INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD AZCAPOTZALCO

ANALISIS DE CUCHILLAS DE MOLINO PARA TERMOPLASTICOS

MOD. 2650 Y DISEÑO PARA UNA MAYOR DURACION

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO MECANICO

PRESENTAN:

CARDENAS LEON DANIEL SHOMAR GARCIA BERNARDO SINAI

SOLORIO RAMOS ALEJANDRO

ASESOR: M. EN C. JUAN JOSE MARTINEZ COSGALLA

MEXICO D.F. 2012

ANÁLISIS DE CUCHILLAS DE MOLINO PARATERMOPLÁSTICOS MOD. 2650 Y DISEÑO PARA UNA

MAYOR DURACIÓN.

I- OBJETIVO GENERAL

II.- OBJETIVOS PARTICULARES

III.- INTRODUCCIÓN

El fin de este trabajo de tesis es buscar y proponer alternativas más rentables de cuchillas de corte para molinostermoplásticos, jugando con variables como las fuerzas que intervienen en el corte, la geometría de la cuchilla, la resistenciadel material y resistencia a la fatiga, que permitan hacer la cuchilla más resistente al desgaste y por ende dure mas toneladasde corte de material termoplástico. Se debe aclarar que el material para el que se considera este análisis de cuchillas de cortees la molienda del material termoplástico denominado polietilen teraftalato (PET), tomando como base el molino modelo 2650desarrollado en paralelo con este trabajo de tesis.

A) Encontrar las fuerzas de corte que actúan en las cuchillas, para poder determinar los esfuerzos que estas provocan en lascuchillas.

B)Determinar los esfuerzos en la cuchilla para poder encontrar lamejor geometría que propicie unamayor duración.

C)Determinar la geometría óptimade la cuchilla para obtener lamayor duración y unmejor costo.

Este trabajo de tesis esta dirigido a todos aquellas personas que estén interesadas en el reciclaje de plásticos en particularen el PET, (polietilen teraftalato) , ya que durante todo el tiempo que se desarrollo este trabajo, no se encontró ningún otrodocumento que trate del tema de cuchillas paramolinos granuladores demateriales termoplásticos. Este trabajo amplía la visión detodos aquellos profesionales que se dedican al diseño demolinos de cuchillos y es unamuy buena introducción para todos aquellosque se inician dentro del diseño demaquinaria de esta nueva industria del reciclaje demateriales termoplásticos.

El capitulo uno, que es el marco teórico, habla del crecimiento exponencial que ha tenido la industria del reciclaje demateriales termoplásticos, comentando brevemente los métodos para recuperar estos materiales termoplásticos. También secomenta un poco mas a detalle el método mecánico para recuperar estos materiales y la importancia que juegan los molinosgranuladores de cuchillas en todos los procesos de recuperación de materiales termoplásticos. Se habla de las partes principalesque componen unmolino y los diferentes tipos demolino que existen dentro delmercado.

El capitulo dos, que es el desarrollo analítico, se deducen las fuerzas que intervienen en el corte dentro de la cámara demolienda, usando formulas de cinemática y cinética, a demás se usa como apoyo la trigonometría para encontrar las relacionesgeométricas entre el espesor del material, el plano inclinado y el ángulo de incidencia de corte de la cuchilla. En la parte deresistencia de materiales se usan las ecuaciones de flexión, tensión-compresión, torsión y la combinación entre estas para poderencontrar los esfuerzos espaciales en cualquier punto de la cuchilla. Una vez determinados los esfuerzos aplicar los criterios defalla paramateriales frágiles sometidos a fatiga y obtener finalmente elmejormaterial para soportar dichos esfuerzos.

El capitulo tres, que es el desarrollo experimental, se aplica el método de elemento finito para evaluar los resultadosanalíticos y dar un porcentaje de certidumbre a las ecuaciones generadas en el desarrollo analítico.

Por último se comentan los resultados, así como las conclusiones de este trabajo de tesis, donde se ha evaluado la mejorposición de corte así como lamejor geometría de la cuchilla para elmolino 2650, desarrollado en paralelo a este trabajo de tesis.

NDICE

1.- MARCO TEÓRICO.

2.- DESARROLLO ANALÍTICO.

1.1.1 GENERALIDADES.

.

1.1.2 RECOLECCIÓN.1.1.3 PRE-PROCESO.1.1.4 PROCESO.

1.1.4.1 SELECCIÓN EXHAUSTIVA.1.1.4.2 ÁREA DE MOLIENDA.1.1.4.3 ÁREA DE LAVADO.1.1.4.4 ÁREA DE SECADO.1.1.4.5 ÁREA DE PREPARACIÓN FINAL.

1.1.5 DESPOLIMERIZACIÓN.1.1.5.1 METANÓLISIS.1.1.5.2 GLICÓLISIS.1.1.5.3 HIDRÓLISIS.1.1.5.4 AFÍNITY

1.2.1 MOLINOS DE CUCHILLOS.1.2.2 CÁMARA DE MOLIENDA.1.2.3 PARTES DE MOLINO.1.2.4 TIPOS DE MOLINO.1.2.5 TIPOS DE ROTORES EN MOLINOS DE CUCHILLOS.

2.1. FUERZAS QUE ACTÚAN EN LAS CUCHILLAS2.1.1 ANÁLISIS DEL CORTE2.1.2 FUERZA TANGENCIAL.2.1.3 FUERZA RADIAL.

2.2. EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LAS FUERZAS DE CORTE.

2.3. ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS DE LA CUCHILLA POR RESISTENCIA.2.3.1 PLANO COMPLEMENTARIO.2.3.2 ESFUERZOS PRINCIPALES NORMALES Y CORTANTES.2.3.3 ANÁLISIS PARA LA OBTENCIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES.2.3.4 DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE CORTANTE.2.3.5 DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE POR TORSIÓN.2.3.6 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES.

2.4 ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS DE CONTACTO.

2.5 TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES.2.5.1 TEORÍA DE FALLA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO.5.2.2 TEORÍA DE FALLA DE COULOMB-MOHR.

2.6 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA2.6.1 HISTORIA DE LAS FALLAS POR FATIGA.2.6.2 MECANISMO DE LAS FALLAS POR FATIGA.2.6.3 ETAPA DE PROPAGACIÓN DE LAS GRIETAS.2.6.4 MODELOS DE FALLA POR FATIGA.

2.6.5 COMPARACIONES GENERALES ENTRE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FATIGA.2.6.6 TEORÍA DE LAS FRACTURAS ELÁSTICAS LINEALES (LEFM).

2.6.6.1 CRITERIO DE DESPLAZAMIENTO DE APERTURA Y PROPAGACIÓN DE GRIETAS.2.6.6.2 FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS.2.6.6.3 PROPAGACIÓN DE LAS GRIETAS POR FATIGA.

2.7 DETERMINACIÓN DE LA GEOMETRÍA DE LA CUCHILLA.

2.8 ANÁLISIS DE FATIGA EN LA CUCHILLA.

3.- DESARROLLO EXPERIMENTAL (MEF).

4.-RESULTADOS.

5.- CONCLUSIONES.

GLOSARIO.

APÉNDICE “A”.

BIBLIOGRAFÍA.

3.1 RESEÑA HISTÓRICA DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO Y ANSYS.3.1.1 PASOS BÁSICOS EN EL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO.

3.2. PREPROCESO

MARCO TEÓRICO.

1.1.1 GENERALIDADES.

Existen muchos materiales termoplásticos que se busca recuperar como el PET , PE HDPE PPacrílicos, policarbonato, PVC ya quemuchas empresas los usan para producir infinidad de artículos. Casitodo en nuestra vida al día de hoy, esta rodeada por los plásticos, que aunque la materia prima es muy fluctuante en cuanto a suprecio hasta el momento se puede considerar que el plástico es barato, pero por ser un derivado del petroleo y por tanto unmaterialno renovablemuchos industriales, tecnólogos y científicos se han dado a la tarea de descubrir, diseñar, construir nuevos procesos ymaquinaria para poder recuperar esta materia prima tan comúnmente usada, además de evitar los problemas en el medioambiente ya que se considera que una resina plástica tardará por lo menos 200 años en degradarse y el precio del materialrecuperado o reciclado es alrededor de la 3a parte del material virgen, claro esto depende de las condiciones económicasmundiales, ya que en 2007 el plástico tuvo su precio máximo histórico y para finales del 2008 se cayó el precio del plástico,provocando que el material virgen fuera tan barato que a los recicladores no les convenía vender su producto, ya que larecuperación del plástico tiene un costo. De todas formas, ciertos materiales plásticos como el PET que se usa para botellas oembaces, empaques, blisters, ropa, contenedores para productos, alimenticios son un problema para el medio ambiente y a la vezun granmercado que espera a ser explotado, ya que en el año del 2005 se vendieron 500mil toneladas para consumonacional y enel año 2007 se vendieron en nuestro país 700 mil toneladas, es decir hubo un aumento del 40% en solo dos años y se estima queesemismo año solo se reciclaron 65 000 toneladas, es decir únicamente el 9.28%aproximadamente . Para valuar de unamaneramuy rápida, se puede considerar que el costo por kg de PET reciclado es de $12.00 pesos mexicanos y no se reciclan 635000toneladas anuales el negocio actual es de aproximadamente 7620 millones de pesos mexicanos, así que se abre todo un nuevocampo de negocio desde hace ya cerca de 20 años, el cual faltamucho por explotarse ya que en nuestro país solo se recicla el 20%del plástico en general.

El reciclaje delmateriales plásticos se define como, lo cual implica las siguientes cuestiones:

: Los plásticos deben ser recolectados adecuadamente para ser reciclados, siendo primordial para esta parte laeducación civil ya que el costo de lavar el plástico contaminado con elementos químicos u orgánicos, muchas veces dificulta surecuperación. Los plásticos se recolectan actualmente de dos formas: en el basureromunicipal o en centros de acopio privados, loscuales pagan de $2.50 - $6.50 por kilogramodematerial plástico recolectado.

: Los plásticos recolectados se separan según un código estadounidense cuyas siglas son SPI (Society ofPlastics Industry) es decir 1 PET (Polietilenoteraftalato), 2 HDPE (Polietileno de alta densidad), 3 V (Vinílicos), 4 LDPE (Polietilenode baja densidad), 5 PP (Polipropileno), 6 PS (Poliestireno) y 7 (otros). Después que han sido separados (parcialmente) estos secompactan en pacas para que ocupenmenos espacio y así economizar en transporte, como se observa en la figura No.1.1.

: Son los pasos que se siguen para la recuperación delmaterial plástico, en general los pasos de los procesos parala recuperación del plástico son:

A) Selección exhaustiva.B)Molienda.C) Lavado.D)Secado.E) Preparación final.

Estos procesos de limpieza para la recuperación del material plástico son llamados procesos de limpieza mecánicos, en donde sepueden derivar en muchas máquinas o procesos, dependiendo de la calidad del material que se requiera como se describe acontinuación.

(2)(1) (3) (4) (5) (6)

(7) (8)

(9)

, , , PPE ,, PA , poliésteres, etc.

la recuperación de los materiales plásticos, con el objeto de volvera transformar en bienes plásticos

1.1.2- Recolección

1.1.3.- Pre-proceso

1.1.4.- Proceso

1.- Ver definición de termoplástico en el glosario. 2.- Ver definición de PET en el glosario.3.- Ver definición de PE en el glosario, 4.- Ver definición de PE en el glosario, 5.- Ver definición de PP en e glosario. 6.-Ver definición de PPE en el glosario, 7.- Ver definición de PVC en el glosario, 8.- Ver definición de PA en el glosario, 9.- Artículo reciclado del PET de la revista AMBIENTE PLÁSTICO, May-Jun 2006.

1

1.1.4.1- Sistema de selección exhaustiva:

1.1.4.2- Sistema de molienda

1.1.4.3- Sistema de lavado:

1.1.4.4- Sistema de secado:

1.1.4.5- Sistema de preparación final:

, el material puede pasar por una criba rotatoriadonde se le retiran piedras, corcholatas, astillas de matera o materiales menores a un diámetro de 2”, después puede pasarpor una máquina que detecta pvc, contaminantes químicos como aceite y grasa, de inmediato también puede pasar por unalinea de selección manual donde personal capacitado de la planta retira la botella de PET manualmente, que se encuentracontaminada, o contaminantes que las máquinas por algún motivo no quitaron y por último se puede agregar una lavadora debotellas para quitar tierra y por una máquina quita etiquetas. Todo este conjunto de máquinas forma el área de selección.

: En sistema se granula el material con la finalidad de que tenga un tamaño adecuado para quelas máquinas de centrifugado y lavado puedan realizar su función, además el material debe tener una cierta dimensión, odensidad aparente para entrar en las tolvas de la máquinas de soplado, inyección o extrusión.

En esta sección, el material granulado pasa por tinas de flotación para separar las etiquetas quetienen las botellas y por lo general son de materiales distintos al de la botella, además se lava y también se pasa por untanque de sosa que retira residuos de aceite o pegamento de las etiquetas, así como serigrafía de las botellas, se enjuaga yqueda limpio el material a recuperar.

C

En este sistema el material se empaca si es que ya tiene el tamaño adecuado, si noes así, como en la figura No.1.2, en el área de molienda secundaria se muele de nuevo hasta alcanzar el tamaño adecuado,además pasa por un separador de finos, y por un conjunto de separadores de metales ferrosos y no ferrosos einmediatamente el material en hojuela pasa por un separador de pvc, por último es empacado en bolsas de plástico queposteriormente se sellan, para aislar el material de la humedad y del polvo que pudiera caer sobre el material termoplásticorecuperado y esta bolsa sellada es colocada dentro de unos contenedores plásticos, para facilitar su manejo con montacargaso patines de carga dentro de la planta o para ser transportada en contenedores de trailer.

se hace una selección minuciosa de los contaminantes que existen en el plástico,como pueden ser : corcholatas, alambres, rebabas o pedacería de metales ferrosos en general, :aceites, grasas, pinturas, resinas plásticas, pvc o alguna botella con alguna substancia extraña no identificable, :piedras, vidrios, tierra, etc y En el sistema de selección

entrifugado del material para retirar la mayor humedad posible, pero el PET es un materialhidroscópico, así que antes de utilizarse debe pasar por un dehumificador y quizá también por un cristalizador .

metales residuos químicoscerámicos

residuos orgánicos.

(4)

(5) (6)

Imagen No.1.1 pacas de botella de PET, lascuales se compactan y se flejan encantidades de 300Kg a 400Kg para facilitarelalmacenamiento y el transporte. Foto tomadade la revista mundo plástico, número 27, deOctubre - Noviembre 2007.

4.- Cuando una hojuela se deforma en forma de cuchara, su peso por unidad de volumen cambia solo relativamente, ya que el mismo material se compacta aparentemente.5.-Máquin que calienta el aire a unacierta temperatura y le retira la humedad, para después pasarlo a través de la hojuela de PET a granel lo seque y le retire la humedad. 6.- El cristalizador es un horno que lleva al PET a la temperatura decristalización, el material se vuelve de color blanco y sus propiedades mecánicas cambian ya que se vuelve mas duro y por tanto mas frágil. Al pasar el material por las extrusoras o inyectoras el material sevuelve amorfo, que es la manera en que se usa el pet normalmente, de esta forma el material es transparente y mucho mas maleable.

2

Los pasos anteriores describen de una manera general como el material se limpia mecánicamente y es aceptable parapoderse combinar con un cierto porcentaje de material virgen para ser reprocesado en productos nuevos, pero tiene elinconveniente de que el material se degrada poco a poco, volviendose más quebradizo o menos maleable y el material noalcanza la pureza para ser nuevamente considerado como grado alimenticio. Así que se desarrollaron otros sistemas derecuperación química, en donde el material primero se despolimeriza y se obtienen los componentes base para poder volver aproducir el plástico con una eficiencia hasta del 95 porciento dependiendo del material en cuestión , aunque de cualquierforma el material se sigue tratando mecánicamente para quitarle la mayoría de impurezas antes de tratarlo químicamente.

La despolimerización es el proceso que consiste en separar las moléculas chicas para romperlas moléculas gigantes conocidas como polímeros , bajo las condiciones de presión, temperatura y el catalizador adecuadoes posible obtener los productos base con los cuales se formaron los polímeros. Por ejemplo existen varios procesos dedespolimerización para el PET, entre los más importantes se encuentran los siguientes:

: Consiste en la degradación de PET mediante metanol a altas temperaturas y a altas presiones.

: Hasta ahora es el segundo método más importante en el procesamiento del desecho del PET, aunque seha utilizado a nivel comercial sin buenos resultados.

: Hidroliza el PET en PTA (ácido teraftálico purificado) y Etilén glicol (EG). Este método puede realizarsecomo hidrólisis ácida , básica y neutra.

: Este método es nuevo y es de manufactura mexicana por investigadores de la universidad Iberoamericanadonde a presión atmosférica y a temperaturas de entre 90 y 120 °C junto con un catalizador patentado ysecreto hasta el momento, se logra descomponer el PET en PTA y EG con una eficiencia de hasta 95%

El problema del reciclaje químico es el alto consumo energético para mantener presiones altas y temperaturaselevadas para la despolimerización del PET, lo que convierte al reciclado químico en un proceso sumamente costoso por esemotivo es que hasta hoy no existen plantas de reciclaje químico en México, quizá con el proceso Afinity se logren abatir estoscostos y en los próximos años podamos contar con plantas de este tipo en nuestro país.

La ventaja que podría tener el reciclado químico en un futuro, cuando este no sea muy costoso, es que los materialesdespolimerizados no se degradan ya que una vez descompuestos en las sustancias base, se vuelven a formar las cadenas depolímeros por los métodos convencionales y estos son nuevamente material virgen, como se muestra en el diagrama de lafigura No.1.3

(7)

(8)

1.1.5 DESPOLIMERIZACIÓN.

1.1.5.1- Metanólisis

1.1.5.2- Glicólisis

1.1.5.3- Hidrólsis

1.1.5.4- Afinity

Fig. No. 1.2 Diagrama esquemático de una linea de lavado de PET.

7.- Artículo reciclado del PET de la revista AMBIENTE PLÁSTICO, May-Jun 2006. 8.- Polímero, compuesto que se distingue por su alta masa molecular que puede llegar a miles de millones de gramos y estáformado por muchas unidades que se repiten.

3

ALMACENAMIENTOY SISTEMAS DEALIMENTACIÓN

SISTEMASDE

SELECCIÓN

SISTEMA DEMOLIENDAPRIMARIA

SISTEMAS DELAVADO YENJUAGUE

SISTEMA DESECADO

SISTEMA DEMOLIENDA

SECUNDARIA

SISTEMAS DEPREPARACIÓN

FINAL

Así pues se han desarrollado hasta el momento plantas de reciclado de materiales termoplásticos, donde se reciclapara consumo interno y otras plantas donde se recicla para comercializar a otras empresas del giro plástico, donde puedenabatir costos usando cierto porcentaje de material reciclado. En general la calidad del plástico reciclado en la actualidad no esmuy buena en países como el nuestro, ya que muchos recicladores no tienen la maquinaria ni la tecnología necesaria paralimpiar y recuperar el material termoplástico, tan puro como para lograr un certificado de uso alimenticio y la cultura del país encuanto al separado de basura para el reciclado aún se encuentra en pañales, si esto pudiera solucionarse sería muy buenopara la industria, ya que propiciaría mayor uso de materiales termoplásticos reciclados. En países como Alemania la empresaKRONES AG de Neutraubling, desarrolló en el 2006 una planta de reciclado químico de botella de PET, donde el productoobtenido es apto para el envasado de alimentos, según el Instituto Fraunhofer para la Ingeniería, de Procesos y Embalajes,que certificó en el 2006 que el material de reciclaje obtenido es apto para el contacto con alimentos. Las pruebas realizadascumplen con los estándares americanos de la FDA (Food & Drug Administration). La planta de reciclaje de botella de PET tieneuna capacidad de hasta 1000 Kg/hr. Figura 1.4.(1)

1.- Artículo reciclado del PET de la revista AMBIENTE PLÁSTICO, May-Jun 2006.

Fig. No.1.4 Planta de reciclado químico de botella de PET de la empresa KRONES, GA. Imagen tomada de la revista mundoplástico año 6 num.33 Octubre Noviembre 2008.

PTA + EG POLIMERIZACIÓN PETPACKAGING

DE 1a.USO REFRESCOS, AGUA,

ALIMENTOS

CONSUMO

ACOPIO DERESIDUOSTRITURACIÓN

RECICLADOQUÍMICO AFINITY

DESPOLIMERIZACIÓN

CICLO SIN FIN

Figura 4.- Esquema del ciclo de vida del PET con afinity.

Figura No.1.3 Ciclo de vida del PET con afinity, imagen tomada de la revista mundo plástico año 6 num.33 Octubre-Noviembre 2008.

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Después de comentar brevemente los métodos existentes de reciclado de materiales termoplásticos, así como lasdiferentes calidades que se pueden lograr con los diferentes tipos de reciclado, enfocaremos la atención principalmente a losmolinos para materiales termoplásticos, ya que son máquinas fundamentales e insustituibles hasta este momento para losdiferentes tipos de reciclaje de materiales termoplásticos, además este trabajo de tesis trata acerca del análisis de lo que pasadentro del molino, para poder mejorar los elementos consumibles de estos, las cuchillas y de un molino en particular el 2650que se desarrolla en paralelo con este trabajo de tesis. Pero esto se abordará mas adelante. Primero se presentará que es unmolino y los diferentes tipos de molinos, así como las funciones diferentes generales de cada tipo de molino.

1.2.1 MOLINOS DE CUCHILLOS.

Son máquinas rotativas con 2 o más hileras de cuchillas montadas sobre una flecha, denominada rotor y cuandomenos una sola hilera de cuchillas montadas sobre un soporte fijo con respecto al rotor, denominado soporte cuchilla de caja,los cuales se encuentran aislados del medio en una carcaza denominada cámara de molienda. Las cuchillas de rotor y cajapasan apenas con unos decimos de milímetro de separación y cuando pasa el material entre estos, por acción de la gravedado con el auxilio de un husillo (alimentación forzada), es cortado el material en cuestión; este ciclo se repite varias veces hastaque el material que se desea moler tiene el tamaño adecuado para pasar a través una criba que cubre toda la parte baja o dedescarga de un molino. El material que ha pasado por la criba se acumula en un embudo colector o en algún otro sistema queextraiga el material hacia algún lugar deseado. (Ver fig. No.1.5)

Soporte cuchilla superior

Soporte cuchilla inferior.

Rotor 4190FA 3x3

Soporte criba

Admisión dematerial a granular.

Descarga de material granulado.

Fig. No.1.5 Representación de granulación en una cámara de molienda FA3X3.

5

Figura No.1.6 corte de una cámara de molienda de un molino para termoplásticos, sin flanges, para agua, soportescompensados y discos de desgaste.

Øc .- Diámetro de corte1- Cuchilla de rotor.2.- Tornillo de sujeción.3.- Solera rondana.4.- Rotor.5.- Cuchilla de caja.6.- Plano inclinado.7.- Soporte cuchilla inferior.8.- Soporte criba.9.- Soporte cuchilla superior.10.- Criba.11.- Tornillo de ajuste de cuchilla.12.- Placa superior plano inclinado

1.2.2 CÁMARA DE MOLIENDA.

La cámara de molienda es la parte más importante de un molino, ya que es en este lugar donde se lleva a cabo lagranulación de los materiales termoplásticos. El material termoplástico es arrojado dentro de la cámara de molienda y éste esgolpeado por el rotor y proyectado hacia la placa superior plano inclinado (12), inmediatamente después el materialtermoplástico resbala hacia al plano inclinado (6), esta pieza direcciona el material hacia el diámetro de corte (Øc) donde seencuentra el material termoplástico entre las dos cuchillas, la cuchilla de rotor (1) y cuchilla de caja del soporte cuchilla inferior(7), una porción del material termoplástico es cortada y es acarreada o arrastrada por debajo de la cuchilla de rotor y llevada ala segunda cuchilla de caja (5) del soporte cuchilla superior (9), donde vuelve hacer otro corte al material termoplástico encuestión, de nuevo el material termoplástico es proyectado contra la placa superior plano inclinado y vuelve a repetirse el ciclohasta que el material termoplástico tiene el tamaño adecuado para poder salir por la criba (10).

Existen muchos tipos de cámaras de molienda según el fabricante de molinos, esto depende generalmente del tipo de materiala moler y la presentación o forma que este tenga, pero las partes generales son las que se describen en la figura No.1.6

6

Øc

1

2

3

4

5

6

7

11

9

10

12

8

Fig. No.1.7 Descripción del molino.1.- PERNO CORTINERO.2.- TOLVA.3.- PUERTA FRONTAL.4.- PERILLA DE RETARDO Y SEGURO.

DE LA TOLVA.5.- EMBUDO COLECTOR.6.- MICRO SWICH DE SEGURIDAD.7.- COPLE TUBO PESCADOR.8.-9.- MOTOR ELÉCTRICO.10.- BASE TEXCRAFT11.- CAMARA DE MOLIENDA.

ARRANCADOR.

1

24678

35910

11

1.2.3 PARTES DE UN MOLINO.

Ahora se describirá algunas de las partes mas importantes de un molino de usocomún, como el que se muestra en la imagen No.1.7 y la No.1.8, este tipo demolino es de los mas usados, es un molino pequeño de baja capacidad,generalmente usado a pié de máquina para reciclar coladas pequeñas y piezasno conformes con los estándares de calidad de la empresa.

7

INGENIERIAEN DISEÑO

INGENIERÍA

EN DISEÑO

DATOS GENERALES

1.- CUCHILLA DE CAJA ÚNICA 16202.- TORNILLO CUCHILLA DE CAJA3.- ROTOR 1720 ST4.- CUCHILLA DE ROTOR 1620ST5.- TORNILLO CUCHILLA ROTOR6.- BALERO FAG7.- CRIBA 1620

123456

7

Fig. No.1.8 Descripción del molino.

8

Los molinos de cuchillas generamente se usan en la industria para moler materiales termoplásticos y así poder volvera procesarlos, ya que comúnmente cuando alguna compañía coloca un molde en alguna de sus máquinas de inyección, desoplado o extrusión de plástico, esta se tiene que poner a punto, es decir se calibra en cuanto a presión, temperatura,permanencia de cierre del molde, cantidad de material, composición del material, etc, y así sacar piezas que cumplan con losestándares de calidad de esta empresa o quizá algún estándar internacional. Mientras la máquina se calibra las piezas salendefectuosas y para no desperdiciar el material , estas piezas se granulan de algún tamaño adecuado para lamáquina de inyección, soplado, termo-formado o extrusión en cuestión. También existe un proceso similar pero un tanto máscomplicado, para recuperar el material , donde también el molino de cuchillas juega un papel muy importanteen el proceso de recuperación de materiales termoplásticos, ya que este material ya se usó para envasar algún producto,producir algún calzado o textil, fabricar algún bien material, con la diferencia que este material por lo general se encuentra enla basura o en algún centro de acopio.

Existen varias tipos de molino, para moler diferentes tipos de materiales y presentaciones de material como son:botellas, garrafones, cubetas, plastas, coladas, piezas chicas, partes automotrices, tubería, películas plásticas, etc... Para elloexiste un molino diferente que tenga un mejor desempeño de molienda que otro, según la presentación y tipo de material, esdecir que la producción está en función del tipo de molino que se seleccione para granular cierto tipo de material y supresentación o geometría que este tenga. En ocasiones la cantidad de material molido por hora no importa tanto, mas bien queeste sea lo más silencioso posible, como es el caso de los molinos chicos que se encuentra a pié de máquina.

post-industrial

post-consumo

1.2.4 TIPOS DE MOLINOS.

Fig. No. 1.9 Materiales termoplásticos reciclables.

9

Existen muchas marcas de molinos, de muy diversos tipos y de una gran gama de tamaños dependiendo lapresentación y la producción de material granulado que se desee, algunos fabricantes recomiendan cierto tipo de molino paraalguna aplicación específica, por ejemplo, para moler plastas y coladas, el fabricante de origen alemán ZERMA recomienda unmolino como el mostrado en la figura No.1.10.

Para moler cubetas ygarrafones, el fabricante deorigen estadounidenserecomienda el trituradormostrado en la figura No.1.11,con un arreglo de dos cuchillasde doble uña grandes para jalarel material y varias cuchillas detipo sierra para cortar odesgarrar el material. Elfabricante de origen mexicanorecomienda un molino con rotorEHD, con volante de inerciacomo el que se muestra en lafigura No.1.12, para la moliendade tarimas plásticas, así comocoladas y plastas de grantamaño.

Fig. No. 1.10 Molino ZERMAGS400/1000de corte en “V” y 5 hileras de cuchillas.Imagen tomada del catálogo general.

Fig. No.1.11 trituradormarca CUTTER. Imágentomada del catálogo.

Fig. No.1.12 Molino 55160EHDde manufactura Mexicana.

10

Para moler tubos y perfiles, el fabricante de molinos de origen alemán de la marca HERBOLD, recomienda un molinocomo el mostrado en la figura No.1.13, para molienda dentro de una planta de alguna técnica de transformación del plástico,donde se requiere que el molino tenga bajos niveles de ruido. El fabricate de molinos de origen Italiano PIOVAN recomienda unmolino como el que se muestra n la figura No.1.14, con caseta de insonorización.

Para la molienda en general con bajo nivel de ruido, ideal para fábricasdonde se desea disminuir el ruido interno de la planta productiva, el fabricantede origen sueco RAPID, recomienda un molino como el que se muestra en lafigura No.1.15. Serie 400, mod.3760, para producciones hasta de 600Kg/hr.

Arriba derecha Fig. No.1.15 Molino RAPID serie 400, insonorizado paraproducciones de hasta 600Kg/hr.

Imágenes tomadas de los catálogos generales, de las diferentes empresas.

Arriba izquierda Fig. No.1.13, molino de la marca HERBOLD para la moliendade tubos y perfiles extruidos de materiales termoplásticos.

Izquierda Fig. No.1.14, molino de la marca PIOVAN, con caseta deinsonorización modelo RN 30\30 silencioso.

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Fig. No.1.17, Molino de alto rendimiento ydurabilidad de la marca PREVIERO. Imagentomada del catálogo general.

Para la molienda de láminas o retales producto deaplicaciones de prensado en termoformados, como elpolipropileno con el que se fabrican los vasos desechables, elfabricante de origen estadounidense CUMBERLAND,recomienda un molino achaparrado y largo, ideal paracolocarlo debajo de las prensas de troquelado del vasodespués de la operación de termoformado. Como el molinomostrado en la figura No.1.16.

