UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

INCENTIVOS, RENDIMIENTO Y CALIDAD DE LAEDUCACION

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER ENECONOMIA APLICADA

JOCELYN ANDREA TAPIA STEFANONI

SANTIAGO DE CHILESEPTIEMBRE 2011

UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICASDEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INCENTIVOS, RENDIMIENTO Y CALIDAD DE LAEDUCACIÓN

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER ENECONOMÍA APLICADA

JOCELYN ANDREA TAPIA STEFANONI

PROFESOR GUÍA:FELIPE BALMACEDA MAHNS

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:Alejandra Mizala Salces

Nicolas Figueroa GonzalezHector Chade

SANTIAGO DE CHILESEPTIEMBRE 2011

La escuela es, por sobre todo, el reino de la belleza. Este es el reino de la poesía insigne.Hasta el que no cree cantar, aqui está cantando sin saberlo.

Gabriela Mistral (1889-1957)

Resumen

Esta investigación presenta un modelo de agente-principal inspirado en el Sistema Na-cional de Evaluación de Desempeño (SNED), un sistema de incentivos grupales, implemen-tado por el Ministerio de Educación de Chile en 1996, que está dirigido a los docentespertenecientes a establecimientos educacionales con subvención estatal.

El principal está representado por la autoridad educativa y los agentes por los docentes deestablecimientos educacionales financiados por el principal. El objetivo del principal es quelos agentes se esfuercen al máximo en sus múltiples tareas. Para ello, la autoridad educativaestablece un sistema de incentivos que consiste en la entrega de un bono a los profesores delestablecimiento educacional que obtenga el mayor puntaje en un índice compuesto por losresultados que obtengan los alumnos en dos categorías de habilidades (asemejando la usualseparación en la literatura de educación entre formación de soft skills y hard skills) que sonproducidas por dos categorías de tareas docentes. Ahora bien, la formación de habilidadesde los alumnos sólo es posible medir con error aleatorio, que supondremos independientes através de establecimientos y habilidades.

Considerando lo anterior, el objetivo de esta tesis es determinar cuál es la ponderaciónóptima que debe entregar el principal a cada tarea dentro de la evaluación, para así poderincentivar a los docentes a esforzarse en la totalidad de sus labores al mínimo costo. Elproblema se analiza en 2 escenarios: en el primero, no es factible la colusión entre los agentesy, en el segundo, la colusión es posible. En ambos escenarios se examinan los casos en quelas tareas son sustitutas y complementarias.

Los resultados encontrados con tareas sustitutas y complementarias en ambos escenariospresentan características similares. Primero, la ponderación óptima de cada tarea dentrode la evaluación dependerá positivamente de la sensibilidad de ésta al esfuerzo docente. Enparticular, si los resultados en una tarea son independientes del esfuerzo, entonces ésta no seráconsiderada dentro de la evaluación, ya que, no proporciona información sobre el desempeñodocente. Segundo, la relación entre la varianza de la diferencia de errores de medición deuna determinada tarea y su valoración en la evaluación será negativa, ya que, mientras másimpresisa sea la medición, los menos informativos serán outcomes como señal del esfuerzode los agentes. Contrariamente, para una determinada tarea, su valoración será crecienteen la varianza del error de medición de la otra labor en consideración. Si consideramos quelos errores de medición de los outcomes son independientes e idénticamente distribuídos(i.i.d), entonces la ponderación de las tareas será función sólo de la sensibilidad relativa alesfuerzo que ellas presenten. Finalmente, si los errores son i.i.d. y las funciones de producciónde habilidades son independientes del esfuerzo entonces ambas tareas se valorarán en igualproporción dentro de la evaluación. En general, el principal centrará su evaluación en lasseñales que sean más informativas del esfuerzo de los agentes.

Agradecimientos

Esta investigación no hubiese sido posible sin la ayuda del profesor Felipe Balmaceda,cuya idea original fue la base de esta tesis.

Índice general

1. Introducción 8

2. Revisión de la Literatura 10

3. Modelo 123.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Descripción del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Relación Óptima Cuando no hay Posibilidad de Colusión Entre los Agentes 154.1. Probabilidad de Ganar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Restricciones de Compatibilidad de Incentivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1. Restricción de Incentivos Compatibles I . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2. Restricción de Incentivos Compatibles II . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3. Restricción de Incentivos Compatibles III . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3. Problema del Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3.1. Tareas Complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.2. Tareas Sustitutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4. Conclusiones Escenario sin Posibilidad de Colusión Entre los Agentes . . . . 22

5. Relación Óptima Cuando los Agentes Pueden Coludirse 245.1. Restricciones de Compatibilidad de Incentivos Caso Colusivo . . . . . . . . . 24

5.1.1. Restricción de Incentivos Compatibles IV . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.2. Restricción de Incentivos Compatibles V . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.3. Restricción de Incentivos Compatibles VI . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2. Problema del Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.1. Tareas sustitutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.2. Tareas Complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3. Conclusiones Escenario con Posibilidad de Colusión Entre los Agentes . . . . 29

6. Conclusiones 31

Bibliografía 33

A. Distribución de Probabilidad Errores de Medición 34

B. Restricciones Incentivos Compatibles Caso sin Colusión 35B.1. Primera Restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2. Problema del Principal caso sin Colusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6

B.2.1. Demostración Resultado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2.2. Solución Problema del Principal con Tareas Complementarias . . . . 38B.2.3. Demostración Resultado 2: Cambios en la Valoración Relativa Óptima

de las Señales, �∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39B.2.4. Solución Problema del Principal con Tareas Sustitutas . . . . . . . . 40

C. Problema del Principal Caso con Posibilidad de Colusión 42C.1. Demostración Resultado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42C.2. Solución Programa de Optimización del Principal . . . . . . . . . . . . . . . 43C.3. Demostración Resultado 4: Cambios en la Valoración Relativa Óptima de las

Señales, �∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44C.3.1. Solución Problema del Principal con Tareas Complementarias . . . . 45

Capítulo 1

Introducción

En materia de educación, en el último tiempo, Chile ha tenido grandes avances cuantita-tivos. Entre otros aspectos, vale destacar el aumento en la escolaridad media, superando los11 años, y la disminución del analfabetismo estando entre los países con los niveles más bajosde la región. El documento Indicadores de la Educación en Chile (2008)[13] muestra que enel año 2006 un 29% de la población adulta (25 años o más) no contaba con enseñanza básicacompleta, pero al considerar únicamente el tramo etáreo entre 25 a 34 años, este porcentajese reduce al 10%. Finalmente, en los hogares de menores ingresos, los jóvenes poseen enpromedio tres años más de escolaridad que sus padres y poco más del doble que sus abuelos.Por esta razón, actualmente la discusión de política pública respecto a la educación se hacentrado en aspectos cualitativos.

En la década de los ochenta, la educación chilena experimentó una importante reforma,la que abarcó dos aspectos esenciales: primero, el traspaso de la administración de los es-tablecimientos educacionales públicos desde el Ministerio de Educación hacia los Municipios;y segundo, la inclusión del sector privado como proveedor de educación con financiamientopúblico mediante la incorporación de un sistema de vouchers1.

La participación pública en el mercado educativo chileno es amplia, denotándose que deltotal de las matrículas registradas en el año 2009 aproximadamente un 94% se presentaronen establecimientos educacionales que reciben financiamiento del estado2.

Con la finalidad de contribuir al mejoramiento en la calidad de la educación impartida enlos establecimientos con financiamiento público, en 1996 el Ministerio de Educación de Chileimplementó el Sistema Nacional de Evaluación de Desempeño (SNED), el cual correspondea un sistema de incentivos grupales para docentes pertenecientes a establecimientos educa-cionales con subvención estatal, ya sea de nivel básico o medio, cuya evaluación se realizaprincipalmente a partir de los resultados obtenidos por los alumnos.

El SNED contempla un beneficio económico para los establecimientos educacionales mejorevaluados, denominado Subvención por Desempeño de Excelencia, el cual se divide en un 90%entre los docentes del establecimiento, en forma proporcional al número de horas contratadas,y el 10% restante es destinado a otorgar premios especiales a los docentes destacados delestablecimiento.La estructura del SNED contempla un torneo entre establecimientos educacionales, los cuales

1El sistema de vouchers establece un subsidio por estudiante el cual se entrega directamente al establec-imiento proveedor del servicio

2Particulares-subvencionados 50% y municipales 44%.

8

compiten clasificados en Grupos Homogéneos3. El ganador será el establecimiento que obtengael puntaje más alto en un índice que se compone en un 65% de los resultados obtenidos porlos alumnos del establecimiento en la prueba SIMCE4 y el 35% restante considera mejoras enlas condiciones de trabajo, accesibilidad y permanencia de la población escolar, integraciónde alumnos con dificultades de aprendizaje y participación e incorporación de los padres yapoderados en las actividades escolares. Es este sistema de incentivos el que servirá de basepara el modelo desarrollado en esta tesis. Se analizará, particularmente, el problema de laautoridad educativa que desea incentivar a equipos de docentes a esforzarse en sus múltiplestareas, donde dichas tareas pueden ser sustitutas o complementarias entre ellas y el esfuerzode los agentes no es verificable, siendo sólo posible observar con error los outcomes que ésteproduce.

El sistema de incentivos modelado impone un torneo entre equipos de agentes, cuyoganador recibirá un bono que se repartirá en partes iguales entre los miembros del equipo.El problema del principal consistirá en determinar la ponderación óptima que debe otorgar acada tarea dentro de la evaluación, de manera que los agentes se esfuercen al mínimo costo.En el análisis se examinarán dos posibles escenarios: primero, suponiendo que no es posiblela colusión entre agentes para no realizar esfuerzo y, segundo, considerando que la colusiónentre ellos es factible.

Los principales resultados muestran que, en todos los escenarios examinados: la pon-deración óptima de cada tarea dentro de la evaluación dependerá positivamente de la sen-sibilidad de ésta al esfuerzo docente. En particular, si los resultados en una tarea son inde-pendientes del esfuerzo, entonces ésta no será considerada dentro de la evaluación, ya que,no proporciona información sobre el desempeño docente. La relación entre la varianza de ladiferencia de errores de medición de una determinada tarea y su valoración en la evaluaciónserá negativa, ya que, mientras más impresisa sea la medición, los menos informativos seránoutcomes como señal del esfuerzo de los agentes. Contrariamente, para una determinadatarea, su valoración será creciente en la varianza del error de medición de la otra labor enconsideración. En el caso particular que los errores de medición de los outcomes son indepen-dientes e idénticamente distribuídos (i.i.d), entonces la ponderación de las tareas será funciónsólo de la sensibilidad relativa al esfuerzo que ellas presenten. Finalmente, si los errores soni.i.d. y las funciones de producción de habilidades son independientes del esfuerzo entoncesambas tareas se valorarán en igual proporción dentro de la evaluación. En suma, como resul-tado general encontramos que el principal centrará su evaluación en las señales que entreguenmayor información acerca del esfuerzo de los agentes.

