TP1 - LOGICA

29
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA SEDE REGIONAL TARTAGAL Facultad de Ciencias EconΓ³micas, JurΓ­dicas y Sociales 2.012 Aux. Doc. de : T.U.P Horacio Miguel Lafuente CARRERA: Contador PΓΊblico Nacional CÁTEDRA: MatemΓ‘tica I LΓ“GICA

Transcript of TP1 - LOGICA

Page 1: TP1 - LOGICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA

SEDE REGIONAL TARTAGAL

F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n Γ³ m i c a s , J u r Γ­ d i c a s y S o c i a l e s

2.012 Aux. Doc. de πŸπ’“π’‚: T.U.P Horacio Miguel Lafuente

CARRERA: Contador PΓΊblico Nacional

CÁTEDRA: MatemÑtica I

LΓ“GICA

Page 2: TP1 - LOGICA

Temario

IntroducciΓ³n

Proposiciones

Tablas de Verdad

Conectivos LΓ³gicos – Operaciones LΓ³gicas

TautologΓ­a – Contingencia – ContradicciΓ³n

Implicaciones Asociadas

Formas o Funciones Proposicionales

CuantificaciΓ³n

MΓ©todos AxiomΓ‘ticos

BibliografΓ­a

Page 3: TP1 - LOGICA

IntroducciΓ³n

EtimologΓ­a

La palabra β€œlΓ³gica” proviene del griego β€œLOGOS” y se traduce por

β€œpalabra”, β€œrazΓ³n”, β€œdiscurso”.

La lΓ³gica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento

matemΓ‘tico.

β€œDeducir es razonar en matemΓ‘ticas”

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Inductivo Deductivo Tener

PrecauciΓ³n Seguro

Page 4: TP1 - LOGICA

Proposiciones

Una proposiciΓ³n es una oraciΓ³n de la cual puede decirse que es Verdadera (𝑽)

o Falsa 𝑭 . En una proposiciΓ³n debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.

𝒑: 𝒆𝒍 π’Žπ’–π’π’…π’ 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒔𝒆 π’…π’Šπ’—π’Šπ’…π’† 𝒆𝒏 πŸ“ π’„π’π’π’•π’Šπ’π’†π’π’•π’†π’”

El β€œsentido de verdad” de una proposiciΓ³n es que la misma sea

β€œdemostrable”.

β€’ Si (𝑝) es verdadero: 𝒗 𝒑 = 𝑽

β€’ Si (𝑝) es falso: 𝒗 𝒑 = 𝑭

𝒗 𝒑 = 𝑽; π‘™π‘œπ‘  π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘  π‘ π‘œπ‘› Γπ‘“π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž, π΄π‘šΓ©π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž, π΄π‘ π‘–π‘Ž, πΈπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘π‘Ž 𝑦 π‘‚π‘π‘’π‘Žπ‘›Γ­π‘Ž

π‘ π‘’π‘—π‘’π‘‘π‘œ

π‘£π‘’π‘Ÿπ‘π‘œ

π‘π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘‘π‘œ

Page 5: TP1 - LOGICA

Proposiciones

Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse

su valor de verdad no son proposiciones:

ΒΏ 𝑄𝑒é β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘‡π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘”π‘Žπ‘™?.

Β‘ πΆπ‘œπ‘šπ‘π‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’ π‘π‘–π‘§π‘§π‘Žπ‘ ! .

πΏπ‘œπ‘  π‘™π‘–π‘π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘ π‘œπ‘› π‘›π‘’π‘’π‘£π‘œπ‘ .

πΏπ‘œπ‘  π‘ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’π‘ .

E𝑛 𝑒𝑙 π‘™π‘Žπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘œ 𝑠𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑖𝑧ó 𝑒𝑙.

𝐸𝑠 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž, π‘™π‘Ž π‘™Γ³π‘”π‘–π‘π‘Ž 𝑠í.

