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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

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UNIDAD IV

EESSFFUUEERRZZOO

1. ESFUERZO

Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el

área seccionada de un cuerpo, figura 1, representan los efectos resultantes de la

distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La

obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la

mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el

concepto de esfuerzo.

Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como

el área sombreada de ΔA mostrada en la figura 2a. Al reducir ΔA a un tamaño

cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades

del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste

en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar

compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el

material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí,

en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero

muy pequeña ΔF, actuando sobre su área asociada ΔA, se muestra en la figura

2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el

análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ΔFx, ΔFy y ΔFz

que se toman tangentes y normales al área, respectivamente. Cuando el área ΔA

tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ΔF y sus componentes; sin

embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito.

Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna

sobre un plan específico (área) que pasa por un punto.

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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Figura 1

Figura 2

1.1. ESFUERZO NORMAL

La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando

normalmente a ΔA se define como el esfuerzo normal ζ (sigma). Como,

ΔFz es normal al área, entonces,


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Si la fuerza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área, ΔA como se

muestra en la figura 2a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si

se “empuja" a ΔA se le llama esfuerzo de compresión.

1.2. ESFUERZO CORTANTE

La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando tangente a

ΔA se llama esfuerzo cortante, η (tau). Aquí tenemos las componentes de

esfuerzo cortante,

El subíndice z en ζz, se usa para indicar la dirección de la línea normal

hacia fuera, que especifica la orientación del área, ΔA, figura 3. Para las

componentes del esfuerzo cortante, Tzx y Tzy, se usan dos subíndices. El

eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor-

denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.

Figura 3

1.3. ESTADO GENERAL DE ESFUERZO

Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano x-

z, figura 2b, y al plano y-z, figura 2c, podemos entonces "separar" un

elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de

esfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo, figura 3-4.

Este estado de esfuerzo es caracterizado por tres componentes que

actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo

describen el estado de esfuerzo en el punto sólo para el elemento

orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado en


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un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un

conjunto diferente de componentes de esfuerzo.

Figura 4

1.4. UNIDADES

En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se

especifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado

(N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/m2) es algo pequeña y

en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), simbolizado

por k, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G,

para representar valores mayores del esfuerzo.

*De la misma manera en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por

lo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en

kilo libras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilo libra (kip) = 1000 lb.

*A veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm=10-

3 m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el

denominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1

N/mm2=1 MN/m2 = 1 MPa.

2. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA CARGADA AXIALMENTE

Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos y

delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplican

a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos

son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo

promedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargada

axialmente como la mostrada en la figura 5a, que tiene una forma general. Esta

sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas esas

secciones transversales son iguales, a la barra se le llama barra prismática. Si

despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura


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4.5b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante

que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en

sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra.

Figura 5

2.1. SUPOSICIONES

Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobre

el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis

simplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicación

específica de la carga.

1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que

se aplica la carga, y también, la sección transversal debe permanecer

plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra

cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas

horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se

deformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga,

figura 6. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremos

de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede

ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en

la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.


58

Figura 6

2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, es

necesario que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la sección

transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un

material homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y

mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas

mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la

ingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por

ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en

cada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las

aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho

mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la

composición del material es bastante realista. Sin embargo, debe

mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del

laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas

subcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedades

diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la

anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra

se deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial.

Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material

que es homogéneo y anisotrópico, por lo que NO es adecuado para el

siguiente análisis.


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2.2. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO

Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme

constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal

ζ constante, figura 7d. En consecuencia, cada área ΔA sobre la sección

transversal está sometida a una fuerza ΔF = ζ ΔA, Y la suma de esas

fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la

fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que ΔA→dA y por

tanto ΔF→dF, entonces como ζ es constante, tenemos:

Figura 7

Donde,

ζ = esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de la

sección transversal.

P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de

la sección transversal. P se determina usando el método de las secciones

y las ecuaciones de equilibrio.


60

A = área de la sección transversal de la barra.

La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal

ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nulos

respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 5d.

Cuando esto ocurre,

Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,

2.3. EQUILIBRIO

Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier

elemento de volumen de material localizado en cada punto sobre la

sección transversal de una barra cargada axialmente. Si consideraos el

equilibrio vertical del elemento, figura 8, entonces al aplicar la ecuación

de equilibrio de fuerzas,

Figura 8

En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-

mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste

se le llama esfuerzo uniaxial.


61

El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a

compresión, como se muestra en la figura 9. Como interpretación gráfica,

la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen

bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = ζ A (volumen = altura X

base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta

resultante pasa por el centroide de este volumen.

Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta

suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño

ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis más

exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de

sección transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados

adyacentes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según ζ =

P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la

elasticidad.

Figura 9

2.4. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO MÁXIMO

En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección

transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la

barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal ζ = P/A también

constante. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida a

varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un

cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo

normal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y si

debe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá que

determinarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto es

necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de

la barra, lo que se consigue dibujando un diagrama de fuerza normal

o axial. Específicamente, este diagrama es una gráfica de la fuerza


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normal P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se

considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causa

compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá

identificarse la razón máxima de P/A.

Esta barra de acero se usa para suspender una porción de una escalera, y por ello

está sometida a un esfuerzo de tensión.

Figura 10

EJEMPLO

La barra en la figura 11 tiene un ancho constante de 35 mm y un espesor

de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la barra

cuando ella está sometida a las cargas mostradas.


63

Figura 11

Solución

Carga interna:

Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD

son todas constantes pero tienen diferentes magnitudes. Usando el

método de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 11b;

y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados

gráficamente se muestra en la figura 11c. Por inspección, la carga

máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el área

transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio

también ocurre dentro de esta región de la barra.

Esfuerzo normal promedio:

Rpta.

La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversal

arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 10d.

Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta distribución

de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN = (85.7

MPa) (35 mm) (10 mm).


