Tetractis21_30

FINAL do

I Certame de Mat-monólogos Martes, 6 de maio, ás 16:30 h

IES Monelos

Ano II. Boletín nº 21 Depósito legal: C 2766-2006 Extra Abril, 2008

II SEMANA MATEMÁTICA 5 - 9 DE MAIO

Na exposición será posible construír, con diversos materiais comerciais e recortables, os poliedros regulares, os arquimedianos, os duais, o omnipo-liedro, facer o estudo da rixidez, as tensegridades, etc.

XEOMETRÍA 3D: DOS POLIEDROS ÁS TENSEGRIDADES

ESCHER E MATEMÁTICAS: DIÁLOGO ENTRE CIENCIA E ARTE

ACTIVIDADES

EXPOSICIÓNS: Xeometría 3D:

Dos poliedros ás tensegridades.

Escher e Matemáticas: Diálogo entre ciencia e arte

OBRADOIROS:

Xeometría de papel

Xogos para educar a mente CONCURSOS:

Final do I Certame de Mat-monólogos

Descifrar códigos

Tetractis 21 2

O Índice de Prezos de Consumo (IPC) é unha me-dida estatística da evolución dos prezos dos bens e servizos que consome a poboación residente en viven-das familiares nunha zona determinada (cidade, provin-cia, rexión, nación,…). O conxunto de bens e servizos, que conforman a cesta da compra, obtense basicamente do consumo das familias e a importancia de cada un deles no cálculo do IPC está determinada polo devandito consumo. O cálculo deste índice é básico para o estudo e análise da economía dun país ou re-xión. En base a el tómanse decisións acerca de: • A subida anual dos sala-

rios. • A subida anual das pen-

sións. En España esta subida debe ser igual ou superior ao IPC dos últi-mos doce meses obtida en novembro.

• O interese bancario. Ademais o IPC é unha boa medida da evolución da economía dun país. É desexable que o IPC sexa baixo, próximo a cero e, en todo caso, non superior ao 2 ou 3 por cento, isto é un indicador de que existe estabilidade na economía do país o que moti-va que se invista no mesmo e, xa que logo, que o país avance e mellore. Pola contra, unha inflación alta é un claro síntoma de inestabilidade na economía do país, o que o converte nun país pouco atractivo para investir nel. En España o Instituto Nacional de Estatística (INE) organismo encargado de calcular o IPC, o que fai mensualmente. Cada mes o INE proporciona os seguin-tes datos: A variación mensual do IPC: o que aumentou ou

diminuí o IPC no último mes. A variación anual do IPC: o que aumentou ou dimi-

nuí o IPC nos últimos doce meses. É o índice máis interesante porque o IPC é unha medida clara-mente estacional de ciclo anual, isto é, hai meses no ano no que o IPC é sempre alto e outros no que é sempre baixo independentemente de que se controle mellor ou peor a inflación no ano.

A variación no que vai de ano: é a suma dos datos de variación mensual dos meses en curso. Utilíza-se para observar se ao longo do ano mantense ou non o control do IPC.

Para o cálculo do IPC tómase como basee unha determinada data, a última que tomou o INE é 2006. Isto é, suponse que en 2006 os prezos tiñan un índice de 100 e coa evolución do tempo este índice aumenta (inflación) ou diminúe (deflación). A evolución deste índice desde xaneiro de 2002 ata xaneiro de 2008 po-de verse na seguinte figura. Destacar que nesta gráfi-ca obsérvase claramente a compoñente estacional do índice, isto é, o IPC forma ciclos anuais.

Na Figura 3 preséntase a gráfica das tres series definidas para o IPC en Es-

paña desde xaneiro de 2002 ata xaneiro de 2008. A variación mensual do IPC mes a mes (en azul),

valores pequenos, polo xeral inferiores ao 1% e que algúns meses son negativos (períodos de deflación) que coinciden, por exemplo, cos meses de rebaixas nos comercios. Novamente nesta gráfica obsérvase o carácter estacional do índice. A variación no que vai de ano (en verde). É unha

serie acumulativa, non sempre crecente (decrece nos períodos de deflación) e que parte de cero ca-da doce meses, ao comezar o ano. A variación anual do IPC (en vermello). Indica a va-

riación do IPC nos últimos doce meses, é a máis interesante e informativa.

ÍNDICE DE PREZOS DE CONSUMO (IPC)

121110987654321

año 2007

5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

0,00

IPC

-Esp

aña-

200

7

O incremento do IPC acumulado en España no ano 2007. Obsérvase que ata agosto o IPC estaba razoablemente controlado, por baixo do 2,5%, pero a partir de setem-bro comezou unha escalada que o levou a valores superio-res ao 4%, valores que son considerados altos.

JAN2007

JAN2006

JAN2005

JAN2004

JAN2003

JAN2002

110,00

105,00

100,00

95,00

90,00

85,00

Indi

ce

Evolución do IPC con base 2006 en España dende xaneiro do 2002 ata xaneiro do ano 2008.

JAN2007

JAN2006

JAN2005

JAN2004

JAN2003

JAN2002

5

4

3

2

1

0

-1

IPCanualIPCacumIPCmen

Tetractis 21 3 Extra Abril, 2008

COMO SE CALCULA O ÍNDICE DE PREZOS DE CONSUMO ?

O Índice de Prezos de Consumo (IPC) ten como obxec-tivo medir a evolución do nivel de prezos dos bens e servizos de consumo adquiridos polos fogares residen-tes nunha zona. A precisión con que se realice esta me-dición depende de dúas calidades que todo IPC debe conter: • A representatividade vén determinada pola adap-

tación deste indicador á realidade económica do momento; así, a taxa de variación calculada aproxi-marase máis á evolución do conxunto de prezos, canto máis se adapten os elementos seleccionados para a súa medición ás pautas de comportamento dos consumidores. Para conseguilo, os artigos se-leccionados que formarán parte da cesta da compra deben ser os máis consumidos pola maioría da pobo-ación, os establecementos da mostra deben ser os máis visitados, e a importancia relativa de cada ar-tigo na cesta da compra debe responder ás tenden-cias de consumo dos fogares. Canto mellor sexa a selección destes elementos máis representativo considerarase este indicador.

• A comparabilidade temporal. O IPC é un indicador que só ten sentido cando se establecen compara-cións no tempo; de feito, un número índice non ten a penas significado se non vén acompañado dunha comparación con índices doutros períodos de tempo para obter as taxas de variación correspondentes (pode ser un mes, un ano, ou calquera outro momen-to no tempo). Por iso, todos os elementos que defi-nen o IPC deber ser estables ao longo do tempo excepto, loxicamente, os prezos recollidos men-sualmente.

O IPC calcúlase segundo un Sistema de Índices de Prezos de Consumo.

Un Sistema de IPC defínese como o conxunto de elementos e métodos estatísticos necesarios para cal-cular este indicador. Os elementos máis destacables que definen un Sistema de IPC son o seguintes: • A CESTA DA COMPRA. É a mostra de artigos

para os que se van a recoller os prezos mensual-mente, e cuxa evolución representa a de todos os prezos de consumo da economía. A selección realí-zase segundo a importancia de cada un, medida a partir do gasto realizado.

• AS PONDERACIÓNS. Representan a importancia relativa que ten cada artigo da cesta da compra fronte aos demais; o parámetro que se utiliza para iso é o gasto que realizan as familias residentes en España. Esta información obtense da Enquisa Con-tinua de Orzamentos Familiares. A ponderacións no cálculo do IPC en España son as seguintes:

A MOSTRA DE MUNICIPIOS E ESTABLECEMENTOS. A mostra de municipios establécese en función do ta-maño da poboación, de forma que os municipios selec-cionados representen ao total da mesma. O APARELLO METODOLÓXICO. Abarca unha variedade de aspectos tales coma a fórmula xeral de cálculo do índice, os tratamentos específicos de certos conxun-tos de artigos ou os instrumentos para realizar axús-tes de calidade. En España, a partir de xaneiro de 2002 a metodo-loxía do IPC renovouse completamente. Os cambios metodolóxicos introducidos neste Sistema fixeron do IPC un indicador máis dinámico, que se adapta mellor á evolución do mercado, xa que se poderán actualizar as ponderacións máis frecuentemente. Ademais, poderan-se incluír novos produtos na cesta da compra no mo-mento en que o seu consumo comece a ser significativo. A Ficha Técnica do cálculo do IPC en España é a seguinte: • Tipo de enquisa: continua de periodicidade mensual. • Período basee: 2006 • Período de referencia das ponderacións: desde o 1º trimestre de

2004 ata o 4º de 2005. • Mostra de municipios: 177 • Número de artigos: 491 • Número de observacións: aproximadamente 220.000 prezos mensuais. • Clasificación funcional: 12 grupos, 37 subgrupos, 79 clases e 126

subclases; 57 rúbricas e 28 grupos especiais. • Método xeral de cálculo: Laspeyres encadeado. • Método de recollida: axentes entrevistadores en establecementos e

recollida centralizada para artigos especiais.

Destacar que no último cambio que se realizou no cál-culo do IPC en España incluíronse os períodos de rebai-xas. E o acordo de que cada cinco anos realizarase un completo cambio de base; xa que logo, as operacións a realizar consistirán en determinar a composición da cesta da compra, as ponderacións e a selección da mos-tra. Tamén virá acompañada dunha revisión moito máis profunda de todos os aspectos metodolóxicos que de-finen o IPC. Desta forma, conseguirase un indicador máis dinámico e que se adapte de forma máis rápida aos movementos do mercado e á aparición de innova-cións metodolóxicas. Ademais, cumprirase coas esixen-cias da UE a través de Eurostat.

Anxo Vilar Castro, 1ºBach. B

Grupos Ano 2006,

IPC base 2001

Ano 2007, IPC base 2006

Alimentos e bebidas non alcohólicas 22,28 22,06

Bebidas alcohólicas e tabaco 3,07 2,82

Vestido e calzado 9,25 9,03

Vivenda 10,71 10,36

Menaxe 6,17 6,15

Medicina 2,72 2,83

Transporte 14,91 14,89

Comunicacións 3,28 3,58

Ocio e cultura 6,78 7,11

Ensino 1,68 1,60

Hoteis, cafés e restaurantes 11,45 11,55

Outros bens e servizos 7,72 8,02

Tetractis 21 4

MATEMÁTICAS E NARRATIVA XEOMETRÍA DE PAPEL

CAIXA PENTAGONAL MODULAR Material: 10 cadrados 15x15 de varias cores Diagramas: (base e tapa)

Alicia Pedreira Mengotti

A ENVEXA DA PLUMA

A matemática intervén na obra literaria como estructura, pois unha obra literaria pode ter unha estructu-ra alxébrica elemental.