Page 6: TP1 - LOGICA

CLASIFICACIΓ“N:

β€’ ProposiciΓ³n Simple: proposiciΓ³n que no puede separarse en otras proposiciones.

𝑝: πΆπ‘Ÿπ‘–π‘ π‘‘π‘œπ‘π‘Žπ‘™ πΆπ‘œπ‘™Γ³π‘› π‘‘π‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘Ÿπ‘–Γ³ π΄π‘šΓ©π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž

β€’ ProposiciΓ³n Compuesta: proposiciΓ³n que puede separarse en otras proposiciones

π‘ž: 𝑒𝑙 π‘π‘œπ‘›π‘‘Γ³π‘Ÿ β„Žπ‘Žπ‘π‘–π‘‘π‘Ž π‘™π‘Ž πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘™π‘™π‘’π‘Ÿπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘œπ‘  𝐴𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑦 𝑒𝑙 π‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Ž β„Žπ‘Žπ‘π‘–π‘‘π‘Ž 𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  π‘šπ‘œπ‘›π‘‘π‘ŽΓ±π‘œπ‘ π‘Žπ‘  𝑑𝑒 πΆβ„Žπ‘–π‘›π‘Ž πΆπ‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘™

Proposiciones

Page 7: TP1 - LOGICA

Tabla de Verdad

Una Tabla de Verdad es un cuadro de fΓ‘cil interpretaciΓ³n que contiene las

proposiciones y sus valores lΓ³gicos.

𝑝: π΄π‘Ÿπ‘”π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘›π‘Ž 𝑒𝑠𝑑Ñ π‘ π‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑒𝑛 π‘†π‘’π‘‘π‘Žπ‘šΓ©π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž

𝑣 𝑝 = 𝑉

π‘ž: 4 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œβˆ—

𝑣 π‘ž = 𝐹

𝒑 𝒒

V F Valores LΓ³gicos

Proposiciones

* Un nΓΊmero primo es divisible por si mismo y por la unidad

Page 8: TP1 - LOGICA

Conectivos LΓ³gicos - Operaciones LΓ³gicas

Conectivos LΓ³gicos (o Conectores LΓ³gicos): sΓ­mbolos que se emplean en las

Operaciones LΓ³gicas.

Operaciones LΓ³gicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de

otras.

Page 9: TP1 - LOGICA

NegaciΓ³n

La NegaciΓ³n de una proposiciΓ³n 𝒑 es la proposiciΓ³n ~ 𝒑, cuyo valor de verdad es

contrario al de la proposiciΓ³n 𝒑.

𝑝 ~ 𝒑

V F

F V

𝑝 π‘ž ~ 𝒑 ~ 𝒒

V F F V

π‘ƒπ‘Ÿπ‘œπ‘π‘œπ‘ π‘–π‘π‘–Γ³π‘› π‘΅π’†π’ˆπ’‚π’„π’ŠΓ³π’

𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ ~ 𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž 𝒏𝒐 π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™

π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘  ~ π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž 𝒏𝒐 π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

Page 10: TP1 - LOGICA

ConjunciΓ³n

La ConjunciΓ³n entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposiciΓ³n 𝒑 ∧ 𝒒, que sΓ³lo es

verdadera si se cumplen las proposiciones componentes 𝒑 y 𝒒.

π‘·π’“π’π’‘π’π’”π’Šπ’„π’Šπ’π’π’†π’”

π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’π’†π’π’•π’†π’” π‘ͺπ’π’π’‹π’–π’π’„π’ŠΓ³π’

𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ 𝑝 ∧ π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ π’š π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

𝑝 π‘ž 𝒑 ∧ 𝒒

V F F

Page 11: TP1 - LOGICA

DisyunciΓ³n

La DisyunciΓ³n entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposiciΓ³n 𝒑 ∨ 𝒒, que sΓ³lo es

falsa si 𝒑 y 𝒒 son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las

proposiciones componentes.

