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TECSUP - PFR Matemtica II

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UUNNIIDDAADD VVIIII

VVOOLLUUMMEENN DDEE UUNN SSLLIIDDOO DDEE RREEVVOOLLUUCCIINN

1. INTRODUCCIN

Sea la funcin y=f(x) continua y no negativa en el intervalo [a;b]. Consideremosla figura plana limitada por la grfica de esta funcin, el eje OX y las abscisasx=a y x=b. Cuando esta figura gira 360 alrededor del eje de abscisas genera uncuerpo tridimensional, con simetra de rotacin respecto a dicho eje. Este cuerpose conoce con el nombre de slido de revolucin.

Como ejemplo, el slido de revolucin engendrado por un rectngulo, al girarsobre uno de sus lados, es un cilindro. El que engendre un tringulo rectnguloque gira alrededor de un cateto es un cono. Y cuando un semicrculo gira sobresu dimetro genera una esfera.

El volumen del slido de revolucin engendrado por la rotacin de f(x), alrededordel eje X, se calcula del siguiente modo:

b

a

2dx.)x(fV

Matemtica II TECSUP - PFR

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Si la rotacin se efectuara sobre el eje Y, el volumen se calcula as:

Ejemplo

Calcule el volumen engendrado al girar la curva 2xy , para x=0 y x=3.

Alrededor del eje XAlrededor del eje Y

a) 2x)x(fy , x=0 x=3

3

0

3

0

3

0

4222 dx.xdx.xdx.)x(fV

335

3

0

5

u68,152u5

243

5

0

5

3

5

x

d

c

2dy.)y(gV

0 3

2x)x(f

X

Y


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b) y)y(gxyxxy 2 , y=0 y=9

9

0

9

0

9

0

22dy.ydy.ydy.)y(gV

332

9

0

2

u23,127u2

81

2

0

2

9

2

y

2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA LMINA

A continuacin, nuestro objetivo es determinar el punto G en el cual seequilibra, horizontalmente, una placa delgada de cualquier forma. Este punto Gse llama centro de masa o centro de gravedad de una lmina o placa dada.

0

9

y)y(g

X

Y

Gx

y

X

Y


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Analicemos el caso de una lmina o placa con densidad uniforme , que ocupauna regin R en el plano, acotada por las rectas x=a, x=b, la grfica de lafuncin continua y el eje X. Nuestro objetivo es localizar el centro de masa de lalmina, llamado centroide de R.

Luego de aplicar momentos respecto de los ejes coordenados, encontramos quelas coordenadas del centroide, se calculan del siguiente modo:

Obsrvese que el lugar del centro de masa es independiente de la densidad .

Si la placa estuviera compuesta por la zona comn entre dos funciones f(x) yg(x), las rectas x=a y x=b:

y=f(x)

R

a b

X

Y

b

a

b

a

2

b

a

b

a

dx)x(f

dx)x(f2

1

y;

dx)x(f

dx)x(f.x

x

a bx

y

)x(f

)x(g

Y

X

G


El centroide G se calculara del siguiente modo:Donde: b

a

dx)x(g)x(freaA

3. TRABAJO

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo del eje X, en direccin positiva,desde x=a hasta x=b y en cada punto xi entre a y b acta una fuerza f(x) sobreel objeto, donde f es una funcin continua.

Definimos el trabajo efectuado al mover el objeto de la posicin x=a hasta laposicin x=b, como:

Ejemplo

Calcular el trabajo necesarilongitud inicial, si la fuerzaelongacin.

Para mantener estirado unen un extremo y una fuerzdemasiado grande, F es diconstante denominada condirecta entre fuerza y elong

Luego el trabajo que se debes:

W

b

a

b

a

22 dx)x(g)x(fA2

1y;dx)x(g)x(f.x

A

1x

o para tensar un resorte una distancia a desde suque se necesita aumenta en proporcin directa a la

resorte en una elongacin x, se ejercer una fuerzaa igual y opuesta en el otro. Si la elongacin no esrectamente proporcional a x: F=kx, donde k es unastante de rigidez del resorte. Esta proporcionalidadacin se conoce como Ley de Hooke.

e realizar para alargar el resorte en una longitud a

a

0

a

0

2

2

kadx.kxdx).x(F

b

a

dx).x(fW61


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BLOQUE VI

CLCULO DE VOLMENES

1.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada por larevolucin de la parbola 2y 4x alrededor de su eje (paraboloide de revolucin)

y por el plano perpendicular a su eje que dista una unidad del vrtice de laparbola.

2.- La regin limitada por la elipse: 64164 22 yx gira alrededor del eje mayor.

Calcule el volumen del slido generado.

3.- Una figura limitada por los arcos de las parbolas 2y x e 2y x , gira alrededor

del eje de abscisas. Calcular el volumen del cuerpo engendrado.

