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Unidad 3: GEOMETRIA

11 Cuerpos geométricos

12 Identidades y ecuaciones trigonometricas

13 Cónicas

INDICE DE TEMAS SELECCIONADOS

TEXTO 11

AREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMETRICOS

Los sólidos geométricos están presentes en la vida y se expresan a través de las construcciones arquitectónicas como es el caso de las iglesias y los grandes edificios . .

Poliedros

 Los cuerpos geométricos que tienen las caras poligonales planas se llaman poliedros.

En 1750 Leonhard Euler publicó su teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo (sin orificios, ni entrantes) cualquiera, en el que también concluye que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos una serie de relaciones:

1. C + V = A + 22. 1/n = (1/A)+(1/6)3. 1/r = (1/A)+(1/6)4. n.C = 2A5. r.V = 2A6. (2A/r) - A + (2A/n) = 27. (1/n) + (1/r) = (1/2) + (1/A)

C = Número de caras V = Número de vértices A = Número de aristasn = Número de lados del polígono regular r = Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

1. Poliedros regulares

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

AREA Y VOLUMEN DE POLIEDROS REGULARES

Nombre Área total Volumen

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Hexaedro

Dodecaedro

2. El prisma.

 Los prismas son cuerpos poliédricos que tienen por bases dos polígonos iguales y sus caras laterales son paralelogramos.Elementos y características del prisma: Los lados de las bases se llaman

aristas básicas. Los lados de las caras laterales se

llaman aristas laterales. Todas son congruentes y paralelas.

Altura del prisma es el segmento perpendicular a las bases comprendido entre éstas.

       Clasificación de los prismas    Observando el dibujo el prisma triangular tiene como base un triángulo; el cuadrangular, un cuadrilátero; el prisma pentagonal, un pentágono; el hexagonal, un hexágono y el cuadrangular, un cuadrado.

Tronco de prisma rectoCada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

En este caso tenemos un tronco de prisma de base pentagonal

El área lateral será la suma de las cras laterales y el área total es la suma de las áreas de las bases y el área lateral

Área y Volumen DEL PRISMA

    El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales.Ejemplo:    Las 6 caras laterales forman un  rectángulo cuya base es el perímetro del hexágono de la base por la altura.

Área lateral = perímetro de la base x altura.

Área Total = Área lateral más el área de las 2 bases.

Volumen = Área de la base x altura

El pintorRoberto es diseñador publicitario y le pidieron colocar sobre el techo del edificio donde vive dos letras “efe” tal como se muestran en la figura a manera de publicitar la pequeña empresa que acaba de crear. Sabiendo que un galón de pintura alcanza para un área de 16 m², determina cuántos galones de pintura deberá comprar para pintar ambos paneles

SoluciónDividimos las caras del sólido1. Caras laterales: 2(10x1) = 20m²

2. Caras frontales: 2(10 x 0,5) + 4(5,5 x 0,5) = 21m²

3. Caras Horizontales: 6 x 1 +3(5,5 x 1) +0,5 x 1 = 24,5 m²

Entonces el Área Total = 20 + 21 + 24,5 = 64,5 m²

Si 16m² =1galon Entonces para 64,5 m² se necesita 64,5 : 16 ≈ 4 galones x 2= 8galones

3. LA PIRAMIDE

Las pirámides son estructuras arquitectónicas de la civilización Egipcia constituye una estructura de gran estabilidad.Las pirámides son poliedros cuyas caras laterales son triángulos y la base esta formada por polígonos

Elementos de la pirámide.

        La cara que se apoya en el suelo es la base.     Sus caras laterales son triángulos que tienen un vértice común que es el vértice de la pirámide.    La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice.    Se llama apotema de una pirámide regular a al altura de uno cualquiera de los triángulos laterales.

AREA Y VOLUMEN DE PIRAMIDES

Área Lateral = perímetro de la base. Apotema: 2

Área total = Área lateral + área de la base

Volumen = Área de la base. Altura: 3

Tronco de pirámide

Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide cuyas caras, en vez de triángulos, son trapecios. algunos de los objetos que llamamos piramidales, en realidad tienen forma de tronco de pirámide.

Área y volumen de tronco de pirámide

El área total de un tronco de pirámide está dada por la siguiente fórmula matemática:

Área total de un tronco de pirámide de bases paralelas, donde p y p' son los perímetros de las bases, a la apotema y B y B' las áreas de las bases.