Esta tesis se estructura de la siguiente forma: el capítulo segundo expone la literatura quesirvió como base de este trabajo, el capítulo tercero describe el modelo desarrollado. En elcapítulo cuarto se resuelve el problema de la autoridad cuando los docentes no tienen posibil-idades de coludirse entre sí para no realizar esfuerzo, en el capítulo 5 este supuesto se levanta.El sexto capítulo concluye y para finalizar, se adjunta un anexo con las demostraciones delos principales resultados obtenidos en esta investigación.

3Conjuntos de colegios que tienen características similares, tales como el índice de vulnerabilidad, cantidadde alumnos por curso, entre otros.

4Sistema de Medición de Calidad de la Educación

Capítulo 2

Revisión de la Literatura

En estudios relacionados directamente con esta investigación, Jaag (2006) [8] ha plantea-do el trabajo más cercano a esta tesis, desarrolla un modelo de incentivos a los docentes,considerando una función de producción de habilidades que depende del esfuerzo de los pro-fesores positivamente, y del tamaño de la clase, negativamente. Este estudio considera que siel esfuerzo de los profesores no es directamente observable por el principal, entonces la for-mación de habilidades en los alumnos se puede usar como una señal del esfuerzo. Dicha señalpresenta distorsiones, ya que la evaluación que realice el principal para medir el aprendizajede los alumnos es una medida ruidosa de las reales habilidades que estos han desarrollado.

Las principales similitudes entre éste trabajo y lo expuesto por Jaag (2006) consisten en:1) considerar los logros de los alumnos como una señal del esfuerzo docente, 2)suponer que losagentes desempeñan múltiples tareas, y 3)la posibilidad de que la producción de educación seaen equipos. No obstante, existen diferencias relevantes en la modelación entre ambos trabajos:- Primero, en Jaag (2006) existe un único output final que es una función lineal del esfuerzoen todas las tareas, por otra parte, en esta tesis supondremos que existen dos output uno porcada tarea y sus funciones de producción pueden o no presentar complementariedades en elesfuerzo. - Segundo, la estructura del sistema de incentivos es muy diferente, debido a que losobjetivos del principal son muy diferentes. Para Jaag (2006), dada la función de producciónde habilidades del proceso educativo, el problema del principal es maximizar el beneficiosocial neto de la educación, sujeto esto a que los docentes eligen el esfuerzo que maximiza suutilidad. A diferencia de lo anterior, este trabajo se centra en que el objetivo del principales lograr que los agentes realicen el máximo esfuerzo en todas sus tareas, ofreciéndoles elpago de un bono, como premio de una competencia entre establecimientos educacionales porobtener mejores resultados.

En cuanto a la literatura de incentivos grupales, Alchian y Demsetz (1973) [1], argumen-tan que para evitar el problema de free rider cuando existen grupos, se puede alcanzar laeficiencia si el principal cumple una función de monitoreo del producto de los agentes. Luego,Holmstrom (1982) [7] demuestra que incentivos grupales, por sí solos, pueden evitar el proble-ma de free rider, incluyendo penalidades y bonos. En este caso, el principal será el encargadode penalizar las faltas y financiar los bonos. Además, muestra que los incentivos grupalestambién funcionan bajo incertidumbre, pero su efectividad es limitada si hay muchos agentesy si éstos son aversos al riesgo.

Lazear y Rosen (1981) [9] argumentan que, cuando hay altos costos de monitoreo, sepuede replicar la asignación eficiente de recursos mediante un esquema de pago por rankingde resultados obtenidos. Es decir, introduciendo un torneo entre los agentes, cuando éstos

10

son neutrales al riesgo, y homogéneos entre sí.Yeon-Koo Che y Seung-Weon Yoo (2001) [12] también analizan la eficacia de los incentivos

grupales. Ellos demuestran que el hecho de enfrentar riesgo en conjunto genera un fuerteincentivo al esfuerzo, y además, destacan la importancia de la evaluación que realizan lospares dentro de un grupo que cumple una función de monitoreo del esfuerzo de los miembrosdel equipo, y el cómo este efecto se hace más poderoso cuando consideramos una relaciónreiterada en el tiempo. Suponen complementariedad entre el esfuerzo de los miembros delequipo, lo que se traduce en la supermodularidad de la función de utilidad esperada. Laimportancia de este último supuesto es que permite demostrar que el contrato que induceesfuerzo alto en todos los miembros del equipo es un equilibrio de Nash.

Dentro de la literatura de incentivos grupales, este último trabajo presenta mayores simil-itudes con la modelación usada en esta tesis. En nuestro caso, analizamos un modelo estáticoen el que los agentes como equipo enfrentan el riesgo de ganar o no el bono otorgado porel principal, ya que no es posible evaluar el desempeño de los docentes individualmente,ateniéndose a la observación exclusiva de una señal, la cual es producto del esfuerzo conjuntodel equipo competidor. Entre las diferencias, cabe mencionar que el enfoque utilizado porlos autores es unidimensional en las tareas realizadas por los agentes, no consideran en laestructura del sistema de incentivos la presencia de un torneo entre equipos y los outcomesdel esfuerzo son perfectamente observables.

Por último, en el contexto de tareas múltiples, Holmstrom y Milgrom (1991)[6] indican queconsiderar un enfoque multidimensional en las tareas contiene dos diferencias fundamentalesal enfoque unidimensional. La primera de éstas consiste en que introducir un sistema deincentivos a los agentes no sólo sirve para motivarlos a trabajar duro y asignar riesgo, sinotambién para que los agentes distribuyan su atención entre todos sus deberes. Y la segundaes que al haber múltiples tareas el diseño del trabajo se constituye como un importanteinstrumento para el principal.

Capítulo 3

Modelo

3.1. PreliminaresEl problema a examinar se encuentra en el contexto de Riesgo Moral, en donde los roles

se constituyen en que el principal es la autoridad educativa y los agentes son los profesores deestablecimientos educacionales que reciben subvención del estado. El objetivo del principales que los agentes se esfuercen al máximo en su labor docente. La labor docente comprendeun gran número de tareas, las que por simplicidad agruparemos en dos clases, S y F 1. Losdocentes deciden el nivel de esfuerzo que realizarán en cada tarea, no siendo éste observablepor la autoridad educativa. No obstante, la autoridad observa los resultados de los alumnosen una evaluación que mide separadamente ambas tareas, estableciendo que dichos resultadosson considerados como señales2 del esfuerzo docente.

Tenemos, entonces, un problema de agencia multidimensional, en el que cada agentedecide esforzarse o no en cada una de sus tareas y el principal no conoce cual ha sido ladecisión de cada agente. Ahora bien, para motivar el esfuerzo de los agentes, el principal decideimplementar un sistema de incentivos basado en los resultados que obtienen los alumnos. Estemodelo de incentivos está inspirado en el Sistema Nacional de Evaluación de Desempeño, enadelante SNED, implementado por el Ministerio de Educación de Chile.

El SNED es un sistema de evaluación que mide el desempeño de los establecimientoseducacionales que reciben subvención del estado. La evaluación que realiza se basa principal-mente en los resultados obtenidos por los alumnos en la prueba SIMCE3, una prueba censalque se rinde anualmente para Cuarto Básico y alternadamente para Octavo Básico y SegundoMedio. El SNED contempla un beneficio económico para los establecimientos destacados enla evaluación, el cual se divide entre los docentes de la institución.

Para efectos del modelo, el sistema de incentivos implementado por el principal presentaun torneo entre equipos de profesores de cada establecimiento educacional. El ganador dedicho torneo será el establecimiento que obtenga la calificación más alta en una evaluaciónque pondera resultados obtenidos por los alumnos en S y F , y éste recibirá un bono que serepartirá en partes iguales entre su personal docente.

El objetivo central de este trabajo es caracterizar la ponderación óptima que debe en-tregar el principal a cada tarea dentro de la evaluación, encontrando los parámetros que la

1 En la literatura se encuentra comúnmente la separación entre la formación de hard skills y soft skills.2Siguiendo la notación de Jaag (2006) [8].3Sistema de Medición de la Calidad de la Educación

12

determinan. De esta forma es posible analizar en qué casos le conviene al principal valo-rar positivamente todas las tareas desempeñadas por los docentes, y en cuales es preferiblefocalizar la evaluación sólo en una de ellas.

3.2. Descripción del ModeloEn este trabajo se desarrollará un modelo de agencia multidimensional, en el que cada

agente decide esforzarse o no, en cada una de sus tareas, sin que el principal tenga conocimien-to de las deciciones de los agentes. El esfuerzo en cada tarea es discreto y éste puede tomarlos valores 1 o 0.

El objetivo del principal es que los agentes realicen esfuerzo alto en todas sus tareas.Para este fin, diseña un sistema de incentivos a los docentes, que les recompensa sujeto a losresultados que obtienen sus alumnos.

La estructura del sistema de incentivos introduce un torneo entre los agentes. Los equipospariticipantes en dicho torneo están formados por los docentes de un establecimiento educa-cional, que por simplicidad asumiremos son sólo 2 por equipo. El establecimiento que obtengael mejor resultado observado en una combinación convexa de los resultados, en cada tarea,será ganador de un bono pagado por el principal, el cual se dividirá en partes iguales entrelos miembros del equipo.

El principal observa una medida ruidosa de los resultados de los alumnos. El error demedición es ruido blanco, y éste es independiente a través de establecimientos educacionalesy la tarea que se evalúe.

En resumen, los supuestos del modelo son los siguientes:

1. El Principal está representado por la autoridad educacional.

2. Los agentes son los profesores de los establecimientos educacionales que reciben sub-vención del estado.

3. Existe un torneo entre establecimientos, éste se juega en equipos compuestos por los pro-fesores de un mismo establecimiento educacional. Cada equipo cuenta con dos agentesy existen sólo dos establecimientos en competencia.

4. Cada agente decide esforzarse o no en sus labores docentes y dicho esfuerzo no esverificable por el principal. Consideraremos que el esfuerzo en cada tarea es una variabledicotómica que toma el valor 1 si se realiza esfuerzo y 0 si no.

5. Los agentes deben realizar dos tareas S y F , cada agente elige un vector de esfuerzobidimensional cuyas componentes pueden ser 0 o 1.

6. El vector de esfuerzo realizado por el agente a perteneciente al establecimiento j es:eja ∈ {(1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0)}, donde la primera componente del vector correspondeal esfuerzo en la tarea S y la segunda al esfuerzo en F.

7. Realizar esfuerzo genera desutilidad en los agentes. La función de costo del esfuerzoC(e), se define de la siguiente forma:C((1, 1)) = 2c, C((0, 0)) = 0 y C((1, 0)) = C((0, 1)) = c.

8. El principal sólo observa una medida ruidosa de los resultados S y F . El error demedición en ambos casos está distribuido normalmente.

9. El error de medición asociado al output S en el colegio j es "j, "j ∼ N(0, �2"j

)

10. El error de medición asociado al output F en el colegio j es �j, �j ∼ N(0, �2�j

)

11. Los resultados observados en S y F por el colegio j están descritos por las siguientesfunciones:Sj = Sj(e

j1, e

j2) + "j

Fj = Fj(ej1, e

j2, ) + �j

12. El salario del profesor a es función de su esfuerzo y el de sus colegas. Tiene unacomponente fija y otra aleatoria, que depende de la probabilidad de ganar el torneo(Pg(ea, e−a)), de manera que: w(ea, e−a) = w + B

2⋅ Pg(ea, e−a).

