Texto Estructuras Especiales Verano 2016

8/18/2019 Texto Estructuras Especiales Verano 2016

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

“TEXTO BASE DE ESTRÚCTURAS

ESPECIALES

CURSO DE VERANO 2016”

DOCENTE: ING. MSC. ALEJANDRO QUIROZ PAREDES

COCHABAMBA BOLIVIA

ABRIL DE 2016

INDICE


2/53

1.- INTRODUCCION AL CÁLCULO MATRICIAL………………………….PÁGINA 3

1.1.- MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ………………………………PÁGINA 4

Fundamen! e"#$%!………………………………………………………….PÁGINA &

De'a##!((! de( M)!d!……………………………………………………..…PÁGINA *

Ma#$%e' de #$+$de, e(emena(e'……………………………………….…. PÁGINA

a##a #e%a /$d$men'$!na( de nud!'

#0+$d!'…………………………………………………………………….…….PÁGINA

a##a #e%a /$d$men'$!na( %!n un nud! a#$%u(ad! !#! #0+$d!…..PÁGINA 12

a##a #e%a /$d$men'$!na( %!n d!' nud!' a#$%u(ad!'………...........PÁGINA 12

A#%! %$#%u(a# /$d$men'$!na( de nud!' #0+$d!'……………………..….PÁGINA 11

a##a #e%a #$d$men'$!na( de nud!' #0+$d!'…………………………. PÁGINA 11

Fue#,a' n!da(e'……………………………………………………………. PÁGINA 1

C(%u(! de de'5(a,am$en!'……………………………………………... PÁGINA 13

C(%u(! de Rea%%$!ne'……………………………………………………. PÁGINA 16

C(%u(! de E'7ue#,!'...……………………………………………………. PÁGINA 1&

.- ANÁLI8I8 E8TÁTICO DE E8TRUCTURA8…………………………. PÁGINA 1*

An($'$' d$nm$%!………………………………………………………….. PÁGINA 1

An($'$' d$nm$%! de me%an$'m!'………………………………………PÁGINA 1M)!d! d$#e%! ! de Ne9!n…………………………………………….. PÁGINA 1

M)!d! de D:A(em/e#…………………………………………………….. PÁGINA 1;

An($'$' d$nm$%! de e'#u%u#a'………………………………………...PÁGINA 1;

An($'$' d$nm$%! de 5"#$%!' 5(an!'………………………………….. PÁGINA 2

An($'$' d$nm$%! en e(emen!' 7$n$!'…………………………………PÁGINA 2

ANÁLI8I8 NO LINEAL DE E8TRUCTURA8……………………………. PÁGINA 2

CAPITULO 1.-


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INTRODUCCI


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modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los

resultados.

2e debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final,

el refinamiento en el análisis carece de sentido.1.1.- M)!d! Ma#$%$a( de (a R$+$de,.-

0l m)!d! ma#$%$a( de (a #$+$de, es un método de cálculo aplicable a estructuras

$iperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. 0n inglés se

le denomina direct stiffness met$od %D2#, m)!d! d$#e%! de (a #$+$de,', aunque

también se le denomina el método de los desplaamientos. 0ste método está

dise3ado para realiar análisis computariado de cualquier estructura incluyendo a

estructuras estáticamente indeterminadas. 0l método matricial se basa en estimar

los componentes de las relaciones de rigide para resol!er las fueras o los

desplaamientos mediante un ordenador. 0l método de rigide directa es la

implementación más com/n del método de los elementos finitos. Las propiedades

de rigide del material son compilados en una /nica ecuación matricial que

gobierna el comportamiento interno de la estructura idealiada. Los datos que se

desconocen de la estructura son las fueras y los desplaamientos que pueden

ser determinados resol!iendo esta ecuación. 0l método directo de la rigide es elmás com/n en los programas de cálculo de estructuras %tanto comerciales como

de fuente libre'.

0l método directo de la rigide se originó en el campo de la aeronáutica. Los

in!estigadores consiguieron apro1imar el comportamiento estructura de las partes

de un a!ión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de

cálculo. &on la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empearon a

resol!er de forma rápida y sencilla.

0l método consiste en asignar a la estructura de barras un ob"eto matemático,

llamado ma#$, de #$+$de,, que relaciona los desplaamientos de un con"unto de

puntos de la estructura, llamados nodos, con las fueras e1teriores que es

necesario aplicar para lograr esos desplaamientos %las componentes de esta

https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Aeron%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Aeron%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico


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Fundamen! e"#$%!.-

0n general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un

sistema físico con un n/mero infinito de grados de libertad. (sí sucede que en

general para describir la deformación de un sólido necesitándose e1plicitar un

campo !ectorial de desplaamientos sobre cada uno de sus puntos. 0ste campo

de desplaamientos en general no es reductible a un n/mero finito de parámetros,

y por tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un n/mero

finito de grados de libertad.

2in embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande

comparada con el área de su sección trans!ersal, el campo de desplaamientos!iene dado por la llamada cur!a elástica cuya deformación siempre es reductible a

un con"unto finito de parámetros. 0n concreto, fi"ados los desplaamientos y giros

de las secciones e1tremas de una barra elástica, queda completamente

determinada su forma. (sí, para una estructura formada por barras largas

elásticas, fi"ados los desplaamientos de los nudos, queda completamente

determinada la forma deformada de dic$a estructura. 0sto $ace que las

estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy apro1imadamente mediante

un n/mero finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resol!iendo un

n/mero finito de ecuaciones algebráicas. 0l método matricial proporciona esas

ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplaamientos de

los e1tremos de la barras con !ariables dependientes de las fueras e1teriores.

