Tiempo Escurri
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IV.-FUNDAMENTOS TEORICOS
METODOS PARA MEDIR EL TIEMPO DE ESCURRIMIENTO EN CILINDROS.
Método de Bird-Crosby
Cuando en depósito en el que está contenido un líquido que se está descargando, desciende
el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá a medida que va
descendiendo el nivel del líquido y por tanto el tiempo de descarga de un volumen dependerá
de aquel nivel.
Considerando un tanque cilíndrico vertical que contiene un líquido Newtoniano sobre el nivel
H. Tanto las superficies de salida están expuestas a la atmósfera. Así, el líquido sale del
tanque por acción de la gravedad.
Primero, se podría escribir un balance macroscópico de masa para el líquido en el sistema,
que está definido como el volumen total desde la superficie hasta la salida. La masa total del
líquido en el sistema es:
mtotal
= d x pi x (Ro².L+ R².h) (1)
donde: d : densidad
R : radio
Ro : radio del tubo
L : longitud
d mtotal
= - d x pi x Ro².V (2)
dt
V1
= V2
: velocidad promedio a la salida del tubo. No aparece el término V1
porque no
hay velocidad en la superficie del tanque.
Tomando la densidad constante y reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (2)se obtiene:
dH = _ Ro 2
. V (3)
dt R
Para desarrollar esta ecuación,. se debe conocer la velocidad V como función del nivel
del líquido H. Esta relación proviene de un balance macroscópico de energía.
Entonces, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como :
1 . V - g. (L+H ) = 1 . V 2 f L + E evi
(4)
2 2 Ro
Donde la suma de los factores de pérdidas incluyen todos los obstáculos y disturbios
que encuentra el fluido. Todos los términos de la ecuación (4) pueden ser vistos como
energía por unidad de masa del fluido que circula. El primer término del lado izquierdo
representa la energía cinética. Haciendo un arreglo en la ecuación, se obtiene una expresión
para la velocidad instantánea en la tubería:
½
V = 2 g ( L + H ) (5)
1 + 2 f L + E evi
Antes de sustituir la ecuación (5) en la ecuación (3), es necesario establecer las magnitudes
de los términos en el denominador. En particular, si el término que contiene el factor de
fricción es significativo y f varía con Re, es necesario detallar que la velocidad depende de ese
término.
Primero, se supone que el líquido está en régimen laminar:
f = 16 . u (6)
2 Ro V d
Si reemplazamos (6) en (5) y se desprecia la energía cinética :
V = d g Ro² ( L + H ) (7)
8 u L
Si esta expresión para V es reemplazada en la ecuación (3), se obtiene el tiempo de
escurrimiento:
te
= 8 u L R² ln L + Ho (8)
Dvg Ro² L + Hf
De otro lado, si el flujo es suficientemente turbulento o la tobera es suficientemente rugosa, f
es una constante, entonces el resultado de la ecuación es:
3/7
te
= 2 R² 1 + 2 f (L/Ro) + E evi
(L + Ho)3/7
– (L + Hf)3/7
(9)
3 Ro² 2 g
Finalmente, en el rango intermedio de flujo turbulento, para 2100< Re < 105
1/7
V = 2 (L + H)4 Ro
5 g
4 d (10)
0.07914 L
4 u
te
= 7 R² 0.0791 L u1/4
4/7
[( L + Ho )3/7
- ( L + Hf )3/7
] (11)
8 Ro² g (2d Ro5)
1/4
Es posible, como un líquido drena de un tanque y el nivel H decae, que el número de
Reynolds en la tubería puede cambiar de un régimen a otro. En ese caso, la integral de la
ecuación (3) debe ser evaluada en varias partes, usando la expresión apropiada para la
velocidad en cada región de H.
Método de Ocon-Tojo
Al considerar un punto de un depósito a una altura Z, al descender el nivel dz en el tiempo dt,
el caudal vendrá dado por:
Q = Adep
_ dz (12)
dt
En ese instante, a través de del tubo de sección A2
circulará el mismo caudal.