13. Los agentes son neutrales al riesgo y su función de utilidad es: U(ea, e−a) = w(ea, e−a)−C(ea).

Mediante este modelo se espera obtener la valoración óptima que debe otorgar la autoridadeducativa a las distintas señales que observa del esfuerzo docente al momento de evaluarlos.Analizaremos bajo qué condiciones le conviene a la autoridad incluir ambas señales en laevaluación y en qué proporción, o conforme al caso, sólo una de ellas. Para resolver esteproblema consideraremos dos escenarios: primero, que los agentes eligen de manera indepen-diente el esfuerzo que realizarán en cada una de sus tareas y, segundo, en el que éstos tienenla posibilidad de coludirse entre ellos para no realizar esfuerzo alguno. En ambos escenariosexaminaremos los casos en que las tareas son complementarias y sustitutas.

Capítulo 4

Relación Óptima Cuando no hayPosibilidad de Colusión Entre losAgentes

En esta sección analizaremos la estructura óptima que debe presentar el sistema de in-centivos entregado por el principal a los agentes, cuando estos no tienen posibilidades decoludirse entre ellos para no esforzarse.

El objetivo del principal es, mediante el pago de un bono, implementar el Equilibriode Nash Simétrico en el cual todos los agentes realizan esfuerzo alto. Para este fin, buscadeterminar cual es el mínimo bono que cumple con todas las Restricciones de IncentivosCompatibles de los agentes.

4.1. Probabilidad de GanarComo vimos en la sección anterior, el salario de los agentes tiene la siguiente forma.

w(ea, e−a) = w +B

2⋅ Pg(ea, e−a) (4.1)

La parte estocástica del salario es el bono entregado por el principal, el riesgo en el modeloproviene de la incapacidad del principal para medir el esfuerzo realizado por los agentes, quiensólo observa los resultados que obtienen sus alumnos en cada tarea, medidos éstos con error.Dicho error no es sistemático, errores en la medición de resultados en cada tarea por cadaestablecimiento son independientes entre sí y sus distribuciones son diferentes a priori.

Ahora bien, un establecimiento x será el ganador del bono entregado por el principal siobtiene un mayor ranking en el torneo que valora los resultados obtenidos por cada equipo.Como el principal observa dos señales del esfuerzo realizado, se considera una combinaciónconvexa de ambas como medida de evaluación de la siguiente forma:

�(Sx + "x) + (1− �)(Fx + �x) (4.2)

Donde � representa la valoración relativa del principal entre las tareas realizadas porlos docentes. Entonces si los establecimientos x e y participan en el torneo, x ganará si laevaluación obtenida por el establecimiento x es mayor a la obtenida por el establecimientoy, es decir:

15

�(Sx + "x) + (1− �)(Fx + �x) ≥ �(Sy + "y) + (1− �)(Fy + �y) (4.3)

�(Sy − Sx) + (1− �)(Fy − Fy) ≥ �("x − "y) + (1− �)(�x − �y) (4.4)

�(Sy − Sx) + (1− �)(Fy − Fx) ≥ �� + (1− �)� (4.5)

Para simplificar la notación, definiremos las siguientes variables .

� = "y−"x una variable aleatoria distribuida � ∼ N(0, �2"x+�2

"y) = N(0, �2�), compuesta

por la diferencia entre los errores de medición con los que son observados los resultadosen la tarea S.

� = �x−�y una variable aleatoria distribuida � ∼ N(0, �2�x+�2

�y) = N(0, �2�), compuesta

por la diferencia entre los errores de medición con los que son observados los resultadosen la tarea F .

z = �� + (1− �)� una variable aleatoria distribuida z ∼ N(0, �2�2� + (1− �)2�2

�).

M = �(Sy − Sx) + (1 − �)(Fy − Fx) diferencia en los resultados obtenidos entre es-tablecimientos educacionales.

Por lo tanto, la probabilidad de que el establecimiento educacional x gane el torneo es1:

P xg = Prob(z ≥M) = 1− Fz(M) (4.6)

Donde Fz(M) representa la función de acumulación de z evaluada en M . Entonces, laprobabilidad de ganar depende del esfuerzo realizado por los agentes de la siguiente forma:

P xg (ex1, e

x2, e

y1, e

y2) = 1−Fz[�(Sy(e

y1, e

y2)−Sx(ex1, ex2))+(1−�)(Fy(e

y1, e

y2)−Fx(ex1, ex2))] (4.7)

4.2. Restricciones de Compatibilidad de IncentivosEn esta sección, resolveremos el problema del agente. Hemos supuesto que los agentes son

idénticos entre sí, por lo que analizaremos las restricciones de incentivos compatibles2 sólopara un agente representativo. El principal desea que los agentes realicen esfuerzo alto entodas las tareas, por esta razón las restricciones de incentivos compatibles que revisaremosen esta sección analizan las posibles desviaciones unilaterales de realizar esfuerzo alto, ya seaen una de las tareas como en ambas a la vez.

Las dos primeras restricciones de incentivos compatibles muestran las condiciones quedebe cumplir el bono ofrecido por el principal, de manera que el agente prefiera esforzarse enambas tareas, más que focalizarse sólo en una de ellas. Y la última evita que el agente decidano esforzarse en ambas tareas.

1Detalles en Apéndice.2Omitimos la verificación de la condición de participación de los agentes debido a que, por simplicidad,

consideraremos que la utilidad de reserva de los agentes es 0 y la utilidad esperada bajo el contrato es siempremayor o igual a 0.

4.2.1. Restricción de Incentivos Compatibles I

La primera restricción de incentivos compatibles muestra la condición que debe cumplirel bono entregado por el principal, de manera que si uno de los agentes decide esforzarcesólo en la tarea S obtenga menor utilidad esperada que al esforzarse en ambas tareas, Sy F . Dado que estamos chequeando desviaciones unilaterales de realizar esfuerzo alto entodas las labores, la utilidad esperada del agente representativo al esforzarse sólo en S, puedeexpresarse como:3

E[U(e10, e11, e11, e11)] = w +B

2⋅ Pg(e10, e11, e11, e11)− c (4.8)

La utilidad esperada del agente representativo al realizar esfuerzo alto en S y F es:

E[U(e11, e11, e11, e11)] = w +B

2⋅ Pg(e11, e11, e11, e11)− 2c (4.9)

Luego, podemos escribir la restricción como:

w +B

2⋅ Pg(e11, e11, e11, e11)− 2c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e10, e11, e11, e11)− c (4.10)

En adelante, escribiremos únicamente el esfuerzo que realiza el primer agente, ya quesabemos que todos los demás realizan esfuerzo alto, para simplificar la notación.

Luego, despejando (4.10) obtenemos el mínimo bono4 que satisface la primera restricciónde incentivos compatibles del agente.

B10 =2c

Pg(e11)− Pg(e10)=

2c∫M(e10)

M(e11)f(z)dz

(4.11)

Donde M(eij) = �(Sy(e11, e11)− Sx(eij, e11)) + (1− �)(Fy(e11, e11)− Fx(eij, e11))

4.2.2. Restricción de Incentivos Compatibles II

La segunda restricción genera incentivos para que el agente representativo prefiera realizaresfuerzo alto en cada una de sus tareas, a focalizarse únicamente en F .

La utilidad esperada del agente representativo al esforzarse sólo en F es:

E[U(e01)] = w +B

2⋅ Pg(e01)− c (4.12)

Ocupando la ecuación (4.9) escribimos la segunda restricción de incentivos compatibles como:

w +B

2⋅ Pg(e11)− 2c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e10)− c (4.13)

Seguimos el mismo procedimiento realizado en la sección anterior para encontrar el bono quehace la restricción activa.

B01 =2c

Pg(e11)− Pg(e01)=

2c∫M(e01)

M(e11)f(z)dz

(4.14)

3En lo sucesivo utilizaremos la siguiente notación. El término eij representa el vector de esfuerzo realizadopor un agente, donde i muestra el esfuerzo que realiza éste en la tarea S y j el esfuerzo realizado en F ,entonces eij ∈ {(1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0)}.

4Detalles en Apéndice.

4.2.3. Restricción de Incentivos Compatibles III

Esta restricción muestra qué condición debe cumplir el bono entregado por el principal,para que la utilidad esperada del agente sea mayor al esforzarse en sus dos tareas que al norealizar esfuerzo alguno.

La utilidad esperada del agente al no realizar esfuerzo es:

E[U(e00)] = w +B

2⋅ Pg(e00) (4.15)

La tercera restricción esta dada por la siguiente inecuación:

w +B

2⋅ Pg(e11)− c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e00) (4.16)

Luego el bono mínimo que cumple con esta restricción es:

B00 =4c

Pg(e11)− Pg(e00)=

4c∫M(e00)

M(e11)f(z)dz

(4.17)

Hemos encontrado el set de bonos que satisfacen activamente las restricciones de incentivoscompatibles para el agente representativo. En la siguiente sección analizaremos el problemadel principal, usando esta información.

4.3. Problema del PrincipalEn esta sección resolveremos el problema de la autoridad educativa que desea que los

docentes realicen esfuerzo alto en todas sus tareas. En la sección anterior vimos las condicionesque debe cumplir el bono pagado a los agentes para que esto se cumpla. Ahora, el problemade la autoridad educativa es incentivar el esfuerzo alto en los docentes al mínimo costo.Para ello, la variable de control del principal es la valoración relativa entre los resultados queobserva de los alumnos, �. Luego, el principal resuelve el siguiente programa de optimización:

mın�B(�)

Sujeto aB(�) ≥ B00

B(�) ≥ B10

B(�) ≥ B01 (4.18)

Este problema es equivalente a descubrir cuál es el mayor de los bonos encontrados en lasrestricciones de incentivos compatibles del agente y luego minimizarlo con respecto a �.

Para determinar la poderación óptima analizaremos 2 casos: primero consideramos quelas tareas realizadas por los agentes son complementarias entre ellas y luego veremos el casoen que éstas son sustitutas.

4.3.1. Tareas Complementarias

Consideraremos en esta subsección que las tareas que realizan los agentes son comple-mentarias, es decir, el esfuerzo que un agente dedique en la tarea S no sólo tiene un efectopositivo sobre el resultado obtenido por los alumnos en esa área sino que también afectapositivamente el resultado de los alumnos en F , y viceversa.

La complementariedad en las tareas la incluimos en el modelo suponiendo que las fun-ciones S y F son supermodulares en el esfuerzo de los agentes, es decir:

S(e1) + S(e2) ≤ S(e1 ∧ e2) + S(e1 ∨ e2)5

F (e1) + F (e2) ≤ F (e1 ∧ e2) + F (e1 ∨ e2)

Bajo complementariedad de tareas encontramos el siguiente resultado:

Resultado 16

Si las las tareas S y F son complementarias entonces B00 es el mayor bono y Pghereda la complementariedad del esfuerzo, es decir, la función Pg(eij) es super-modular en eij7.