0sto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo

de sus tensiones internas y deformaciones in!olucra la resolución de comple"os

sistemas de ecuaciones diferenciales en deri!adas parciales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial


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De'%#$5%$"n de( m)!d!.-

0l método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una

matri de rigide, llamada ma#$, de #$+$de, e(emena( que dependerá de sus

condiciones de enlace e1tremo %articulación, nudo rígido,...', la forma de la barra

%recta, cur!ada, ...' y las constantes elásticas del material de la barra %módulo de

elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad trans!ersal'. ( partir del con"unto

de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que

tiene en cuenta la conecti!idad de unas barras con otras se obtiene una ma#$, de

#$+$de, +(!/a(, que relaciona los desplaamientos de los nudos con las fueras

equi!alentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fueras aplicadas sobre cada barra se construye el

llamado =e%!# de 7ue#,a' n!da(e' e>u$=a(ene' que dependen de las acciones

e1teriores sobre la estructura. :unto con estas fueras anteriores deben

considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces

e1teriores %cuyos !alores son incógnitas'.

;inalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los

desplaamientos y las incógnitas. 0l n/mero de reacciones incógnita y

desplaamientos incógnita depende del n/mero de nodos4 es igual a = para un problema tridimensional. 0ste

sistema siempre puede ser di!idido en dos subsistemas de ecuaciones

desacoplados que cumplen4

• 2ubsistema 5. )ue agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema

original que sólo contienen desplaamientos incógnita.

• 2ubsistema ?. )ue agrupa al resto de ecuaciones, y que una !e resuelto

el subsistema 5 y substituido sus !alores en el subsistema ? permite

encontrar los !alores de las reacciones incógnita.


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*na !e resuelto el subsistema 5 que da los desplaamientos, se substituye el

!alor de estos en el subsistema ? que es tri!ial de resol!er. ;inalmente a partir de

las reacciones, fueras nodales equi!alentes y desplaamientos se encuentran los

esfueros en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales puedenconocerse los esfueros en cualquier punto de la estructura y por tanto sus

tensiones má1imas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las

secciones de la estructura.

Ma#$%e' de #$+$de, e(emena(e'

Para construir la matri de rigide de la estructura es necesario asignar

pre!iamente a cada barra indi!idual %elemento' una matri de rigide elemental.0sta matri depende e1clusi!amente de4

5. Las condiciones de enlace en sus dos e1tremos %barra bi8empotrada, barra

empotrada8articulada, barra biarticulada'.

?. Las características de la sección trans!ersal de la barra4 área, momentos

de área %momentos de inercia de la sección' y las características

geométricas generales como la longitud de la barra, cur!atura, etc.


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uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos

rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos e1tremos la matri de rigide

elemental que representa adecuadamente su comportamiento !iene dada por4

Donde4

son las magnitudes geométricas %longitud, área y momento de inercia'.

la constante de elasticidad longitudinal %módulo de @oung'.

(lternati!amente la matri de rigide de una barra biempotrada recta puede

escribirse más abre!iadamente, introduciendo la esbelte mecánica característica4

Donde4 es la esbelte mecánica característica.

a##a #e%a /$d$men'$!na( %!n un nud! a#$%u(ad! !#! #0+$d!.-

0n este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten

esfueros $acia el nudo no articulado. 0n ese caso la matri de rigide, usando la

misma notación que en la sección anterior, !iene dada por4

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttps://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Younghttps://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nica


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Donde se $a supuesto que el nudo articulado es el segundo. 2i fuera el primero,

$abría que permutar los elementos de la matri anterior para obtener4

a##a #e%a /$d$men'$!na( %!n d!' nud!' a#$%u(ad!'

Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfueros a

lo largo de su e"e, la correspondiente matri de rigide de esa barra sólo tiene

componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. 0n ese caso lamatri de rigide, usando la misma notación que en la sección anterior, !iene dada

por4

A#%! %$#%u(a# /$d$men'$!na( de nud!' #0+$d!'.-

a##a #e%a #$d$men'$!na( de nud!' #0+$d!'


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*na barra recta tridimensional tiene > grados de libertad por nudo %< de traslación

y < de orientación', como la barra tiene dos nudos la matri de rigide es una

matri de 5? 1 5?. (demás una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y

también fle1ión y esfuero cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor comple"ida de comportamiento estructural es lo que $ace que una barra

tridimensional requiera más grados de libertad y un matri de rigide más comple"a

para describir su comportamiento, esta matri está compuesta de < submatrices4

Donde las submatrices son4

@ las magntiudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son4

son las magnitudes geométricas4 longitud de la barra y su

área trans!ersal, momentos de área en las direcciones y y y módulo detorsión, respecti!amente.

el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad

trans!ersal.

son signos relati!os.

https://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_longitudinalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_longitudinalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversal


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Fue#,a' n!da(e'.-

Para cada barra se define un !ector elemental de fueras nodales generaliadas,

que sea estáticamente equi!alente, a las fueras aplicadas sobre la barra. 0l

tama3o del !ector de fueras nodales depende de la dimensionalidad de la barra4

Las componentes de este !ector conforman un sistema de fueras y

momentos de fuera, tal que la fuera resultante y el momento resultante de

las mismas coinciden con la fuera y momento del sistema de fueras

original sobre la barra.

E?em5(!

0"emplo de carga sobre una !iga, P es una carga puntual, y q representa una

carga por unidad de longitud.

Para las cargas mostradas en la figura ad"unta sobre una barra o !iga

bidimensional el !ector de fueras nodales consiste en dos fueras !erticales %;Ad,

;Ai' aplicadas en cada uno de los dos e1tremos, dos fueras $oriontales %;Bd, ;Bi'

aplicadas en cada uno de los e1tremos y dos momentos de fuera %# d, #i'

aplicados en cada uno de los e1tremos. 0sas seis componentes forman el !ector

de fueras nodales. 0s sencillo comprobar que la fuera y el momento resultantes

de estas seis componentes son estáticamente equi!alentes al sistema de fueras

original formado por P y q si se toman los siguientes !alores4

https://es.wikipedia.org/wiki/Equivalencia_est%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerzahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nodal_force.pnghttps://es.wikipedia.org/wiki/Equivalencia_est%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza


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C(%u(! de de'5(a,am$en!'.-

*na !e encontrada la matri de rigide global y el !ector de fueras nodales

global se construye un sistema de ecuaciones como %5'. 0ste sistema tiene la

propiedad de que puede descomponerse en dos subsistemas de ecuaciones4

5. 0l primero de estos sistemas relaciona /nicamente los desplaamientos

incógnita con algunas de las componentes del !ector de fueras nodales

global y constituye siempre un sistema compatible determinado

?. 0l segundo subsistema contiene también las reacciones incógnita y una !e

resuelto el primer subsistema es de resolución tri!ial.