64

EJEMPLO

La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como se

muestra en la figura 12a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene

un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada

barra.

Figura 12

Solución

Carga interna:

Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura se

muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las

ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos:

Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la

reacción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su

longitud.

Esfuerzo normal promedio:

Rpta.


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Figura 13

Rpta.

La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección

transversal de la barra AB se muestra en la figura 13c, y en punto sobre

esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se

muestra en la figura 13d.

EJEMPLO

La pieza fundida mostrada en la figura 14a está hecha de acero con peso

específico de γac = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresión

promedio que actúa en los puntos A y B.

Figura 14

Solución

Carga interna:

En la figura 14b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento

superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B.

El peso de este segmento es Wac = γac Vac. La fuerza axial interna P en la

sección es entonces:


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Esfuerzo de compresión promedio:

El área transversal en la sección es A = π (0.75 pie)2, y el esfuerzo de

compresión promedio es entonces:

Rpta.

El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura

14c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo

actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elemento ya que

esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de la sección

cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P empuja

hacia arriba.

3. ESFUERZO CORTANTE PROMEDIO

El esfuerzo cortante se definió como la componente del esfuerzo que actúa en el

plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo,

consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura

15a. Si los soportes se consideran rígidos y F es suficientemente grande, ésta

ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos

AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la

barra, figura 15b, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a cada

sección para mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante promedio

distribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define por:


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Figura 15

Donde,

τprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mismo en

todo punto localizado sobre la sección.

V = fuerza cortante interna resultante en la sección; se determina con las

ecuaciones de equilibrio.

A = área en la sección.

La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra

actuando sobre la sección derecha en la figura 15c. Observe que ηprom tiene la

misma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas

que contribuyen en conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la

sección.

Figura 15c

El caso de carga analizado en la figura 11 es un ejemplo de cortante simple o

cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción directa de la

carga aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de

conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Una

investigación más precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección

crítica revela que esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material que


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los predichos por esta ecuación. Por ejemplo, los manuales de ingeniería

permiten su uso al considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos

o para obtener la resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargas

cortantes. Con respecto a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que

merecen tratamientos separados.

3.1. CORTANTE SIMPLE

Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 16a y 16c,

respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se

conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros

son delgados y que la tuerca en la figura 16a no está demasiado apretada

de modo que la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando

una sección entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre

mostrados en las figuras 16b y 16d. Como los miembros son delgados,

podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por

equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la figura 16b y la

superficie de contacto entre los miembros en la figura 16d están

sometidos sólo a una fuerza cortante V=F.

Fig. 16

3.2. CORTANTE DOBLE

Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 17a ó 17c,

deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se

llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno

de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son

como se muestra en las figuras 17b y 17d. Tenemos aquí una condición

de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V = F/2 actúa

sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe considerarse al

aplicar ηperm = V/A.


69

Figura 17

3.3. EQUILIBRIO

Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un punto

localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que

actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 18a. Si consideramos el

equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces

Figura 18a

De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da yz =

´yz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,


70

Figura 18b

En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el

esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté

acompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras,

figura 18b. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener

igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro

en caras con un borde común. A esto se le llama propiedad

complementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en la

figura 18, el material está sometido a cortante puro.

Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado por

la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que el

esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la acción

de otros tipos de cargas.

EJEMPLO

La barra mostrada en la figura 19a tiene una sección transversal cuadrada

de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje

centroidal del área transversal de la barra, determine el esfuerzo normal

promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material a

lo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.


71

Figura 4.17

Figura 19

Solución

Parte (a)

Carga interna

La barra es seccionada, figura 19b, y la carga interna resultante consiste

sólo en una fuerza axial P = 800 N.

Esfuerzo promedio

El esfuerzo normal promedio se determina con la ecuación:

Rpta.

No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante en

la sección es cero.

Rpta.

La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal

se muestra en la figura 19c.


72

Figura 19d

Parte (b)

Carga interna

Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagrama de cuerpo libre del

segmento izquierdo es como se muestra en la figura 19d. Aquí actúan

una fuerza normal (N) y una fuerza cortante (V) sobre el área seccionada.

Usando ejes x, y, se requiere

O más directamente, usando ejes x´, y´,

Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones,

Y el esfuerzo cortante promedio es

La distribución de esfuerzo se muestra en la figura 19e.


73

Figura 19c

EJEMPLO

El puntal de madera mostrado en la figura 20a está suspendido de una

barra de acero de diámetro de 10 mm, que está empotrada a la pared. Si

el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante

promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos

sombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd

Figura 20a

Solución

Cortante interno

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 20b, la barra

resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está empotrada a la pared.

En la figura 20c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento

seccionado del puntal que está en contacto con la barra. Aquí la fuerza

cortante que actúa a lo largo de cada plano sombreado es de 2.5 kN.


74

Figura 20b Figura 20c

Esfuerzo cortante promedio.

Para la barra,

Rpta.

Para el puntal,

Rpta.

La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra seccionada y

el segmento de puntal se muestran en las figuras 20d y 20e,

respectivamente. Se muestra también con esas figuras un elemento de

volumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie de

cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debe

actuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las caras

adyacentes de los mismos.

Figura 20d Figura 20e


75

EJEMPLO

El miembro inclinado en la figura 21a está sometido a una fuerza de

compresión de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresión promedio a

lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el esfuerzo

cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por EDB.

Figura 21a

Solución

Cargas internas:

El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura

21b. Las fuerzas de compresión que actúan obre las áreas de contacto

son

Figura 21b

También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del

miembro del fondo, figura 21c, la fuerza cortante que actúa sobre el

plano horizontal seccionado EDB es


76

Figura 21c

Esfuerzo promedio

Los esfuerzos de compresión promedio a lo largo de los planos horizontal

y vertical del miembro inclinado son:

Rpta.