Con este resultado, el problema del principal se reduce a encontrar la ponderación � queminimiza el bono B(�) = B00:

B(�) =4c∫M00(�)

M11(�)f(z, �)dz

(4.19)

En donde M00(�) y M11(�) están dados por:

M00(�) = �(Sy(e11, e11)− Sx(e00, e11)) + (1− �)(Fy(e11, e11)− Fx(e00, e11))

M11(�) = �(Sy(e11, e11)− Sx(e11, e11)) + (1− �)(Fy(e11, e11)− Fx(e11, e11))

Como c es una constante, por simplicidad, resolveremos el problema dual a la minimizaciónde B(�), maximizando su denominador:

max�

G(�) =

∫ M00(�)

M11(�)

f(z, �)dz (4.20)

Ahora bien, los resultados de los alumnos no dependen únicamente de la labor docente,hay múltiples factores que inciden en la formación de los estudiantes. Por ejemplo, las carác-terísticas de los niños y sus familias, y las características del colegio son importantes de-terminantes del nivel de logro académico de los alumnos, como se expone típicamente en laliteratura de economía de la educación en el marco de funciones de producción. En particular,consideraremos que tanto los establecimientos educacionales como los alumnos que asistena éstos son idénticos, por lo que las diferencias en resultados provienen únicamente de las

5En donde ∧ representa el ínfimo ∨ el supremo.6Demostración en Apéndice.7Pg(eij) es supermodular si se cumple que:

Pg(eij ∧ ekl) + Pg(eij ∨ ekl) ≥ Pg(eij) + Pg(ekl)

diferencias en el esfuerzo que realicen los docentes8. Es decir, cuando los agentes de ambosequipos eligen el mismo vector de esfuerzo los resultados que obtienen son iguales9. Luego,en términos del modelo esto se traduce a:

max�

G(�) =

∫ M00(�)

0

f(z, �)dz (4.21)

Resolviendo este problema encontramos que la ponderación óptima entre resultados parala autoridad educativa es10:

�∗ =�2� ⋅ΔS00

�2� ⋅ΔS00 + �2

� ⋅ΔF00

(4.22)

Donde:

ΔS00 = Sy(e11, e11)− Sx(e00, e11) = S11 − S0011

ΔF00 = Fy(e11, e11)− Fx(e00, e11) = F11 − F00

Haciendo un sencillo análisis de la expresión (4.22), encontramos que la ponderación ópti-ma que asigne el principal a cada tarea dentro de la evaluación, dependerá de la sensibilidadal esfuerzo de los outcomes de ambas labores y de la imprecisión con los que éstos últimosson medidos. En particular, podemos establecer el siguiente resultado:

Resultado 2En el escenario sin posibilidades de colusión con tareas complementarias, el prob-lema del principal descrito en la ecuación (4.20) tiene solución única12 �∗, y éstasatisface las siguientes aseveraciones:

1. �∗ = 0 Es decir, la evaluación se focaliza en F, si los resultados de los alumnosen S son independientes del esfuerzo docente (ΔS00 = 0).

2. �∗ = 0 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea F , �2

�, es igual a cero. Lo cual se satisface, si no existenproblemas de observabilidad del outcome asociado a la labor F en ningunode los establecimientos.

3. �∗ = 0 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea S, �2

� , es infinita. Esto se cumple, cuando al menos enuno de los establecimientos el outcome asociado a la tarea S no es observable(es observable con error con varianza infinita).

4. �∗ = 1 Es decir, la evaluación se focaliza en S, si los resultados de los alumnosen F son independientes del esfuerzo docente (ΔF00 = 0).

5. �∗ = 1 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea S, �2

� , es igual a cero. Lo cual se satisface, si no existenproblemas de observabilidad del outcome asociado a la labor S en ningunode los establecimientos.

8Vale mencionar, que bajo el SNED los establecimientos educacionales compiten organizados en gruposhomogéneos, considearndo en la clasificación de los grupos las características del colegio y el índice de vul-nerabilidad de alumnos, entre otros.

9Por ejemplo, Sy(e11, e11)− Sx(e11, e11) = 0 y Fy(e11, e11)− Fx(e11, e11) = 010Detalles en Apéndice.11Por la simetría que existe entre establecimientos12Debido a la concavidad del programa de optimización descrito en (4.20).

6. �∗ = 1 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea F , �2

�, es infinita. Esto se cumple, cuando al menos enuno de los establecimientos el outcome asociado a la tarea F no es observable(es observable con error con varianza infinita).

7. �∗ ∈ (0, 1) Es decir, pondera positivamente ambas tareas, si los resultadosde los alumnos tanto en S como en F son observables (con error de medicióncon varianza finita) y sensibles al esfuerzo docente (ΔS00 ≥ 0 y ΔF00 ≥ 0).

8. �∗ = ΔS00

ΔS00+ΔF00Es decir, la ponderación será independiente de las varianzas

de los errores de medición, si éstos últimos son independientes e idéntica-mente distribuídos (i.i.d.).

9. �∗ =�2�

�2�+�2

�Es decir, la valoración es independiente de los outcome, si las

funciones de producción de habilidades S y F son iguales (S(eij, ekl) =F (eij, ekl)).

10. �∗ = 0,5 Cuando los errores son i.i.d y las funciones de producción de habil-idades son iguales.

4.3.2. Tareas Sustitutas

En esta sección resolveremos el problema del principal considerando que las tareas de-sempeñadas por los agentes son sustitutas entre ellas, es decir, las funciones de outcomes sonsubmodulares en el vector de esfuerzo:

S(e1) + S(e2) ≥ S(e1 ∧ e2) + S(e1 ∨ e2)

F (e1) + F (e2) ≥ F (e1 ∧ e2) + F (e1 ∨ e2)

En este caso no existe un bono que sea mayor que los demás para todo � ∈ [0, 1].Considerando lo anterior, se encuentra que la función objetivo del principal tiene la siguienteestuctura:

G(x) =

{B10(�) si � ≤ F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)

B01(�) si � ≥ F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)

Resolviendo el problema del principal encontramos las siguientes soluciones por tramos.

�∗ =

⎧⎨⎩�2� ⋅ΔS10

�2� ⋅ΔS10+�2

� ⋅ΔF10

F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)�2� ⋅ΔS01

�2� ⋅ΔS01+�2

� ⋅ΔF01

En donde,

ΔS10 = Sy(e11, e11)− Sx(e10, e11) = S11 − S10

ΔF10 = Fy(e11, e11)− Fx(e10, e11) = F11 − F10

ΔS01 = Sy(e11, e11)− Sx(e01, e11) = S11 − S01

ΔF01 = Fy(e11, e11)− Fx(e01, e11) = F11 − F01

Ahora bien, comparar entre dichas soluciones no permite identificar directamente la pon-deración óptima, ya que la determinación de ella dependerá crucialmente de funciones de losparámetros del modelo que no son simples de caracterizar13. No obstante, es posible inferirque: primero, la valoración óptima que debiese entregar la autoridad educativa a una tareadeterminada dentro de la evaluación dependerá de la sensibilidad al esfuerzo docente de éstapositivamente y negativamente de la sensibilidad de la otra tarea en consideración. Segundo,mientras mayor sea la imprecisión con la que es posible medir la formación de una habilidad,menor será su ponderación en la evaluación, lo contrario sucede con la imprecisión de la otrahabilidad.

4.4. Conclusiones Escenario sin Posibilidad de ColusiónEntre los Agentes

En este capítulo encontramos que al considerar tareas complementarias, el problema delprincipal tiene una única solución. De la cual es posible inferir que: primero, la ponderaciónóptima de cada tarea dentro de la evaluación dependerá positivamente de la sensibilidad deésta al esfuerzo docente. En particular, si los resultados en una tarea son independientes delesfuerzo, entonces ésta no será considerada dentro de la evaluación, ya que, no proporciona in-formación sobre el desempeño docente. Segundo, la relación entre la varianza de la diferenciade errores de medición de una determinada tarea y su valoración en la evaluación será nega-tiva, ya que, mientras más impresisa sea la medición, los menos informativos serán outcomescomo señal del esfuerzo de los agentes. Contrariamente, para una determinada tarea, su val-oración será creciente en la varianza del error de medición de la otra labor en consideración.En general, el principal centrará su evaluación en las señales que sean más informativas delesfuerzo de los agentes. Por ejemplo, si consideramos que los errores de medición de los out-comes son independientes e idénticamente distribuídos (i.i.d), entonces la ponderación de lastareas será función sólo de la sensibilidad relativa al esfuerzo que ellas presenten. Finalmente,si los errores son i.i.d. y las funciones de producción de habilidades son independientes delesfuerzo entonces ambas tareas se valorarán en igual proporción dentro de la evaluación, esdecir, �∗ = 0,5.

Podemos resumir los resultados encontrados en el siguiente menú de incentivos.

Menú de Incentivos

1. El principal considerará en la evaluación sólo los resultados obtenidos porlos alumnos en S, si:

i Los resultados en la señal F son independientes del esfuerzo de losagentes.

ii Los resultados en la tarea F no son medibles (error de varianza infinita).iii El error de medición asociado a la tarea S es cero, es decir, el outcome

de F es perfectamente observable.2. El principal considerará en la evaluación sólo los resultados obtenidos por

los alumnos en F , si:13Detalles en apéndice.

i Los resultados en la señal S son independientes del esfuerzo de losagentes.

ii Los resultados en la tarea S no son medibles (error de varianza infinita).iii El error de medición asociado a la tarea F es cero, es decir, el outcome

de F es perfectamente observable.

3. Si el esfuerzo de los agentes tiene un efecto positivo dentro de los resulta-dos de F y S, y las varianzas de los errores de medición son mayores quecero, pero acotadas. Entonces el principal considerará ambas señales en laevaluación de los agentes. Entregando mayor peso a la tarea que sea másinformativa del esfuerzo docente.

Finalmente, al considerar tareas sustitutas entre sí no podemos identificar una soluciónúnica al problema del principal, la no unicidad proviene de que en este caso la función objetivodel principal se encuentra definida por tramos determinados por las funciones de producciónde habilidades. Al resolver el problema encontramos tres posibles candidatos de ponderaciónóptima, que comparamos para determinar de cual de éstos es efectivamente el óptimo, con estainspección descubrimos que cada candidato puede ser el óptimo según sea la configuración delos fundamentales del modelo. No obstante, los candidatos exhiben características similaresa las encontradas en el caso con tareas complementarias, por lo que es posible afirmar que lavaloración óptima de una tarea dentro de la evaluación dependerá fundamentalmente de lasensibilidad relativa de ésta al esfuerzo y de la imprecisión con la que el principal mide losresultados en ambas labores.

Capítulo 5

Relación Óptima Cuando los AgentesPueden Coludirse

En esta sección analizaremos el escenario, en el cual, los agentes pueden acordar norealizar esfuerzo. En este caso, el objetivo del principal es impedir que los agentes participendel acuerdo colusivo, y para ello, implementa un sistema de incentivos que entrega un bonoal equipo que obtenga la evaluación más alta en un índice compuesto por una combinaciónconvexa de los outcomes observados en las dos tareas asignadas a los agentes.1

A continuación, revisaremos las condiciones de compatibilidad de incentivos que debecumplir el bono pagado por el principal, para que los agentes se desvíen del acuerdo colusivo.