Para aplicaciones de alta producción donde se le exige unalto desempeño al molino, el fabricante de origen italiano,PREVIERO, recomienda un molino de aplicación general dealta duración, como el que se muestra en la figura No.1.17

Así pues, como se ha mencionado existen un número muygrande de fabricantes de molinos y de equipos periféricospara la industria del plástico, todos ellos con su propiatecnología, con sus muy peculiares y diferentes diseños cadauno de ellos para resolver un problema en especifico, lasmarcas de molinos que en esta pequeña muestra semencionan son algunas de las más importantes en el mundo,sin mencionar aún las marcas de CONAIR y SHINI quecuentan con presencia en México, pero la base defuncionamiento de todos estos molinos y trituradores para lagranulación de materiales termoplásticos en la misma.

(1)

Figura No.1.16. Molino de la serie U, de CUMBERLAND, para alturas limitadas, como las aplicaciones deprensado, con producciones entre 1800 y 3000 lb/hr, disponible en potencias de 20 y 50HP. Imagen tomada delcatálogo general.

12

1.- Retal o esqueleto, es el material sobrante después de una operación de troquelado en una tira de lámina continua, donde quedan las siluetas del material recortado.

ROTOR 2550FA 3X2SIN FLANGE

ROTOR 4090CH 7X2FLANGE GRANDE

ROTOR 1620CR 2X1FLANGE REDUCIDO

ROTOR 55120CH 3X2FLANGE GRANDE

1.2.5 TIPOS DE ROTORES EN MOLINOS DE CUCHILLOS.

Los molinos por lo general se nombran al principio por dos números como por ejemplo 2030, que quiere decir que eldiámetro de corte es de 20cm y la longitud interior de la cámara de molienda es de 30cm, después está el tipo de rotor, estepuede ser recto(CR), recto con corte de tijera (FA), corte de tijera en “V” (CH), recto con corte de tijera y soportes cuchillacompensados (FA), escalonado con corte recto (EHD), escalonado con corte de tijera (ST), escalonado con corte de tijera ydesahogos intermedio (FAP) y con todas las opciones anteriores pero con protecciones de cuchilla. A demás se colocan unosdiscos en ocasiones en las caras laterales de los rotores conocidos como flanges, los cuales se ocupan como sellosmecánicos. Existen muchos fabricantes de molinos y cada uno llama en ocasiones de diferente manera sus componentes demolino, pero en general estas son las variantes mas usadas en los rotores de molinos de cuchillas.

ROTOR 4090EHD 3X5FLANGE GRANDE

ROTOR 60120FAP 3X3SIN FLANGE

Fig. No. 1.18 diferentes tipos de rotores marca Pagani, imágenes tomadas de los ctalogos generales.

ROTOR 4290FA 3X2SIN FLANGE Y PROTECCIÓNEN LAS CUCHILLAS

13

Según el tipo de material a moler y la presentación se selecciona el tipo de rotor que se usará en el molino, de estaforma es como surgen muchos tipos de rotores para molinos de cuchillas, dependiendo la experiencia del fabricante puederecomendar un cierto tipo de rotor, por ejemplo: el fabricante de molinos HERBOLD, recomienda para materiales de altoimpacto o muy pesados, rotores como el perfil “A” (mostrado en la figura No19), para hule sin vulcanizar o materiales de bajopunto de fusión como el rotor “B” , para piezas de alto punto de fusión recomiendan el perfil “C” y para distintos montajes decuchillas para gran variedad de materiales como el perfil “D”.

BBA

C D

Figura No.1.19 diferentes perfiles de rotores marca , escaneados del catálogo de la linea SMS y marcadoscomo rotores especiales tipo M6, G3, B3 y F9 respectivamente según el orden alfabético. Imagen tomada del

catálogo general.

HERBOL

Fig. No. 1.20 perfiles de molinos RAPID. Imagen tomada del catálogo general.

14

Los molinos mostrados en las imágenes 1.21, 1.22, 1.23 y 1.24 sonde las marcas RAPID y CONAIR, son molinos de bajas revoluciones 25rpm ypor tanto muy silenciosos y se ocupan para materiales duros, quebradizos,abrasivos, coladas, plastas y piezas de pared gruesa, en bajas producciones,se utilizan generalmente a pie de máquina por ser muy silenciosos. Lasimágenes anteriores fueron escaneadas de los catálogos de ventas.

La figura No. 1.20 muestra perfiles de cámara de molienda de la marca serie 500 de origen Sueco, con lasrecomendaciones de los materiales plásticos que estas configuraciones de molino pueden granular mejor. Imágenesescaneadas del catálogo de rapid en la sección de piezas moldeadas y extruidas.

Rapid

Arriba Fig. No.1.21 molino de bajas revoluciones marcaRAPID de la serie 10,también llamado trabajo de reloj.

Abajo Fig. No.1.22 corte transversal de la cámarade molienda del molino rapid de la serie 10.

Abajo fig. No. 1.23 corte longitudinal de una cámarade molienda marca CONAIR de la serie CM

Izquierda Fig. No. 1.24 Molinode bajas revoluciones de lamarca CONAIR, para aplica-ciones muy silenciosas.

15

Imágenes tomadas de los catálogos generales de las diferentes empresas.

Fig. No. 1.25 rotor semi abierto contornillos de fijación en las cuchillas,marca PREVIERO, de origen Italiano.Esta imagen fue tomada del catálogogeneral de molinos.

Fig. No. 1.26 Rotor abierto contornillos de fijación en las cuchillas,marca PREVIERO, de origen italiano.Esta imagen fue tomada del catálogogeneral de molinos.

Fig. No. 1.27 Rotor cerrado consoportes cuchilla de rotorintercambiables y cuñas de sujeción enlas cuchillas, disponible también en laversión abierto, marca PREVIERO, deorigen italiano. Esta imagen fue tomadadel catálogo general de molinos.

Fig. No.1.28 Rotor abierto con cuchillas de rotor inclinadaspara doble hélice de corte, de la marca PREVIERO, deorigen Italiano. Esta imagen fue tomada del catálogogeneral de molinos.

Fig. No.1.29 Rotor cerrado con soportes cuchillas de rotorintercambiables y tornillo de sujeción en las cuchillas, de lamarca PREVIERO, de origen Italiano. Esta imagen fuetomada del catálogo general de molinos.

16

Imágenes tomadas de los catálogos generales de las diferentes empresas.

Fig. No. 1.32 molino marca TRIA con caseta de insonorizaciónmodelo 42 XT-BM-TR, imágen tomada del catálogo de molinos.

Fig. No. 1.30 derecha cortetransversal de una cámarade molienda Marca TRIA,tipo XT.

Fig. No. 1.31 izquierda cortetransversal de una cámarade molienda Marca TRIA,tipo XT.

Las imágenes de arriba muestran un molino de la marca TRIA de origen italiano, con caseta de insonorizado y recomienda lacámara de molienda tipo XL para moler desperdicios de extrusiones rígidas o flexibles, coladas pequeñas, piezas moldeadaspesadas, también se recomiendan para el segundo paso de molienda o pedacería. Para la molienda de piezas sopladas,preformas en linea a altas temperaturas, materiales a granel y retal de termoformados ligeros recomienda la configuración decámara de molienda tipo BM.

La figura No.1.33 muestra un molino de lamarca NELMOR de origen estadounidensemodelo GP-818, recomendado para piezasmoldeadas, para molienda fina, piezassopladas, molienda en general y puedealimentarse por robot, banda o manual.Imágenes tomada del tríptico de los molinosNELMOR.

Figura. No.1.33 molino marca NELMOR modelo GP-818.

17

2.-DESARROLLO ANALÍTICO.

2.1.FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LAS CUCHILLASAnalizando la figura No.2.1 donde se muestra una transmisión mecánica por bandas que es la estándar de un molino

común. Se muestra la polea motor “ ” con un diámetro de paso 7.4 in, que se conecta a un motor de 30 hp NEMA, las bandastransmiten el movimiento a la polea rotor marcada con la letra “ ”. Además se muestra el sentido de giro del sistema, lasflechas marcadas con la fuerza “ ” muestran como actúa la banda en tensión en la parte superior y a compresión en la parteinferior. Con los datos proporcionados por el fabricante del motor, se puede calcular el torque y la velocidad con la que gira elrotor del molino para determinar las fuerzas que actúan sobre las cuchillas.

AB

F

)2.....(

:

)1.........(

tan_

tan_

.

Rc

JTF

FFJRcFT

JM

rotorrotor

tcrotortcrotor

EXT

�

�

�

Donde:T = Torque.F = Fuerza tangencial en rotor.

= Longitud del brazo de palanca.J = Momento polar de inercia.= desaceleración angular instantánea al

impacto= Velocidad angular.

F=Fuerza tangencial en bandasF = Fuerza tangencial de corte

tan_rotor

rotor

tc

T

�

�

La ecuación anterior viene del movimiento plano de cuerpos rígidos, donde la sumatoria de fuerzas externas es igual al vectorde inercia, es decir al momento polar de inercia “ ” por la aceleración angular ( ). Las fuerzas externas que se involucran en elsistema son el par proporcionado por el motor, la fuerza tangencial de corte (la cual se opone al giro como se muestra en lafigura No. 2.2) y las pérdidas mecánicas (no consideradas en el análisis).

Con el torque nominal del motor proporcionado por el fabricante de estos y los datos de las poleas seleccionadas, podemoscalcular el par en el rotor producido por el motor eléctrico. Para calcular las poleas intervienen varios factores que solo secomentarán, ya que no es el tema de esta tesis, como es el ángulo mínimo de contacto, a menor velocidad menor ruido eimpactos menos bruscos en las cuchillas y el tamaño de las poleas también está supeditado al costo y espacio.

J �

Figura No. 2.1, transmisión por bandas deun molino 2560.

MOTOR 30hp,4 POLOS, 1755 RPMTORQUE NOMINAL 120 NmPOLEA MOTOR Øpaso 7.4 in (0.18796 m)

POLEA MOTOR Øpaso 0.38m

AB

F

18

J�

Rc =0.125

m

FTC=Ftan_rotor

T=torque

Fig. 2.2 Diagrama de cuerpo rígido de las fuerzas externas dentro de la camara 2650

Con los datos del motor eléctrico, y los diámetros de las poleas podemos deducir lo siguiente:

NmmNRFT

Nm

Nm

R

TF

prpasorotor

pmpaso

motor

8115.242)19.0(9552.1277

9552.12770939.0

120

_

_

El momento polar de inercia “ ”, que depende del material y de la geometría del rotor, es calculado después de haberdiseñado el rotor, o cuando menos haber definido la geometría general de éste, junto con el volante de inercia y/o polea,aunque el ángulo de incidencia aún no esté definido, esto se hará en un paso posterior. El impacto de la cuchilla sobre elmaterial genera una desaceleración instantánea en el rotor la cual hace que la aceleración negativa tienda a cero como sedefine a continuación.

J

3.............0

lim Ecot

t

���

Donde el rotor de la cámara de molienda al estar andando antes de tenercarga, es decir antes de moler cualquier material, su velocidad angulares constante de 868 = 5454.29 , con las poleas y el motorindicadas en la figura 2.1. Por tanto la velocidad angular inicial es de5454.29 y la velocidad instantánea extrema angular es de 0, asíque evaluando el limite cuando el tiempo tiende a cero, resulta en lagráfica 2.1

( )rpm rad/min

( )

rad/min ( )(t)

�

�

�

o

19

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

tiempo(t)seg.

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

900,000

1,000,000

1,100,000

1,200,000

aceleración angular (�) rad/seg²

Es complicado determinar la desaceleración exacta, ya que depende de la resistencia que oponga el tipo de material aser molido y la geometría de este, pero para efectos prácticos tomaremos la media del universo de números propuestos en losrangos de valores mostrados en la gráfica 2.1. Como podemos observar, el valor tiende a infinito mientras el tiempo tiendea cero, es decir que al sustituir, el valor de la aceleración en la ec.2 la fuerza tangencial del rotor se vuelve muy grande, portanto un atasque del rotor instantáneo debido a un material muy resistente provocaría el despostillamiento o fractura de lacuchilla. Esta fuerza sería la fuerza máxima tangencial que el sistema mecánico proporcionaría a la cuchilla de rotor.

(t)

Gráfica No. 2.1, valores dela desaceleración angularcuando el tiempo tiendea cero.

“t”

20

�(rad/min) �(rad/min^2) t (seg.) �(rad/min) �(rad/min^2) t (seg.) �(rad/min) �(rad/min^2) t (seg.) �(rad/min) �(rad/min^2) t (seg.) �(rad/min) �(rad/min^2)10995.57 infinito 0.2 10995.57 54977.85 0.4 10995.57 27488.925 0.6 10995.57 18325.95 0.8 10995.57 13744.462510995.57 1099557.0000 0.21 10995.57 52359.8571 0.41 10995.57 26818.4634 0.61 10995.57 18025.5246 0.81 10995.57 13574.777810995.57 549778.5000 0.22 10995.57 49979.8636 0.42 10995.57 26179.9286 0.62 10995.57 17734.7903 0.82 10995.57 13409.231710995.57 366519.0000 0.23 10995.57 47806.8261 0.43 10995.57 25571.093 0.63 10995.57 17453.2857 0.83 10995.57 13247.674710995.57 274889.2500 0.24 10995.57 45814.875 0.44 10995.57 24989.9318 0.64 10995.57 17180.5781 0.84 10995.57 13089.964310995.57 219911.4000 0.25 10995.57 43982.28 0.45 10995.57 24434.6 0.65 10995.57 16916.2615 0.85 10995.57 12935.964710995.57 183259.5000 0.26 10995.57 42290.6538 0.46 10995.57 23903.413 0.66 10995.57 16659.9545 0.86 10995.57 12785.546510995.57 157079.5714 0.27 10995.57 40724.3333 0.47 10995.57 23394.8298 0.67 10995.57 16411.2985 0.87 10995.57 12638.586210995.57 137444.6250 0.28 10995.57 39269.8929 0.48 10995.57 22907.4375 0.68 10995.57 16169.9559 0.88 10995.57 12494.965910995.57 122173.0000 0.29 10995.57 37915.7586 0.49 10995.57 22439.9388 0.69 10995.57 15935.6087 0.89 10995.57 12354.57310995.57 109955.7000 0.3 10995.57 36651.9 0.5 10995.57 21991.14 0.7 10995.57 15707.9571 0.9 10995.57 12217.310995.57 99959.7273 0.31 10995.57 35469.5806 0.51 10995.57 21559.9412 0.71 10995.57 15486.7183 0.91 10995.57 12083.04410995.57 91629.7500 0.32 10995.57 34361.1563 0.52 10995.57 21145.3269 0.72 10995.57 15271.625 0.92 10995.57 11951.706510995.57 84581.3077 0.33 10995.57 33319.9091 0.53 10995.57 20746.3585 0.73 10995.57 15062.4247 0.93 10995.57 11823.193510995.57 78539.7857 0.34 10995.57 32339.9118 0.54 10995.57 20362.1667 0.74 10995.57 14858.8784 0.94 10995.57 11697.414910995.57 73303.8000 0.35 10995.57 31415.9143 0.55 10995.57 19991.9455 0.75 10995.57 14660.76 0.95 10995.57 11574.284210995.57 68722.3125 0.36 10995.57 30543.25 0.56 10995.57 19634.9464 0.76 10995.57 14467.8553 0.96 10995.57 11453.718810995.57 64679.8235 0.37 10995.57 29717.7568 0.57 10995.57 19290.4737 0.77 10995.57 14279.961 0.97 10995.57 11335.639210995.57 61086.5000 0.38 10995.57 28935.7105 0.58 10995.57 18957.8793 0.78 10995.57 14096.8846 0.98 10995.57 11219.969410995.57 57871.4211 0.39 10995.57 28193.7692 0.59 10995.57 18636.5593 0.79 10995.57 13918.443 0.99 10995.57 11106.6364

Izquierda fig. No. 2.3corte de cámara de molienda2650, con ampliación del detallede las componentes de la fuerzaal entrar la cuchilla en dosdimensiones. Derecha fig. No. 2.4detalle de las componentes de lafuerza cuando sale la cuchilla endos dimensiones. Abajo fig. No.2.5 detalle de la fuerza en 3dimensiones.

T= 242.6048 NmO= 868.078 rpm

Ø250 (Diámetro de corte)

18.91°

l = 125 mm

FTEFRE

FTD

FRD

125y

x

E

Punto "E"

Punto "D"

y

x

Punto "D"

Punto "E"

x

y

z

FR

FT

Pedidas por lageometriaFT (total)

Fuerza resultantede corte.

3.31° (ángulo de incidencia)

22.22°ángulo de incidencia

�

F = Fuerza radial entradaF = Fuerza Tangencial entradaF = Fuerza radial salidaF = Fuerza tangencial salida

= Ángulo de asiento del rotorF = Fuerza tangencial totalF = Fuerza tangencialF = Fuerza radialFRC = Fuerza resultante de corte

RE

TE

RD

TD

T(total)

T

R

�

21

Para realizar el corte debido a la geometría del rotor, primero hace contacto la punta lado polea e instantes después lapunta contraria es decir, lado opuesto polea, en este lapso pasa completa una de las 3 hileras de cuchillas del rotor modelopor el soporte cuchilla inferior como se muestra en la fig. No.2.3 y 2.4 Esta combinación de ángulos que tiene el asiento yrespaldo de las cuchillas en el rotor es para utilizar menos energía en el corte, es decir menos potencia ya que si no tuvieraeste ángulo, una de las hileras cortaría el material en toda su longitud de un solo golpe, como el rotor recto. El rotor FA es unrotor de corte de tijera, tiene un corte mas suave o constante.

Como se puede observar en la imagen No. 2.5 existe una fuerza tangencial que tiene su punto de acción en el filo de la hilerade cuchillas, una radial que empuja el material contra el plano inclinado y la cuchilla de caja, además existe una tercera fuerzadebido al corte de tijera, es decir por la geometría del corte de la hilera de cuchillas en el rotor, esto es porque la linea deacción de la fuerza de corte se presenta de una forma normal al filo y como este tiene un ángulo provoca una fuerza en el eje

.

También se puede observar que la linea de acción de la fuerza se mantiene fija pero la geometría no, es decir la fuerzatangencia, radial y normal se mantienen constantes, pero el ángulo de incidencia de la cuchilla a la entrada y a la salida delcorte cambia como se muestra en las figuras No. 2.3 y 2.4.

En la figura No. 2.5 se muestra las tres componentes de la fuerza total resultante y se observa el detalle de la fuerza normal alfilo, la cual se supone como una pérdida ya que la fuerza tangencial no se ve incrementada, pero la sección de material quecorta en esta posición requiere mucho menos energía que cortar una sección con todo el largo del filo de la cuchilla en elmismo instante.

FA

“Z”

Fig. No. 2.6 corte transversal de una cámara demolienda 2550, un instante antes de realizar un

corte de material.

Fig. No. 2.7 corte transversal de una cámara demolienda 2550, en el instante de empezar un

corte de material.

22

Fig. No. 2.8 corte transversal de una cámara2550 al momento de realizar el corte,

2.1.1 ANÁLISIS DE EL CORTE.

Primero la pieza se desliza por el plano inclinado entre el rotor y la cuchilla de caja por la acción de la gravedad, aúnno la toca la cuchilla de rotor y el sistema se encuentra libre de cualquier esfuerzo, como se muestra en la figura No. 2.6, uninstante después la cuchilla golpea la pieza, esta se desliza hacia abajo pero la fuerza de rozamiento de la superficie de lapieza contra el plano inclinado debido a la deformación de la pieza y más aún la fuerza de rozamiento de la pieza contra el filode la cuchilla de caja sujetan fuertemente a la pieza y se entierran ambas cuchillas del impacto inicial como se muestra en lafigura No. 2.7. La cuchilla de rotor empieza a cortar de manera constante debido a la inercia del rotor y de la polea de rotor,que funciona como volante de inercia, hasta un punto antes donde la pieza se fractura.

Lo anterior se muestra en la vista “ ” de la figura No. 2.8, donde vemos el corte de la pieza del centro del rotor hacia el filo, esdecir en el sentido que actúa la fuerza normal o radial y se puede observar como el corte es gradual desde cero hasta, esta área puede distinguirse porque presenta una superficie tersa o suave, después viene una fractura o arrancamiento

donde la superficie es áspera. Si ahora vemos la sección marcada como corte es decir en el sentido que actúa la fuerzatangencial, podemos observar que el corte empieza desde cero hasta donde , es decir área , esuna sección sometida a compresión ya que el corte no es en este sentido sino que se presume que la fractura se presenta enla linea de acción de la fuerza resultante de corte ( ). Por tal motivo la fuerza radial depende de la normal que provoca lafuerza de rozamiento de la cuchilla contra el material a cortar, la máxima reacción de la fuerza radial se presenta sobre elplano inclinado y sobre la cuchilla de caja pero en menor cantidad ya que el área resistente del material es mínima al final delcorte. Aunque la cuchilla de caja también se desgasta presumiblemente debido a la fricción de la sujeción del material contra lacuchilla de rotor, durante toda la acción del corte.

E

d (tan

)G-G’

t-e e(d ) + ((t-e)(d ) /2) G1+G2

FRC

�

�

� �

VISTA "E"

G

G'

t

�

t / sen�

e

j

23

�

d�

t/sen

�

VISTA "E"

ÁREA DE ARRANCAMIENTOO FRACTURA

e

t

d�

CORTE "G-G'"

G1

G2

Debido a la configuración del sistema, la longitud del corte máximo que puede realizar la cuchilla de rotor es:

)4. . . . . . . (c o s �

�dL c

Donde L es la longitud de corte máxima sobre el materialc

La fuerza resultante de corte “FRC” de acuerdo a la figura No. 2.5 es.

)6......().........(cos)(

)5.........()(2 22

�TT

TR

FtotalF

totalFFFRC

Donde la “ ” corresponde al cateto adyacente del ángulo de asiento en un rotor “ ”, que es elángulo que se fabrica en el rotor con el fin de hacer el efecto de tijera al cortar el material, lo cual provoca una pérdida en lafuerza tangencial como se muestra en la figura No. 2.5. Este ángulo de asiento se puede observar en un rotor visto de frenteen la figura No.2.9, el cual está conformado por la superficie marcada con una linea mas ancha y la linea de centros del rotor

nombrado con la letra griega “ ”.

fuerza tangencial total F (total)T �

�

Fig. No. 2.9. Croquis de un rotor 2560 FA

2.1.2 FUERZA TANGENCIAL.Para calcular la fuerza tangencial “ ” observamos la vista “ ” de la figura No. 2.8 donde se muestra el área de corte o elárea resistente del material, cuyo espesor de corte máximo es “ “ así que el área resistente máxima para el cortetangencial sería:

F E

t/sen

T

�

)7.....(..........tan2

)/(

tan2

)/(

tan

)/(

2

)/(

2

2

�

���

�

�

�

��

��

sentAF

sentA

sentd

dsentA

T

24

ÁNGULO DE ASIENTO�

Donde “ ” es la fuerza tangencial, “ ” es la resistencia al corte del material a moler en cuestión y “ ” es el árearesistente del material a cortar en la trayectoria tangente al diámetro de corte como se indica en la vista “ ” de la figura No. 2.8.esta área es variable ya que depende de el espesor “ ” y del ángulo de corte “ ”, para poder determinar estos valores seanalizarán las siguientes cuestiones.

F A

E

t

T �

�

Observando la figura No. 2.10, podemos determinar que el material opone la menor resistencia al corte cuando lascaras laterales de este se encuentran paralelas a una línea trazada desde el centro del rotor hasta el centro del material, esdecir que la distancia es igual al espesor “ ”, también podemos observar el ángulo “ ”, que es el ángulo que existe de lahorizontal al plano de deslizamiento de alimentación del material (plano inclinado del molino), el cual en la figura No. 2.10 esideal ya que se había comentado anteriormente, este sirve para guiar las piezas al rotor por acción de la gravedad.

La figura No. 2.11, muestra las condiciones de un material antes de ser cortado, y podemos observar que debido al cambio dela distancia se ha incrementado, aunque esta es en realidad una cuerda del diámetro de corte “ ”, se analizará de

manera recta para simplificar los cálculos ya que la diferencia de este valor es muy pequeña. También se puede apreciar elángulo “ ”, el cual es el ángulo de corte, este varía de acuerdo al espesor del material ya que si en el sistema mostrado “ ”aumenta “ ” también aumentará, también el ángulo “ ” varía de acuerdo a los valores que tome “ ” a lo largo del trabajo demolienda.

t/sen t j

“j” t/sen Øc

Ac t

Ac t

�

�

�

Fig. No. 2.10 corte ideal de materialcon espesor “t”

j

Ac

x

y

t

90°

�� �

t

Ac(Arco de corte)

Øc(Diám

tero d

e corte)

�

x

j

yFig. No. 2.11, Corte de material con un planoinclinado con un ángulo “j”

Se puede ahora formar un diagrama que auxilie en la determinación de la distancia t/sen así poder determinar el árearesistente del material y poder calcular la fuerza real tangencial que actúa en el sistema (como se muestra en la ec. No.7)

La figura No. 2.12, muestra el diagrama de las geometrías que interactúan en el sistema, donde podemos observar claramentela distancia que es la relación que existe entre el espesor y el ángulo que forma el plano inclinado y la trayectoria decorte o también puede nombrarse ángulo de incidencia de la cuchilla de rotor, “ ” es el ángulo que se forma al trazar doslineas una de el centro de giro del rotor a el filo de la cuchilla de caja y la otra del centro de giro del rotor al punto de inicio delcorte, el diámetro de corte “ ”, es la circunferencia que traza el filo de la cuchilla de rotor y “ y ” son distanciasconstantes en la geometría de la cámara de molienda. También “ ” juega un papel muy importante pero este no varía una vezdecidido el diseño del molino, claro que se puede optimizar este ángulo muy importante en el desempeño del molino, pero nose profundizará en el tema en este trabajo de tesis.

�

�t/senAc

Øc j, m Ej

25

Aplicando la ley de cosenos:

Se tiene que:

)9.......(..........2

90cos22

cos22

290

:

290

290

290

2

180

)8.........(cos22cos22

22

22

2

2222

2

AcmjsenAcRcRct

AcRcRcAc

mjsen

t

doSustituten

Acmj

Acmj

AcAcnademásymjnsi

AcRcRcsen

tAcRcRc

sen

t

��

�

��

26

Fig. No. 2.12, diagrama de las geometría del corte en un molino.

t

�

t / sen�

Ac

1/2Øc=Rc

n

n

m=cte

E = cte.

j' =cte

j

ángulo de desahogo

�cos2222 bccba

)10......(

)9.........(

��

�

�

COSSEN

COSAF

COS

COSFF

CYC

SC

dA

�s

kr

W1

Figura No. 2.13 diagrama circular de fuerzas deMerchant, aplicado al corte de un maquinado frontalcon fresadora.

f

D/2

�c

A

MATERIAL A REMOVER

POR "A"

a

e

AVANCE

ROTACIÓ

N

dR

R

F

N

Fc

FtFn

Fs

�

�

-�

LINEA IMAGINARIA

ÁNGULO POSIBLE

DE LA HERRAMIENTA

l

t

t1

2.1.3 FUERZA RADIAL.

Para calcular la fuerza radial “ “ existen varias publicaciones en cuanto al maquinado ortogonal y la formación de viruta, estaes una situación muy similar, pero en este caso el corte no es tan constante y no hay fuerza de avance, en todo caso el libroMANUAL DE MÉTODOS DE FABRICACIÓN METALMECÁNICA, de Sergio A. Villanueva y Jorge Ramos Watanave, dice en lapágina 156, que la fuerza radial o normal de maquinado para el fresado, es más grande al principio cuando el espesor es másdelgado pero en general puede considerarse un valor del 40% de la fuerza tangencial. También existe el modelo ortogonal defuerzas de corte, conocida como diagrama circular de fuerzas de Merchant, el cual se ilustra en la figura No. 2.13.

FR

Ernst y Merchant en 1941 proponen que la determinación de la fuerza de corte está basada en encontrar la fuerza cortantey establecen la siguiente ecuación.

FF

C

S

)8........(�

�

SEN

AF CY

S

Donde es el esfuerzo cortante resistente del material, es el ángulo de corte, es el área resistente (de la rebaba sincortar, es decir que es el producto de el espesor “ “ de la rebaba sin cortar por el ancho de la rebaba “ ”sin cortar)

� �Y C

1 1

A

t W

27

De acuerdo a Ernst y Merchant el material de trabajo se deforma cuando el esfuerzo en el plano de corte reacciona,

esto es la resistencia al corte. Después investigaciones publicadas en gran número de artículos mostraban que deberia sera través de un flujo de esfuerzo cortante, el cual es un poco más alto que el esfuerzo a la fluencia en el material de trabajo,dependiendo de las condiciones particulares de corte. Aún este esfuerzo sobra, la única característica importante sabemos hoyen el material de trabajo es la resistencia al corte.

�y

Ahora de acuerdo al diagrama del circulo de Merchant y a la ec. No.8, podemos deducir que la fuerza normal o radial “ ” esigual en magnitud a “ ”, con diferente sentido. (Como se muestra en la ampliación de la figura No. 2.13)

Para analizar la fuerza normal o radial ejercida sobre el material observaremos la figura No. 2.14, donde la fuerzaradial “ ” o normal “ ” actúa sobre le material durante toda la distancia ” ” así que ejerce un esfuerzo en el material decompresión sin llegar a cortar el material en la dirección radial o normal. El espesor del material decrece debido al cortetangencial y empieza en el espesor igual a “ ” hasta un valor de espesor igual a “ ” antes de la fractura del material. Enocasiones este espesor “ ” puede presentarse hasta el final sobre la cuchilla de caja debido a la elasticidad de los materialestermoplásticos. Aplicando las ecuaciones de movimiento plano de cuerpos rígidos, podemos hacer la suma de momentos en“ ” es igual a la suma de momentos en “ ” efectivos, donde “ ” es el origen del sistema mostrado en la figura No.2.14 ytambién es el centro de rotación del rotor del la cámara de molienda. Donde “ ” es el torque del rotor, “ ” es la fuerza derozamiento máxima que puede existir en el sistema, entre la cuchilla y el material a procesar, “ ” es el radio de corte, “ ” es elmomento polar de inercia, “ ” es la aceleración angular del rotor en radianes, “ ” es la masa del rotor junto con la polea,cuchillas, tornillos y volante de inercia en caso de existir, por último ” “ es el coeficiente de rozamiento dinámico entre elmaterial de la cuchilla de rotor y el material a moler.

FtFs

F N t/sen

t ee

O O O x-yT Fm

r I

W

R

c

�

�

k

)11(..........