El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

Practicando

1. Halla el volumen del tronco de la pirámide de la última figura teniendo en cuenta los datos que en ella figuran (en cm.).

SoluciónVolumen de toda la pirámide:

Volumen de la pirámide deficiente:

Volumen del tronco de la pirámide:  

2. Halla el área lateral y total de la pirámide

Solución:

Base un cuadrado de 18 m de lado. La apotema mide 30 metros.

Área lateral = perímetro de la base (72 m) x apotema (30) = 1080 m2.

 El área de la base (que es un cuadrado) = 18 x 18 = 324 m2. 

El área total = área lateral más el área de la base = 1080 + 324 = 1404 m2.

CUERPOS REDONDOS

LATA DE CAFÉ KERO DE MADERA INCA

Una lata de café, el kero de madera inca, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, el kero tiene forma cilíndrica, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos, cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

1 .EL CILINDROLas columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Los elementos del cilindro son:

Elementos

Las bases: son dos círculos iguales.El radio del cilindro: es el radio de las bases.El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el lado alrededor del cual el rectángulo gira para formar el cilindro.La generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje de giroLa altura del cilindro: es la longitud de la generatriz.La superficie lateral: es la cara curva del cilindro.

Desarrollo del cilindro

Si cortamos el cilindro por su superficie lateral, en vertical, y por los bordes de sus bases, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

AREA LATERALComo vemos el desarrollo de un cilindro esta formado por un rectángulo cuyo largo es el perímetro de la circunferencia y el ancho es la altura ( h ) del cilindro Al = 2 π r.h

AREA TOTALSabemos que el área total es la suma del área lateral y las areas de las dos bases

AT = 2 πrh +2 πr2

Volumen de un cilindro: Al igual que un prisma, el volumen es igual al área de la base (π r2 ) por la altura (h ) V = π r2. h

Ejemplo: Hallar la variación del área lateral del cilindro que es generado por un rectángulo de base(OA) 2cm y altura (AB) 4 cm. Si aumenta sus dimensiones en 50%

Solución:

Área lateral inicial: 2 π r.h = 2 π(2)( 4)=16 π cm2.

Área lateral final: 2 π r.h = 2 π(2+1)( 4+2)=36 π cm2.

La variación es de 20 π cm2.

2. EL CONO

Los parlantes para un auto y los parlantes de señalización, el cucurucho de un helado y el tejado de una choza son ejemplos de conos. El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Los elementos son:

La base: es el círculo sobre el que se apoya.El radio del cono: es el radio de la base.El vértice: es la cúspide o pico del cono.La generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el cono al girar. El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo para formar el cono.La altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo

AREA LATERAL es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por el lado o generatriz, dividido por 2. Al = π r. g

AREA TOTALSabemos que el área total es la suma del área lateral y el area de la base

AT = π r. g + πr2

VOLUMEN DE UN CONO

3. LA ESFERA

Una pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un

semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

La esfera no tiene desarrollo como los demás cuerpos geométricos.Al cortar una esfera de distintas maneras, con superficies planas, obtenemos distintas figuras: hemisferio, casquete esférico o zona esférica.

Área y volumen de una esfera

Atotal = 4 π r2

El hemisferio, si la cortamos por la mitad.

El casquete esférico, si cortamos la esfera con

una sola superficie plana y no por el centro..

La zona esférica, si la cortamos con dos

superficies planas y paralelas.

La esfera terrestreSobre ella trazamos unas líneas imaginarias, que nos permitirán precisar la posición de cualquier punto sobre ella, por ejemplo, la situación de tu ciudad. Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los meridianos.

El eje de rotación o eje terrestre, en cuyos extremos se sitúan el polo norte y el polo sur.El ecuador, que es la circunferencia máxima perpendicular al eje terrestre.

Los paralelos, circunferencias paralelas al ecuador, menores que él.

CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS GEOMETRICOS

Es aquel que se localiza en el cuerpo donde es aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre el y en cada una de sus partículas siempre y cuando el cuerpo sea geométrico y si es geométrico

será simétrico.

Centro de gravedad

Un cuadrado tiene centroide mientras un cubo de madera tiene centro de gravedad.

Tomando en cuenta el centro de gravedad un cuerpo puede tener equilibrio de la siguiente forma:

Equilibrio estable. Equilibrio inestable. Equilibrio indiferente.