Rpta.

Figura 21d

Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 21d.

El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal

definido por EDB es:

Rpta.


77

Figura 21e

Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figura

21e.

4. ESFUERZO PERMISIBLE

Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico

debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro. Además, una

estructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser

analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes.

Así que nuevamente es necesario efectuar cálculos usando un esfuerzo

permisible o seguro.

Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible que

limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro pueda

soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejemplo la carga para la

cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él.

Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactas

debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.

Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no

se hayan tomado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el

decaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se

deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la madera,

el concreto o compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidad

en sus propiedades mecánicas.

Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un

miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad

(FS) es la razón de la carga de falla, Ffalla, dividida entre la carga permisible, Fperm.

La Ffalla se determina por medio de ensayos experimentales del material y el

factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las

incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro

se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado

matemáticamente,


78

Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuerzo

desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar ζ = P/A y ηprom = V/A,

entonces podemos expresar el factor de seguridad como razón del esfuerzo de

falla ζfalla (o ηfalla) al esfuerzo permisible ζperm (o ηperm); esto es,

Ó

En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge mayor que 1

para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos de

materiales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por

ejemplo, el FS usado en el diseño de componentes de aeronaves o vehículos

espaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehículo. Por otra

parte, en el caso de una planta nuclear, el factor de seguridad para algunos de

sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre

en el comportamiento de la carga o del material. Sin embargo, en general, los

factores de seguridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para

elementos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus

indeterminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus

valores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales de

ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y para el

público junto con una solución económica razonable para el diseño.

4.1. DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES

Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del

material, las ecuaciones ζ = P/A y ηprom = V/A pueden usarse para

analizar o diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. En

particular, si un miembro está sometido a una fuerza normal en una

sección, su área requerida en la sección se determina con:


79

Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entonces

el área requerida en la sección es:

Como vimos en la sección anterior, el esfuerzo permisible usado en cada

una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a

un esfuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos

directamente en un código apropiado de diseño.

Ahora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las

ecuaciones pueden usarse en el diseño.

Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la

sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de

tensión puede determinarse si la fuerza tiene una línea de acción que

pasa por el centroide de la sección transversal.

Por ejemplo, considere la barra con perforación en sus extremos

mostrada en la figura 22a. En la sección intermedia a-a, la distribución de

esfuerzos es uniforme sobre toda la sección y se determina el área

sombreada A, como se muestra la figura 22b.

Figura 22

4.2. ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN CONECTOR SOMETIDO A CORTANTE

A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones

o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta traslapada

mostrada en la figura 23a. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre

del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de

fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de

una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en

la figura 23b. El perno está sometido a una fuerza cortante interna


80

resultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el

esfuerzo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente

sobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del perno

se determinada como se muestra en la figura 23c.

Figura 23

4.3. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR APLASTAMIENTO

Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra

otra se denomina Esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es

demasiado grande, puede aplastar o deformar localmente una o ambas

superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determinar el

área apropiada de apoyo para el material, usando un esfuerzo de

aplastamiento permisible. Por ejemplo, el área A de la placa B de base de

la columna mostrada en la figura 24 se determina a partir del esfuerzo

permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación

A=P/(ζb)perm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de

aplastamiento para el concreto es menor que del material de la placa de

base y además que el esfuerzo está uniformemente distribuido entre la

placa y el concreto, como se muestra en la figura.

Figura 24


81

4.4. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR EL CORTANTE CAUSADO POR CARGA AXIAL

Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal

que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando

éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una

barra de acero cuyo extremo esté empotrado en concreto y se encuentre

cargado como se muestra en la figura 25a. Un diagrama de cuerpo libre

de la barra, figura 25b, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el

área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es (πd)l, donde d

es el diámetro de la barra y l es la longitud del empotramiento. Si bien la

distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de

determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar A = V /ηperm

para calcular l, siempre que conozcamos d y ηperm, figura 25b.

Figura 25

PUNTOS IMPORTANTES

1. El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un

esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga

propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en

el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependiendo de los usos

propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para

obtener la carga admisible que el miembro puede soportar.

2. Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas

pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuerzos

normales y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en

ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplicadas,

debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone

uniformemente distribuida o "promediada" sobre la sección.


82

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal

promedio y del esfuerzo cortante promedio, debe primero considerarse

cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una

vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñarse con

suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella.

Para determinar esta área, se requieren los siguientes pasos.

Carga interna

Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuerpo libre

de un segmento del miembro. La fuerza interna resultante en la

sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio.

Área requerida

Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible (admisible),

el área requerida para soportar la carga en la sección se calcula

entonces con A = P/ζperm o A = V /ηperm

EJEMPLO

La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular

empotrado a ella, como se muestra en la figura 26a. Si la barra pasa por

un agujero con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mínimo

requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para

soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es

ζperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es ηperm =

35 MPa.

Figura 26


83

Solución

Diámetro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20

kN. El área transversal requerida para la barra es entonces:

De manera que:

Rpta.

Espesor del disco

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo

del disco, figura 26b, el material en el área seccionada debe resistir

esfuerzos cortantes para impedir el movimiento del disco a través del

agujero. Si se supone que este esfuerzo cortante está uniformemente

distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN,

tenemos:

Como el área seccionada A = 2π (0.02 m)(t), el espesor requerido del

disco es:

Rpta.

EJEMPLO

Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 25a es resistida por

el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha del

cojinete en B. Determine el máximo valor de P para las dos fuerzas

axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exceda un

esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ζb)perm = 75 MPa y que el

esfuerzo normal promedio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión

permisible de (ζt)perm = 55 MPa.


84

Figura 27

Solución

Para resolver el problema determinaremos P para cada condición posible

de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué?