As permutacións son reordena-cións en espiral. Cando hai varias ma-neiras de elixir un elemento; por exem-plo, se hai seis formas de elixir ó 1º, cinco do 2º,… as eleccións serán 6x5x4x3x2x1, chámase seis factorial, indícase como 6!. Se as aplicamos ó nivel atómico da palabra obtéñense anagramas, que están formados polas mesmas letras. Tamén existen permu-tacións de palabras. Unha obra pódese construír con permutacións de páxinas. Chégase a conclusión de que as n! per-mutacións de n elementos son as súas combinacións en n posicións, sen repe-tición. A análise combinatoria, formada por permutacións e combinacións, é o estudo das configuracións que se po-den formar con varios símbolos. Os palíndromos, son letras colocadas simetricamente no centro dun texto, escrito nunha única liña. Pódese ler de principio a fin ou ao revés. O caligrama máis simple é o da alexandrina, limítase a ordenar as le-tras de maneira que formen figuras. Os acrósticos son palabras obtidas polas iniciais doutras.

Ademais hai relacións entre varios textos, de aquí xorden: Identidade: mesmo texto gráfico ou fonético. -textos enigmáticos, admiten plurali-dade de lecturas. Isomorfismo: mesma estructura sin-táctica ou semántica. -lipograma/panorama Homomorfismo: comunidade parcial de estructura sintáctica ou semántica.

A ENVEXA DO PINCEL

Exemplos do emprego matemático na pintura vense no puntillismo

(representación de puntos) e no cubis-mo(de segmentos). Pintores famosos empregan espirais, combinacións de esferas ou conos truncados nas súas obras. Na representación artística das cifras, das figuras xeométricas, de poliedros regulares aprécianse a pintu-ra e as matemáticas.

As proporcións poden ser: a sec-ción áurea, que intervén na construc-ción do pentágono regular e dodecae-dro. A figura máis destacable é a es-trela pitagórica e a divina propor-ción. Grupo de simetría: segundo o punto ou o ángulo desde o que se observe unha figura, verémola dunha maneira ou doutra. Arte óptico: segundo como a figura estea colocada a nosa imaxinación vea dunha forma ou doutra. As figuras ambiguas representan va-rios obxectos ó mesmo tempo.

A ENVEXA DA BATUTA

Pitágoras observou a coincidencia entre matemáticas, natureza e música, ó observar un intervalo, a súa lonxitude e a relación en pesos.

O primeiro elemento matemático que se aprecia nunha partitura é a notación métrica.

Entre os séculos XV e XVII men-ciónanse: -proporcionalidade: lectura das mes-mas notas con valores diversos. -mensuralidade: lectura das mesmas notas con metros distintos. No século XVIII: -transposición: Lectura en claves di-versas que corresponde a unha transla-ción horizontal ou vertical do penta-grama. -reflexión: respecto a un espello per-pendicular ou paralelo o pentagrama, pode ser simple ou recto ou retrógra-da. Leticia Lema López 1ºBach. B

PLUMA, PINCEL Y BATUTA Las tres envidias del matemático

Piergiorgio Odifreddi

Alianza Editorial

La matemática que se oculta tras la poesía, la pintura y la música

Extra Abril, 2008

ENSAMBLAXE

Ano II. Boletín nº 22 Depósito legal: C 2766-2006 Maio, 2008

ESPECIAL FEIRA MATEMÁTICA 2008 DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS

Música e Matemáticas: A harmonía dos números

STAND 1 Actividades:

Xeometría de papel Carteis:

Mulleres matemáticas María Wonenburger

Caricaturas de matemáticos


Xogos para educar a mente Carteis:

Boletín Tetractis (Ano II)


Mosaicos nazarís Carteis:

Arte e xeometría


Caixon de libros Matemaxia, códigos…

Carteis: Matemáticas e narrativa

Certame de mat-monólogos

A NOSA PROPOSTA PARA A FEIRA

ALGÚNS LIBROS PARA MATEMÁTICAS E MÚSICA

EL ARMONÓGRAFO LAS MATEMÁTICAS DE LA MÚSICA

PLUMA, PINCEL Y BATUTA LAS TRES ENVIDIAS DEL MATEMÁTICO

VER TETRACTIS 21 CA

DER

NO

S ED

ITA

DO

S PA

RA O

DÍA

ESC

OLA

R D

AS

MA

TEM

ÁTI

CAS

2008

Ca

dern

os e

mái

s ac

tivi

dade

s na

páx

ina:

www.

fesp

m.o

rg

Fede

raci

ón E

spañ

ola

de S

ocie

dade

s de

Pro

feso

res

de M

atem

átic

as

Tetractis 22 6 Maio, 2008

D urante moitos séculos considerouse que as mate-máticas e a música tiñan certa relación, xa que teñen algunhas características comúns.

Inda así teñen moitas diferenzas: Unha parte das matemáticas estuda os números, os seus patróns e for-mas, elementos inherentes á ciencia, a composición e a execución da música. A música cambia a súa textura e carácter segundo o lugar e a época. Pola súa parte, as matemáticas son directas, nunca alteran o seu carácter. A música créase a partires de algo físico, instrumentos de todo tipo de materiais prodúcenas. As matemáticas son, sobre todo, abstraccións que non precisan nin papel e lapis. Aínda que ambas disciplinas son moi diferentes, o mundo actual non podería concibirse sen elas.

Pola mestura entre o terreal e o celestial ambas dis-ciplinas tiveron un poder místico dende a Antigüidade.

As matemáticas nacen da necesidade de rexistrar o paso do tempo e as observacións de ceo e consistiron, nun principio, soamente en números e recontos debido á necesidade de levar un rexistro das colleitas, do gando e das operacións comerciais.

Como primeiras expresións de música existen, na Pre-historia, chifros de oso e frautas de caña descubertos en covas que nos confirman o poder do son para evocar estados de ánimo. A música nace da necesidade de pro-texerse de certos fenómenos naturais, de alonxar o es-píritos, de honrar axuda dos deuses e festexar os cam-bios de estacións.

A partires do século IV a.C. nace o virtuosismo. A música convertese en mero entrete-mento, a ensinanza musical descende moito e o músico perde o seu nivel so-cial.

OS PITAGÓRICOS Considérase a Pitágoras o fundador

do pitagorismo, que alcanza o seu es-plendor entre os séculos VI e III a.C. Pitágoras designou a palabra matemáti-cas (mathesis) que significa “o que é aprendido”. Os pitagóricos dividiron

esta ciencia en catro seccións que constituían a esencia do coñecemento. Pitágoras describe un sistema de ideas que busca unificar os fenómenos do mundo físico e do espiritual en termos de números de razóns e proporcións de en-teiros. Críase que, por exemplo, as órbitas dos corpos celestiais que xiraban ao redor da Terra producían sons que harmonizaban entre si dando lugar a un son belo chamado “a música das esferas”.

Pitágoras estudou a natureza dos sons musicais, des-cubrindo que existía unha relación numérica entre tons que soaban “harmónicos” e foi o primeiro en darse conta de que a música, podía ser medida por medio de razóns de enteiros. O que Pitágoras descubriu foi que ó dividir unha corda que produce un son en certas proporcións era capaz de producir sons pracenteiros ao oído. Este sinxelo pero importante descubrimento é o fundamento da música. Pitágoras construíu unha escala a partir des-tas proporcións, cha-mada escala pitagórica diatónica que foi usada durante moitos anos no mundo occidental; tó-dolos seus intervalos poden ser expresados coma razóns de enteiros. Nos seus experimentos, Pitágoras descu-briu tres intervalos que consideraba consoantes: o dia-pasón, o diapente e o diatesaron.

Unha das ensinanzas clave da escola pitagórica foi que os números eran todo e que nada se podía concibir sen eles. Había un número especialmente venerado, Tetractis, que era o símbolo sagrado dos pitagóricos, un triángulo de catro filas representan-do as dimensións da experiencia: 1 punto, 2 liña, 3 plano e 4 espazo. A tradición Pitagórica foi propiciada por Severino Boecio, filósofo e matemá-tico, principal tradutor da teoría da teo-ría da música na Idade Media.

MÁTEMÁTICAS E MÚSICA


O TEMPERAMENTO A escala temperada desenvolveuse para resolver pro-

blemas de afinación e conseguiu cambiar dunha tonalida-de a outra sen teres que cambiar a afinación dos instru-mentos.

No século XII compositores e executantes comeza-ron a separarse da tradición pitagórica creando novos estilos e tipos de música. A execución de composicións complexas levaba a experimentar con afinacións alterna-tivas e temperamentos.

As novas afinacións seguían utilizando as matemáti-cas para calcular os intervalos, pero non seguían os prin-cipios pitagóricos. Agora eran utilizados dunha forma práctica e non coma un fin. Este cambio de actitude cau-sou desacordo entre os matemáticos, quen querían unha adherencia estrita ás súas fórmulas, e os músicos, que buscaban regras fáciles de aplicar.

O temperamento non se popularizou ata 1630, cando o pai Mersenne formulou as regras para afinar que usa-mos aínda hoxe. Isto permitiría a creación dunha escala onde tódolos intervalos son iguais (12 semitóns): a escala cromática. No século XVIII músicos coma Bach (1685-1750) comezaron a afinar os seus instrumentos usando o temperamento.

A MELODÍA Un procedemento básico para obter cohesión nunha

peza de música é a reafirmación du-nha secuencia de sons, en forma va-riada, para evitar a monotonía e dar carácter á composición.

As transformacións musicais están intimamente relacionadas coas trans-formacións xeométricas. Unha trans-formación xeométrica recoloca unha figura xeométrica no plano sen que a forma orixinal se distorsione coa ma-nipulación. Así, unha frase musical terá motivos que se repiten en forma idéntica ou se repiten en forma máis aguda ou máis grave.

Rotación, translación e reflexión, estas transformacións xeométricas atoparemolas na maioría das melodías populares. Éste é un recurso moi uti-lizado aínda que normalmente non o asociamos coas ma-temáticas.

A forma máis sinxela de aplicar a translación á músi-ca é a repetición, que é o procedemento máis usado na música. A repetición constante pode causar un efecto hipnótico.

Os números da chamada serie de Fibonacci son ele-mentos dunha serie infinita. O primeiro número desta serie é 1 e cada número seguinte é a suma dos dous an-teriores.

A razón entre dous elementos subxacentes desta serie é a chamada proporción áurea que, pola súa atrac-tiva estética úsase amplamente no arte e na arquitectu-ra. Pero esta proporción non só é agradable á vista se non tamén ó oído, polo que é moi empregada polos com-positores.

PROCESOS FORMAIS DA MÚSICA Outro aspecto interesante da relación entre música e

matemáticas é a composición de obras musicais a parti-res de regras e conceptos tales coma a probabilidade aplicada a xogos de azar, modelos estadísticos…

A partires do século XX coa aparición da computado-ra comézase a producir música a partir de modelos. Un exemplo é a música de Iannis Xenakis que utilizou a for-malización, é dicir, o uso dun modelo coma base dunha composición. Utilizou modelos matemáticos coma a pro-babilidade nas súas composicións e nalgunhas das súas obras arquitectónicas.

A combinatoria foi un recurso moi utilizado polos mú-sicos, sobre todo por Mozart. Compoñer é a arte de combinar distintas ideas buscando unha unidade formal. A combinación resulta máis sinxela cando se trata de xuntar frases moi cortas (coma os compases). Se se es-tablecen ben uns cantos compases é posibles combinalos dunha variedade incrible de formas, todas elas pracen-teiras ó oído.

