Tetractis 31_40

X DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS

Ano III. Boletín nº 31 Depósito legal: C 2766-2006 Febreiro, 2009

PAZO DA ÓPERA A CORUÑA

Sábado, 16 de maio de 2009 De 11:00 a 19:00 horas

Celébrase para conmemorar o nace-mento do matemático catalán Pedro Puig Adam, que naceu en Barcelona o 12 de maio de 1900. Este ano será baixo o lema:

A CIDADE E AS MATEMÁTICAS

A Exposición O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS

no IES Monelos (A Coruña)

Tetractis 31 2 Febreiro, 2009

O termo logaritmo débese ao suízo Jorst Bürgi e o seu significado é numero para o cal-culo. John Napier publicou as primeiras tábo-as de logaritmos para o seno e o coseno dun ángulo con intervalos de 1’ e 7 cifras.

O logaritmo en base a dun numero N e o expoñente ao que hai que elevar un numero a para que de N. x = log a N <=> N = a x

A idea clave que tivo John Napier para publicar as súas táboas de logaritmos foi a seguinte: traballar cos expoñentes das potencias e máis doado. Observouno coa táboa das 30 primeiras potencias de 2.

20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128; 28 = 256; 29 = 512; 210 = 1024; 211 = 2048; 212 = 4096; 213= 8192; 214 = 16384; 215 = 32768; 216 = 65536; 217 = 131072; 218 = 262144; 219 = 524288; 220 = 1048576; 221 = 2097152; 222 = 4194304; 223 = 8388608; 224 = 16777216; 225 = 33554432 226 = 67108864; 227 = 134217728; 228 = 268435456 229 = 536870912

Agora calculamos:

32768 · 16384 = 215 · 214 = 215+14 = 229= 536870912

268435456 : 1048576 = 228 : 220= 228-20 = 28 = 256

5123 = (29)3 = 29·3 = 227 = 134217728

Vese que grazas a traballar cos expoñentes da poten-cia solo tivemos que facer una suma no caso do produto e una diferenza no caso da división. De non traballar cos expoñentes teríamos que pasar un bo anaco operan-do.

De todas as posibles bases, as que se empregan máis a miúdo son: a base 10 (logaritmos decimais, log N) e a base e (logaritmos naturais ou neperianos, lnN)

Os logaritmos, na actualidade, perderon gran parte da súa utilidade no cálculo numérico debido as novas tecnoloxías, pero aínda así son moi prácticos para aplica-cións no medio físico coas escalas logarítmicas.

APLICACIÓN DOS LOGARITMOS

A ESCALA DE RICHTER mide a inten-sidade dos terremotos. Mídese a enerxía liberada nun te-rremoto, mediante a amplitude má-xima das ondas que se rexistran no sismógrafo. Dado que chega a haber diferenzas enormes entre uns e ou-tros casos, defínese a magnitude M do sismo empregan-do logaritmos:

log E = 11,8 + 1,5M onde M e a magnitude do terremoto na escala Rich-ter (de 0-10) e E a enerxía liberada expresada en ergos. TÁBOA DE MAGNITUDES DA ESCALA E UN COMPARATI-

VO DA ENERXÍA LIBERADA

PH DUNHA DISOLUCIÓN O ph é a concentración de ións de hidróxeno nunha

disolución química. O numero de ións da concentración ven dado en potencias de base 10: 10 –1, 10 –2 , ... 10 –14.

O ph é o numero oposto a ese expoñente, é dicir, o oposto do logaritmo.

O ph mide o carácter ácido ou básico dos xabóns, locións, champús, etc. Con ph=7 dise que é unha disolu-ción neutra e adoita recomendarse por non ser agresivo coa pel e o cabelo. Un ph menor de 7 corresponde a unha disolución ácida e se é superior a 7, a unha disolución básica.

ESCALA PARA A MEDICIÓN DA INTENSIDADE DO SON. A presión do son, que chega ata os nosos oídos, míde-

se en pascais. O intervalo de son que pode percibir o ser humano oscila entre 0,00002 e 100 pascais (umbral de dor), é un intervalo tan amplo que resulta poco manexa-ble, polo que se adoita usar unha escala logarítmica ex-presada en decibelios desde 0 a 180 db.

Os logaritmos tamén se empregan para medir as ra-diacións solares, magnitudes aparentes das estrelas…

Alejandro Cangado Fernández, 1º Bach B

LOGARITMOS NA NATUREZA

MAGNIT. RICHTER

EQUIVALENCIA DA ENERXÍA TNT REFERENCIAS

-1,5 1 gramo Rotura dunha rocha nunha mesa de laboratorio 1,0 170 gramos Pequena explosión nun sitio de construcción 1,5 910 gramos 2,0 6 kilogramos 2,5 29 kilogramos 3,0 181 kilogramos 3,5 455 kilogramos Explosión dunha mina 4,0 6 toneladas 4,5 32 toneladas Tornado promedio 5,0 199 toneladas 5,5 500 toneladas Terremoto de Little Skull Mountain, Nevada ,1992 6,0 1.270 T Terremoto de Double Spring Flat, Nevada , 1994 6,5 31.550 T Terremoto de Northridge, California ,1994 7,0 199.000 T Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu, Japón, 1995 7,5 1.000.000 T Terremoto de Landers, California, 1992 8,0 6.270.000 T Terremoto de San Francisco, California, 1906 8,5 31,55 mill. de T Terremoto de Anchorage, Alaska, 1964 9,0 200 millones de T Terremoto de Chile, 1960 10,0 6.300 mill. de T Falla de tipo San Andrés

12,0 1 billón de T Fractura da Terra polo centro Cantidade de enerxía solar recibida diariamente na Terra

34 espirais (marcada una de cada dos)


MATEMÁTICAS EN BOTÁNICA As civilizacións antigas preguntáronse acerca do universo e descubri-ron que todo ten unha finalidade, un proceso de evolución… A natureza, o universo como ensinou Pitágoras, tiña unha explicación nos números.

Todo feito xeométrico corresponde a unha lei aritmética. A natureza parece nalgúns casos seguir o comportamento de relacións matemáticas como a serie de Fibonacci ou o número áureo; é abraiante e por momentos asusta…¿todo segue unha regra numérica?

Φ

O ángulo de ouro (en vermello)

O ángulo de ouro na disposición de pétalos dunha flor.

21 espirais 55 espirais (marcada una de cada cinco)

En case todos os elementos da natureza podemos atopar curiosamente o número áureo (no crecemento das plan-tas, das piñas, na distribución das follas nun tallo…).

O número áureo (sección áurea ou divina proporción) (Ver TETRACTIS nº 29) representado pola la letra gre-ga Φ é un número irracional con moitas propiedades inte-resantes e que foi descuberto na antigüidade, non como unidade, senón como proporción ou relación.

Outro concepto importante é a sucesión de Fibonacci: unha serie de números enteiros, que comezando pola unidade, cada termo é a suma dos seus dous números anteriores. Polo tanto, sería así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Estes números atópanse de maneira significativa na na-tureza.

Esta sucesión está relacionada tamén co número áu-reo, xa que se dividimos un número da serie entre o que lle precede obtemos un número que se aproxima ao nú-mero de ouro, tanto máis canto maior é o número da se-cuencia escollida. En poucas palabras isto quere dicir que o límite dos cocientes de termos da sucesión de Fi-bonacci é Φ. Matematicamente expresarase así:

DISPOSICIÓNS DOS PÉTALOS NAS FLORES: O ÁNGULO DE OURO

Chámase ángulo de ouro ao ángulo máis pequeno resul-tante de dividir unha circunferencia en dous ángulos de modo que o cociente entre os dous sexa Φ. Se calcula-mos o seu valor, este sería aproximadamente 137.51º ou 2.399963 radiáns. O ángulo dourado aparecería nalgu-nhas formacións naturais asociadas a formas circulares; especialmente na disposición dos pétalos de certas flo-res, e particularmente nos xirasoles, nos que as semen-tes alíñanse formando unha espiral de Fermat, baseada na secuencia de Fibonacci.

NÚMERO DE PÉTALOS NAS FLORES

Como observamos nestes exemplos de flores, o nº de pétalos seguen os números da sucesión de Fibonacci.

DISTRIBUCIÓN DAS FOLLAS NUN TALO.

Ao examinar os talos das plantas, podemos ver que, na maioría delas, as follas desenvólvense ao redor do talo formando unha espiral. Se fixamos a nosa atención nu-nha folla da base do talo, asignámoslle o número cero e posteriormente contamos cantas follas hai no talo até situarnos verticalmente sobre a folla cero, en xeral con-seguimos un termo da sucesión de Fibonacci.

Se novamente fixamos a nosa atención no talo, e con-tamos cantas voltas démoslle antes de obter a superposi-ción das follas, novamente obtense un número da suce-sión de Fibonacci (no noso exemplo temos oito follas e damos cinco voltas).

XIRASOLES

Nas fotos pódese observar a aparición dalgúns termos da sucesión de Fibonacci no número de espirais forma-das polas pipas dun xirasol.

Carlota Rey Casal 1º Bach. B


CAIXÓN DOS PROBLEMAS XORNADAS TEMÁTICAS NO OPEN MÁTEMÁTICO

VIDREIRAS MATEMÁTICAS

PROBLEMA 5. VENTÁ RECTANGULAR

Detrás dunha boa reixa sóese escudar sempre unha recia ventá con madeira nobre e vistosos cristais. A no-sa empresa, líder no seu xénero, ofrécella a posibilidade de modernizar as súas vetustas ventás sen apenas obra. Fabricamos o armazón a medida e listo para encastar no seu marco correspondente. Presentámoslles aquí o noso produto estrela, o versátil armazón 3x2, que poderá ins-talar en calquera orientación e, ademais, coa posibilida-de de esmaltar a gusto calquera dos seus vidros.

S e - gundo o número de cristais esmaltados queremos saber, cantos tipos de armazóns 3x2 distintos debe fabricar esta empresa para ser fidedigna coa súa publicidade?

Recorda que, como se poden instalar en calquera orientación, non contan como distintos os casos que so se diferencien nun xiro, unha simetría ou unha rotación. Por exemplo, aquí ves catro formas de representar un

mesmo armazón con tres cristais esmerilados: A. Cantos tipos de armazóns distintos fabrica a em-

presa con cristais esmaltados? B. E, con tres cristais esmaltados?

PROBLEMA 6: VENTÁ CIRCULAR

Para ventás redondas construímos tamén armazóns circulares divididos en oito sectores onde se instalan os cristais, esmaltados ou non, ao gusto do cliente.

C. E, coma antes, agás xiros, simetrías e rotacións,

cantos tipos de armazóns circulares fabrica a em-presa con catro cristais esmaltados?

D. E, con cinco cristais esmaltados?

ENREIXADOS MATEMÁTICOS

PROBLEMA 10: CON CINCO CADRADOS

Para dúas ventás cadrados de dous metros de lado queremos forxar estas dúas reixas. Prescindindo do grosor dos empalmes e das soldaduras, calcula a lonxitu-de dos barrotes de ferro necesaria para cada unha de-las.

PROBLEMA 11: CON CINCO CÍRCULOS Analogamente, a lonxitude dos barrotes de ferro destas dúas reixas destinadas a dúas ventás circulares de dous metros de diámetro.

Colectivo Fronteira

Canguromatemático

Olimpiadamatemática

Charla-coloquio moderada por: PANCHO ALVÁREZ

e os coordinadores dos boletíns de divul-gación matemática:

XOSÉ ENRIQUE PUJALES

SANTIAGO LÓPEZ ARCA

GONZALO TEMPERÁN BECERRA

Ano III. Boletín nº 32 Depósito legal: C 2766-2006 Marzo, 2009

FIGURAS IMPOSIBLES Resulta sorprendente cómo o cerebro se resiste a

asumir a imposibilidade das figuras imposibles.

F igura imposible é todo obxecto que se pode de-buxar, pero na realidade é imposible observalo.

A orixe das figuras imposibles dáse no ano 1934; neste ano o artis-ta Oscar Reutersvard, aburríase na clase de latín, e comezaba a debu-xar nas marxes dos libros. Un día descubriu esta estraña figura.

TRIBAR Este triangulo foi deseña-

do por Roger Penrose en 1956, trátase dun triangulo imposible, formado por tres barras, chamado “tribar”.

A escaleira imposible segue o mesmo patrón.

CUBO IMPOSIBLE

Nesta imaxe observamos que a aresta que une o vértice central superior co central inferior non coincide coa aresta oposta. Esta imaxe xoga co que en 2 dimensións pódese debuxar pero en 3 dimensións sería imposible.

continúa na páxina 4

páxina 2 e 3

DOMUS 13 de abril de 2009 ás 20:00h. Entrada libre.

www.casaciencias.org

Tetractis 32 6 Marzo, 2009

D o grego “ampho” que significa ambos e “gramma” que significa escrito.

Falamos de ambigrama cando unha palabra esta es-crita de tal maneira que contén algunha particularidade gráfica, é dicir, que se pode ler en máis dunha posición.

Hai varios tipos de lecturas para esta palabras, por exemplo a través de xiros de 180º como ocorre coa pa-labra OSO; reflectida nun espello por exemplo AMA ou tamén hai algúns que non teñen simetría pero, aínda así, teñen unha segunda lectura.

As palabras anteriores considéranse ambigramas na-turais, é dicir que non precisan unha grafía especial para que teñan simetría. Aparte dos dous anteriores tamén temos a palabra COCO ou NONI (tipo de froita).

A simetría das letras condiciona moito á hora de ela-borar un ambigrama, hai letras que por si solas xa son ambigramas como por exemplo: X, I, O mentres que a R ou a S non teñen ningún tipo de simetría axial. Tamén condiciona se están en maiúsculas.

En 1975 Douglas Hofstadter licenciado en física e fillo dun premio Novel de física chamou a estas palabras ambigramas ou inversións e foi o primeiro en deseñar un. Nesta palabra soamente hai que facerlle modificacións na M, aínda que a clave esta en que as dúas A non son iguais.

SIMETRÍA E AMBIGRAMAS

Ambigramas de simetría central: Son os que se poden ler tras realizar un xiro de 180º.

Una simetría central, de centro o punto O, é un movemento plano co que a cada punto P do plano corres-póndelle outro punto P’, sendo O o punto medio dos ex-tremos P e P’.