Esfuerzo normal

Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro de

la región FE de la flecha es 2P, mientras que la carga axial máxima, 3P,

ocurre dentro de la región EC, figura 27b. La variación de la carga interna

se ve claramente en el diagrama de fuerza normal, figura 27c. Como el

área transversal de toda la flecha es constante, la región EC estará

sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Por lo tanto, tenemos:

Esfuerzo de aplastamiento

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 27d, el

collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de

apoyo de Ab = [π(0,.04 m)2 - π(0,.03 m)2] = 2,199(10-3) m2, entonces:


85

En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P =

51,8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el

esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.

EJEMPLO

La barra rígida AB mostrada en la figura 28a está soportada por una barra

de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por un bloque de

aluminio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de

diámetro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el

esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (ζac)falla = 680 MPa y

(ζal)falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla para

cada pasador es ηfalla = 900 MPa, determine la carga máxima P que puede

aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2.

Solución

Calculemos los esfuerzos permisibles:

Figura 28a

Figura 28b


86

El diagrama de cuerpo libre para la barra se muestra en la figura 28b. Se

tienen tres incógnitas.

Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar FAC Y FB en

términos de la carga P aplicada.

Tenemos:

Determinaremos ahora cada valor de P que genera el esfuerzo permisible

en la barra, bloque y pasadores, respectivamente.

Barra AC

Usando la ecuación 1,

Bloque B.

Usando la ecuación 2,

Pasador A o C.

De la ecuación 1,


87

Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se

genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por

consiguiente,

Rpta.

5. PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

El miembro B está sometido a una fuerza de compresión de 800 lb. Si A y B

están hechos de madera y tienen 3/8 pulg. De espesor, determine con una

aproximación de ¼ pulg. La dimensión h más pequeña del soporte para que el

esfuerzo cortante promedio no sea mayor que rperm= 300 lb/pulg2.

Figura 29

Problema 2

El poste de roble de 60 x 60 mm está soportado por el bloque de pino. Si los

esfuerzos permisibles por aplastamiento en esos materiales son roble = 43 MPa

y pino 25 MPa. Determine la carga máxima P que puede ser soportada. Si se

usa placa rígida de apoyo entre los dos materiales, determine su área requerida

de manera que la carga máxima P pueda ser soportada. ¿Qué valor tiene esta

carga?


88

Figura 30

Problema 3

La junta está conectada por medio de dos pernos. Determine el diámetro

requerido de los pernos si el esfuerzo cortante permisible en los pernos es Tperm

= 110 MPa. Suponga que cada perno soporta una porción igual de la carga.

Figura 31

Problema 4

La palanca está unida a la flecha A por medio de una chaveta de ancho d y

longitud de 25 mm. Si la flecha está empotrada y se aplica una fuerza vertical de

200 N perpendicular al mango, determine la dimensión d si el esfuerzo cortante

permisible en la chaveta es Tperm = MPa.


89

Figura 32

Problema 5

El tamaño a del filete se determina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo

largo del plano sombreado que tenga la menor sección transversal. Determine el

tamaño a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P

= 20 klb. El esfuerzo cortante permisible para el material de la soldadura es Tperm

= 14 klb/pulg2.

Figura 33

Problema 6

El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que la junta

falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo el plano sombreado, el

cual tiene la sección transversal más pequeña, determine la fuerza máxima P que

puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortante permisible para el material de la

soldadura es Tperm = 14 klb/pulg2.

Figura 34


90

Problema 7

El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos, uno a cada lado

del miembro como se muestra. Cada perno tiene un diámetro de 0.3 pulg.

Determine la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el esfuerzo

cortante permisible para los pernos es Tperm = 12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal

promedio permisible es perm = 20 klb/pulg2.

Figura 35

Problema 8

El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se

mantiene en posición usando una tuerca y una arandela como se muestra en la

figura (a). La falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se

separe como se muestra en la figura (b). Si es el esfuerzo normal promedio

máximo para la arandela es máx = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio

máximo es máx = 21 klb/pulg2, determine la fuerza F que debe aplicarse al

manguito para que ocurra la falla. La arandela tiene 1/15 pulg de espesor.

Figura 36

Problema 9

Los dos alambres de acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos

alambres tiene un esfuerzo de tensión permisible de perm = 200 MPa, determine

el diámetro requerido de cada alambre si la carga aplicada es P = 5kN.


91

Problema 10

Los dos cables de acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos

alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de perm = 2180 MPa, y el

alambre A B tiene un diámetro de 6 mm y AC tiene un diámetro de 4 mm.,

determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle

uno de los alambres.

Figura 37 y 38

Problema 11

La columna tiene un área transversal de 12 (103) mm2. Está sometida a una

fuerza axial de 50kN. Si la placa de base a la cual la columna está unidad tiene

una longitud de 250 mm, determine su ancho d de manera que el esfuerzo de

aplastamiento promedio en el suelo bajo la placa sea la tercera parte del

esfuerzo de compresión promedio en la columna. Esboce la distribución de

esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la columna y en el fondo de

la placa de base.

Figura 39


92

Problema 12

La viga AB está soportada por un pasador en A y por un cable JBC. Otro cable

CG se usa para sostener la estructura. Si AB pesa 120 lb/pie y la columna FC

pesa 180 lb/pie, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las

secciones transversales por los puntos D y E. Desprecie los anchos de la viga y

de la columna en el cálculo.

Figura 40

Problema 13

La polea se mantiene fija a la flecha de 20 mm de diámetro por medio de una

chavetera que se inserta en una ranura de la polea y de la flecha. Si la carga

suspendida tiene una masa de 50 kg., determine el esfuerzo cortante promedio

en la chavetera a lo largo de la sección a-a. La chaveta tiene una sección

transversal cuadrada de 5 mm por 5 mm y 12 mm de longitud.


93

Figura 41

Problema 14

La conexión de barra y grillete está sometida a una fuerza de tensión de 5 kN.

Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante

promedio en el pasador A entre los miembros.