5.1. Restricciones de Compatibilidad de Incentivos CasoColusivo

Consideramos que los agentes a priori han acordado no realizar esfuerzo, entonces, elprincipal para evitar que el acuerdo se sostenga, introduce un sistema de incentivos, tal que,los agentes perciben mayor utilidad esperada al desviarse unilateralmente que al mantenerseen él. Para ello, se deben cumplir tres restricciones de compatibilidad de incentivos: la primerapermite que la utilidad esperada al esforzarse en la tarea S sea mayor que la alcanzada almantenerse en el acuerdo colusivo, la segunda es equivalente a la primera para la tarea Fy finalmente la tercera motiva a los agentes a desviarse del acuerdo realizando esfuerzo enambas tareas.

5.1.1. Restricción de Incentivos Compatibles IV

La primera restricción de incentivos compatibles que analizaremos es la que permite mo-tivar a los agentes a desviarse del acuerdo colusivo realizando esfuerzo en la primera tarea. Aligual que en el capítulo anterior simplificaremos la notación escribiendo sólo el primer vectorde esfuerzo ya que analizamos únicamente desviaciones unilaterales del acuerdo colusivo, porlo tanto, el resto de los agentes no realiza esfuerzo alguno.

La utilidad esperada del agente representativo de mantenerse en el acuerdo colusivo es:

E[U(e′00)] = w +B

2⋅ Pg(e′00) (5.1)

1Equivalente al sistema de incentivos analizado en el Capítulo 4.

24

Por otra parte, la utilidad esperada del agente representativo al desviarse unilateralmentedel acuerdo colusivo, realizando esfuerzo en la primera tarea es:

E[U(e′10)] = w +B

2⋅ Pg(e′10)− c (5.2)

Para facilitar el trabajo ocuparemos la misma simplificación utilizada en la sección anteriorsuponiendo establecimientos educacionales idénticos. Ésto implica que si el esfuerzo del equipode docentes es igual en ambas instituciones, éstas tendrán los mismos resultados.

La primera restricción de incentivos compatibles es:

w +B

2⋅ Pg(e′10)− c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e′00) (5.3)

Reduciendo (5.3) podemos encontrar el mínimo bono, B′10, que debe pagar el principalpara que la restricción se satisfaga:

B′10 =2c

Pg(e′10)− Pg(e′00)=

2c∫ N00(�)

N10(�)f(z)dz

(5.4)

Donde:

N00(�) = �(Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′00, e

′00)) + (1− �)(Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e′00, e

′00))

N10(�) = �(Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′10, e

′00)) + (1− �)(Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e′10, e

′00))

5.1.2. Restricción de Incentivos Compatibles V

Ahora analizaremos el caso en que un agente decide desviarse del pacto y realiza esfuerzoen la segunda tarea.

La utilidad esperada del agente al desviarse es:

E[U(e′01)] = w +B

2⋅ Pg(e′01)− c (5.5)

Entonces, la segunda restricción de incentivos compatibles es:

w +B

2⋅ Pg(e′01)− c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e′00) (5.6)

Luego el bono que debe pagar el principal para hacer activa esta relación es:

B′01 =2c

Pg(e′01)− Pg(e′00)=

2c∫ N00(�)

N01(�)f(z)dz

(5.7)

Con N01(�) = �(Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′01, e

′00)) + (1− �)(Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e′01, e

′00))

5.1.3. Restricción de Incentivos Compatibles VI

Finalmente, revisaremos el caso en que el agente se desvía unilateralmente del acuerdorealizando esfuerzo alto en cada una de sus tareas. La utilidad esperada de esta acción es:

E[U(e′11)] = w +B

2⋅ Pg(e′11)− 2c (5.8)

Entonces, la restricción de incentivos compatibles que motiva al agente a esforzarse altoen todas sus tareas es:

w +B

2⋅ Pg(e′11)− 2c ≥ w +

B

2⋅ Pg(e′00) (5.9)

Reduciendo la inecuación (5.9) obtenemos cual es el mínimo bono que cumple con estarestricción.

B′11 =4c

Pg(e′11)− Pg(e′00)=

4c∫ N00(�)

N11(�)f(z)dz

(5.10)

Con N11(�) = �(Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′11, e

′00)) + (1− �)(Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e′11, e

′00))

Hemos encontrado el conjunto de bonos que incentivan al agente representativo a desviarsedel acuerdo colusivo de no esforzarse. En la siguiente sección desarrollaremos el problema delprincipal, que desea incentivar a los agentes a romper el pacto de no realizar esfuerzo, almínimo costo.

5.2. Problema del PrincipalEl problema de la autoridad educativa es minimizar el costo de incentivar a los docentes

a esforzarse en sus labores, cuando éstos pueden coludirse entre sí para no realizar esfuerzo.La variable de control del principal es el porcentaje � que otorga a cada señal dentro desu evaluación de los establecimientos educacionales, que recordemos, compiten por ganar unbono que se divide en partes iguales entre su personal docente.El programa de optimización que resuelve el principal es:

mın�B′(�)

Sujeto aB′(�) ≥ B′11

B′(�) ≥ B′10

B′(�) ≥ B′01 (5.11)

Este problema equivale a descubrir cuál es el mayor de los bonos encontrados en lasrestricciones (5.4), (5.7) y (5.10) y luego minimizarlo con respecto a la valoración relativade las señales del esfuerzo de los agentes. Para resolver este problema consideraremos dosescenarios: primero, el caso en que las tareas desempeñadas por los docentes son sustitutasentre ellas y luego, el caso en que éstas presentan complementariedad.

5.2.1. Tareas sustitutas

En esta sección resolveremos el problema del principal cuando las tareas desempeñadaspor los agentes son sustitutas entre ellas, es decir, las funciones S y F son submodulares.

Al comparar los bonos encontramos el siguiente resultado:

Resultado 32

Si las las tareas S y F son sustitutas entre ellas entonces B′11 es el mayor bono yPg es submodular en el esfuerzo de los agentes, es decir, se cumple que:Pg(eij ∧ ekl) + Pg(eij ∨ ekl) ≤ Pg(eij) + Pg(ekl).

Entonces consideramos que el bono pagado por el principal en este caso es B′(�) = B′11,por consiguiente:

B′(�) =4c∫ N00(�)

N11(�)f(z, �)dz

(5.12)

El porcentaje, �∗∗, de incidencia de las señales S y F en la evaluación del principal quéminimiza el costo de incentivar a los agentes a desviarse del acuerdo colusivo y esforzarse,debe cumplir la condición de primer orden del siguiente programa de optimización:

max�

H(�) =

∫ N00(�)

N11(�)

f(z, �)dz (5.13)

Tal como hicimos en el caso en que los agentes no podían coludirse entre sí, analizaremos elcaso en que los establecimientos educacionales son idénticos, para aislar el efecto del esfuerzode los docentes en los resultados obtenidos por los alumnos. En concecuencia, cuando todoslos docentes eligen el mismo vector de esfuerzo, los alumnos obtienen resultados iguales3.Esto se traduce en la siguiente simplificación del problema:

max�

H(�) =

∫ 0

N11(�)

f(z, �)dz (5.14)

Resolviendo (5.14), encontramos que el porcentaje óptimo de ponderación de los resulta-dos en la tarea S dentro de la evaluación del principal es4:

�∗∗ =�2� ⋅ΔS ′11

�2� ⋅ΔS ′11 + �2

� ⋅ΔF ′11

(5.15)

Donde,

ΔS ′11 = Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′11, e

′00) = S ′00 − S ′11

5

ΔF ′11 = Fy(e′00, e

′00)− Fx(e′11, e

′00) = F ′00 − F ′11

Ahora bien, analizando (5.15), podemos inferir que:

Resultado 4

1. �∗∗ = 0 Es decir, la evaluación se focaliza en F, si los resultados de losalumnos en S son independientes del esfuerzo docente (ΔS ′11 = 0).

2Demostración en Apéndice.3Sy(e

′00, e

′00)− Sx(e

′00, e

′00) = 0 y Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e

′00, e

′00) = 0

4Detalles en Apéndice.5Por la simetría entre establecimientos.

2. �∗∗ = 0 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea F , �2

�, es igual a cero. Lo cual se satisface, si no existenproblemas de observabilidad del outcome asociado a la labor F en ningunode los establecimientos.

3. �∗∗ = 0 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea S, �2

� , es infinita. Esto se cumple, cuando al menos enuno de los establecimientos el outcome asociado a la tarea S no es observable(es observable con error con varianza infinita).

4. �∗∗ = 1 Es decir, la evaluación se focaliza en S, si los resultados de losalumnos en F son independientes del esfuerzo docente (ΔF ′11 = 0).

5. �∗∗ = 1 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea S, �2

� , es igual a cero. Lo cual se satisface, si no existenproblemas de observabilidad del outcome asociado a la labor S en ningunode los establecimientos.

6. �∗∗ = 1 Si la varianza de la diferencia entre los errores de medición de losresultados en la tarea F , �2

�, es infinita. Esto se cumple, cuando al menos enuno de los establecimientos el outcome asociado a la tarea F no es observable(es observable con error con varianza infinita).

7. �∗∗ ∈ (0, 1) Es decir, pondera positivamente ambas tareas, si los resultadosde los alumnos tanto en S como en F son observables (con error de medicióncon varianza finita) y sensibles al esfuerzo docente (ΔS ′11 ≥ 0 y ΔF ′11 ≥ 0).

8. �∗∗ =ΔS′

11

ΔS′11+ΔF ′

11Es decir, la ponderación será independiente de las varianzas

de los errores de medición, si éstos últimos son i.i.d.

9. �∗∗ =�2�

�2�+�2

�Es decir, la valoración es independiente de los outcome, si

las funciones de producción de habilidades S y F son iguales (S(eij, ekl) =F (eij, ekl)).

10. �∗∗ = 0,5 Cuando los errores son i.i.d y las funciones de producción dehabilidades son iguales.

La expresión (5.15) nos entrega un resultado similar al obtenido en la ecuación (4.22), lavaloración óptima de cada una las tareas dentro de la evaluación de la autoridad educativadependerá positivamente del impacto que tenga el esfuerzo docente en ella. Mientras mássensible sea S (F ) al esfuerzo realizado por los docentes mayor será el porcentaje asignado aesa tarea dentro de la evaluación.

Cuando el principal considera ambas señales en la evaluación docente, la valoración rela-tiva dependerá de la varianza del error de medición con el que capta dichas señales. Por loque, la relación entre �∗∗ y la parte estocástica del modelo es equivalente a la encontrada enel caso sin posibilidades de colusión. Mientras más impresisa sea la medición de los resultadosde una tarea, menor será su porcentaje de incidencia en la evaluación.

5.2.2. Tareas Complementarias

En esta sección resolveremos el problema del principal cuando las tareas realizadas por losagentes son complementarias entre sí, es decir, cuando las funciones S y F son supermodularesen el esfuerzo.

En este caso no será posible encontrar un bono que sea más alto que los demás para todovalor de �, por lo que encontraremos soluciones por intervalos. Luego en este caso la funciónobjetivo del principal será:

G′(x) =

{B′10(�) si � ≤ F ′

01−F ′10

S′10−S′

01+(F ′01−F ′

10)

B′01(�) si � ≥ F ′01−F ′

10

S′10−S′

01+(F ′01−F ′

10)

Resolviendo el problema del principal encontramos las siguientes soluciones por tramos.