.

kc

RR

k

c

c

effeOO

r

ITFFN

NFm

r

ITFmIrFmT

MMSi

�

��

t

�

t / sen�

eN

Fm

X

Y

O

W

19.59°

RyRx

T

Fig.2.14 diagrama de cuerpo libre delcorte de un molino de cuchillas.

28

Ø250

j=119.9082°

E=114.81

m=23.1140°

Ac

2.1.1 EVALUACIÓN DE RESULTADOS DEL CORTE.

Desarrollando las ecuaciones anteriores para la geometría mostrada en la figura siguiente No. 2.14 y 2.15, con losvalores desde =0 hasta =50 con intervalos de 1 en 1, para el molino 2650 nuevo que se desarrolla en paralelo a estetrabajo de tesis, de donde obtendremos los valores constantes de la geometría y así poder avaluar la ecuación No.13 yobtener los valores de “ ”, para cada uno de los ángulos de corte ” ”. A demás podremos obtener el valor de “ ” quenecesitamos para evaluar el área de corte donde actúa la cuchilla y por tanto las fuerzas que actúan en las cuchillas delmolino. También analizaremos los resultados variando el ángulo “ ” y el ángulo de asiento “ ”, para analizar qué pasa al variarla geometría del corte. En la figura No.2.15 izquierda y 2.16 derecha, se pueden obtener los valores constantes dependiendode la geometría como es “ ”,” ” y “ ”

Ac Ac

t Ac t/sen

j

j Rc m

�

�

Ø250

j=140°

E=114.81

m=23.1140°

Ac

29

Figura No. 2.15, figura de corte de una camara demolienda con ángulo de plano inclinado de 119.9082°.

Figura No. 2.16, vista de corte de una cámara demolienda con ángulo en el plano inclinado de 140°

Tabla 2.2, muestra los resultados del análisis para obtener la fuerza tangencial y normal para la geometría dada en la figuraNo.2.15, tomando como material a procesar el PET.

1 0 0.125 0 0 0 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 0 02 0.002181639 0.125 1 0.01745333 0.000276999 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 3271.0877 6.8148E-053 0.004363112 0.125 2 0.03490667 0.000591723 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 13083.3544 0.000272574 0.008724895 0.125 4 0.06981333 0.00133395 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 52317.4775 0.001089955 0.01308402 0.125 6 0.10472 0.002225776 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 117654.568 0.002451146 0.017439159 0.125 8 0.13962667 0.003266115 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 209015.023 0.004354487 0.021788987 0.125 10 0.17453333 0.004453698 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 326287.533 0.006797668 0.026132177 0.125 12 0.20944 0.00578708 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 469329.219 0.009777699 0.030467407 0.125 14 0.24434667 0.007264636 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 637965.805 0.0132909510 0.034793356 0.125 16 0.27925333 0.008884565 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 831991.834 0.0173331611 0.039108707 0.125 18 0.31416 0.010644894 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 1051170.91 0.0218993912 0.043412145 0.125 20 0.34906667 0.012543478 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 1295236 0.0269840813 0.047702359 0.125 22 0.38397333 0.014578004 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 1563889.75 0.0325810414 0.051978042 0.125 24 0.41888 0.016745994 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 1856804.84 0.0386834315 0.054110028 0.125 25 0.43633333 0.017879218 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 2012250.01 0.0419218816 0.064704909 0.125 30 0.5236 0.024023534 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 2877404.27 0.0599459217 0.07517662 0.125 35 0.61086667 0.030929665 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 3884114.41 0.0809190518 0.085505228 0.125 40 0.69813333 0.038545049 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 5024718.72 0.1046816419 0.09567107 0.125 45 0.7854 0.04681173 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 6290536.47 0.1310528420 0.097682998 0.125 46 0.80285333 0.048537768 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 6557893.84 0.1366227921 0.105654797 0.125 50 0.87266667 0.055666793 119.9082 2.09279778 23.114 0.40341635 7671933.98 0.15983196

m (grad)Ac(rad) t (m) j (grad.) j (rad)ITEM t/sen� Rc (m) Ac (grad.) m (rad) Ft (N) A (m^2)

PET PET� (N/m^2)

1 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692766.82 02 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692769.98 3269.095033 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692817.32 13075.38434 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1693574.12 52285.60695 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1696845.67 117582.8966 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1705606.51 208887.6967 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1723889.03 326088.7678 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1756548.07 469043.3159 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1808857.14 637577.17210 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1885955.15 831485.00411 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1992253.49 1050530.5612 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2130974.54 1294446.9813 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2303960.02 1562937.0714 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2511769.19 1855673.7215 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2628626.6 2011024.1916 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 3336889.36 2875651.4217 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 4234787.99 3881748.318 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 5299293 5021657.7819 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 6510615.34 6286704.4320 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 6768977.08 6553898.9321 0.03490667 2 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 7851900.53 7667260.43

��(rad)ITEM ��(grad) Fr(N) T(N.m) FRC FT(total)I(N.m^2) rc(m) � rad/seg^2)

30

Tabla 2.3, muestra los resultados del análisis para obtener la fuerza tangencial y normal para la geometría dada en la figuraNo.2.16, tomando como material a procesar el PET.

1 0 0.125 0 0 0 140 2.44346667 23.114 0.40341635 0 02 0.00218164 0.125 1 0.01745333 0.00100353 140 2.44346667 23.114 0.40341635 1633.54936 3.4032E-053 0.00436311 0.125 2 0.03490667 0.00204071 140 2.44346667 23.114 0.40341635 6533.69985 0.000136124 0.00872489 0.125 4 0.06981333 0.00421476 140 2.44346667 23.114 0.40341635 26126.839 0.000544315 0.01308402 0.125 6 0.10472 0.00651951 140 2.44346667 23.114 0.40341635 58755.5462 0.001224076 0.01743916 0.125 8 0.13962667 0.00895215 140 2.44346667 23.114 0.40341635 104380.068 0.002174587 0.02178899 0.125 10 0.17453333 0.01150971 140 2.44346667 23.114 0.40341635 162944.818 0.003394688 0.02613218 0.125 12 0.20944 0.01418909 140 2.44346667 23.114 0.40341635 234378.444 0.004882889 0.03046741 0.125 14 0.24434667 0.016987 140 2.44346667 23.114 0.40341635 318593.914 0.0066373710 0.03479336 0.125 16 0.27925333 0.01990006 140 2.44346667 23.114 0.40341635 415488.624 0.0086560111 0.03910871 0.125 18 0.31416 0.0229247 140 2.44346667 23.114 0.40341635 524944.523 0.0109363412 0.04341214 0.125 20 0.34906667 0.02605724 140 2.44346667 23.114 0.40341635 646828.254 0.0134755913 0.04770236 0.125 22 0.38397333 0.02929386 140 2.44346667 23.114 0.40341635 780991.321 0.0162706514 0.05197804 0.125 24 0.41888 0.03263063 140 2.44346667 23.114 0.40341635 927270.265 0.0193181315 0.05411003 0.125 25 0.43633333 0.0343353 140 2.44346667 23.114 0.40341635 1004898.07 0.0209353816 0.06470491 0.125 30 0.5236 0.04320055 140 2.44346667 23.114 0.40341635 1436947.69 0.0299364117 0.07517662 0.125 35 0.61086667 0.05258551 140 2.44346667 23.114 0.40341635 1939688.93 0.0404101918 0.08550523 0.125 40 0.69813333 0.06241876 140 2.44346667 23.114 0.40341635 2509295.62 0.0522769919 0.09567107 0.125 45 0.7854 0.07262546 140 2.44346667 23.114 0.40341635 3141432.69 0.0654465120 0.097683 0.125 46 0.80285333 0.07470482 140 2.44346667 23.114 0.40341635 3274948.36 0.0682280921 0.1056548 0.125 50 0.87266667 0.08312793 140 2.44346667 23.114 0.40341635 3831289.16 0.0798185222 0.1154374 0.125 55 0.95993333 0.09384624 140 2.44346667 23.114 0.40341635 4573614.79 0.0952836423 0.12500027 0.125 60 1.0472 0.10469881 140 2.44346667 23.114 0.40341635 5362760.01 0.1117241724 0.13432518 0.125 65 1.13446667 0.11560306 140 2.44346667 23.114 0.40341635 6192718.92 0.1290149825 0.13798453 0.125 67 1.16937333 0.11996063 140 2.44346667 23.114 0.40341635 6534724.76 0.136140126 0.1433944 0.125 70 1.22173333 0.12647599 140 2.44346667 23.114 0.40341635 7057174.99 0.14702448

m (grad)Ac(rad) t (m) j (grad.) j (rad)ITEM t/sen� Rc (m) Ac (grad.) m (rad) Ft (N) A (m^2)

PET PET� (N/m^2)

1 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692766.818 02 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692767.603 1629.5700983 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692779.366 6517.7840064 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1692967.451 26063.195075 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1693781.248 58612.420016 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1695966.298 104125.80247 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1700553.239 162547.8918 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1708837.456 233807.50719 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1722343.658 317817.831510 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1742770.862 414476.509911 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1771915.728 523665.778312 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1811576.779 645252.605613 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1863448.134 779088.856314 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1929016.776 925011.470815 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 1967324.543 1002450.17616 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2218159.32 1433447.33717 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 2570903.516 1934963.92418 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 3021818.163 2503183.07519 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 3561746.53 3133780.27920 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 3679477.831 3266970.70821 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 4180048.968 3821956.28922 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 4866377.016 4562473.64523 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 5611123.999 5349696.53624 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 6405358.502 6177633.69325 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 6735005.324 6518806.42526 0.06981333 4 48000000 1692766.82 242.6 6.716 0.4 0.125 -12566.37 7240637.679 7039983.984

��(rad)ITEM ��(grad)Fr(N)

T(N.m) FT(total) (N)I(N.m^2) rc(m) � rad/seg^2) FRC (N)

31

TABLA 2.3 ESPESOR VS FUERZA REAL DE CORTE

96409660

9680970097209740

9760978098009820

98409860

t(m) 0

0.00120828

0.001414378

0.001621817

0.001830594

0.002040708

0.002252155

0.002464933

0.00267904

0.002894472

0.003111228

0.003329304

0.003548698

t (m)

FR

C(N

)

TABLA 2.2 (ESPESOR VS FUERZA REAL DE CORTE)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

t(m) 0

0.000336929

0.000461313

0.000591723

0.000728155

0.0008706

0.001019053

0.001173505

0.00133395

0.001500379

0.001672785

0.001851159

0.002035492

0.002225776

0.002422001

0.002624157

0.002832235

0.003046224

0.003266115

0.003491895

t (m)

FR

C(N

)

32

Resultados gráficos de las tablas 2.2 y 2.3.

Analizando los resultados de las tablas 2.2 y 2.3 las cuales corresponden a los croquis de las imágenes No. 2.15 y 2.16respectivamente, donde se varió el ángulo del plano inclinado “ ” aproximadamente y el ángulo de asiento de la cuchilla derotor “ ” . Podemos observar que para cortar un espesor de 0.010m (aprox.), se requiere de una fuerza de 1050 KN, esto enel arreglo de cámara de molienda de la figura No.12.15, mientras que para el arreglo de la figura No.2.16 sólo se requiere 162KN aproximadamente, para cortar un espesor de 0.011m es decir un 84.57% menos fuerza para cortar el mismo espesor dematerial.

La fuerza tangencial máxima en la cuchilla que puede ejercer el sistema mecánico mostrado en la figura No.2.15, basado en laec. No.2 es de 673.225 KN, así que los espesores máximos de PET que se pueden cortar en este molino, considerando unageometría de placas o láminas continuas es de 26mm aproximadamente, claro que el área transversal que podemos cortar esde 0.01347m^2. En materiales menos resistentes obviamente se puede aumentar el espesor.

2.3

La cuchilla mostrada en la figura No. 2.3.1, es el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en la cuchilla, en elsistema coordenado actual . Pero para poder facilitar el problema analizaremos la cuchilla en el sistema coordenado

como se muestra en dicha figura No.2.3.1, para poder alinear los ejes coordenados con los planos principales de lacuchilla, esto facilita el problema ya que puede resolverse como un elemento sometido a flexión con carga axial( esfuerzoscombinados) para los ejes . Por tanto el sistema de fuerzas que actúan sobre la cuchilla de rotor queda como se muestraen la figura No. 2.3.2.

j 20°

2°

(Este valor de espesor no esdefinitivo ya que también depende de la resistencia del material, de la geometría y resistencia de la cuchilla)

X,Y,ZX’,Y’,Z’

X’-Y’

�

ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS EN LA CUCHILLA POR RESISTENCIA.

2.3.1 PLANO COMPLEMENTARIO

Figura No. 2.3.1 diagrama de cuerpo libre de las fuerzasque actúan sobre la cuchilla de rotor.

33

y

xFT

FR

FTC

t=26

1692kN

a

Ray'Ma

y'z'

x'

Rax'

524kN

20°

Al descomponer las cargas en el nuevo sistema coordenado cambian los valores en cuanto a magnitud de las fuerzas en “ ” y“ ” pero se conservan en “ ” incluso se alinea con el eje coordenado mostrado en la figura No. 2.3.2. Quedando las fuerzascomo se muestra en la figura No.2.3.3.

XY Z

Fig. No. 2.3.2, cambio de magnitud de las fuerzasdebido al cambio de ejes coordenados.

FRx

FRz

FRx

FRy

Fig. No. 2.3.3 Cargas en sobre la cuchilla en el sistema coordenado nuevo.

34

FTy=FTCsen20°

FRx=FTCcos20°

FTC

y'z'

x' 20°

2.3.2 ESFUERZOS PRINCIPALES NORMALES Y CORTANTES.

Una vez que se han definido las fuerzas, la geometría parcial de la cuchilla y el sistema coordenado complementario’, en el cual trabajaremos, se puede analizar los esfuerzos normales y cortantes en cualquier punto de la cuchilla que se

desee. Las fuerzas provocan esfuerzos de diferente índole sobre la cuchilla, es decir, si observamos el eje , de la vistalateral de la cuchilla en la figura No. 2.3.4, podemos observar que la cuchilla está sometida a un esfuerzo de flexión conrespecto al eje , debido a la fuerza y a un esfuerzo de compresión debido a la fuerza . Si observamos ahora la vistafrontal de la misma figura, sobre el plano , podemos ver que la cuchilla está sometida a flexión con respecto al plano,además sufre otra flexión debido a las fuerza aplicada , sobre el eje . Por último en la vista inferior de la misma figura,

podemos observar que la cuchilla está sometida a flexión sobre el plano , debido a la carga , a demás está sometida acompresión por la carga Obviamente las reacciones no se muestran, en la figura No. 2.3.4, pero debemos considerar quelos puntos indeformables se encuentran sobre los agujeros para sujeción.

De acuerdo a lo anterior, podemos deducir que la misma fuerza provoca esfuerzos diferentes, dependiendo sobre el plano que

esté actuando, así que tenemos una serie de combinación de esfuerzos en planos diferentes. Para saber el esfuerzo total ,en un ponto cualquiera “ ”, que actúa sobre la cuchilla, se debe ocupar la ecuación de esfuerzos principales para un elementotridimensional, la cual se describe a continuación:

X’,Y’,ZX’-Y’

Z’ F FX’-Z’ X’-

Z’ F Y’Y’-Z’ F

F

A

Ry Rx

Rz

Ry

Rz.

X'

Z' Y'

X'

FRz

ac

FRx FRx

E.N.

FRy

Ø1 Ø1

L

l l

Ø1Y'

Z'ac

FRy

FRz

E.N.

E.N.

E.N.

)1 2(.... . . . . . .0 01

2

2

3 CCC

Figura No. 2.3.4, Flexiones provocadas en la cuchilla, por las diferentes fuerzas que actúan sobre ella, en los tres planosdiferentes.

35

222

0

222

1

2

2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx

xzzyyxzxyzxy

zyx

C

C

C

� � � ���

���

Donde:

La ec.12 es un polinomio cúbico en . A los coeficientes y , se les conoce como invariantes tensoriales,porque tienen los mismos valores, independientemente de la elección inicial, de los ejes sobre los cuales se midieron o

se calcularon los esfuerzos aplicados. Estos tres esfuerzos principales, (normales) , y , son tres raíces de este

polinomio cúbico, Las raíces de este polinomio son siempre reales, quedan ordenadas de manera que > >

C0, C1 C2X,Y,Z,

x y z

x y z

�yx

x

y

z

�yz

�zx

�zy �xy

�xz

�yx

x

y

z

�yz

�zx

�zy �xy

�xz

Fz

FyFx

Fig. 2.4.5 cuchilla cargada, con fuerzas en y dondese muestra, como actúan las tensiones en esta.

X, Y Z

Las tensiones en las cuchillas son resultado de la interacción de las partículas del cuerpo, las cuales aparecen cuandola cuchilla se somete a fuerzas de corte entre la cuchilla y el material a moler, esta acción trata de cambiar la disposición delas partículas del cuerpo o provocar su desplazamiento, pero las tensiones son las que se oponen para que estosdesplazamientos sean pequeños relativamente. Las tensiones en un mismo punto serán, como regla general, diferentes endistintas direcciones, como se menciona en el párrafo de arriba.

0zyx

A

36

Analizando el punto “ ” de la figura No. 2.4.5, podemos observar que , actúa perpendicular al plano “ ”, donde las

tensiones tangenciales o cortantes en este plano no dependen de , sino de y , de esta forma se pueden representaren el circulo de Mohr, para estado triaxial de esfuerzo, las tensiones en el plano “ ” como la circunferencia “ ” con diámetro

- , como se muestra en la figura No.2.4.6, en el plano “ ”, perpendicular a , las tensiones normales y tangenciales

quedan caracterizadas en el circulo por la circunferencia “ ” con diámetro - y por último las tenciones en el plano “ ”

perpendicular a , las tensiones normales y tangenciales quedan representadas en el circulo por la circunferencia , con

diámetro - .

A x I

x y z

I L

z II y

L y z III

z L

x y

1

x

II

III

CI CII CIII

45°

z y x

LII

LIII

LI

D

D�

Fig. No. 2.4.6, círculo de Mohr deestado triaxial de esfuerzo.

)13.(..........2

31max

�

De la figura No. 2.4.6, podemos comprobar por este método gráfico del círculo de Morh para estado triaxial de esfuerzos, que

los puntos , , y , que se encuentra sobre el eje de los esfuerzos principales , son las tres raíces a las que hacereferencia la ec.12, a demás podemos observar que el esfuerzo cortante máximo se encuentra sobre la circunferencia , enel punto “ ” cuya fórmula se describe por la ec. 13.

Es importante mencionar la convención de símbolos para los esfuerzos principales normales y cortantes, para los cálculosposteriores, analizando la figura No. 2.4.5, podemos observar, por ejemplo en la cara , donde se encuentra el esfuerzo

principal , y los cortantes y , dichos símbolos quieren describir lo siguiente: , quiere decir que es el esfuerzonormal principal, el cual actúa sobre el eje “ ”, si este se encuentra con la flecha hacia el lado positivo, quiere decir que seencuentra a tensión, y si la flecha apunta hacia el lado contrario quiere decir que está a compresión, es decir que el esfuerzoprincipal tenga signo negativo no quiere decir que es un esfuerzo menor, sino mas bien, que se encuentra a compresión o a

tensión. Para los esfuerzos cortantes se designa la letra griega , seguido por los subíndices ó . El primer subíndice

simboliza que el esfuerzo cortante actúa perpendicular al esfuerzo principal , y la segunda letra indica el sentido de esta, yasea ó .

� �

�

x y zL1

D

x xy xz xX

xy xz

xy z

I

37

2.3.3 ANÁLISIS PARA LA OBTENCIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES.

Vxz=Vzx Vxy=Vyx Vxz=Vzx

Vzx,

VxzVxy

VxzVzx

Ahora, si tomáramos nuevamente, una pequeña partícula de cualquier parte de la cuchilla, se analizaría lo siguiente:

De la figura No. 2.3.4 la fuerza , causa el esfuerzo de compresión en el área achurada sobre el eje , nombrado en la

figura No. 2.3.7 como , (cabe mencionar que este esfuerzo solo aplica sobre el área achurada) y el signo negativo, esdebido a que actúa a compresión, además esta misma fuerza, causa un esfuerzo de flexión sobre el plano ,excepto en elárea achurada y se muestra en la vista frontal de la figura No. 2.3.4. Esto se reduce a un esfuerzo de tensión por arriba del ejeneutro (E.N) sobre el eje ó a un esfuerzo de compresión por debajo del eje neutro, también sobre el eje , el cual está

nombrado sobre la figura No. 2.3.7, como , el signo ±, es debido a que la partícula puede estar a compresión o a tensióndependiendo de su posición relativa con el eje neutro, esta misma flexión, causa una fuerza cortante en dirección de laaplicación de la carga , como se muestra en la figura No. 2.3.8 (a), a su vez, esta carga genera un esfuerzo cortante

nombrado en la figura No. 2.3.7 como , y tiene un reciproco para el equilibrio estático nombrado en la misma figura como

.

La fuerza , de la figura No. 2.3.4, causa el esfuerzo de flexión sobre el plano , pero como ya se mencionó,esta flexión se reduce a un esfuerzo de compresión o de tensión sobre el eje , dependiendo de su posición relativa con el eje

neutro en el plano . Este esfuerzo puede visualizarse sobre la figura No. 2.3.7 como , con signo ±, dependiendo desu posición relativa de la partícula con respecto al el eje neutro, es decir se puede encontrar a tensión o compresión. Esteesfuerzo de flexión causado por la fuerza , causa una fuerza cortante en el sentido de aplicación de esta carga, que a su

vez, causa un esfuerzo cortante que se puede visualizar en la figura No. 2.3.7, como dichos esfuerzo cortante, esprovocado por las flexiones sobre los planos y causados por la misma carga aplicada . También este esfuerzo

cortante tienen su reciproco para mantener el equilibrio estático y están representados en la figura No. 2.3.7 como .

Ahora, observamos la fuerza , en la figura No. 2.3.4, esta crea una flexión sobre el plano , resultando en un

esfuerzo de compresión o tensión sobre el eje , el cual se muestra en la figura No. 2.3.7, como . A su vez, como en loscasos anteriores, la flexión causada por la fuerza , provoca un esfuerzo cortante mostrado en la figura No. 2.3.7 como

que a su vez, tiene su recíproco para mantener el equilibrio estático y mostrado en la figura No. 2.3.7 como .

Los esfuerzos cortantes causados por la torsión, que ocasiona la flexión por cargas laterales, que se explicará un poco

mas adelante, están representados en la figura No. 2.3.7 como y , junto con su recíproco correspondiente.

Por último en la figura No. 2.3.7, se muestra que para obtener los valores totales, de los distintos esfuerzosprincipales y cortantes, que actúan sobre la partícula seleccionada, se deben hacer sumas algebraicas de los diferentesesfuerzos ya mencionados y mostrados en la figura No. 2.3.7.

FRx X’

- cxZ’-X’

Z’ Z’

z

FRx

zx

xz

FRy X’-Y’X’

“X-Y” ± x

FRy

xyX’-Y’ Y’-Z’ FRy

yx

FRz Z’-X’

X’ ± xFRz

xz zx

zy yx

�

�

�

�

� �

� �

1

1

1

1

1

1

2

2, 2

1 1

Para poder entender mejor los esfuerzos cortantes en las cuchillas, se debe mencionar que son causados por laflexión en los diferentes ejes, es decir la flexión causa un esfuerzo cortante paralelo a la fuerza que causa dicha flexión y otroperpendicular a dicha fuerza, ambos de la misma magnitud, como se muestra en la figura No.2.3.7 y la figura No. 2.3.8. Enesta última figura se muestran las fuerzas cortantes provocadas por las flexiones, debido a las fuerzas , y , lascuales son , y .

Ahora la fuerza cortante paralela a la carga , actúa sobre el plano en dirección del eje , y existe otra deigual magnitud, perpendicular a esta, actuando sobre el plano , pero en dirección del Eje , que es la fuerza cortante

. Como se muestra en la figura No. 2.3.8 (a). Ahora, la fuerza , causa una flexión sobre el plano , creando lafuerza cortante paralela a esta , y una perpendicular a esta, de la misma magnitud pero sobre el plano , como semuestra en la figura No. 2.3.8 (c). Por último analizando la figura No. 2.3.8 (d), observamos la fuerza cortante , causadapor la fuerza , junto con la carga cortante que contrarresta esta para el equilibrio estático .

FRx FRy FRz

F X’-Y’ X’Y’-Z’ Z’

F X’-Y’Z’-X’

F

Rx

Ry

Rz

38

Figura No.2.3.7, muestra los esfuerzos queactúan sobre una partícula cualquieratomada de la cuchilla analizada.

39

cx

�xy1

X'

Y'

Z'�yx1

x1

�zx1�xz1 x2

�zy1

y=0

x=± x1± x2- cx

z

z=± z1

�zx2�xz2

� zx=±�zx1±�zx2� zx=�xz

�xy2

�yx2

� zx=�yz1

� xy=±�xy1±�xy2� xy=�yx

40

Figura No. 2.3.8, cómo actúa la fuerza cortante, debido a laflexión que provoca la fuerza F F y F .Rz, Rx Ry

(a)

(c)

(d)

FRz

FRyFRx

E.N.

b2 y2

A2'

Vxz

z1'

z1

Vzx

Y'

Z'

X'

y2

x1'

Vxy

E.N.

Vyxl

yy

A'

x2'

x2

Vxz

E.N.

b2

y0y0

A0'Vzx

x1

1

1

1

)1 4... . . . . . .(. . . . . . . . . .~' yAIb

V�

Donde es el esfuerzo cortante,” ” es la fuerza cortante que es igual a la carga “ ”, ” ” es el momento de inercia del áreatransversal en cuestión, es el área parcial, medida desde la línea donde se desea saber el esfuerzo cortante , hasta lafrontera del la sección transversal, como se muestra en la figura No. 2.3.9 y “ ” es la distancia del eje neutro al centroide delárea parcial .

� V R I

A’ yy

A’

1

E.N.

b y1

A'

� v

y

R

� h

Figura No. 2.3.9, cómo actúa el esfuerzo cortantesobre la cuchilla

Ya que el esfuerzo cortante vertical v es de la misma magnitud que el horizontal h, la ecuación sirve para determinarcualquiera de los dos esfuerzos. Se debe observar ahora

� �que la cuchilla no es simétrica en todos sus ejes principales y la

carga no se aplica sobre los ejes de simetría, así que debemos calcular primero el para poder calcular lafuerza de torsión que actúa sobre la cuchilla y sumar algebraicamente este esfuerzo cortante resultante de dicha torsión, alesfuerzo cortante vertical u horizontal para tener el esfuerzo cortante total que actúa sobre cualquier partícula de la cuchilla.

centro de cortante,

Para calcular el esfuerzo cortante, que actúa sobre los distintos planos de la partícula, nos auxiliaremos de la ecuaciónNo. 14, de esfuerzo cortate horizontal, mostrada a continuación:

41

2.3.4 DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE CORTANTE.

El centro de cortante o centro de torsión “ ”, mostrado en la figura No. 2.3.10, es un punto en el cual debe aplicarse lafuerza para que solo exista flexión en el elemento sometido a dicho esfuerzo, si la carga es aplicada en cualquier otro punto deelemento, este también presenta un esfuerzo de torsión, como es el caso de esta cuchilla. Para localizar dicho centro, se debedividir la sección a analizar en dos partes, en este caso estamos analizando la sección que se encuentra paralela al plano X’-Y’. Ya que esta sección no tiene ningún eje de simetría que coincida con los planos principales, por tanto se puede decir que elcentro de cortante tampoco coincide con el centroide de la cuchilla, analizando el caso de la figura No. 2.3.10, las dimensionesh y h , representan las distancias que existen de los centroides de las secciones divididas por los ejes principales quecoinciden con el centroide “ ”, de la sección en cuestión. e , son los momentos de inercia de cada sección y se puededecir, que tanto los momentos de inercia, como los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes, cambian o varíanproporcinalmente al momento de que ocurre la flexión en la cuchilla, por tanto podemos escribir la siguiente relación:

s

c1 2

� �� �

1

2

1

2

1

2

2

1

V

V

M

M

I

I

h

h

Figura No. 2.3.10, cuchilla nosimétrica donde se indica el centro decortante “s”

cs

����

h2 h1

b

K

b1

b2

p

q

r

r/2

u

d

w

v

Apoyo

Apoyo

x2

A2

A3

d1d2

A1

42

)1 4........(1

221 Ec

I

Ihh

Si

)16.(..........2

2

)15....(..........2

12

122

1

22

221

EcII

rIxI

w

I

Iwxw

r

Ecwxhwr

h

cA1

A2

A3

A0

r

x2

b

b1

b2

p

q

u

d

v

d1d2

r/2

Figura No. 2.3.11 (derecha), división de lacuchilla en áreas para localizar loscentroides, necesarios para la localizacióndel centro de cortante “S” .

Por tanto

Como se puede observar en la figura No. 2.3.10 la dimensión , es la distancia que existe del centro de gravedad de lacuchilla al centro de cortante de esta. La dimensión r/2, es la distancia que existe del centro de gravedad de la cuchilla alcentro de gravedad de el área de la cuchilla seccionada “A0” como se muestra en la figura No. 2.3.11 y la dimensión x2, es ladistancia que existe del centro de gravedad de la cuchilla al centro de gravedad del área de la cuchilla seccionada “A1”, quese muestra en la misma figura No.2.3.11. Con la ecuación 16, se puede calcular la posición del centro de cortante sobre eleje , para las cuchillas con filo de un solo lado, como se muestra en la figura No. 2.3.10, pero para poder calcular eldesplazamiento del centro de cortante sobre el eje , ahora se debe dividir la cuchilla utilizando como línea de partición lalinea que pasa por el centro de gravedad paralela al eje X’, como se muestra en la figura No. 2.3.12,

w

X’Y’

43

Figura No. 2.3.12, Análisis de la sección de la cuchillasobre el plano X’-Y’, para el cálculo del centro decortante sobre el eje Y’

Como se puede observar en la figura No. 2.3.12 la dimensión , es la distancia que existe del centro de gravedad de lacuchilla al centro de cortante de esta. La dimensión b3, es la distancia que existe del centro de gravedad de la cuchilla alcentro de gravedad de el área seccionada de la cuchilla “A4” como se muestra en la figura No. 2.3.12 y la dimensión b4, es ladistancia que existe del centro de gravedad de la cuchilla, al centro de gravedad del área seccionada de la cuchilla “A6”, quese muestra en la misma figura No.2.3.12. Ahora, de la ecuación 14, se pueden sustituir los valores de h1 y h2, por los valoresde h3 y h4 respectivamente y siguiendo el mismo procedimiento obtenemos la ec.17, que es la razón que determina ladistancia del centro de gravedad al centro de cortante de la cuchilla.

w’

� �

� �

bsb1

b2

b

K

b1

b2

pq

ru

d

v

h3

h4

b4b3

A4A5

A6

Cc1

c2

A7

A8

A9

w'

)17.(..........1''

'

1''

12

13

1

4 EcII

Ib

I

bw

44

Para obtener los centros de cortante y así poder agregar los esfuerzos de cortante, por la torsión que ocasiona laflexión asimétrica en la partícula analizada, como se muestra en la figura No. 2.3.7 se deben encontrar los momentos deinercia generales con respecto al centro de gravedad de cada cuchilla y los momentos de inercia parciales para cada secciónde área en la cuchilla con respecto al centro de gravedad general de cada cuchilla, como se muestra en las figuras No. 2.3.10y 2.3.12.