Figura 42


94

PROBLEMA

La barra esbelta mostrada en la figura 43 está sometida a un incremento de

temperatura a lo largo de su eje, que genera una deformación unitaria normal en

la barra de εz=40(10-3)zl/2, donde z está dada en metros. Determine (a) el

desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura,

y (b) la deformación unitaria normal promedio en la barra.

Figura 43

Solución

Parte (a).- Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lo

largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura

43, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la siguiente

ecuación; o sea:

La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud deformada de

la barra, esto es:

Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es:


95

Parte (b).- La deformación unitaria normal promedio en la barra se determina

con la siguiente ecuación, que supone que la barra o "segmento de línea" tiene

una longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por

consiguiente:

Rpta.

6. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unitaria,

en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con las

deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determinar el

diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará el

comportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usados

comúnmente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas y

otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.

7. PRUEBAS DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN

La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga

sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo y

debe determinarse por experimentación. Entre las pruebas más importantes

están las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas pueden

determinarse muchas propiedades mecánicas importantes de un material, se

utilizan principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal

promedio y la deformación normal unitaria en muchos materiales utilizados en

ingeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.

Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma y

tamaño "estándar". Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probeta

dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas marcas se colocan lejos de los

extremos del espécimen porque la distribución del esfuerzo en los extremos es

un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica una

carga. Se toman mediciones tanto del área de la sección transversal inicial del

espécimen, Ao, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcas

del punzón. Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una prueba

de tensión, generalmente éste tiene un diámetro inicial de do = 0.5 pulg. (13

mm) y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg. (50 mm), figura 44a. Con objeto de

aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por lo


96

regular los extremos se asientan sobre juntas de rótula. Luego se usa una

máquina de prueba similar a la mostrada en la figura 44b para estirar el

espécimen a un régimen constante muy lento, hasta alcanzar el punto de

ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida para

mantener este alargamiento uniforme.

Durante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la carga

aplicada P, a medida que se leen en la carátula de la máquina o en un dispositivo

digital. También puede medirse el alargamiento δ = L - Lo entre las marcas que

se hicieron en el espécimen con el punzón., usando ya sea una galga o un

dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de δ se usa luego

para determinar la deformación unitaria normal promedio en el espécimen o

muestra. Sin embargo, a veces no se toma esta medición, puesto que también es

posible leer la deformación unitaria directamente usando una galga extenso

métrica de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 44c. La

operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctrica de

un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación.

En esencia, la galga está cementada o pegada al espécimen en una dirección

específica. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con la galga, entonces

ésta es, en efecto, una parte integral de espécimen, de modo que cuando éste se

alargue en la dirección de la galga, el alambre y el espécimen experimentarán la

misma deformación unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, la

galga puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal

directamente.

Figura 44

44 a

44 b 44 c


97

Figura 45

8. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posible

calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en

el espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama

diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay 2 maneras de describirlo.

Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datos

registrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendo

la carga P aplicada entre el área Ao de la sección transversal original del

espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la sección

transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos:

De la misma manera, la deformación nominal o de ingeniería se determina

directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada

δ, entre la longitud calibrada original del espécimen Lo. Aquí se supone que la

deformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados.

Entonces:

Si se grafican los valores correspondientes de ζ y ε, con los esfuerzos como

ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante se

llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama es

muy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios para obtener

datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sin

considerar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser


98

claro que nunca serán exactamente iguales dos diagramas de esfuerzo-

deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen

entre otras variables de la composición del material, de imperfecciones

microscópicas, de la manera en que esté fabricado, de la velocidad de carga y de

la temperatura durante la prueba.

Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo deformación

unitaria del acero, material comúnmente usado para la fabricación de miembros

estructurales y elementos mecánicos. En la figura 46 se muestra el diagrama

característico de esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando

el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras

diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de

deformación unitaria inducida en el material.

8.1. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO

Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias

en el modelo están dentro de la región ligeramente sombreada. Puede

verse que la curva es en realidad una línea recta a través de toda esta

región, así que el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En

otras palabras, se dice que el material es linealmente elástico. El límite

superior del esfuerzo en esta relación lineal se llama límite de

Figura 46


99

proporcionalidad, ζlp. Si el esfuerzo excede un poco el límite de

proporcionalidad, el material puede todavía responder elásticamente; sin

embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de

la deformación unitaria con el correspondiente incremento del esfuerzo.

Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite elástico. Para

determinar este punto en cualquier espécimen, debemos aplicar, y luego

retirar, una carga creciente hasta que se detecte una deformación

permanente en el mismo. Sin embargo, en el acero rara vez se determina

el límite elástico, puesto que está muy cerca del límite de

proporcionalidad y, por tanto, su detección es bastante difícil.

8.2. FLUENCIA

Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará un

colapso del material y causará que se deforme permanentemente. Este

comportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región más

oscura de la curva, figura 46. El esfuerzo que origina la fluencia se llama

esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, ζY, y la deformación que ocurre

se llama deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura 46, en

los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que sean

laminados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el punto

de fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una

disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto

inferior de fluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el punto

inferior de fluencia, como se muestra en la figura 46, entonces la muestra

continuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observe que la

figura 46 no está trazada a escala. Si lo estuviera, las deformaciones

unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40 veces más

grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando el material

está en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico.

Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede

aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva

continuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo,

llamado esfuerzo último, ζu. La elevación en la curva de esta manera se

llama endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 46

como la región ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, y

mientras el espécimen se está alargando, el área de su sección

transversal disminuirá. Esta disminución de área es bastante uniforme en

toda la longitud calibrada del espécimen, incluso hasta la deformación

unitaria que corresponde al esfuerzo último.


100

Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la

sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la

probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es

causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y

las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes.