Cesol!iendo el primer subsistema compatible determinado, se conocen los

desplaamientos incógnita de todos los nudos de la estructura. Insertando la

solución del primer subsistema en el segundo resultan las reacciones.

Podemos ilustrar el cálculo de desplaamientos con un e"emplo. Por e"emplo si

consideramos la fle1ión en el plano X@ de la !iga recta de la sección anterior

considerando que se trata de una !iga biarticulada unida en sus e1tremos a dos

rótulas fi"as tendríamos que el sistema general %5' tendría la forma para este caso

particular4

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Tipos_de_sistemashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Tipos_de_sistemashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1


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Las filas < y > contienen los giros %desplaamientos' incógnita de los e1tremos de

la !iga y tomadas en con"unto conforman el primer subsistema para los

desplaamientos. Ignorando los términos nulos y reescrito en forma matricial el

subsistema de ecuaciones para los desplaamientos es simplemente4

&uya solución nos da el !alor del ángulo girado por el e1tremo derec$o e iquierdo

de la !iga ba"o esas cargas4

*na !e conocidos estos !alores e insertados en la matri las filas 5, ?, y E nos

proporcionan en !alor de las cuatro reacciones $iperestáticas desconocidas

pre!iamente.

C(%u(! de #ea%%$!ne'

*na !e calculados los desplaamientos resol!iendo un sistema de ecuaciones, el

cálculo de las reacciones es sencillo. ( partir de la ecuación %5' tenemos

simplemente4

https://es.wikipedia.org/wiki/Reacci%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Reacci%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Reacci%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1


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omando el mismo e"emplo que en la /ltima sección el cálculo de reacciones

sobre la !iga biarticulada con carga P y q sería4

Introduciendo los !alores de los giros en los e1tremos y multiplicando la matri de

rigide por el !ector de desplaamientos se tiene finalmente que4

0sto completa el cálculo de reacciones.

C(%u(! de e'7ue#,!'

0l cálculo de esfueros se realia e1aminando en coordenadas locales de las

barras el esfuero a1ial, los esfueros cortantes, los momentos flectores y el

momento torsor generados en cada una de las barras, conocidos los

desplaamientos de todos los nudos de la estructura. 0sto puede $acerse usando

las matrices de rigide e1presadas en coordenadas locales y los desplaamientos

nodales e1presados también en coordenadas locales.

An($'$' D$nm$%!.-

0l análisis estático discutido anteriormente puede generaliarse para encontrar la

respuesta dinámica de una estructura. Para ello se require representar el

comportamiento inercial de la estructura mediante una matri de masa ,

modeliar las fueras disipati!as mediante una matri de amortiguamiento , que

https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_axialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_torsorhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_masa&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_axialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_torsorhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_masa&action=edit&redlink=1


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"unto con la matri de rigide permiten plantear un sistema de ecuaciones de

segundo orden del tipo4

La solución del sistema anterior pasa por un cálculo de las frecuencias propias y

los modos propios. (dmitiendo que las fueras disipati!as son poco importantes

las frecuencias propias se pueden determinar resol!iendo la siguiente ecuación

polinómica en 4

0sas magnitudes permiten realiar un análisis modal que reproduce el

comportamiento de la estructura ba"o diferentes tipos de situaciones.

.- ANÁLI8I8 E8TÁTICO DE [email protected]

&onsiste en la definición de las componentes estáticas y la relación entre ellas, la

definición y obtención del grado de $iperestaticidad, el establecimiento de las

$ipótesis de peque3os mo!imientos desde el punto de !ista estático y el

planteamiento de las ecuaciones de equilibrio.0n el cálculo de una estructura inter!ienen siempre componentes estáticas y

cinemáticas. Las componentes estáticas %fueras e1ternas e internas' se

relacionan entre sí mediante ecuaciones de equilibrio %global o parcial', de manera

que todas las fueras que act/an sobre la estructura completa o sobre cualquier

fragmento o parte de la misma deben estar en equilibrio. 0stas ecuaciones de

equilibrio permiten la resolución estática de la estructura, es decir, la

determinación del !alor de todas las incógnitas estáticas %reacciones, esfueros de

e1tremo de barra y leyes de esfueros'.

2in embargo, en muc$as ocasiones estas ecuaciones de equilibrio no bastan para

la resolución estática de la estructura ya que, si la estructura es $iperestática, el

n/mero de incógnitas estáticas es mayor que el n/mero de ecuaciones, debiendo

incluir en el proceso de resolución a las condiciones de compatibilidad y leyes de


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comportamiento, en función del método escogido.

0n definiti!a, establecidas las $ipótesis pre!ias %peque3os mo!imientos, etc.', para

abordar el cálculo estático de una estructura deben formularse las ecuaciones de

equilibrio adecuadas, una !e realiado un análisis estático de la misma,clasificándola en función del grado de $iperestaticidad e identificando sus

incógnitas estáticas.

An($'$' d$nm$%!.-

Para otros usos de este término, !éase (nálisis dinámico %desambiguación'.

0l an($'$' d$nm$%! comprende el análisis de las fueras, desplaamientos,

!elocidades y aceleraciones que aparecen en una estructura o mecanismo como

resultado de los desplaamientos y deformaciones que aparecen en la estructura

o mecanismo.

Fran parte de estos análisis pueden ser simplificados al reducir el mecanismo o

estructura a un sistema lineal, con lo que es posible aplicar el principio de

superposición para traba"ar con casos simplificados del mecanismo.

An($'$' d$nm$%! de me%an$'m!'

0l análisis dinámico de mecanismos tiene por ob"eto determinar el mo!imiento de

un mecanismo, las fueras y los esfueros internos que aparecen sobre cada uno

de sus elementos en cada posición de funcionamiento.