Los centroides o centros de gravedad de las diferentes secciones de la cuchilla, se pueden calcular on la fórmula paracentroides de áreas compuestas, la cual se describe a continuación, además, se puede revisar las propiedades de áreasplanas en el apéndice “A” de esta tesis, donde a demás de encontrar las formulas para calcular los centroides se describen lasformulas para calcular los momentos de inercia tanto generales como los parciales y así completar los datos faltantes para

)19.........(.....

.....~

)18........(.....

....~

21

2211

221

2211

EcAAA

AyAyAyy

EcAAA

AxAxAxx

n

nn

nn

Donde , es la distancia del eje al centro de gravedad del área y es la distancia del eje al centro degravedad del área , y así hasta que es la distancia del eje al centro de gravedad del área para cada área enparticular, en la cual se encuentra dividida la cuchilla para facilitar esta tarea, como se muestra en la figura No. 2.3.11 e esla distancia del Eje al centro de gravedad del área y así hasta que es la distancia del eje al centro de gravedad delárea .

Aplicando lo anterior, se puede calcular el centroide de cualquier sección transversal de cuchilla tanto general oparcial. Primeramente se debe calcular el centroide general de la sección de la cuchilla. Como ejemplo, se puede usar lacuchilla de la figura No. 2.3.11, donde se observa que esta dividida en 4 áreas diferentes; A0, A1, A2 y A3. Lo anterior, esdebido a que se requiere dividir la cuchilla en formas básicas, para facilitar el cálculo del centroide general, y después dividiren dos partes a partir del centro de gravedad general de la cuchilla, previamente calculado y así, poder determinar el centrode gravedad de cada mitad de la cuchilla (es decir los centros de gravedad parciales).

Para calcular los momentos de inercia parciales y totales como se muestra en las figuras No. 2.3.10 y 2.3.12, se debeaplicar el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia, el cual nos permite calcular el momento de inercia decualquier sección compuesta como es el caso de las secciones transvesales de cada cuchilla y el cual se enuncia acontinuación:

x X’ A x X’A x X’ An

yY’ A y Y’

A

1 1 2

2 n

1

1 n

n

)21.().........(......)(

)20..().........(......)(

22

211

22

111

EcdAIdAII

EcdAIdAII

nnycnycy

nnxcnxcx

Donde el momento de inercia general , es la sumatoria de los momentos de inercia de áreas básicas parciales ...mas las áreas de esa secciones básicas parciales ... multiplicadas por la distancia del eje de referencia al centroide decada área parcial, .... , elevadas a la segunda potencia, de la misma forma se calcula el momento de inercia general ,como se muestra en la figura No. 2.3.13.

A A

d d

I I I

I

x xc1 xcn

y

1 n

1 n

45

0 x

y

xc

yc

y

x

d1

d2

C

d

A

dA

Figura No. 2.3.13, Deducción del teorema de los ejes paralelos.

y

x

cs

w

w'

F1 F1

T=F1n

n

y

x

cs

w

w'

F1 n

(a) (b)

Cuando la cuchilla no es simétrica en ninguno de sus dos ejes principales, (X-Y), el centro de cortante “S”, no coincide con elcentroide general de la sección transversal de la cuchilla “C”, y como ya se mencionó anteriormente, el centro de cortante “S”,es el punto donde aplicada una fuerza solo causa flexión en el sentido que se dirige dicha fuerza, ya que el caso de la fuerzade corte ejercida sobre la cuchilla es sobre la punta de la cuchilla y difícilmente coincidirá con el centro de cortante en unacuchilla no simétrica. Esto quiere decir que la cuchilla está sometida también a torsión, por tanto el sistema equivalente defuerzas para determinar dicha torsión es el mostrado en la figura No.2.3.14(b), donde la fuerza F1, de la figura No. 2.3.14(a),es la fuerza de flexión sobre el eje Y, y esta es remplazada por el sistema equivalente mostrado en la figura No. 2.3.14(b).Donde se puede observar que la fuerza F1 ahora es aplicada en el centro de cortante “S”, mas un torque, que tiene comovalor la fuerza F1 multiplicada por la distancia “n”, que es la distancia que existe del centro de cortante “S” a la posiciónoriginal de la fuerza F1.

De esta forma queda establecido el criterio para determinar la fuerza de torsión que actúa sobre la cuchilla, debido a lasfuerzas de flexión asimétricas que se ejercen sobre la cuchilla a la hora del corte del material a moler.

Figura No. 2.3.14

46

2.3.5 DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE POR TORSIÓN.

Para calcular el esfuerzo cortante debido a la torsión, se deben hacer ciertas consideraciones:

1.- El esfuerzo nunca rebasa el limite de proporcinalidad, para que el material tenga un comportamiento Gaussiano. Decualquier forma por considerar al acero templado como un material frágil, si el material rebasara este límite de proporcionalidadde la pieza, esta fallaría inmediatamente.2.- El plano formado por los puntos , se considera indeformable ya que en esta altura se colocan los tornillos que sujetanfuertemente a la cuchilla.3.- Ya que se considera que el material no rebasa el límite de proporcionalidad después de cada torsión el material regresa asu estado original.

Como se puede observar en la figura, 2.3.15 las componentes de la fuerza resultante , y , están provocandoflexión, pero al no estar aplicada sobre el centro de gravedad , es decir sobre el plano del eje neutro, la cuchilla también sufretorsión la cual tendrá los valores que se muestran en la misma figura. Donde es la distancia en el eje del punto donde seaplica la fuerza, al plano donde se encuentra el centro de cortante. es la distancia en , del punto donde se aplica lafuerza, al plano donde se encuentra el centro de cortante . Como se puede observar para la geometría de cuchilla mostradaen la figura No. 2.3.15, los componentes del momento torsionante que actúan sobre el eje Z, son de signo contrario es decirestos deben restarse, para obtener el momento torsionante total sobre el eje . Debe mencionarse que las componentes defuerza , y , también causan un esfuerzo cortante sobre la cuchilla además del par torsionante , pero como seexplico anteriormente se debe hacer una equivalencia mecánica para considerar que cada una de estas componentes defuerza actúan sobre el centro de cortante ya determinado anteriormente mas el momento torsionante , que tendrá los valoresmostrados en la figura No. 2.3.15.

mnk

FRx FRy FRzC

Q Y Bb X B

S

ZFRx FRy FRz T

T

A

B

C

m

n

k

j

L

S(centro de cortante)

b

a

FRy

T=FRy (b)

FRx

T=FRx (Q)

E.N.

X

S(centro de cortante)E.N.

c (centroide)

Q

a

y

b

Figura No. 2.3.15, esfuerzo torsionante en lacuchilla debido a las componentes de la carga

yFRx FRy.

47

A

B C

m

n

k

j

L

b

a

FRy

T=FRy (L)

T=FRz (Q)

S(centro de cortante)

c (centroide)

Z

yE.N.

L

aQ

FRz

Figura No. 2.3.16, Momento torsionante debido alas cargas yFRy FRz

Las fuerzas y , causan un momento torsionate sobre el eje , como se muestra en la figura No. 2.3.16. La fuerza, causa un momento negativo en la posición de la carga mostrada en la cuchilla, ya que actúa en sentido contrario a las

manecillas del reloj, cuando la fuerza se encuentre aplicada en el centro de la cuchilla, solo existirá flexión en la cuchilla,debido a que la carga pasará justo por el centro de cortante de la cuchilla, después de este punto la fuerza causará torsión enel sentido contrario al mostrado en la figura No. 2.3.16. La carga , causa torsión de signo positivo, debido a laconfiguración de la cuchilla mostrada en la figura No. 2.3.16. El efecto torsionante de esta carga puede eliminarse si en lageometría de la cuchilla, se diseña con el centro de cortante, justo donde pasa el filo, esto volvería al valor de la distancia Q=0y por tanto el valor de este momento torsionante sería igual a cero. Para poder obtener el valor total del momento torsionantesobre el eje solo debemos sumar algebraicamente los dos valores del momento torsionante y así obtenerlo.

FRy FRz xFRy

FRz

X,

48

Figura No. 2.3.17, cargas y momentos flexionantes en los ejes de la cuchilla.X’-Y’

Analizando la imagen No. 2.3.18, se observa que la carga “ ” actúa a compresión sobre el área achurada y a flexión sobreel resto de la cuchilla en el plano y la carga “ ” es la carga que causa flexión sobre el plano como se muestra enla figura No. 2.3.17. La distancia ” ” es la distancia que existe del asiento de la cuchilla, al plano del centro de gravedad deesta, también llamado “ ” es el espesor de la cuchilla, “ ” es la longitud y ” ” es el diámetro del agujero parasujetar la cuchilla por medio de pernos roscados. Como el tonillo sujeta fuertemente a la cuchilla contra el asiento y respaldo,suponemos que este ensamble es inmóvil, es decir que su desplazamiento será “cero”, lo que convierte a la cuchilla en unaviga en voladizo empotrada, sometida a esfuerzos combinados de compresión y flexión para el plano . Falta agregar elesfuerzo a flexión que es provocado por la fuerza ” ”, en el plano , como se muestra en la figura No. 2.3.18 .

F xZ’-X’ F y X’-Y’Cy

fibra neutra. S L Ø1

X’-Y’FRz Z’-X’

R

R

49

2.3.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES.

Figura No.2.3.18, Cargas y momentosflexionantes en el plano Z’-X’.

Ø1 Ø2

L

CORTE R-R'Y'

X'

x

c1

x/3

ba

FRy

MZ

FRx

SR'

R

Cy

E.N.

X'

Z'

FRz

ac

FRx

E.N.

L

l l

E.N.

Ø1 Ø1

Cz

50

La figura No. 2.3.18, muestra las fuerzas y , actuando en la cuchilla pero sobre el plano , y elesquema de los efectos de estas fuerzas sobre la cuchilla, donde se puede observar que “ ”, es la longitud total dela cuchilla, es la distancia del centro geométrico de la cuchilla hacia cada uno de los agujeros de sujeción, “ ”es la distancia del punto analizado al eje neutro de la cuchilla, ( en este caso el eje neutro con respecto al plano) y , es el diámetro del agujero donde ajusta el perno roscado. La fuerza , causa flexión sobre el plano, y la fuerza , causa flexión y/o compresión, dependiendo de la posición del punto a analizar, también sobre

este mismo plano, pero el esfuerzo esta en dirección de el eje , esto se comentará mas adelante, ahora solocomentaremos de los esfuerzos sobre el eje . La fuerza se traducen en un esfuerzo normal debido a laflexión, actuando también sobre el eje , como ya se había comentado anteriormente, y se muestra gráficamenteen la figura No. 2.3.7. De acuerdo a la combinación de esfuerzos de flexión y compresión en los diferentes planos,tenemos que el valor de esfuerzo total sobre el eje es:

Donde “ x” es el esfuerzo total sobre el eje , en algún punto cualquiera de la cuchilla. ” cx” es el esfuerzoprovocado por la carga a compresión de la fuerza únicamente sobre el área achurada como se muestra en la

figura No. 2.3.18, es el esfuerzo de flexión causado por la fuerza y es el esfuerzo de flexióncausado por la fuerza . El signo positivo o negativo en los esfuerzos normales causados por la flexión,depende de cómo esté actuando la carga sobre la punto analizado de la cuchilla, es decir, la parte superior de lacuchilla pasando la fibra neutra, estará actuando a compresión y la parte inferior de la cuchilla estará actuando atensión, para el caso mostrado en la figura No. 2.3.17 y para el caso de la figura No. 2.3.18 las partículas que seencuentren por arriba e la fibra neutra estarán actuando a tensión y las partículas que se encuentren por debajo dela fibra neutra estarán actuando a compresión; según sea el caso para el plano en cuestión, es decir ómostrados en las figuras 2.3.17 y 2.3.18. Por tanto podemos escribir lo siguiente:

FRx FRz Z’-X’L

“I” CyZ’-

X’ Ø1 FRz Z’-X’ FRx

Z’X’ FRz

X’

X’

X’

Frx

“ x1” FRy ” x2”

FRz

X’-Y’ Z’-X’

)23.(..........y

zy

z

yzRxx

I

cM

I

cM

A

F

)22......(21 xxcxx

Donde “ ” es la fuerza que actúa a compresión, por eso el signo , “ ” es el área transversal a la altura delpunto donde queremos establecer el análisis, es decir si deseamos analizar un punto “ ”, mostrado en la figura No.2.3.17, que se encuentra sobre el corte , es justamente el área que se muestra en este corte, “ ” es elmomento flector causado por , “ ” es la distancia de la fibra neutra al punto donde se requiera el análisis,como se muestra en la figura No. 2.3.17, es el momento de inercia del área transversal del punto encuestión, es decir el área que se encuentra sobre el plano , ” “, es el momento flector causado por ,“ ” es la distancia del punto de análisis al eje neutro sobre el plano como se muestra en la figura No.2.3.18, es el momento de inercia del área transversal sobre el plano .

Para calcular los momentos flexionantes, recurrimos a la siguiente ecuación:

FRx (-) Ab

R-R’ MzFRy Cy

“ ”Y’-Z’ My FRz

Cz Z’-X’,“ y” Y’-Z’

Iz

I

)1()11(

)24........()

lFRyxsFRxM

MM

z

dercg

51

Figura No. 2.3.19 Corte de una cuchilla de molinoPara termoplásticos, donde se muestra el diagrama decortante y momento flexionante, para la secciónmostrada. La línea , se considera el empotramientopor tener los tornillos de sujeción en este punto.

c-b

Y

X

b

a

FRy

FRx

cd

ef

g

Rv

RcRM

Fibra neutra

l1

sX1

l2

l3 s1

X

X

Mmax=Mz

FCmax

Donde la diferencia entre, es la distancia del brazo de palanca

que provoca , con respecto alpunto de empotramiento al eje neutro ofibra neutra, y , es la distancia delbrazo de palanca de la fuerza , alpunto de empotramiento, como semuestra en la figura No. 2.3.19.

Ahora se determinara el momentoflector , el cual es provocado por laflexión debido a la carga , para locual se analizaran las fuerzas queactúan sobre los ejes , mostradosen la figura 2.3.20. Se debe hacer notarque, la carga “ ” es la mismaconsiderada anteriormente la cualprovoca el esfuerzo de compresión enla cuchilla sobre el área achurada en elplano , pero en el plano mostrado

en la figura No.2.3.20. Provocaflexión, sobre el eje además seagregará la carga “ ”, quees la que provoca el estado de flexiónen el eje .

De la misma forma los puntosdonde se desee analizar el esfuerzo losdividiremos en dos partes, acompresión por arriba de la fibra neutray a tensión por debajo de la fibraneutra, tomando en cuenta que la líneade centros sobre el eje es la fibraneutra para la fuerza que actúa sobreel eje , y el eje neutro que estáparalelo al eje es el perteneciente ala carga que actúan sobre el eje . Sedebe mencionar que la fuerza cambiade posición debido al efecto de corte detijera, pero el caso más crítico debeencontrarse como lo ilustra la figuraNo.2.3.20 donde se puede observar lacuchilla vista de planta con el desglosede las cargas, en el plano

Después de haber establecido elmétodo para calcular ambos momentosflectores como y , se tienen

todos los datos para determinar x, enla Ecuación No. 23.

s1-x1

FRx

1FRy

MzFRx

X’-Z’

FRx

X’-Y’X’-Z’

Z’

FRz=F (sen )

Z’

X’

Z’Z’

X’

Z’-X’.

My Mz

l

T �

52

Figura No. 2.3.20 diagrama de mometos flexionantes y de cortantes, sobreel plano , así como las cargas que actúan sobre este plano.Z’-X’

FR

FRz=FT(sen �)

MY

g,h,ia

Fibra neutra

e,f

dc

b

j

k

mn

15.57mm

23.48mm

35mm

250mm

125mm

Ø19.05mm

Ø19.05mm

125mm

100mm

R1

R2

0.025FR

-0.1FR

0.1FR

-0.025FR

3.125e-4FR

-4.687e-3FR

3.64mm

1.82mm

35mm

100mm

15.475mm

1.1973e-4FR

0.0154FR

-0.0904FR

9.0678e-4FR

9.525mm

-0.0904FR

3.125e-4FR

1.1973e-4FR

9.0678e-4FR

X'

Z'

g',h',i'a'e',f'

d'c'

b'

g",h",i"

a"e",f"

d"

c"b"

v2=FT(sen�)

De la figura No. 2.3.7, podemos escribir la ec. No. 25, donde , es causado por la flexión que ocasiona la fuerza , sobreel plano como se muestra en la figura No. 2.3.20.

z FRxZ’-X’

1

)26.....(

)25.......(1

x

xy

z

zz

I

cM

53

Figura No. 2.3.21 diagrama de esfuerzo flexionantey fuerza cortante de la cuchilla sobre los ejes Y’-Z’

FRy

FRzFibra neutra

250mm

25mm 200 mm 25mm

R2R1

0.025FRy

-0.1FRy

0.1FRy

-0.025FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

-4.687e-3FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

c,d

b,e,f

g

a

c',d'g'a'

b',e',f'

c",d"g"a"

b",e",f"

mn jk

Y'

Z'

Mx

54

Por último para poder terminar con todos los esfuerzos normales podemos decir que los esfuerzos sobre el eje Y’, sonigual con cero ya que no hay ninguna fuerza que someta a tensión los planos perpendiculares a este eje.

)27.........(..........0y

Para la determinación especifica de cada uno de los esfuerzos cortantes que actúan sobre la cuchilla se tomará comobase la figura No. 2.3.7, donde se muestran todos los esfuerzos cortantes que provocan las diferentes flexiones sobre losdistintos planos así como los esfuerzos torsionantes provocados por las flexiones asimétricas.

La fuerza , causa flexión sobre el plano y por tanto causa una fuerza cortante junto con una fuerza recíproca

para el equilibrio estático , estas fuerzas provocan un esfuerzo cortante junto con se recíproco los cuales puedenvisualizarse sobre la partícula en la figura No. 2.3.7. Ademas la fuerza , por no actuar sobre el centro de cortante, causauna flexión asimétrica, es decir provoca una torsión cuyo valor se muestra en la figura No. 2.3.22, lo mismo pasa con la -

FRy X’-Y’

FRy

Vxy

Vyx � �xy1 yx1,

Figura No. 2.3.22, representación gráfica de las fuerzascortantes que atúan sobre el plano .X’-Y’

x1'

Vxy

E.N.

VyxL

yy1

A'

E.N.

x1

T=FRy (B)

T=FRx (Q)

Tyx2=FRx (Q) ± FRy(B)

Y'

Z'

X'

FRz

FRyFRx

Y'

Z'

X'

b

FRz

FRy

Q

Centroide

Centro decortante

B

fuerza , que causa flexión asimétrica sobre el plano , claro que cuando el corte se posiciona al centro de la cuchilla lacarga , actúa sobre el centro de cortante y la flexión se vuelve simétrica, por tanto el valor de la torsión para este instantede corte vale cero. También el punto máximo de torsión se presenta al inicio del corte y al final de este cuando la carga actúaen el punto mas alejado del centro de cortante de la cuchilla. La suma de algebraica de ambos torques, son los que ocasionan

el esfuerzo cortante y su recíproco .

FRx Z’-X’FRx

� �yx2 xy2

)29.().........8.13(~'

)28.......(..........

2

21

L

a

aL

TyA

Ib

FRy xy

xy

xyxyyxxy

�

����

Donde el primer término de la ecuación 28, corresponde al cortante por flexión provocado por , y se puedesustituir por la ecuación 14, descrita anteriormente, como se muestra en la ecuación 29, donde , es el momento de inerciadel área transversal en cuestión, como se muestra en la figura No. 2.3.22, , es la longitud de la cuchilla es el espesor de lacuchilla, es el área sombreada o achurada en la figura No. 2.3.22 e , es la distancia del eje neutro de la cuchilla alcentroide del área . La distancia , es la distancia del centroide al punto donde se desea calcular el esfuerzo cortantelongitudinal. El segundo miembro de la ecuación 28, es el esfuerzo cortante debido a la torsión que provoca la flexión

asimétrica, . Este es un tema complejo el cual no se abordará muy a fondo ya que no es el objetivo de esta tesis, pero laecuación fué tomada del libro de resistencia de materiales de Andrew Pytel & Ferdinand L. Singer, cuarta edición de la página64, del capitulo de torsión donde trae la siguiente nota. Esta ecuación es un formula suficientemente aproximada paradeterminar el esfuerzo cortante máximo en una barra de sección rectangular donde es el lado mayor y , es el lado menor.La cual aplicaremos a la cuchilla que aunque no es en todos sus planos una sección completamente rectangular, podemosaplicarla ya que se asemeja mucho el perfil al de un rectángulo y , es la suma algebraica de los torques los cuales semuestran gráficamente en el la imagen No. 2.3.22 y se explican mas a detalle en la página No. 40.

Analizando ahora los efectos de la carga , esta causa una flexión sobre el plano , por tanto causa una fuerzacortante debido a la flexión mostrada en la imagen 2.3.23(b) como y su recíproco . Estas cargas generan un esfuerzo

cortante por flexión mostrado en la partícula de la imagen No. 2.3.7 como y La carga , causa otra fuerza cortante porflexión sobre el plano , mostrada en la figura No. 2.3.23(a) como y su reciproco , estas fuerzas cortantes generan

el esfuerzo cortante por flexión , también mostrado en la figura No. 2.3.7. De esta forma se forma la ec. 30, donde secalcula el valor del esfuerzo cortante sobre el plano .

FRy

bA’ y

A’ y1

L a

Txy

FRx Z’-X’

FRzZ’-X’

Z’-X’

I

L

�

�

�

xy2

zx1

zx2

Vzx Vxz

Vxz Vzx

)31.(..........~'~'

)30(..........

11

11

22

22

21

yAbI

FRzyA

bI

FRxzx

zxzxxzzx

�

����

Donde , es la componente de fuerza al corte sobre el eje , , es el momento de inercia en la seccióntransversal mostrada en la figura No. 2.3.23(b), con respecto al eje , es el espesor de la cuchilla como se muestra en lafigura No. 2.3.23(a), es el área transversal la cual se encuentra achurada en la misma figura y , es la distancia de la ejeneutro al centroide del área achurada e , es la distancia del eje neutro al punto donde se desea saber el esfuerzocortante. Analizando el segundo miembro del la ecuación 31, , es la componente en de la fuerza de corte, , es elmomento de inercia de la sección transversal mostrada en la figura No. 2.3.23(a), es el espesor de la cuchilla, es elárea achurada mostrada en la misma figura, es la distancia del eje neutro al centroide del área e es la distancia deleje neutro a la posición donde se desea calcular el esfuerzo cortante.

FRx X’

Y’ bA’ y

A’ y

FRz Z’

b A’y A’ y

I

I

2

1

2

2 2

2 2

1 1

1 1 1

55

Figura No. 2.3.23 esfuerzos cortantes por flexión sobre el plano .Z’-X’

Por último analizaremos los esfuerzos cortantes por flexión y por torsión sobre le plano , los cuales se muestran

el la figura No. 2.3.7, como y su recíproco , el cual es ocasionado por la flexión asimétrica que causan lascomponentes de la fuerza de corte y . Como se muestra en la figura No. 2.3.16.

Ahora en la figura No. 2.3.24, se muestra detalladamente como actúan las componentes de la fuerza de corte, y, sobre la cuchilla. Para calcular el esfuerzo cortante por torsión, debido a la flexión asimétrica que causa la fuerza y, nos auxiliaremos de la ecuación para el esfuerzo de torsión en secciones rectangulares, la cual ya se explicó en la hoja

anterior. Donde , es el torque causado por , con brazo de palanca . es el torque causado por con brazo depalanca , ambos torques deben sumarse algebraicamente para encontrar el torque total . es el momento de inercia dela sección transversal, es el espesor de la cuchilla, es el área de la sección transversal que está achurada en la figuraNo. 2.3.24.

Y’-Z’

FRy FRz

FRyFRz FRzFRy

T1 FRy j T2 FRzQ T

b A ’

� �yz1 zy1

yz

3 3

I

)3 4........() .........8.13(

)3 3...(........................................

)3 2.........(

1

2

1

1

21

L

b

Lb

T

QFRjFRTTT

yz

yz

yzyz

zyyz

�

��

FRzFRy

FRx

E.N.

b2 y2

A2'

Vxz

z2'

z2

VzxY'

Z'

X'

y2

x1'

x1

Vxz

E.N.

b1

y1y1

A1'Vzx

56

(b)

(a)

Figura No. 2.3.24. Esfuerzos cortantes por flexión y por torsión sobre el plano Y’-Z’

FRz

FRy

FRx

Y'

Z'

X'

T1=FRy (j)

T2=FRz (Q)L

Q

j

CentroideCentro de cortante

E.N.

Y yT

FRy FRz b L

3 3

yz

1

, es la distancia del eje neutro al centroide del área achurada, es la distancia del eje neutro a la posición donde se quieresaber el esfuerzo cortante. , es la suma algebraica de los torques provocados por las componentes de la fuerza e corte

y , , es el espesor de la cuchilla y es la longitud de la cuchilla como se muestra en la figura No. 2.3.24.

57

21 TTyz�

2.4.0

Las tensiones y deformaciones que surgen durante la presión mutua de dos cuerpos contiguos se denomina decontacto. El material en el lugar de contacto, sin poder deformarse libremente , se halla en estado tensional volumétrico (fig.No. 2.4.1). Las tensiones de contacto tienen un carácter puramente local y diminuyen rápidamente a medida que se alejan dellugar de contacto. Por primera vez la solución correcta de los problemas principales sobre las tensiones y deformaciones decontacto fue realizada por medio de los métodos de la teoría de la elasticidad en 1881-1882 por H. Hertz.

Al tener dos superficies en contacto y deslizamiento relativo entre ellas se inducen esfuerzos extras debido a estacondición, esto actúa como un concentrador de esfuerzos en dicha área, así que esta pequeña sección de las cuchillas alrepetirse varias veces por minuto cortes de material, se encuentra sometida a fatiga por fretting, que es la formación de microgrietas debido a los esfuerzos de contacto. (Este tema se abordará mas adelante en fatiga.)

ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS DE CONTACTO.

N Fm

global� � de contacto

Al momento de afilar una cuchilla se le quitan totalmente los radios en la punta dela cuchilla, pero a medida que empieza a trabajar esta , es decir a realizar cortes,esta se empieza a redondear de la punta, además se forman micro grietasdeformaciones en la estructura del material, produciendo un endurecimiento mayoren dicha zona, lo que provoca el despostillamiento posterior en la cuchilla, Es muycomún encontrar cuchillas despostilladas incluso después de pocos minutos detrabajo se pueden observar pequeños despostillamientos en la punta y conformetrabaja la cuchilla se pueden observar despostillamientos de dimensionesmayores.

Regresando al esfuerzo de contacto, se puede decir que existen varios tipos decontacto como es el contacto plano, el contacto plano con esquinas redondeadas,el contacto cilíndrico y el contacto esférico. El tipo de contacto que se presenta enel corte de la cuchilla es del tipo cilíndrico, como se muestra en la figura No. 2.4.2.

Fig. 2.4.1 esfuerzo de contacto en el filo de la cuchilla

58

En la figura 2.4.2, se muestra una probeta clásica para esfuerzo de contacto pro fretting, donde “R” es el radio de giro,“a” es la semi zona de contacto, “c” es la semi zona de adhesión y “e” es la excentricidad.

Las cargas que intervienen en el ensayo son las siguientes: una carga normal de valor constante “N”, y unas cargas variables“Q” y “P”, normalmente aplicadas en fase. La presión normal “ “ debida a una carga “N” por unidad de espesor esta dadapor.

p(x)

Don de ” “ es la máxima tensión normal y “a” es el semi ancho de la zona de contacto.p0

Si a demás de la carga normal “N” se aplica la carga tangencial “Q”, aparecen dos regiones bien diferenciadas en la zona decontacto, como se muestra en la figura No. 2.4.2: una zona central de adhesión en IxI < c, donde ambas superficies se

manifiestan adheridas y dos zonas simétricas de deslizamiento en c IxI < a, donde se produce un deslizamiento entre las

superficies. El tamaño de la zona de adhesión viene dado por.

O

2cR

Q

N

2a P

X

Z

e

)35.(..........1

2

0)(a

xpp x

)3 7. . . . . . . (4

)3 6. . . . (. . . . . . . . . .2

0

E

N Ra

a

Np

)3 8..(..........1N

Q

a

c

59

Donde “ ” es el esfuerzo axial en la pieza debida a la carga “P”.Al igual que en la geometría anterior, en función de la relación entre la carga tangencial “Q” y la carga axial “P”, existen

dos posibles casos: uno en el que los deslizamientos en ambas zonas de contacto se producen en el mismo sentido, y otro enel que los deslizamientos se producen en sentidos opuestos. La condición necesaria para que el deslizamiento se produzca en

el mismo sentido es que toda la zona de adhesión esté en el interior de la zona de contacto, es decir, e + c a.

Sustituyendo en esta expresión las ecuaciones 38 y 41, se obtiene.

O

Como se aprecia en dicha expresión, al aumentar la carga tangencial, “Q”, disminuye el tamaño de la zona deadhesión, “c”. El caso limite es alcanzado cuando Q= N, momento en que el tamaño de la zona de adhesión toma un valornulo (c=0), produciendose el deslizamiento total entre las superficies.

Si además de las cargas “Q” y “N”, existe carga axial “P”, la zona de adhesión se desplaza, produciendose unaexcentricidad “e”, como se muestra en la figura No. 2.4.2, La solución a este problema con la zona de adhesión desplazada laobtuvieron Norwell y Hills. De esta forma, considerando deformación plana, se obtiene la tensión tangencial en la superficie enla dirección de aplicación de la carga. En la zona de deslizamiento tiene la siguiente expresión:

Mientras que en la zona de adhesión, viene dada por la expresión.

