INTRODUCCIÓN

Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta

fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los

miembros o elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por

ejemplo, para cada número de seguridad social hay una persona; para cada libro

corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etcétera.

En matemáticas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia:

una correspondencia con valor único denominada función.

Una función de un conjunto X en un conjunto Yes una regla de

correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en

Y.

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1.- DEFINA FUNCIÓN LINEAL O AFÍN, DOMINIO Y RANGO

FUNCIÓN LINEAL   ⇒  y = m x

La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la

recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de

coordenadas punto (0, 0).

La ordenada en el origen n es 0.

Estudiar y representar  la siguiente recta    y = 2x

La pendiente de la recta es 2 (valor de m, coeficiente que hay delante de x ),

cuando m es positiva la recta es creciente.

Pasa por el punto (0, 0)

Tabla de valores de la función

x 1 0 -1

y 2 0 -2

Gráfica de la función

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FUNCIÓN AFÍN   ⇒   y = m x + n

La fórmula de la función afín es: y = m x + n donde m es la pendiente de la

recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa

la recta es decreciente.

La ordenada en el origen es n, punto donde la recta corta al eje de

ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)

Ejemplo: Estudiar y representar  la siguiente recta    y = 2x + 3

La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas

será el (0, 3)

Tabla de valores de la función

x 1 0 -1

y 5 3 1

Gráfica

El dominio de la función afín, al igual que su rango, es R (todos los

números reales)

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2) DEFINA FUNCION CUADRÁTICA, DOMINIO Y RANGO

En la función cuadrática también tenemos dos variables (x, y) las cuales

varían de forma dependiente, la diferencia radica en la forma de cómo varían; en

la anterior la variación es lineal mientras que la otra es cuadrática, es decir,

cuando x toma un valor a, y toma el valor a2 (a al cuadrado). Generalizando, una

función cuadrática se expresa de la forma:

Llamaremos función cuadrática a toda función f, tal que, f(x) = ax2 + bx + c;

con a, b, c Є IR ≠ 0

En la ecuación tenemos la variable x y los valores constantes a, b y c que

pueden tomar cualquier valor en los números reales, de ellos depende el tipo de

ecuación.

Analicemos cada uno de estos elementos en la siguiente función: f(x) = 3x2

+2x – 1 f(x) = 3x2 + 2x – 1

↓ ↓ ↓

Los valores de a, b y c, a b c

EJEMPLO:

1. Grafica f(x) = 2x2 – 2x – 4

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x f(x) P(x, f(x)

-3 20 (-3, 20)

-2 8 (-2, 8)

-1 0 (-1, 0)

0 -4 (10, -4)

1 -4 (1. -4)

2 0 (2, 0)

3 8 (3, 8)

4 20 (4, 20)

–10 –5 5 10

10

20

x

y

La gráfica de una función cuadrática resulta ser una parábola. La función

del ejemplo en cuestión no es inyectiva, ya que si tomamos dos elementos del

dominio, digamos x = -1 y x = 2 tienen la misma imagen (f(x) = 0). En

consecuencia, la función f(x) = 2x2 – 2x – 4 no es biyectiva. En general, ninguna

función cuadrática es biyectiva.

Dominio y rango de la función

El dominio y rango de toda función cuadrática es el conjunto de números

reales, pero en nuestro caso particular f(x) = 2x2 – 2x – 4, el rango sólo

corresponderá al subconjunto de números reales mayores o iguales a ;

; por tanto,

C =

Imagen del dominio de la función

El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando la función

cuadrática en

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El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas . Esto

significa que a cada número real x del dominio se asocia un número real y mayor

o igual que

3) DEFINA FUNCIÓN RACIONAL O ALGEBRÁICA

Una función racional f es una razón de dos polinomios: f(x) = P(x) Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tal

que Q(x) ≠ 0.

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales

menos los valores de x que anulan el denominador.

Ejemplo

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de

ecuación:

  .

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Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las

funciones   

Construcción de hipérbolas

Las hipérbolas     son las más sencillas de representar.

Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se

cortan las asíntotas, es el origen.

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

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1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a). Si a>0,   se desplaza hacia

arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0,   se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

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2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0). Si b> 0,   se desplaza a la

izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0,   se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

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3. Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas

paralelas a los ejes.

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El centro de la hipérbola es: (-1, 3)

4) QUE ES FUNCIÓN RADICAL

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo

el signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo

y también las que tienen como expresión

general  .

 

La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente

estudiadas.

 

 

En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función

se considera únicamente la raíz positiva del radicando.

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(Si la expresión algebraica de la función fuera 

entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)

 

En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en

muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos

su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada

sólo está definida para valores positivos del radicando.

 

Por último, su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y

decrecimiento) es bastante sencillo.

 

PASOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN RADICAL

1º. En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de definición de la

función, que como ya sabemos, por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los

valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero: ax+b≥0,

luego serán todos los valores de x tales que: x≥-b/a, (recuerda llevar cuidado a la

hora de despejar la x, porque como ya sabemos en las inecuaciones si a es

negativa cambia el signo de la desigualdad).

2º. Una vez conocido los valores de x para los cuales existe función,

tendremos que mirar si nuestra función es positiva o negativa, lo cual dependerá

del signo de la raíz que hayamos elegido.

3º. Por último, comenzando en el punto (-b/a, 0), ya sea hacia la derecha o

hacia la izquierda, en la parte positiva o negativa, si es necesario siempre podemos

realizar una tabla de valores.