CONCLUSIÓN A música e as matemáticas estiveron relacionadas ao longo da historia e continúan estandoo. A música precisa de orde e a matemática analiza esa orde. A matemática é unha das bases da música xa que está presente en diversas áreas de esta e é evidente nas afinacións, disposicións de notas, acordes e armenias, ritmo, tempo e nomenclatura. As proporción, simetrías, transfor-macións, homotecias, progresións, módulos, logaritmos… Toda a cons-trución harmónica e parte da melódi-ca é pura matemática. Aínda que na actualidade a música xa non é unha disciplina estritamente

matemática, as matemáticas son inherentes á música e continuarán influíndo na evolución da teoría musical.

Montse Barbeito Barros 1ºBach. B

Bibliografía: Wikipedia web.educastur.princast.es/ies/pravia Revista elementos, ciencia y cultura divulgamat.ehu.es

Posible partitura de Xogo de dados de Mozart


I CERTAME DE

MAT-MONÓLOGOS

1º CICLO ESO: De nomes e outras cousas

José Rodríguez-Moldes Varela, 2º ESO IES Mugardos

ACCESIT ALUMNADO DO IES MONELOS Once años con las matemáticas

Javier Melero Vilela

PERSOAS FORA DO SIST. EDUC. Premio vacante

2º CICLO ESO E BACAHARELATO Yo soy más de escribir que de hablar

Carolina Iglesias Mosquera, 3º ESO IES María Casares–Oleiros

Accesit

Matemáticas na vida. Iván González Cartelle, 1º Bach.

IES Mugardos

PREMIOS

Ano II. Boletín nº 23 Depósito legal: C 2766-2006 Xuño, 2008

O IES MONELOS NA FEIRA MATEMÁTICA 2008

O STAND DO BOLETÍN TETRACTIS O ALCALDE NO STAND DE MATEMÁTICAS E NARRATIVA, CUNHA PROBA DE MATEMAXIA

O STAND DE XEOMETRÍA DE PAPEL XOGOS PARA ENTRENAR A MENTE VISTA DO STAND DE MAT. E NARRATIVA

O STAND DE ARTE E XEOMETRÍA FACENDO MATEMAXIA CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS

ALICIA PEDREIRA E TERESA OTERO NO OBRA-DOIRO DE PAPIROFLEXIA

ESTE ANOS CELEBRÁBAMOS “MÚSICA E MATEMÁTICAS”. A APORTACIÓN MÚSICAL FOI OBRA DO DÚO FORMADO POR IRIA GLEZ. E DIEGO MATA E O GRUPO DE GUITARRAS DA APA ”RAIOLA”

Tetractis 23 10 Xuño, 2008

A catenaria é a curva que describe un cable, cadea ou corda perfectamente flexible, e de masa repartida uniforme-mente por toda a súa lonxitu-de, que está suspendida polos seus dous extremos e que se atopa sometida a un campo gravitatorio uniforme, como por exemplo a gravidade da Terra. A palabra cate-naria provén do termo latino “catenarius” que significa, propio da cadea.

Os primeiros matemáticos que abordaron este tema, confundiron a catenaria cunha parábola, realmente paré-cense moito, pero Huygens, aos 17 anos, demostrou que non o eran, pero tampouco encontrou a ecuación da cate-naria.

Tiveron que ser Gottfried Leibniz, Christian Huygens e os irmáns Bernoulli en 1691, os que descubrisen esta fórmula, gracias os seus coñecementos en matemáticas e física. O primeiro en utilizar o nome de catenaria foi Huygens en 1690. A ecuación da catenaria, tomando o seu mínimo no punto (0,a) é: Onde a constante a = To

/P, sendo To a compoñente horizontal da tensión, que é constante, e P é o peso por unidade de lonxitude do fío. Se desenvolvemos en series de Taylor a función cosh(x) queda que:

Esta ecuación é igual a da parábola, pero cun termo de cuarto orde. Por iso as gráficas da parábola e da catena-ria son tan parecidas.

Cada punto estará sometido a tres forzas: o produto entre a masa e a aceleración do campo gravitatorio uni-forme (peso: P = mg), a tensión que exerce a cadea a dereita e a tensión que exerce a cadea a súa es-querda. O sistema de for-zas pode estar representa-do polo seguinte gráfico:

APLICACIÓNS DA CURVA CATENARIA Esta curva invertida forma o trazado perfecto para

un arco na arquitectura, esta forma de arcos é coñecida sobre todo pola utilización que lles deu Antoni Gaudí nas súas obras, por exemplo na catedral da Sagrada Familia en Barcelona.

CATENARIA É NOME DE CURVA Estamos acostumados a ver curvas continuamente, nos edificios, nas nosas estradas, na natureza…, e algunhas destas necesitaron do desenvolvemento dunha sofisticada xeometría e uns coñecementos de cálculo importantes. A curva que describe por exemplo o tendido eléctrico de alta tensión, recibe o nome de catenaria.

= a(ex/a + e-x/a)/2

Tetractis 23 11 Xuño, 2008

Esta curva estruturalmente é das máis eficientes (dado que toda liña de presións sigue a forma da curva), xa a utili-zaban os arquitectos europeos da Idade Media, co nome de arco apuntado ou arco gótico; este arco permitiulles facer os edificios máis altos e con menos materiais, o que estaban facendo sen sabelo eran formas parecidas á catenaria, El Duomo de Milán en Italia y Notre Dame en Francia usan ar-cos góticos.

Nos ferrocarrís, denomínase catenaria o fío que transmi-te a enerxía o tren, chamase así, porque a forma xeométrica da curva catenaria é pa-recida a que segue a liña de corrente eléc-trica do tren, sostida por dous puntos cada certo espazo.

En enxeñaría, o uso da catenaria dáse en moitos aspectos, un deles é na construción de pontes colgantes ou pontes ati-rantados, que normalmente constan de dúas columnas nos extremos, nas que se leva un cable de aceiro, dunha columna

á outra, esta é a catena-ria, da cal saen outros cables verticais que unen o taboleiro ca catenaria, creando así unha forza de tensión vertical, pero non horizontal, por iso este tipo de pontes cam-baléanse. Outro sitio onde aparece

a curva catenaria é nas liñas de alta tensión que transporta a corrente eléctrica das centrais as nosas casas, estes cables definen catenarias ó largo do seu traxecto, dado que os ca-bles están sostidos por postes repartidos polo terreo, de maneira que utilizando a catenaria diminúen custes dado que non teñen que utilizar tantas torretas ou postes.

Nunha festa, as guirnaldas que se colgan tamén son cate-narias, porque en definitiva calquera cable suxeitado por dous dos seus estremos, forma unha catenaria.

A FACHADA DA CASA DO HOME (DOMUS) SIMULA UNHA VELA INCHADA POLO VENTO (VELARIA).

A SECCIÓN DA VELARIA É UNHA CATENARIA. Rubén Santiago Tojo, 1º Bach. B

FIN DO CURSO 2007-08 *****

PROBA DE SELECCIÓN PARA O CURSO 2008-09

O pasado sábado, 31 de maio, celebrouse na Facultade de Matemáticas de Santiago de Compos-tela, as probas de selección para o curso 2008-09 de EsTalMat (Estimulación do talento matemáti-co). A proba vai dirixida a alumnsos de 12 e 13 anos (6º de primaria e/ou 1º ESO) e serán selec-cionados 25 alumnos e alumnas que acaden as me-llores puntuacións dunha proba que consistía na resolución de e problemas. Este ano acudiron á proba cerca de 200 alumnos e alumnas de Galicia.

Esta é a foto oficial da proba: Este sábado, 7 de xuño, celebrouse o Acto de

Clausura do Curso 2007-08, na Aula Magna da Fa-cultade de Matemáticas, presidido polo Decano da Facultade de Matemáticas, Juan Viaño Rey, Presi-dente do Comité Organizador de Estlamat Galicia.

www.estalmatgalicia.com

A alumna do IES Monelos, Marina Combarro Eiriz, nun momento da Fase Final da Olimpiada Galega de 2º ESO que se celebrou, o pasado 23 de maio, no IES Manuel Antonio de Vigo.

Foto: www.agapema.com

Ano III. Boletín nº 24 Depósito legal: C 2766-2006 Setembro, 2008

www.estalmatgalicia.com

A HABITACIÓN DE FERMAT

Catro matemáticos descoñecidos entre sí son invitados por un misterioso anfitrión co pretexto de resolver un gran enigma. A sala na que se atopan resulta ser un cuarto minguante que os aplastará se non descobren a tempo que lles une e por que alguén quere asasinalos.

OS CRIMES DE OXFORD

Unha anciá aparece asasinada no salón da súa casa as aforas de Oxford. O seu cor-po é descuberto por dous homes que nese momento se atopan por primeira vez: Arthur Seldom, prestixioso profesor de Lóxica, e Martin, un xove estudante ame-ricano recen chegado á universidade coa intención de que o famoso profesor dirixa a súa tese doutoral. A morte da anciá non é senón o primeiro dunha serie de asasi-natos con inquietantes puntos en común. Son crimes case imperceptibles, que po-derían incluso pasar por mortes naturais se non fose porque cada un deles ven acompañado dunha mensaxe: unha imaxe, un signo diferente en cada ocasión que, morte a morte, vai dando forma a unha serie cuxa lóxica deberán descifrar os protagonistas. Percorrer ese camiño su-porá poñer a proba non so as conviccións matemáticas senón a propia forma de en-tender o mundo do profesor e do alumno. Podemos coñecer a realidade? É posible alcanzar a verdade?

MATEMÁTICAS E CINE NOVIDADES

PLANILANDIA, a película

Primeira novela do matemático Tefcros Mijailidis (Atenas, 1954)

Comeza o segundo curso de ESTAL-MAT con 50 alum-

nos e alumnas

Tetractis 24 14 Setembro, 2008

CUBE

Varias persoas espertan no interior dunha habitación con forma de cubo. Non se co-neñecen entre sí e aparentemente non teñen nada en común, excepto que non recor-dan nin saben como chegaron alí, onde están nin porque están aí dentro. Cada habita-ción está conectada con outras seis habitacións de aspecto idéntico á anterior, for-mando una especia de labirinto cheo de trampas. Cada unha das personaxes ten unha ocupación ou habilidade que é vital para intentar atopar a saída que parece próxima cando a estudante de matemáticas cree descubrir que unha serie de números grava-dos á entrada de cada cubo parece indicar un camiño seguro polo que se evitan as trampas mortais. Pero esa non é a única clave a ter en conta para saír de alí con vida.

CUBE 2 HIPERCUBE

Introdúcese un concepto revolucionario, ¡¡UN CUBO FOR-MADO POR CATRO DIMENSIÓNS!!: un hipercubo do que os protagonistas terán que saír. O labirinto está baseado no mundo complexo sempre cambiante, da física cuántica: tempo, realidades alternati-vas, gravidade son suxeitas ao cambio e alteracións que desafían a nosa lóxica e razón.