Unha simetría de centro 0 equivale a un xiro de centro 0 e a unha amplitude de 180º.

A m b i - g r a m a s

de simetría vertical: Son os ambigramas que teñen un eixe de simetría

vertical, normalmente no centro da palabra. Tratase dun tipo de simetría axial. Unha simetría

axial de eixe e é unha transformación na que a un punto P do plano correspóndelle outro punto P’ tamén no plano, de maneira que ao dobrar a folla polo eixe eses puntos coinciden.

As simetrías axiais son isometrías porque entre os puntos conservan a súa distancia. A mellor forma para poder apreciar este tipo de sime-tría que colocar a palabra fronte un espello. Este é un exemplo de simetría vertical (Laura Spivak):


Ambigramas de simetría horizontal: Son aqueles que teñen un eixe de simetría horizontal,

normalmente ese eixe pasa polo centro da palabra ou frase.

Ambigramas circulares: Neste tipo de ambigramas o texto lese igual de den-

tro para afora como o revés. A simetría circular é unha transformación. Cando a

forma do obxecto é igual despois de aplicarlle unha transformación, dicimos que o obxecto ten unha sime-tría desta transformación. Polo tanto todo obxecto que cumpra con esta propiedade terá simetría circular.

Ambigramas infinitos: Reciben este nome cando se pode continuar lendo

indefinidamente unha palabra e cando xiramos o papel 180º o palabra pódese ler de novo. AMBI-

GRAMAS ASIMÉTRICOS

Os ambigramas asimétricos son aqueles que cando rotan ou voltean en vez de permanecer invariables dan lugar a novas palabras. Hai varios tipos: Asimétrico a 180º:

Neste caso tras someten a palabra a un xiro de 180º palabra que podemos ler e diferente a anterior

Asimétrico figura e fondo: Tras combinar as cores e tamén a forma das palabras

podemos distinguir dúas palabras diferentes.

(humor – juego) Asimétrico todo e parte:

Neste tipo é toda unha palabra pero dentro dela hai outra palabra.

Ambigrama por translación do patrón: Se hai dous conxuntos de trazos

iguais e simétricos entre si, forman unha translación dun deles nunha pala-bra. Se a primeira palabra a superpo-ñemos sobre a outra lerase unha pala-bra nova.

AMBIGRAMAS NO ENTORNO

A novela Ángeles y Demonios, ten varios ambigra-mas na súa trama, estes foron realizados por Robert Langdon, e ten a súa orixe nos Illuminati unha sociedade secreta. Alí os ambigramas son catro elementos da natu-reza: lume, auga, aire e terra.

Con esta novela divulgouse o coñecemento dos ambi-gramas.

Os ambigramas tamén están relacionados coa publicidade. O deseño publicitario fai uso dos ambigramas.

Por exemplo, se miras unha etiqueta de New maN, aínda que este xirada sempre se vai ler a mar-ca.

Laura Vázquez Uzal 1º Bach.


AUTORES DESTACADOS

ROGER SHEPARD Roger Shepard naceu en California no ano 1929, é un psicólogo descubridor de figuras imposibles, entre elas: este elefante de 8 patas, que se converteu nun clásico. Hai moitas formas de re-presentar esta figura imposible, entre elas:

Este arco tamén é un claro exemplo do que en dúas di-mensións é posible represen-tar pero en tres dimensións non.

ROGER HAYWARD Nesta figura creada por Roger

Hayward podemos observar que cada anel ten sentido por separa-do, pero tal como o mostra a ima-xe(unidos) é imposible.

DIEGO URIBE Estes exemplos de figuras imposibles foron creadas

por Diego Uribe.

O esquema da seguinte imaxe tamén foi creada por Diego Uribe, onde se mostra que hai unha parte vertical que se une con outra horizontal por dúas liñas aparentemente paralelas.

BRUNO ERNST Bruno Ernst creou esta ha-bitación imposible, na que non está claro onde acaba cada unha das paredes.

Outra importante aporta-

ción deste home foi esta figura, que aparece no seu interesante libro titulado “Adventures with impossible figures”.

SANDRO DEL PRETE Xadrez imposible, creado por Sandro del Prete (1975).

ESCHER A “Cascada”, foi creada por Escher. Este debu-xo ofrécenos un exem-plo de movemento per-petuo. Escher inspirou-se, para facer esta fi-gura, nun artigo de R. Penrose, no que fala do seu famoso “tribar”. MÁXIMO ALDA Creador desta anima-ción dunha versión do “tribar” formada con catro barras.

Daniel Cambeiro Sán-

chez 1º Bach.

Ano III. Boletín nº 33 Depósito legal: C 2766-2006 Abril, 2009

MATEMÁTICAS NA OBRA DE DALÍ

RAZÓN ÁUREA

A razón áurea utilizouna en varios aspectos: a sección áu-rea na composición do cadro, que consistía en utilizar rec-tángulos semellantes na que os seus lados están en pro-porción áurea, é dicir, a súa razón é o número áureo. Un exemplo é este cadro

LEDA ATÓMICA, 1949

Figueras, Fundación Gala-Salvador Dalí Uso da proporción áurea no pentágo-no para unha distribución xeométri-ca da obra.

´Mates´ sin fórmulas mágicas Tres institutos de la ciudad publican boletines de di-vulgación científica en los que colaboran profesores y alumnos Xosé Enrique Pujales, del centro Fernando Wirtz, Santiago López, del Otero Pedrayo, y Gonzalo Temperán, del instituto Monelos, se subie-ron ayer al escenario del auditorio de la Domus para contar sus expe-riencias como profesores y como editores de publicaciones de divul-gación científica en los centros en los que trabajan. El concepto cam-bia de un boletín a otro y es que en unos trabajan los alumnos direc-tamente y en otros lo hacen a posteriori. Para el moderador de la mesa redonda, el profesor universitario Francisco Álvarez Fontenla, el problema de que las matemáticas no sean del agrado de todos los alumnos reside en que hay profesores que no utilizan el método co-rrecto para enseñarlas.

La Opinión A Coruña

Na foto da Opinión, os participantes: Santiago López, Gonzalo Temperán, Pancho Álvarez e Quique Pujales.

Na foto de Coque Pazos, o Director de Museos Científicos, An-tón Fraga, presenta o acto.

O PARADOXO DE AQUILES E A TARTARUGA

III FEIRA MATEMÁTICA

* 16 DE MAIO DE 2009

* EXPOSICIÓN

DALÍ E AS

MATEMÁTICAS

O mestre do surrealismo foi un pioneiro en xuntar ciencia e arte e utilizou os conceptos matemáticos na linguaxe artística. As obras de Dalí no aspecto matemático baséanse no uso da proporción áurea: número de ouro, estrela pentagonal, espiral áurea e triángulo áureo, pero tamén, na xeometría proxectiva, hipercubo, fractais, teoría das catástrofes e na topoloxía. Tamén foron importantes nas súas obras a física e química, música e ilusións ópticas.

Natureza morta viva, 1956 (San Petersburgo)

Tetractis 33 10 Abril, 2009

Tamén utiliza a razón áurea en técnicas como a es-trela pentagonal, a espiral áurea ou triángulo áureo.

HIPERCUBO

O hipercubo é un cu-bo unitario (mide 1x1x1) que se estira na dirección perpendicu-lar ás súas caras. Isto é imposible facelo na terceira dimensión

pero dentro da cuarta si é posible. O espazo xerado por este movemento é un hipercubo con catro arestas perpen-diculares.

Crucifixión ou Corpus Hipercubicus en Nova York

FRACTAIS Un fractal é un obxecto que non perde a súa definición formal a medida que é ampliado. Hai dous tipos: os frac-tais xeométricos, que repiten continuamente un patrón idéntico, e os fractais aleatorios. Dalí parece ser o pri-meiro artista que pin-tou un fractal: era a súa visión da guerra. Neste obra os ollos e a boca conteñen unha cara, cuxos ollos e boca conteñen, a súa vez, unha cara cuxos ollos e boca conteñen unha cara.

TOPOLOXÍA A topoloxía estuda as propiedades das figuras xeomé-tricas ou dos espazos que non se ven alterados por transformacións continuas e bixectivas. En topoloxía está permitido dobrar, estirar encoller, retorcer... os obxectos para pasar dun a outro, pero non se permiten transformacións que poidan provocar unha descontinuidade como romper ou separar o que esta unido, nin pegar o que estaba separado. En topolo-xía un triángulo é igual que un cadrado, xa que podemos transformar un nou-tro sen romper nin pegar.

XEOMETRÍA PROXECTIVA Estuda as incidencias de pun-tos e rectas sen ter en conta

as medidas. É dicir cando proxectamos unha figura, o re-sultado non ten porque ser do mes-mo tamaño; incluso a forma pode cam-biar sen conservar-se o paralelismo. Para saber máis: Dalí, arte, ciencia, soño, realidade. Xunta de Galicia

SEMICUNCA XIGANTE VOLANTE As proporcións do cadro son áu-reas e a distribución xeométrica da obra basease en rectángulos áureos e na espiral de Durero.

CRISTO DA CRUZ, 1951 Glasgow, Art Gallery

Uso do triángulo áureo de án-gulos: 32°, 72° e 72°.

A ÚLTIMA CEA, 1955 (Washington) As proporcións do cadro son áureas e a distribución xeométrica da obra baséase en rectángulos áureos e na utilización do dodecedro

que ten doce caras que son pentágonos (apóstolos).

O ROSTRO DE GUERRA, 1940

CONTORSIÓN TOPOLÓXICA DUNHA FIGURA FEMI-NINA CONVERTÉNDOSE EN VIOLONCELLO

MADONNA DE PORT LLIGAT


MATEMÁTICAS E HUMOR En Internet, están aparecendo moitas páxinas que tratan o humor relacionado coas diferentes especialidades do coñecemento humano; no caso das matemáticas, hai chistes que deixan bastante que desexar, pero nos que a maioría das veces é necesario un coñecemento de matemáticas superiores e só son aptos para un reducido grupo que os poida entender, e outro grupo apto para todos os públicos que acostuman a comparar os comportamentos dos diferentes especialistas de ciencias.

D entro deste segundo grupo hainos de case todo tipo de especialidades, cada unha cos seus tópicos, que moita xente (entre eles eu) tampouco coñece, pero que se o paras a pensar están cheos de razón nalgúns casos. Éste é un bo exemplo:

¿Canto son 2+2? Enxeñeiro: 3.999989 Físico: 4.0004 +/- 0.0006 Matemático: Espere, só uns minutos mais, xa probei que a solución existe e é única, agora estouna acotando... Filósofo: Que quere dicir 2+2? Lóxico: Defina mellor 2+2 e respondereille. Contable: Pecha portas e fiestras e pregunta en voz bai-xa "Canto quere que sexa o resultado?"

***** Pregúntanlle a un matemático: - Ti que farías se vises unha casa ardendo e xusto en-fronte unha mangueira sen conectar a unha boca de re-gos? - Conectaríaa, obviamente. - E se a casa non estivese ardendo, pero a mangueira estivese conectada? - Queimaríaa casa, desconectaría a manguei-ra e logo usaría o método anterior.

***** CHISTES CURTOS

-Que é un oso polar? Un oso rectangular, logo dun cambio de coordenadas.

-Que lle dixo un vector a outro: Oes, tes un momento?

-9 de cada 10 matemáticos están de acordo en que 1 de cada 10 matemáticos é un idiota.

-Un matemático é unha máquina que transforma café en teoremas.

-Un estatístico podería meter a súa cabeza nun forno e os seus pés en xeo, e dicir que en promedio atópase ben.

-Que é un neno complexo? Un coa nai real e o pai imaxinario.

-Ábrese o telón e vense tres vectores linear-mente independentes. Como se chama a película? Rango 3. -Ábrese o telón e vense dous sistemas lineares

incompatibles. Como se chama a película? Kramer contra Kramer.

-Deus é real, a menos que sexa declarado enteiro.

- Gústanche os polinomios?, Si, pero só ata certo grao.

-Cando non sei ben quen son, recordo quen era e quen quería ser… e saco o promedio.

- Ábrese o telón e saen os números 1 e 2 chamando a unha porta, como se chama a película? ¿Está tres? (STAR TREK)

- Qué sucede cando n tende a infinito? Que infinito se seca.

- Quen inventou as fraccións? Enrique Oitavo.

- Papá, papá!, fasme o problema de matemáticas? Non fillo, non estaría ben. Pero, inténtao de todas as maneiras.

- Van dous ceros arrastrándose polo deserto a unha temperatura de 60 graos centígrados, cando de repente un deles ve un oito que pasa ao lonxe e lle di ao outro cero sor-prendido: Mira ese tolo, co calor que fai e coa co-rrea apretada!

- Que lle di a curva á súa asíntota? Nin se che ocorra tocarme.

- Cal é o animal que máis matemáticas sabe? A toupa Por qué? Porque extrae raíces…

Tamén son típicos os chistes entre as diferentes es-pecialidades das ciencias, así como os que deixan en mal lugar aos nosos amigos, os “incultos” de letras…

No departamento de psicoloxía da Universidade da Co-ruña inventaron un detector de mentiras, e para probar

a súa eficacia deciden probalo sobre alumnos e profesores, escollendo para iso a un estudante de informática, un de matemáticas e outro de letras.


Ao comezo da proba advírtese aos participantes que soará unha alarma cada vez que digan unha mentira. Em-peza o de informática e di: - Eu penso que piratear programas debería estar prohi-bido pola lei. E a alarma: Piiiip, Piiiiip, Piiiiiip. O de matemáticas di: -Eu penso que as matemáticas son o máis divertido que... Piiiip, piiiip, piiiip, piiiip. E o de letras di: - Eu penso? Piiip, piiiiiip, piiiiiiiiiip.

***** Un físico, un enxeñeiro e un matemático van nun tren por Escocia. Ao observar pola fiestra ven unha ovella negra. "Ajá", di o físico, "vexo que as ovellas escocesas son negras”. "Hmm...", di o enxeñeiro: "Quererás dicir que algunhas ovellas escocesas son negras”. "Non", di o matemático,"Todo o que sabemos é que exis-te polo menos unha ovella en Escocia, e que polo menos un dos seus lados é negro”.