Como resultado, tiende a desarrollarse un "cuello" en esta zona a medida

que el espécimen se alarga cada vez más, figura 47a. Puesto que el área

de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamente, el

área más pequeña puede soportar sólo una carga siempre decreciente.

De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria tienda a

curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del

esfuerzo de fractura, ζf, figura 47b. Esta región de la curva debida a la

formación del cuello está representada con color oscuro en la figura 46.

8.3. DIAGRAMA REAL DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitud

original de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria

(de ingeniería), podríamos haber usado el área de la sección transversal y

la longitud reales del espécimen en el instante en que la carga se está

midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados

a partir de esas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación unitaria

real, y un trazo de sus valores se llama diagrama real de esfuerzo-

deformación unitaria. Cuando se traza este diagrama, vemos que tiene la

forma mostrada por la línea que forma la curva en la figura 46. Advierta

que ambos diagramas (el convencional y el real) prácticamente coinciden

cuando la deformación unitaria es pequeña. Las diferencias entre los

diagramas comienzan a aparecer en la zona de endurecimiento por

deformación, donde la magnitud de la deformación unitaria es más

Figura 47


101

significativa. En particular, note la gran divergencia dentro de la zona de

formación del cuello. Aquí podemos ver que, según el diagrama ζ - e

convencional, la probeta de ensayo en realidad soporta una carga

decreciente, puesto que Ao es constante cuando se calcula el esfuerzo

nominal, ζ = P/Ao. Sin embargo, según el diagrama ζ - ε real, el área real

A dentro de la región de formación del cuello está siempre decreciendo

hasta que ocurre la falla ζf, y así el material realmente soporta un

esfuerzo creciente, puesto que ζ = P /A.

Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional son

diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro

de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no es

severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea "rígido",

como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta el

límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los

valores nominales de ζ y de ε será muy pequeño (alrededor de 0.1 %)

comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razones

primordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformación

convencionales.

Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a la

figura 48, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformación

convencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltar

los detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de

deformación exagerada. Siguiendo el comportamiento, el límite de

proporcionalidad se alcanza en ζlp = 35 klb/pulg2 (241 MPa), cuando εlp =

0.0012 pulg/pulg. Éste es seguido por un punto superior de fluencia de

(ζY)u = 38 klb/pulg2 (262 MPa), luego súbitamente por un punto inferior

de fluencia de (ζY)l = 36 klb/pulg2 (248 MPa). El final de la fluencia

ocurre con una deformación unitaria de εY = 0.030 pulg/pulg, la cual es

25 veces más grande que la deformación unitaria en el límite de

proporcionalidad. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta

que alcanza un esfuerzo último de ζu = 63 klb/pulg2 (435 MPa), y luego

comienza la estricción hasta que ocurre la falla, ζf = 47 klb/pulg2 (324

MPa). En comparación, la deformación unitaria en el punto de falla, εf =

0.380 pulg/pulg, es 317 veces mayor que εlp.


102

9. RELACIÓN DE POISSON

Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no

sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira

de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen.

Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que

éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente.

Estos dos casos se ilustran en la figura 49 para una barra con radio r y longitud L

iniciales.

Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una

cantidad δ y su radio una cantidad δ'. Las deformaciones unitarias en la dirección

axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente:

Figura 48

Figura 49


103

A principios del siglo XIX, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentro

del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya

que las deformaciones δ y δ' son proporcionales.

A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico

que es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico.

Expresado matemáticamente:

El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación

unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria

negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma

en todas las direcciones laterales (o radiales). Además esta deformación unitaria

es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo

actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección.

La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos

tiene un valor generalmente entre ¼ y 1/3. En particular, un material ideal sin

movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá υ = 0. El valor máximo

posible para la razón de Poisson es 0.5.

Por tanto, 0 ≤ υ ≤0.5.

Figura 50

Cuando el bloque de hule es comprimido (deformación unitaria negativa) sus

lados se expanden (deformación unitaria positiva). La relación de esas

deformaciones unitarias es constante.


104

EJEMPLO

Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 51. Si se

aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine cambio en su longitud y

el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la

carga. El material se comporta elásticamente.

Solución

El esfuerzo normal en la barra es:

De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 GPa, por lo que

la deformación unitaria en la dirección z es:

El alargamiento axial de la barra es entonces:

Rpta.

Usando la ecuación:

donde υac = 0.32 según la tabla en e1forro posterior, las contracciones en las

direcciones x y y son:

Figura 51


105

Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:

Rpta.

Rpta.

9.1. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA EN CORTANTE

Cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, el

equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las

cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia o

desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 52a.

Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzo

cortante distorsionará al elemento de manera uniforme, figura 52b. La

deformación unitaria cortante γxy mide la distorsión angular del elemento

con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y

y.

El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser

estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos delgados

y sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del par

aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, los datos pueden

usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria

cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación

cortante unitaria. En la figura 53 se muestra un ejemplo de este diagrama

para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión, este material

exhibirá un comportamiento elástico lineal cuando se le somete a corte y

tendrá un límite de proporcionalidad ηlp definido. También ocurrirá un

endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo cortante

último ηu. Finalmente, el material comenzará a perder su resistencia al

cortante hasta que se alcance un punto en que se fracture, ηf.

En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos de

describir, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley de

Hooke para el cortante puede escribirse como:


106

Aquí G se llama módulo de elasticidad por cortante o módulo de

rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el

diagrama η-γ, esto es, G = ηlp/γlp. En el forro interior de la cubierta de

este libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de

ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa

o lb/pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidad

adimensional. Las tres constantes del material, E, y G están

relacionadas por la ecuación:

Siempre que E y G se conozcan, el valor de podrá determinarse por

medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe-

rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103)

klb/pulg2 Gac = 11.0 (103) klb/pulg2, de modo que, ac = 0.32

Figura 52

Figura 53


107

EJEMPLO

El espécimen de aluminio mostrado en la figura 54 tiene un diámetro

do=25 mm y una longitud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165

kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo de

elasticidad. Determine también cuánto se reduce el diámetro debido a

esta fuerza. Considere Gal = 26 GPa y ζy = 440 MPa.

