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TECSUP - PFR Matemática II 49 UNIDAD VI LONGITUD DE ARCO 1. INTRODUCCIÓN Consideremos una curva definida por la ecuación y=f(x), donde f(x) es una función diferenciable. La longitud del arco de curva comprendido entre los puntos x=a y x=b, se calcula del siguiente modo: Ejemplo 1: El perímetro de la circunferencia Calcular el perímetro de la circunferencia 1 y x 2 2 . Para ello calcularemos el largo del arco de la curva 2 x 1 y , entre x = 0 y x = 1, y multiplicaremos por 4. dx . ) x ( f 1 L b a 2 ) x ( f y a b X Y
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TECSUP - PFR Matemtica II
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UUNNIIDDAADD VVII
LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO
1. INTRODUCCIN
Consideremos una curva definida por la ecuacin y=f(x), donde f(x) es unafuncin diferenciable.
La longitud del arco de curva comprendido entre los puntos x=a y x=b, secalcula del siguiente modo:
Ejemplo 1: El permetro de la circunferencia
Calcular el permetro de la circunferencia 1yx 22 . Para ello calcularemos el
largo del arco de la curva 2x1y , entre x = 0 y x = 1, y multiplicaremos por
4.
dx.)x(f1Lb
a
2
)x(fy
a bX
Y
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Tenemos:
dx.x1
x1dx.)x1(1dx.)x(f1L
1
0
2
2
1
0
22
1
0
2
1
0
10
2
1
0
2
1
0
2
2
arcsenxdx.x1
1dx.
x1
1dx.
x1
x1
20
20arcsen1arcsen
As el permetro de la circunferencia es
22
.4
Ejemplo 2: El largo de la catenaria
Una cadena cuelga, entre las abscisas x=-1 y x=1, de acuerdo a la ecuacin:
2
eey
xx
(Esta es la curva llamada catenaria y corresponde a la funcin y=coshx).
Calcule el largo de la cadena.
El largo de la cuerda est dado por el arco de la curva y=f(x) entre x=-1 y x=1.
As:
dx.4
e2e1dx.
2
ee1dx.)x(f1L
1
1
x2x21
1
2xx1
1
2
1
1
1
1
1
1
xxxx2
xx1
1
x2x2
2
eedx.
2
eedx.
2
eedx.
4
e2e
1yx 22 2x1y
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e
1e
2. REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN
Consideremos ahora el problema de calcular el rea de un cuerpo obtenido alrotar la curva y=f(x) (entre las abscisas x = a y x = b) en torno al eje X.Dividimos el cuerpo en rebanadas de ancho x, y consideramos el rea delmanto de cada una de estas rebanadas.
El rea de cada uno de estos mantos es, aproximadamente, el permetro de lacircunferencia (en uno de sus bordes), multiplicada por el largo del arco de lacurva.
El permetro de la circunferencia es 2.|f(x)|, y el largo del arco de la curva loacabamos de calcular.
Considerando que f(x) es positiva, en el intervalo considerado, el diferencial derea es:
dx.)x(f1).x(f.2dA 2
Y el rea de la superficie de revolucin es:
1-1
2
ee)x(f
xx
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Ejemplo 1:
La esfera pued
torno al eje X.
Por la frmula
O sea:
Y
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El rea de la esfera
e ser obtenida girando la curva 2x1y , entre x=-1 y x=1, en
Encuentre su rea.
anterior: dx.)x(f1).x(f2Ab
a
2
dx.)x(f1.x12A1
1
22
1
1
11
1
1
2
2
x2dx2
dx.x1
1.x12A
4
)1(12
dx.)x(f1).x(f2Ab
a
2
Xa b
)x(fy
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2x1y
1-1 X
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BLOQUE V
LONGITUD DE ARCO
Calcular la longitud de arco entre A y B de la grfica de ecuacin:
1.- 2 / 3f(x) 3x 10 ; A(8;2), B(27;17).
2.- 2 38x 27y ; A(1;2/3), B(8;8/3).
3.- 2 3(y 1) (x 4) ; A(5;0), B(8;7).
4.- 3y 5 x ; A(1;4), B(4;-3).
5.- 3 2y 6 x 1 ; A(-1;7), B(-8;25).
6.-3x 1
y12 x
; A(1;13/12), B(2;7/6).
7.-31 x
y 04x 3
; A(2;67/24), B(3;109/12).
8.- 3 830xy y 15 ; A(8/15;1), B(271/240;2)}
Calcular la longitud de arco de la curva dada:
9.- 3x1;1x2y
10.- 2x0;x4y 2
11.- )1;2(hasta)0;1(desde;)1x(y 2/3
12.- 2x1;x2
1
6
xy
3
13.- 3x1;x8
1
4
xy
2
4
14.- 4x2;4
)xln(
2
xy
2
15.-4
x0));xln(cos(y
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16.- 2/1x0);x1ln(y 2
SUPERFICIE DE REVOLUCIN
Calcular el rea de la superficie obtenida al hacer girar cada una de las siguientescurvas alrededor del eje X:
17.- 9x4;xy
18.- 8x0;1x2y
19.- 2x0;xy 3
20.- 4x1;2
)xln(
4
xy
2
21.- x0);x(seny
22.- 3/x0);xcos(y
23.- 8x1;x2
3y 3/2
24.- 1x0;x6y
25.- 1x0;ey x
26.- 1x0;xy 2
27.- 2x0;x12y2
28.- 1y0;xy3
29.- 2x0;eey xx
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ANOTACIONES:
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
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