La excentricidad “e” de la zona de adhesión, viene dada por la expresión

)4 0....(..........11

2

0

2

0)( cexc

exp

a

c

a

xpq x

)3 9(. . . . . . . . . .,1

2

0)( cexaxa

xpq x

)42.(..........1140 N

Q

p

)4 1.. .(. . . . . . . . . .4 0p

ae

60

2.5.0 TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES.

S

Los materiales frágiles se fracturan en vez de ceder. La fractura frágil a la tensión se considera causada por elesfuerzo a tensión normal máximo. La fractura frágil a compresión se debe a alguna combinación de esfuerzo normal acompresión y esfuerzo cortante, por lo que no aplica completamente la teoría del esfuerzo normal máximo así que se debehacer una combinación de teorías.

Para seleccionar una teoría de falla para el caso de materiales frágiles, se deben observar primero las siguientescaracterísticas de la mayor parte de estos materiales.

1.- La gráfica esfuerzo deformación, es una línea casi continua y uniforme hasta el punto de falla; esta ocurre porruptura y, por tanto, estos materiales no tienen un punto definido de límite de fluencia. (Ver fig. 2.5.3).

2.- La resistencia a la compresión en los materiales no uniformes suele ser mayor que la resistencia a la tracción.3.- La resistencia última de torsión , es decir módulo de ruptura, es aproximadamente igual a la resistencia a la

tensión.

se an aplicado para predecir la falla demateriales frágiles. Los materiales frágiles se dividen en dos grupos Los

son aquellos que tienen el mismo valor de resistencia a la compresión que a la tensión, como es el caso de losaceros forjados y endurecidos completamente, es decir que un acero con valores de dureza menores a 50Rc se puedeconsiderar dúctil y por tanto, no entran dentro de la clasificación de los materiales frágiles. Se puede decir que un material esdúctil cuando al someterlo a algún esfuerzo su elongación es igual o mayor al 5%. La figura No. 2.5.1(a) muestra una probetade un ensayo de tensión de un material dúctil (acero dulce) después de la fractura, y la figura No. 2.5.1 (b) muestra la probetade un material frágil (hierro colado ) después de la fractura.

SU

La teoría del esfuerzo normal máximo y la teoría de Coulomb-Mohrmateriales uniformes y no uniformes. materiales

uniformes

Figura 2.5.1, probetas de ensayo a tensión, antes y después de la fractura (a) acero dulce y (b) hierro colado.

(b) hierro colado

(a) acero dulce

61

Como se puede observar, la fractura de la probeta (a), de acero dulce muestra una distorsión clara conocida comoestricción y de inmediato la fractura, la superficie de esta parece desgajada y esta llena de crestas y valles, clásico en unafractura dúctil. El plano de la fractura en la probeta de acero dulce, se presenta a 45° de la dirección de la aplicación de lafuerza, indicando que la falla de la fractura fue por cortante.

La figura 2.5.1 (b), de la probeta de hierro fundido no muestra ninguna estricción y tiene los contornos superficiales finos,clásico en una fractura frágil. El plano de falla en esta probeta es perpendicular a la fuerza aplicada, lo que indica que la fallaocurrió por tensión. El modo de falla en las probetas con el mismo tipo de ensayo se debe a la diferencia de resistenciasrelativas a la tensión y a cortante de los diferentes materiales.

, son aquellos que no tienen el mismo valor de resistencia a la tensión que a la compresión,como el hierro fundido, tiene un valor de resistencia a la compresión 4 veces mayor que el valor de resistencia a la tensión ylos materiales cerámicos presentan relaciones mayores. Otra característica de los materiales frágiles es que tienen muy altaresistencia al cortante incluso mayores que la resistencia a la tensión.

Los materiales no uniformes

Figura 2.5.2, Diagramas de esfuerzo deformación típicos para materiales dúctiles, a) Acero de bajo contenido de carbono yb) Acero recocido de alto contenido de carbono.

Figura No. 2.5.3, diagrama típicoesfuerzo deformación de un acero dealto contenido de carbón endurecido obonificado.

62

(psi)

� in/in

Limite de proporcionalidad

Límite elástico

Limite de fluencia

Reistencia última

compensación(usualmente 0.001 o 0.002 in/in)

Su

Sy

E

ILinea convencional

2.5.2 TEORÍA DE FALLA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO.

SuEsta teoría se debe a W.J.M. Rankine (hacia 1850). Virtualmente, admite que cuando el esfuerzo máximo principal

excede un cierto valor límite ( resistencia última a la tensión), tiene lugar la rotura; Este esfuerzo está dado por la ecuaciónNo. 43, para un sistema biaxial de esfuerzos.

)43...(..........22

2

2

minmax xy

yxyx

63

Esta teoría establece que. En la figura No.

2.5.4 se muestra la envolvente de falla en dos dimensiones para la teoría del esfuerzo normal máximo. Se trata de uncuadrado, esta área sombreada trata de predecir el momento en que fallará un material frágil homogeneo, fuera del área deseguridad mostrada, es decir que en los ensayos de probetas la gran mayoría de las fallas ocurrieron en los linderos delperímetro del cuadrado. ya que como se comentó anteriormente estos materiales fallan al rebasar la resistencia última a latensión, esto es válido solo para cargas estáticas y materiales homogeneos como es el caso de los aceros forjados oendurecidos. La forma cuadrada de la gráfica es debido a que los materiales frágiles homogeneos tienen el mismo valor deresistencia a la tracción que a la compresión.

ocurrirá la falla cuando el esfuerzo normal en la probeta llegue a cierto límite de laresistencia normal como el límite de fluencia elástica a la tensión o a la resistencia máxima a tensión

0 0.1

-1.0

-0.5

0

-0.5

3

1

Esfuerzo/S ut

Esfuerzo/S

ut

0.5-0.5-1.0

1.0

Figura No. 2.5.4

64

2

1

Teoría del esfuerzo normalmáximo

Teoría de Coulomb-Mohr

Teoría de Coulomb-Mohr

Teoría del esfuerzonormal máximo.

2.5.2 TEORÍA DE FALLA COULOMB-MOHR.

La figura No. 2.5.5, muestra que las lineas que se conectan con el esfuerzo último a la tracción y el esfuerzoúltimo a compresión , en los cuadrantes y , son las zonas de seguridad para la teoría de . Loscuadrantes y , son el área de seguridad que comparten tanto la teoría de Coulomb-Mohr, como la teoría del esfuerzonormal Máximo. Esta teoría se aplica solo para materiales frágiles, cargados estáticamente, como ya se había mencionado.La ecuación que cumple con esta teoría es la que se describe a continuación.

SS

ut

uc II IV Coulomb-MohrI III

Figura No. 2.5.5, Diagrama que muestra la teoría de falla de Coulomb-Mohr.

44....................11 1221

SucSutó

SucSut

Donde la primera expresión de la inecuación (44), es la razón que denota la línea en el cuadrante , la segunda parte de lainecuación (44), denota la razón únicamente matemática, de la línea del cuadrante . El factor de seguridad , que está dadopor la ecuación (45), se usa para remplazar el signo de la inecuación (44), la cual queda:

IVII n

)45....(..........11 1221

nSucSutó

nSucSut

2.6.0 TEORÍA DE FALLA POR FATIGA.

2.6.1 HISTORIA DE LAS FALLAS POR FATIGA.

La mayoría, de las fallas en las cuchillas se deben a cargas dinámicas totalmente fluctuantes ( ver fig. 2.6.1c) conrespecto al tiempo y no a cargas estáticas. En el momento que el molino corta el material termoplástico, el espesor puede sermuy variable ya que depende de las presentaciones del material, como botellas, garrafones, artículos varios, plastas ocoladas, tarimas, etc. Por esta razón varía mucho el espesor de material que tiene que cortar el molino, y por tanto también lafuerza que se transmite a la cuchilla. En ocasiones el impacto puede ser tan brutal que el agrietamiento en las cuchillas esinevitable en los primeros minutos de trabajo, justo en el filo. También las cuchillas se llegan a romper de los agujeros quesujetan a la cuchilla al rotor y esto es debido al concentrador de esfuerzos, defectos de manufactura y quizá la mal diseño dela cuchilla, pero ocurren a niveles muy por debajo del límite elástico de los materiales empleados para construir estas. Portanto hacer solo consideraciones para cargas estáticas en las cuchillas de los molinos sería incompleto ya que el diseño deestas sería poco confiable. Así que se comentará un poco mas completo la teoría de las fallas por fatiga y la manera en queestas teorías pueden ayudar al mejoramiento de la duración de las cuchillas.

Este fenómeno se observó por primera vez en los años 1800, cuando empezaron a fallar los ejes en los carros deferrocarril después de solo poco tiempo de servicio. Estaban fabricados de acero dúctil, pero mostraban falla súbita de tipofrágil. En 1843, Rankine publicó su estudio sobre las causas de la ruptura inesperada de los rodamientos de los ejes deferrocarril, en el cual postuló que el material se había cristalizado y hecho frágil debido a los esfuerzos fluctuantes. Los ejes sehabían diseñado según todos los conocimientos de ingeniería disponibles a la fecha, conocimientos que se basaban en laexperiencia adquirida con estructuras cargadas estáticamente. Las cargas dinámicas eran entonces un fenómeno nuevo,resultado de la introducción de la maquinaria movida por vapor. Estos ejes estaban fijos a las ruedas, y giraban junto con ellas.Por lo que los esfuerzos a flexión en cualquier punto de la superficie del eje variaban cíclicamente de positivo a negativo,según se aprecia en la figura 2.6.1(a). Estas cargas se identifican como totalmente alternantes. Un ingeniero alemán, AgustWohler, hizo ( a lo largo de un periodo de 12 años), la primera investigación científica de lo que se conocía como fallas porfatiga. Probó los ejes hasta la falla, en el laboratorio, bajo cargas totalmente alternantes, publicó sus resultados en 1870, queidentificaban como “culpable”, al número de ciclos de esfuerzo en concordancia con su variación con el tiempo, y encontró laexistencia de un para los aceros, es decir un nivel de esfuerzo que puede ser tolerable paramillones de ciclos de esfuerzo totalmente alternantes. El diagrama S-N o de Wohler, que se muestra en la figura No.2.6.2, seconvirtió en la forma estándar de caracterizar el comportamiento de los materiales bajo cargas completamente alternantes, ysigue en uso, aunque ahora están disponibles otras medidas de resistencia de los materiales bajo cargas dinámicas.

El término fatiga fue aplicado por primera vez a esta situación por Porcelet en 1839. Todavía no se entendía elmecanismo de las fallas, y la apariencia fragil del material que se había ”cansado” y hecho frágil debido a las cargas cíclicas.Woholer, demostró después que las dos mitades rotas, seguían teniendo la misma resistencia y ductilidad en los ensayos atensión como el material original. Sin embargo se conservó el término de fallas por fatiga y se sigue manejando para describircualquier falla debido a cargas que varían con el tiempo.

límite de resistencia a la fatiga

65

(a) Totalmente alternante

(t) tiempo

(t) tiempo

(t) tiempo

(b) Repetido (c) Fluctuante

Fig. No. 2.6.1 Esfuerzos variables con el tiempo.

2.6.2 MECANISMO DE LAS FALLAS POR FATIGA.

. Existen dos tipos de mecanismos para la formación degrietas, el de . es el término utilizado paradescribir la habilidad de un material de deformarse plásticamente y absorber energía antes o durante la ruptura. Los adjetivos

y “ son usados para distinguir fallas en este tipo de materiales caracterizados por el alto o bajo nivel deendurecimiento. Es decir

. Las fallas por maclado, es el tipo de falla mas frágil y el másimportante para la deformación plástica y ocurre en los materiales cristalinos, la posibilidad de encontrar este tipo de fallacrese con la presencia de bajas temperaturas y materiales que soporten altos rangos de esfuerzo. La fractura por maclado enmetales ocurre por separación directa de largos planos cristalográficos debido a un simple rompimiento de enlaces atómicos.Esta es su principal característica, y está directamente asociada con un particular plano cristalográfico o plano de maclado. Elhierro por ejemplo se agrieta a lo largo de planos cúbicos de esta unidad celular. Esto causa una planicidad relativa de unagrieta de maclado dentro de un grano, como se muestra en la figura No.2.6.3

Las fallas por fatiga siempre empiezan en una grietafractura frágil o fractura por maclado y el de fractura dúctil El endurecimiento

“frágil” dúctil”la fractura frágil puede ser definida como la que ocurre a un material que tiene muy poca

capacidad de absorber energía de transición o deformación

100 101 102 103 104 105 106 107 10830

40

50

60

70

80

90100

120140

Número de ciclos de esfuerzo N

Resistenciaalafatiga

Sfkpsi

Figura NO. 2.6.2. Diagrama de esfuerzo S-N, trazado para esfuerzo axial de carga totalmente alternante, para un aceroUNS G41300, normalizado. S =116 KpsiUT

Linea de falla Sf

Límite de resistencia a lafatiga .Se’

66

Figura No. 2.6.3 extendimientode la división a través de losgranos.

Puesto que los granos alrededor pueden tener ligera orientación diferente. La grieta por maclado cambia de direcciónen una frontera de grano para continuar su propagación del plano preferido de división. Las facetas planas de la dislocación através de los granos tienen una alta reflectividad, dando a las fracturas por dislocación una apariencia pulida brillante comose puede observar en la figura No. 2.6.4

Figura No. 2.6.4 Izquierda fractura por maclado y derecha fractura dúctil, ambas iniciaron por grietas de fatiga.(área A) denota la diferencia en la deformación plástica. Acero de bajo contenido de carbono.

Cuando se observa con un microscopio o un microscopio de electrones, las facetas de la división aparecenconteniendo pequeñas irregularidades. Dentro de un grano una grieta puede crecer simultáneamente en dos planoscristalográficos paralelos. Fig. 2.6.5a. Las dos grietas paralelas se juntan a lo largo de una linea donde se traslapan, ambaspor una división secundaria o por cortante, para formar un paso. Los pueden ser iniciados dentro de uncristal por pasajes de como se muestra en la figura 2.6.5b. Usualmente, los pasos de macladopueden ser paralelos a la dirección de propagación y perpendicular a el plano de la grieta, ya que esto minimiza la energíapara esta formación por exposición de caras de superficie libre. Un número de pasos de maclado pueden juntarse y formarmúltiples pasos; los pasos de maclado de signos opuestos pueden juntarse y desaparecer. Uniendo los pasos de macladoresultan en una , así llamado porque es parecido a un río y su afluente. La configuración de ríonormalmente forma un pasaje de una frontera de grano como se ilustra en la figura No. 2.6.5c. Una grieta de división persisteen el siguiente plano cristalográfico: cuando la grieta pasa la frontera de grano esta puede tener una propagación dentro deeste con una diferente orientación. Cuando la frontera es una ( figura No. 2.6.5c), la grieta debe reiniciarse enuna nueva y diferente orientación del plano de maclado. Esto puede hacerse en un cierto número de veces y esparcirse fueraen otro cristal, esto da un levantamiento de formaciones de un cierto número de pasos de maclado. Los cuales puedenjuntarse y formar una configuraciones de río convergiendo de en otras configuraciones de río. siempre río abajo. Esto da laposibilidad de determinar la dirección de la propagación de las grietas locales en una micrografía. Ejemplos de pasos demaclado y configuraciones de río se pueden observar por fractografía de electrones, y son presentadas en la figura No. 2.6.6.Esos son los lugares en donde a muy pequeña escala las deformaciones plásticas ocurren. Las deformaciones plásticasrequieren energía, y por consiguiente las configuraciones de río y los pasos de maclado son observados masabundantemente en grietas de maclado producidas a temperaturas cercanas a las de transición.

pasos de macladodislocaciones de tornillo

configuración de río

región torcida

67

Figura No. 2.6.5 origen de los pasos de maclado . a)Grietas paralelas juntandose por maclado secundaria.b) Iniciación de los pasos de maclado por un pasaje dedislocación de tornillo. c) Formación de unaconfiguración de río después de un limite de grano.

Fig. No. 2.6.6 Iniciación de pasos de maclado en una fronterade grano en acero dúctil.

Unmaclado de garganta es otra forma típica de la fracturademaclado. Está es llamada garganta porque la forma aparenta auna garganta. El maclado de garganta puede ser de variostamaños y se muestran en la fig. No. 2.6.7. Se cree que sonformadas por una grieta local a lo largo de una interfaz de matriz-simétrica. ( Los planos simétricos son formados como resultado dealtos rangos de deformación enfrente de una grieta avanzada).Las gargantas en el hierro se piensa que pueden ser generadascuando las grietas de maclado, crecen a lo largo de un plano, einterceptan una interface simétrica y se propaga a lo largo de unainterfaz por alguna distancia, mientras las dislocacionescontinúan al rededor de los planos simétricos. Finalmente laseparación ocurre cuando el plano simétrico se fractura de unamanera no identificada. Evidencias de este proceso de formaciónpueden ser obtenidas por estereografía.

Fig. No. 2.6.7 dislocaciones de garganta ( estánindicadas por las flechas)

B

C

A

a

Dirección depropagación

Plano de grieta

Dislocación de tornillo

Paso de división

Configuraciónde río

Región torcida

b

c

68

La fractura dúctil, se ilustra esquemáticamente en la figura No. 2.6.8, donde se muestra un fuerza tensorial uniaxialaplicada sobre un metal dúctil. El material eventualmente cae en un punto de inestabilidad donde el material se empieza adeformar con una perdida de área transversal en forma de cuello cuando la fuerza llega mas alla de su límite de cargaelástica. En materiales muy puros la deformación forma un cuello muy delgado resultado de una deformación plástica muylarga, cercana al 100% de reducción de área transversal. En materiales que contienen impurezas, casi siempre fallan condeformaciones muy pequeñas, las impurezas pueden ser micro-huecos, inclusiones y partículas de segunda fase. Los micro-huecos cresen juntos para formar micro-fallas. Las cuales debilitan la estructura. Los estados observados comúnmente en lafractura dúctil son:

1) Formación de superficies libres en inclusiones o partículas de segunda fase por una alta fase de separación o enlaces departículas rompiendose.2) Crecimiento de vacíos al rededor de la partícula, lo que significa deformación plástica y esfuerzo hidrostático.3) Fisión de crecimiento de vacíos con vacíos adyacentes.

En materiales donde las partículas de segunda fase e inclusiones también están vinculadas a la matriz, la nucleación devacíos comúnmente es un paso crítico; la fractura ocurre tan pronto como se forman los vacíos. Cuando la nucleación devacíos ocurre con una poca de dificultad, las propiedades de la grieta son controladas por el crecimiento y la unión de vacíos;cuando el crecimiento de vacíos alcanza un valor crítico, relativamente con su espacio, se desarrolla un comportamiento deuna inestabilidad plástica local, resultando en la falla.

Material Puro

Material deIngeniería

Deformación de ingeniería

Esfuerzodeingeniería

Formación deCuello

Fig. 2.6.8, Deformación por tracción unidireccional de un material dúctil.

La nucleación de vacíos, se forman al rededor de partículas de segunda fase o inclusiones, cuando un esfuerzo losuficientemente grande es aplicado como para romper los enlaces entre las partículas de la matriz. Una gran cantidad demodelos para estimar la nucleación de vacíos por esfuerzo han sido publicados, algunos de los cuales están basados en lateoría de la mecánica continua. Mientras otros incorporan la interacción de dislocación de partículas. Los últimos modelosestán requerido para partículas < 1mm de diámetro. Una ves que los vacíos se forman, mas alla de la deformación plástica yesfuerzo hidrostático causa crecimiento de vacíos, y eventualmente se fusionan. La figura No. 2.6.9 y 2.6.10, son escaneoscon microscopio de electrones, fractografías las cuales muestran hoyuelos en las superficies de fractura son típicas de lafusión de micro-vacíos. La figura No. 2.6.10 muestra una inclusión en la cual está nucleando un vacío.

69

Figura No. 2.6.9 Fractografía, escaneada con un microscopio de electrones, el cual muestra la fractura dúctil, en unacero de bajo contenido de carbono ( imagen tomada del libro Fracture Mechanisms Metals, pag.269)

Figura No. 2.6.10, ampliación de una fractografía de la superficie una fractura de un acero dúctil. Nota la inclusión esférica lacual nuclea a una microgrieta. ( Imagen tomada del libro Fracture Mechanism Metals, pag.269)

La figura No. 6.2.11, esquemáticamente ilustra el crecimiento y fusión de microgrietas. Si la fracción de volumen inicialde un vacío es inferior al10%, cada vacío puede ser tomado como crecimiento independiente; en grandes crecimientos, losvacíos interactúan con los otros vacíos cercanos. Deformación plástica es concentrada a lo largo de un plano de vacíos, y lainestabilidad se comporta como un cuello local. La orientación de la dirección de la grieta depende del estado tensional deesfuerzo.

70

(A) inclusiones en unamatriz de hierro dúctil.

(B) Nucleación de vacíos (C ) crecimiento de vacíos

(D) Localización de deformacionesentre vacíos

(E) formación de cuellosentre vacíos.

(F) Fusión de vacíos y lafractura

Figura No. 2.6.11, nucleacion de vacíos, crecimiento y fusión en metales dúctiles.

71

2.6.3 ETAPA DE PROPAGACIÓN DE LAS GRIETAS.

Una vez establecida una microgrieta (o si está presente desde el inicio), se hacen operables los mecanismos de lamecánica de fracturas. La grieta aguda crea concentraciones de esfuerzos superiores a los del concentrador original.

. Lo que achata extremoy reduce la concentración efectiva de esfuerzos. La grieta crece un poco. Cuando el esfuerzo se alterna desde un régimen deesfuerzo a compresión hasta cero o hasta un esfuerzo a tensión lo bastante inferior, según se muestra en la figura No. 6.2.1, lagrieta se cierra, la fluencia plástica cesa momentáneamente y de nuevo la grieta se vuelve aguda, aunque con una dimensiónmayor. Este proceso continua en tanto el esfuerzo local en la punta de la grieta este alternado desde por debajo al punto defluencia a la tensión, hasta por encima. Por lo que , y la grietacrese a lo largo de los planos normales al esfuerzo máximo a la tensión. Es por esta razón que las piezas que fallan por fatigase considera como responsable al esfuerzo a la tensión, aún cuando en los materiales dúctiles el esfuerzo cortante inicia elproceso de formación de la micro grieta. Los esfuerzos alternantes que sean siempre a compresión no aumentaran el tamañode la grieta ya que mas bien estos tienden a cerrar las grietas.

El índice de crecimiento de propagación de grietas es muy pequeño, de el orden de 10E-8 a 10E-4 in por ciclo, perose acumula a través de un vasto número e ciclos. Si se observa con gran ampliación, las estrías debidas a cada ciclo deesfuerzo aparecen como en la figura No. 2.6.12, que muestra la superficie de la grieta de un espécimen de aluminio falladoampliado 12000X, junto con una representación del patrón del ciclo de esfuerzo que la hizo fallar. Los ciclos de esfuerzo degran amplitud ocasionales aparecen como estrías mas grandes a los mas frecuentes, de amplitud menor, indicando que lasamplitudes de los esfuerzos mayores causan por ciclo aún mas elevado crecimiento de la grieta.

, es otro mecanismo de ampliación de las grietas, Si una pieza que contiene una grieta se encuentra en unambiente corrosivo, la grieta crecerá aún con esfuerzos estáticos. La combinación de un esfuerzo y un entorno corrosivo tieneefecto acumulativo aumentado y el material se corroe con mayor rapidez que si no estuviera esforzado. Esta situacióncombinada se conoce comúnmente como o .

Si la parte está esforzada cíclicamente en un entorno corrosivo, la grieta crecerá con mayor rapidez, que como el resultado decualquiera de los factores solos. Esto también se conoce como . En tanto que en un entorno nocorrosivo, la frecuencia del ciclo de esfuerzos ( a diferencia del número de ciclos) parecerá no tener efecto decremental en elcrecimiento de las grietas, en presencia de entornos corrosivos si las tiene. Menores frecuencias alternantes le dejan mastiempo al entorno para actuar sobre el extremo esforzado de la grieta, cuando esta se mantiene abierta bajo esfuerzo atensión.

Lo queprovoca una zona plástica en el extremo de la grieta cada vez que el esfuerzo a tensión la abre

el crecimiento de la grieta se debe a esfuerzos a tensión

La corrosión

corrosión por esfuerzo agrietamiento asistido por el entorno

fatiga por corrosión

Fig. No. 2.6.12, Estrías por fatiga en la superficie de la grietade una aleación de aluminio. El espaciado de las estríascorresponde al patrón de carga de ciclo. (Imagen tomada dela figura 6.3 del libro diseño de máquinas Robert L Nortonprimera edición traducción al español)

72

73

2.6.4 MODELOS DE FALLA POR FATIGA.

2.6.4.1 Procedimiento Esfuerzo-Vida

2.6.4.2 Procedimiento Deformación-Vida.

2.6.4.3 Procedimiento de la Mecánica de Fracturas Elásticas Lineales LEFM.

Actualmente están en uso tres modelos de falla por fatiga, y cada uno de ellos tiene su sitio y/o objetivo: El

procedimiento de vida esfuerzo (S-N), el procedimiento de vida deformción ( -N) y el procedimiento de las fracturas elásticaslineales (LEFM). Se explicará su aplicación, ventajas y desventajas, se compararan de manera general y se analizara condetalle la que aplique mas para la mayor duración del filo de las cuchillas.

Primero se debe definir el régimen de fatiga, en base a la cantidad de ciclos de esfuerzo deformación que sufre unapieza durante su vida útil. Los autores de diferentes libros de diseño de elementos de máquinas coinciden en dos regímenesdiferentes, el y el . Para el primero seconsidera que son piezas sometidas a ciclos de esfuerzo menores 10,000 iteraciones. Las son piezas sometidas aiteraciones mayores a 10,000 iteraciones y se considera de vida infinita a las piezas que rebasan las 10,0000,000 iteraciones.

.

Se trata del procedimiento mas antiguo de los tres modelos y es el que mas se utiliza para aplicaciones de alto ciclajedonde se espera que el conjunto debe durar mas de 10e3 ciclos. Funciona mejor cuando la amplitud de la carga es

previsible y consistente durante la vida de la pieza. Es un modelo basado en esfuerzo, que busca determinar una resistenciaa la fatiga y/o un límite de resistencia a la fatiga para el material, de forma que los esfuerzos cíclicos se puedan mantener pordebajo de este nivel y evitar que falle durante el número e ciclos requerido. La pieza se diseña entonces en base a laresistencia a la fatiga del material ( o límite a resistencia ala fatiga), a demás de un factor de seguridad. En efecto esteprocedimiento intenta mantener los esfuerzos locales en los concentradores de esfuerzo, tan bajos como sea posible paraminimizar o evitar completamente la etapa de iniciación de las grietas. La premisa y objetivo del diseño bajo este criterio, esmantener a los esfuerzos en la región elástica, sin que exista ninguna fluencia plástica local que pueda iniciar la grieta.

Este procedimiento es razonablemente fácil de aplicar y, por haberse aplicado durante mucho tiempo , hay una grancantidad de datos de importancia sobre resistencia. No obstante , es el mas empírico y el menos preciso de los tres modelos,en términos de la definición de los verdaderos valores locales de esfuerzo y deformación en la pieza, especialmente parasituaciones de fatiga de bajo ciclaje (LFC) con vida finita, donde se espera que el número de ciclos sea menor a 10e3 y quelos esfuerzos sean lo bastante elevados para causar fluencia plástica local. Por otra parte con ciertos materiales, elprocedimiento sujetos a cargas cíclicas.

Dado que la iniciación de la grieta implica fluencia, un procedimiento con base en esfuerzos no puede modelar demanera adecuada esta etapa del proceso. Un modelo basado en deformación da una imagen razonablemente exacta de laetapa de iniciación de grietas. También puede considerase el daño acumulado por variaciones de carga cíclica a lo largo de lavida útil de la pieza, como sobre cargas que pudieran introducir esfuerzos residuales favorables o desfavorables en la zona dela falla. Las combinaciones de cargas a la fatiga y altas temperaturas se manejan mejor mediante este método en función delos efectos de fluencia que pueden incluirse. Este procedimiento se aplica mas a menudo a problemas de fatiga de bajociclaje , la vida finita, donde los esfuerzos cíclicos son lo bastante elevados para causar fluencia plástica local. Es deuso mas complicado de entre los tres modelos , requiriendo solución por computadora. Hoy día se continua el desarrollo dedatos de prueba relativos al comportamiento ante deformaciones cíclicas de varios materiales de ingeniería.

La teoría de la mecánica de fracturas proporciona el mejor modelo de la etapa de propagación de las grietas. Estemétodo se aplica a problemas de fatiga de bajo ciclaje , de vida finita, donde se sabe que los esfuerzos cíclicos son lobastante elevados para causar la formación de la grietas, y es muy útil para predecir la vida de piezas agrietadas, ya enservicio. Se utiliza a menudo junto con pruebas no destructivas en un programa de inspección de servicio periódico, enparticular en las industrias aeronaval y aeroespacial. Su aplicación es muy sencilla, pero depende de la precisión de laexpresión correspondiente al factor de geometría de intensidad de esfuerzos , y en la estimación inicial de lagrieta requerida para el cómputo. Un procedimiento en fin de empezar el cálculo, es suponer que ya hay una grieta aúnmenor a la grieta detectable mas pequeña. Da resultados mas exactos cuando ya hay una grieta detectable y mesurable.

�

régimen de fatiga de bajo ciclaje (LCF) régimen de fatiga de alto ciclaje (HCF)HCF

(HCF)

esfuerzo-vida permite el diseño de la pieza para una vida infinita

(LCF)

(LCF)

K ecuación (50)l

74

2.6.5 COMPARACIONES GENERALES ENTRE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FATIGA.

La elección de modelos de falla por fatiga para fines de diseño de máquinas depende del tipo de máquina que se estédiseñando y de su uso predeterminado. Además de la precisión que se requiera en la pieza. Por ejemplo Robert. L. Norton ensu libro de diseño de elementos de maquinas dice que a menudo las máquinas rotativas quedan bien servidas con el métodovida-esfuerzo (S-N) porque la vida requerida normalmente entra dentro del rango de fatiga de alto ciclaje (HCF). Tambiéncomenta que un ejemplo de los elementos que requieren bajo ciclaje (LFC) son el bastidor de un avión, el casco de un barco,y el bastidor de un vehiculo terrestre, pasan por un historial de carga-tiempo, bastante variable, en función de tempestades,huracanes/olas, aterrizajes bruscos, llegadas a puerto, baches, topes, etc...