4.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la revolucin alrededor del eje OXdel trapecio mixtilneo limitado por la lnea y arcsen(x) y cuya base es 0;1 .

5.- Un segmento parablico simtrico cuya base es igual a a y la altura h, giraalrededor de su base. Calcular el volumen del cuerpo de revolucin engendrado(limn de Cavalieri).

6.- Calcular el volumen que engendra, al girar alrededor del eje X, la figura plana

comprendida entre las grficas de: 5x)x(f 2 y 3x)x(g

7.- Hallar el volumen que genera, al girar alrededor del eje OX, la figura delimitadapor y=4-x, el propio eje y las abscisas x=-2 y x=3.

8.- Determinar el volumen del slido de revolucin engendrado por la figuracomprendida entre la curva xy=6 y el eje OX, desde x=2 hasta x=8.

9.- Hallar el volumen que engendra la figura limitada por la curva 3x2xy 2 y

el eje OX, cuando gira 360 alrededor de dicho eje. Y si solamente gira 120?

x

y

4x2+ 16y

2= 64


63

CENTRO DE GRAVEDAD

10.- Hallar el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

11.- Localizar el centroide de la regin acotada por las curvas dadas y el eje X:

a) /2x0,x);xcos(y

b) 2x;xy 2

c) 2x1y

d) 2x,1x;5x3y

e) /4x,4/x);x2cos(y

f) /2x0,x);x(seny

g) 1x0,x;ey x

h) ex,1x);xln(y

i) x0,x);x(seny

j) 2x4y

k) 2x;xy 3

12.- Calcular el centro de gravedad de la regin comn de las curvas:

2xy;xy 2

TRABAJO

13.- Cuando una partcula est a una distancia de x pies del origen, acta sobre ella

una fuerza igual a )x2x(2 libras. Cunto trabajo se efecta al moverla de x=1

hasta x=3?

14.- Se requiere una fuerza de 40 N para mantener estirado un resorte desde sulongitud natural de 10 cm, hasta 15 cm. Cunto trabajo se efecta al estirarlode 15 a 18 cm?

15.- Una fuerza mueve una partcula a lo largo del eje X, la fuerza es de )1x5(2 lb.

en el punto a x pies del origen. Calcular el trabajo realizado al moverla del origenhasta 10 pies de distancia.


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16.- Cuando una partcula se encuentra a x metros de distancia del origen, una fuerza

igual a)x

3cos(

N acta sobre ella. Cunto trabajo se efecta a mover lapartcula desde x=1 hasta x=2.

17.- Un resorte tiene 20 cm de longitud natural. Si se necesita una fuerza de 25 Npara mantenerlo estirado 30 cm. Cunto trabajo se requiere para estirarlo de 20a 25 cm?

18.- Se precisan 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural de 30cm hasta 42 cm. Cunto trabajo se necesita para estirarlo de 35 a 40 cm?

19.- Una cuerda gruesa de 50 ft de longitud pesa 0,5 ft-lb y cuelga sobre la orilla deun edificio de 120 ft de altura. Cunto trabajo se efecta al halar la cuerdahasta la azotea del edificio?

20.- Un elevador que pesa 1 600 lb. cuelga de un cable de 200 ft de longitud quepesa 10 ft-lb. Cunto trabajo se necesita para subir el ascensor desde el stanohasta el tercer piso, una distancia de 30 ft?

21.- Se usa un cable que pesa 2 lb-ft para levantar una carga de 200 lb al borde deun pozo de 500 ft de profundidad. Qu trabajo se realiza?

22.- Para estirar un pequeo resorte de su longitud natural de 6 cm a una de 8 cm senecesita una fuerza de 9 dinas. Calcular el trabajo realizado al estirar el resorte(a) de su longitud natural a una de 10 cm y (b) de una longitud de 7 cm a unade 9 cm.

23.- Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto de 20 pie de alto y radiode la base de 5 pie, tiene su vrtice a nivel del suelo y su eje vertical. El tanqueest lleno de agua que pesa 62.5 lb/pie3. Calcular el trabajo realizado albombear toda el agua y hacer que salga por arriba del tanque.

24.- La presin p (en N/m2) y el volumen v (en m3) de un gas encerrado en un

recipiente estn relacionados por la frmulampv c , donde m y c son

constantes. Demuestre que si el gas se expande de v=a a v=b, entonces el

trabajo realizado en joules est dado por

b

aw pdv

25.- Un resorte de una longitud natural de 10 pulg se larga 1.5 pulg bajo un peso de8 lb. Calcule el trabajo efectuado a estirar el resorte (a) de su longitud natural auna longitud de 14 pulg y (b) de una longitud de 11 pulg a una de 13 pulg.

26.- Una pecera tiene una base rectangular de 2 pie de ancho y 4 pie de largo, y suslados rectangulares tiene una altura de 3 pie. Si el recipiente est lleno de agua,Cunto trabajo se requiere para extraer toda el agua desde arriba del tanque?

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