π‘·π’“π’π’‘π’π’”π’Šπ’„π’Šπ’π’π’†π’”

π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’π’†π’π’•π’†π’” π‘«π’Šπ’”π’šπ’–π’π’„π’ŠΓ³π’

𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ 𝑝 ∨ π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ Γ³ π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

𝑝 π‘ž 𝒑 ∨ 𝒒

V F V

Page 12: TP1 - LOGICA

ImplicaciΓ³n o Condicional

La ImplicaciΓ³n o Condicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposiciΓ³n

𝒑 β‡’ 𝒒 , que sΓ³lo es falsa si 𝒑 (𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 π’‰π’Šπ’‘Γ³π’•π’†π’”π’Šπ’”) es verdadero y

𝒒 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 π’„π’π’π’„π’π’–π’”π’ŠΓ³π’) es falso.

π‘·π’“π’π’‘π’π’”π’Šπ’„π’Šπ’π’π’†π’”

π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’π’†π’π’•π’†π’” π‘°π’Žπ’‘π’π’Šπ’„π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝒐 π‘ͺπ’π’π’…π’Šπ’„π’Šπ’π’π’‚π’

𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ 𝑝 β‡’ π‘ž: SΓ­ π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

𝑝 π‘ž 𝒑 β‡’ 𝒒 V F F

Page 13: TP1 - LOGICA

CondiciΓ³n Suficiente – CondiciΓ³n Necesaria

Si una implicaciΓ³n es verdadera, es CondiciΓ³n Suficiente (o precisa) que la

hipΓ³tesis sea verdadera para que la conclusiΓ³n se cumpla.

Si una implicaciΓ³n es verdadera, es CondiciΓ³n Necesaria (o indispensable) que la

conclusiΓ³n sea verdadera para que la hipΓ³tesis se cumpla.

"π‘Ίπ’Š 𝒆𝒓𝒆𝒔 π’‚π’“π’ˆπ’†π’π’•π’Šπ’π’, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 π’‚π’Žπ’†π’“π’Šπ’„π’‚π’π’"

"π‘Ίπ’Š 𝒆𝒓𝒆𝒔 π’‚π’Žπ’†π’“π’Šπ’„π’‚π’π’, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 π’‚π’“π’ˆπ’†π’π’•π’Šπ’π’"

HipΓ³tesis ConclusiΓ³n

HipΓ³tesis ConclusiΓ³n

La hipΓ³tesis es suficiente

para llegar a dicha

conclusiΓ³n. La conclusiΓ³n

es necesaria para dicha

hipΓ³tesis.

La hipΓ³tesis no es suficiente

para llegar a dicha

conclusiΓ³n. La conclusiΓ³n no

es necesaria para dicha

hipΓ³tesis.

Page 14: TP1 - LOGICA

Doble ImplicaciΓ³n o Bicondicional

La Doble ImplicaciΓ³n o Bicondicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la

proposiciΓ³n 𝒑 ⟺ 𝒒, que sΓ³lo es verdadera si 𝒑 y 𝒒 son ambas verdaderas o falsas.

π‘·π’“π’π’‘π’π’”π’Šπ’„π’Šπ’π’π’†π’”

π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’π’†π’π’•π’†π’” 𝑫𝒐𝒃𝒍𝒆 π‘°π’Žπ’‘π’π’Šπ’„π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝒐 π‘©π’Šπ’„π’π’π’…π’Šπ’„π’Šπ’π’π’‚π’

𝑝: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ 𝑝 ⟺ π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘™π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒𝑙 π‘†π‘œπ‘™ 𝒔í π’š 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔í π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

π‘ž: π‘™π‘Ž π‘‡π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ž π‘π‘œπ‘ π‘’π‘’ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘  π‘™π‘’π‘›π‘Žπ‘ 

𝑝 π‘ž 𝒑 ⟺ 𝒒 V F F

Page 15: TP1 - LOGICA

Ley LΓ³gica o TautologΓ­a

Una Ley LΓ³gica o TautologΓ­a es una proposiciΓ³n compuesta cuya tabla de verdad

da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de

verdad de las proposiciones que la componen.