M)!d! d$#e%! ! de Ne9!n

0ste método analia un mecanismo considerando cada una de sus partes rígidas

como un sólido rígido perfecto, y plantea un sistema de ecuaciones diferenciales

de mo!imiento directamente basadas en las leyes de =e7ton, que en general

resulta comple"o y difícil de integrar ya que raramente la elección de coordenadas

y referencias respetará las simetrías /tiles del problema. *na !ariación tri!ial de

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico_(desambiguaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico_(desambiguaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton


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este método es escribir introducir coordenadas angulares, para poder escribir

algunas de las ecuaciones del mo!imientos en términos de momentos de fueras,

así las ecuaciones básicas usadas en el método directo son4

M)!d! de d:A(em/e#

0ste método usa el Principio de dG(lembert que es una e1tensión de la segunda

ley de =e7ton que tiene en cuenta las ligaduras e1istentes entre di!ersos

elementos. 0l uso de este método en lugar del método directo simplificanotablemente las ecuaciones.

An($'$' d$nm$%! de e'#u%u#a'

0l análisis dinámico de estructuras se refiere al análisis de las peque3as

oscilaciones o !ibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su

posición de equilibrio. 0l análisis dinámico es importante porque ese mo!imiento

oscilatorio produce una modificación de las tensiones y deformaciones e1istentes,que deben tenerse en cuenta por e"emplo para lograr un dise3o sísmico

adecuado.

&omo resultado de una perturbación e1terior un edificio o estructura resistente que

ba"o la acción de unas cargas estaba en reposo, e1perimenta oscilaciones que en

primera apro1imación pueden representarse como un mo!imiento armónico

compuesto, caracteriado por un sistema de ecuaciones lineal del tipo4

%5'

Donde4

https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_d'Alemberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico#Eqnref_1https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_d'Alemberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico#Eqnref_1


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2on respecti!amente la matri de masas, la matri de

amortiguación y la matri de rigide de la estructura.

2on tres !ectores que representan la posición, !elocidad y

aceleración de un con"unto de puntos de la estructura.

0s un !ector que representa las fueras equi!alentes aplicadas sobre

el mismo con"unto de puntos anteriores, este !ector está asociado a la

solicitación e1terior que perturba la misma estructura.

0l análisis dinámico incluye estudiar y modeliar al menos estos tres aspectos4

• (nálisis modal de frecuencias y modos propios de !ibración. anto las

frecuencias naturales de !ibración de una estructura como los modos

principales de !ibración dependen e1clusi!amente de la geometría, los

materiales y la configuración de un edificio o estructura resistente.

• (nálisis de la solicitación e1terior.

• (nálisis de las fueras dinámicas inducidas.

An($'$' d$nm$%! de 5"#$%!' 5(an!'

0l análisis de pórticos planos formados por barras rectas de sección constante

puede lle!arse a cabo generaliando las ecuaciones del método matricial,

incorporando además de matrices de rigide, matrices de masa. Las frecuencias

propias de oscilación de un pórtico plano pueden determinarse a partir de las

soluciones de la ecuación4

La anterior ecuación es un polinomio de grado N en H, que tiene precisamente N

soluciones reales. Los modos propios son un con"unto de modos de deformación,

cada uno de ellos representado por un con"unto finito de desplaamientos nodales.

0stos modos propios son soluciones no8tri!iales de la ecuación4

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_modal_utilizando_FEMhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_rigidezhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_modal_utilizando_FEMhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_rigidezhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_natural


20/53

&uando una estructura Jelástica y linealK !ibra ba"o la acción de fueras estáticas

antes de alcanar el punto de equilibrio, el mo!imiento puede describirse medianteuna deformación estática más la suma de N mo!imientos armónicos simples

atenudados. &uando la carga no es estática sino que !aría con el tiempo, la

solución puede ser más comple"a pudiéndose incluso producir el fenómeno

potencialmente destructi!o de la resonancia.

An($'$' d$nm$%! en e(emen!' 7$n$!'

0n un buen n/mero de aplicaciones ingenieriles, son analiadas y comprobadas

mediante el uso del método de los elementos finitos. en situaciones donde el

estado del sistema es dependiente del tiempo el método de los elementos finitos

lle!a a una ecuación del tipo %5'. Debido usualmente a la ele!ada dimensión de los

!ectores que aparecen en ellas en este tipo de aplicaciones, la resolución e1acta

no resulta práctica y se usan di!ersos procedimientos de integración numérica

basados en el método de las diferencias finitas y !ariantes del mismo. 0stos

métodos pueden clasificarse seg/n !arios criterios4

• M)!d!' $m5(0%$!'eB5(0%$!', un método e1plícito es el que no requiere

la resolución de un sistema de ecuaciones no tri!ial a cada paso de tiempo.

0n general los métodos e1plícitos requieren menor tiempo de computación

que los métodos implícitos aunque frecuentemente presentan el problema

de no ser incondicionalmente con!ergentes, y requieren e!aluar primero el

paso de tiempo má1imo para que la computación sea numéricamente

estable.

• M)!d!' $n%!nd$%$!na(mene%!nd$%$!na(mene %!n=e#+ene', un

método de integración numérica es incondicionalmente con!ergente cuando

la apro1imación numérica calculada mediante el mismo no di!erge

e1ponencialmente de la solución e1acta. 0ntre los métodos implícitos

algunos son incondicionalmente con!ergentes sólo para cierta elección fi"a

https://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_(mec%C3%A1nica)https://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_(mec%C3%A1nica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_las_diferencias_finitashttps://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_(mec%C3%A1nica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitoshttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_las_diferencias_finitas


21/53

de los parámetros del método. 0n cambio, los métodos e1plícitos suelen ser

condicionalmente con!ergentes pero no incondicionalmente con!ergentes,

por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas

debe ser menor que cierto !alor4

ANÁLI8I8 NO LINEAL DE E8TRUCTURA8

.1.1.- In#!du%%$"n +ene#a( ane%edene' de( %!m5!#am$en! n! ($nea(.-

0n muc$os problemas de mecánica de sólidos deformables las cargas aplicadas

pro!ocan en el sólido unas deformaciones de tal magnitud que no puede

aceptarse la $ipótesis de que la posición final deformada coincide con la posición

inicial.

