuna mejor elección, pon lo que en esas condiciones usted preferiría A.
Si ahora abre usted su sobre y el númeno está compnendido entre 8Oy loo, recibirá usted lo.ooo pts. Si el nrimero del sobre está entre I y go,no recibirá pago alguno.
Para su pareja en cambio, como manifestó su indifenencia para ZOsuentes de loooo pesetas, la elección de usted (to suertes de loooo), leparecerá peor: con independencia del número que contenga el sobre, recibirá4OOO pesetas.
Por qué éste mecanismo induce a contestar honestamente?. Suponga queusted que es indiferente entre 10 suertes de IO.OOO y 4.OOO con seguridadestablece erróneamente su indiferencia en ?5 suertes para IO.OOO entoneesconseguirá la alternativa B en la tabla de su compañero, con lo que jugaráa una opción que era menos preferida para usted ya que para 2o suertes delO OOO prefiere en realidad la opción A.
Además de las cuestiones anteriores, usted deberá contestar otrascuatro en las que sólo tendrá que hacer una elección: o la alternativa A espreferida a la B, o la B preferida a la A. Si la cuestión sobre la quese realizan los pagos reales correspondiese a una de las de este tipo,usted recibirá directamente el dinero que le cornesponda según haya elegidoA o B y según sea el número que contenga su sobre.
Para familiarizarse con las cuestiones y la mecánica del experimento,antes de contestar a los problemas reales, practicará con tres ejemplos.
No dude en consultar sus dudas al supervisor en cualquier momento. Enparticulan, interesa en este momento que tenga bien claras lasinstrucciones que presenta este folleto.
Tenga en cuenta por encima de todo, gu€ en este experimento No hayrespuestas buenas y respuestas malas: debe usted elegir en cada momentocomo crea que debe hacerlo.
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Muchas gracias por su colaboración.
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