Otro criterio para definir que método usar, es la magnitud de la carga aplicada y la incertidumbre de las condicionesdel medio que pueden generar cargas superiores a las de diseño. Por ejemplo los vehículos antes mencionados seencuentran sometidos a cargas normales de trabajo, pero una situación especial puede ocasionar fallas prematuras en loselementos, en el caso de los molinos las cuchillas están sometidas a esfuerzos fluctuantes de alto ciclaje (HCF), pero puedenocurrir situaciones inesperadas y my comunes, como la contaminación de un material diferente al plástico como una piedra oun metal, o que corten las cuchillas espesores superiores a los considerados de diseño, en otras palabras, pueden habercargas que rebasen el límite plástico local en algún concentrador de esfuerzos e iniciar el agrietamiento prematuro de estas.Por tanto la vida de las cuchillas es finita en cuanto al filo ya que solo dura 1 mm aproximadamente, o al menos es lo que seespera. En cambio el cuerpo restante de la cuchilla no debe fallar durante la vida de la cuchilla que va desde 5 hasta 15 filos,tomando en cuenta que un filo equivale a 1mm, como se muestra en la figura No.2.6.13. Una cuchilla por lo general sedespostilla del filo en los primeros cortes de material aún trabajando bajo cargas de diseño, ya que los concentradores deesfuerzo son muy grandes en el filo, las cargas de impacto magnifican la fuerza en la punta de la cuchilla y debe sumarse aúnlas cargas de contacto.

Deivid Broek en su libro Ingeniería de la mecánica de fractura elemental, hace mención que los materiales, de muyalta resistencia tienen un bajo indice de endurecimiento de la grieta, y el método de ELFM, aplica perfectamente en este tipode materiales, ya que la zona plástica es muy pequeña en comparación con el tamaño de la grieta y por el contrario losmateriales con baja dureza, tienen un índice de endurecimiento de grieta muy alto y por tanto el tamaño de la zona plástica dela grieta es tan grande como la grieta por tanto no aplica este método para materiales de baja resistencia a la tracción, comolos aceros de bajo contenido de carbón y metales no ferrosos como aluminio o bronce.

Para las cuchillas de molino por experiencias propias no documentadas formalmente, el filo útil de las cuchillas duraaproximadamente 36 toneladas de material, antes de volver a ser afiladas, esto es un numero muy variable ya que sedepende de la presentación del material, si es post-consumo o post-industrial, si se sometió el material a alguna clase deenjuague antes de entrar al molino, etc... Ya que la tierra y los materiales cerámicos en general desgastan mucho mas rápidolas cuchillas. Pero este número se tomará como base para los cálculos posteriores. Ahora, si un molino con una camara demolienda 2650 ( que es el molino en análisis) , granula entre 200 y 600 kg/hora, dependiendo de las condiciones antesdescritas y si la velocidad del rotor para un molino de cuchillas varia de entre 600-900 rpm, según datos tomados de loscatálogos de los fabricantes de molinos, considerando también que el rotor del molino tiene 3 hileras de cuchillas, según eldiseño preliminar del molino y que la cámara de molienda tiene dos hileras de cuchillas fijas o de caja, se podría decir que unacuchilla corta el material de entre 1200 a 1800 veces en un minuto. Ahora considerando que para granular 36 000kg el molinotardara entre 60 y 40 horas, se puede decir que la cuchilla corta entre 4,320,000 - 2,160,000 veces antes de ser afilada portanto el filo de la cuchilla se analizara dentro del criterio de alto ciclaje , por tanto corresponde analizar la cuchilla por elmétodo de , pero como ya se comentó el filo es de duración muy corta y no se sabe cuanto dura el filo efectivoantes del primer despostillamiento así que evaluaremos cuanto dura el filo de la cuchilla. Por lo general las cuchillas siguencortando aunque la punta ya esté roma o redondeada, pero oviamente la producción decrece con esta circunstancia y este esun tema muy amplio que no se tocará en esta tesis, por tanto también se analizará por el método de la

.

(HFC)esfuerzo-vida

teoría de la mecánicade las fracturas elásticas lineales

1.0 mm

Fig. No. 2.6.13 vida útil de la cuchilla rotor

75

2.6.6 TEORÍA DE LAS FRACTURAS ELÁSTICAS LINEALES. (LEFM).

Los conceptos de mecánica de la fractura se establecieron en 1960, eran aplicables solo a materiales que cumplencon la ley de Hooke. Aún cuando se propusieron pequeñas correcciones para el comportamiento plástico, este debe estarconfinado a una pequeña región de la grieta, a demás de que estos análisis están restringidos a estructuras cuyocomportamiento global es lineal elástico. Como ya se comentó después de 1960 se desarrollaron teorías para tomar en cuentalos comportamientos no lineales, así como los efectos dinámicos de los materiales sin embargo todos estos conceptos sonextensiones de la LEFM ( ). Por lo tanto se requiere del entendimiento de las fundamentosmas esenciales para entender los conceptos mas avanzados.

Lineal elastic fracture mechanics

Considerando una pieza mecánica en la cual se desarrolla una grieta, donde se espera que existan cargas repetidas oesperando la combinación de cargas y de ataques ambientales, la fractura seguramente crecerá con el tiempo. El largo de lagrieta o fractura provoca una alta concentración de esfuerzos inducidos por esta grieta, esto implica que el rango de lapropagación de la fractura pueda incrementar con el tiempo. La propagación de la fractura como función del tiempo puede serrepresentada por la curva creciente que se muestra en la figura No.2.6.14, se puede esperar que con la presencia de la grietala resistencia de la pieza o estructura decresca, es decir que la resistencia de la pieza se vuelve mucho menor que laresistencia para la que fue diseñada. La resistencia residual de la pieza decrece progresivamente con el incremento deltamaño de la grieta como se muestra esquemáticamente en la figura No.2.6.15. Después de un cierto tiempo, seguro laresistencia residual de la pieza ha decrecido y no podrá soportar altas cargas accidentales que pueden ocurrir en servicio,desde este momento la estructura o pieza esta expuesta a fallar. Si con altas cargas accidentales no ocurre la fractura, detodas formas la grieta sigue creciendo y la resistencia residual de la pieza sigue disminuyendo hasta que esta falle aún conesfuerzos normales de trabajo. Varias piezas son diseñadas para llevar cargas de servicio que son lo suficientemente altaspara comenzar una grieta en la pieza, particularmente cuando ya existen fallas en el material o existen concentradores deesfuerzo en la pieza. La mecánica de la fractura se describe en la fig. 2.6.16, muchas disciplinas están envueltas en el campode estudio de la mecánica de la fractura pero la escala correcta para el campo de la ingeniería, es el análisis carga-esfuerzo.La mecánica aplicada se encarga de proveer los factores de concentración de esfuerzos así como de las consideracionesplásticas y elásticas de los materiales en las áreas circundantes a la grieta, también de las predicciones de la resistencia a la

Figura No. 2.6.14, crecimiento de la grietacon el numero de ciclos en el tiempo

Figura No. 2.6.15 decrecimiento de la resistenciaresidual, al aumentar el tamaño de la grieta.

76

Fig. 2.6.16 Muestra el ancho campo de la mecánica de la fractura.

a la fractura pueden ser checadas experimentalmente dentro de este campo. La ciencia de materiales concerniente por simisma con el proceso de fractura en la escala de los átomos y dislocaciones de las impurezas y granos.

Una fractura en un sólido puede ser esforzada de tres modos diferentes como se ilustra en la figura No. 2.6.17. Lacomo se muestra en la figura No. 2.6.17a, es donde el crecimiento del esfuerzo dado es de forma normal a el

crecimiento o desplazamiento de la grieta, es decir perpendicular al plano de fractura. En el plano de cortante los efectos sonde la o el desplazamiento de la superficie de la grieta es en el plano de la fractura y perpendicular ala superficie de carga de la grieta, como se muestra en la figura No. 2.6.17b. La o , es causadopor el corte fuera del plano. El desplazamiento de la superficie de la grieta es en el plano de fractura y paralelo a la cara decarga de la grieta. La mas frecuente de las tres formas o modos de fractura descritos es la del y es técnicamente elmas importante.

forma abierta

modo II forma deslizanteforma de rasgadura modo III

modo I

Modo"Forma abierta"

Modo"Forma deslizante"

Modo"Forma de razgadura"

a b c

Figura No. 2.6.17a,b y c, las tres diferentes formas de fractura

77

Fig. No.2.6.18 fractura en una placa infinita, derecha ampliación de la punta de la grieta mostrando la distribución de esfuerzos.

dy

dx

x

y

�

2a

y

x

�xy

r

x r

y

y

2a

Consideremos una grieta de longitud , que atraviesa todo el espesor de una placa infinita que está esforzada del ,

como se muestra en la figura No. 2.6.18 del lado izquierdo. La placa se encuentra sometida a esfuerzo de tensión , hasta el

infinito. Un elemento de la placa desplazado una distancia , desde la punta de la grieta y está a un ángulo , con

respecto al plano de fractura, el elemento experimenta esfuerzo normal y sobre el eje y además experimenta un

esfuerzo cortante

2a modo I

r

x y X Y,

xy

�

�

dxdy

yxz

z

x y

y

x

r

r

a

d

r

a

r

a

��� �

��

���

0

2

3c o s

2c o s

2s i n

2

2

3s i n

2s i n1

2c o s

2

2

3s i n

2s i n1

2c o s

2

(Plano de esfuerzo)

( Plano de deformación)

Conjunto de ecuaciones (46)

78

En el caso elástico, el esfuerzo es proporcional al esfuerzo externo o medio . Este esfuerzo varía con la raízcuadrada del tamaño de la grieta y tienden a infinito en la punta de la grieta, donde es pequeña. La distribución de esfuerzos

como función de a =0 es ilustrada en la figura No. 2.6.18 del lado derecho, cuando incrementa el esfuerzo tiende acero. Aparentemente las ecuaciones son validas solo para una limitada área al rededor de la punta de la grieta. Cada unade las ecuaciones representa el primer termino de una serie, en los alrededores de la punta de la grieta, este primer términoda la suficiente certeza para la descripción de el esfuerzo en la punta de la grieta y sus alrededores. Los siguientes términosson pequeños comparados con el primero. Las funciones de las coordenadas de y en la serie de ecuaciones sonexplicitas. La ecuación puede ser rescrita de forma generalizada.

r

x r r y(46)

r (46)

�

�

)4 7. . . . . . . . . (2

aKc o nfr

KIij

Ii j �

El factor es conocido como factor de intensidad de esfuerzo, donde el subíndice es porque el modo de esfuerzoes el ó de . El área del esfuerzo completo en la punta de la grieta es conocido cuando el factor deintensidad de esfuerzo es también conocido. Dos grietas una de un tamaño , la otra de una tamaño , tienen el mismo

campo de esfuerzo en las puntas, si la primera grieta esta esforzada con un valor de , y la otra con un valor de , en talevento es el mismo para ambas grietas. La ecuación , es una solución elástica, la cual no prohíbe que el esfuerzoempiece en el infinito en la punta de la grieta. En realidad esto no puede ocurrir, ya que la deformación plástica toma lugar enla punta de la grieta y esto lleva al esfuerzo en este lugar al infinito. Una impresión de la dimensión de la zona plástica en lapunta de la grieta puede ser obtenida por la determinación de la distancia , desde la punta de la grieta del esfuerzo elástico

es mas grande que el esfuerzo a la fluencia , ( ver figura No. 2.6.19a). Substituyendo = dentro del segundotérmino de las ecuaciones , y hablando del plano =0 queda como sigue:

K Imodo I forma abierta

4a a

2K (47)

r

(46)

I

I

p

y ys y ys

�

)48.(..........222

2

2

2

2

ysys

Ipys

p

Iy

aKró

r

K

r

y

2a

ys

rpr

y

2a

ys

rp

a B

Figura No. 2.6.19 Zona plástica en la punta de la grieta.a. Distribución de esfuerzos práctica b. Distribución de esfuerzos real.

En realidad la zona plástica es un tanto mas grande, ( como se muestra en la figura No. 2.6.19b).

79

Las fracturas elásticas de diferentes tamaños pero con el mismo , tienen similar área de esfuerzo. Las cargas enlas grietas o fracturas con la misma tienen zonas plásticas de igual tamaño de acuerdo a la ecuación . Fuera de estazona plástica el esfuerzo puede aún ser el mismo. Si dos grietas tienen la misma zona plástica y el mismo esfuerzo actuandoen la región de esta zona, entonces el esfuerzo y deformación dentro de la zona plástica deben ser los mismos.

En otras palabras el factor de intensidad de esfuerzo es aún probable de determinar en el área de esfuerzo. Estotambién determina que ocurre dentro de la zona plástica. es una medida para los esfuerzos y deformaciones. Laampliación de la grieta puede ocurrir cuando el esfuerzo y deformación en la punta de la grieta rebase un valor crítico. Estosignifica que la fractura está propensa a ocurrir cuando rebace el valor critico . El valor critico puede obtenerse yaque es una propiedad del material.

Es decir, uno puede tomar una placa con una grieta de dimensiones conocidas y jalar de esta hasta fracturarla, en

una maquina de tensión, con esto puede obtener el valor critico de , y con esto se puede determinar el valor del factor deintensidad de esfuerzo critico al momento de la falla.

KK (48)

K

K K K

K

I

I

I tc tc

c

tc

)4 9. . . (. . . . . . . . . .aK ctc

Si es un parámetro del material, el mismo valor debe ser encontrado por exámenes en otro espécimen del mismomaterial pero con diferente tamaño de grieta, dentro de limites seguros esto es verdadero para este caso. Tomando como baseel valor de se puede determinar la fuerza de fractura de cualquier tamaño de grieta en el mismo material.

En realidad la situación es ligeramente mas compleja. Primero que todo la expresión para el factor de intensidad deesfuerzo es válido solo para placas infinitas. Para placas de tamaños finitos la formula es la siguiente:

K

K

tc

tc

)5 0.. . . . . .(. . . . . . . . . .w

afaK t

Donde es el ancho de la placa. La función tiene que ser conocida antes que sea determinado, porsupuesto se aproxima a la unidad para pequeños valores de . Segundamente, una restricción tiene que ser hechatransversalmente a la deformación en la placa. Un consistente valor de puede ser solo obtenido en un examen si eldesplazamiento en la dirección del espesor de la placa es suficientemente restringido, esto es cuando hay una condición deplano de deformación. Esto ocurre cuando la placa tiene un gran espesor. Si las deformaciones en la dirección del espesorpueden tomar lugar libremente ( situación de plano de esfuerzo), si el factor de intensidad de esfuerzo critico depende delespesor de la placa, es una medida para la resistencia a la fractura del material. Por tanto es llamado

”. Los materiales con bajo enduresimiento de fractura puedentolerar solo pequeñas grietas. Los valores típicos de enduresimiento de fractura de tres materiales de alta resistencia semuestran en la tabla No. 2.6.1

El tamaño de la grieta puede ser tolerada en los materiales de la tabla 2.6.1, antes de que la resistencia del materialhaya decrecido a la mitad de su resistencia original y puede ser determinada por la siguiente expresión:

w (a/w) K

(a/w) a/w

K

K K “enduresimiento del plano de deformación de la fractura

f

f

tc

tc

tc tc

)51....(..........4

2 2

2

u

tcutcc

Ka

a

K

80

Tabla 2.6.1 Valores de algunos materiales del enduresimiento de fractura Ktc

MN.m^2 Kg.mm^2 Ksi MN.m^2 Kg.mm^2 KsiMN/m^(3/

2)Kg/mm^(

3/2)Ksi(in^(1/

2))ACERO 4340 1820 185 264 1470 150 214 46 150 42

ACEROMARTENSITICO

LIBRE DECARBON 300

1850 188 268 1730 177 250 90 290 82

ALUMINIOALEADO 7075-T6

560 57 81 500 51 73 32 104 30

RESISTENCIA A LA TENSIÓN

UMATERIAL

RSISTENCIA A LA FLUENCIA

Y

ENDURESIMIENTO DEFRACTURA Ktc

Por ejemplo aplicando la formula anterior podemos deteminar el tamaño de grieta que puede tolerar el acero 4340 quees de 2a=1.67, para el acero martensitico 2a=6.06 mm y para el aluminio aleado es de 8.48 mm. En la figura No. 2.6.20 segrafíca la resistencia residual de los tres materiales de la tabla 2.6.1, en función de la longitud de la longitud de la grieta. Estascurvas siguen la siguiente ec.

La consecuencia de esta formula es que empieza en infinito si se aproxima a cero, fig. No. 2.6.20a. En realidad

la curva debe ir a . Oviamente el material con mas alto endurecimiento de fractura tiene la mas alta resistencia

residual. Si la resistencia a la fractura es graficada como una fracción de la resistencia original ( fractura libre), , laimagen es completamete diferente figura No. 2.6.20b. El aluminio aleado tolera grietas mas largas que los otros dos materialesmostrados en la tabla 2.6.1.

c

c u

c u

a

= a=0

/

a

K tc

c

Fig. 2.6.20, endurecimiento de la grieta , de tres materiales de alta resistencia, a) en fun-ción del tamaño de la grieta; b) .

K Resistencia residual vs aresistencia residual relativa

tc

10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2a (mm)

c u

K² tc ²u = 3.3 mm 7075-T6 Al Aleado

= 0.66 mm Acero 4340

K² tc ²u

K² tc ²u

= 2.4 mm Acero martensitico

10 20 30 40 50

25

50

75

100

125

2a (mm)

c

K Ic = 290 kg/mm

150

175

200

Acero martensitico

3/2

K Ic = 150 kg/mmAcero 4340

3/2

K Ic = 290 kg/mmAl Aleado 7075-T6

3/2

(kg/mm²)

81

2.6.6.1 Criterio de desplazamiento de apertura y propagación de las grietas.

Los materiales de alta resistencia usualmente tienen un bajo endurecimiento de grieta. Los problemas de grietas enel plano de deformación en este tipo de materiales pueden ser tratados exitosamente por los procedimientos de la mecánicade fractura. Estos procedimiento son conocidos como es decir

. Ya que esta está basada en las ecuaciones de esfuerzo del área elástica, estaspueden ser usadas si la zona plástica en la punta de la grieta es pequeña comparado con el tamaño de la grieta. De acuerdoa la ecuación (48), el tamaño de la zona plástica es proporcional a:

Materiales de baja resistencia última y baja resistencia a la fluencia, tienen alto endurecimiento de grieta. Estosignifica que el tamaño de la zona plástica en la punta de la grieta ( ) quizá es demasiado grande tanto como la grieta,

por tanto el . En el último de los casos si se aproximan a la unidad. ( El tamaño de la zona plástica estambién proporcional a

como se muestra en la segunda parte de la ecuación ). Actualmente un método versátil que trate los problemas de lasgrietas en materiales de alto endurecimiento de grieta no esta disponible aún. Wells ha introducido el

( ), por sus siglas en ingles, , para este tipo demateriales. Supuestamente, las extensiones de las grietas pueden tomar lugar cuando el material en la punta de la grieta arebasado, la deformación plástica máxima permisible, la cual es medible en cantidad. Este tema no se atacará ya que lascuchillas están hechas de materiales templados que tienen el comportamiento de materiales frágiles.

Como se comentó anteriormente, el factor de intensidad de esfuerzos es una medida del esfuerzo y la deformaciónen el área de la punta de la grieta. El factor de intensidad de esfuerzo aún magnificado si la zona plástica es pequeña.Entonces puede también esperarse que el rango de la propagación de la grieta en fatiga por ciclo sea determinado por elfactor de intensidad de esfuerzo. Si dos diferentes grietas tienen la misma zona de esfuerzo, es decir, el mismo factor deintensidad de esfuerzo, entonces estas deben mostrar el mismo rango de propagación.

Si la carga de fatiga varía entre cero y algún valor constante ( amplitud constante), los ciclos de intensidad deesfuerzo bajo un rango a , donde . Dentro del rango de propagación de la grieta en fatiga por ciclo

debe depender del rango de intensidad de esfuerzo :

LINEAR ELASTIC FRACTURE MECHANICS (LEFM) ,mecánica de fracturas elásticas lineales

K =K

LEFM no aplica /

(48)método de

desplazamiento de apertura de grietas COD crack opening displacement

K=K - K K =0

K

I Ic

c ys

max min min

�

�da/dN

)48.........(..........22

)2(

2

2

2

2

2

2

ysys

Ip

p

ys

I

aKr

rK

2

y s

c

)52......(..........2)( aSfKfdN

daa�

Donde es la amplitud de esfuerzo ( Según David Broek, al notación es para denotar que es usado paraesfuerzos cíclicos , ya que es una costumbre en la literatura). Es ovio que la ecuación (48) corresponde exitosamente si losresultados usados son de un solo examen, los valores de siempre pueden ser graficados contra los valoresinstantáneos de K, lo cual puede mostrar que la ecuación (48) es correcta.

Considerando los resultados de un prueba de propagación de dos grietas diferentes fig. 2.6.21a. El amplitud deesfuerzo es el mismo a través de cada examen. Aparentemente el rango de propagación de la grieta progresivamenteincrementa con el incremento del tamaño de la grieta.

Sa S

da/dN

Sa

�

Figura No. 2.6.21, Propagación de una grieta por fatiga, a. Curvas del crecimiento de la grieta, b. Rango de propagación de lagrieta.

El rango da/dN puede ser determinado por la inclinación de la curva. El valor de continua de:�K

aSK a2�Por la sustitución instantánea de los valores de . Un gráfica doble logarítmica de vs , es mostrada en la

figura No. 2.6.21b. Los datos obtenido de la amplitud de los altos esfuerzos, empiezan en valores relativamente altos de yda/dN. El otro conjunto de datos comienza en valores muy bajos pero alcanza los mismos altos valores como en la otraprueba. Los datos de dos pruebas llevadas bajo diferentes condiciones, resultan en una misma curva, lo cual demuestra lautilidad de la ecuación (48). Aparentemente esto no hace la diferencia o una tiene una grieta pequeña sometida a un esfuerzo

a a/ N K

K

d d ��

Tamaño de la grieta(a) en mm

Smax=12 kg/mm²R=0

Smax=8 kg/mm²R=0

10³ ciclos.

100 200

2

30

20

10

a b10

-2

10-1

100

10

20 30 40 50 100 200

�K(kg/mm )3/2

/ciclos=mm/Kc)dadN

2a AleaciónAl-Cu-Mg

82

Muy alto o una grieta muy larga a un esfuerzo bajo: las dos pueden exhibir el mismo rango de crecimiento si su es elmismo. En una gráfica doble logarítmica de datos vs , normalmente caen en una linea recta. Por consiguiente estoha sido sugerido muchas veces, la relación de la ecuación debería leerse.

En donde y son constantes. Usualmente los valores de n varían entre 2 y 4. Resulta sin embargo, que la ecuación (53), norepresenta realmente los datos de la prueba. En la práctica la gráfica de vs es una curva en forma de , o porlomenos consiste en partes con diferentes ángulos, observando la figura No. 2.6.21, si las pruebas consiernen solo a unlimitado rango de valores de la relación exponencial de la ecuación (53) es encontrada; pero entonces el valor de ndepende de la posición del rango de ( valores altos, bajos o intermedios). Una desviación del rango alto y del rango depuede esperarse cuando el reconocimiento de la grieta esta alcanzando un tamaño crítico en e cual da/dN debe venir deinfinito; la falla total ocurre durante el ciclo en el cual la intensidad de esfuerzo alcanza a .

Un ciclo de fatiga es determinado por dos parámetros de esfuerzo, la amplitud y el esfuerzo medio , siel esfuerzo mínimo en el ciclo es cero. Lo que significa que la máxima intensidad de esfuerzo en un ciclo es , si

, la máxima intensidad de esfuerzo es es mas laga que K. Es evidente que la máximaintensidad de esfuerzo en un ciclo depende del rango del crecimiento de grieta. Por consiguiente la mas general de las formasde la ecuación (52) es:

Donde es conocida como rango de ciclo. Crecimiento de otras fallas subcríticas pueden ocurrir por otros mecanismos comola fatiga. El mas importantes es la fractura por esfuerzo de corrosión. Dado un ambiente específico y interacción con elmaterial, es encontrado como un caso de crecimiento de grieta por fatiga, este rango de esfuerzo de fractura ( dentro deltiempo de la falla) por corrosión es gobernado también por el factor de intensidad de esfuerzo. Muestras similares con lamisma grieta inicial pero localizada en diferentes niveles ( diferentes valores iniciales de ) muestran diferentes tiempos defalla, como es mostrado esquemáticamente en el diagrama de la figura No. 2.6.22. El espécimen inicial cargado a fallainmediatamente. Specímenes sujetos a valores de menores, es un certero umbral donde nunca fallará. Este nivel de umbrales denotado como , donde se entiende como (stress corrosion cracking), esfuerzo de la fractura por corrosión.

Durante el proceso de fractura por esfuerzo de corrosión, la carga puede mantenerse constante. Desde que seextiende el rango de la grieta, la intensidad de esfuerzo gradualmente aumenta como resultado del rango de crecimiento de lagrieta por unidad de tiempo, da/dt, incremente de acuerdo a:

Cuando la grieta ha crecido a un valor en el cual es igual a , finalmente la falla ocurre, como se indica en la figura No.2.6.23.

�

�

�

�

� �

�

K

da/dN K(48)

C n

a/ N K S

K

K K

Ktc

Sa Sm Sm=SuKmax=DK

Sm>Sa Kmax=(Sm+Sa)(pa)^1/2

R

KKtc

KK1scc scc

K Ktc

d d

)53.......(..........)( nKCdN

da�

)54.(..........,,max

min

max

min2max1

um

um

SS

SS

S

S

K

KRconKRfKKf

dN

da��

)55......(..........Kfdt

da

83

Tiempo de falla

Kc

K IC

KISCC

Tiempo de falla

Kc

K IC

KISCC

CRECIMIENTODE GRIETA

Figura No. 2.6.21 tiempo de esfuerzo de corrosión a lafalla, cargado inicialmente a un nivel .K

Figura No. 2.6.22 fractura por esfuerzo de corrosión

En el umbral de la fractura por esfuerzo de corrosión, , y el rango de crecimiento de grieta dependen delmaterial y de las condiciones ambientales. De la figura 1.6.23 esta muestra un componente con un cierto tamaño de

grieta sometida a un esfuerzo , semejante a:

Que falla en la carga inicial. Los componentes cargados con valores de sercanos a ( área sombreada),pueden mostrar fallas por crecimientos de grieta, el poder predictivo de este concepto está muy limitado.

Kiscc

K Kiscc

aK tc

Tamaño de grieta

Esfuerzo

Fracturapor esfuerzo

de corrosión

scc

umbral sccKIscc

a ���

c

falla finalK IC � a

Figura No. 2.6.23 Relación entre esfuerzo y longitud de grieta para cuando occurre el esfuerzo por corrosión.

84

2.6.6.2 Factor de intensidad de esfuerzos.

El factor de intensidad de esfuerzos es una cantidad fundamental que gobierna la región cercana a la punta de lagrieta. Este factor , o dependiendo del modo de carga, ver figura No.2.6.17 pueden ser usados para predecir la fallade una grieta en una placa. El factor de intensidad de esfuerzos depende de dos cosas de la configuración geométrica y delas condiciones de carga del cuerpo. Un gran número de métodos han sido usados para determinar este factor y puedenclasificarse como se indica a continuación:

- Teórico. (El método de Westergaard o semi-inverso, método de potenciaciones complejas),- Numéricos ( El método de la función de Green, método de funciones de tamaño, método de colocación de fronteras,

método alternante, método de las transformadas integrales, método de dislocaciones continuas y el método de elementofinito)

- Experimentales ( método de la fotoelasticidad, método de Moiré, método de holografía, método cáustico ycombinaciones de estos métodos).

Los métodos teóricos son generalmente restringidos a placas de extensiones infinitas con configuracionesgeométricas simples de grietas y condiciones de frontera. Para situaciones mas complicadas es mejor usar los métodosnuméricos o los métodos experimentales.

Detalladas expresiones para el campo de aplicación de factor de concentración de esfuerzos del modo I y II son mostrados enla tabla No.2.6.2. Las relaciones de desplazamiento para los modos I y II son listados en la tabla No. 2.6.3, por último la tablaNo. 2.6.4 muestra los esfuerzos diferentes de cero y los desplazamientos para el modo III.

KI KII KIII

� es la relación de Poisson

Tabla No. 2.6.2, encabezados del campo de esfuerzo en la punta de la grieta para el modo I y el modo II en un material linealelástico e isotrópico

85

Tabla No. 2.6.3 desplazamiento de la punta de la grieta para el modo I y el modo II ( en un material isotrópico y elástico lineal)

� �

� �

es el módulo de cortante

=3-4 ( plano de deformación)

=(3- )/(1+ ) (plano de esfuerzo).�

Tabla No. 2.6.4, esfuerzos diferentes decero y componentes de desplazamientopara el modo III ( para un materialisotrópico y elástico lineal)

Para resolver problemas entre modos mixtos, es decir cuando masde un modo de carga se presenta, las contribuciones individuales decada modo se suman para obtener el esfuerzo total en un punto,este es el principio de la superposición lineal.

)56..(..........)()()()( III

ij

II

ij

I

ij

total

ij

Considerando el modo I, en el área de una grieta en el plano de

esfuerzo donde =0. De acuerdo a la tabla No. 2.6.2, el esfuerzo enlas direcciones X y Y son iguales a:

�

)48........(2 r

KIyyxx

Cuando =0, el esfuerzo cortante es cero, lo cual significaque el plano de la grieta es un plano principal para la carga en el

modo I. La figura No. 2.6.24, es una gráfica esquemática de yy, elesfuerzo normal en el plano de la grieta, vs la distancia en la punta dela grieta. La ecuación , es solo válida cerca de la punta de lagrieta, donde es el dominio del área deesfuerzo. El esfuerzo lejos de la punta de la grieta es gobernado porcondiciones de frontera remotas. Es decir las ecuaciones de lastablas No.2.6.2, 2.6.3 y 2.6.4 son válidas solo en el área desingularidad donde describen lo que está pasando en cuanto aesfuerzos y desplazamientos se refiere. El factor de intensidad deesfuerzos define también la amplitud del área de singularidad. Estoes esfuerzos cercanos a la punta de la grieta incrementan enproporción a . A demás, el factor de intensidad de esfuerzos definecompletamente las condiciones en la punta de la grieta; si esconocida es posible resolver todos los componentes de esfuerzo,

deformación y desplazamiento como una función de y . Ladescripción de este parámetro único, se convierte en uno de losconceptos mas importantes de la mecánica de fracturas.