Q = A2
V2
(13)
Se puede considerar que la velocidad V1
del agua dentro del deposito es despreciable frente al
la velocidad V2
en el tubo. Si se toma como plano de referencia para las alturas el, punto
inferior del tubo ( Z2
= 0 ), la aplicación de la ecuación de Bernoulli conduce a la ecuación:
V2
² - Z1
+ Hf = 0 (14)
2g
V2
= 2 g Z ½ (15)
1 + K +f L/D
Al igualar las expresiones (12) y (13) y una vez sustituido el valor V2
de en (13)se tendrá:
½
te
= 2 R1
² 1 + K +f L/D ( Z ½
- Z1/2
) (16)
R2
²
2g
Donde Z = L + H
Método de Armijo
Se hace u balance de materia en el tanque , por lo que se tiene :
dm s
+ Em f
= 0 (17)
dt
donde m s
: masa del sistema
m f
:.flujos de masa
dm s
+ msale
- mentra
= 0
dt
dm s
= msale
= d V pi d²
4
por otro lado ms
= d. Vol = d pi D² H
4
d pi D² dH = _ d V pi d²
4 dt 4
D ² dH = dt
d V
te
= _ D ² (Hf – Ho)
d V
Utilizando la ecuación de la energía mecánica
a V² + Lwf = g ( H + L )
2gc
gc
donde a : factor de corrección si el perfil de velocidades no está completamente desarrollado.
Para régimen laminar a = 2
Para régimen turbulento a = 1
Lwf : pérdidas por fricción
Lwf = fD
L V² + K V² K = 0.45 si D >> 4
d 2 gc
2 gc
d
por lo tanto:
a V² + fD
L V² + Kcontracción
V² = g ( H + L )
2gc
d 2 gc
2 gc
gc
fD
depende del número de Reynolds.
fD
= a para régimen laminar a = 64, b = 1
Reb para régimen turbulento a = 0.316, b = 0.25
F(V)
= ( a + K ).V² + m.V 2 – b
+ - 2.g (H + L) = 0
Donde: m = 64 u L para régimen laminar
d D²
m = 0.316 u 0.25
L para régimen turbulento.
d
V.- DETALLES EXPERIMENTALES
Equipo Experimental
03 tanques cilíndricos; de base plana y de bases cónicas, con medidor de nivel.
05 tubos de vidrio de diferentes longitudes y diámetros.
04 tubos de aluminio de diferentes longitudes y diámetros.
03 soportes de metal para los cilindros.
01 Vernier
01 cinta métrica
02 probetas graduadas de 1 L.
01 cronómetro de mano .
Agua potable.
Procedimiento Experimental
1) Calibrar el medidor de profundidad en el tanque como sigue:
- Introducir el tapón en la parte inferior del tanque.
- Llenar el tanque por adición sucesiva de volúmenes conocidos de agua y anotar el
cambio del nivel en el medidor con cada porción que es adicionada.
2) Determinar los tiempos de escurrimiento para el drenado del tanque como sigue:
- Tapar uno de los tubos de salida o el orificio por la parte inferior del tanque vacío, y
llenar el tanque y tubo con agua. Durante el llenado, sellar por fuera el final del tubo
con una yema del dedo o un tapón.
- Empezar con un tanque lleno, permitir al líquido empezar a fluir del tubo.
- Tomar los tiempos a los cuales el nivel de líquido en el medidor de profundidad pasa
a lugares predeterminados
- Medir el tiempo total que toma al nivel del líquido viajar de la parte superior a la
inferior del medidor de profundidad
3) Realizar las medidas anteriores con todos los tubos, tomar los tiempos en cada caso.
4) Repetir los pasos anteriores para todos los tanques.
5) Tomar las dimensiones de los tubos.
VI.- DISCUCIÓN DE RESULTADOS
Los resultados experimentales de los tiempos de escurrimiento han sido comparados
mediante tres métodos : con el método de Bird-Crosby, con el método de Ocon-Tojo y con
el método de Armijo.
Al comparar el tiempo de escurrimiento experimental con el obtenido por el método de
Bird-Crosby, hay una desviación que varia en torno del 27 % al 35 % en promedio,.
desviación debida a que este método desprecia los términos de energía cinética y el de
pérdidas por fricción..
Al comparar el tiempo de escurrimiento experimental con el obtenido por el método de
Ocon-Tojo la desviación que arroja varia de 4 % al 25 % en promedio, la cual es
relativamente menor que la calculada por el método de Crosby. Ocon y Tojo en su método
sólo desprecian el termino de energía cinética mas no el término de pérdidas por fricción y
de acuerdo con la literatura este último sería el que mas se acerca al real, lo que se pudo
comprobar debido al menor grado de desviación en los tiempos.
El nuevo método de cálculo propuesto por Armijo, considera la energía cinética y las
perdidas de fricción por lo que lo hace mas aceptable, en este caso las desviaciones son
menores.
El cilindro de base plana, tiene una contracción es muy brusca, lo cual se refleja como
pérdidas por fricción; por el contrario en el cilindro de base cónica la contracción es
gradual lo que reduce estas pérdidas, por lo que el tiempo de escurrimiento en este último
cilindro resulta menor, lo cual se verificó en la experiencia.