Como saber se cazaches un cervo? - O físico observa o seu tamaño, cor, cheiro e comporta-mento... e como son os propios dun cervo, conclúe afir-mando que cazou un cervo. - O matemático pregúntalle ao físico, co cal reduce o problema ao anterior. - O enxeñeiro foi a cazar cervos, polo tanto cazou un cervo.

***** TEOREMA: Todos os números enteiros son interesantes DEMOSTRACIÓN: Supoñamos que non é así, polo tanto existe como mínimo un número enteiro non interesante. Entón, un pregúntase, cal será ese número? Polo que es-te número é, obviamente interesante, o cal contradí a hipótese de partida de que non é interesante. Por con-tradición, a suposición de que existen números enteiros non interesantes é falsa.

Tamén poderiamos considerar humor as respostas que certos alumnos regálannos nos seus exames de mate-máticas:

Razón non lles falta, pero o seu esforzo por aportar no-vas ideas ás matemáticas non adoita ser recompensado.

Á hora de entender as clases de matemáticas, é interesante saber ou que o profesor realmente quere dicir: DESCRIPCIÓN NON MATEMÁTICA DALGÚNS TERMOS UTILIZADOS

EN MATEMÁTICAS, E O QUE REALMENTE QUEREN DICIR:

Claramente: Non quero pasar por todos os pasos inter-medios.

Trivialmente: Se teño que explicarche por que, equivo-cácheste de clase.

Obviamente: Se estabas durmido cando o expliquei, mala sorte, porque non me apetece repetir a explicación.

Doulles unha pista: A forma máis difícil de facelo.

Podemos asumir que: Hai moitos casos, pero sei como facer este.

Usando o teorema "___": non sei que di, pero sei que se resolve por alí.

O resto é alxebra: Ésta é a parte aburrida; se non me cren, fágano!

Demostración falada: Se a escribo, poden atopar os erros.

Brevemente: Xa está que se acaba a clase, así que escri-birei e falarei rápido (non breve).

Déixoa como exercicio: Estou cansado.

Demostración breve: Ocupa a metade da folla e CATRO veces o tempo en entendela.

Demostración formal: Eu tampouco a entendo.

Facilmente Demostrable: Ata vostedes, cos seus coñe-cementos infinitesimais, poden demostralo sen a miña axuda.

Diego Abalde Herrero 1º Bach B

Ano III. Boletín nº 34 Depósito legal: C 2766-2006 Maio, 2009

EXPOSICIÓN DE COMO APRENDEMOS A CONTAR E

OS APARELLOS EMPREGADOS 4-9 DE MAIO

IES MONELOS

Dende o principio dos tempos a humanida-de xa sentíu a necesidade de contar. A palabra cálculo provén do latín calculus, que significa contar pedras, e é nese intre cando comeza a historia do cálculo, ou das matemáticas.

AÍ VEN O MAIO CON MOITAS ACTIVIDADES QUE NON PODEMOS PERDER

DÍA DA CIENCIA NA RÚA SÁBADO, 9 DE MAIO DE 2009 PARQUE DE STA. MARGARIDA

A CORUÑA

II Certame de Mat-monólogos

12 de maio de 2009 IES Monelos

Visionado do vídeo DE COMO APRENDEMOS A CONTAR E

OS APARELLOS EMPREGADOS

Tetractis 34

MATEMÁTICAS NA CIDADE

TORRE DE VIXIANCIA MARÍTIMA

Cubo e ortoedro

PRISMA DE CRISTAL MUSEO DA CIENCIA

Ortoedro OBELISCO

MILLENIUM Pirámide

triangular

PLAZA ELÍPTICA (OS ROSAIS)

ROSA DOS VENTOS (TORRE)

PRISMAS E PIRÁMIDES

TORRES DE AIREACIÓN URNANIZACÓN “OS OLIVOS”

Intersección de prismas TORRE DE HÉRCULES

Cubos, prismas octogonais

TERRAZAS DE Mª PITA Pirámides GLORIETA DE SOMESO Pirámides ESTACIÓN DE AUTOBUSES Prismas

CÓNICAS

MERCADO DE SAN AGUSTÍN Parábolas

PASARELA ELÍPTICA “A ROSA” (S. CRISTOBAL) FONTE (MÉNDEZ NÚÑEZ) Parábolas

LENTES PARABÓLICAS

E HIPERBÓLICAS

NO TELESCOPIO

FOCO DE SECCIÓN PARABÓLICA

FOCO DE SECCIÓN HIPERBÓLICA

Tetractis 34 15 Maio, 2009

SAN PEDRO (Cúpula semiesférica)

DOMUS: CASA DO HOME Velaria

SECCIÓN PARABÓLICA (SAN AGUSTÍN)

CLOTOIDE (AVDA. ALFONSO MOLINA)

OUTRAS CURVAS

CICLOIDE CATENARIA

ESPIRAIS

HÉLICE (ALFONSO MOLINA)

Hélice inscrita nun cilindro

ESQUEIRA HELICOIDAL (XULGADOS)

CORPOS DE REVOLUCIÓN CUÁDRICAS

Cono e tronco de cono

Paraboloides

Edificio Cristal Cilindro elíptico

Semicilindro (Xulgados)

Esferas

Hiperboloide

Tetractis 34 16 Maio, 2009

UN PASEO MATEMÁTICO POR LONDRES No pasado febreiro, os alumnos de 1º de bacharelato fixeron unha viaxe de estudos a Londres e aproveitaron para visitar lugares con moitas referencias matemáticas.

ROYAL OBSERVATORY GREENWICH WESTMINSTER ABBY

SCIENCE MUSEUM

Monumento a Isaac Newton

Lápida na honra de Lewis Carroll

Botellas de Klein

Dodecaedro-Dodecaedro estrelado

Banda de Moebius Superficies desenvolvidas

Ano IV. Boletín nº 35 Depósito legal: C 2766-2006 Setembro, 2009

RESUMO Século IV. Exipto baixo o Imperio Romano. As violentas revoltas relixiosas nas rúas de Alexandría alcanzan á súa lexendaria Biblioteca. Atrapada tras os seus muros, a brilante astrónoma Hipatia loita por salvar a sabedoría do Mundo An-tigo coa axuda dos seus discípulos. Entre eles, os dous homes que se disputan o seu corazón: Orestes e o xove escravo Davo, que se debate entre o amor que lle profesa en segredo e a liberdade que podería acadar uníndose ao imparable ascenso dos cristiáns.

Agora, o novo traballo de Alejandro Amená-bar estrease o venres 9 de outubro de 2009. A protagonista da película é Hipatia de Alexandría (Rachel Weisz), matemática, xeómetra, astrónoma e directora da Bi-blioteca de Alexandría.

ÁGORA EL JARDÍN DE HIPATIA Olalla García

Espasa Calpe, 2009

Unha novela da historiadora ma-drileña, Olalla García, na que descrebe o ambiente social, re-lixioso e académico de Alexan-dría na época na que Hipatia era a Directora da súa Biblioteca.

Son as matemáticas unha creación hu-mana? Ou o que aparece a traveso de-las é o intricado deseño do universo, que pouco a pouco vamos descubrindo? Desde a antigüidade ata o presente, científicos e filósofos marabilláronse de que unha disciplina tan abstrata puidera explicar de maneira tan perfecta o mundo natural. O astrónomo Mario Livio, autor de La Divina Proporción, ex-plora as ideas matemáticas desde Pitágoras ao século XXI.

¿ES DIOS UN MATEMÁTICO? Mario Livio Editorial Ariel

Vimos na Domus E DESPOIS FOI… A FORMA!

Por que algunhas formas da natureza son máis frecuentes ca outras?. Unha exposición sobre a orixe e o éxito de oito formas frecuentes na naturaza: a esfera, a onda, o ángulo, o hexágono, o fractal, a parábola, a héli-ce e a espiral.

Parábola Fractal Hélice

Tetractis 35 18 Setembro, 2009

PREMIOS EN MATEMÁTICAS

Os premios matemáticos máis importantes son: PREMIO ABEL: é un galardón anual ou-torgado polo Rei de Noruega a un mate-mático destacado. Os gañadores do premio Abel no ano 2008 foron John Griggs Thompson (EUA) e Jacques Tits (Francia).

MEDALLA FIELDS A Medalla Internacional para Descubrimentos So-bresalientes en Matemáticas (Medalla Fields) é unha distinción que concede a Unión Matemática Internacio-nal cada catro anos. Ante a ca-rencia do Premio Nobel de ma-temáticas, instaurouse este premio a os mellores matemáti-cos en tempos anteriores á Se-gunda Guerra Mundial. Concé-dense a un ou máis matemático-se e a súa orixe está no mate-mático John Charles Fields. No anverso ten a cabeza do matemático grego Arquí-medes. No reverso figura unha esfera inscrita nun cilin-dro e a inscripción “congregati ex toto orbe mathemati-ci ob scrita insignia tribuere (os matemáticos de todo o mundo reunieronse para dar esta medalla por escritos excelentes)”.

Un dos últimos matemáti-cos nomeados foi Grigori Perelmán, quen rexeitou o premio.

PREMIO BÔCHER: foi funda-do pola Sociedade Americana de Matemáticas en 1923 en memoria de Maxime Bôcher. Este premio otórgase cada 5 anos. Os últimos gañadores de este premio foron Alberto Bressan, Charles Fefferman e Carlos Kenig.

MEDALLA CANTOR: noméase en honor de Georg Cantor. As becas outórganse na maioría cada dous anos durante as reunións anuais da sociedade. Os galardonados son matemáticos que están asociadas coa lingua alemá. O último gañador foi Hans Grauert.

PREMIO COLE: é un dos dous premios entregados aos matemáticos pola Sociedade Americana de Matemáti-cas, unha para unha notable contribución ao álxebra, e o outro para unha destacada contribución á teoría dos

números. O premio leva o nome de Frank Nelson Cole, que serviu á Sociedade durante 25 anos. O último gaña-dor de este premio foi Janos Kollar.

COMPETICIÓN DE FACTORIZACIÓN RSA: é un desafío proposto polos Laboratorios RSA, para fomentar a in-vestigación na teoría computacional de números e a di-ficultade práctica da factorización de números enteiros grandes. Publicaron unha lista de semiprimos (números que teñen exactamente dous factores primos) coñecida como os números RSA, cun premio en metálico para a factorización con éxito dalgúns deles. O máis pequeno de todos, un número con 100 cifras decimais coñecido como RSA-100 foi factorizado en poucos días, pero a maioría dos números máis grandes aínda non foron fac-torizados e espérase que permanezan así durante bas-tante tempo.

PREMIO DIRAC: O Premio Dirac é o nome de tres promi-nentes premios no campo de física teórica, química computacional, e matemáticas, entregado por diferen-tes organizacións. Os últimos gañadores foron, Joe Pol-chinski, Juan Maldacena, Cumrun Vafa, Bryan Webber e Kenneth Ruud.

PREMIO FERMAT: premia traballos de investigación en ámbitos nos que as contribucións de Pierre de Fermat foron deci-sivos:

* Declaracións de Cálculo de variacións * Fundamentos de Probabili-dade e Xeometría Analítica * Teoría de números.

O último gañador foi Chandras-hekhar Khare e foi premiado con 20 000€. MEDALLA DE MORGAN: é un premio á notable contribu-ción ás matemáticas, outorgado pola Sociedade Mate-mática de Londres (LMS). É o premio máis prestixioso que entrega a Sociedade, que se dá na memoria de Au-gustus De Morgan, quen foi o primeiro Presidente da LMS. A medalla concédese cada tres anos. O único mo-tivo para a concesión da Medalla son os do candidato contribucións ás matemáticas, pero só pode ser conce-dido a un matemático que é normalmente residentes no Reino Unido o 1 de xaneiro do ano correspondente. O ultimo ganador foi Bryan John Birch.

Alfred Nobel non considerou que as Matemáticas foran merecedoras dun premio ao igual ca outras disciplinas, pola contra di-versas sociedades e institucións instauraron diferentes premios en Matemáticas.


MEDALLA EULER: A Medalla Euler, chamada así en honor ao famoso matemático do século XVIII, Leonhard Euler, é unha condecoración que outorga anualmente o Institute of Com-binatorics and its Applications a matemáticos cunha vida distin-guida, dedicada a contribuír na investigación combinatorial. Os últimos gañadores foron Cle-ment Lam e Nick Wormald.

MEDALLA LOBACHEVSKY: é unha medalla outorgada pola Universidade Estatal de Kazán na honra de Nikolai Iva-novich Lobachevsky, quen foi profesor alí. A medalla foi establecida en 1896 e outorgouse por primeira vez en 1897. Converteuse nun premio da Academia rusa das Ciencias en 1951, e regresou á Universidade de Kazan en 1991, entrégase cada cinco anos.

PREMIO CHAUVENET: é a maior distinción para os mate-máticos investigadores que publican artigos científicos. Consiste nun premio de mil dólares máis un certificado, e é outorgado anualmente pola Asociación Matemática de América (MAA) en recoñecemento dalgún artigo destacado no área da matemática. Para ser elixido é requisito ser membro da MAA. O nome do premio é en honor ao profesor estadounidense William Chauvenet (1820-1870) e estableceuse a través dun obsequio pro-porcionado polo matemático Julian Coolidge en 1925. O último gañador foi Andrew Granville.

PREMIO LEROY P. STEELE: concédense cada ano pola Sociedade Americana de Matemáticas, para distinguir o labor de investigación e escritura no campo das mate-máticas. Desde 1993 houbo unha división en tres cate-gorías. Os premios déronse desde 1970, dun legado de Leroy P. Steele, e establecéronse na honra de George David Birkhoff, William Fogg Osgood e William Caspar Graustein. A forma en que a concesión dos premios foi-se cambiado en 1976 e 1993, pero o obxectivo inicial de honrar expositivo escritos así como a investigación, mantívose. O último gañador foi George Lusztig.

PREMIO NEMMERS EN MATEMÁTICAS: é un premio bienal outorgado pola Universidade de Northwestern. Foi ini-cialmente outorgado cun premio similar, o Premio Erwin Plein Nemmers en Economía, como parte dunha dotación de 14 millóns de dólares, dos irmáns Nemmers. Eles querían un premio que fora tan prestixioso como os Pre-mios Nobel. O gañador no ano 2008 foi Simon Donaldson.