Como podemos ver en la siguiente representación, cuyo dominio es x≥-2, y

es una función positiva.

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Las funciones radicales sufren traslaciones:

TRASLACIONES

-Transformación vertical: Si sumas o restamos un número k a nuestra raíz,

la representación se traslada hacia arriba o hacia abajo respectivamente. En este

caso el punto de partida de nuestra representación será (-b/a, k).

-Transformación horizontal: Si al valor de x le sumamos o restamos un

número k, se traslada hacia la izquierda o derecha respectivamente, como

podemos observar en el ejemplo anterior. Supongamos que partimos de la función

raíz de x, si queremos representar la raíz de x+2, estamos trasladando la función 2

unidades hacia la izquierda.

-Comprensión o estiramiento: Si multiplicamos la raíz por un valor k,

nuestro representación se estira o comprime. Se estirará cuando k>1, y se

comprimirá cuando 0<k<1.

Por último, para vamos a representar la siguiente

función:  a partir de transformaciones en la función – raíz de x.

1º. Como sabemos, la función negativa de la raíz cuadrada se encuentra en

la parte negativa.

2º. El dominio de la función que tenemos que representar es (-∞,1], por

tanto, nuestra función viene del menos infinito y terminaría en el punto (1,0).

3º. Como tenemos 3 unidades sumando a la raíz inicial, la función se

traslada de forma vertical 3 unidades hacia arriba, y por tanto el punto donde

termina es el (1,3)

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5) QUE ES FUNCIÓN EXPONENCIAL, DOMINIO Y RANGO

Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx ,

donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

 

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el rango es el

conjunto de todos los números reales positivos.

 

1) f(x) = 2x     

                             

 

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Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

 

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: 

 Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

1) Leyes de los exponentes:

    

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2)  ax = ay  si y sólo si  x = y

3)  Para x diferente de cero, entonces ax = bx  si y sólo si  a = b.

 

Ejemplo

Una función exponencial sencilla para graficar es:   .

Dese cuenta que la gráfica tiene al eje de las x como una asíntota en la

izquierda, y aumenta muy rápido en la derecha. Cambiar la base cambia la forma

de la gráfica.

Reemplazando x con el reflejo de –x la gráfica atraviesa el eje de las y;

reemplazando y con -y se refleja a través del eje de las x.

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Reemplazando x con x + h se traduce la gráfica a h unidades a la izquierda.

Reemplazando y con y - k (que es lo mismo que sumar k en el lado derecho)

se traduce la gráfica k unidades hacia arriba.

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6) QUE ES FUNCIÓN POLINÓMICA DOMINIO Y RANGO

Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las

funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números

reales

Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números

reales.

Dom f(x) = R

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y”

de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango = (– ∞ , + ∞ )

7) QUE ES FUNCIÓN LOGARITMICA DOMINIO Y RANGO

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la

base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado

sería 0.

La regla de asociación de la función logarítmica tiene la

forma  , donde   es un número en   llamado base.

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Su dominio son todos los números reales positivos .

Su rango son todos los números reales .

Los logaritmos no están definidos para los número negativos y el cero

Observemos las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas:

. Su

dominio son todos los reales

positivos, es creciente.

. Su

dominio son todos los reales

positivos, es decreciente.

Entonces, como vemos en las gráficas:

Si  , la función   es decreciente.

Si  , la función   es creciente.

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La función logarítmica interseca al eje   en el punto  , es

decir  ; en general no interseca al eje  , ya que es asintótica

8) QUE ES FUNCION CONSTANTE, DOMINIO Y RANGO

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la

podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la

hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende

de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos

representadas: para valores de a iguales: Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la

forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le

corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va a ser igual siempre a "Todos los

Reales" Mientras que el Rango tan solo va a ser el valor de a.

Es una Función Continua.

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9) QUE SON FUNCIONES VALOR ABSOLUTO; SU DOMINIO Y

RANGO

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre

representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se

encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de

dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. EL DOMINIO son todos los reales ya que no

hay ninguna restricción. EL RANGO son todos los reales mayores o iguales a

cero hasta el infinito positivo ya que el valor absoluto de cualquier número es un

numero positivo

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o

intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los

siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

(los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el

signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los

intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

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10) QUE SON FUNCIONES RAMIFICADAS O POR INTERVALOS

En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir

una función. Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos o

intervalos.

Ejemplos de funciones definidas por tramos:

El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es (-∞,3) U (5,+∞)

Como graficamos:

1. Notamos que si x ≤ , entonces f(x) =1-x, por lo que la parte de la

gráfica de f queda a la izquierda de la recta vertical x = 1, debe coincidir con la

recta y = 1 – x, que tiene pendiente -1 e intersección en y = 1.

2. Si x> 1, entonces f(x)= x2, por lo que la parte de la gráfica f se

encuentra a la derecha de la recta x = 1 debe coincidir con la gráfica y= x2

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CONCLUSIÓN

Las funciones matemáticas son de mucho valor y utilidad para resolver

problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística,

de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de

cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Siempre relacionamos un conjunto de determinados objetos o productos

alimenticios, con el precio o costo para así saber cuánto podemos comprar; si lo

llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de

función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Además, se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia

de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.

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BIBLIOGRAFÍA

Fuentes electrónicas consultadas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr

%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica

http://www.xuletas.es/ficha/dominios

http://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/Funciones

http://www.scribd.com/doc/2969742/Microsoft-Word-Limites-2

http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/funcion/

func_def.html

http://www.ditutor.com/funciones/rango_funcion.html

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