Experimentalmente se tiene que para tubos de diámetros iguales con longitudes diferentes,
el tiempo de escurrimiento es menor para el tubo de menor longitud. Mientras que para
tubos de igual longitud con diferentes diámetros, el tiempo de escurrimiento es menor para
el tubo de diámetro mayor.
VII.- CONCLUSIONES
El tiempo de escurrimiento en el tanque de base cónica es menor al tiempo d escurrimiento
cen el tanque de base plana debido a que la contracción gradual del primero reduce las
pérdidas por fricción del mismo.
El tiempo de escurrimiento varía en forma directa con la longitud y el diámetro del tubo.
Al considerar las pérdidas por fricción y la variación de la energía cinética, como lo hace el
método de Armijo la desviación del tiempo de escurrimiento con respecto al tiempo
experimental es relativamente pequeña.
Las ecuaciones utilizadas en los cálculos son válidas para flujos turbulentos es decir para
números de Reynolds mayores a 2100.
VIII.- RECOMENDACIONES
Para poder obtener los mejores resultados se debe tener cuidado en medir el tiempo en
cada intervalo; esto se realizó en la práctica sólo observando el tiempo en el cronómetro en
cada intervalo, esta observación es muy subjetiva y poco aproximada ; debido a la carencia
de presición y exactitud los tiempos obtenidos podrían alejarse de manera sustancial del
valor real y así mismo tener una mayor desviación de métodos de cálculo con una buena
aproximación como el del método de Armijo
IX.- BIBLIOGRAFÍA
Bird, Bayron, “ Fenómenos de Transporte” . Primera Edición .
Editorial Reverté S.A., Barcelona – España 1995, pags: 7–2, 7–11 .
Crosby E. J., “ Experimentos sobre fenómenos de transporte en
operaciones unitarias en la industria química” . Editorial
Hispanoamericana. pags: 55–63 .
Ocon García, Joaquin y Tojo Barreido “ Problemas de Ingeniería
Química” Tomo I , Segunda Edición. Editorial Aguilar S.A., Chile
1967, pag: 33–36.
X.- APÉNDICE
EJEMPLO DE CÁLCULO
1.- DETERMINACIÓN DEL DIÁMETRO DEL TANQUE # 1
Se plotean los valores dela tabla 4, colocando en el eje X las alturas y en eje Y el volumen, la
figura resultante es una línea recta, cuya pendiente es la relación Volumen/Altura del cilindro,
por lo que se tiene:
Área del cilindro = Volumen = pi x D² = pendiente de la recta
Altura 4
Por lo que el diámetro de l tanque #1 es 15.21 cm
2.- CALCILO DE LAS VELOCIDADES EXPERIMENTALES
Se utiliza la ecuación (3) pag. 4:
V= _ R . ² dH
Ro dt
donde se tiene para el primer caso:
Vo = - 15.21 cm . ² 24 – 26 cm
0.329 cm 24 – 0 s
Vo = 178.11 cm/s
Y
Vf = – 15.21 cm ² 0 – 2 cm
0.329 cm 390 – 355 s
Vf = 146.76 cm/s.
Los resultados están representado en la tabla 8 , 10 y 11 para cada tanque.
3.- CALCULO DE LAS VELOCIDADES TEÓRICAS
Método de Bird – Crosby :
A partir de la ecuación (10) página 6 se tiene
1/7
Vo = 2 (L + H)4 Ro
5 g
4 d
0.07914 L
4 u
entonces 1/7
Vo = [2.( 19.8 + 31.5 )cm]4.(0.329 cm)
5.(980 cm/s² )
4.0.99843 g/cm³
0.07914 .(19.8 cm)
4. 0.0103 g/cm – s
donde
Vo = 219.8 cm/s
Método de Ocon – Tojo :
Para calcular la velocidad teórica , se utilizará el método de iteraciones sucesivas.
Primero se asume un valor para la velocidad inicial, luego se calcula el número de Reynolds:
Re =(D . V . d ) / µ . Para tubos lisos el factor de fricción es:
f = 0.0014 + 0.0125 / (Re0.32
); luego el valor f se reemplaza en la ecuación:
V = 2.g .Z ½ si la velocidad asumida es igual ala velocidad calculada
1+ K +f.L/D la iteración se detiene.
Finalmente para el primer valor, V = 221.15 cm/s
Método de Armijo:
Los cálculos para este método fueron realizados por un software.