PREMIO OSWALD VEBLEN EN XEOMETRÍA: é un premio outorgado pola American Mathematical Society por no-

tables investigacións en xeometría ou topoloxía. Foi fundado en 1961 en memoria de Oswald Veblen, prémia-se cada tres anos e os últimos gañadores foron P. Kron-heimer, Tomasz Mrowka, P. Ozsváth e Zoltán Szabó. PREMIO PÓLYA (SIAM): é un premio en matemáticas, outorgado pola Sociedade de Matemáticas Aplicadas e Industriais. Entregado por vez primeira en 1969, o premio recibe o nome do matemático húngaro George Pólya. Agora é outorgado nos anos pares. Premio Geor-ge Pólya outórgase cada dous anos, alternativamente en dúas categorías: * Para unha notable aplicación da teoría combinatoria. * Unha notable contribución noutra área de interese para George Pólya como a teoría de aproximación, aná-lise complexa, teoría de números, polinomios ortogo-nais, a teoría da probabilidade, ou o descubrimento e a aprendizaxe matemáticas.

PROBLEMAS DEL MILENIO: Os Problemas do milenio son sete problemas matemáticos cuxa resolución sería pre-miada, segundo anunciou o Clay Mathematics Institute no ano 2000, coa suma dun millón de dólares cada un. Ao día de hoxe unicamente un destes problemas foi resolto. Estes sete problemas son: P versus NP, A Con-xectura de Hodge, A hipótese de Riemann, Existencia de Yang-Mills e do salto de masa, As ecuacións de Na-vier-Stokes, A conxectura de Birch e Swinnerton-Dyer e a conxetura de Poincaré, esta resolta polo ruso Gri-gori Perelmán.

PREMIO SALES: fundado pola viúva de Raphaël Salem, concédese cada ano a un xove matemático que fixo unha labor excelente no campo de interese de Salem, principalmente a teoría das series de Fourier.

PREMIO SHAW: creado por Sir Run Run Shaw, un líder na industria dos medios en Hong Kong e desde fai tem-po, filántropo, para honrar ás persoas, independente-mente da súa raza, nacionalidade e crenza relixiosa, que lograron importantes avances nos medios académi-cos e de investigación científica ou aplicación, e cuxo traballo deu lugar a un profundo e positivo impacto na humanidade. É coñecido como o Premio Nobel Oriental. O premio outorgado anualmente é 1 millón de dólares.

MEDALLA SYLVESTER: é unha medalla de bronce que a Royal Society entrega cada tres anos, premiando o es-forzo dunha investigación matemática. O primeiro ga-lardoado foi Henry Poincaré en 1901. A medalla foi bautizada co nome de James Joseph Sylvester na hon-ra do profesor de xeometría da Universidade de Ox-ford en 1880.

José Pombo Lema Bacharelato


Ola chámome Xosé, son un alumno de 3º da E.S.O e son repetidor, pero ollo!, repetidor en monólogos xa que, o ano pa-sado, cando estaba en 2º de ESO participei neste concurso falando “De nomes e outras cousas”; este ano falarei doutras cousas relacionadas coas clases de matemáticas.

Antes de comezar o monólogo vou compartir uns pensamen-tos con todos vós.

A ver, o outro día estaba a facer os deberes de matemáticas e os problemas que tiña no libro parecían todos iguais, o único que cambiaba eran os números, para que digan que as mate-máticas axudan á imaxinación!, ... os que fan os libros non debí-an sacar moi boas notas nesta materia da “imaxinación” porque mirade un exemplo:

“Un pai di: meu fillo ten dez anos, a miña filla ten doce e eu teño o triplo da metade da suma das súas idades máis tres, cantos anos teño eu?.

Pois ... a mellor solución sería preguntarlle ós fillos, pero se non se pode, haberá que mirar o libro de solucións do profesor porque é máis rápido que a liada de escribir todo iso coa X que tan difícil é de entender.

Outro problema moi habitual é o do gandeiro

que ten por exemplo... unha parcela rectangular de largo X e de ancho uufffff.!.. “o dobre entre dous máis un, menos o triplo dun sexto da meta-de da base”, e logo pregunta o problema “canto mide a base? ” Pois ....a solución que nos queda é coller un metro pórse a medir e listo si non queremos ver as X de novo polo medio. Quizais o problema máis famoso que coñezo dende hai moito tempo pois, ano tras ano apare-ce nos libros é:

“Un coche vai de Madrid a Ferrol a 210 Km/h, e outro vai no sentido contrario a 170 Km/h.Sabendo que saen á mes-ma hora. Cando se cruzarán?”.

Ás veces en vez do coche é un tren ou incluso unha moto pero eu pregúntovos ¿algún de vos non coñece este proble-ma?, lembrade o libro de matemáticas e ese debuxiño dunha vila, un coche no medio, a fonte e outra vila, e outro coche,..., verdade que fastidia lembralo!

Pois ben, este problema pode NON TER SOLUCIÓN xa que, a porcentaxe de posibilidades de que se produza algunha das situacións que a continuación vos con-to, é moi alto:

1-Que o que vai a 210 se espete contra algo por ir demasia-do rápido. 2-Que lle poñan unha multa por exceso de velocidade,e teña que facer o resto da viaxe máis lentamente. 3-Que non vaian pola mesma estrada.

E no suposto caso de que se crucen, o único que poderías

facer de ir ti no coche é pitar ou dicir ¡oooooooeeeeee aínda que non te escoite ou non se che vexa, pero, iso si, apunta rapi-damente o punto quilométrico onde se produciu o encontro, e así terás solucionado o problema.

O outro día puxéronme para facer na casa outro problema

famoso “Para construír unha piscina, 10 obreiros tardan 16 días. Cantos obreiros traballaron se tardaron 40 días?” . Este é ben fácil, verdade?, a proporcionalidade inversa pero, tampouco é un problema real, pois aquí en Galicia, en España os 10 obreiros nunca rematarían o traballo nos días fixados e seguramente son eles os que tardaron os 40 días. Problemas, problemas, ...... falemos doutras cousas Unha das peores situacións nas que se atopa un alumno é es-

tar nun exame. Os de matemáticas teñen un ritual propio: 1-Dannos a folla do exame e apoiamos o cóbado na mesa aguantando a cabeza, resopramos e esperamos a que a profesora -case sempre é profesora- nos dea instrucións e algunha pista para empezar. 2-Logo, antes de ler nada, preguntamos polo baixo ao com-pañeiro que temos máis preto cal é a resposta da número un e como a pregunta se fai moi baixiño, na clase escoitase un suave susurro “psssss” (significa que se está preguntando algo). O compañeiro sempre di “non sei”. 3-Metemos o boli na boca e comezamos a ler a primeira pre-gunta, e dicimos , “buf !!, esta non a sei paso á seguinte” , entón comezamos a ler a segunda pregunta e dicimos “buf!! esta non a sei, paso á seguinte”, e así ata chegar á última na que dicimos “vale!, empezamos outra vez”.

Cando xa puxemos os datos da primeira pregunta no folio -a boleo claro- e miramos para eles, dici-mos, “bua! isto é un sudoku!”, ¡estupendo!, a outro problema. Ao rematar a hora escóitase a serea e pensas “ben aínda quedan dez minutos”, concen-tración, a profesora di “veña entregade o exame!”, e ti dás a escusa máis tonta do mundo: “espere que estou a poñer o nome” aínda que estás escri-bindo números por todos lados, sen sentido. Ao saír do exame alguén che pregunta si che saíu ben e dis “si oh!, un oito como mínimo”, aínda que cando ves que non coinciden os resultados cos dos demais notas unha suor fría que desaparece cando comprobas que tódolos resultados que escoitas son diferentes. Cando días despois a profesora devolve corrixidos os exames e di na túa quenda “a ver, quen se

chama raíz cadrada de 8 máis 144 elevado a 2 menos X ao cadrado igual a 3? ” ti contestas “creo que eu aínda que podes chamarme Xosé”. Ao final sacaches un cinco, APROBADO!

Pero, non todo está feito, queda outra das peores situacións para calquera neno. É esa na que estás o día das notas finais con un 5 en mates.

O primeiro día do verán. Chegas á casa e ves unha bolsa de

Carrefour e pensas “ui, isto non pinta ben”, a túa alarma salta cando ves que a túa nai está metendo as leitugas no frigorífico e escoitas que di “tranquilo, tamén teño algo para ti” e ti dis con ton de medo “que me trouxeches?”, responde “un traxe de ba-ño”, o alivio volve ó teu corpo pero ela di “Ah! e unha cousiña máis” . Ti estás mirando o traxe de baño e non queres escoitar pero ela di máis alto “UN LIBRIÑO DE VACACIÓNS SANTILLA-NA!”. Neste momento íllaste, os teus ollos só ven o caderno, os teus oídos só escoltan as páxinas pasadas con velocidade e o teu nariz só ule o arrecendo a novo do traxe de baño. Logo es-coitas a peor frase do mundo que é “ ATA QUE NON FAGAS DOUS EXERCICIOS CADA DÍA NON VAS Á PRAIA! ”. Ben, xa é tarde, imos darlle comezo ao monólogo. Moita xente di que as matemáticas están relacionadas coa mú-sica, pero eu esa unión non a vexo por ningún lado. Pode que fora antes, hai cincocentos ou seiscentos anos, ou na época de Mozart ou Beethoven pero agora os mozos da nosa sociedade pasan da boa música e póñense a escoltar música Satánica, Marilyn Manson ou Melody. Vamos, xente que coñece as mate-máticas de oídas, porque parece difícil atopar matemáticas ne-sa música. E isto chegou a seu fin. Ata outra.

José Rodríguez-Moldes Varela IES Mugardos

Premio na categoría de 2º ciclo ESO e Bacharelato

DE PROBLEMAS E OUTRAS COUSAS II Certame de Mat-monólogos

Ano IV. Boletín nº 36 Depósito legal: C 2766-2006 Outubro, 2009

Este libro elaborado por diverso pro-fesorado dos comités educativos das seccións de ESTALMAT, comprende unidades de actividades para levar a cabo nas sesións. Os temas tratados son: • Grafos e algunhas amenidades topo-

lóxicas • Divisibilidade e números primos • Sistemas de numeración • Técnicas de reconto • Paridade. Principio do pombal • Xeometría do triángulo con Cabri • Xeometría dobrando papel • Viaxe ao mundo dos poliedros • Xogos de tipo numérico • Xogos de estratexia con simetrías • Criptoloxía • A visualización na demostración ma-

temática

• Fractais • O azar As aportacións de ESTALMAT Galicia son: Xeometría dobrado papel, por Teresa Otero Suárez (IES Antonio Fraguas, Santiago) e Alicia Pedreira Mengotti (IES Monelos, A Coruña) e Criptoloxía, por Gonzalo Temperán Be-cerra (IES Monelos).

O libro está editado pola Sociedade Andaluza de Educación Matemática Thales ([email protected], http://thales.cica.es) baixo o patrocinio da Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas e Naturais.

O proxecto ESTALMAT comezou en Madrid en 1998 e en Galicia no ano 2007. Está dirixido a alumnos de 12 e 13 anos que durante dous cursos académicos acoden á Facultade de Matemáticas de

MATEMÁTICAS PARA ESTIMULAR O TALENTO Actividades do Proxecto Estalmat

Santiago ás diversas sesións im-partidas polo profesorado que pertencen ao Comité Académico de ESTALMAT Galicia.

www.estalmatgalicia.com

O obxectivo desta actividade é o ache-gamento á ciencia, principalmente ás mate-máticas, do sector de poboación galego en-tre os 14 e 17 anos (3º e 4º ESO, 1º e 2º BACH). A utilización de material multime-dia, actuacións teatrais, páxinas web, vídeos, maxia, papiroflexia, sesións de debate e so-cialización dos coñecementos e experiencias adquiridas serán os métodos utilizados para conseguir espertar o interese e a curiosida-de en temas relacionados co espírito cientí-fico. Un obxectivo transversal consistirá en poñer en valor modelos femininos tanto na historia da ciencia como no papel da muller na investigación.

Queremos aproveitar a Semana da Ciencia 2009 para darlle o primeiro pulo a unha ac-ción na que o seu contido principal serán 6 sesións de 3 horas de duración nas que se tratarán os seguintes temas:

• O método científico. Iniciación ao espírito crítico e á análise da realidade. • As matemáticas cotiás. Busca e análise das mate-máticas coas que convivimos diariamente. • A maxia e as matemáticas. Utilización das matemá-ticas para a creación de ilusións e maxia. • A física tamén é cotiá. Busca e análise da física coa que convivimos diariamente, poñendo de manifesto a utilidade das matemáticas para o tratamento destes fenómenos. • O teatro e o cine como recurso de achegamento á ciencia.

As prazas para as chocomates do día 12 e 19 de novembro están todas cubertas; pero, as actividades poderanse seguir na páxina web: www.chocomates.org e baixar o boletín que se vai a editar

PERÍODO HELENÍSTICO OU ALEXANDRIN0

IDADE DE OURO 300 a.C. 200 a.C. 100 a.C. 1 d.C.

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.)

Hiparco de Nicea (190-120 a.C.)

Apolonio de Perga (262-190 a.C.) Aristarco de Samos (310-230 a.C.) Diocles (240-180 a.C.)

Euclides de Alexandría (325-265 a.C.) Nicomedes (280-210 a.C.)

A BIBLIOTECA DE ALEXANDRÍA

D espois da morte de Alexandro Magno, os territo-rios conquistados quedaron repartidos entre os seus xenerais e desta maneira, Ptolomeo I Soter pasa a rei-nar en Exipto, onde Alexan-dría, cidade na marxe es-querda do río Nilo, é a súa capital. Demetrio de Falera insta a Ptolomeo I a crear un gran centro de investigación (Museo) en Alexandría cunha gran biblioteca. A data da súa iniciación é arredor do ano 290 a.C. e a tarefa foi completada polo seu sucesor Ptolomeo II Filadelfo. O Museo foi o centro de estudios más grande dos tem-pos antigos e alí acudiron escritores, poetas, artistas e científicos de todas as partes.