CUBE ZERO

“Cube Zero” cerra a triloxía da serie "Cube" e ven a ser o inicio que, ademais de meternos dentro dese labirinto, respóndese, en parte, a varias das cuestións sen resposta

que suxerían un excelente misterio: ¿quen construíu todo e os mete alí? ¿e por que? ¿cal é o obxectivo?. A saída será a través das Matemáticas e os sistemas de eixes no espacio.

21 BLACK JACK

Segue as andanzas dun grupo de xóvenes que se converten en expertos na arte de contar cartas para gañar nos casinos. Ben Campbell (Jim Sturgess) é un tími-do e brilante estudante do prestixioso Instituto Tecnolóxico de Massachussets (MIT) que, ao non poder pagar a matrícula da universidade, atopa a solución nas cartas. Dáselle a oportunidade de unirse a un grupo formado polos estudantes máis dotados da escola, que viaxan ás Vegas o fin de semana armados con identi-dades falsas e co coñecemento necesario para inclinar as probabilidades de éxito no black-jack ao seu favor. Baixo a dirección do pouco ortodoxo profesor de ma-temáticas e xenio da estatística Micky Rosa (Kevin Spacey), conseguiron desci-frar o código do éxito.

UNHA MENTE MARABILLOSA

Drama intensamente humano sobre un auténtico xenio, está inspirado na vida do matemático John Forbes Nash Jr. O atractivo e altamente excéntrico Nash fixo un descubrimento asombroso ao comezo da súa carreira e fíxose famoso en todo o mundo. Pero o seu fulgurante ascenso á estratosfera intelectual sufriu un drástico cambio de curso cando a brilante mente de Nash se viu atacada pola esquizofrenia. Enfrontándose a un reto que houbera destruído a calquera outro, Nash loitou por recuperarse coa axuda da súa devota esposa, Alicia. Tras varias décadas de penali-dades logrou superar a súa traxedia e recibiu o premio Nobel no ano 1994. Hoxe en día Nash é unha lenda vivente que segue entregado ao seu traballo.

Tetractis 24 15 Setembro, 2008

A VERDADE OCULTA

Catherine, muller matemática que se ve cuestionada como autora dun teorema, plantéase cal sería a súa herdanza xenética, a loucura ou a xenialidade do seu pai. En Matemáticas, para demostrar as hipóteses fai falla unha proba, pero se á exactitude das ciencias enga-dimos a incertidume das relacións persoais, os resultados xa cambian.

CONTACT

A protagonista, desde nena presenta unha predisposición innata ca-ra as Ciencias e as Matemáticas. Xa adulta logra comunicarse con seres extraterrestres a través dos números primos porque as Matemáticas, segundo ela, son o único idioma universal.

PI, FE NO CAOS

A película trata sobre Maximillian Cohen, un matemático moi reser-vado, bastante paranoico e queixado de fortes dores de cabeza quen cre que toda a natu-reza pode ser representada mediante números. Max pretende descubrir o modelo mate-mático da bolsa a través de cálculos e programas propios que introduce no seu ordenador Euclides.

O CÓDIGO DA VINCI

O catedrático e afamado simboloxista Robert Langdon é chamado unha noite ao Museo do Louvre, cando o asasinato dun conservador deixa tras de sí un misterioso rastro de símbolos e pistas. Coa súa propia vida en xogo, Langdon, axudado pola criptógrafa da policía, Sophie Neveu, descobre unha serie de segredos ocultos na obra de Leonardo Da Vinci. Todos apuntan a unha sociedade segreda, O Priorato de Sion, encargada de custodiar un antigo segredo que permaneceu oculto durante dous mil anos: o verdadeiro papel de María Magdalena na historia de Xesús e do cristianismo, silenciado pola Igrexa. Xuntos embárcanse nunha emocionante busca que os leva a París, Londres e Escocia, mentres reúnen pistas nun intento desesperado de descifrar o código e revelar segredos que farían tambalear os cimentos do Catolicismo oficial.

21 GRAMOS

Un profesor universitario de matemáticas, protagonista dun drama de estructura mate-mática, á maneira de puzzle, e cuxo título se refire á cantidade de gramos que se cre per-demos cando morremos, como se fose o peso da alma humana.

ENIGMA

A trama xira en torno aos intentos dos matemáticos británicos de descifrar o código ENIGMA utilizado polos nazis para encriptar as súas transmisións durante a II Guerra mundial. O protagonista, Jeri-cho, logra descifrar o código mediante o uso de coordenadas e grafos.

RAIN MAN

Charley terá que coidar do seu irmán autista, Raymond, despois da morte do seu pai co que non se fala dende que era adolescente, a quén lle deixa toda a súa herdanza. Pero Raymond pode calcular problemas matemáticos complicados na súa cabeza a gran velocidade e exactitude.

Sabela Rodríguez Castaño

Ano III. Boletín nº 25 Depósito legal: C 2766-2006 Outubro, 2008

EXPOSICIÓN DE COMO APRENDEMOS A CONTAR E

OS APARELLOS EMPREGADOS *******

FACULTADE DE MATEMÁTICAS 10-21 de Novembro

Dende o principio dos tempos a humanida-de xa sentíu a necesidade de contar. A palabra cálculo provén do latín calculus, que significa contar pedras, e é nese intre cando comeza a historia do cálculo, ou das matemáticas.

MATEMÁTICAS E MEDICINA Anxo Vilar Castro

N a maioría das investigacións biosanitarias é necesario utilizar as Matemáticas aínda que é certo que todas as ramas das matemáticas non se utilizan coa mesma frecuencia; así a Estatística é utilizada de forma intensiva nas investigacións médicas e o resto de áreas matemáticas te-ñen un uso puntual e en inves-tigacións moi concretas, xeralmente, utilizando métodos matemáticos moi avanzados e sofisticados. O motivo diso radica en que a investigación médica é en gran medida experimen-tal, baséase en recoller gran número de datos experimentais que poste-riormente son analizados con méto-dos estatísticos para extraer conclu-sións. E, en calquera caso, en todo novo método sanitario que se propón (tratamento, fármaco, protocolo mé-dico, … ), a súa validez debe ser con-trastada experi-mentalmente utili-zando técnicas estatístico matemáti-

cas. Todo o anterior reflíctese nos

plans de estudos das titulacións bio-médicas (Medicina, Farmacia, Veteri-naria, Enfermería, Bioloxía ... ), nas que existe unha materia básica e obri-gatoria de Cál-culo de Proba-bilidades e Es-tatística, cha-mada Bioesta-tística.

RAMAS DAS MATEMÁTICOS UTILIZADAS

• A Investigación Operativa (Pro-gramación Linear) para resolver o “problema da dieta” en nutrición.

• Teoría de Control Óptimo no estu-do da relación entre dose e efecto.

• Sistemas de ecuacións diferen-ciais e integrais en Endocrinoloxía e Metabolismo.

• Modelos de difusión no estudo do ril artificial e difusión do osíxeno en tecidos vivos.

• Ecuacións integrais en Biome-cánica e Dinámica de poboacións.

• Análise funcional e análise de Fou-rier en Procesamento de imaxes médicas; tomografía com-pu-erizada; microscopía elec-trónica e medicamento nuclear.

• Teoría de Control Óptimo no estu-do do colesterol en sangue, arrit-mia cardíaca e control do cerebelo.

• Xeometría e Topoloxía en Bioloxía Molecular.

• Espazos métricos e distancias en Xenética.

• Teoría de grupos no estudo da es-trutura do ADN.

Litotriptor: Utilizado para desintegrar cálculos renais por medio de ondas intra-cuáticas. Utiliza as propiedades dos focos dunha elipse.

Tetractis 25 18 Outubro, 2008

ALGUNHAS APLICACIÓNS DAS MATEMÁTICAS EN MEDICINA

A continuación descríbese con maior detalle algúns procedementos matemáticos aplicados recentemente en diferentes problemas médicos.

• ANALIZANDO TUMORES CEREBRAIS. O tratamento matemático consta de varias etapas:

identifícanse as variables "importantes" que son a densidade de células canceríxenas, a presión á que están sometidas as células e a concentración de nu-trientes entre outras. A continuación, a partir de datos experimentais coñecidos e usando leis propias da física, química e bioloxía, dedúcense as ecuacións que describen o comportamento do sistema. Trátase de "ecuacións en derivadas parciais non lineais" moi complicadas, que recollen información sobre fenóme-nos tan particulares como a "anxioxéneses" ou a "metástases". Finalmente, con axuda de técnicas nu-méricas moi elaboradas, é posible calcular as solu-cións destas ecuacións e os valores numéricos obti-dos poden ser utilizados para describir a evolución no tempo dun tumor.

• DESCIFRANDO O ADN. Os científicos atoparon que unha rama das matemáticas denominada “teoría de nós” é útil para estudar e com-prender a estrutura do noso ADN. Xa que logo, as mate-máticas xogan un papel cra-ve para comprender como funciona e se reproduce o ADN.

• EXPERIMENTANDO CÓ CORAZÓN. Non é posible experimentar con verdadeiros cora-zóns humanos pero se pode traballar (experimentar por medio de simulación) cos modelos matemáticos do corazón humano. Estes estudos levaron a mellorar o coñecemento dos complexos procesos que segue o corazón humano.

As matemáticas e o computador po-den substituír os anos de experi-mentación en labo-ratorios. Estes estudos permiti-ron o deseño de novas válvulas ar-tificiais.

• CARTOGRAFANDO O CEREBRO. As matemáticas utilízanse para identificar con preci-sión as partes do cerebro que realizan funcións espe-cíficas.

Esta investigación baséase en realizar mapas bidimensionais do noso cerebro tridimensio-nal, utilizando técnicas análo-gas ás que permiten represen-tar a esfera terrestre dun globo a un mapa. O problema de mapear o cerebro é moito máis complexo debido ás moi-

tas gretas e pregamentos que existen na superficie do cerebro.

• DETECTANDO TUMORES. Os tumores cambian de tamaño e/ou localización en-tre o diagnóstico preoperatorio e o tratamento. Isto pode ocasionar que a radiación pode dirixirse a un obxectivo que se moveu de lugar.

A xeometría, as ecuacións diferenciais parciais e a programación linear enteira son tres áreas das matemáticas que se usan para procesar datos en tempo real, o que permite aos médicos (radiólogos) causar o maior dano posible ao tumor, cun dano míni-mo ao tecido san.

A virusterapia (usar virus para destruír células cancerosas) é un área de investigación moi promete-dora nesta liña.

Os investigadores están usando modelos mate-máticos para descubrir como usar os virus do xeito máis beneficioso.

Ao facer probas por medio de simulacións con modelos matemáticos axuda a desenvolver medica-mentos máis eficaces, de forma máis rápida e econó-mica, que se só se usan en experimentos de laborato-rio e probas clínicas. Estes métodos utilizáronse no desenvolvemento de cócteles anti-VIH.