Los datos ingresados al programa fueron: Para el primer caso
- d = 0.998 g/cm³
- µ = 0.0130 g/cm – s
- D cilindro = 15.21 cm
- D tubo = 0.329 cm
- L tubo = 19.5 cm
- Ho = 31.5 cm
- Hf = 5.5 cm
Del cual, la velocidad iniciales Vo = 177.56 cm/s y la velocidad final Vf
=120.56cm/s.
4.- CALCULO DEL TIEMPO DE ESCURRIMIENTO
Método de Bird – Crosby :
Se utiliza la ecuación (11) página 6, al reemplazar valores se tiene:
4/7
te
= 7. (15.21 cm )². 0.0791 . 19.5 cm . (0.0103 g/cm – s )4 . .[(19.8+31.5 cm)
3/7
980 cm/s²[2. 0.99842g/cm³.(0.319cm)5 ]¼ – (19.8+5.5 cm)
3/7
entonces
te
= 301 s; los resultados están representados en la tabla 8, 10 y 11 para cada tanque.
Método de Ocon – Tojo :
Se utiliza la ecuación (16) pagina 7; al reemplazar los valórese tiene:
½
te
= 2. (15.21 cm )² . 1 +0.0085 . 19.8 cm /0.329 cm .[ (51.3 cm)1/2
– (25.3 cm )1/2
]
(0.329 cm )² 2. 980 cm/s²
entonces
te
= 332 s, los resultados están representados en la tabla 8, 10 y 11 para cada tanque.
Método de Armijo:
Los cálculos para este método fueron realizados por un software.
Los datos ingresados al programa fueron: Para el primer caso
- d = 0.998 g/cm³
- µ = 0.0130 g/cm – s
- D cilindro = 15.21 cm
- D tubo = 0.329 cm
- L tubo = 19.5 cm
- Ho = 31.5 cm
- Hf = 5.5 cm
Finalmente el tiempo de escurrimiento fue de 374s
I.- RESUMEN
La presente práctica tiene como tema el estudio del tiempo de escurrimiento en un cilindro.
Se pretende desagotar agua de tres tanques cilíndricos verticales , de base plana y
cónicas, mediante un tubo, también vertical, conectado a su fondo, utilizaran tubos de
diferentes diámetros y longitudes .
Los resultados experimentales de los tiempos de escurrimiento se compararon con lo métodos
de cálculo propuestos por, Bird y Crosby , Ocon y Tojo, y por Armijo, obteniéndose
desviaciones promedios del 29.10 %, 17.65 % y 12.1 % para cada método respectivamente..
Se comparará los tiempos de escurrimiento para los tanques de base plana y cónica y a su vez
para los diferentes tubos con diversos diámetros y longitudes, de lo cual se concluye que el
tiempo de escurrimiento e s mayor para cilindros de base cónica y varia en forma directa con
la longitud del tubo e inversamente con el diámetro del mismo.
TABLA DE CONTENIDO
Pag.
o INTRODUCCIÓN........................................................................ 3
o FUNDAMENTOS TEÓRICOS.................................................... 4
o DETALLES EXPERIMENTALES.............................................. 9
o TABULACION DE DATOS Y RESULTADOS......................... 10
o DISCUSIÓN DE RESULTADOS................................................ 20
o CONCLUSIONES........................................................................ 21
o RECOMENDACIONES............................................................... 21
o BIBLIOGRAFÍA.......................................................................... 22
o APENDICE................................................................................... 23
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERIA QUÍMICA
ESCUELA ACADEMICO – PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA
DEPARTAMENTO DE OPERACIONES UNITARIAS
EXPERIMENTO # 2
TIEMPO DE ESCURRIMIENTO
Profesor : Ing. CONDORHUAMAN
Integrantes :
MARIN FLORES, Luis 971202
IBERICO RODRÍGUEZ, Edwin 971189
CARNERO SOLIS, Rossy 971176
HERENCIA ORTEGA, Jose 921528
Fecha de realizada
el experimento : 05 – 09 – 2000
Fecha de entrega
del informe : 18 – 09 – 2000
Setiembre , Ciudad Universitaria, 2000.
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERIA QUÍMICA
ESCUELA ACADEMICO – PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA
DEPARTAMENTO DE OPERACIONES UNITARIAS
EXPERIMENTO # 2
TIEMPO DE ESCURRIMIENTO
Profesor : Ing. CONDORHUAMAN
Integrantes :
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
Fecha de realizada
el experimento : 05 – 09 – 2000
Fecha de entrega
del informe : 18 – 09 – 2000
Setiembre , Ciudad Universitaria, 2000.
II.- INTRODUCCIÓN
Cuando un depósito en el que se está contenido un líquido se está descargando,
desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá a medida que
va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga de un volumen
determinado de líquido, dependerá de aquel nivel.