Por lo tanto en este caso no puede emplearse la suposición $abitual de plantear

las ecuaciones de equilibrio en la posición inicial, descargada, del sólido. La

respuesta del sólido es altamente no lineal pues por una parte no se conoce la

posición deformada final en la cual plantear las ecuaciones de equilibrio y por otrala presencia de grandes deformaciones implica el uso de medidas de la

deformación adecuadas, que son esencialmente no lineales.

0sta no linealidad asociada a las grandes deformaciones se conoce $abitualmente

como no linealidad de origen geométrico. ( ella se puede a3adir en algunos casos

la no linealidad debida al comportamiento constituti!o del material, el cual puede

ser elástico %lineal o no' o bien no elástico, que siempre es no lineal. 0n principio

sólo se considerarán en este te1to los materiales elásticos.

La naturalea no lineal del fenómeno $ace que no pueda calcularse en general la


22/53

2ituación deformada final en un sólo paso, aplicando la totalidad de la carga de

una !e, ni siquiera siguiendo un proceso iterati!o. 0s necesario por lo tanto seguir

un proceso de carga incremental, aplicando las cargas finales paso a paso, por

incrementos, y determinando la respuesta para cada uno de esos incrementos.Para identificar los distintos pasos del proceso se empleará un parámetro de

tiempo t , al cual se referirán todos los incrementos de carga y las distintas

configuraciones deformadas.

0n el caso de que las cargas sean estáticas no tiene sentido $ablar del parámetro

tiempo en el sentido que tiene en dinámica, pero por comodidad se le denominará

así, aunque no se trate nada más que de un parámetro arbitrario para identificar el

ni!el de carga. Por lo tanto la /nica diferencia práctica entre los casos estático y

dinámico está en la consideración o no de las fueras de inercia y

amortiguamiento asociadas a los campos de aceleración y !elocidad.

La necesidad de un proceso de carga incremental y de un parámetro al cual referir

el mismo es importante asimismo cuando e1isten condiciones de carga de di!ersa

naturalea, que pueden aplicarse en diferente orden. (l ser el sistema no lineal, la

respuesta final depende del orden de aplicación de las cargas y se $ace necesario

el proceso de carga paso a paso.

.1..- In#!du%%$"n.-

*n análisis no lineal es aquel que considera el comportamiento tenso8deformacional

de los materiales y la no linealidad geométrica, descartando de manera directa el

principio de superposición. 0n las estructuras de $ormigón, el comportamiento

elástico8lineal difiere en gran medida del obser!ado e1perimentalmente,

especialmente cuando éstas se encuentran ba"o ni!eles ele!ados de carga.

0sto se debe a los fenómenos intrínsecos de los materiales que componen a estas

estructuras %e.g. fisuración del $ormigón, plastificación del acero, etc.', su

interacción y su proceso constructi!o.


23/53

Debido a la in!alide del principio de superposición, los formatos de seguridad

aplicados en los análisis lineales, no pueden ser aplicados de forma directa en los

no lineales. 0sto $a incenti!ado el desarrollo de formatos de seguridad para ser

aplicados tanto en el análisis, como en el dise3o no lineal, promo!iendo también elestudio de los parámetros que más afectan la respuesta /ltima real de la estructura.

..- Un E?em5(! 8$m5(e de N! L$nea($dad Ge!m)#$%a 8!(u%$"n In%#emena(

8!(u%$"n Ie#a$=a de Ne9!n Ra5'!n.-

ARRA APOADA DE8LIZANTE.-

*n e"emplo clásico en el estudio de estructuras con grandes deformaciones

consiste en una barra articulada en un e1tremo y desliante en el otro %figura 5'. 0n

su configuración inicial la barra tiene longitud L, y las coordenadas de sus nudos

son4

0l estado deformado queda definido por un solo grado de libertad A4


24/53

FIGURA 1.- ARRA APOADA DE8LIZANTE

0l !ector de fueras interiores es4

Por lo tanto la fuera e1terior que $ay que aplicar es4

La deformación unitaria de Freen Lagrange !ale4

N!a.-


25/53

La deformación unitaria ingenieril para este caso es4

2e trata de una e1presión muc$o más complicada que la de Freen Lagrange al

incluir la raí cuadrada. 2in embargo, desarrollando en serie para A se obtiene4

Despreciando el /ltimo término %lo cual es !álido para el caso @ ?MML' se obtiene la

deformación de Freen8Lagrange. 2uponiendo un comportamiento elástico lineal

del material, la tensión de Piola N irc$$off se supone proporcional a la

deformación unitaria de Freen4

La fuera e1terior, en función de la deformación A es4

0mpleando la relación entre la deformación !ertical A y la coordenada inicial, el

!alor de la fuera se puede poner en la forma4

Para !alores positi!os de la deformación A, la fuera ; es siempre positi!a y

creciente. 2in embargo, para !alores negati!os de A, la fuera tiene el !alor que se

indica en la figura.


26/53

01isten dos puntos donde la fuera es nula4 el primero para H1 corresponde

a la posición $oriontal de la barra y el segundo para H a la posición

simétrica de la inicial.

0n el tramo (& de la cur!a de respuesta e1isten dos posibles deformaciones paraun mismo !alor de la carga e1terior. 2ila estructura se carga incrementando de

forma monótona la fuera e1terior, al llegar al punto ( se producirá probablemente

un salto brusco a la posición &, fenómeno conocido como 'na5-#!u+. 0n un

modelo numérico este fenómeno se traducirá en problemas de con!ergencia al

llegar al punto ( que requieren el empleo de técnicas especiales en la manera de

aplicar las cargas para ser e!itados.