• SOBRE O CRECEMENTO DOS TUMORES. Segundo o traballo do físico teórico Antonio Brú, au-tor dun artigo aparecido na revista Journal of Clini-cal Research, os tumores crecen linearmente e non exponencialmente como pensa a maioría dos investi-gadores. Tamén se expón que o contorno de calquera tumor é un fractal, unha curva que ten a mesma for-ma vista de cerca ou de lonxe, como os litorais ou as árbores. As sofisticadas matemáticas dos fractais permiten deducir, a partir da dinámica de crecemen-to dun contorno (o do tumor, neste caso), cal é o pes-cozo de botella esencial que constrinxe o seu crece-mento.

Tetractis 25 19 Outubro, 2008

APLICACIÓNS DA ESTATÍSTICA NA MEDICINA.

Como se indicou anteriormente o Cálculo de Probabilida-des e a Estatística utilízanse de forma habitual na in-vestigación biomédica, sendo necesario para calquera investigador desta área ter coñecementos es-tatísticos. Ademais, a maior parte dos equipos de investigación en medicamento contan cun ou máis membros especializados en bioestatísti-ca. Practicamente todos os métodos estatísticos son utilizados na área biosanitaria. A continuación ex-ponse algúns dos mesmos:

• ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERENCIA BÁSICA. A maior parte de investigacións médicas nalgunha das súas etapas recollen un número elevado de datos dos que hai que extraer información. Para iso utilízanse as técnicas de Estatística Descritiva: medidas des-critivas (media, desviación típica,…), gráficos (de ba-rras, histograma, dispersión, …). Tamén é necesario axustarlle aos datos recollidos algún modelo estatís-tico básico. Por exemplo, recolléronse mil observa-cións da presión sistólica e diastólica de homes adul-tos da provincia da Coruña. Es-tase interesado en saber se a variable presión sistólica segue unha distribución normal (campá gaussiana), existe unha relación entre a presión sistólica e a diastólica? Ou, doutra forma, coñecida a presión sistólica du-nha persoa pódese predicir a súa presión diastólica?, con que precisión?

• CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Esta teoría é moi utilizada en problemas de Xenética e de Medicamento Legal. Nes-ta liña é interesante a análise de probas de paterni-dade, a culpabilidade ou non dunha persoa analizando restos biolóxicos. Recentemente, estudar cales eran os verdadeiros restos de Cristóbal Colón comparando os restos xenéticos cos de descendentes directos do mariño.

• CONTRASTE DE HIPÓTESES. Esta é unha das técnicas estatísticas máis utilizadas e permite resolver problemas do seguinte tipo: É ma-ior a probabilidade de contraer cancro nos individuos fumadores que nos non fumadores? Teñen igual pro-babilidade de contraer unha enfermidade cardíaca as mulleres que os homes? Diminúe o tempo de convale-cencia dunha enfermidade por tomar un determinado fármaco?

• ANÁLISES DE SUPERVIVENCIA. Na investigación médica un problema básico é o estu-do da función de risco, h(x), que expresa a probabili-dade de morte dun individuo sabendo que viviu ata o instante x. Un exemplo típico desta función é a de

tipo “bañeira”, onde h(x) toma valo-res altos para valores baixos de x (primeiros anos do individuo dunha poboación con alta mortalidade in-fantil), a continuación h(x) toma va-lores baixos (mentres o individuo é

novo) e van aumentando segundo envellece. Neste contexto ten interese estudar a función de risco nos individuos que lles han trasplantado un ór-gano, por exemplo, o fígado e comparar as funcións de risco dos tratados co fármaco A e dos non trata-dos (ou tratados con outro fármaco).

• DESEÑO DE EXPERIMENTOS. Esta técnica estatística utilízase para atopar os fac-tores que inflúen ou non nunha variable de interese. Por exemplo, é coñecido que é nivel de creatinina mi-de o bo funcionamento do ril e quérese estudar se inflúe no nivel de creatinina dos trasplantados do ril

algún dos seguintes factores: o sexo, se é o pri-meiro transplante ou non, o tipo de vida do pa-ciente (sedentario, actividade física moderada...), características do ril trasplantado.

• MODELOS DE REGRESIÓN. Esta é outra técnica estatística moi utilizada, con ela quérese explicar o comportamento dunha va-riable de interese a partir dun conxunto de varia-bles explicativas. Por exemplo, quérese estudar o comportamento da tensión arterial diastólica co-mo función do colesterol, do índice de masa cor-poral e da idade, no colectivo de homes galegos adultos.

• ANÁLISE MULTIVARIANTE. Conforman un conxunto de técnicas estatísticas clá-sicas de uso frecuente nos estudos médicos. De en-tre estas técnicas pódese destacar a Análise Discri-minante que permite resolver problemas do seguinte tipo: unha enfermidade caracterízase porque certas variables do paciente (temperatura, nivel de transa-minasas, nivel de ferro e de ferritina) son dun deter-minado tipo, mentres que os pacientes sans teñen estas variables doutro tipo, pero non sempre é fácil distinguir a partir do coñecemento das variables dun individuo se está enfermo ou non. Os métodos da análise discriminante axúdannos a resolver este pro-blema con baixa probabilidade de cometer erros.

Ano III. Boletín nº 26 Depósito legal: C 2766-2006 Outubro, 2008 Especial 25 números

ESPECIAL 25 NÚMEROS

U nha homenaxe a todas e todos os que participaron nestes 25 números e un agrade-cemento ao equipo directivo do IES Monelos da Coruña e a todo o profesorado que for-mou parte do Departamento de Matemáticas durante o tempo de edición de Tetractis.

Gonzalo Temperán

COLABORADORES

Aida Fernández Negreira Alba Arias Prieto

Amanda Otero Arcas Amaya Bouza Prado

Ana Romero Ferreiro Antón Cotelo García Anxo Vilar Castro

Ariana Varela Cancelo Aroa Vega Seijas

Atenea Fernández Rozadilla Beatriz Fernández Marta

Beatriz Rodríguez Vázquez Colectivo Frontera

Cristina Fernández Pérez Cristina Rabuñal Barral Enrique Currás Piñeiro Ero Maroño Rodríguez Fátima Froiz Mosquera

Iago Fraga Fraga Iria González Díaz

Jurema Pena Gómez Laura Busto Cruz

Laura Mella Balado Laura Seoane Santiso Leticia Lema López Lucía Cabado Espiño

Lucía Merelas Maroño Lucía Santos Dubra Marta Tarrío Álvez

Mercedes Fernández Marta Monserrat Barbeito Barros

Rubén Santiago Tojo Sabela Rodríguez Castaño Zayen Fernández Vázquez

ARTIGOS /Nº Tetractis

23, o número de Beckham, 13 A lenda dos mil grous, 9

Alberto Durero, 12 Amanabar dirixe Ágora, 19

As matemáticas do Código da Vinci, 4 Catenaria é nome de curva, 23 Códigos e díxitos de control, 3

Combatir enfermidades, 5 Curiosidades de π, 10 Escoitando música, 6

Estructuras xeométricas, 19 Fractais, 8

Índice de prezos ao consumo, 21 Logotipos e xeometría, 8

María Wonenburger: la algebrista feliz, 7 Matemáticas e cine, 24

Matemáticas e medicina, 25 Matemáticas e música, 22

Matemáticas e narrativa: Planilandia, 19 Matemáticas electorais, 14

Matemáticas exipcias, 7 Matemáticas na prensa, 5 Matemáticos españois, 10 Matemáticos Galegos, 15

Matemáticos no Euroencontro, 8 Método de Montecarlo para calcular π, 11 Monte de San Pedro: Pura xeometría, 20

Mosaicos nazarís, 2 Mulleres matemáticas, 6

Números figurados, 1 O rostro humano das matemáticas, 17

Pentaminós, 1 Piero de la Francesca e Pacioli, 19

Pluma, Pincel e Batuta, 21 Poema: Na álxebra da memoria, 5

Polígonos nazarís, 11 Recibos e IVE, 3

Sangaku, taboíñas matemáticas, 16 Todo é número?, 1

Triángulo de Pascal ou Tartaglia, 13 Un blog coruñés, 17

Un gráfico desafortunado, 15 Un vello método de multiplicar, 6

Unha árbore para Hipatia, 7 Xeometría áerea con Google Earth, 20

ARTE E XEOMETRÍA

Anatoly Fomenko Istràn Orosz

José Mª de Labra

Rob Gonsalves Tobia Ravà

EVENTOS

Canguro Matemático Día da Muller traballadora Día Escolar das Matemáti-

cas Estalmat

Feira Matemática (I e II) I Certame de

Mat-monólogos Matemaxia

Olimpiada de Bacharelato Olimpiada Matemática para

2º ESO Open Matemático Rallye Matemático

Semana Matemática Todomate Matetodo

EXPOSICIÓNS

A Muller innovadora na ciencia A proporción áurea nos peixes

Arte e xeometría Escher e Matemáticas: Diálogo entre ciencia e arte

M.C. Escher María Wonenburger

Matemáticas e narrativa Matemáticos no Euroencontro

Mosaicos Nazarís Mulleres matemáticas

O rostro humano das matemáticas Puntos de vista

Xeometría en 3D: dos poliedros ás tensegridades

Tetractis 26 23 Especial 25 números

XEOMETRÍA DE PAPEL Alicia Pedreira Mengotti

Ano III. Boletín nº 28 Depósito legal: C 2766-2006 Decembro, 2008

ACTIVIDADE DATAS Olimpiada Matemática 23 de xaneiro

Open Matemático 12 xaneiro-7 marzo

O rostro humano das matemáticas

19-30 de xaneiro

Rallye Matemático Por confirmar data

Canguro matemático 24 de marzo

Olimpiada de 2º ESO 24 de abril

De cómo aprendemos a contar

4-9 de maio

Día da Ciencia na rúa 9 de maio

III Feira Matemática 16 de maio

III Semana Matemática

11-15 de maio

II Certame de Mat-monólogos

12 de maio

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS

19-30 de xaneiro IES Monelos (A Coruña)

DE CÓMO APRENDEMOS A CONTAR

4-9 de maio IES Monelos (A Coruña)

En Xaneiro, nº especial de TETRACTIS sobre o II CER-

TAME DE MAT-MONÓLOGOS

AS NOSAS CITAS PARA 2009

XOGADOR MAIS VALIOSO (MVP) A avaliación do xogador nos partidos de baloncesto é un proceso que esperta

moita atención dos adestradores e investigadores. Considerase un proceso funda-mental para auxiliar os adestradores nas tomas de decisións relativas á xestión do adestramento e da competición.

A grandes rasgos, a expresión final deste tipo de avaliación converxe na análise das estatísticas representativas da prestación global, ofensiva ou defensiva dos xogadores nos partidos.

O enorme interese nestas estatísticas, no enfoque deportivo e comercial (elección do “xogador máis valioso” ou MVP), orixinou un ambiente propicio ao seu desenvolvemento.