�∗∗ =

⎧⎨⎩�2� ⋅ΔS

′10

�2� ⋅ΔS

′10+�2

� ⋅ΔF′10

F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)�2� ⋅ΔS

′01

�2� ⋅ΔS

′01+�2

� ⋅ΔF′01

En donde,

ΔS ′10 = S ′00 − S ′10

ΔF ′10 = F ′00 − F ′10

ΔS ′01 = S ′00 − S ′01

ΔF ′01 = F ′00 − F ′01

Estos resultados son similares a los obtenidos anteriormente en la seccion sin posibilidadesde colusión suponiendo tareas sustitutas. Encontramos que eno existe una única solución alproblema del principal, y comparar entre dichas soluciones no permite identificar directa-mente la ponderación óptima, esta dependerá de los parámetros fundamentales del modelo.Sin embargo, es posible inferir que: primero, la valoración óptima que debiese entregar laautoridad educativa a una tarea determinada dentro de la evaluación aumentará con la sensi-bilidad al esfuerzo docente que ésta presente y disminuirá con la sensibilidad de la otra tareaen consideración. Segundo, mientras mayor sea la imprecisión con la que es posible medir laformación de una habilidad, menor será su ponderación en la evaluación, lo contrario sucedecon la imprecisión de la otra habilidad.

5.3. Conclusiones Escenario con Posibilidad de ColusiónEntre los Agentes

En este capítulo encontramos que al considerar tareas sustitutas, el problema del princi-pal tiene una única solución, miestras que bajo complemetariedad sólo es posible encontarsoluciones por tramos que dependen no trivialmente de los parámetros del modelo. No ob-stante, tanto en el escenario con tareas sustitutas como complementarias es posible inferirque: primero, la ponderación óptima de cada tarea dentro de la evaluación dependerá positi-vamente de la sensibilidad de ésta al esfuerzo docente. En particular, si los resultados en unatarea son independientes del esfuerzo, entonces ésta no será considerada dentro de la evalu-ación, ya que, no proporciona información sobre el desempeño docente. Segundo, la relaciónentre la varianza de la diferencia de errores de medición de una determinada tarea y su val-oración en la evaluación será negativa, ya que, mientras más impresisa sea la medición, los

menos informativos serán outcomes como señal del esfuerzo de los agentes. Contrariamente,para una determinada tarea, su valoración será creciente en la varianza del error de medi-ción de la otra labor en consideración. En general, el principal centrará su evaluación en lasseñales que sean más informativas del esfuerzo de los agentes. Por ejemplo, si consideramosque los errores de medición de los outcomes son independientes e idénticamente distribuídos(i.i.d), entonces la ponderación de las tareas será función sólo de la sensibilidad relativa alesfuerzo que ellas presenten. Finalmente, si los errores son i.i.d. y las funciones de producciónde habilidades son independientes del esfuerzo entonces ambas tareas se valorarán en igualproporción dentro de la evaluación, es decir, �∗ = 0,5.

Podemos resumir los resultados encontrados en el siguiente menú de incentivos.

Menú de Incentivos

1. El principal considerará en la evaluación sólo los resultados obtenidos porlos alumnos en S, si:

i Los resultados en la señal F son independientes del esfuerzo de losagentes.

ii Los resultados en la tarea F no son medibles (error de varianza infinita).iii El error de medición asociado a la tarea S es cero, es decir, el outcome

de F es perfectamente observable.

2. El principal considerará en la evaluación sólo los resultados obtenidos porlos alumnos en F , si:

i Los resultados en la señal S son independientes del esfuerzo de losagentes.

ii Los resultados en la tarea S no son medibles (error de varianza infinita).iii El error de medición asociado a la tarea F es cero, es decir, el outcome

de F es perfectamente observable.

3. Si el esfuerzo de los agentes tiene un efecto positivo dentro de los resulta-dos de F y S, y las varianzas de los errores de medición son mayores quecero, pero acotadas. Entonces el principal considerará ambas señales en laevaluación de los agentes. Entregando mayor peso a la tarea que sea másinformativa del esfuerzo docente.

Capítulo 6

Conclusiones

Este trabajo ha analizado el problema de la autoridad educativa que desea que los pro-fesores se esfuercen en su labor, considerando que ésta incluye múltiples tareas, que porsimplicidad agrupamos en dos categorías. Consideraremos un contexto de esfuerzo no veri-ficable, en el que la autoridad sólo observa una señal ruidosa de los resultados del esfuerzodocente en la formación de habilidades de los alumnos.

La autoridad implementa un sistema de incentivos a los docentes, que consiste en untorneo entre establecimientos educacionales homogéneos entre sí, donde el establecimientoganador recibe un bono que se divide en partes iguales entre sus docentes. La determinacióndel ganador es a partir de una evaluación compuesta por los resultados de los alumnos enambas categorías de tareas. Bajo estas condiciones el problema del principal es determinarla ponderación óptima que debe entregar a cada tarea dentro de la evaluación de manera demotivar el esfuerzo docente al mínimo costo.

El problema se desarrolló en dos escenarios: primero, suponiendo que los agentes no podíancoludirse entre ellos para no realizar esfuerzo en sus labores y luego, un escenario donde lacolusión es factible. En ambos caso analizamos la posibilidad de que las tareas realizadas porlos agentes fueran complementarias o sustitutas.

En el escenario sin posibilidades de colusión el objetivo del principal es implementar elequilibrio de Nash simétrico de esfuerzo alto. Para ello, el bono pagado por la autoridaddebe satisfacer las restricciones de incentivos compatibles que eviten que los agentes decidanno realizar esfuerzo en una o ambas tareas. Bajo complementariedad de tareas el bono quesatisface todas las restricciones de incentivos es el que evita que los docentes no realicenesfuerzo en ambas labores, y el problema del principal tiene solución única. Es decir, esposible identificar la ponderación óptima que debe otorgar la autoridad a cada tarea dentrode la evaluación, la cual es función de los fundamentales del modelo. Por otra parte, en el casoen que las tareas son sustitutas no existe un único bono que satisfaga todas las restriccionesde incentivos compatibles. Encontramos que el bono más alto esta definido en dos tramos enfunción de la ponderación de las tareas en la evaluación: para valores bajos de la ponderaciónde la primera tarea S, el bono más alto es el que activa la restricción que evita que losagentes no realicen esfuerzo en la segunda tarea F y viceversa. Bajo estas condiciones lasolución del problema del principal tampoco es única, sino que encontramos tres candidatosa ponderación óptima dependiendo de las funciones de producción de actividades.

En el escenario donde los agentes pueden coludirse para no realizar el esfuerzo, el objetivodel principal es evitar que el acuerdo se sostenga, incentivando a los docentes a desviarsede éste realizando esfuerzo en sus labores. Para ello, el bono pagado por la autoridad debe

31

satisfacer tres restricciones de compatibilidad de incentivos, que permitan a los docentesobtener un mayor nivel de utilidad esperada al desviarse del acuerdo realizando esfuerzoen la tarea S, F o en ambas, que al mantenerse en el pacto. Considerando tareas sustitutasencontramos que el bono que satisface todas las restricciones de incentivos es el que incentiva alos agentes a desviarse del pacto realizando esfuerzo en sus dos labores y existe solución únicaal problema de la autoridad. Por otra parte, bajo complementariedad ninguno de los bonosque hacen activas las restricciones de incentivos compatibles satisface las tres restricciones.Encontramos que para valores bajos de la ponderación de la primera tarea S el bono mas altoserá el que incentiva a los agentes a desviarse del acuerdo realizando esfuerzo precisamente enS y para valores altos de la ponderación de S el bono más alto será el pagado para motivar alos agentes a realizar esfuerzo en la tarea F . En este ambiente no será factible encontrar unaúnica solución al problema de la autoridad, sino que encontraremos un set de tres factiblessoluciones dependiendo de los paramétros del modelo.

El siguiente cuadro muestra un resumen acerca de la unicidad de la solución encontradasegún sean los supuestos acerca de la factibilidad de colusión entre los agentes y la comple-mentariedad que exhiban las tareas desempeñadas por los docentes.

No Colusión ColusiónTareas Complementarias Solución única No existe solución única lTareas Sustitutas No existe solución única Solución única

Ahora bien, los resultados encontrados con tareas sustitutas y complementarias en am-bos escenarios presentan características similares. Primero, la ponderación óptima de cadatarea dentro de la evaluación dependerá positivamente de la sensibilidad de ésta al esfuerzodocente. En particular, si los resultados en una tarea son independientes del esfuerzo, en-tonces ésta no será considerada dentro de la evaluación, ya que, no proporciona informaciónsobre el desempeño docente. Segundo, la relación entre la varianza de la diferencia de erroresde medición de una determinada tarea y su valoración en la evaluación será negativa, yaque, mientras más impresisa sea la medición, los menos informativos serán outcomes comoseñal del esfuerzo de los agentes. Contrariamente, para una determinada tarea, su valoraciónserá creciente en la varianza del error de medición de la otra labor en consideración. Si con-sideramos que los errores de medición de los outcomes son independientes e idénticamentedistribuídos (i.i.d), entonces la ponderación de las tareas será función sólo de la sensibilidadrelativa al esfuerzo que ellas presenten. Finalmente, si los errores son i.i.d. y las funciones deproducción de habilidades son independientes del esfuerzo entonces ambas tareas se valoraránen igual proporción dentro de la evaluación, es decir, 50% cada una.

En general, el principal centrará su evaluación en las señales que sean más informativasdel esfuerzo de los agentes.

Bibliografía

[1] Armen Alchian y Harold Demsetz (1973). The Property Right Paradigm. The Journalof Economic History, Vol. 33, No. 1, The Tasks of Economic History. pp. 16-27.

[2] Felipe Balmaceda (2007). Uncertainty, Pay for Performance and Asymmetric Informa-tion. The Journal of Law Economics & Organization, Vol.0 N0, pp. 475− 514.

[3] Patrick Billingsley (1979). Probality and Measure. Editorial Jhon Wiley & Sons.

[4] Elizabeth Caucutt (2002). Educational vouchers when there are peer group effects, sizematters. International Economic Review Vol.43, pp. 195− 222.

[5] Dennis Epple y Richard Romano (2002). Educational Vouchers and Cream Skimming.NBER Working Paper No. w9354.

[6] Bengt Holmstrom y Paul Milgrom (1991). Multitask Principal-Agent Analyses: IncentiveContracts, Asset Ownership, and Job Design. Journal of Law, Economics & OrganizationVol.7, pp. 24− 52.

[7] Bengt Holmstrom (1982). Moral Hazard in Teams. The Bell Journal of Economics Vol.13No.2.

[8] Christian Jaag (2006). Teacher Incentives. Munich Personal RePEc Archive.

[9] Edward Lazear y Sherwin Rosen (1981). Rank-Order Tournaments as Optimum LaborContracts. Journal of Political Economy Vol.89 No. 5, pp. 841− 864.

[10] Paul Milgrom y John Roberts (1990). Rationalizability, Learning and Equilibrium inGames with Strategic Complementarities. Econometrica, Vol.58, No.6, pp. 1255− 1277.

[11] Donald Topkis (1998). Supermodularity and Complementarity. Princeton UniversityPress.

[12] Yeon-Koo Che, Seung-Weon Yoo (2001). Optimal Incentives for Teams. The AmericanEconomic Review, Vol.91, No.3. pp. 525− 541.