FIGURA .- RE8PUE8TA DE LA ARRA APOADA DE8LIZANTE

0l análisis lineal de esta estructura, suponiendo que el estado deformado coincide

con el inicial, arro"a el siguiente resultado para la relación fuera Ndeformación4


27/53

2e obser!a que esta respuesta lineal corresponde al primer término de la soluciónno lineal. 0l modelo no lineal muestra que la estructura es más rígida a tracción

que en el modelo lineal, pero es más fle1ible a compresión, además de presentar

el fenómeno de la inestabilidad.

.3.- METODO DE NEJTON RAP8KON.-


28/53

FIGURA 3.- CONERGENCIA DEL METODO DE NEJTON RAP8KON

.4.- METODO DE NEJTON RAP8KON APLICADO AL ANÁLI8I8 NO LINEAL.-

0l programa 2(P?, analia la estructura para el caso de carga impuesta

utiliando el método de =e7ton 8 Caps$on, una !e conocido el !alor del esfuero

a1ial, se puede conocer la rigide de segundo orden de cada piea prismática %-O',

y de la estructura %-O'.


29/53

0sto indica que la matri O, es una función de las cargas, se asume que el

esfuero a1ial es conocido, por e"emplo nulo, a partir del cual la matri -O esconstante e independiente de las cargas. &on estas premisas se aplican los

métodos lineales y se obtienen los desplaamientos nodales u y todos los

esfueros internos. De esta manera el programa sigue los siguientes pasos.

0l diagrama de flu"o correspondiente es4


30/53

FIGURA 4.- METODO DE NEJTON RAP8KON APLICADO AL ANALI8I8 NO LINEAL

n IL UHF F UF ,


31/53

n IL UHF F UF

,E ,? ,5 ?,

5 ,E , ,? ?,

? ,E ,> ,< ?,

< ,E , , ?,

,E 5, ,E ?,

E ,E 5,5 ,EE ?,

> ,E 5,5 ,EQ ?,

Q ,E 5,5> ,E ?,

,E 5,5 ,ER ?,

R ,E 5,5 ,ER5 ?,

ITERACION PARA LA PRIMERA DEFORMACION U

U U1 S .E> M 5, entonces +-

0l $ec$o de comparar los desplaamientos y no los esfueros a1iales se debe a

que las incógnitas del problema son los desplaamientos, a tra!és de los cuales

se determinan los demás esfueros. 0n forma gráfica se interpreta este proceso

de la siguiente manera4


32/53

( partir del desplaamiento $allado gracias al método de ne7ton raps$on, se

utilia la tangente para encontrar un incremento de desplaamiento modificando

las rigideces originales y determinado un nue!o !alor me"orado y así

sucesi!amente $asta que la diferencia entre los dos procesos iterati!os sea menor que un determinado error.

FIGURA 6.- DE8PLAZAMIENTO 8 RIGIDECE8 DE LA E8TRUCTURA

0n estructuras donde aparecen todas las solicitaciones internas e( %am5!

$ne('$%! 'e man$7$e'a !#$+$nnd!'e a#$%u(a%$!ne' 5('$%a', pro!ocandouna disminución de la rigide general de la estructura lo que disminuye la

capacidad resistente de la estructura y consecuentemente ocasiona un descenso

de la carga crítica de pandeo.


33/53

FIGURA &.- CARGA CRQTICA 8 DE8PLAZAMIENTO DE UN MATERIAL LINEAL NO LINEAL

.6- E?em5(! %!n d!' =a#$a/(e' %!m5a#a%$"n de (a '!(u%$"n eBa%a %!n (a'

'!(u%$!ne' a5#!B$mada'.-

Para el caso de dos !ariables simplemente se debe de tener en cuenta las

deformaciones en dirección del e"e 1, y del e"e y por e"emplo * 1 y *y y proceder al

análisis anterior dado en las tablas de iteración. 2e aplica de igual forma el

programa 2ap ? o también el método de =e7ton Caps$on.

0s decir resol!er el sistema de ecuaciones formado por4

F1H 1US

FHU

.&- E( m)!d! de( #a/a?! =$#ua( ene#+)$%!.-


34/53


35/53

diagrama es llamado traba"o complementario y es definido como4

• Para materiales linealmente elásticos el traba"o complementario es igual al

traba"o elástico, pero para materiales elásticos no lineales el traba"o

complementario y el traba"o elástico son diferentes.

;ueras internas4 son desarrolladas en la estructura elástica en respuesta a lascargas aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar traba"o y

restaurar la estructura a su configuración original una !e las cargas $an sido

remo!idas.

Para un 0lemento infinitesimal de la estructura ba"o cargas causando un esfuero

normal s , la fuera normal en esta sección es s dy d , y el cambio de longitud es el

producto de la deformación unitaria con el largo del elemento. Puesto que las

cargas se incrementan desde cero $asta sus !alores actuales, así mismo lo $acenlos esfueros y las deformaciones. 0ntonces, el traba"o interno de un elemento

infinitesimal cuando la carga se $a aplicado en su totalidad y esta causando una

deformación unitaria e es4


36/53

raba"o interno total4 0l traba"o interno de un sistema ba"o cargas normales o

esfuero a1ial es la integral de la energía de un elemento infinitesimal sobre el

!olumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energía elástica puede ser

encontrada de manera similar sustituyendo esfueros normales y deformación por


37/53

esfueros y deformaciones de cortante.

0l factor es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando

determinado el !alor de la constante la cual depende de la configuración de la

sección. Para secciones rectangulares es 5.? y para circulares es 5.5. Para

secciones en forma de I se puede considerar igual a 5..

Por conser!ación de energía si una estructura se deforma no $ay cambio en la

energía total del sistema. Por tanto, el traba"o e1terno debido a las cargas e1ternas

que act/an sobre la estructura debe ser igual al traba"o interno desarrollado por las

fueras internas a tra!és de las respecti!as deformaciones.