O Museo constaba de dez grandes salas de inves-tigación, cada unha dedicada a un tema diferente, tiña fontes e columnatas, xardíns botánicos, un zoolóxico, salas de disección, un observatorio astronómico e unha gran sala comedor onde se discutían as ideas. O núcleo fundamental era a Gran Biblioteca que chegou a contar cun millón de volumes (cada un era un rolo de papiro es-crito a man). Para dotar á Biblioteca destes volumes en-viaban a xentes ao exterior para comprar bibliotecas enteiras e aos barcos que chegaban ao porto de Alexan-dría se lles confiscaban os libros paran seren copiados e logo devoltos aos seus propietarios.

O Museo e a Gran Biblioteca estaban localizados, xunto ao Pazo Real, nunha zoa chamada Bruchium. Cando a cantidade de libros sobrepasou a capacidade da Gran Biblioteca foi construída a Biblioteca Filla que estaba no Serapeum (Templo de Serapis), situada a certa distan-cia das dependencias reais, no distrito sur da cidade.

Os primeiros directores ou bibliotecarios foron: Zenódoto de Éfeso (282-260 a.C.), Calímaco de Cirene (260-240 a.C.), Apolonio de Rodas (240-230 a.C.), Era-tóstenes de Cirene (230-195 a.C.) , pero tamén figura-ron Aristarco de Samos, ata Teón e Hipatia completan-do os 947 anos de historia.

CRONOLOXÍA TRÁXICA • 48 a.C. Incendio da Biblioteca na guerra civil pola

sucesión ao trono, cando Xulio Cesar toma partido por Cleopatra VII. Neste incendio arderon 40000 volumes e máis tarde fo-ron compensados, por Marco Antonio, con 200000 manuscritos tra-ídos da biblioteca de Pérgamo. • 215 d.C. Brutal sa-queo da cidade de Ale-xandría por capricho de Caracalla. • 253 d.C. Cidade des-trozada por Valeriano.

• 273 d.C. O Bruchium foi saqueado e destruído por Aureliano, afectando ao Museo e Gran Biblioteca.

• 297 d.C. Diocleciano asedia durante oito meses e toma e saquea a cidade. Ordenou queimar millares de libros relacionado coa alquimia e ciencias herméticas.

• 365 d.C. Un terremoto desbastador provoca a mor-te de arredor de 50000 persoas e provocou o fundi-mento baixo as augas do 20% da cidade. Considérase este feito como o final da Gran Biblioteca.

• 391 d.C. O emperador Teodosio, a petición do pa-triarca de Alexandría, decreta a prohibición do paga-nismo en Exipto. O patriarca Teófilo promove unha revolta e a Biblioteca do Serapeum foi saqueada e destruída. (Estes feitos son os que narra a película ÁGORA).

• 642 d.C. Destrución total do Bruchium e da biblio-teca polos árabes baixo as ordes do califa Amrou.

Reconstrucción da Biblioteca por C. Sagan

Plano de Alexandría de Olalla García na obra “ O xardín de Hipatia”

Hypatia (370-415)

IDADE DE PLATA

PERÍODO GRECO-ROMANO/ALEXANDRINO TARDÍO

Nicomaco de Xerasa Menelao de Alexandría

Herón de Alexandría (10-70) Ptolomeo de Alexandría (100-170)

Pappus de Alexandría Diofanto de Alexandría (200-284) Theon de Alexandría (335-395)

1 d.C. 100 d.C. 200 d.C. 300 d.C. 400 d.C.

AS MATEMÁTICAS NA BIBLIOTECA DE ALEXANDRÍA A Biblioteca de Alexandría coincide no tempo cos dous dos períodos máis frutíferos da matemática grega: o Período Helenísti-co ou Alexandrino (300a.C.-1d.C.) e o Período Grecorromano ou Alexandrino Tardío (1d.C.-400d.C.)

Euclides (325 a.C.-265 a.C.) matemático e xeó-metra cuxa obra, Os Elementos, é unha recopila-ción do coñecemento xeométrico coñecido ata a súa época e foi unha ferramenta imprescindible no ensino da xeometría ata o século XIX.

Aristarco de Samos (310 a. C. - 230 a. C.) astró-nomo e matemático grego nacido en Samos. Foi o primeiro en propor o modelo heliocéntrico do Sistema Solar

Arquímedes de Siracusa (287 a. C. – 212 a. C.) matemático, físico, enxeñeiro e inventor. Estivo estudando en Alexandría e coincide con Conón de Samos e Eratóstenes. Entre os seus traballos destacan o deseño de máquinas como armas de asedio e o torno que leva o seu nome e que servía para quitar auga dun pozo; traballos en hidrostá-tica, estática e a explicación do principio da pa-lanca. Fixo estudios sobre a medida do círculo

(calculo de pi), espirais, esfera e cilindro, conoides e esferoi-des, cuadratura da parábola…

Eratóstenes de Cirene (276 a.C.- 194 a.C.) matemático, astró-nomo e xeógrafo grego. Foi Director da Biblioteca de Alexan-

dría e inventor da esfera armilar, esfera celeste utilizada para mostrar o movemen-to aparente das estrelas arredor da Terra ou Sol. Calculou con moita exactitude a lonxitude do meridiano terrestre, medindo o arco de meridiano entre

Alexandría e Siena (Asúan). Inventou un método para atopar números primos.

Apolonio de Perga (262 a. C. - 190 a. C.) foi un xeómetra grega que es-cribiu Sobre as seccións cónicas, unha obra de oito libros, onde lle da nome a elipse, parábola e hipérbole. Tamén estudou outras cur-vas planas e a cuadratura

das súas áreas, as orbitas excéntricas ou teoría dos epiciclos para intentar explicar o movemento aparente dos planetas e da ve-locidade variable da Lúa. Propuxo e resolveu o problema de achar as circunferencias tanxentes a tres círculos dado (Problema de Apolonio).

Hiparco de Nicea (190 a.C.—120 a.C.), astrónomo, xeógrafo e matemático grego, que foi Director da Bibliote-ca; entre as súas aportacións destaca: o primei-ro catálogo de estrelas realizado, define o ano sidéreo e ano trópico, calcula con gran precisión a medida da distancia Terra-Lúa, o descubri-mento da precesión dos equinoccios, inventa a trigonometría e os conceptos de latitude e lon-xitude xeográficos.

Herón de Alexandría (10 – 70 d.C.) enxeñeiro que describiu un gran número de máquinas e xe-neralizou a lei da palanca de Arquímedes. O ma-ior logro foi a invención da primeira máquina de vapor (eolípila). Autor de numerosos traballos de mecánica, hidráulica, óptica e xeodesia. Como matemático, escribiu A Métrica, onde estuda as áreas e volumes de distintas superficies e corpos, coma a fór-mula de Herón para calcular a área dun triángulo.

Claudio Ptolomeo, (100 – 170). Astrónomo, químico, xeógrafo e matemático greco-exipcio, coñecido co nome, Ptolomeo. Autor do tratado astronómico, Almaxesto .

Diofanto de Alexandría considerado o pai da álxebra debido á súa obra Arithmetica, libro de trece libros nos que aparecen ecuacións coa variable con coeficientes enteiros (ecuacións diofánticas).

Pappus de Alexandría escribiu comentarios aos Elementos de Euclides e ao Almaxesto de Ptolomeo. A súa principal obra é Synagoge ou Colección matemática, era unha reco-pilación dos coñecementos matemáticos da época. Foi au-tor de diversos resultados de xeometría coñecidos co no-me de Teoremas de Pappus.

Teón de Alexandría (335-405), matemático e astrónomo. Escribiu un comentario do Al-maxesto e unha Catóptrica, baseada en obras de Arquímedes e Herón. Pai de Hipa-tia, foi o último director da Biblioteca do Serapeum.

Hipatia de Alexandría (370-415). Escribiu diversos co-mentarios aos elementos de Euclides e sobre os escritos de Ptolomeo; fixo unha revisión da Aritmética de Diofanto e das Seccións cónicas de Apolonio. Realizou traballos no campo da mecánica e tecnoloxía, deseñando un astrolabio plano e un planisferio.

Cono de Apolonio, en ÁGORA

Tetractis 36 24 Outubro, 2009

A CALCULADORA CASIO FX-82SX FRACTION

SÍMBOLOS NA PANTALLA E Indicador de erro SHIFT Tecla presionada MODE Tecla presionada M Indicador de memoria ocupada K Indicador de cálculo con cte. DEG Ángulo sesaxesimal RAD Ángulo en radiáns GRA Ángulo centesimal FIX Fixa o número de decimais SCI Notación científica SD Cálculos estatísticos

A TECLA MODE M· SD. Cálculos estadísticos M0 COMP Cálculos xerais M4 DEG Graos sesaxesimais M5 RAD para Radiáns M6 GRA Graos centesimais M7 FIX fixa o nº de decimais. Ex.: MODE 7 3 M8 SCI especifica na notación cien-

tífica o nº de cifras significati-vas.

Ex.: MODE 8 2 M9 NORM cancela os modos FIX e

SCI

NOTACIÓN CIENTÍFICA Se calculamos 325, 3 xy 25 o resulta-do que dá a calculadorá é: 8.4728861 11 E quere decir, 8,4728861 x 1011, que é a notación científica. Isto ocorre sempre que o resultado dun cálculo sexa un nú-mero tan grande ou tan pequeño que a súa escritura non caiba na pantalla. É aconsellable que o nº de cifras signifi-cativas non sexa superior a 3, para iso utilizamos o MODE SCI: MODE 8 3 e o resultado será:

8.4711 Para poñer na pantalla: 3,4542 x 10 –23, hai que teclear: 3,4542 EXP 23 +/-

TECLAS DE MEMORIA Min Introduce o dato da pantalla na

memoria. 0 Min Borra a memoria. M+ Acumula en memoria o nº da panta-

lla. M- Resta en memoria o nº da pantalla. MR Recupera o contido da memoria.

TRABALLO CON FRACCIÓNS Para introducir a fracción: 3/5 na calcu-ladora: 3 ab/c 5. Na pantalla aparecerá: 3┘5 “┘” é o símbolo que utiliza a calculadora para represntar fraccións. Cando o numerador e maior ca o denominador (fracción impropia) a calculdora utiliza: -1┘17┘105 Tecleando SHIFT ab/c, -122┘105

COMBINATORIA Permutacións, P5 5 x! Variacións de 5 sobre 3, V5,3 5 nPr 3 Combinacións, C5,3 5 nCr 3

POTENCIAS E RAÍCES 10x Potencias de base 10 ex Potencias de base e xy Potencia de base x e expoñente y x2 Cadrados de x √ Raíces cadradas 3√ Raíz cúbica x1/y Raíz de índice y (y√x) SISTEMA DECIMAL-SESAXESIMAL

A tecla de conversión de ángulos en notación sesaxesimal a notación decimal é º ‘ ‘’ Para introducir o ángulo 30º 45’ 33’’ na calculadora, teremos que teclear:

30 º ‘ ‘’ 45 º ‘ ‘’ 33 º ‘ ‘’ Aparecerá: 30.759167 SHIFT º ‘ ‘’ 30□ 45□ 33□

REDONDEA OU TRUNCA? Calcula 1/6 e mira o resultado, multi-plica agora por 10 e volve a mirar o resultado.

¡¡¡Haberá que ter en conta que o último decimal que aparece na pan-

talla non é un díxito fiable!!!

USO DE FUNCIÓNS Para calcular calquera valor dunha fun-ción: √, log, ln, ex, 10x, sin, cos, tan… hai que teclear primeiro o argumento e logo, a función: Seno 30 30 sin

PARÁMETROS ESTATÍSTICOS Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetroa estadís-ticos son: • MODE SD: MODE · • Borrar datos anteriores: SAC

SHIFT AC • Introducir datos: a) Datos sen tabular:

9 3 7 8 3 6

9 [DATA], 3 [DATA], …, 6 [DATA]

b) Datos tabulados: Introducir os datos, na seguinte

orde:

1x3 [DATA], 2x4 [DATA], …, 5x2 [DATA]

xi 1 2 3 4 5

fi 3 4 0 1 2

• Extraer datos: Nº de datos (n): SHIFT 6 Media aritmética: SHIFT 7 Desviación típica: SHIFT 8 Σxi SHIFT 5 Σxi 2 SHIFT 4

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar DEL:

SHIFT M+

Ano IV. Boletín nº 37 Depósito legal: C 2766-2006 Novembro, 2009

TEORÍA DE FRACTALES

En la naturaleza sólo existen dos tipos de seres: los grandes y los pequeños. Los grandes son siempre lo que son. Los pequeños son símbolos. Claro que hace falta saber grandes con respecto a qué... y chicos con respecto a qué... Todos los seres son grandes con respecto a algo y todos son pequeños con respecto a otra cosa.

En otras palabras:

todos los seres son grandes y pequeños a la vez.

O poeta e profesor de lingua galega do IES Monelos, Xavier Seoane, proponnos o libro de poemas Explorando o mundo, título tomado dun poema de Pablo Neruda, que é a primeira antoloxía publicada en España, dedicada a ilustrar a relación entre ciencia e poesía entre saber científico e arte poético. A selección de Miguel García-Posada recolle poemas desde Lucrecio aos noso días, facendo paradas en Dante Alighieri, Francisco de Quevedo, Miguel de Unamuno, Walt Whitman ou José Hierro. Aparecen poemas dedicados a Newton, a Darwin, ás estre-las, a antimatemática, a Freud…

A LA DIVINA PROPORCIÓN A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura

que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro.

A LA LÍNEA

A ti, contorno de la gracia humana, recta, curva, bailable geometría, delirante en la luz, caligrafía que diluye la niebla más liviana.

A ti, sumisa cuanto más tirana,

misteriosa de flor y astronomía

imprescindible al sueño y la poesía,

urgente al curso que tu ley dimana.

Medir o universo non é unha tarefa sinxela. As unidades de medida habituais (m, km…) son demasiado pequenas, e as distancias, demasia-do grandes. Por poñer un exemplo, se o Sol fo-se un gran de area, e a estrela máis cercana (Proxima Centauri) fose outro gran, estarían separados entre si uns 30 km. Para medir esas inmensas distancias, inventá-ronse novas unidades de medida, moito máis manexables. continúa na páx. 3...