Figura 54

Solución

Módulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en el espécimen es:

Y la deformación unitaria normal promedio es:

Como ζ < ζy = 440 MPa, el material se comporta elásticamente. El

módulo de elasticidad es:

Rpta.


108

Contracción del diámetro.- Primero determinamos la relación de Poisson

para el material:

Como εlong = 0.00480 mm/mm, entonces:

La Contracción del diámetro es por lo tanto:

Rpta.

EJEMPLO

Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el

diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que

resulta se muestra en la figura 55. Determine el módulo cortante G, el

límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine

también la distancia d máxima que la parte superior de un bloque de este

material, mostrado en la figura 56, podría desplazarse horizontalmente si

el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerza cortante

V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar este desplazamiento?


109

Figura 56 Figura 56

Solución

Módulo cortante: Este valor representa la pendiente de la porción recta

OA del diagrama η - γ. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52

klb/pulg2). Entonces:

Rpta.

La ecuación de la línea OA es por lo tanto η = 6500γ, que es la ley de

Hooke para cortante.

Límite de proporcionalidad: Por inspección, la gráfica deja de ser

lineal en el punto A. Así:

Rpta.

Esfuerzo último: Este valor representa el esfuerzo cortante máximo,

punto B. De la gráfica:

Rpta.

Desplazamiento elástico máximo y fuerza cortante.- Como la

deformación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo

muy pequeño, la parte superior del bloque se desplazará horizontalmente:

Rpta.

El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es ηlp =

52 klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des-

plazamiento es:


110

Rpta

10. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE

10.1. CARGA Y ÁREA TRANSVERSAL CONSTANTES

En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y el

material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una

fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 57, entonces la

fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En

consecuencia, se obtiene:

Figura 57

Donde:

δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.

L = distancia entre los puntos.

P = fuerza axial interna en la sección.

A = área de la sección transversal de la barra.

E = módulo de elasticidad del material.

Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la

sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de

una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse

a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas

constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro

se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los

desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso

general:


111

10.2. CONVENCIÓN DE SIGNOS

Debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axial

interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al

otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y

el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento,

respectivamente, figura 58, mientras que una fuerza y un

desplazamiento negativo causarán compresión y contracción,

respectivamente.

Convención de signo positivo para P y

Figura 58

Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 58a. Las fuer-

zas axiales internas "P", calculadas por el método de las secciones en

cada segmento, son PAB = + 5 kN, PBC = - 3 kN Y PCD = -7 kN, figura 58b.

Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o normal) para

la barra, figura 58c. Aplicando la ecuación de carga y área transversal

constantes para obtener el desplazamiento del extremo A respecto del

extremo D, tenemos:


112

Figura 59 a,b y c

Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello

significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga)

mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca

hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para

indicar este desplazamiento relativo (δA/D); sin embargo, si el

desplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se

usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo

entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como δA.

EJEMPLO

La barra compuesta de acero A-36 (Módulo de Elasticidad = 29(103)

klb/pulg2) mostrada en la figura 59a está hecha de dos segmentos AB y

BD que tienen áreas transversales de AAB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2.

Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a

C.


113

Figura 60

Solución

Fuerza interna.- Debido a la aplicación de las cargas externas, las

fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas

diferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las secciones

y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la

figura 60b y se encuentran graficadas en la figura 60c.

Desplazamiento.- Usando la convención de signos, esto es, fuerzas

internas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión son

negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:

Rpta.

Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A

es hacia arriba.

Rpta.

Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.


114

EJEMPLO

El conjunto mostrado en la figura 61a consiste en un tubo AB de aluminio

con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero con diámetro de 10

mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica

una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento

del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70 GPa.

Figura 61

Solución:

Fuerza interna.- El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura

43b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el tubo

a una compresión de 80 kN.

Desplazamiento.- Determinaremos primero el desplazamiento del extremo

C con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons y

metros, tenemos:

El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con

respecto al extremo B, ya que la barra se alarga.

El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:

El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se mueve

hacia la derecha respecto a A.


115

Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el

desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:

Rpta.

EJEMPLO

Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la

figura 62a. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BD

está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el

desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga

vertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70

GPa.

Figura 62

Solución

Fuerza interna.- Las fuerzas de compresión que actúan en la parte

superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro

AB, figura 62b. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada

poste, figura 62c.

Desplazamiento.- El desplazamiento de la parte superior de cada poste

es:


116

Poste AC:

Poste BD:

En la figura 62d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los

puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el

triángulo sombreado, el desplazamiento del punto F es entonces:

Rpta.

EJEMPLO

Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y

un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las

dimensiones mostradas en la figura 63a. Determine el desplazamiento de

su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.

Figura 63


117

Solución

Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miembro que

depende del peso W (y) de un segmento del miembro situado debajo de

cualquier sección, figura 63b. Por tanto, para calcular el desplazamiento,

debemos usar la ecuación:

En la sección localizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono

como función de y se determina por proporción; esto es:

El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:

Como W = γV la fuerza interna en la sección es:

Desplazamiento.- El área de la sección transversal es también una función

de la posición y, figura 19b. Tenemos:

Aplicando la ecuación: Entre los límites y = 0 Y y = L se

obtiene:

Rpta.


118

Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de

los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longitud c-

omo era de esperarse.

11. PROBLEMAS PROPUESTOS

El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA,

teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas

axiales en A y en el cople B, determine el desplazamiento del cople B y del

extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra en la figura.