Una ley lΓ³gica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunciΓ³n:

𝑝 π‘ž 𝑝 ∨ π‘ž π‘ž ∨ 𝑝 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

Page 16: TP1 - LOGICA

Leyes LΓ³gicas

LEYES LΓ“GICAS

InvoluciΓ³n ~ ~𝒑 ⟺ 𝒑

Idempotencia De la ConjunciΓ³n 𝒑 ∧ 𝒑 ⟺ 𝒑

De la DisyunciΓ³n 𝒑 ∨ 𝒑 ⟺ 𝒑

Conmutatividad De la ConjunciΓ³n 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∧ 𝒑

De la DisyunciΓ³n 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑

Asociatividad De la ConjunciΓ³n ( 𝒑 ∧ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∧ (𝒒 ∧ 𝒓)

De la DisyunciΓ³n ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∨ (𝒒 ∨ 𝒓)

Distributividad De la ConjunciΓ³n con respecto a la DisyunciΓ³n (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∧ 𝒓) ∨ (𝒒 ∧ 𝒓)

De la DisyunciΓ³n con respecto a la ConjunciΓ³n (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ 𝒓)

Leyes de Morgan NegaciΓ³n de una ConjunciΓ³n ~ 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∨ ~𝒒

NegaciΓ³n de una DisyunciΓ³n ~ 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∧ ~𝒒

NegaciΓ³n de una ImplicaciΓ³n ~ 𝒑 β‡’ 𝒒 ⟺ 𝒑 β‡’ ~𝒒

Page 17: TP1 - LOGICA

Contingencia y ContradicciΓ³n

Una Contingencia es una

proposiciΓ³n cuya tabla de

verdad da como resultado

algunos valores Verdaderos y

otros Falsos.

𝑝 π‘ž 𝒑 ⟺ 𝒒

V V V

V F F

F V F

F F V

Una ContradicciΓ³n es una

proposiciΓ³n cuya tabla de

verdad da como resultado

todos los valores Falsos

cualquiera sea el valor de la

proposiciΓ³n.

𝑝 ∼ 𝑝 𝒑 ∧ ∼ 𝒑

V F F

F V F

Page 18: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

𝑝 π‘ž 𝒑 β‡’ 𝒒 𝒒 β‡’ 𝒑 ~ 𝑝 ~π‘ž ~ 𝒑 β‡’ ~𝒒 ~𝒒 β‡’ ~𝒑

V V V V F F V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Implicaciones Equivalentes

FD FR FC FCR

𝒑 β‡’ 𝒒 ⟺ (~ 𝒒 β‡’ ~ 𝒑) 𝒒 β‡’ 𝒑 ⟺ (~ 𝒑 β‡’ ~ 𝒒)

FD FCR FR FC ⟺ ⟺

Page 19: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

Ejemplo: 𝑝: π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘œπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘œπ‘› π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼

π‘ž: π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 π‘›π‘œ 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘–π‘Ÿ 𝑒π‘₯Γ‘π‘šπ‘’π‘› π‘“π‘–π‘›π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼

Forma Directa: 𝑝 β‡’ π‘ž: "𝑆í π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 π‘π‘Ÿπ‘œ βˆ’ π‘šπ‘œπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘œπ‘› π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼, π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘ 

π‘›π‘œ 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘–π‘Ÿ 𝑒π‘₯Γ‘π‘šπ‘’π‘› π‘“π‘–π‘›π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 π‘€π‘Ž βˆ’ π‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼"

Forma RecΓ­proca: π‘ž β‡’ 𝑝: "𝑆í π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 π‘›π‘œ 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘–π‘Ÿ 𝑒π‘₯Γ‘π‘šπ‘’π‘› π‘“π‘–π‘›π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼, π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  π‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘œπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘œπ‘› π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼".