DISTANCIAS ASTRONÓMICAS

MATEMÁTICAS E BOTÁNICA

É a mesma Natureza, e non o matemático, quen introduce as matemáti-cas na filosofía natural. Kant

O home deixa unha clara pegada. Usa obxectos nos que pre-valecen as liñas perpendiculares, polígonos regulares, ángulos rectos....Isto é a xeometría do home, simplificada na chamada Xeometría de Euclides. O home incluso imita á natureza nalgúns obxectos artificiais para aproveitar as súas formas no seu beneficio. Un exemplo son os sumidoiros, que nos recordan á forma dos pétalos dalgunhas flores. continúa na páx. 2...

Tetractis 37 26 Novembro, 2009

O mundo das plantas ten as súas propias leis físicas, que son os con-dicionantes do crecemento e das diferentes formas dos seus elemen-tos.

PROPORCIÓN ÁUREA Preséntase en todas as plantas e nas súas follas con

diferentes expresións básicas: el mesmo (1,618...),o seu cadrado(2,618...) ou inverso.

Na natureza tamén se poden obter diferentes fór-mulas que están presentes nas estruturas dalgunhas fo-llas. Estas son algunhas regularidades coas que nos po-demos atopar: • As follas dunha planta crecen en torno a un nodo ou punto de crecemento mínimo. Vexamos algún exemplo: a primeira é unha curva reniforme de ecuación: no interior dunha circunferencia. As outras dúas son as siluetas de follas de violetas.

Cando a folla é composta, como a da figura (que é a folla dun car-ballo), aproxímase bastante a unha curva de carácter matemá-tico e responde á seguinte ecua-ción: • Os códigos xenéticos das plantas son outro exemplo do principio de mínima acción: buscan a maior economía á hora de xerar instrucións de crecemento. Tamén pode-mos observar nas plantas exemplos da simetría axial, central ou de xiro. A iteración de instrucións simples provocan que moitos exemplares de plantas se parezan a estruturas fratais, isto é a obxectos semixeométricos cuxa estrutura básica repítese a diferentes escalas:

FENTO DE BARNSLEY FENTO NATURAL Na natureza hai distintas curvas botánicas que respon-den á seguinte ecuación: Hai unha familia de curvas que foi investigada no século XVII, e que recibe o nome de concoide de rosetón, pé-talo xeométrico ou rosetón de Troia. Cada pétalo base é simétrico respecto do eixe OX e ob-tense variando o ángulo: Hai 3 casos distintos:

SUCESIÓN DE FIBONACCI: É unha serie de números enteiros que comezando pola unidade, cada termo é a suma dos dous anteriores. É unha sucesión recorrente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Estes números pódense observar nas árbores ao crecer, no número de espirais das piñas, dos xirasois... A sucesión de Fibonacci está relacionada co número áu-reo; xa que se dividimos cada dous termos consecutivos da sucesión de Fibonacci obtemos cocientes que se aproximan o número decimal da forma: 1,61... É dicir, o límite dos cocientes dos números de Fibonacci é o número áureo.

Iria González Díaz. 1º Bach. A

Pétalo simple: Caso a = b n = 5/2

Ecuación

Se facemos variar obtemos a flor completa.

Pétalo simple: Caso 0 < b < a n= 7/2

Ecuación

Se facemos variar obtemos a flor completa

Pétalo simple: Caso b > a n= 7/2

Ecuación

Se facemos variar obtemos a flor completa.


As máis empregadas son a unidade astronómica, o ano luz e o pársec. Debido ás grandes cifras das medi-cións, faise necesario o uso da notación científica para expresar, de xeito sinxelo, tales números.

Ademais, como estas distancias non se poden medir directamente, precísanse referencias “fixas” e técnicas como a paralaxe.

QUE É A PARALAXE? Un exemplo cotiá de paralaxe é o seguinte:

se poñemos un dedo estendido diante dos ollos, e pechamos e abrimos os ollos alternativamen-te, semellará que o dedo cambia de posición con respecto ao fondo. O fondo tamén ten parala-xe, pero parece que non se move polo lonxe que está.

Pois ben, a paralaxe foi o primeiro método empregado para medir distancias astronómicas de forma indirecta (e, mesmo distancias na Terra): no exemplo anterior, o dedo sería o corpo celeste a observar e o fondo serían as estrelas lonxanas.

Tecnicamente, a paralaxe consiste en medir o ángulo que hai entre os obxectos que queremos medir e a Te-rra, en puntos opostos da súa órbita arredor do Sol. Sa-bendo a distancia que separa o Sol da Terra, pódese cal-cular a distancia ao corpo mediante métodos trigonomé-tricos. Esta técnica só vale para obxectos non demasia-do lonxanos, do contrario o ángulo formado sería dema-

siado pequeno, e o erro, demasiado grande. O esquema anterior explica o procede-mento: coñecendo a

distancia que separa a Terra do Sol, e observando a va-riación do ángulo ‘p’ segundo a época do ano, pódese de-terminar a distancia á que está ese obxecto.

UNIDADE ASTRONÓMICA (UA)

Unha UA é igual á distancia media que hai entre o Sol e a Terra, é dicir, uns 149.600.000 km.

1 UA = 1,496·108 km = 149 600 000 km

A unidade astronómica empré-gase, principalmente, para me-dir as distancias entre plane-tas ou entre planetas e estre-las.

ANO-LUZ Un ano-luz é a distancia que percorre a luz durante

un ano. A luz viaxa a uns 300 000 quilómetros por segundo,

polo tanto: 1 ano-luz = 9,46·1012 km = 9 460 000 000 000 km

O ano luz serve para medir a que distancia están de nós os obxectos do universo (estrelas, galaxias…) ou a distancia que hai entre eles. Con todo, incluso o ano luz

pode ser escaso para medir distancias entre galaxias: se temos en conta que a Vía Láctea ten uns 100 000 anos luz de diámetro, e que as galaxias están moi separadas entre si, ob-temos unhas distancias de millóns ou de miles de millóns de anos luz. O ano-luz é unha unidade pouco científica, porque noutro planeta cun ano máis longo (por

exemplo, Marte), a distancia equivalente sería máis lon-ga.

PÁRSEC (pc) O pársec é unha unidade de medida cientificamente

máis exacta ca o ano luz, porque non presenta varia-cións.

Un pc é a distancia á que se atopa un obxecto do Sol, cando hai un segundo de paralaxe entre o Sol o e a Te-rra, sendo ese corpo o vértice do ángulo, e sabendo que entre o Sol e a Terra hai 1 UA.

Este esquema explica a

idea: nel, o obxecto estaría no punto P.

Un pársec tamén ten a súa equivalencia en quilóme-

tros e anos-luz:

1 pc = 3,086·1013 km = 30 860 000 000 000 km = 3,26 anos-luz

Aínda que poida parecer unha medida estraña, é moi empregada polos astrofísicos para medir a distancia á que se atopan as estrelas cercanas: explicado de xeito sinxelo, cando menos pareza desprazarse unha estrela no ceo con respecto ás demais, máis lonxe estará.

EXEMPLOS DE MEDICIÓNS

• Venus, o planeta do Sistema Solar máis próximo á Terra, está a 0,52 UA, é dicir, uns 78 millóns de qui-lómetros.

• Próxima Centauri está a 4,22 anos-luz do Sol (3,99· 1013 km).

• A Nebulosa de Orión, na nosa galaxia, está a 1500 anos-luz do Sol (uns 1,42·1016 km).

• Andrómeda, a galaxia máis próxima á Vía Láctea, está a “só” 2,2 millóns de anos-luz (aproximadamente

2,08 · 1019 km). Guillermo Ledo López. 1º BACH A


ARTE E XEOMETRÍA A FOTOGRAFÍA DE CHEMA MADOZ

(Madrid, 1958)

www.chemamadoz.com

Ano IV. Boletín nº 37 Depósito legal: C 2766-2006 Novembro, 2009

TETRACTIS XA É UN BLOGUE [email protected]

O 30 de novembro de saltou á rede TETRACTIS, en versión blogue, para ser unha plataforma onde se poida acceder aos boletíns dunha maneira fácil e directa. Pretende ser unha ventá ás matemáticas con acceso ás páxinas de uso cotiá coma concursos (olimpíada galega de bacharelato, olimpíada de 2º ESO, canguro matemático, open…), outros boletíns na rede (mathesis, hipatia, la hoja volante, douspie-rre, unión…), outras páxinas de divulgación (divulgamat, chocolates…) e mesmo páxinas de aso-ciacións de profesores (agapema, FESPM, FISEM…). As entradas do blogue teñen, polo momento, etique-tas con títulos coma: concursos, eventos, exposi-cións, libros, monólogos, papiroflexia… e poderase ver o boletín tetractis en formato similar ao e-book.

¡Engádeo aos favoritos do teu ordenador!

P ara celebrar o IX Aniversario de AGAPEMA (Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática) puidemos asistir a unha charla, que baixo o título de "Clases de res-tos...santos", impartiu o Reitor da Universidade da Coruña e socio de Agapema, José Mª Barja Pérez. A charla celebrouse na aula-taller de matemáticas do IES Ra-món Otero Pedrayo da Coruña.

Na charla, Barja falou de calendarios, meses perversos, pon-tes perfectos no calendario e doutros conceptos e mostrou diversos feitos (teoremas) coma, por exemplo:

• Ningún ano pode ter menos de un nin máis de tres martes-13 ou venres-13. • O día 13 cae, con máis frecuencia, en venres que en calquera outro día da semana. • Un ano común finaliza no mesmo día da semana no que comezou. • A separación dos Anos Santos Composteláns (ASC) segue o ciclo 6-5-6-11, pero isto non ocorre no ano 2094. • Nun ASC so hai un venres-13 e dous se é bisesto. • Se o ano que segue a un ASC é común, contén unha ponte perfecta (a ponte da constitución cae en martes e

xoves); isto ocorre no ano 2011.

IX Aniversario de AGAPEMA: Charla de José Mª Barja

Tetractis 38 30 Decembro, 2009

CROPCIRCLES

ORIXES A extrana aparición dos círculos das colleitas, fixo que se levasen a cabo multitude de teorías sobre a súa procedencia; deste xeito, podemos destacar dúas posibles teorías: • ORIXE PARANORMAL. Consiste

nunha das teorías máis esten-didas, atribuíndolles a causa da súa orixe a entidades extrate-rrestres, que teñen como obxectivo comunicarse coa humanidade, mediante eles.

• ORIXE HUMANA. Esta teoría expón que as composicións son realizadas simplemente polos propietarios dos campos de cultivo, por razóns de burla ou creativida-de. Sen embargo, os debuxos que adoitan aparecer durante a noite, resultarían moi complicados de reali-zar debido á escuridade e á falta dunha perspectiva aérea.

FUNCIÓN DOS CÍRCULOS DE COLLEITA

Dende o punto de vista seudocientífico, chegouse á conclusión de que os cropcircles, estaban destinados a establecer algún tipo de comunicación do ser humano con entidades extraterrestres. Antigamente, xa se co-ñecía a existencia dunha serie de representacións xeo-glíficas sobre grandes extensións de terreo, nas cales unhas prolongadas liñas descritas sobre o re-levo, parecían establecer certas ‘pistas de aterraxe’ para entidades superiores, proce-dentes do ceo. É o caso dos antigos do deser-to de Nazca, en Perú.

TIPOS:

1. CIRCUNFERENCIAS E PICTOGRAMAS.

A forma particular destas representa-cións é a das circunferencias, de aí o seu no-me. A maior parte dos exemplares atopados, constitúen circunferencias de grande ampli-tude, cuns diámetros considerablemente ex-tensos. Ditas figuras aparecen reordenadas de xeito que se obteñen moitas das relacións matemáticas coñecidas. A presenza do nº pi, é un claro exemplo diso. Ademais, mensaxes en código binario e representacións do calenda-

rio Maia, son outros exemplos de contidos que podemos atopar nas circunferencias. Doutra banda, aínda que menos frecuente, son os achados de enormes pictogramas, debuxados sobre o terreo chá. Algún exemplo é o círculo de colleita máis antigo rexistrado, coñecido como ‘o demo de segar’ , que consiste nun grava-

do do século XVII, e o famoso pictograma de Winches-ter. 2. A MENSAXE DE ARECIBO.

O sinal de Arecibo, foi o primeiro intento intencionado de enviar unha mensaxe en forma de ondas de radio que unha civilización alieníxena podería detectar. O sinal foi transmitido o 16 de Novembro de 1974 desde o radio telescopio de Arecibo en Porto Rico cara o cúmulo glo-bular M13. O sinal que se enviou estaba codificado en código binario, que é o sistema máis simple de transmi-tir información. Una vez reconstruído esta mensaxe, que se basea na orde de filas e columnas segundo os núme-ros primos (23 x 73) pódese apreciar a definición da imaxe resultante. O esquema presenta información so-bre o planeta Terra : o home, a situación da Terra no sistema Solar, a cadea do ADN , o nº atómico dos ele-mentos predominantes no planeta...

O 19 de Agosto de 2001, apareceu a imaxe da men-saxe de Arecibo reprodu-cida sobre un campo de trigo atopado preto do observatorio de Chilboton, en Hampshire, a cal é unha das manifestacións dos pictogramas máis impre-sionantes dos últimos tempos. A imaxe de Chil-bolton reproduce, con asombrosa fidelidade, a matriz cuadriculada en números primos de 73 x 23 carácteres de Arecibo, con algunhas variantes.

Os cropcircles ou círculos das colleitas, consisten en debuxos realiza-dos sobre os campos de cultivo de millo ou trigo, que ao longo dos últi-mos anos, adoitaron aparecer basicamente en países como Reino Uni-do, ou Estados Unidos , e cuxa peculiaridade crea un gran asombro ante os científicos e investigadores da actualidade.

A finais dos anos 70 apareceron os primeiros en Australia. Eran debuxos circulares sobre as espigas de cereais, onde o pa-

trón común era que as plantas aparecían deitadas, non aplastadas, en situación espiral cara o centro da figura. Os talos das mesmas apare-cían intactos e cunha maior vitalidade cas plantas fóra das figuras.