Desprecie el tamaño de las conexiones en B y C, y suponga que son rígidas Ek =

200 GPa. Eal = 70 GPa.

Figura 64

La flecha compuesta que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está

sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del

extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la

figura se muestran el área de la sección transversal y el módulo de elasticidad

para cada sección. Desprecie el tamaño de los collarines en B y en C.

Determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta del

problema 2.

Figura 65


119

Una flecha de cobre está sometida a las cargas axiales que se muestran en la

figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D si

los diámetros de cada segmento son d AB = 0.75 pulg, dBC = 1 pulg. y dCD = 0.5

pulg. Tome Ecu = 18(103) klb/pulg2.

Figura 66

Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la

figura. Si el área de la sección transversal de la barra es de 60mm2, determine el

desplazamiento de B y de A. Desprecie el tamaño de los coples en B, C y D.

Figura 67

La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro de 30 mm y soporta la carga

mostrada. Determine el desplazamiento de A con respecto a E. Desprecie el

tamaño de los coples.

Figura 68


120

PROBLEMAS LEY DE HOOKE

PROBLEMA # 1

Determinar la deformación de una barra de acero de 0.5 m de longitud si su esfuerzo a

la compresión es de 1000 kg/cm2.

PROBLEMA # 2

Una columna de hormigón armado (acero mas hormigón) esta comprimida por una

fuerza P=30000 kg.

2.1 ¿Qué parte de esta carga actúa sobre el hormigón y que parte sobre el acero si la

sección recta de acero es solamente 1/10 de la sección recta del hormigón?

2.2 ¿Cuál es la relación de esfuerzos: ζ_AC/ζ_H? ¿Quién está sometido a mayor

esfuerzo?

PROBLEMA # 3

Un cuerpo rígido AB de peso “Q” cuelga de 3 alambres verticales simétricamente

colocados respecto al centro de gravedad “C” del cuerpo. Determinar la relación de

esfuerzos de tensión en los alambres de acero y cobre si el alambre del medio es el del

acero y los otros dos de cobre. Las secciones rectas de los tres alambres son iguales.

PROBLEMA # 4

4.1 Para dos barras iguales geométricamente pero de distintos materiales:

La que soporta más esfuerzo se deformará más. ( V ) ( F )

Porque:…………………………………………………………………………………………………………

La que tiene menor coeficiente de elasticidad se deformará más.

( V ) ( F )

Porque:…………………………………………………………………………………………………………

Si el esfuerzo de tracción de una barra es diferente que el esfuerzo de tracción de

la otra barra entonces está necesariamente soportando distintas fuerzas.

( V ) ( F )

Porque:…………………………………………………………………………………………………………


121

Si una de las dos barras falla es porque está sujeto a una gran fuerza y no

necesariamente a gran esfuerzo.

( V ) ( F )

Porque:…………………………………………………………………………………………………………

Si una de las dos barras falla es porque está sujeto a una gran esfuerzo y no

necesariamente a gran fuerza.

( V ) ( F )

Porque:………………………………………………………………………………………………………….

PROBLEMA # 5

Si la carga distribuida sobre la columna compuesta de una barra circular embonada

dentro de una barra cuadrada es de 10 kg/cm2. Luego podemos afirmar:

PROBLEMA # 6

Indicar la(s) afirmaciones correctas

ζ_A>ζ_B

ζ_A<ζ_B

ζ_A=ζ_B

F_A=F_B

ζ_admA=ζ_admB

PROBLEMA # 7

La barra de acero A36 tiene forma tronco piramidal de sección cuadrada de lado a. Si

se somete a la acción de una fuerza constante F= 50 000 N. Determine el valor de la

deformación (mm).

E = 29,8 103 klb/pulg2 = 29,8 * 106 psi

De la relación:

δ=PL/EA

Para un esfuerzo que varía en función a la posición (ya que la fuerza se aplica a áreas

diferentes):

δ=∫_0^L▒P(x)dx/A(x)E


122

Para el problema P = Cte = 50000N

Para determinar A(x):

x A(x) (cm)

1 0 1,6129

2 1 0,403225

Luego:

A=-1,209675x + 1,6129

PROBLEMA # 8

Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y un módulo

de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las dimensiones mostradas.

Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.


PROBLEMA # 9

La barra de acero A36 tiene forma cónica de sección transversal redonda de diámetro

D. Si se somete a la acción de una fuerza constante F= 40 000 N. Determine el valor

de la deformación (mm).

E = 2,1 * 106 kgf/cm2


PROBLEMA # 10

La barra de acero 1020 tiene forma cónica de sección transversal redonda de

diámetro D. Si está sostenida en el extremo B, y sujeta a una carga de tensión P = 5

ton en el extremo libre. Determine el alargamiento (mm).

E = 2,1 * 106 kgf/cm2


PROBLEMA # 11

En la figura inferior se representa un bloque triangular de espesor constante 100 mm

el cual se une rígidamente al techo. Dicho elemento es de cobre y se deforma debido a

su propio peso. Determine el alargamiento (mm).

E Cu = 119 GPa


123

γ_Cu=87,3 kN/m^2

PROBLEMA # 12

Determinar el diámetro “d“ (mm) de los pernos N de acero St 50 de una prensa para

una fuerza máxima P = 5000 Kg. Determinar el alargamiento total de los pernos si la

longitud entre sus cabezas es de 1.00 m

PROBLEMA # 13

Hallar las reacciones en A y B.

PROBLEMA # 14

Calcular el valor de d (mm) para que la columna pueda soportar la carga mostrada 2P

= 52 Ton.

PROBLEMA # 12

Encontrar: la deformación (mm) y verificar si soporta o no soporta las fuerzas

aplicados.

12.1

Deformación =

Soporta o no soporta =

12.2


124

Deformación =

Soporta o no soporta =

PROBLEMA # 15

Tres postes de aluminio de igual sección transversal soportan una carga de 15

toneladas como se muestra en la figura. Determinar la distancia X (mm) para que la

barra rígida permanezca horizontal.

X =

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