Ao longo destes anos, a estatística gañou moita importancia no deporte. Así pódese coñecer o nivel medio de cada xogador en base aos teus resul-tados pasados. Estes datos tamén empréganse para distinguir ao mellor xogador en deportes como o balon-cesto. No baloncesto entrégase o galardón de “Xogador máis valioso” (ou MVP). Este galardón pódese entregar ao

xogador máis valioso dun partido, dun mes, dunha temporada, etc., ana-lizando os datos que obtivo o xoga-dor nese marxe de tempo. Para que a entrega deste premio fose o máis xusta posible, premiando realmente ao xogador máis valioso, ao longo das últimas décadas intentouse atopar un criterio baseado en fórmulas

Tetractis 28 30 Decembro, 2008

matemáticas e así que o resultado de ese galardón fose algo inapelable. O problema foi que non se atopaba a fórmula correcta. Deportes como o baloncesto non son só números polo que poñerlle valor ás accións do xogo converteuse en algo moi difícil, case imposible. Enunciáronse un gran número de teoría debido que estas estatísticas tamén serían empregadas á hora de valorar un xogador por parte de un entrenador ou un club. A continuación falarei dos métodos máis importan-tes que foron usados no pasado, os analistas que os propuxeron e en que consistían. Son os criterios que fo-ron empregados no balon-cesto, dado que noutros deportes tamén escollen o xogador máis valioso, como nas “Grandes Ligas de Béisbol”, pero non em-pregan criterios matemá-ticos, senón por votación.

MÉTODOS DE AVALIACIÓN

KAY (1966) foi seguramente un dos autores pionei-ros no estudo da avaliación da prestación dos xogadores nos partidos. No seu traballo, presentou unha estatísti-ca que denominou “TOTAL BASKETBALL PROFICIENCY SCORE” (TBPS), cuxo cálculo se realiza a través da atri-bución de determinadas puntuacións a cada unha das seguintes estatísticas:

A. Tiro de 2 puntos anotado ( 2 puntos) B. Tiro de 2 puntos fallado (-1 punto) C. Tiro libre anotado ( 1 punto) D. Tiro libre fallado (-1 punto) E. Asistencia ( 1 punto) F. Rebote defensivo ( 1 punto) G. Rebote ofensivo ( 2 puntos) H. Roubo de balón ( 1 punto) I. Falta cometida (-1 punto) J. Perdida de balón (-1 punto)

No final da recollida dos datos, a suma de todas as pun-tuacións parciais corresponde ao valor final do TBPS

TBPS= A+ B+ C +D +E +F +G+ H +I+ J

A pesar de que ao confeccionar esta estatística contou-se coa opinión dos expertos, esta claro que o TBPS non esta axustado á evolución de xogo (Ex: non contempla as

estatísticas dos tiros de 3 puntos). Para corrixir este problema, Janeira (1988) inclúo neste coeficiente os tiros de 3 puntos anotados (cunha ponderación de 3 pun-tos) e os tiros de 3 puntos fallados (cunha ponderación de -1 punto).

RENDEMENTO INDIVIDUAL NOS PARTIDOS Gomez e Moll (1980)

baseado nos puntos anotados (similar ó TBPS) A. Rebotes ofensivos e defensivos ( 1 punto) B. Outras formas de conquista da posesión de

balón - roubos, disputas,... ( 1 punto) C. Perdida da posesión de balón - violacións,

malos pases,... (-1 punto) D. Tapóns ( 1 punto) E. Asistencias ( 2 puntos) F. Tiros de campo errados (-1 punto) G. Tiros libres errados (-1 punto) H. Faltas ofensivas provocadas ( 1 punto) I. Puntos anotados

RIP= I+ (A+B+D+H)+ 2E - (C+F+G)

COEFICIENTE DE EFICACIA INDIVIDUAL Garba (1981)

A. Total de rebotes/tempo de xogo B. Roubos de balón/tempo de xogo C. Tiros de campo (porcentaxe de eficacia x

número de tiros anotados)/tempo de xogo x 100

D. Tiros libres (porcentaxe de eficacia x núme-ro de tiros libres anotados)/10000

E. Perdidas de balón/tempo de xogo F. Faltas cometidas/tempo de xogo

Este coeficiente de eficacia individual é calculado

pola suma de todas as puntuacións parciais consideradas positivas (A+B+C+D), ao cal retíranse posteriormente as puntuacións parciais consideradas negativas (E+ F).

A escala deste coeficiente pode variar entre 0 e 11 puntos, correspondendo as puntuacións máis altas ás mellores prestacións.

DEFENSIVE INTENSITY CHART (DIC) Brown (1991)

Baseado nas calidades defensivas A. Intercepcións

B. Recuperacións de balóns mortos C. Roubos de balón D. Tapones E. Faltas ofensivas provocadas F. Tiros alterados G. Contactos co balón

DIC= (A+B+C+D+E+F+G)

BRADSHAW (1984) Calidades semellantes ó DIC:

A. Tiros anotados (2 puntos) B. Tiros fallados (-0,8 puntos) C. Tiros libres anotados (1 punto) D. Tiros libres fallados (-1 punto) E. Asistencia (1 punto) F. Rebote defensivo (0,75 puntos) G. Rebote ofensivo (1 punto) H. Intercepcións (0,5 puntos) I. Recuperacións de balóns perdidos (1 punto) J. Roubos de balón (2 puntos) K. Falta ofensiva provocada (3 puntos) L. Tapóns (1 punto) M. Conquistas de saltos entre dous xogadores (1 pun-

to) N. Loitas polo balón gañadas (0,5 puntos) O. Perdida de balón (-2 puntos)

BRADSHAW = A+B+C+D+E+F+G+H+I+J+K+L+M+N+O

DAVE HEEREN (1988) – TENDEX O Tendex calcúlase a través da seguinte ecuación: TENDEX = Puntos anotados + Total de rebotes + Asisten-

cias + Tapones Roubos de balón - Perdidas de balón - Total de tiros fallados

MANLEY (1990) EFICACIA INDIVIDUAL = Puntos anotados + Rebotes Asistencias + Roubos de balón + Tapóns - Tiros errados - Tiros libres errados - Perdidas de balón

POINTS RESPONSIBLE (PR) Larry Lindsay (1999)

A. Puntos anotados B. Total de rebotes C. Asistencias D. Roubos de balón E. Faltas ofensivas provocadas F. Tapóns G. Tiros de campo fallados H. Perdidas de balón I. Faltas cometidas J. Tiros libres fallados

PR = (A+ F) + 2·(B+ C+ D+ E) - 2·(G +H) - (I +J)

COEFICIENTES DE EFICACIA (Doug Steel)

Presentou uns coeficientes de eficacia foron construí-dos a partir do Tendex. Neste sentido, o autor presén-tanos un coeficiente de eficacia global, un coeficiente de eficacia ofensiva e un coeficiente de eficacia defen-siva, calculados da seguinte forma:

TENDEX GLOBAL= [Puntos anotados - Tiros fallados - (Tiros libres errados/2)+ (1,25·Roubos de balón)+ (1,25·Asistencias) + Tapóns + Rebotes - (1,25·Perdidas de balón) - Violacións - (2·Faltas anti-deportivas) - (Faltas cometidas /2)]

TENDEX OFENSIVO= [Puntos anotados - Tiros de campo errados - (Tiros libres errados/2) (1,25·Asistencias) + Rebotes ofensivos - (1,25·Perdidas de balón) - Viola-cións]/Xogos disputados

TENDEX DEFENSIVO= [(1,25·Roubos de balón) + Rebotes defensivos + Tapóns - [(2·Faltas anti-deportivas) - (Faltas cometidas/2)] + (Tendex ofensivo medio do ad-versario directo - Tendex ofensivo do adversario direc-to)]/Xogos disputados.

A empresa Mays Consulting Group, desenvolveu un coe-ficiente de eficacia global denominado MAGIC METRIC (MM), que se calcula a través da seguinte ecuación:

MM = (1,8·Tiros de 2 puntos anotados) + (0,9·Tiros li-bres anotados) + (3·Tiros de 3 puntos anotados) + (0,65·Rebotes) + (0,9·Asistencias) + (0,8·Tapóns) + Rou-bos de balón - (0,65·Tiros de campo errados) - (0,5·Tiros libres errados) - Perdidas de balón

Finalmente, unha das propostas mais recentes foi pre-sentada polo IBM Watson Research Center conxunta-mente coa Comisión de Tecnoloxías da NBA. Este coe-ficiente (MVPIBM) calcúlase a través da seguinte ecua-ción: MVPIBM = [Puntos anotados + Rebotes + Asistencias + Roubos de balón + Tapóns - (Tiros intentados + Faltas cometidas + Perdidas de balón) + (Vitorias do equipo x 10)] · 250 / [(Puntos anotados+ Rebotes + Asistencias + Roubos de balón + Tapóns - (Tiros de campo intentados + Faltas cometidas + Perdidas de balón)]

Diego Abalde Herrero (1º BACH. B)

CIRCULA POLA REDE

Arriba e abaixo M.C. Escher

Versión Lego

Ano III. Boletín nº 29 Depósito legal: C 2766-2006 Xaneiro, 2009

S uponse que toda persoa culta debe coñecer a vida e a obra de xenios como Mozart, Falla, Van Gogh, Dalí, Shakespeare, Cervantes ou Chaplin. Con todo, considé-rase natural e ata xustificable que se ignore case todo sobre outros xenios, os científicos e matemáticos que fixeron posible que a Ciencia e a Tecnoloxía avancen ata o seu estado actual, as personaxes que impulsaron o progreso técnico da humanidade e o desenvolvemento científico do pensamento humano e que fixeron posible a maioría dos instrumentos que utilizamos de forma na-tural na nosa vida cotiá, como Internet, os computado-res, o GPS, a televisión, o microondas, a tecnoloxía dixi-tal, os medios de transporte, as grandes obras da enxe-ñería e a arquitectura, e tantos outros presentes prac-ticamente en calquera aspecto da nosa vida diaria.

As Matemáticas son unha fabulosa creación do espíri-to humano e ao mesmo tempo unha parte imprescindible do patrimonio cultural da humanidade.

Os matemáticos e as matemáticas forman parte da nosa historia, da nosa cultura e da nosa sociedade.

Nesta exposición móstrase unha parte importante dos personaxes que xogaron un papel destacado na His-toria das Matemáticas. Esta historia non se pode sepa-rar da Historia da Humanidade, xa que logo, os protago-nistas son matemáticos e matemáticas, que á vez eran membros da súa comunidade e que formaron parte dela como persoas, no privado e no público. Porlles cara e co-ñecelos un pouco máis é o noso principal obxectivo. En definitiva, mostrar o rostro humano das Matemáticas.

UNHA EXPOSICIÓN DA REAL SOCIEDADE MATEMÁTICA ESPAÑOLA NO ANO DA CIENCIA 2007, FINANCIADA POLA FUNDACIÓN ES-PAÑOLA PARA A CIENCIA E A TECNOLOXÍA.

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS

IES Monelos (A Coruña) Do 15 ao 30 de xaneiro

Visitas en horario escolar

Comeza o

XXI OPEN MATEMÁTICO Os problemas da 1ª xornada na páxina 4.

Un torneo aberto de resolución de problemas no que pode participar calquera persoa que o desexe.