Je H J$ Je H U'$'ema

Pa#a una =$+a en =!(ad$,! %!n (u, L %a#+a F en eB#em! ($/#e (a de7!#ma%$"n

e'


38/53

U$($,and! ene#+0a de de7!#ma%$"n de/$d! a %!#ane 'e !/$ene

2i una estructura es sometida a desplaamientos !irtuales adicionales o fueras

!irtuales, resultan igualmente desplaamientos adicionales o fueras adicionales. 0l

traba"o de las fueras reales sobre los desplaamientos !irtuales, o el de los

desplaamientos reales sobre las fueras !irtuales, es el C(9(:+ AIC*(L D0L

2I20#(.

Podemos inducir C(9(:+ AIC*(L imponiendo desplaamientos !irtuales o

fueras !irtuales. Para una barra a1ial, la cual es en equilibrio ba"o las fueras

e1tremas ;5 y ;? , requiere que ;5S ; ? S ;, donde ; es la fuera a1ial en un punto

1 . 0l traba"o !irtual de un elemento infinitesimal es ;Ud% u' T d1 , y para toda la

barra el traba"o !irtual es4


39/53

0l traba"o !irtual de las fueras e1ternas es4

0n términos del principio de traba"o !irtual el traba"o e1terno es igual al interno y

puesto que se incluye todo el elemento, los desplaamientos !irtuales deben ser

compatibles con las condiciones de borde, o lo que es lo mismo, los

desplaamientos !irtuales en soportes sin mo!imiento deben se cero.

0l traba"o !irtual puede ser descrito e n términos de esfueros y deformaciones

unitarias en lugar de utiliar fueras y desplaamientos. Para una !iga con carga

a1ial , en términos de traba"o !irtual, podemos sustituir ; S U (, e S d% u' T d1 y

adicionalmente d%!ol'S(Ud1, el traba"o !irtual interno será4

Je H J1 J H e U'$'ema

0n la anterior e1presión de se refiere a los desplaamientos !irtuales unitarios. 0nesta e1presión se obser!a que debe la energía interna de una barra con fueras

a1iales, términos de traba"o !irtual, es igual es a la !ariación de la energía elástica

del sistema. Por tanto,

J1 H * d=!(

0s decir, la !ariación de la energía elástica del sistema es igual al traba"o e1terno.

Para un sistema real con !arias cargas ; i , induciendo esfueros y deformaciones

reales !i , si la estructura está sometida a esfueros o desplaamientos !irtuales, la

anterior ecuación se puede plantear como4


40/53

0n cerc$as el traba"o e1terno !irtual $ec$o por una carga unitaria es % 5 U n ' ,

mientras que el traba"o interno !irtual $ec$o por las fueras !irtuales en las barras

es i f i U L i , entonces la ecuación de traba"o !irtual es4

L i son los cambios de longitud en las barras de la cerc$a debido a las fueras

internas ;i , las cuales a su !e son inducidas por un sistema de cargas P i. Para

cada barra con área (i y longitud L i el cambio de longitud y la deformación !erticalson4

Los pasos para su cálculo son4

5. 0ncontrar las fueras ; i ba"o las cargas aplicadas.?. Cemo!er las cargas, aplicar una carga unitaria en el nudo y dirección en la

cual la defle1ión es buscada, y encontrar las fueras internas f i debidas a la

carga unitaria.


41/53

0n !igas y pórticos, si asumimos una carga simple unitaria !ertical igual a Pi S 5,

entonces los esfueros !irtuales debidos a la carga !irtual son s S mUyTI donde mes momento debido a la fuera !irtual. La deformación unitaria debida a las cargas

aplicadas y la deformación final son4

In!olucrando todas las fueras internas la deformación final se calcula usando4

Para calcular la defle1ión de una !iga, se procede de acuerdo a los siguientes

pasos4

5. 0ncontrar la e1presión para el momento, debido a las cargas aplicadas a lo

largo de la estructura.

?. Cemo!er las cargas aplicadas y adicionar una carga unitaria en el punto y

dirección en la cual la defle1ión es buscada. 0ncontrar la e1presión para

momentos m en toda la estructura debida a la carga unitaria. Para $allar el


42/53

ángulo, en un punto, m es encontrado aplicando un momento unitario en el

punto.


43/53

!erdadera deformación, pueden usarse tanto deformaciones grandes como

peque3as y pueden dar cuenta de no linealidades geométricas. &uando las

deformaciones son peque3as con bastante adecuación se puede usar el en'!#

$n7$n$e'$ma( de de7!#ma%$!ne' que se obtiene despreciando algunos términosno lineales de los tensores finitos. 0n la práctica más com/n de la ingeniería para

la mayoría de aplicaciones prácticas se usan tensores infinitesimales. (demás

para los tensores finitos se diferencia entre en'!#e' mae#$a(e' y en'!#e'

e'5a%$a(e' seg/n sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.

.&.1..-Ten'!# $n7$n$e'$ma( de de7!#ma%$"n.-

•

Ten'!# $n$7$e'$ma( de G#een-Cau%, o tensor ingenieril dedeformaciones, es el usado com/nmente en ingeniería estructural y que

constituye una apro1imación para caracteriar las deformaciones en el caso

de muy peque3as deformaciones %inferiores en !alor absoluto a ,5'. 0n

coordenadas cartesianas dic$o tensor se e1presa en términos de las

componentes del campo de desplaamientos como sigue4

Donde4

representa el campo !ectorial de

desplaamientos del cuerpo, es decir, la diferencia entre la posición final e

inicial de cada punto y x 5 S x , x ? S y y x


44/53


45/53

deformación y % x',y',z' ' las coordenadas del mismo punto después de la

deformación. 0n función de este tensor gradiente de deformaciones se definien los

siguientes tensores finitos de deformación4

• Ten'!# mae#$a( de G#een-La+#an+e. 2e puede obtener a partir del tensor

gradiente de deformación y su transpuesta4

+ bien en función del campo de desplaamientos4

• Ten'!# e'5a%$a( 7$n$! de A(man'$. 2e puede obtener a partir del in!erso

del tensor gradiente de deformación y su traspuesto de un modo similar a

como se obtenía el tensor material y es la contrapartida [espacial[ del

tensor de Freen8Lagrange4

• Ten'!# mae#$a( 7$n$! de F$n+e# %por :osef ;inger %5R''. 2iendo F el

tensor de la base en la configuración indeformada o base material, se

define como4

C(%u(! de ma+n$ude' de( '"($d! de7!#mad!.-

2i se conoce el tensor deformación de un sólido y las dimensiones originales de

un cuerpo, pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo

deformado.