3. O NÚMERO Π , NOS CÍRCULOS DE CULTIVO.

Un dos achados máis impresio-nantes e máis recentes, foi a aparición en Wiltshire, Inglate-rra, dun exemplar de cropcir-cle, que, sorprendentemente codifica os díxitos do número pi . Este exemplar, atopado en xuño do 2008, presenta a se-guinte forma : 4. OS MAIAS E OS CROPCIRCLES

No 2004, manifestouse de novo en Inglaterra un novo agrograma. A composición, bastante complexa e chea de simbolismo, presenta aparentemente unha re-presentación do calendario Maia. Nela inclúense certos símbolos que fan referencia ao final de dito calendario, no ano 2012, e motivos como a dobre espiral cadrada e o símbolo do xaguar na cultura Maia, que suxiren unha suposta entrada ao inframundo. En conxunto podería tratarse dun reloxo, no cal os días confiren nun punto final, ou tempo cero.

Outros exemplares que remiten do mesmo xeito á influencia Maia, coinciden na representación dun punto central no cal o número cero aparece como protagonista do círculo, escrito en caligrafía Maia. Un corte de dúas rectas que pasan polo centro a modo de cruz, sinalan as catro direccións do universo, e na distribución da periferia do cropcir-cle, atopamos números de moita in-fluencia para a súa cultura , que son por exemplo, o 52, o 20 ou o 16 (posto que os Maias contemplaban os ciclos da Terra de 4 en 4). 5. TEOREMAS IDENTIFICADOS NOS

CROPCIRCLES

Ademais das relacións atopadas en torno ó coñecido número pi, e os pic-togramas dedicados á representa-ción de distintos códigos e calenda-rios, nos cropcircles vense reflecti-dos moitos dos teoremas coñecidos pola sociedade actual, que son os que lles permiten a súa construción .

Catro dos teoremas identificados son teoremas euclidianos. O quinto –un teorema xeral do cal se poden derivar os catro primeiros– foi dedu-cido por Hawkins, sendo descoñecido ata entón:

I) Sexan tres círculos iguais que comparten unha tanxente común e

forman un triángulo equilátero. Se un círculo é trazado a través do centro dos tres círculos, a razón entre e o diámetro de este círculo e o diámetro de cada círculo menor orixinal, é dia-tónica: 4/3.

II) Para un triángulo equilátero, a razón entre as áreas do círculo circunscrito (externo) e inscrito (interno) é de 4:1, que tamén pode considerarse parte da escala diatónica. A área do anel entre os círculos é tres veces a do círculo inscrito.

III) Para un cadrado, a razón de áreas dos círculos cir-cunscrito e inscrito é de 2:1, diatónica.

IV) Para un hexágono regular, a razón entre as áreas dos círculos circunscrito e inscrito é tamén diatónica (4/3).

V) Os teoremas I a IV son casos especiais de un teore-ma xeral que involucra triángulos e varios círculos con-céntricos que tocan os seus lados e vértices. Triángulos diferentes xeran teoremas diferentes. O que os catro primeiros teoremas demostran é xustamente que deter-minadas construcións simples que involucran triángulos equiláteros, cadrados e hexágonos , inevitablemente deben conter razóns diatónicas.

Iván García Vázquez (1º Bach A)


A HABITACIÓN DE FERMAT

A habitación de Fermat conta a his-toria de catro matemáticos que, tras conseguir descifrar un acertixo, reciben unha carta do seu anfitrión (Fermat) que os invita a quedar en persoa, co pre-texto de cear e de discutir sobre o ma-ior enigma do mundo, para así poder re-solver diversos enigmas complexos nun lugar afastado: unha especie de coberti-zo en malas condicións que alberga no seu interior a referida habitación de Fermat, o seu anfitrión. O único requisi-to é que non deben contarlle a ninguén que van a ir para alá e teñen que ir cun nome falso (Evariste Galois, Elena Sabu-ko (¿?), Blaise Pascal e Hilbert).

Despois da cea, comezan as sorpresas, pois qué-danse encerrados nunha habitación cunha PDA (ordenador de man que ten un sistema de recoñecemen-to de escritura), á cal empezan a chegar enigmas. Estes, deberán ser resoltos nun período de tempo curto; o problema é cando es-tes matemáticos descobren que se non resolven os acertixos, a situación empeorará ata ó extremo de que mo-rrerán aplastados irremediablemente polas catro paredes minguantes da habitación. Poderíase dicir que isto é un xogo diabólico, onde as vidas des-tes matemáticos corren un grave pe-rigo.

En resumo, poderíase dicir que esta película é una boa mostra de cómo as matemáticas son entretidas e a súa aplicación no cine.

A continuación, os seguintes acertixos son os que tiveron que resolver os nosos protagonistas na película:

ACERTIXO 1: Que patrón segue a seguinte secuencia numérica:

5 – 4 – 2 – 9 – 8 – 6 – 7 – 3 – 1 ?

ACERTIXO 2:

Tres caixas opacas de caramelos aparecen etiquetadas en tres tipos: anís, menta e mestura de ambas clases. Ningún destes rótulos está colocado na caixa correspon-

dente. ¿Cántos caramelos debemos ex-traer de cada caixa para colocar correc-tamente as etiquetas?

ACERTIXO 3:

No interior da habitación hai unha lám-pada. Fora hai tres interruptores, e só un deles acende a lámpada. Nos estamos fora e só podemos entrar una vez na ha-bitación. ¿Cómo achar o interruptor que acende a lámpada?

ACERTIXO 4:

¿Cómo medir exactamente 9 minutos con dous reloxos de arena de 4 e 7 minutos?

ACERTIXO 5:

Un alumno lle pregunta o mestre: ¿Qué idade teñen as túas fillas? E o mestre dille: “ Se multiplicas as súas ida-des o resultado e 36 e se as sumas dá o número da túa casa”; o alumno indícalle: ¡fáltame un dato!. E o mestre

contesta “si, a filla máis vella toca o piano” ¿Cales son as idades das fillas?

ACERTIXO 6:

Dúas portas, dous gardiáns (un que sempre minte, e outro que sempre di a verdade), unha porta leva á saída do labirinto e á outra só te mantén no labirinto. Só é lícito facer unha pregunta a un só gardián. As dúas portas se perciben iguais, os dous gardiáns tamén. Que pregunta farías?

ACERTIXO 7:

Unha nai é 21 anos maior co seu fillo. O cabo de 6 anos, o fillo será cinco veces menor ca súa nai , que está fa-cendo o pai?

Intenta resolver estes enigmas ou podes ver a película, seguro que che gusta.

Laura Pardo Varela, 1º Bach. D

Os guionistas e directores desta película: Luis Piedrahita (A Coruña, 1977) e Rodrigo Sopeña conseguen un thriller asfixiante e claustrofóbico a partires dunha colección de acertixos clásicos de lóxica matemática baixo a sombra da demostración da conxetura de Golbach.

Ano IV. Boletín nº 39 Depósito legal: C 2766-2006 Xaneiro, 2010

TETRACTIS NA REDE: [email protected]

O alumno de 2º de bacharelato do IES Monelos, Diego Abalde Herrero, formará parte do equipo que representará a Galicia na Fase Nacional da XLVI Olimpíada Mate-mática Española, que se celebrará en Valladolid do 25 ao 28 de marzo de 2010.

Diego Abalde acadou un 3º pre-mio na Fase Galega, que se celebrou, na Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Com-postela, o venres 15 de xaneiro de 2010.

ALTA PARTICIPACIÓN DO IES MONELOS

T erminado o período de inscrip-ción para o Canguro Matemático 2010, o IES Monelos (A Coruña) su-pera a barreira do 100 e serán 101 os alumnos e alumnas que participarán, o martes 23 de marzo de 2010, na XVII edición do Canguro Matemáti-co.

Este número supón case o 25% do alumnado do instituto e ten máis va-lor se temos en conta que os alumnos pagan unha cuota de 3€ pola súa par-ticipación.

Este ano o concurso presenta unha novidade que é o XOGO DO CANGURO, un xogo on-line para ir entrenando:

Máis información: www.canguromat.org.es

UN OLÍMPICO EN MONELOS Diego Abalde Herrero,

membro do equipo olímpico matemático galego.

COMEZA O

XXII OPEN MATEMÁTICO

TORNEO ABERTO DE RESOLUTORES DE PROBLEMAS

Acaba de presentarse a nova edición de Open Matemático (Torneo aberto de resolutores de problemas) que este ano estará dedicado ao Camiño de Santiago e que comezou o 11 de xaneiro de 2010.

O torneo desenvólvese ao longo de 7 semanas e en cada unha destas propóñense de 2 a 4 catro proble-mas.

Na páxina 4 pódense ver os pro-blemas da 1ª e 2ª xornada.

As bases pódense ler no blogue de Tetractis.

III Certame de Mat-monólogos

Xa está en marcha o III cer-tame de mat-monólogos que se celebrará o 11 de maio de 2010. Os guións poderanse presen-tar ata o 15 de abril.

Apoia o cambio de nome do instituto IES Cruceiro Balea-res (antiga Universidade Labo-ral) de Culleredo polo nome de

IES María Wonenburger

Tetractis 39 34 Xaneiro, 2010

P ara comezar a falar de cómo se deu orixe aos nú-meros decimais temos que remontarnos ata o ano 1733; neste ano a Academia de Ciencias de París pro-puxo dúas expedicións para aclarar a diversidade de opinións que existía sobre a forma da Terra. Nas expe-dicións o que se trataba era de medir a lonxitude do arco meridiano terrestre correspondente a un grao na zona de Laponia e na zona do Ecuador. A comparación das lonxitudes que se obtiveran permitirían coñecer mellor as características da forma terrestre e resol-ver así a controversia descrita.

A primeira expedición foi a Laponia, levada a cabo por dous grandes matemáticos: Alexis Clairaut e Pierre L. De Maupertuis. A expedición durou un ano, no que foi medido soamente 1º (máis ou menos 111km ).

A segunda expedición (ao Ecuador) foi realizada por Louis Godin, Pierre Bouguer e Charles Marie de la Con-damine. Debido a que Perú era daquela un territorio pertencente á coroa española, o rei de Francia tivo que pedirlle permiso a Felipe V para acceder ao territorio do virreinato de Perú. Éste concedeulles o permiso coa condición de que dous científicos españois os acompa-ñaran na expedición. Os elixidos foron Jorge Juan y Santacilia e Antonio de Ulloa, que ao iniciarse dita ex-

pedición contaban con 19 e 20 anos respectivamente. A expedición saíu de Cádiz o 26 de maio de 1735 e tras oito anos que durou xurdiron abundantes complica-cións. Para comezar o terreo era montañoso e estaba situado a máis de 4000 m de altitude. Ademais disto producíronse varios incidentes, nun dos cales o ciruxán Seriergues foi asasinado polo vecindario de Cuenca no 1739. A isto súmaselle unha epidemia, unha guerra con-

tra Inglaterra, dúas erupcións volcánicas e sobre todo unha mala relación entre os científicos franceses. Fi-nalmente a expedición rematou en 1944 e mediu 3º de meridiano.

Grazas a estas expedicións confirmouse a exactitu-de da teses newtoniana, segundo a cal a Terra está achatada polos polos. Da mesma forma, en base aos datos obtidos en ditas expedicións, case cincuenta anos despois, foi posible definir un metro provisional, mentres se levaba a cabo a medición do arco do meri-diano de París entre Dunkerque e Barcelona que permi-tiu establecer o metro definitivo coma a dezmilloné-sima parte do cuadrante de meridiano terrestre.

TERCEIRA EXPEDICIÓN En relación a isto existe tamén o método de trian-

gulación, co que se podía calcular a lonxitude dun arco de meridiano, sempre que sobre el puidera establecer-se unha cadea de triángulo. Era imposible realizar esta operación ao longo de todo o cuadrante entre o Polo Norte e o ecuador por iso dous grandes científicos levaron a cabo as medidas noutra expedición: Pierre André Méchain e Jean Baptiste Joseph Delambre. Fo-ron acompañados polos seus axudantes, Tranchot e Bellet. Saíron de París o 25 de xuño de 1792 e dirixí-ronse a territorio español. Cando xa estaban na penín-sula incorporáronse a eles os españois Bueno, González, Planas e Álvarez. Durante outubro de 1792 recorreron as montañas poñendo señais visuais para medir ángulos e, noite tras noite, cando o tempo e a visibilidade o permitían, realizaban as súas operacións xeodésicas. A finais do mesmo mes estaban en Barcelona onde traba-llaban dende o castelo Montjuic.

AS ORIXES DO SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Ante a disparidade de unidades de medida utilizadas nos diferentes países, a finais do século XVIII, a Academia de Ciencias de Paris organizou diferentes expedicións (ata catro) para medir o meridiano terrestre (un deles foi o arco entre Dunkerque e Barcelona) e definir o metro como a dezmillónesima parte do cuadrante do meridiano terrestre. Napoleón promulgou a lei que establecia o Sistema Métrico Decimal a finais de 1799. España implantouno en 1848.

Jorge Juan y Santacilia Antonio de Ulloa


Méchain sufriu un accidente que o mantivo inactivo durante ano e medio e en 1793 trala execución de Luis XVI declarouse a guerra entre España e Francia; isto dificultaba as operacións, aínda que os traba-llos seguían.

O 22 de xuño de 1799 deposí-tanse nos “Archives de Républi-que” en París dous patróns de pla-tino que representaban o metro e o quilogramo. Correspondían res-pectivamente á dezmillonésima parte do cuadrante do meridiano terrestre e á masa dun decímetro cúbico de auga. O día 10 de de-cembro, Napoleón promulgou a lei que estableceu o novo sistema de unidades de medida, coa frase: “Para todos os pobos e para todos os tempos”.

CUARTA EXPEDICIÓN A exactitude da medida do me-

ridiano será tanto mellor canto maior sexa o arco que se mida e canto máis centrado estea o cuadrante. Debi-do a isto, o 31 de agosto de 1802 decidiuse realizar unha nova expedición co propósito de alargar a medición do meridiano ata a illa de Formentera e poder dispoñer así das lonxitudes de dous arcos similares a cada lado do meridiano 45º. Pierre Méchain foi moi persistente coa súa idea de participar na nova expedición. Algúns historiadores atribúen esta insistencia á posibilidade que se lle ofrecía de facer novas ave-riguacións sobre o que lle preo-cupaba.