[13] Ministerio de Educación de Chile (2008). Indicadores de la Educación.http://ded.mineduc.cl/mineduc/ded/documentos/Indicadores2007− 2008.pdf

[14] Ministerio de Educación de Chile http://www.mineduc.cl/

33

Apéndice A

Distribución de Probabilidad Errores deMedición

Como vimos en la sección 4.1, la variable aleatoria z es una combinación lineal de normalescon media 0, descrita por la siguiente ecuación:

z = �("x − "y) + (1− �)(�x − �y) (A.1)

Para simplificar el trabajo, reescribimos la Densidad de la Variable Aleatoria z de la siguienteforma:

f(z) = �ℎ(�) ★ (1− �)g(�) (A.2)

Donde:

� = ("x − "y)

� = (�x − �y)

★ representa la convolución de las Distribuciones de Probabilidad.

Las varianzas de las distribuciones que componen la convolución son:V (��) = �2��

2

V ((1− �)�) = (1− �)2��2

Luego z ∼ N(0, �2��2 + (1− �)2��

2), es decir:

f(z) =1√

2�(�2��2 + (1− �)2��2)⋅ e−z2/2(�2��

2+(1−�)2��2) (A.3)

34

Apéndice B

Restricciones Incentivos CompatiblesCaso sin Colusión

B.1. Primera RestricciónDesarrollaremos la inecuación (4.10) para encontrar el mínimo valor que puede tener el

bono entregado por el principal para que la restricción asociada a ésta se satisfaga.1

B

2Pg(e11)− 2c ≥ B

2Pg(e10)− c (B.1)

Luego, el bono debe cumplir:

B ≥ 2c

Pg(e11)− Pg(e10)(B.2)

Reemplazamos Pg por la expresión descrita en (4.6)

B ≥ 2c

(1− Fz(M11))− (1− Fz(M10))=

2c∫M(e01)

M(e11)f(z)dz

(B.3)

B.2. Problema del Principal caso sin Colusión

B.2.1. Demostración Resultado 1

A continuación demostraremos que B00 es el bono mas alto cuando existe complemen-tariedad en las tareas S y F. Y luego demostraremos que al se B00 el bono mas alto laprobabilidad de ganar el torneo, Pg, es supermodular en el esfuerzo.

DemostraciónPara demostrar que B00 es el bono mas alto, cuando S y F son complementarias, usaremos

una contradicción.Entonces, supongamos que B01 > B11, donde:

B01 =2c

Pg(e11)− Pg(e01)(B.4)

1El trabajo con la restantes restricciones de incentivos compatibles del agente es equivalente al desarrolladoen esta sección

35

B00 =4c

Pg(e11)− Pg(e00)(B.5)

⇒ 2cPg(e11)−Pg(e01)

> 4cPg(e11)−Pg(e00)

⇒ Pg(e11)− Pg(e00) > 2(Pg(e11)− Pg(e01))

⇒ 2Pg(e01) > Pg(e11) + Pg(e00) (B.6)

Ahora bien,

1. Pg(e11) = 1−Fz[�(S(e11, e11)−S(e11, e11))+(1−�)(F (e11, e11)−F (e11, e11))] = 1/2

2. Pg(e01) = 1 − Fz[�(S(e11, e11) − S(e01, e11)) + (1 − �)(F (e11, e11) − F (e01, e11))] =1− Fz[�ΔS01 + (1− �)ΔF01]

3. Pg(e00) = 1 − Fz[�(S(e11, e11) − S(e00, e11)) + (1 − �)(F (e11, e11) − F (e00, e11))] =1− Fz[�ΔS00 + (1− �)ΔF00]

Entonces podemos reescribir (B.6), de la siguiente manera:

2(1− Fz[�ΔS01 + (1− �)ΔF01]) >1

2+ 1− Fz[�ΔS00 + (1− �)ΔF00] (B.7)

⇒ 2Fz[�ΔS01 + (1− �)ΔF01]− Fz[�ΔS00 + (1− �)ΔF00] < 12

⇒ 2∫ �ΔS01+(1−�)ΔF01

−∞ f(z)dz −∫ �ΔS00+(1−�)ΔF00

∞ f(z)dz < 12

⇒ 2∫ �ΔS01+(1−�)ΔF01

0f(z)dz <

∫ �ΔS00+(1−�)ΔF00

0f(z)dz

Reescribimos la última inecuación utilizando la función Erf, definida como la integral dela distribución normal, es decir:

Erf(x) =2√�

∫ x

0

e−t2

dt (B.8)

Erf(x1, x2) =2√�

∫ x2

x1

e−t2

dt (B.9)

Figura B.1: Gráfico función Erf

Luego

2Erf [�ΔS01 + (1− �)ΔF01√

2(�2�2� + (1− �)2�2

�)] < Erf [

�ΔS00 + (1− �)ΔF00√2(�2�2

� + (1− �)2�2�)

] (B.10)

Para poder resolver esta desigualdad tomamos una aproximación lineal de Taylor de lafunción Erf, la cual toma la siguiente forma:

1

2Erf [

x√2a

] =x√2a

+ o[x]2 (B.11)

Donde o[x]2 es un término de error cuadrático.Luego podemos reescribir la inecuación (B.10) de la siguiente forma:

2�ΔS01 + (1− �)ΔF01√

2(�2�2� + (1− �)2�2

�)<

�ΔS00 + (1− �)ΔF00√2(�2�2

� + (1− �)2�2�)

(B.12)

2(�ΔS01 + (1− �)ΔF01) < �ΔS00 + (1− �)ΔF00 (B.13)

Ahora bien, recordemos que :

ΔS01 = S(e11, e11)− S(e01, e11) = S11 − S01

ΔS00 = S(e11, e11)− S(e00, e11) = S11 − S00

ΔF01 = F (e11, e11)− F (e01, e11) = F11 − F01

ΔF00 = F (e11, e11)− F (e00, e11) = F11 − F00

Remplazamos en la inecuación (B.13) y obtenemos:

2(�(S11 − S01) + (1− �)(F11 − F01) < �(S11 − S00) + (1− �)(F11 − F00)⇒ �(S11 + S00 − 2S01) < (1− �)(2F01 − F00 − F11)⇒ �(S11 + S00) + (1− �)(F00 + F11) < 2(1− �)F01 − 2�S01

Pero por hipótesis el esfuerzo que realizan los agentes en ambas tareas es complementario,es decir, las funciones S y F son supermodulares, luego:

S11 + S00 > 2S01

F00 + F11 > 2F01

Multiplicando la primera inecuación por � y la segunda por 1− �

�(S11 + S00) > �2S01

(1− �)(F00 + F11) > 2(1− �)F01

Ahora sumando ambas in ecuaciones, obtenemos:�(S11 + S00) + (1− �)(F00 + F11) > �2S01 + 2(1− �)F01

Con lo que obtenemos una contradicción, ahora bien, al realizar este mismo ejerciciocomparando B10 con B11, llegamos a un resultado equivalente. Luego B11 es el bono más altobajo complementariedad.

Ahora demostraremos que Pg es supermodular, sabemos que como B11 es el bono másalto bajo, se satisface:

1. B00 ≥ B10

2. B00 ≥ B01

Reescribimos la primera desigualdad:

4c

Pg(e11)− Pg(e00)≥ 2c

Pg(e11)− Pg(e10)(B.14)

Esto implica que:

Pg(e11) + Pg(e00) ≥ 2Pg(e10) (B.15)

Ahora reescribimos la segunda desigualdad:

4c

Pg(e11)− Pg(e00)≥ 2c

Pg(e11)− Pg(e01)(B.16)

Y obtenemos

Pg(e11) + Pg(e00) ≥ 2Pg(e01) (B.17)

Sumando (B.15) y (B.17) obtenemos:

Pg(e11) + Pg(e00) ≥ Pg(e01) + Pg(e10) (B.18)

Por lo tanto, Pg es supermodular en el vector de esfuerzo, eij.

B.2.2. Solución Problema del Principal con Tareas Complemen-tarias

En nuestro problema la función que queremos analizar es:

G(�) =1√t(�)

⋅∫ M00(�)

M11(�)

e−z2/2t(�)dz (B.19)

En donde M00(�), M11(�) y t(�) están dados por:

1. M00(�) = �(Sy(e11, e11)− Sx(e00, e11)) + (1− �)(Fy(e11, e11)− Fx(e00, e11))

2. M11(�) = �(Sy(e11, e11)− Sx(e11, e11)) + (1− �)(Fy(e11, e11)− Fx(e11, e11))

3. t(�) = 2�(�2��2 + (1− �)2��

2)

Ahora reescribiremos G(�) con la función definida (B.8) y (B.9) para simplificar su dife-renciación.

G(�) =1

2[Erf(M00(�)/

√2t(�))− Erf(M11(�)/

√2t(�))] (B.20)

Para aislar el efecto del esfuerzo de los docentes en los resultados de los alumnos, supon-dremos los establecimientos educacionales, que están siendo evaluados, son idénticos, por loque en el caso simétrico que los 4 docentes eligen realizar esfuerzo alto en sus dos tareas, losresultados obtenidos por los alumnos son idénticos. Esto se traduce en que la diferencia deresultados será igual a 0, es decir, M11(�) = 0.

Si consideramos que los colegios son iguales entonces el problema se reduce a:

G(�) =1√t(�)

⋅∫ M00(�)

0

e−z2/2t(�)dz (B.21)

Usando (B.8) tenemos:

G(�) =1

2Erf(M00(�)/

√2t(�)) (B.22)

La condición de primer orden orden es:

G′(�) =eM00(�)2/2t(�)

2√

2�t(�)3[−M00(�)2t′(�) + 2M ′

00(�)t(�)] = 0 (B.23)

Reduciendo (B.23) obtenemos que el valor de � que cumple esa condición es:

�∗ =�2� ⋅ΔS00

�2� ⋅ΔS00 + �2

� ⋅ΔF00

(B.24)

Donde:

1. ΔS00 = Sy(e11, e11)− Sx(e00, e11)

2. ΔF00 = Fy(e11, e11)− Fx(e00, e11)

Como los colegios son idénticos y por hipótesis Fx(e11, e11) ≥ Fx(e00, e11) y Sx(e11, e11) ≥Sx(e00, e11), entonces ΔF00 ≥ 0 y ΔS00 ≥ 0, por lo tanto, �∗ ∈ [0, 1].

B.2.3. Demostración Resultado 2: Cambios en la Valoración Rela-tiva Óptima de las Señales, �∗

Para analizar como cambia �∗ con variaciones en los parámetros que la definen analizare-mos sus derivadas.

�∗(�2�, �

2� ,ΔF00,ΔS00) =

�2� ⋅ΔS00

�2� ⋅ΔS00 + �2

� ⋅ΔF00

(B.25)

1. Derivada de �∗ con respecto a �2�

∂�∗(�2�, �

2� ,ΔF00,ΔS00)

∂�2�

=�2�ΔF00ΔS00

(ΔS00�2� + ΔF00�2

�)2

(B.26)

Luego, como podemos ver en (B.26) la la derivada de �∗ con respecto a �2� es positiva,

por lo tanto cuando la varianza del error asociado a la medición de F aumenta elprincipal otorga mayor peso en la evaluación a la señal S.