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1


46/53

a#$a%$!ne' de (!n+$ud

a#$a%$!ne' an+u(a#e'

2i se consideran dos cur!as, dos rectas o dos aristas de un sólido deformado quese cruan en un punto P del sólido, la relación entre el ángulo inicial %antes de la

deformación' y final %después de la deformación' que forman dic$as direcciones

calcularse a partir de la siguiente e1presión4

Donde4

, son los !ectores unitarios tangentes a las dos cur!as o direcciones

en el punto de corte.

, son las deformaciones unitarias medidas a lo largo de esas dos

direcciones.

, son el ángulo entre las dos direcciones antes de la deformación y el

ángulo después de la deformación.

Para deformaciones angulares peque3as la e1presión anterior puede apro1imarsemediante la relación apro1imada4


47/53

\sta /ltima es la e1presión más com/nmente usada en las aplicaciones prácticas

e ingenieriles. &uando las dos direcciones son perpendiculares la e1presión

anterior se !uel!e tan simple como4

De esa /ltima ecuación surge la interpretación que se $ace usualmente en

elasticidad de lineal de interpretar las componentes fuera de la diagonal del tensor

deformación como !ariaciones angulares4

a#$a%$!ne' de =!(umen

Dado un punto de un sólido deformable la relación entre el !olumen final V' de un

entorno arbitrariamente peque3o alrededor de dic$o punto y el !olumen inicial V

puede e1presarse mediante la relación diferencial4

La relación de densidad final y densidad inicial dado que la masa se conser!a es

in!ersa de la relación anterior.

D$#e%%$!ne' 5#$n%$5a(e' de de7!#ma%$"n

Localmente la deformación de un sólido se puede representar por acotramientos o

estiramientos en tres direcciones mutuamente perpendiculares. 0n cada punto de

un sólido deformable las direcciones principales son precisamente las tres

direcciones en las que se producen los estiramientos que localmente caracterian

la deformación.

https://es.wikipedia.org/wiki/Localmentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Localmente


48/53

Desde un punto de !ista algebraico las direcciones principales pueden calcularse

considerando los !alores y !ectores propios del tensor deformación en el punto

estudiado.

CAPITULO

EDIFICIO8 ALTO8

Para los ingenieros estructurales resulta indispensable conocer la forma en que se

dis8tribuyen las fueras $oriontales y la magnitud de los desplaamientos que se

producena medida que se incrementa la altura para de esta forma concebir y

predecir un adecuado comportamiento de los edificios altos frente a los efectos$oriontales de !iento y sismos. Los métodos de distribución de fueras

$oriontales publicados $asta el momento presentan diferentes enfoques y cada

uno de ellos es !álido en su campo de acción de acuerdo con las $ipótesis

asumidas. &on respecto a este tema se $an desarrollado di!ersas in!estigaciones

las cuales posibilitan realiar la distribución de fueras $oriontales en edificios

con pórticos y tímpanos. *no de los métodos más generales es precisamente el

método PPF debido a la gran cantidad de sistemas estructurales que resuel!e

%pórticos, diafragmas y estructura mi1tas pórticos y diafragmas interconectado'.

2in embargo, presenta algunas limitaciones, como son4

5. 2olo considera la aportación de rigide de las estructuras en una dirección

?. =o se considera la aportación espacial de las estructuras resistentes !erticales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio


49/53


50/53

emplearse el método de los desplaamientos, los desplaamientos son las

incógnitas y !ienen dados por tres componentes, dos lineales ortogonales y uno

angular.

EB5!'$%$"n +ene#a( de( m)!d!.-0n este método de análisis de estructuras de edificios es necesario identificar el

sistema de rigidiadores !erticales que componen el sistema estructural, que son

los encargados de soportar las cargas laterales. Despues de $aber precisado lo

anterior, se define que metodo de analisis se utiliar a y posteriormente se asume

el sistema base.

O/en%$"n de( '$'ema /a'e.-

Para concebir el sistema base se emplea el concepto de subestructuracion y se

realia un cuerpo libre independiente de cada una de las estructuras resistentes

!erticales, y de forma similar, un cuerpo libre de cada una de las plantas

%entrepisos o for"ados' que conforman el edificio. 0n los dos subsistemas bases se

toma en consideración la aportación en términos de rigide a fle1ión y cortante en

las direcciones ortogonales y además, en los casos de estructuras resistentes!erticales con comportamiento espacial, la torsión y fle1o8torsión %en el caso de

secciones abiertas'. 0n el subsistema base de cada ni!el %for"ado o entrepiso', la

modelación se $ará planteando tres ligaduras en cada piso,dos ligaduras lineales

ortogonales y una angular.

De'a##!((! de( m)!d!.-

2e sabe que la ecuación matricial del método de los desplaamientos es

P H ZDonde Pes el vector de las fuerzas en las ligaduras, K la matriz de rigidez global

de la edificación y Z el vector de los desplazamientos de los pisos en la dirección

de las ligaduras.


51/53

Las fuerzas P se calculan por la estática, como se puede apreciar en la Figura

para una planta de un piso cual!uiera.

0ste procedimiento es el mismo en todos los ni!eles de la estructura ob"eto de

estudio.

"i # es el vector de las cargas laterales e$ternas %Figura &, el e!uilibrio sera'

y el vector general P para toda la edificación !ueda e$presado por'

al cual corresponde un vector desplazamiento Z dado por'


52/53

La matri de rigide es cuadrada y su tama3o es


53/53

• "i su aportación es en el e+e y4

• "i su aportación es en X y @, sin aportación en 4

De forma general, para el sistema de estructuras resistentes !erticales en su

con"unto pertenecientes al ni!el i de la edificación se tiene4

Texto Estructuras Especiales Verano 2016

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