Esta nova expedición (a cuarta xa) saíu de Madrid o 26 de abril de 1803. Ademais de Méchain tamén participaron nela Le Cheva-lier e Dezauchez. O fraile trinita-rio Agustí Canellas incorporouse como comisario español. Para fa-vorecer os progresos o goberno español pon á súa dis-posición un pequeno bergantín chamado “La Proba” para facer os traslados entre a península e as illas.

Entre os anos 1803 e 1804 recorreron todo o Levan-te e as illas Baleares establecendo novas triangulacións. Cando Méchain estaba facendo observacións dende o Deserto das Palmas (cerca de Castellón) manifestáron-selle síntomas de febre amarela e foi trasladado a Cas-tellón. Oito días despois, Méchain morría na casa dun

amigo, o barón da Pobla Tornesa. Os seus papeis foron levados a París e os seus instrumentos de precisión fo-

ron recollidos por Antoni Martí Franqués na súa casa de Tarrago-na.

De todo isto sacamos unha conclu-sión evidente, e é que o mundo vai progresando grazas a científicos coma estes que fixeron posible a definición do Sistema Métrico De-cimal. O resultado dos seus traba-llos permitiu que outros científicos chegaran aínda máis lonxe nesta interminable carreira na que se basea o progreso tanto científico coma social.

Estes científicos posterio-res averiguaron que a lonxitude total dun meridiano terrestre é de 40 000 000 m e corresponde a un ángulo central de 360º =

1296000”. Dividindo ambas cantidades obterase que 1” de latitude corresponde a 30,86 metros. Desta forma 3” corresponderán a 92,59 metros, é dicir, case 93 me-tros.

Crese que se produxo un erro, aínda que non se sa-be con exactitude. De todas formas este erro non tivo

ningún efecto sobre a definición de metro, xa que para iso foron usadas as medicións tomadas ao principio dende Montjuic que eran, por sorte, correctas.

Hai que resaltar un dos méritos desta expedición, que foi que estendeu as triangulacións dende a península ata Ibiza, Formentera e Mallorca. Uníronse por triángulos os seguintes pun-tos de observación: O Deserto das Palmas O Montgó, cerca de Denia Campveí en Ibiza

Mola de Formentera A Mola de l´Esclop en Mallorca.

Ao longo do século XIX moitos estados implantaron

oficialmente o novo Sistema Métrico Decimal. En Espa-ña, implantouse legalmente por Real Orden de 15 de abril de 1848.

MARTA SOBRINO GOSENJE 1º BACH. A

TRIANGULACIÓNS NA CUARTA EXPEDICIÓN

METRO-PATRÓN DE PLATINO NA OFICINA DE PESAS E MEDIDADS DE PARÍS


1ª xornada do XXII Open Matemático

PROBLEMA 1: O CÓDIGO SEGREDO

Un espía ten que facer chegar un códi-go segredo de catro díxitos, ABCD, aos seus superiores. Por razóns de seguridade envíalles por separado os nove códigos de catro díxitos que se mostran á dereita.

Sábese que en cada un destes nove có-digos, polo menos un dos díxitos A, B, C ou D está no código segredo na posición co-rrecta. Podes, ti, descifrar o código?

PROBLEMA 2: CUBICANDO UN HEXÁGONO

Debuxando só tres liñas, como transformarías o hexágono regular nun cubo?

PROBLEMA 3: DOBRE REPARTO EQUITATIVO

Teño 8 sobres que conteñen 10 € cada un, outros 8 sobres que conteñen 30 € cada un e 8 sobres que con-teñen 50 € cada un. Como se poden distribuír estes 24 sobres entre tres persoas para que todas teñan igual cantidade de sobres e igual cantidade de diñei-ro, sen abrir ningún sobre?

PROBLEMA 4: ANO XACOBEO E BISESTO

Este 2010 é un Ano Xacobeo. Miles de peregrinos de todo o mundo acoden a Santiago de Compostela para obter o xubileo.

Un ano é Xacobeo cando o 25 de xullo – o día do apóstolo Santiago- cae en domingo.

E este 2010 non é bisesto. Un ano é bisesto cando o mes de febreiro leva 29 días.

Queremos saber se pode, ou non, haber anos en que conflúan estas dúas características: ser xacobeo e ser bisesto. E en caso afirmativo, cando será o vin-deiro ano no que iso ocorra.

Colectivo Frontera

2186 4351 4521 5127 5916 6384 6924 8253 8517

2ª xornada do XXII Open Matemático

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

XORNADA TEMÁTICA: COMPLETAR OPERACIÓNS

Reconstrúe cad unha das seguintes operacións ubican-do debidamente as pezas que ves á dereita:

PROBLEMA 5:

PROBLEMA 6: Cuestión C. Agora, outra multiplicación, e démoste algunhas pistas: xa hai colocados dous números: 3 e 7. Cuestión D: E para terminar unha división.

Canguromatemático


Ano IV. Boletín nº 40 Depósito legal: C 2766-2006 Febreiro, 2010

TETRACTIS NA REDE: www.tetractismonelos.blogspot.com

O Boletín de divulgación matemá-tica TETRACTIS convocan o III CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS

Os participantes presentarán un guión cunha extensión máxima de mil palabras en lingua galega ou castelá. O tema deberá estar relacionado coas matemáticas. Deberán presen-tarse en formato DINA4, por unha cara, a dobre espazo, con corpo de letra de 12 puntos e encabezados polo título.

Estabelécense catro categorías nas que o xurado designará un/unha gañador/a por categoría: • Alumnado de primaria e primeiro

ciclo de secundaria. • Alumnado de segundo ciclo de

secundaria e bacharelato. • Persoas, en xeral, cun mínimo de

18 anos e sen límite de idade. • Alumnado do IES Monelos.

O prazo de entrega dos relatos remata o 15 de abril de 2010. O xurado comunicará a selección dos guións aos autores antes do 30 de abril de abril de 2010. A defensa farase, ben polo/a autor/a ben por un/ha alumno/a do IES Monelos, nun acto que se celebrará o martes, día 11 de maio de 2010.

Máis información no

www.tetractismonelos.blogspot.com

IV Feira Matemática 2010

Xa está en marcha a organización da IV Feira Matemática que se celebrará o día 15 de maio de 2010, no Pazo da Ópera da Coruña, para celebrar o Día Escolar das Matemáticas, baixo o lema:

Prensa e matemáTICas

¡Participa co teu centro!

XXII OPEN MATEMÁTICO 7ª xornada e Final do XX Open Matemático 2010 na zona da Coruña coa participación dos centros:

IES Elviña IES Monelos

IES Mugardos Alumnos EsTalMat

O vindeiro venres, día 5 de marzo de 2010, na Biblioteca do IES Monelos (A Coruña)

E no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com

III Concurso de experiencias escolares. I Concurso de microrrelatos irracionais. III Seminario EsTalMat (Valencia). Entrevista a Isabel Fernández. Primeira española que será ponente no ICM (Congreso Internacio-nal de Matemáticas) sobre a xeometría das pompas de xabrón. Cartel de matemáticos galegos Cine e matemáticas: artigo de José Manuel Ramos González. Monólogo: “ Romance da derivada n-esima e o arcotanxente”. San Valentín matemático. Marcos de Sautoy. Monólogos finalistas no I e II C. de Matmonólogos.

A anamorfose, tamén denominada anamorfismo, po-deríase definir como a modificación reversible de for-mas dentro dunha imaxe mediante un procedemento óp-tico ou mesmo matemático.

O procedemento matemático ao que me refiro póde-se escenificar a través da representación dunha circun-ferencia nun plano cartesiano (a) (división en varios ca-drados, é dicir, como as follas dos cadernos cuadricula-das). Ao sufrir a anamorfose observamos como o círculo queda aplastado (b). Ao mesmo tempo, na cuadrícula, os cadrados que se observan no eixo y reducíronse drasti-camente, mentres que os do eixo x ampliáronse.

Para aclaralo aínda máis tomaremos o seguinte exemplo de anamorfose: o dun cadrado nun rectángulo (c).

a. b. c.

Un exemplo de procedemento matemático de anamorfose pode ser a proxección estereográfica, un plano resultado de aplastar por completo unha esfera, e onde a idea é proxectar cada punto da esfera sobre o plano. A fórmula é a seguinte:

S2 = [x2 + y2 + z2 ] = 1

Este tipo de anamorfose que se pode observar a tra-vés da variación do noso ángulo de vista ou mesmo de dobrar o papel dunha determinada maneira, non son as únicas. Bernhar Riemann (1826-1866) dedicouse aos espazos curvos. Isto é, dedicouse á anamorfose que se pode ver a través do reflexo da imaxe nun espello curvo. Para crear este tipo de anamorfose non se pode estirar ou contraer o plano, senón que se debe recorrer ás fór-mulas de Bernhard Riemann. Esta figura amosa como se debe de cambiar da perspectiva curva e retorcida a unha normal, xa que non debemos olvidar que as elipses, hipérboles, parábolas e circunferencias teñen a mesma orixe.

A pesar de parecer complicadas e innovadoras, as anamorfoses apareceron no arte xa hai moitos séculos. Exemplos históricos e famosos de anamorfose son: • Este sinxelo debuxo de un neno é un dos primeiros

exemplos de anamorfose coñecidos que se aprecia se se mira desde o lado dereito. Pintouno, no ano 1485, Leonardo da Vinci.

• O discípulo de Albert Durero, Edward Schon, tamén

foi no século XVI afeccionado á creación das anamor-foses.

• Outro coñecido exemplo é o cadro “The Embassa-dors”, pintado en 1533 por Hans Holbein o Xove. No cadro están dous homes e aparece a anamorfose du-nha caveira, exemplificando á vaidade. A figura só se pode recoñecer cunha vista rasante ou a través do reflexo da superficie dun culler.

A anamorfose, aínda que non o pareza, forman parte da nosa vida diaria, e nos, nin nos decatamos. ¿Quen diría que as vallas publicitarias dos partidos de fútbol ou baloncesto son debuxos que hai no chan? Ou máis ben, anamorfose. Para a publicidade que atopamos nos campos deportivos, este sistemas, ademais de eficaz, é moi económico aínda que pode haber erros. Este exemplo é unha imaxe tomada da televisión na que se pode apreciar como, durante un partido de baloncesto da ACB, o árbitro sitúase enriba da imaxe,

facendo evidente que o anuncio da páxina web da propia liga non é máis que un debuxo.

Tamén hai outro tipo de anamorfismos na nosa sociedade dos que non somos conscientes. ¿Alguén reparou algunha vez en que nas botellas de viño, o debuxo debería estar deformado? Pois ben, para confirmar iso, utilizaremos o



exemplo usado na botella de viño New Age, de Valen-tin Bianche. Nunha das imaxes, obsérvase o despro-porcionado rostro dunha muller cando a botella está valeira; en cambio, cando a botella está chea esa de-formación desaparece, e da lugar a unha muller de perfectas proporciones grazas ao efecto de lente, consecuencia do líquido. Tamén no cine se utilizou esta técnica, abandonada tras os avances da tecnoloxía. Hoxendía, a anamorfose tamén forman parte da “arte na rúa”, e senón que llo digan a Julian Beever, artista

británico que se dedica a debuxar con xiz. Os seus debuxos desafían á lei da perspecti-va, debido a que utiliza este tipo de ilusión óptica. Desde o ano 2004 circula en Internet un correo repleto das súas obras e que au-mentaron a súa popularidade. Estas son unha pequena parte das súas obras (xa que non se dedica enteiramente aos anamorfismos senón tamén a outros tipos de arte e ao marke-ting):

Paloma Tarrío Alves 1º Bach. A


5ª xornada do XXII Open Matemático 6ª xornada do XXII Open Matemático

CAIXÓN DOS PROBLEMAS Canguromatemático


CRUZANDO RÍOS Problema 15.

Cuestión A.

Coma bo peregrino estuda as etapas e elixe o itinerario axeitado. Debuxa con total precisión o camiño máis cur-to para ir do punto A ao punto B, tendo en conta que, mentres non se indique no contrario, estás obrigado a cruzar o río en dirección perpendicular ás súas beiras. Cuestión B.

Agora, o mesmo no caso de que atopes dous ríos cuxos leitos transcorren paralelamente.

Cuestión C.

Traza con sumo detalle o camiño máis curto para ir do punto A ao punto B no que atoparás dous ríos, neste caso, non paralelos e recorda que, mentres non se indi-que outra cousa, tes que cruzar os ríos perpendicular-mente. Cuestión D.

Agora, o mesmo, no caso de que atopes dous ríos non paralelos pero estando obrigado a cruzar o segundo na dirección que indica a frecha.

PROBLEMA 12: TRISECCIÓN CLÁSICA

Yago sempre pensou en deixar aos seus catro fillo, can-do faltara, este curioso solar que adquiriu xa hai algúns anos. Curioso porque permitía dividilo en partes iguais, do mesmo tamaño e de igual forma, para cada fillo como mostra a figura:

Pero a desgraza fixo que Yago e o seu fillo morreran nun brutal e inesperado accidente de tráfico. Non obs-tante, o testamentaeiro familiar aseguraba que era po-sible repartir o terreo seguindo a vontade de Yago, isto é en partes iguais, en tamaño e forma, entre os seus fillos. Indica como.

PROBLEMA 13: PUZZLE DE MÁXIMA DIFICULTADE.

A caixa deste puzzle de 850 pezas contén en realidade 851 pezas. E cada peza é dalgún destes cinco tipos:

Cantas pezas do tipo E hai na caixa? PROBLEMA 14: MILIARIOS DE DESEÑO PARA O CAMIÑO.

Os irmáns Estecha, artesáns turolenses de Valderrobres, traballan con esmerada e exquisita técnica a pedra artificial. Entre os seus encargos destacan os no-vos miliarios cilíndricos do Camiño de Santiago. Cunhas dimensións de 160cm de alto por 30cm de ancho resultan moi pesados e están planeándose facelos na forma de prisma hexagonal regular man-tendo as súas dimensións. Así, en que porcentaxe reducirán o seu peso?

Colectivo Frontera

Tetractis 31_40

Documents

Transcript of Tetractis 31_40