�

�

(48)la singularidad de

KK

1/(r)^½

r

r

yy �=0

KI2 r

Dominio del área desingularidad.

Figura No. 2.6.24, área de singularidad para lasecuaciones de la .LEFM

86

2.6.6.3 Propagación de las grietas por fatiga.

El número determinado de ciclos que serequieren para que una grieta de dimensiones iniciales , cresca a un tamaño máximo permisible , y la forma de esteincremento . Donde el tamaño de la grieta corresponde a ciclos de carga.

La propagación de las grietas por fatiga corresponden a la segunda etapa de las fallas por fatiga, representa la etapamas larga en cuanto se refiere la vida de una pieza sometida a fatiga. Exactas predicciones de los estados de propagación delas grietas por fatiga son de suma importancia para determinar la vida de una pieza por fatiga. La pregunta principal de lapropagación de las grietas por fatiga puede empezar de la siguiente manera:

La figura No. 2.6.25, representa una gráficade vs , la cual es utilizada para predecir la vida en particular de algún componente. representa la longitud de una grietalo suficientemente grande para que pueda ser analizada por la mecánica de fracturas, pero muy pequeña para poder serdetectada, mientras que es el límite de detección de una inspección no destructiva. La grieta primero crese lentamente,hasta que la vida útil del componente es alcanzada. La grieta entonces empieza a propagarse muy rápidamente, alcanzandola longitud en donde empieza la falla catastrófica.

Los datos para la propagación de fracturas son obtenidos de especímenes fracturados, sometidos a cargasfluctuantes, y los cambios de longitud de la grieta son tomados como función de los ciclos de carga. La longitud de la grieta esgraficada contra el número de ciclos de carga para diferentes amplitudes de carga. El factor de intensidad de esfuerzo esusado como un parámetro de co-relación en el análisis de los resultados de la propagación de las grietas. Los resultados de lapruebas son usualmente graficados en una escala log-log de ( K) vs ( ), donde K es la amplitud del factor de intensidadde esfuerzo y es el rango de propagación de la grieta. La carga es usualmente senoidal con amplitud y frecuenciaconstantes, ( ver figura No. 2.6.26).

Nca a

a=a(N) N0 c

a N a

a

a

da/dNda/dN

i

1

f

� �

a

N

vida por fatiga

vida útil

a1a2

ar

af

ai

intervalo de inspección

Figura No. 2.6.25, forma típica de la curva tamaño de lagrieta vs número de ciclos, para una carga de amplitudconstante.

K

N

Kmin

Km

Kmax

Figura No. 2.6.26 Una carga senoidal con amplitud yfrecuencia constante

Dos de cuatro parámetros , , ó , son necesarios para definir lavariación del factor de intensidad de esfuerzo durante el ciclo de carga. La gráfica típica de la forma senoidal característica deuna del rango crecimiento de una grieta por fatiga es mostrada en la figura No. 2.6.27. Donde tresregiones pueden ser distinguidas, en la , disminuye rápidamente hasta un pequeño desvanecimiento de nivel, ypara algunos materiales es un valor limite de la amplitud del factor de intensidad de esfuerzo , lo que significa que para

no sucede la propagación de grietas. En la es una relación linea entre . Finalmenteen la es el rango de crecimiento de la grieta que se eleva a un factor de intensidad de esfuerzo máximo , enlos ciclos de fatiga viene también como factor de intensidad de esfuerzo crítico , que es la antesala de la falla catastrófica.Resultados experimentales demuestran que el rango de la curva de crecimiento de la grieta por fatiga depende del rango de.

Kmax Kmin K = Kmax- Kmin R = Kmin/Kmax

log( K) - log( )región I

Kth

K < Kth región II log( K) - log( )región III Kmax

Kc

R

�

�

�

� � �

da/dNda/dN

da/dN

m a x

m in

m inm a x

m inm a x

2

K

KR

KKK

KKK

m

�

87

Log� �K)

dadN

Log

�K �Kth C

RegiónI

RegiónII

RegiónIII

Figura No. 2.6.27 Forma típica del rango de lacurva del crecimiento de una grieta por fatiga.

Existen una gran número de modelos mateméticos para la predicción dela propagación de las grietas por fatiga, estos modelos llevan relacionesbasadas en correlaciones de datos experimentales. Estos relacionan

con variables semejantes como la carga externa, la longitud de lagrieta , la configuración geométrica y las propiedades del material.

Se comentaran dos de estos modelos pero solo se utilizará el masfrecuentemente usado, el de . Uno de los masresientes modelos matemáticos en la propagación de las grietas porfatiga fue propuesto por Head. El consideró una placa de dimensionesinfinitas con una grieta central de longitud , sujeta a un esfuerzo

senoidal aplicado . Modelando los elementos del material enfrente dela punta de la grieta como rigido-plásticos y endurecidos en barrassometidas a tensión y el resto del material fue considerado como barraelástica, Head encontró la siguiente relación.

Donde es una constante que depende de las propiedades mecánicasdel material las cuales han sido determinadas experimentalmente. Laecuación anterior puede ser rescrita en términos del factor de intensidadde esfuerzos como:

Como ya se mencionó el modelo mas usado es el propuesto pory es usualmente referido en la literatura como “ ”

la cual tiene la siguiente forma:

Donde , con y referidas al máximo y mínimo valor del factor de intensidad de esfuerzos en elciclo de carga. La constante y son determinadas empíricamente de una gráfica . El valor de esusualmente , resultando en la llamada “ ”, mientras que el coeficiente es tomado como una constante delmaterial. La ecuación representa una relación lineal entre y y es usado para describir elcomportamiento de la grieta sometida a fatiga dentro de la , como se muestra en la figura No. 2.6.27. Los datos dela propagación de la grieta en fatiga son también predecidos con la ecuación (59), para configuraciones geométricas ycondiciones de carga especificas. El efecto del esfuerzo medio, la carga y geometría del espécimen son calculados en laconstante . No obstante aún con estos inconvenientes de la ecuación (59), esta ha sido ampliamente usada para predecirla vida de la propagación de las grietas sometidas a fatiga para piezas ingenieriles.

da/dN

da/dN

da/dN

Paris and Edogan

2a

±

C

Paris yEdogan la ley de Paris

K = K - K K K

C m log( K) - log( ) m4 ley del 4° poder C

(59) log( K) log( )región II

C

1

max min max min�

�

�

)57.........(2/33

1 aCdN

da

)58..(..........3

ICKdN

da

)59..(..........m

KCdN

da�

88

2.7 DETERMINACIÓN DE LA GEOMETRÍA DE LA CUCHILLA.

Teniendo como base las fórmulas antes determinadas o descritas en los capítulos anteriores, determinaremos lasfuerzas y la mejor geometría de la cuchilla para el molino 2650, el cual se muestra una vista de corte en la figura No. 2.7.1,como dato adicional a los que se muestran en dicha vista de corte, el molino es movido por un motor de 30hp NEMA de 4polos y esta conectado a un sistema de poleas donde la polea motriz tiene un diámetro de paso de 7.4in (187.96 mm) y unapolea rotor con diámetro de paso de 14.96in ( 380 mm). Las dimensiones de la cámara de molienda necesarias para loscálculos se muestran en la figura No.2.7.1.

Fig. No. 2.7.1 Cortecámara de molienda 2650,con una ampliación deltriangulo de corte.

n

n

Ac=0° a 35°

�

j=142°

x

m=24,76°

t/sen �

Y

Rc=375

89

24.282

224.27

74.272

19076.24142

24.272

09076.24142

.

9.......2

90cos22

8.........2

90

7.........tan2

)/(

22

2

�

�

�

�

�

��

Empecemos

ecAc

mjsenAcRcRct

ecAc

mj

ecsent

FT

Se deben encontrar las fuerzas tangencial y radial, para encontrar la fuerza resultante de corte, para lo cual serequiere encontrar primero la relación es decir la longitud máxima de corte, como se muestra en la figura No. 2.7.1para lo cual aplicaremos la y ( variando el valor de desde hasta en valores de en , lo que darácomo resultado 30 diferentes resultados de , pero de acuerdo al torque del motor podremos ver el valor máximo quesoportaría este antes de frenarse, de esta forma podremos saber cual es el espesor máximo de material contante que puedecortar este molino dependiendo de la resistencia del material termoplástico en cuestión. También se debe considerar que estemolino es para granular PET, y las botellas tienen un espesor de pared aproximado de 0.24mm así que si en cada corteagarra máximo 10 botellas el espesor a cortar es de 4.8mm, así que este será el valor máximo de corte para todos loscálculos.

t/senecuación (8) 9) Ac 0° 30° 1° 1°

F

�

T

Ac en ° Valor de �� Ac en ° Valor de �� Ac en ° Valor de �� Ac en ° Valor de ��

0 27.24 10 32.24 20 37.24 30 54.47989611 27.74 11 32.74 21 37.742 28.24 12 33.24 22 38.243 28.74 13 33.74 23 38.744 29.24 14 34.24 24 39.245 29.74 15 34.74 25 39.746 30.24 16 35.24 26 40.247 30.74 17 35.74 27 40.748 31.24 18 36.24 28 41.249 31.74 19 36.74 29 41.74

Tabla 2.7.1, valores de obtenidos con la ecuación (8)�

90

Ahora calculamos “ ”, con la ecuación (9), de la cual salen los valores mostrados en la tabla 2.7.2, donde podemos observarque con un ángulo de “ ” de 5° el espesor máximo “ ” es de 4.26mm, ahora usando la ecuación (7) podemos calcular lafuerza tangencial, dependiendo de las propiedades mecánicas del material termoplástico a moler es decir la resistencia alcorte “ ”.

En la tabla siguiente se muestra la resistencia al corte “ ”de algunos materiales termoplásticos.

tAc t

�

�

Ac en ° t en mm Ac en ° t en m Ac en ° t en m Ac en ° t en m0 0 10 11.623676 20 26.2710179 30 52.66403121 1.015463421 11 12.9590089 21 27.88564682 2.064470968 12 14.3242477 22 29.52563493 3.146703103 13 15.7189767 23 31.19048274 4.261830169 14 17.1427711 24 32.8796835 5.409512487 15 18.595197 25 34.59272126 6.589400461 16 20.075812 26 36.32907577 7.801134686 17 21.5841653 27 38.08821748 9.044346057 18 23.1197972 28 39.86961059 10.31865588 19 24.6822401 29 41.6727123

Tabla 2.7.2, valores del espesor “t” tomando como base la ecuación (9)

3° Angulo de asiento22.93

596Figura No. 2.7.2, rotor del molino 2650, donde el ángulo se asiento de la cuchilla “ ” es de 3°, el peso del rotor

con cuchillas, tornillos y polea es de 114Kg y un momento polar de inercia J=6.716 kg.m^2.�

Tabla 2.7.3 Valores del esfuerzo cortante en base a la teoría del esfuerzo cortante máximo donde =0.5� y

91

Material Resistencia al corte "�" Kpsi "�" en MPaABS 2.5 17.23675

acetal homopolímero 5 34.4735acetal copolimero 4.25 29.302475

Metacrilato 3.75 25.855125HTN 16 110.3152

Ionomero 1.6 11.03152LCP 11.5 79.28905Nylon 9 62.0523PET 11 75.8417PVC 3 20.6841PE 1.87 12.893089

Para calcular “ ” como se muestra en la ecuación (7), requerimos el esfuerzo último al corte del material, que para efecto deestos cálculos se tomó como base el PET de la tabla No. 2.7.3, así como el ángulo de asiento “ ”, el cual según el diseño delrotor 2650 es de 3°, como se muestra en la figura 6.7.2, con estos datos se puede calcular la fuerza tangencial cuyosresultados se muestran en la tabla No. 6.7.4

FT

�

Tabla No. 2.7.4, datos de la fuerza tangencial necesaria para cortar láminas de “PET”, según su espesor.

Aplicando la ecuación (2), podemos calcular cuál es la fuerza máxima tangencial que puede aplicar el rotor al impacto, con unmotor de 30hp. Tomando como valor de desaceleración angular debido al impacto del rotor, de 3769.9107 (rad/seg^2) a untiempo t= 0.1seg., Lo anterior debido a pruebas físicas tomadas en campo en un molino de alta producción cuyo material amoler era PET en presentación de botella post-consumo.

Nm

seg

radNmmN

R

JTF

c

rotorrotor 9072.200608

125.0

91.3769716.6.6047.2422

2

tan_

Ac en ° J en ° Rc en m m en ° ��rad t en m ��en N/m^2 ��en rad FT en N0 142 0.125 24.76 0.475427688 0 48000000 0.052359878 02 142 0.125 24.76 0.492880981 0.00206447 48000000 0.052359878 8717.784684 142 0.125 24.76 0.510334273 0.00426183 48000000 0.052359878 34860.517446 142 0.125 24.76 0.527787566 0.0065894 48000000 0.052359878 78396.347398 142 0.125 24.76 0.545240858 0.00904435 48000000 0.052359878 139272.232810 142 0.125 24.76 0.562694151 0.01162368 48000000 0.052359878 217414.005912 142 0.125 24.76 0.580147443 0.01432425 48000000 0.052359878 312726.462814 142 0.125 24.76 0.597600736 0.01714277 48000000 0.052359878 425093.4816 142 0.125 24.76 0.615054028 0.02007581 48000000 0.052359878 554378.155718 142 0.125 24.76 0.632507321 0.0231198 48000000 0.052359878 700422.976420 142 0.125 24.76 0.649960613 0.02627102 48000000 0.052359878 863050.008922 142 0.125 24.76 0.667413906 0.02952563 48000000 0.052359878 1042061.11724 142 0.125 24.76 0.684867198 0.03287968 48000000 0.052359878 1237238.20426 142 0.125 24.76 0.702320491 0.03632908 48000000 0.052359878 1448343.47628 142 0.125 24.76 0.719773784 0.03986961 48000000 0.052359878 1675119.73430 142 0.125 24.76 0.737227076 0.04349697 48000000 0.052359878 1917290.68632 142 0.125 24.76 0.754680369 0.04720675 48000000 0.052359878 2174561.28434 142 0.125 24.76 0.772133661 0.05099441 48000000 0.052359878 2446618.08336 142 0.125 24.76 0.789586954 0.05485534 48000000 0.052359878 2733129.62438 142 0.125 24.76 0.807040246 0.05878485 48000000 0.052359878 3033746.83840 142 0.125 24.76 0.824493539 0.06277814 48000000 0.052359878 3348103.46742 142 0.125 24.76 0.841946831 0.06683035 48000000 0.052359878 3675816.51844 142 0.125 24.76 0.859400124 0.07093654 48000000 0.052359878 4016486.72146 142 0.125 24.76 0.876853416 0.07509171 48000000 0.052359878 4369699.02448 142 0.125 24.76 0.894306709 0.07929079 48000000 0.052359878 4735023.09150 142 0.125 24.76 0.911760001 0.08352867 48000000 0.052359878 5112013.83152 142 0.125 24.76 0.929213294 0.08780019 48000000 0.052359878 5500211.93954 142 0.125 24.76 0.946666586 0.09210014 48000000 0.052359878 5899144.45556 142 0.125 24.76 0.964119879 0.09642329 48000000 0.052359878 6308325.34158 142 0.125 24.76 0.981573171 0.10076436 48000000 0.052359878 6727256.075

92

Con el valor teórico determinado para la fuerza máxima tangencial del rotor al impacto y haciendo el comparativo y lasinterpolaciones correspondientes en la tabla 2.7.4, podemos deducir que el espesor máximo en “PET”constante, que puedecortar este rotor es aproximadamente 10 mm, (sin considerar las pérdidas mecánicas, en las transmisiones y por el arrastre delmaterial ya molido. También la inercia que tiene el sistema permite cortar espesores mayores instantáneos, es decir siarrojamos todo el tiempo placas mas gruesas que la mencionada anteriormente a la camara de molienda, este seguramente sedetendría, pero si no es de manera constante el molino podrá cortarlas sin problema. También se comentó que el máximo debotellas que la geometría puede cortar son 10, que por dos espesores del cilindro da un total de 20 láminas deaproximadamente 0.024mm de espesor, lo que suma un total de 4.8mm así que tomaremos el valor de de la tabla 2.7.4para los cálculos, lo que da una fuerza tangencial de ). Ahora con la ecuación (11) podemos determinar lafuerza normal o radial sobre la cuchilla.

Después con la ecuación (5) y (6), se puede determinar la fuerza resultante de corte “FRT”, donde “ ”es el ángulo de asiento

4.2mmF 34860.5174 NT

�

NFFFRC

Nm

seg

RadNmNm

r

ITF

TR

Kc

R

3017.5024253cos5174.348607738.401217cos

7738.4012175.0125.0

91.3769716.66047.242

2222

2

2

�

FR

FT21.81°FRC

FR

FT

FRC

156.31°

167.1

7°

21.81°

Figura No. 2.7.3, muestra gráficamente las fuerzas representadas con los vectores y , al inicio del corte y a la salida delcorte, como se pude observar la fuerza resultante es la misma pero la posición de la cuchilla cambia, esto hace que varíe elesfuerzo en la cuchilla ya que la sección resistente cambia.

F FR T

93

Como se comentó anteriormente, para facilitar el cálculo por resistencia se cambian las fuerzas del plano “XYZ” al planoequivalente “x’y’z’, como se muestra en la figura 2.7.4. Donde las fuerzas del plano original están mostradas de color grisclaro.

Izquierda, Fig. 2.7.4, plano original “XYZ” y elplano equivalente “x’y’z’. Abajo derecha,

FR

FT

FRC

X

Y

x'

y'

z'

23.6858°1.8756°

NsensenFFz

NNsenFRCF

NNFRCF

T

eequivalentT

eequivalentR

4585.182435174.34860

24.201824)4017.0(91.540053)6858.23(

36.494527)9157.0(91.540053)6858.23(cos

)(

)(

�

De forma gráfica obtenemos la diferencia de ángulos entre el plano original “ ” y el plano equivalente ( ), dondepodemos observar en la figura No. 2.7.4, que la diferencia entre las fuerzas radiales “ “ es de 1.8756° por tantoequivalente es:

X,Y,Z x’,y’,z’F FR R

Continuando con el orden establecido, en los capítulos anteriores se calculará el esfuerzo tridimensional en un puntocualquiera de la cuchilla para poder evaluar las geometrías de estas. Para lograr lo anterior usaremos la ecuación No.(12) lacual es la ecuación de esfuerzos principales para un elemento tridimensional. Junto con los invariantes tensoriales.

222

0

222

1

2

01

2

2

3

2

:

)12(..........0

xyzzxyyzxzxyzxyzyx

xzzyyxzxyzxy

zyx

C

C

C

donde

CCC

� � � ���

���

94

Se empezará calculando los esfuerzos cortantes por flexión y torsión como se muestran en la figura No. 2.3.7, para locual se utilizará las ecuaciones número (29), (31) y (34), como se vuelven a mostrar a continuación:

Donde los valores de y , dependen de la posición del punto en cuestión a analizar así comolos momentos de inercia , estos pueden ser tomados del apéndice A, según la geometría de cuchilla a analizar. El signo ±depende del sentido que se aplicala carga así como de la posición del punto con respecto a la carga, se tomará la regla de lamano derecha para definir el signo. Después se calcularán los esfuerzos principales, utilizando las ecuaciones (23), (26) y(27), como se vuelven a mostrar a continuación:

A’, A’ , A’ , A’ , y, y , y y1 2 3 1 2 3

I

)34(..........8.13~'

)31....(..........~'~'

)29..(..........8.13~'

1

2

1

33

1

11

11

22

22

2

L

b

Lb

TyA

Ib

FR

yAbI

FRyA

bI

FR

L

a

aL

TyA

Ib

FR

yzy

yz

zxzx

xyy

xy

�

�

�

)27......(..................................................0

)26...(....................

)23..(..........

y

z

z

z

zz

x

xx

z

z

zz

y

yyx

x

A

FR

I

cM

I

cM

I

cM

I

cM

A

FR

Donde y , son los momentos flectores dependiendo del plano en que actúan y , y , son lasdistancias del punto a analizar al eje neutro. Los signos ± son dependiendo de la posición de los puntos en análisis, conrespecto a la carga y al eje neutro.

My, Mx Mz c c cy z x

Los resultados de estas ecuaciones junto con los valores de las distintas incógnitas se presentan mas adelante en latabla 6.7.5, y la geometría de la cuchilla junto con los puntos a analizar se muestran en la figura No. 2.7.5.

95

Figura No. 2.7.5, puntos de análisis en cuchilla rotor, doble filo.

100

125

125

100

250

37

72

2x

16,67PASADO

af,gd,e

c

b

h,i

j

l

k

m on

r,sp,q

t,u

acot: mmesc: sin

B B'

D D'

F F'Corte A-A'

Corte B-B'

Corte C-C'

A A'

C

C'

Corte D-D'

f

g

d

e h

ilk

j

Corte E-E'

Corte F-F'

Corte G-G'

R

Sp

q t

u

E E'G G'

cba

mn

o

10

5

70°

96

Tabla 6.7.5 valores de los esfuerzos principales y cortantes que se muestran se ilustra en la figura No. 2.3.7.

97

FT

FR

Fibra neutra

a

cb

d

e g

f

Y

X

FCmax

X

Mmax

X

Rx

RM

ab c

d,e

f,g

36.00

1.82

3.64

23.48

10.00

5.00

Ry

Fig. 2.7.6, se muestran las fuerzas sobre la cuchilla yaen el pano equivalente. Así como las distancias para elcalculo del momento flexionante sobre el plano.Acotación: mm, escala: sin.

X’-Y’

PUNTOS �xy(Pa) �zx(Pa) �yz(Pa) x(Pa) z(Pa) y(Pa)

a infinito infinito infinito infinito infinito 0.0000E+00

b 2.9228E+07 0.0000E+00 1.3320E+06 -5.8814E+08 -1.8214E+06 0.0000E+00

c 1.9724E+07 0.0000E+00 3.0401E+06 -3.1348E+09 -1.8214E+06 0.0000E+00

d 1.9724E+07 1.1054E+08 3.0401E+06 -3.2984E+09 -1.0585E+07 0.0000E+00

e 1.9724E+07 1.1054E+08 3.0401E+06 -6.8745E+06 -1.0585E+07 0.0000E+00

f 1.9724E+07 3.7028E+07 3.0401E+06 -1.9263E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

g 1.9724E+07 3.7028E+07 3.0401E+06 4.0844E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

h 1.9724E+07 1.6002E+08 3.0401E+06 -1.9263E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

i 1.9724E+07 1.6002E+08 3.0401E+06 4.0844E+09 -1.1454E+07 0.0000E+00

j infinito infinito 4.8337E+06 infinito infinito 0.0000E+00

k 1.9724E+07 0.0000E+00 3.7195E+06 -1.4958E+10 0.0000E+00 0.0000E+00

l 1.9724E+07 0.0000E+00 3.0401E+06 -1.2698E+10 0.0000E+00 0.0000E+00

m infinito infinito 4.8337E+06 infinito infinito 0.0000E+00

n 2.9228E+07 0.0000E+00 3.7195E+06 -5.2614E+08 -1.6294E+06 0.0000E+00

o 1.9724E+07 0.0000E+00 3.0401E+06 9.0744E+08 -1.8214E+06 0.0000E+00

p 1.9724E+07 1.1054E+08 3.0401E+06 -3.2984E+09 -9.7026E+06 0.0000E+00

q 1.9724E+07 1.1054E+08 3.0401E+06 -6.8745E+06 -9.7026E+06 0.0000E+00

r 1.9724E+07 2.9092E+07 3.0401E+06 -1.9263E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

s 1.9724E+07 2.9092E+07 3.0401E+06 4.0844E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

t 1.9724E+07 2.0367E+08 3.0401E+06 -1.9263E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

u 1.9724E+07 2.0367E+08 3.0401E+06 4.0844E+09 0.0000E+00 0.0000E+00

98

Con los valores mostrados en la tabla anterior se calculan los coeficientes y , que son los invariantestensoriales, los cuales se muestran a continuación en la tabla No. 6.7.6.

C , C C0 1 2

Con el método de iteración de Newton se resuelve la ecuación (12). Este método numérico es para encontrar lasraíces de ecuaciones no lineales donde la forma general de este método es la siguiente:

)60.....(..........'

)(1

n

nnn

Xf

XfXX

Adaptando la formula anterior a la ecuación (12) tenemos que:

)61.(..........23 12

2

01

2

2

3

01CC

CCC

PUNTOS C0 C1 C2

a infinito infinirto infinito

b 5.0401E+23 -2.1516E+14 -589964748.5

c 1.22028E+24 -5.31134E+15 -3136585052

d 1.30062E+24 -2.22954E+16 -3309012862

e 2.00497E+22 1.25451E+16 -17459330.79

f 7.53875E+23 1.76934E+15 -1926328061

g -1.5846E+24 1.76934E+15 4084422779

h 7.68625E+23 2.6004E+16 -1926328061

i -1.56539E+24 7.27884E+16 4072968428

j infinito infinito infinito

k 5.81956E+24 4.02883E+14 -14958470836

l 4.94005E+24 3.9829E+14 -12697784996

m infinito infinito infinito

n 4.5088E+23 1.08441E+13 -527774217.8

o -3.52331E+23 2.0511E+15 905623273.1

p 1.30028E+24 -1.93854E+16 -3308130618

q 1.97064E+22 1.25511E+16 -16577086

r 7.52923E+23 1.24462E+15 -1926328061

s -1.58555E+24 1.24462E+15 4084422779

t 7.7386E+23 4.18792E+16 -1926328061

u -1.56461E+24 4.18792E+16 4084422779

Resolviendo el sistema anterior se encontraron los siguientes valores para , en los diferentes puntos de la cuchillamostrada en la figura No. 2.7.5. Y 2.7.6. los cuales se muestran en la tabla No.6.7.7. Como se puede observar los valores enel filo de la cuchilla no se pueden evaluar con esta consideración, ya que el filo teórico se considera un punto y por tantocarece de área, por tanto los valores de la ecuaciones usadas tienden a infinito. Así que el esfuerzo en el filo se evaluará conlas ecuaciones de esfuerzos de contacto.

Tabla No. 6.7.7. Valores del esfuerzo tridimensional , en los puntos seleccionados en la cuchilla mostrada en la figura No.2.7.5.

Para evaluar los esfuerzos en la punta de la cuchilla utilizaremos las ecuaciones (35), (36) (37),(38) y (42), las cualesse repiten a continuación:

)38..(....................1

)37..(....................4

)36........(....................2

)35..(..........1

0

2

0

N

Q

a

c

E

NRa

a

Np

a

xpp x

99

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 28376565.96 9

c 18841706.010 7

d 16705842.390 6

e -1594995.317 3

f 20139788.970 9

g 19527539.300 8

h -14371654.490 6

i 12620745.860 6

j INFINITO INFINITO

k 19724763.360 9

l 19724664.900 8

m INFINITO INFINITO

n 28480161.470 9

o 18809456.770 9

p 17073432.480 7

q -1567156.036 3

r 19990705.090 8

s 19597571.280 7

t -11950286.500 5

u 15126651.980 6

Para resolver las ecuaciones la presión normal en la punta de la cuchilla se considera que la fuerza normal= =494560.95N y la fuerza tangencial = =216950.90N, el radio de la punta lo consideraremos igual a 0.1mm =

0.0001m, el coeficiente de rozamiento dinámico =0.5 y el módulo de elasticidad del acero =206.8 Gpa.

PoN F Q F R

E

R T

k

2c

R=0.0001m

Q=FT=34860.5174N

N=FR=401217.7738N

2a

X

Z

PUNTA DELFILO

LÁMINA DEPET

PaPN

Q

m

N

m

m

m

N

a

xPP

mN

Nma

N

Qxc

m

N

N

N

a

NP

mGPaEx

mN

E

NRa

x

k

6.29587289916251394565.07738.4012175.0

5174.34860114114

9.677521588000015717.0

000014286.0116251394561

000014286.07738.4012175.0

5174.348601000015717.01

1625139456000015717.0

7738.40151722

000015717.09108.206

0001.07738.40121744

0

22

0

0

)42........(..........1140 N

Q

P

2.7.7. Diagrama de cuerpo libre de lasfuerzas de contacto en la punta del filo dela cuchilla.

Ahora este valor del esfuerzo de contacto debe sumarse al esfuerzo global.

100

Se analizarán ahora dos configuraciones de cuchillas, donde el filo pasa por el eje neutro o muy próximo al eje neutro, comose muestra en la figura No. 2.7.8 y 2.7.9, donde el ángulo de entrada de la cuchilla con respecto a la horizontal es el mismoque el ángulo de la con respecto al mismo eje, como se muestra en la fig. No. 2.7.7, esto con el fin de encontrar la mejorgeometría para la cuchilla del molino 2650. Las fuerzas ya fueron determinadas para este molino en el ejemplo anterior, sinembargo, al cambiar la geometría del rotor, el momento de inercia de masa también cambia, así que hay que recalcular lasfuerzas que intervienen en el proceso de corte, después se analizarán los esfuerzos en los mismos puntos que en la cuchillaanterior, con el fin de poder tener un comparativo y evaluar la mejor geometría para esta cámara de molienda en particular.En la figura 6.7.7, se muestra la cámara de molienda 2650 con un rotor tipo FA, el cual tiene un momento de inercia de masa6.546 Kg.m² .

FRC

FR FT

FRC38°

38°

Fig. No. 2.7.7, corte de cámara de molienda 2650 con rotor 2650FA, donde se muestran las componentes de las fuerzas decorte.

Fig. No. 2.7.8, cuchilla 2650 filos simétricos, acotación: mm

200±0,124 24

248±0,2

35

35

2x 19,05+0,05+0,02

PASADO A

AA-A ( 1 : 1 )

70

80°

80°

7,15

7,15

32

32

32

3232 32

R2 R2

12

6

Eje Neutro

101

Fig. No. 2.7.9, cuchilla 2650 filo alternativo, acotación: mm.

A

A A-A ( 1 : 1 )

24 200±0,1 24

248±0,2

70±0,2

17±0,1

19,05+0,05+0,02

PASADO

65°

67,2 70

47,61

6±0,05

15°

12

R2

R2

32

32

125

32

32

5,79

Eje neutro

Aplicando las ecuaciones (2), (5) y (6), antes deducidas, encontramos el valor de la fuerza resultante de corte “ ”, ademásya no tenemos que pasar a un plano equivalente, ya que la fuerza resultante de corte “ ” para la posición de entrada de lacuchilla es paralela con el ancho de esta y por tanto, la cuchilla sólo está sometida a compresión, es importante enunciar queeste ángulo de entrada varía como se muestra en la figura No. 2.7.10 así que los esfuerzos en la cuchilla varían conforme lacuchilla gira, pero se puede evaluar esta fuerza para cada posición de corte, generando planos equivalentes para cadaposición que deseemos analizar.