Colectivo Fronteira

Tetractis 29 34 Xaneiro, 2009

O NÚMERO Π

O número π é a razón que existe entre a lonxitude dunha circunferencia e o seu diámetro. π é un número irracional, é dicir, non se pode expresar como fracción de dous números enteiros (propiedade demostrada por Johann Heinrich Lambert). Tamén e transcendental, isto significa que non é a raíz de ningún polinomio de coeficientes enteiros. As 200 primeiras cifras do número π son:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196…

HISTORIA

En 1600 a.C. o exipcio Ahmes facía referencia sobre o número π no papiro de Rhind, empregaba un valor de π=3,16049..., afirmando que a área dun círculo e similar a dun cadrado cuxo lado é igual ao diámetro do circulo diminuído en 1/9.

Na época grega, no século II a.C., o matemático Ar-químedes foi capaz de determinar o número de π como

223/71 < π < 22/7 O método usado por Arquímedes era moi simple e

consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de diferentes lados en circunferencias e calcular o perí-metro dos polígonos. Esta estimación fíxoa cun polígono de 96 lados.

No século II, Ptolomeo proporcionou un valor fraccio-nario por aproximacións:

O calculo de π foi unha atracción para todas as cultu-ras. En China, o matemático Liu Hui estimou π como 3.14159 a través dun polígono de 3072 lados. A partir do século XII co uso das cifras arábigas facilitouse moito o calculo de π. Leonardo de Pissano amplía o método de Arquímedes.

Leonhard Euler, en 1737, adoptou o símbolo π e foi nese momento cando se converteu na notación estándar ata a actualidade. Euler encontrou varias fórmulas para calcular rapidamente cifras de π. Pouco a pouco fóronse ampliando cifras deste número. Dende o deseño da primeira computadora comezáronse a desenvolver programas para o calculo de π co maior nú-mero de cifras posibles.

FÓRMULAS QUE CONTEÑEN Π En xeometría:

A lonxitude da circunferencia: 2 π r A área co círculo: π r² Área da elipse con semieixes a e b : πab Área do cilindro: 2πr h Área da esfera: 4πr² Volume da esfera: (4/3) π r³ Medida de ángulos: 180º son π radiáns. O volume dun cilindro de radio r e de altura h: πr²h

En probabilidade: • A probabilidade de que dous enteiros positivos esco-

llidos ó azar sexan primos é de: 6/π². • Si se elixen dous números ao azar menores que 1, a

probabilidade que xunto co numero 1 poidan ser os lados dun triángulo obtusángulo é de: (π-2)/4. • O número medio de maneiras de escribir un número enteiro positivo como suma de dous cadrados perfectos é de: π/4. • Agulla de Buffon: se lanzamos unha agulla de lonxitude L sobre unha superficie con liñas paralelas separadas cunha distancia D, a pro-babilidade de que unha agulla corte a liña é de: Lπ/2D.

O NÚMERO ÁUREO

O número áureo ou número de ouro, Φ (phi), é un número irracional, é dicir, un número decimal con infini-tas cifras non periódicas.

É imposible coñecer todas as cifras deste número pero con unhas cantas é suficiente para as súas aplica-cións.

Aínda que non foi ata o século XX cando o número de ouro recibiu o seu símbolo Φ, o seu descubrimento foi na Grecia clásica (s. V a.C.) onde era coñecido e utilizado na arquitectura e na escultura. Foron as proporcións e a medida xeométrica dun segmento o que permitiu aos gregos o seu descubrimento. Moitos científicos conti-nuaron facendo investigacións e traballando co número áureo.

Descubriron este número ao in-tentar resolver o problema de divi-dir un segmento en dúas partes de tal maneira que o cociente entre a parte maior e a parte menor coincida co cociente entre a lonxitude total e a parte maior. Euclides dixo: " Un segmento está dividi-do en media e extrema razón cando o segmento total é á parte maior como ésta á á menor "

NÚMEROS CON NOME PROPIO


Tamén está o chamado rectángulo áureo, un rectán-gulo no que a base e a altura están en proporción áurea. Se A e B son os lados A/B = Φ.

Este número ten moitas aplicacións nas matemáticas como por exemplo en propiedades al-xébricas, na representación de frac-cións continuas, trigonométricas, raí-ces aniñadas...

Na xeometría, na natureza, no cor-po humano, na arte, na música tamén aparece este famoso número.

O NÚMERO e

É un número transcendental e polo tanto é tamén un número irracional. Algunhas das súas cifras son:

e = 2,71828182845905... Interven na, importantisima, fun-ción exponencial, y = ex. Fai que a derivada dun punto coincida coa función dese punto: f’ (x) = ex. A súa función inversa é o logaritmo natural, tamén chamado logarit-mo en base e ou logaritmo nepe-riano. e é o único número no que o loga-ritmo natural é 1, ln e = 1

A primeira referencia que temos sobre o número e é

en 1618 cando nunha táboa aparece varias veces dando o logaritmo natural de varios números, pero só era unha lista e non aparecía o valor da constante.

O descubrimento da constante foi de Jacob Bernoulli cando intentou encontrar o resultado de:

En 1727 Leonard Euler comezou a utilizar a letra e

para esa constante. O primeiro uso de e foi na publica-ción de Mechanica.

O número e aparece en moitas situacións coma: • Crecemento continuo: P = P0·en • Crecemento loxístico: • Datación de fósiles polo método do carbono 14.

M = M0·e-λt • Tamén presenta unha relación cos números naturais:

• Pódese expresar tamén como unha fracción continua.

UNIDADE IMAXINARIA (i) Chamase así o numero √-1 e desígnase coa letra i. O conxunto dos números complexos designase por C. Un número complexo está formado por a + bi onde:

a, b son números reais e i é a unidade imaxinaria. Forma binómica: z = a + bi Forma polar: z = rα Forma trigonométrica: z = r (cos α + i sen α)

Os números complexos represéntanse en eixes cartesia-nos: ao eixe X chámaselle eixe real e ao eixe Y chámase-lle eixe imaxinario. Foi Leonard Euler quen lle dou o nome de unidade imaxi-naria (i) e ademáis atopou unha relación entre os núme-ros máis importantes da matemática:

As potencias da unidade imaxinaria repítense de 4 en 4: i0 = 1; i1 = i ; i2 = −1; i3 = −i ; i4 = 1

Para saber canto vale unha determinada potencia de i divídese o expoñente entre 4 e o resto é o expoñente da potencia equivalente a dada.

i27 = i 4·6 + 3 = i 3 = -i

OUTROS NÚMEROS CON NOME PROPIO

Existen outros números especiais que, a miúdo levan o nome do seu descubridor: Constante de Apery: É un número irracional que se de-fine como ζ(3), onde ζ é a función zeta de Riemann.

O seu valor aproximado é: ζ(3) = 1,202056903159594...

Constantes de Feigenbaum: son dous números que ex-presan cocientes dos diagramas de bifurcación do caos.

δ = 4,669201609102990671…

α = 2,502907875095892822...

Constante de Brun: É o valor, B2, ao que converxe a suma dos inversos dos números primos xemelgos,

B2 ≈ 1,902160583104

Laura Vázquez Uzal

1º bach. B

e i·π + 1 = 0


CAIXÓN DOS PROBLEMAS

Problema 1: CINCO OU DEZ, CUESTIÓN DE LÓXICA

Don Preguntón, o profesor de Lóxica, reparte 5 ou 10

moedas entre dous intelixentísimas alumnas, Paula e Sheila. Ningunha delas coñece, en principio, o número de moedas que lle correspondeu á compañeira. No caso de seren 5 as moedas repartidas, as rapazas poderían ter, cinco ou ningunha, catro e unha, tres e dous, etc. <e no caso de seren 10, dez e ningunha, nove e unha, oito e dúas, etc.

A continuación, o profesor esixe ás rapazas que tra-ten de adiviñar o número total de moedas repartidas:

- Primeiro pregúntalle a Paula: Cal é o número de moe-das que repartín, cinco ou dez? Paula, tras observar o número de moedas que lle corresponderan, respon-de que non , que non o sabe.

- Seguidamente pregúntalle a Sheila: Cal é o número de moedas que repartín, cinco ou dez?. Sheila, pen-sando na resposta dada pola súa compañeira e saben-do as moedas que teñen, responde, igualmente, que non o sabe.

- O profesor volve a facer a mesma pregunta a Paula: Cal é o número de moedas que repartín, cinco ou dez?. Paula, tras pensar na resposta dada pola súa compañeira, asegura que si: Si, sei o número de moe-das que repartiu porque acertei as que ten Sheila.

Como razoaron as rapazas? Cantas moedas lle corresponderon a Sheila? E a Paula?

Problema 2: CÍRCULO MÁXICO

Dispuxemos os números do 1 ao 9 en círculo tal e co-

mo mostra a figura. Sepáraos en tres grupos de maneira que, sen alterar a súa orde, a suma dos números de cada grupo sexa a mesma.

Problema 3: TRIÁNGULOS ISÓSCELES SUCESIVOS

Dado o ángulo <ABC que mide 24º, cantos triángulos

isósceles se poden construír dentro del?

Problema 4:

REIXAS RETICULARES Quérense construír reixas reticulares de ferro unindo módulos en forma de escuadro cos lados iguais de longo que os dos cadrados da retícula que, a efectos do pro-blema e sen perda de xeneralidade. Podemos considerar de lonxitude unidade.

Reixa 4 x 5 Escuadro Ao soldar, os escuadros no poden superpoñer os seus lados nin sobrepasar as marxes da reixa prevista. Determina as dimensións de todas as reixas que se poden construír por este procedemento.

1ª xornada do XXI Open Matemático Canguro

matemático

Olimpiadamatemática

Colectivo Frontera

Ano III. Boletín nº 30 Depósito legal: C 2766-2006 Xaneiro, 2009

II Certame de Mat-monólogos

Arte matemático de ROBERT FATHAUER

RESUMO DAS BASES

• Prazo de entrega do guión: 31 de marzo de 2009.

• Defensa do monólogo: 12 de maio de 2009.

A defensa pódese facer persoalmente ou dele-gar nun alumno do IES Monelos.

• Lugar: IES Monelos.

• Guión: Extensión máxima de mil palabras en lingua galega ou castelá. O tema deberá estar relacionado coas matemáticas. Deberán pre-sentarse en formato DINA4, por unha cara, a dobre espazo, con corpo de letra de 12 puntos e encabezados polo título.

• Categorías:

♦ Alumnado de primaria o primeiro ciclo de secundaria.

♦ Alumnado de segundo ciclo de secunda-ria e bacharelato.

♦ Persoas, en xeral, cun mínimo de 18 anos e sen límite de idade.

♦ Alumnado do IES Monelos.

• Prégase o envío do guión ao correo electrónico:

[email protected] • Preselección: O xurado comunicará a selección

dos guións aos autores antes do 24 de abril de abril de 2009.

MAT-MONÓLOGO

Dise do xénero dramático no que unha persoa reflexiona en voz alta facendo ver os seus pensamentos e emocións ao público, pero cunha temática relacionada coas ma-temáticas.