2. Derivada de �∗ con respecto a �2�

∂�∗(�2�, �

2� ,ΔF00,ΔS00)

∂�2�

= −�2�ΔF00ΔS00

(�2�ΔS00 + �2

�ΔF00)2(B.27)

Como podemos ver en (B.27) existe una relación negativa entre �∗ y la varianza delerror asociada a la medición de S.

3. Derivada de �∗ con respecto a ΔS00

∂�∗(�2�, �

2� ,ΔF00,ΔS00)

∂ΔS00

=ΔF00�

2��

2�

(�2�ΔS00 + �2

�ΔF00)∗(B.28)

Como podemos apreciar (B.28), la relación entre ΔS00 y �∗ es positiva.

4. Derivada de �∗ con respecto a ΔF00

∂�∗(�2�, �

2� ,ΔF00,ΔS00)

∂ΔF00

= −ΔS00�

2��

2�

(�2�ΔS00 + �2

�ΔF00)2(B.29)

Entonces, existe una relación negativa entre ΔF00 y �∗.

B.2.4. Solución Problema del Principal con Tareas Sustitutas

En este caso ninguno de los bonos que hacen activas las restricciones de incentivos com-patibles satisface todas las restricciones para cualquier valor de �. Por lo tanto, la funciónobjetivo del principal queda definida por tramo de la siguiente manera.

G(x) =

{B10(�) si � ≤ F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)

B01(�) si � ≥ F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)

Figura B.2: Función Objetivo del Principal

Resolviendo el problema del principal encontramos las siguientes posibles soluciones:

1.

�∗∗ =�2� ⋅ΔS10

�2� ⋅ΔS10 + �2

� ⋅ΔF10

2.� =

F01 − F10

(S10 − S01) + (F01 − F10)

3.

�∗ =�2� ⋅ΔS01

�2� ⋅ΔS01 + �2

� ⋅ΔF01

En donde,

ΔS10 = Sy(e11, e11)− Sx(e10, e11) = S11 − S10

ΔF10 = Fy(e11, e11)− Fx(e10, e11) = F11 − F10

ΔS01 = Sy(e11, e11)− Sx(e01, e11) = S11 − S01

ΔF01 = Fy(e11, e11)− Fx(e01, e11) = F11 − F01

La ponderación óptima se determinará según:

Si �∗∗ < � ∧ �∗ > � ∧ G(�∗∗) > G(�∗), entonces �∗∗ es óptimo.

Si �∗∗ < � ∧ �∗ > � ∧ G(�∗∗) < G(�∗), entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ > � ∧ �∗ > �, entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ < � ∧ �∗ < �, entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ > � ∧ �∗ < �, entonces � es óptimo.

Apéndice C

Problema del Principal Caso conPosibilidad de Colusión

C.1. Demostración Resultado 3A continuación demostraremos que B′11 es el bono mas alto cuando las tareas S y F son

sustitutas y los agentes pueden coludirse para realizar esfuerzo bajo. Y luego demostraremosque si B′11 el bono mas alto la probabilidad de ganar el torneo, Pg, es submodular en elesfuerzo.

DemostraciónPara demostrar que B′11 es el bono mas alto, cuando S y F son complementarias, usaremos

una contradicción.Entonces, supongamos que B10 > B11, donde:

B′10 =2c∫ 0

N10f(z)dz

(C.1)

B′11 =4c∫ 0

N11f(z)dz

(C.2)

B10 > B11

⇒ −12Erf( N11√

2(�2�2�+(1−�)�2

�)) > −Erf( N10√

2(�2�2�+(1−�)�2

�))

⇒ 12Erf( N11√

2(�2�2�+(1−�)�2

�)) < Erf( N10√

2(�2�2�+(1−�)�2

�))

Aproximando linealmente la función Erf, tenemos:

N11√2�(�2�2

�+(1−�)�2�)< N10

√2√

�(�2�2�+(1−�)�2

�)

Simplificando encontramos:

N11 < 2N10 (C.3)

Ahora bien,

42

N11 = �(Sy(e00, e00)−Sx(e11, e00))+(1−�)(Fy(e00, e00)−Fx(e11, e00)) = �(S00−S11)+(1− �)(F00 − F11)

N10 = �(Sy(e00, e00)−Sx(e10, e00))+(1−�)(Fy(e00, e00)−Fx(e10, e00)) = �(S00−S10)+(1− �)(F00 − F10)

Simplificamos el subíndice que caracteriza el establecimiento ya que éstos son iguales.Luego reemplazando en (C.3), obtenemos:

2[�(S00 − S10) + (1− �)((F00 − F10))] > �(S00 − S11) + (1− �)(F00 − F11)

�(S00 + S11) + (1− �)(F00 + F11) > 2�S10 + 2(1− �)F10

Ahora bien, como S y f son submodulares por hipótesis, entonces:

S00 + S11 < 2S10

F00 + F11 < 2F10

Por lo que hemos llegado a una contradicción, realizando el mismos ejercicio para B′01,llegamos a un resultado equivalente.

A continuación demostraremos que Pg es submodular:Entonces, si B11 > B10

⇒ 4cPg(e′11)−Pg(e′00)

> 2cPg(e′10)−Pg(e′00)

⇒ 2[Pg(e′10)− Pg(e′00)] > Pg(e

′11)− Pg(e′00)

2Pg(e′10) > Pg(e

′11) + Pg(e

′00) (C.4)

Por otra parte, si B11 > B01

⇒ 4cPg(e′11)−Pg(e′00)

> 2cPg(e′01)−Pg(e′00)

⇒ 2[Pg(e′01)− Pg(e′00)] > Pg(e

′11)− Pg(e′00)

2Pg(e′01) > Pg(e

′11) + Pg(e

′00) (C.5)

Luego sumando (C.4) y (C.5) obtenemos:

Pg(e′01) + Pg(e

′10) > Pg(e

′11) + Pg(e

′00)

Por lo tanto, Pg es submodular en las tareas S y F.

C.2. Solución Programa de Optimización del Principal.Repetiremos la metodología usada anteriormente, por ello, reescribiremos G′(�) con la

función definida en (B.8) y (B.9), para simplificar su diferenciación.

H(�) =1

2[Erf(N11(�)/

√2t(�))− Erf(N00(�)/

√2t(�))] (C.6)

Nuevamente, supondremos los establecimientos educacionales, son idénticos, por lo que,en el caso en que los 4 agentes se encuentran coludidos para no realizar esfuerzo, los resultadosobtenidos por los alumnos son idénticos. Esto se traduce en que la diferencia de resultadosserá igual a 0, es decir:

N00(�) = �(Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′00, e

′00)) + (1− �)(Fy(e

′00, e

′00)− Fx(e′00, e

′00)) = 0 (C.7)

Luego:

H(�) =1√t(�)

⋅∫ 0

N11(�)

e−z2/2t(�)dz (C.8)

Usando (B.8) tenemos:

H(�) =1

2Erf(N11(�)/

√2t(�)) (C.9)

La condición de primer orden orden es:

H ′(�) =eN11(�)2/2t(�)

2√

2�t(�)3[−N11(�)2t′(�) + 2N ′11(�)t(�)] = 0 (C.10)

Reduciendo (B.23) obtenemos que el valor de � que cumple esa condición es:

�∗∗ =�2� ⋅ΔS11

�2� ⋅ΔS11 + �2

� ⋅ΔF11

(C.11)

Donde:

1. ΔS11 = Sy(e′00, e

′00)− Sx(e′11, e

′00)

2. ΔF11 = Fy(e′00, e

′00)− Fx(e′11, e

′00)

Vale mencionar que, como los colegios son idénticos y por hipótesis Fx(e′11, e′00) ≥ Fx(e

′00, e

′00).

Entonces, ΔF11 ≥ 0, por lo que, �∗∗ ∈ [0, 1].

C.3. Demostración Resultado 4: Cambios en la ValoraciónRelativa Óptima de las Señales, �∗∗

Para analizar como cambia �∗∗ con variaciones en los parámetros que la definen analizare-mos sus derivadas.

�∗∗(�2�, �

2� ,ΔF11,ΔS11) =

�2� ⋅ΔS11

�2� ⋅ΔS11 + �2

� ⋅ΔF11

(C.12)

1. Derivada de �∗∗ con respecto a �2�

∂�∗∗(�2�, �

2� ,ΔF11,ΔS11)

∂�2�

=�2�ΔF11ΔS11

(ΔS11�2� + ΔF11�2

�)2

(C.13)

Luego, como podemos ver en (C.13) la la derivada de �∗∗ con respecto a �2� es positiva,

por lo tanto cuando la varianza del error asociado a la medición de F aumenta elprincipal otorga mayor peso en la evaluación a la señal S.

2. Derivada de �∗∗ con respecto a �2�

∂�∗∗(�2�, �

2� ,ΔF11,ΔS11)

∂�2�

= −�2�ΔF11ΔS11

(�2�ΔS11 + �2

�ΔF11)2(C.14)

Como podemos ver en (C.14) existe una relación negativa entre �∗∗ y la varianza delerror asociada a la medición de S.

3. Derivada de �∗∗ con respecto a ΔS11

∂�∗∗(�2�, �

2� ,ΔF11,ΔS11)

∂ΔS11

=ΔF11�

2��

2�

(�2�ΔS11 + �2

�ΔF11)∗(C.15)

Como podemos apreciar (C.15), la relación entre ΔS11 y �∗∗ es positiva.

4. Derivada de �∗∗ con respecto a ΔF11

∂�∗∗(�2�, �

2� ,ΔF11,ΔS11)

∂ΔF11

= −ΔS11�

2��

2�

(�2�ΔS11 + �2

�ΔF11)2(C.16)

Entonces, existe una relación negativa entre ΔF11 y �∗∗.

C.3.1. Solución Problema del Principal con Tareas Complemen-tarias

La función objetivo del principal es:

G′(x) =

{B′10(�) si � ≤ F ′

01−F ′10

S′10−S′

01+(F ′01−F ′

10)

B′01(�) si � ≥ F ′01−F ′

10

S′10−S′

01+(F ′01−F ′

10)

Resolviendo el problema del principal encontramos las siguientes posibles soluciones:

1.

�∗∗ =�2� ⋅ΔS ′10

�2� ⋅ΔS ′10 + �2

� ⋅ΔF ′10

2. � = F01−F10

(S10−S01)+(F01−F10)

3. �∗ =�2� ⋅ΔS

′01

�2� ⋅ΔS

′01+�2

� ⋅ΔF′01

Figura C.1: Función Objetivo del Principal

En donde,

ΔS ′10 = S ′00 − S ′10

ΔF ′10 = F ′00 − F ′10

ΔS ′01 = S ′00 − S ′01

ΔF ′01 = F ′00 − F ′01

La ponderación óptima se determinará según:

Si �∗∗ < � ∧ �∗ > � ∧ G′(�∗∗) > G′(�∗), entonces �∗∗ es óptimo.

Si �∗∗ < � ∧ �∗ > � ∧ G′(�∗∗) < G′(�∗), entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ > � ∧ �∗ > �, entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ < � ∧ �∗ < �, entonces �∗ es óptimo.

Si �∗∗ > � ∧ �∗ < �, entonces � es óptimo.