Es peculiar de las figuras esféricas o circulares (pelotas, esferas, canicas.)

Equilibrio indiferente

PRACTICANDO LO APRENDIDO

1. CISTERNA¿Cuántos metros cúbicos de hormigón serán necesarios para construir una cisterna de forma cúbica con capacidad para 8.000 litros de agua si las paredes han de tener 0,2 metros de grueso y el fondo 0,12 m.?

2. ROPEROHallar la cantidad de madera necesaria para forrar el ropero en forma de prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 60 cm. y la altura de 140 cm.

3. LA LAMPARA Una lámpara de pie tiene una pantalla de forma cilíndrica de 1.20m de altura y de 0.15 m de diámetro en su base .Determina el área de la pantalla.

4. LA SOPERALa sopera, que tiene forma semiesférica y un diámetro de 20 cm, esta llena en sus 4/5 partes. El cucharón es también semiesférico y tiene un radio de 4 cm. Cada plato se lleva cucharón y medio de sopa. ¿cuántos platos de sopa podrás servirte?

5.EL POZOSe construye un pozo como la figura .Si la altura es de 120cm, el grosor es de 40cm y el hueco mide 1m ¿Cuál es el volumen del pozo?

6. LA CAPILLA La cúpula de una capilla es de forma semiesférica .Si el radio exterior de la cúpula es de 2m.

a) Calcula la superficie exterior de la cúpula.b) Si el ancho del techo es de 15cm. Calcula el área de la

superficie interior

TEXTO 12

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

El rasgo más importante de la matemática árabe fue la formación de la trigonometría, teniendo lugar la síntesis de diversos elementos trigonométricos: el cálculo de cuerdas y las tablas de los antiguos, en particular los resultados de Ptolomeo y Menelao, las operaciones de los antiguos hindúes, la acumulación de experiencias de mediciones astronómicas.Sobre la base de este material heterogéneo los matemáticos de los países del Medio Oriente y el Asia Central introdujeron todas las líneas trigonométricas fundamentales. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud. Los datos acumulados fueron tantos que resultó posible estudiar las propiedades de los triángulos planos y esféricos, y los métodos de su resolución. Se obtuvo un sistema de trigonometría armonioso, rico en hechos, tanto plana como esférica...."Hoy en dia tiene una enorme importancia sobre todo nos ayuda a medir distancias inaccesibles como es en la astronomía, etc.

1. RAZONES TRIGONOMETRICAS.

Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP,  donde A es un punto del semieje positivo de las x ; P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

Seno    sen ά= ordenada / radio = y / r

Coseno    cos ά = abscisa / radio = x / r

Tangente    tg ά seno / coseno = ordenada / abscisa = y

/ x

Cotangente    cotg = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y

Secante    sec 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x

Cosecante    cosec 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

2. Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:   

3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASPitagóricas Sen2x+cos2 x =1 1+tan2x=sec 2 x

1+cot2x=csc 2xDe suma Sen(x+y) = senx.coy + cosx.seny

Cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny

Ángulo Doble Sen2x = 2senx.cosxCos2x = cos2 x – sen 2x = 2cos2x – 1 = 1 - 2sen 2 x

Ángulo mitad

Aditivas

Multiplicativas

4. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir las fórmulas de los ángulos que nos vayan apareciendo.

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Ejemplos

1. Determinarlas soluciones de la ecuación senx=1/2

a) Si x esta en el intervalo [0, 2π [b) Cualquier número real

SOLUCIONa) Seria π/6 y 5π/6b) Como la función sen tiene periodo 2 π entonces la solución general

Seria X= 2πn + π/6 o 2πn + 5π/6 para todo entero n

Otra forma solución alterna (grafica) requiere la determinación del sitio en donde la grafica corta la línea horizontal Y =1/2 .