Tetractis 30 38 Xaneiro,2009

DE NOMES E OUTRAS COUSAS

H ola, chámome Xosé e son un alumno de 2º da ESO. Eu creo que isto das matemáticas é un mundo moi exten-so e complexo, por exemplo, cando falamos dos números podemos clasificalos por familias pero cuns nomes un pouco raros. Ocorréseme neste intre a familia dos racionais, e ¿por qué se chamarán así?. porque racional é o que razoa, pe-ro sucede que os racionais teñen período,.... ¿a qué me sona iso?, xa!, ¡é que serán femininos!. E logo temos os irracionais, é de supoñer entón que es-tes non razoan. ¡e non teñen período! , polo tanto, ¡son masculinos!, e os hai moi famosos, entre eles o máis ad-mirado de todos, o número pi, ese que aparece cando dividimos a lonxitude dunha circunferencia entre o diá-metro, tamén está o número de ouro, “fi” que aparece nuns rectángulos que din que son os rec-tángulos máis fermosos de todos, e pare-ce que hai outro famoso pero aínda non o coñezo ben que se chama “e”, si, “e”, ¡xa teño curiosidade por saber cousas del!. Como podedes comprobar, todos estes son masculinos pois non teñen regra, e son ¡irracionais!, xa, xa, moita fama pe-ro non razoan. Outra familia moi interesante e que a min gústame moito é a dos números per-fectos. Estes son os que coinciden coa suma dos seus divisores, por exemplo o número 6, os seus divisores son o 1, o 2 e o 3 que sumados dan 6. Ata aquí ben, pero é que logo temos a familia dos núme-ros primos, -outros que me gustan moito- que non teñen divisores excepto eles mesmos e o 1,... pero.... entón... ¡estes números non poden ser perfectos!. Si aplicamos isto á vida real, case ninguén é perfecto. Dende logo na miña familia todos somos imperfectos, porque todos somos primos.

Na vida real para ser perfecto terías que ser fillo único e os teus pais tamén, o mesmo que os ca-tro avós, por iso dos primos segun-dos, en fin, non é doado atopar xente neste caso, pero non me importa de-masiado non ser perfecto, ¡é máis

divertido ser primo!. Podería seguir falando de outros números cu-riosos, pero moitísimos deles aínda non os coñe-zo. Pero tamén quero refle-xionar sobre outros no-mes matemáticos, por exemplo, a ¡raíz cadra-da!, cando vemos o debu-xo dela, esa V maiúscula con capa ¿onde está o cadrado?, ¿e a raíz? ¿e o cateto?, a palabra cateto di o dicionario que signifi-ca palurdo, tonto ¡que pasa!, ¿é tonto o triángulo no que están os catetos? Pos carai coa tontería dos ditos trián-gulos, por certo ¡triángulos rectángulos!, a ver si se acla-

ran. En fin, que queredes que vos diga, non atopo explicación pero é divertido. Aínda que moita xente diga que non lle gustan as matemáticas e que non serven para nada, e que eles son de letras, é que non se pararon a pensar como sería un mundo sen matemáticas. Imaxinádeo, primeiro no fútbol: “o Deportivo marcou algúns goles e o Madrid algún menos”, ou nos nacementos: “en África naceron moi-tos nenos”, e tamén as medidas: “aquel home mide unha man e unha escoba”, Imaxina?, sería terrible, non habería médicos nin coches, nin nada, non habe-ría nada.

A realidade é que as utilizamos para todo, os exemplos máis habituais son os caixeiros automáticos, uf! Aquí fanse un montón de operacións. Mercar en calquera tenda, mirar o reloxo, ao conducir, xa que hai moitas sinais de tráfico e tamén as marchas 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª e 6ª. Na radio, “colle a emisora 975”, as casas que todas teñen número, no consumo da luz, da auga, .... Nos móbi-les usan ata códigos de activación. Na cociña, lavadora, lavavaixelas, ... Xa vedes, ata no infinito están as mates, difícil de ima-xinar este concepto de infinito. ¡parece que hai moitos infinitos!, pero non sei si será certo. E remato con estas reflexións que me gustou compartir con todos vos. Espero que o ano que ven a estas alturas seipa un pouquiño máis de matemáticas. Ata logo.

José Rodríguez-Moldes Varela,

2º ESO (IES Mugardos) I Certama de Mat-Monólogos

Categoría: Alumnado de primaria e 1º ciclo ESO

YO SOY MÁS DE ESCRIBIR QUE DE HABLAR

M e habían dicho que en este concurso se trataba de escribir un monólogo, no de leerlo en público. Y ahora estoy preocupada, a ver…yo soy más de escribir que de hablar, por eso ya vengo prepa-rada. Así que si me desmayo, que alguien lea esto y haga como si no hubiera pasado nada. En fin, hola, cuando vi el tema de este concurso, pensaba criticar a las matemáticas… pero puesto que criticarlas en un con-curso que está organizado por un instituto…que puede que esto lo vean profesores… y todavía no me han puesto la nota final… in-tentaré hacerlo con delicadeza… A ver…yo odio las matemá-ticas, más bien siento pánico hacia ellas, me dices ecuación y grito. ¡Ya no escribo con el len-guaje de sms para no tener que ver tantas “x” “k” e “y” juntas! En serio… hacer algo tan complicado para saber el valor de “x” no debe de ser bueno… ¡Si no la voy a comprar ni nada! O los polinomios…si la primera vez que escuchaste esta palabra te vino a la cabeza un ser mitológico de reducido tamaño, eres de los míos. Puede llegar a ser un insulto, a mí si me llaman polinomio me ofende, de ver-dad que me ofende… Además, si fueran impor-tantes… pues la gente les daría importancia, si los políticos su-pieran dividir polinomios y fuera importante, a la gente no le im-portarían sus mentiras. No cumple todo lo que promete, pero… ¿Has visto lo bien que divide polinomios? Sinceramente, pienso que los polinomios deberían ser vo-luntarios, como la mili. Pues eso, las matemáticas son un mundo que nunca enten-deré. A ver, raíces cuadradas… ¿Qué son? ¿Raíces que toman esteroides? ¿Qué eleve dos al cubo? Si, y tam-bién la pala y el rastrillo… Si con las ecuaciones grito… con los decimales… no queráis saber lo que me pasa con los decimales… ¡Es que siempre me sobran! Podría prescindir de ellos.

Las matemáticas no son divertidas, hay gente que pretende hacerlas divertidas…pero no, divertido es salir un viernes por la noche. ¿Alguien ha vivido una situación como esta?: ¿Tienes planes para esta noche? No, ¿Por qué?

Si, bueno…he quedado con unos amigos para hacer unas divisiones de polinomios con Ruffini o sin Ruffini, no se sabe, vamos a la aventura… ¿Te apuntas? No, este caso no se ha dado nunca y no se dará jamás. Y lo que me falta por co-mentaros, los números negativos. Muchas personas dicen que para entender las matemáticas las comparan con cosas de la vida cotidiana. Bien, uno + uno=dos. Tengo una pandereta, me compro otra y ten-go dos, algo estúpido ya que no puedes tocar dos a la ver.

Pero bueno, dejando esto a parte, hasta ahí bien. Pero, ¿y cuando son números negativos? Tengo -1 pande-reta y la multiplico por otra -1 pandereta ¿me da una pandereta? Vamos a ver…no tengo pandereta ninguna y la multiplico por ninguna pandereta ¿y me da una pandereta? Nada por nada igual a algo. ¡Que chollo!

Por lo tanto, si debo 10 eu-ros y los multiplico por otros diez euros que le debo a otro amigo… ¡me da 100 euros! Paso de no te-ner nada y encima tener deudas a tener 100 euros. Y la gente se molesta en invertir el dinero en bolsa… ¡lo que tiene que hacer es tener deu-das! Me da que esto de la multi-plicación de números negativos no se la han explicado a mi madre cuando iba al colegio, cuando le

pido dinero, me dice que no tiene. Esto de los números negativos me imagino que Za-patero también lo sabrá, y digo yo que también su Minis-tro de Economía… ¿No?

Carolina Iglesias Mosquera, 3º ESO (IES María Casares–Oleiros)

I Certama de Mat-Monólogos Categoría: Alumnado de 2ºciclo ESO e Bacharelato


LAS MATEMÁTICAS Y YO, YO Y LAS MATEMÁTICAS

L as matemáticas dicen que nos acompañan toda la vida, yo lo dudo desde que existen las calculadoras. No sé porque se empeñan en inculcár-noslas sino nos sirven para nada... o eso creíamos. De pequeño te gustan, te enseñan a contar con canciones, sumar con los dedos..., el problema viene cuando llegamos a segundo de primaria ya te tienes que saber la tabla de multipli-car, sí esa a la que oías recitar a tu hermano mientras tu te untabas en plastilina. Llegó la hora, tienes dos opciones o chapár-tela y que se te quede para toda la vida... o bien

ir sumando los números, cosa que desespera bastante, tanto a uno mismo, como al profesor/a.

Después están los problemas de que si tienes tres manzanas y das una, ¿cuántas manzanas te quedan? Parece fácil; pero no; porque si después te cambian las manzanas por otra cosa, ya te armas un lío.

Y seguimos subiendo cursos. Empezamos con algo que le llaman

Máximo común divisor (M.C.D.) y Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y ahí ya las fasti-diamos, porque como sus nombres indican se coge el valor mas pequeño y el mas alto respectivamen-te... cosa que no me cuadra. Esto nos ayudaría a hacer problemas de encuentros entre varias personas y a que hora se encontrarían, eso me llevaba a pensar en ir al parque a las 5 cuando todos los niños bajábamos a jugar.

Más tarde llegó la geometría: rectas, ángulos, curvas, áreas, perímetros...

Que cuando estas haciendo problemas; yo, como niña de ciudad no creo que vaya a tener nunca una finca.. aunque no descarto la posibili-dad, no me interesa el tema Por fin acabamos la primaria y cuando creemos que todo va a ser difícil y todo, el

miedo que nos meten nuestros padres, anti-guos profesores, etc., se nos hace un nudo frente a todo.

Por suerte comprobé que no todo era como decían, sino que era un burdo intento de que me aplicara, pero yo, estuve una temporada que me iba bien con las mates hasta que llegó a mi vocabulario de palabras: ÁLGEBRA; hay ya la fastidiamos (una vez más); empecé a ver operaciones con números y letras mezcladas que cada vez eran más, y había momentos en que los ojos me hacían chiribitas; pero

eso si, eso me sirvió para resol-ver los maravillosos problemas de móviles; aquellos de si uno coge al otro, o cuando se cru-zan, y todo eso... si si esos. Pues en las aburridas correc-ciones de estos, yo solo pen-saba en cuando chocarían de una vez los malditos coches y así acabar con todo. Así, durante toda la ESO, es-tuve en un tira y afloja con las matemáticas suspendiendo en junio y aprobando en septiem-bre ... Ahora estoy en 1 ° de Bachillerato y creo que puedo llegar a aprobar en junio... bue-

no, ¿a quién pretendo engañar? Aprobaré pero en septiem-bre, porque sino acabaría esta tragicomedia con las Mate-máticas y yo, y no queréis ¿verdad?

Antía Blanco García,

1º Bach, (IES Monelos) I Certama de Mat-Monólogos

Categoría: Alumnado do IES Monelos


Tetractis21_30

Documents

Transcript of Tetractis21_30