FRCFRC

FR FT

FRC

38°

38°

FR FT

FRC

FT'

FR'

11°

38°

50°

Fig. 2.7.10, izquierda, muestra la entrada del corte en la cámara de molienda 2650, donde la fuerza resultante de corte estáalineada con la cuchilla. A la derecha se muestra la salida del corte de la cuchilla junto con las fuerzas equivalentes en elplano equivalente, yF ’ F ’R T

102

FRC =526251.4427 NF = 195481.8093 NF = 488704.5232 NF ’ = 100413.5091 NF ’ = 516582.7215 N

T

R

T

R

Fig. No. 2.7.11, izquierda, diagrama de fuerzas que actúan sobre la cuchilla a la entrada del corte, como podemos observarsolo actúa a compresión la fuerza “ ”, en el plano . Derecha fuerzas equivalentes que actúan en la cuchilla a la

, sobre el plano equivalente .FRC X-Y salida

del corte X’-Y’

a

FT'

FR'd

e g

f

b

c

35.0

7.223.7

Y'

X'

X

FCmax

X

Mmax

a

b-c

e-f

f-g

12.06.0

Eje neutro

a

FRCd

e g

fc

35.0

7.223.7

Y

X12.06.0

Eje neutro

b

3514.47Nm

2381.37Nm

721.12Nm

103

FR

FT(sen )

M2

d-ea

Fibra neutra

b-c

f-g

250.0

125.0

Ø19.1

Ø19.1

125.0

100.0

R1

R2

0.025FR

-0.1FR

0.1FR

-0.025FR

3.125e-4FR

-4.687e-3FR

7.235.0

100.0

15.5

1.1973e-4FR

0.0154FR

-0.0904FR

9.0678e-4FR

9.5

-0.0904FR

3.125e-4FR

1.1973e-4FR

9.0678e-4FR

X'

Z'

j

k-l

m n-o

v2=FT(sen )

h-i

r-s

t-u

70.0

0.0154FR

Fibra neutra

356.74Nmb-c

a73.51Nm

Fig. No. 2.7.12, diagrama de cortantes y momentos flexionantes en la cuchillasobre el plano .X’-Y’

104

FRy

FRzFibra neutra

250mm

25.0 200 mm 25.0

R2R1

0.025FRy

-0.1FRy

0.1FRy

-0.025FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

-4.687e-3FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

c

b

a

k

m n

fh

Y'

Z'gi

j

l

o rt

su

p

q

d

e

Fig. No.2.7.13, diagrama de cortantes y momentos flexionantes sobre la cuchilla, en el plano .Y’-Z’

105

Tabla No. 2.7.7 valores de los esfuerzosespaciales en los puntos mostrados en la figura2.7.11 a el inicio del corte

En las tablas siguientes se muestran los valores resultantes de los esfuerzos en los distintos puntos mostrados en la figurasNo. 2.7.11, 2.7.12 y 2.7.13, en los tres ejes, tanto para el inicio del corte (tabla 2.7.7) así como para el final del corte (tabla2.7.8). Se debe mencionar que los esfuerzos de flexión al inicio del corte sobre el plano no existen ya que el elementoestá únicamente sometido a compresión.

X-Y

Tabla No. 2.7.8 valores de los esfuerzosespaciales en los puntos mostrados en la figura2.7.11 a la salida del corte.

106

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 120186670.230 6

c 10828151.300 13

d 2081213.220 10

e 217709339.400 9

f 10892419.550 12

g 10930298.900 12

h 11099522.380 12

i 3469739.066 13

j INFINITO 2

k 60386915.320 13

l 415004521.180 7

m INFINITO 2

n 1138512253.750 8

o 120186670.230 10

p 11112378.860 11

q 222946786.720 9

r 10892429.980 11

s 10930298.890 13

t 11099522.370 12

u 11261269.310 13

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 350685357.290 8

c 216415.740 10

d 67041.780 8

e 616888833.160 5

f 4249109.258 16

g 4251900.350 16

h 4252299.330 16

i 2871189.620 16

j INFINITO 2

k 345383514.000 16

l 696365491.000 15

m INFINITO 2

n 350706666.630 7

o 701382674.030 6

p 70019.720 8

q 616888308.000 5

r 4249109.250 14

s 4251900.348 14

t 4252299.332 14

u 4258904.060 15

FRC =7956315.528 NF = 2955459.745 NF = 7388649.362 NF ’ = 1518136.573 NF ’ = 7810135.602 N

T

R

T

R

Fig. No. 2.7.12, izquierda, diagrama de fuerzas que actúan sobre la cuchilla a la entrada del corte, como podemos observarsolo actúa a compresión la fuerza “ ”, en el plano . Derecha fuerzas equivalentes que actúan en la cuchilla a la salidadel corte, sobre el plano equivalente .

FRC X-YX’-Y’

X

FCmax

X

Mmax

a

b

c

d,e

f,g,h,i

Eje neutro

a

FRC

b

c

e

fd

Y

X

Eje neutro

a

FR'

b

c

e

fd

g

Y

XFT'

g

11.530.6

50.253.0

6.05.712.05.7

11.550.253.0

6.0

12.0

80461.24 Nm

62964.71Nm

33994.58Nm

4247.51Nm

Acot: mm

107

Fig. No. 2.7.13 Diagrama de momento flexionante sobre leplano de la cuchilla de la figura No. 2.7.9Z’-X’

FR

FT(sen )

M2

a

Fibra neutra

d,ec

f,g

h,i

r,st,u

53.0

250.0

125.0

Ø19.1

Ø19.1

125.0

100.0

R1

R2

0.025FR

-0.1FR

0.1FR

-0.025FR

3.125e-4FR

-4.687e-3FR

100.0

1.1973e-4FR

0.0154FR

-0.0904FR

9.0678e-4FR

9.5

-0.0904FR

3.125e-4FR

1.1973e-4FR

9.0678e-4FR

X'

Z'

j

k

l

m

p,q

n

53.0

22.42.8

o

41.7

19.9

8.6

10.7

30.3

9.5

b

0.0154FR

108

FRy

FRzFibra neutra

250mm

25.0 200 mm 25.0

R2R1

0.025FRy

-0.1FRy

0.1FRy

-0.025FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

-4.687e-3FRy

3.125e-4FRy1.1973e-4FRy

-9.0678e-4FRy

c

b

a

k

m n

fh

Y'

Z'gi

j

l

o rt

su

p

q

d

e

Figura No. 2.7.14 diagrama de cortantes y momentos flexionantes sobre el plano Y’-Z’, de la cuchilla de la figura No. 2.7.9

109

Tabla No. 2.7.9 valores de los esfuerzosespaciales en los puntos mostrados en la figura2.7.12 a el inicio del corte

Tabla No. 2.7.10 valores de los esfuerzosespaciales en los puntos mostrados en la figura2.7.12 a la salida del corte.

110

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 373396578.830 8

c 125099581.500 7

d 26366245.890 7

e 31383226.230 6

f 163709206.970 7

g 163709221.590 7

h 163709400.820 7

i 108016850.350 7

j INFINITO 2

k 163709442.570 7

l 163709534.260 7

m INFINITO 2

n 373080350.630 8

o 121143422.830 6

p 27908968.480 6

q 32891794.130 6

r 163709206.970 7

s 163709221.590 7

t 16370900.820 7

u 163709467.890 7

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 365170460.150 8

c 33147961.570 8

d 4182822.710 6

e 5035280.170 6

f 64216145.370 8

g 54216606.820 8

h 64216491.570 6

i 3039856.790 6

j INFINITO 2

k 64224438.100 9

l 64237768.310 9

m INFINITO 2

n 365606923.300 7

o 31841439.680 7

p 4437237.030 6

q 5288711.690 6

r 64216145.310 8

s 64216606.820 8

t 64216491.570 8

u 642117008.630 8

De acuerdo a la tabla No. 2.7.11 podemos observar las durezas mínimas alcanzadas después del temple en los diferentestipos de acero que van desde 0.45 a 0.55 % de carbón, la dureza se puede relacionar directamente con la resistencia a latracción como se muestra en la tabla No.2.7.12

Tabla 2.7.11 tabla donde se muestran los requerimientos para el temple de los diferentes aceros entre 0.45 y 0.55 % de carbónasí como la dureza mínima alcanzada. (Tomada de la norma ASTM-A-681-07)

Si se observa el acero tipo , tiene un valor de dureza de 59Rc, según la tabla 2.7.11 tomada de la norma ASTM-A-681-07, si comparamos el valor de dureza de esta tabla con la tabla 2.6.12 se puede ver que a este valor de dureza le correspondeun valor de resistencia a la tracción de 305,000 psi o 2.102914x10e9 Pa, (interpolando entre los valores mostrados), el valordel límete elástico a la compresión en un acero y templados A 59-60 Rc es de 2150 MPa para ambos casossegún la página de internet .Si comparamos estos valores con los obtenidos en las tablas No 2.7.7, 2.7.8, 2.7.9 y 2.7.10 observamos que los valores deesfuerzo son aceptables para el valor de espesor de material plástico a cortar, hasta por casi 2 veces mas, para el valormáximo de esfuerzo que es de 1139 MPa. También se puede observar que en la cuchilla de la figura No.2.7.11 sonrelativamente menores los esfuerzos que en la cuchilla de la figura No. 2.7.12 y 2.7.6. Como se muestra a continuación:

AISI O1

AISI O1 AISI D2www.matweb.com

111

Tabla 2.7.12 tabla comparativa de durezas y la relación que existe con la resistencia a la tracción.

112

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 3.734E+08 8

c 1.251E+08 7

d 2.637E+07 7

e 3.138E+07 6

f 1.637E+08 7

g 1.637E+08 7

h 1.637E+08 7

i 1.080E+08 7

j INFINITO 2

k 1.637E+08 7

l 1.637E+08 7

m INFINITO 2

n 3.731E+08 8

o 1.211E+08 6

p 2.791E+07 6

q 3.289E+07 6

r 1.637E+08 7

s 1.637E+08 7

t 1.637E+07 7

u 1.637E+08 7

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 2.84E+07 9

c 1.88E+07 7

d 1.67E+07 6

e -1.59E+06 3

f 2.01E+07 9

g 1.95E+07 8

h -1.44E+07 6

i 1.26E+07 6

j INFINITO INFINITO

k 1.97E+07 9

l 1.97E+07 8

m INFINITO INFINITO

n 2.85E+07 9

o 1.88E+07 9

p 1.71E+07 7

q -1.57E+06 3

r 2.00E+07 8

s 1.96E+07 7

t -1.20E+07 5

u 1.51E+07 6

PUNTOS (Pa) ITERACIÓN

a INFINITO INFINITO

b 1.202E+08 6

c 1.083E+07 13

d 2.081E+06 10

e 2.177E+08 9

f 1.089E+07 12

g 1.093E+07 12

h 1.110E+07 12

i 3.470E+06 13

j INFINITO 2

k 6.039E+07 13

l 4.150E+08 7

m INFINITO 2

n 1.139E+09 8

o 1.202E+08 10

p 1.111E+07 11

q 2.229E+08 9

r 1.089E+07 11

s 1.093E+07 13

t 1.110E+07 12

u 1.126E+07 13

Copia tabla 6.7.7, correspondiente a lacuchilla de la figura No. 2.7.15

Copia tabla 2.7.7, correspondiente a lacuchilla de la figura No. 2.7.16

Copia tabla 2.7.9, correspondiente a lacuchilla de la figura No. 2.7.17

Las tablas anteriores, muestran sombreada la casilla donde se localiza el menor esfuerzo para el punto similar o comparableen cuestión, entre las diferentes geometrías de cuchilla analizadas. Como podemos observar la geometría que distribuyemejor los esfuerzos es la de la figura No. 2.7.16.

a

b

c

j

k

l

m

n

o

h

d

e

f

gi

t

p

q

r

su

Figura No. 2.7.15, cuchilla doblefilo

a b

c

j k

l

m n

o

h

d

e

f

gi

t

p

q

r

s

u

Figura No. 2.7.16, cuchilla doble filosimétrica.

113

2.8 ANÁLISIS DE LA FATIGA EN LA CUCHILLA

Como ya se comentó en la sección 2.6, para que esta investigación este completa no solo se deben considerar lascargas estáticas, también se deben considerar las cargas alternantes o por fatiga, y como se comentó en la sección 2.6.5, lacuchilla recae en dos modelos diferentes, el modelo de esfuerzo vida ( ) y el modelo de , debido a lasconsideraciones comentadas.

Primero se calcula el régimen donde recae las cuchillas de los molinos de materiales termoplásticos, con ayuda de lossiguientes datos:

1.- Un filo de cuchillas debe durar por lo menos 36 Ton.2.- El molino 2650, que se diseña en paralelo con este trabajo de tesis debe moler entre 200 y 600 kg la hora

dependiendo del tipo de material a moler.3.- Este molino está diseñado para girar 868 rpm.4.- El molino tiene dos cuchillas fijas lo que quiere decir que en cada revolución cada cuchilla corta dos veces.

Ya que el motor gira 868 rpm, quiere decir que en una hora el rotor ha dado 52,080 revoluciones y suponiendo el casomas extremo que la botella este inflada y sea post-consumo de basurero, y que estemos moliendo 200kg, la hora quiere decirque para moler 36 Ton, necesitamos 180 hrs.

Por tanto en 180 hrs, el rotor del molino gira 9,374,400 revoluciones, y ya que cada cuchilla corta dos veces porrevolución, nos da un total de 18,748,800 cortes antes de ser afiladas. Pero si la cuchilla tiene de 10 a 15 filos, el cuerpo de lacuchilla debe servir para 281,232,000 cortes. Por tal motivo la duración de una cuchilla se encuentra en el régimen de altociclaje ( ), tanto para el caso del filo como para la duración de cuerpo. Así que según los datos descritos anteriormente lacuchilla debe ser analizada por el modelo de esfuerzo vida ( ) y la formula para el caso de los aceros es simplemente.

S-N LEFM

HCFS-N

)60.(..........2

U

fatiga

fatigacalculo

114

a

cb

j

l k

m

on

h

d

e

f

gi

t

p

q

r

su

Figura No. 2.7.17. Cuchilla filo alternativo.

a

Figura No. 2.8.1, longitud máxima de grieta .a

De la ecuación (48) se calcula el factor de intensidad de esfuerzos y .K rII

mMPa

mMPaar

m

MNK

m

MNaaK

ys

cp

II

UcII

000041.018002

00068.0289.989

2

7248.45

76.209000068.02

578.1978

2

2

2

2

2

2/3

22

22

115

Ya que el material de los aceros templados se considera frágil homogéneo y el esfuerzo a la fluencia para el acero AISI-O1 esde 1800 MPa y el del acero AISI-D2 es de 1900 MPa, templado a 55 HRc, (según datos tomados de la página de internetsobre materiales www.matweb.com). También se puede tomar como referencia la tabla 2.7.12, donde se observa que acerocon una dureza de 57 HRc, tiene una resistencia última a la tracción de 287,000 psi = 1978.578MPa.

Pero ya que el filo, como se comentó anteriormente en la sección anterior, rebaza por mucho este valor, se creangrietas con gran rapidez y se generan despostillamientos así que evaluaremos únicamente el filo por el modelo de

Primero con la ecuación (51) podemos encontrar el valor de , que es el valor de la longitud media de la grieta, comose muestra en la figura No. 2.8.1.

Por tal motivo ningúnesfuerzo en la cuchilla debe rebasar el valor de 989.289 Mpa templadas a 57 HRc, para asegurarnos de que la vida dela cuchilla se considere infinita.

LEFM.

a

mmmMPa

m

MN

Ka

U

tc 68.000068.0578.1987

4644

2

2

23

2

2

Se calcula el desplazamiento de total de la grieta.

muuu yxT 000003586.00000003586.0000003533.022

Teóricamente, este es el incremento del desplazamiento de la grieta, por ciclo, para un acero AISI-O1, si se somete a lacuchilla a la fuerza necesaria para llevar la punta de la grieta mas alla del esfuerzo último del material bajo cargas alternates.

Por tanto si la grieta máxima que puede soportar una cuchilla antes de despostillarse es de 0.68mm como ya se calculóanteriormente, el número de ciclos que se tardará en crecer esta grieta hasta el punto máximo es de 190 ciclos.

Por tal motivo las cuchillas se despostillan tan rápidamente.

116

En tabla 2.6.2, se encuentran las ecuaciones para el crecimiento de la grieta , .u ux y

000003586.02

02184.1

2

0cos

2

0000041.0

800002

7248.45

2sin21

2cos

22

000003533.02

0cos2184.1

2

0cos

2

000041.0

800002

7248.45

2cos21

2cos

22

223

2

223

2

senm

MPam

MN

rKu

mm

MPam

MN

rKu

pIIy

pIIx

��

�

��

�

Done es el módulo de cortante o módulo de rigidez, y , donde es la relación de Poisson. Si se considera que elmódulo de cortante típico para el acero es 80 Gpa, la relación de Poisson típica para el acero es de 0.29 y si , es igual concero para la punta de la grieta y es la distancia de influencia plástica al rededor de la grieta que se calculó anteriormente.

� � �=3-4

r�

p

3.-DESAROLLO EXPERIMENTAL (MEF).

Para comprobar la geometría de la cuchilla para una mayor duración se usara el análisis de elemento finito, el cual sedará una breve reseña para entender mejor cual fue el método para determinar la geometría de la cuchilla para el molino 2650.

El método del elemento finito es un procedimiento numérico que puede ser aplicado para obtener una gran variedadde soluciones en diversos problemas de ingeniería. Problemas de análisis de esfuerzos fijos, transitorios, lineales o nolineales, transferencia de calor, flujo de fluidos y problemas de electromagnetismo pueden ser analizados con el método deelemento finito. El origen moderno del método de elemento finito puede ser rastreado hasta cerca del año 1900, cuandoalgunos investigadores aproximaron y modelaron la continua elástica usando discretas barras equivalentes. Hasta que,Courant (1943) ha sido acreditado como la primera persona en rama del método de elemento finito, en un papel publicado enla década de 1940, Courant usó piezas insertadas polinomialmente, dentro de subregiones triangulares para investigarproblemas de torsión.

El siguiente paso significativo en el uso del método del elemento finito fue dado por Boeing en 1950, Cando Boein,seguido de otros, usando elementos de esfuerzo triangular para modelar las alas de aeroplanos. Y no fue hasta 1960 cuandoClought hiso popular el termino de “método de elemento finito”, durante los años de 1960, investigadores empezaron a aplicarel método de elemento finito a problemas de otras áreas de la ingeniería como son transferencia de calor y filtración de agua.Zienkiewics y Cheung (1967) escribieron el primer libro enteramente referido al área del “método de elemento finito” en 1967.En 1971, ANSYS fue realizada por primera vez.

ANSYS es un programa de computadora para la comprehención del método de elemento finito, que contiene casi100,000 lineas de código. ANSYS es capaz del perfeccionamiento de análisis estático, dinámico, transferencia de calor, flujode fluidos y electromagnetismo. ANSYS ha sido llamado FEA program (por sus siglas en ingles, Finite element analisis) o enespañol AEF (Análisis de elemento Finito).

3

Los pasos básicos involucrados an cualquier análisis de elemento finito consisten en lo siguiente:

1.- Fase de preproceso

a.- Crear y discretizar la solución dentro del dominio de elementos finitos, esto es subdividir el problema en nodos yelementos.

b.- Asumir una superficie funcional para representar el medio físico de un elemento, esto es, una aproximacióncontinua de funciones es asumida para representar la solución de un elemento.

c.- Formulación de ecuaciones para un elemento.d.- Ensamblar los elementos para representar el problema entero.

.

3.1. RESEÑA HISTÓRICA DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO Y ANSYS.

.2. PASOS BÁSICOS EN EL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO.

Construir la matriz de resistencia global.

2.- Fase de solución.

e.- Resolver el conjunto de ecuaciones simultaneas algebráicas, lineales o no lineales, para obtener resultadosnodales, como puede ser valores de desplazamiento en diferentes nodos o valores de temperatura en diferentes nodos enproblemas de transferencia de calor.

3.- Fase de post proceso.

f.- Obtener otra importante información. En este punto se puede estar interesado en esfuerzos principales o flujos decalor, etc.

117

3.2.1 PRE PROCESO

En las figuras siguientes se muestra la ubicación de las condiciones de frontera para el análisis de la comprobación de lacuchilla de rotor 2650 de doble filo y la discretización de elementos o nodos (mallado), el área marcada con la letra “A”, simulael asiento del rotor, es decir la superficie del rotor donde se coloca la cuchilla y contra la cual hace presión el tornillo sesujeción. Las superficies cilíndricas marcadas con la letra “B”, son los apoyos considerados indeformables debido a que eltornillo del diseño del molino 2650 al cual pertenece esta cuchilla lleva ajuste de perno para suplir al respaldo y así poder tenerfilo en ambos extremos de la cuchilla. La linea sobre el filo de la cuchilla así como la flecha marcada con la letra “C”, es ellugar de aplicación de la fuerza así como el vector de la fuerza aplicada, la cual tiene componentes en los ejes X y Z, Lamagnitud de este vector esta dado por los valores mostrados en la figura No. 2.6.11.

Figura No. 3.2.1 muestra los limites de frontera para el análisis de la cuchilla 2650 de doble filo

En la figura No. 3.2.2 muestra el mallado de la cuchilla del molino 2650 de doble filo la cual fue hecha por el método detetraedros con 2793 nodos y 1302 elementos. El material fue nombrado como AISI-O1 templado a 56-58 HRC el cual debetener una resistencia aproximada de 2.25x10e9 Pa, con un modulo de poisson de 0.29, los demás datos y contantes paratemperatura y electromagnetismo fueron omitidos por no tener relevancia en el tipo de análisis.

118

Figura No. 3.22. muestra el mallado para el análisis de la cuchilla 2650 de doble filo

119

Figura No. 3.2.3 muestra el esfuerzo principal máximo en el análisis de la cuchilla 2650 de doble filo

4.- RESULTADOS

120

PUNTOS (Pa) ANSYS PUNTOS (Pa) ANSYS PUNTOS (Pa) ANSYS

a INFINITO h 11099522.380 o 120186670.230

b 120186670.230 i 3469739.066 p 11112378.860

c 10828151.300 j INFINITO q 222946786.720

d 2081213.220 k 60386915.320 r 10892429.980

e 217709339.400 l 415004521.180 s 10930298.890

f 10892419.550 m INFINITO t 11099522.370

g 10930298.900 n 1138512253.750 u 11261269.310

Tabla No. 4.0.1 muestra los valores de los esfuerzos en los puntos elegidos para el análisis.

Figura No. 3.2.4 muestra el punto exacto del esfuerzo principal máximo a tensión y a compresión..

121

Las imágenes anteriores presentan los resultadosexperimentales en ANSYS, sobre los puntoselegidos para su análisis así como los puntos deesfuerzo máximo a tensión y a compresión,recordando como anteriormente se dijo que elmaterial acero templado se considera frágilhomogéneo y por tanto, se distingue porque tieneel mismo valor de resistencia última para losesfuerzos de compresión y tensión claro queconsiderando el cambio de signo. Se debecomentar que el valor de resistencia última delacero AISI-O1 y AISI-D2 es de 2150MPa, y comoya se calculó anteriormente, el valor de resistenciaa la fatiga para esta cuchilla no debe rebasar989MPa. Ya que el valor máximo que se muestraen el análisis es de 625.21MPa, según la figuraNo. 3.2.4, se puede considerar que la cuchilla esde vida infinita.

a b

c

j k

l

m n

o

h

d

e

f

gi

t

p

q

r

su

Tabla 3.2.1, comparación de resultados entre la tabla 2.7.7 y su equivalente en el programa ANSYS, como se ilustra en lafigura No. 3.2.3 y 3.2.4

122

Como se puede observar en la tabla 3.2.1, los resultados del método elegido para el análisis de esfuerzos resulto sermuy conservador a comparación de los resultados obtenidos por el programa ANSYS, y que es lo mas cercano a la realidad,hasta el momento. De cualquier forma se pudo comprobar que la mejor geometría de cuchilla es la de filo simétrico, como laque se muestra en la figura No. 2.7.11, debido a que el centro del filo coincide con uno de los ejes neutros de la cuchilla lo quepropicia que solo actúe a compresión y no a flexión. Por otro lado la obtención de las fuerzas que se generan en el proceso decorte demuestra que colocando la cuchilla en el mejor ángulo de incidencia propicia que se requiera mucha menos energíapara cortar espesores mas grandes de material. Quedan otras dudas como el ángulo adecuado de la punta de la cuchilla quepropicie mejor el corte en láminas de PET u otros plásticos, así como el ángulo optimo del plano inclinado para propiciar lasmejores condiciones de corte dentro de la cámara de molienda.

El campo para mejorar el reciclaje de plásticos es muy amplio y existen una gran variedad de máquinas que deben seranalizadas para obtener los mejores sistemas de reciclado de plásticos. Que mejor que México para tener los primeros lugaresen reciclaje de plásticos siendo un país con altos rangos de consumo de los productos plásticos. Ojalá existan en el futuro lasinversiones necesarias para el desarrollo y la investigación dentro de este campo de potenciales muy altos y en plenocrecimiento.

5.- CONCLUSIONES.

PUNTOS (Pa) CÁLCULOS (Pa) ANSYS CÁLCULOS/ANSYS

a INFINITO -2.3438000E+08 INFINITO

b 120186670.230 1.9319000E+07 6.2212

c 10828151.300 1.1998000E+07 0.9025

d 2081213.220 2.8122000E+08 0.0074

e 217709339.400 3.0227000E+08 0.7202

f 10892419.550 1.6990000E+08 0.0641

g 10930298.900 1.7048000E+08 0.0641

h 11099522.380 6.5768000E+08 0.0169

i 3469739.066 7.7420000E+08 0.0045

j INFINITO -3.0892000E+08 INFINITO

k 60386915.320 1.6660000E+07 3.6247

l 415004521.180 1.6200000E+07 25.6176

m INFINITO -1.7800000E+08 INFINITO

n 1138512253.750 2.0669000E+07 55.0831

o 120186670.230 2.1199000E+07 5.6694

p 11112378.860 2.8074000E+08 0.0396

q 222946786.720 2.7872000E+08 0.7999

r 10892429.980 5.8778000E+08 0.0185

s 10930298.890 7.4795000E+08 0.0146

t 11099522.370 1.4963000E+08 0.0742

u 11261269.310 2.3483000E+08 0.0480

APÉNDICE “A” Propiedades de áreas planas.

h

b

y

xc

x

y

~

h

b

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x0

B

B

h

b

y

x

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h

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x

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0

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~

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1212

2~

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bhbh

II

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3322

22

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33

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hbIbh

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hbI

hbI

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I

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Ibh

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cbcbbh

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2~

2

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33

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Ibh

I

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hbI

hbI

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ba

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12

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3

12

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2

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32363236212

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3

6236

3

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4

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26266~6612

2266~

2

111

3

1

2

1

2

1

3

33

1

33

1

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2

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2

1

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2

2

32

2

2

2

3

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2

232323

2

1

2

1

32

2

2

2

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2

2

2

3

222222

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2

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Y

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A0A1 A2

A3

vi

Polímero Coeficiente de rosamiento dinámicoCoeficiente de rosamiento dinámico

material desgastado

Poliamida 66 0.25/0.42 0.09

Poliamida 6 0.38/0.45 0.23

Poliamida 610 0.36/0.44 0.32

Poliamida 11 0.32/0.38 0.8

Polietilenteraptalato 0.54 0.5

Acetal homopolimero 0.34 4.5

Acetal copolimero 0.32 8.9

Polipropileno 0.3 11

PE-HD (Alto peso molecular) 0.29 1

PE-HD (Bajo peso molecular) 0.25 4.6

Plitetrafluorotileno 0.22 21

PA 66 + 8% PE-LD 0.19 0.1

Ploliacetal + PTFE 0.21 0.16

PA 66 + 3% MoS2 0.32/0.35 0.7

PA 66 - GF 35 0.32/0.35 0.16

PA 6 - GF 35 0.30/0.35 0.28

Polietireno estandar 0.46 11.5

Stireno / Acrilonitrilo copolimero 0.52 23

Polimetilmetacrilato 0.54 4.8

Polipenileno eter 0.35 90

Tabla No.9.1 Coeficientes de fricción dinámicos de polímeros contra aceros templados después de 5 a 24hrs.Tomado del libroDesign Data for Plastics Engineers de Natti Rao/ Keith O’Brien. Pag.19

vii

Material Resistencia al corte " " Kpsi " " en MPaABS 2.5 17.23675

acetal homopolímero 5 34.4735acetal copolimero 4.25 29.302475

Metacrilato 3.75 25.855125HTN 16 110.3152

Ionomero 1.6 11.03152LCP 11.5 79.28905Nylon 9 62.0523PET 11 75.8417PVC 3 20.6841PE 1.87 12.893089

Tabla No. 9.2 Valores de la resistencia al corte de diferentes materiales termoplásticos. Tomado del libro Design data forplastics engineers de Natti Rao/ Keith O’Brien.

viii

REFERENCIAS DE CONSULTA

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ANSYS Workbench - Simulation Introduction Training Manua

Catálogo de molinos Conair

Catálogo de molinos Herbold

Catálogo de molinos Kumberland.

Catálogo de molinos Pagani

Catálogo de equipos de reciclaje Sorema

Diseño en ingeniería mecánica

Design of machine elements

Design data for plastic engineers

Diseño de máquinas

Elementary engineering fracture mechanics, David Broek

Finite Element Analisis theory and Aplication with ANSYS

Geometría y trigonometría

Introducción a la Ciencia de Materiales

Manual de resistencia de materiales

Manual de métodos de fabricación metal mecánica

Máquinas, Cálculos de taller

Mecánica de materiales

Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica

Metal- machining theory and aplications

Stress concentration factors

Resistencia de materiales

Revista mundo plástico

Revista mundo plástico

Revista mundo plástico

- , año 3 Num. 13 Julio - Agosto 2005.

-. M en C. Arturo A. Martínez Estrella. 2002. Instituto Politécnico Nacional. México.

- . Ing. Sergio MuñosMoreno. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Sevilla España. 2007.

(pagina electrónica de información acerca de materiales y sus propiedades físicas y químicas).

Revista ambiente plástico

Tesis Análisis elactoplástico de grietas, circunferenciales no pasantes en ductos bajo carga axial y momentoflexionante combinadas

Tesis Estimación de vida por fatiga por fretting aplicación a componentes recubiertos

- www.webmat.com

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