2. Determinarlas soluciones de la ecuación 4 sen² x.tanx –tanx = 0 que se encuentran en el intervalo [0, 2π [

Factorizando tanx(4sen²x -1) = 0sen²x =1/4 → senx = +1/2 y senx = -1/2

Ecuacion soluciónTanx = 0

0, π

Senx = ½ π/6 ,5π/6

Senx= -1/2 7π/6 ,11π/6

Por lo tanto la ecuación Tiene 6 soluciones

Practicando lo Aprendido

1. Determinar las soluciones de la ecuación en forma general

a) .tan x = -1

b) cos2x = 0

c) senx. tanx= senx

d) 2sen²x –cosx = 1

2. Determinar las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2π [

a) a) 2cos x + 3 = 2

b) sen3x - 2 = -3sen3x

c) senx(2 - senx) = cos2x

d) cosx - 2sen2x + 1 = 0

e) sen2x = senx

f) sen2x = 0,5sen2x

g) sen2x = cos2x - senx

3. Resuelva en forma grafica las siguientes ecuaciones intervalo [0, 2π [

a) .senx –cosx = 0

b) cos2x = senx

c) senx.=cscx

d) 2senx –cosx = 0

4. Halle los valores de x en el intervalo [0, 2π [

a) cos2x +cosx =0b) sen2x +sen x = 0c) cosx –sen2x =0d) sen 5x +senx =0e) Cosx –cos 3x –sen2x =0

5. TRIANGULOS OBLICUANGULOS

LEY DE SENOS

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

La fórmula para la ley de senos es:

LEY DE COSENOS

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Ejemplo:

Determina las partes restantes del triángulo si , y b = 6.

Solución:

Ordena los datos del problema como se te indica a continuación.

1) La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo = 180°

A

CB

α

β γb

c

a

130° a = 13.44 20° b = 6

30° c = 8.77 B C

Ac b = 6

a

130°

20°

2) Observamos que tenemos los valores de y b las colocamos en nuestra fórmula y buscamos el lado a.

PRACTICO LO QUE APRENDIDO

1. Encuentre Los elementos restantes de cada uno de los triángulos.

a) 20°, 80° y c = 7

b) 40°, 76° y a = 10

c) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º

d) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

2. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m, n y el ángulo entre ellos.

3. Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa?

4. Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

5. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña?

TEXTO 13

LAS CONICAS

Las cónicas aparecen en diversas situaciones de la realidad así por ejemplo en las edificaciones arquitectónicas, los faros de un coche, los telescopios, antenas parabólicas.

Los planetas siguen una trayectoria elíptica en su viaje alrededor del Sol. La mayoría de los cometas cruzan el sistema solar en órbitas hiperbólicas y sólo podemos verlos una vez. Los cometas que regresan regularmente tienen órbitas elípticas.

El gran arquitecto Antonio Gaudí (1852 - 1926) utilizó profusamente la curva catenaria en los arcos, para asegurar la distribución uniforme y segura de las cargas, aunando eficacia y belleza.

En las líneas de ferrocarril, los cables colgantes del tendido eléctrico entre postes adoptan esa misma forma y

los ferroviarios llaman a ese cableado la catenaria. Es la curva

natural que sigue una cuerda suspendida entre dos puntos que no esté sometida a otra fuerza que su propio peso o un peso uniforme.

Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial y la hipérbola

Ecuaciones de las cónicas

  1. Circunferencia

Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es r.

Ejemplo:. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

2. Elipse

Lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de las distancias a los focos es una cantidad constante K

Elementos

FocosCentro de la elipse Semieje mayor y menosDistancia focalExcentricidad : c/a

Ejemplo: Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

3. Hipérbola

Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a los focos es una cantidad constante K

4. Parábola

Definición. Lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan de la directriz y del foco

Elementos:

Distancia focalFocoCentro de la parábolaDirectriz

PRACTICANDO

1. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro P(3,-4) y radio 7 cm.

2. ¿Qué lugar geométrico en el plano representan las siguientes ecuaciones?

a)

b)

3. Determina la ecuación de la parábola de foco (4,-2) y directriz x = 2.

4. Determina las coordenadas del vértice, del foco, la directriz y el lado recto (L.R.) de las siguientes parábolas:

a) y2 =12x b) y2 = -4x c) x2 = 8y d) (x - 3)2 = 16y

5. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0,0), su eje es el eje x y pasa por el punto (-4,-6).

6. Encuentra la ecuación de la parábola de foco (0,4) y directriz y + 4 = 0.

7. Encuentra el centro, los vértices, la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

a) 8x2 - 90y2 = 360

b) 12y2 - 15x2 = 180

c) x2 - y2 = 8

8. Encuentra la ecuación de la hipérbola de focos (5,0); (-5,0) y de vértices (4,0); (-4,0).

9. ¿Qué lugar geométrico en el plano representa la siguiente ecuación? grafíquelo