Forma Contraria: ~𝑝 β‡’ ~π‘ž: "𝑆í π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 π‘›π‘œ π‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘œπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘œπ‘› π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼, π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘–π‘Ÿ 𝑒π‘₯Γ‘π‘šπ‘’π‘› π‘“π‘–π‘›π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 π‘€π‘Žπ‘‘π‘’ βˆ’ π‘šπ‘Žπ‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼"

Forma ContrarrecΓ­proca: ~π‘ž β‡’ ~𝑝: "𝑆í π‘™π‘œπ‘  π‘Žπ‘™π‘’π‘šπ‘›π‘œπ‘  𝑑𝑒 𝐢𝑃𝑁 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘–π‘Ÿ 𝑒π‘₯Γ‘π‘šπ‘’π‘› π‘“π‘–π‘›π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼, π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  π‘›π‘œ π‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘œπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘œπ‘› π‘€π‘Žπ‘‘π‘’π‘šΓ‘ βˆ’ π‘‘π‘–π‘π‘Ž 𝐼".

Page 20: TP1 - LOGICA

Implicaciones Asociadas

Forma Directa

(FD)

𝒑 β‡’ 𝒒

Forma ContrarrecΓ­proca

(FCR)

~𝒒 β‡’ ~ 𝒑

Forma Contraria

(FC)

~𝒑 β‡’ ~𝒒

Forma RecΓ­proca

(FR)

𝒒 β‡’ 𝒑

Con

traria

Contr

ari

a

RecΓ­proca

RecΓ­proca

ContrarrecΓ­proca

Page 21: TP1 - LOGICA

Formas o Funciones Proposicionales

Una Forma o FunciΓ³n Proposicional en una variable π‘₯, es toda oraciΓ³n en la cuΓ‘l

figura π‘₯ como sujeto; la cual se convierte en proposiciΓ³n para cada especificaciΓ³n

de π‘₯.

Ejemplo: 𝑝 π‘₯ : π‘₯ 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑦 π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

El Conjunto de Verdad (π‘ͺ𝑽) de una funciΓ³n proposicional es el conjunto de todos

los elementos que al emplearlos en lugar de la variable π‘₯ convierten a dicha

funciΓ³n proposicional en proposiciΓ³n.

Al reemplazar π‘₯ por 2

𝑝 (2): 2 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑦 π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

𝐢𝑉 = 2

Page 22: TP1 - LOGICA

CuantificaciΓ³n

La CuantificaciΓ³n es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite

convertir funciones proposicionales en proposiciones.

Los Cuantificadores son sΓ­mbolos utilizados para indicar cuΓ‘ntos o quΓ© tipo de

elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :

Cuantificador Universal βˆ€

Se utiliza para afirmar que todos los

elementos de un conjunto dado

cumplen con una determinada

propiedad.

𝑝 π‘₯ : π‘₯ 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

βˆ€π’™: 𝒑 𝒙

βˆ€π‘₯: π‘₯ 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

𝑝: π‘‡π‘œπ‘‘π‘œπ‘  π‘™π‘œπ‘  π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘ π‘œπ‘› π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œπ‘ 

Cuantificador Existencial βˆƒ

Se utiliza para indicar que uno o mΓ‘s

elementos en un conjunto dado cumplen

una determinada propiedad.

𝑝 π‘₯ : π‘₯ 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

βˆƒπ’™: 𝒑(𝒙)

βˆƒπ‘₯: π‘₯ 𝑒𝑠 𝑒𝑛 π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œ

𝑝: π΄π‘™π‘”π‘’π‘›π‘œπ‘  π‘›ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘ π‘œπ‘› π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘œπ‘ 

Page 23: TP1 - LOGICA

NegaciΓ³n de los Cuantificadores

β€œLa negaciΓ³n del Cuantificador Uni-

versal es el Cuantificador Existencial”

~ βˆ€π’™: 𝒑 𝒙 ⟺ βˆƒπ’™: ~𝒑(𝒙)

Ejemplo:

"πΆπ‘’π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ž π‘žπ‘’π‘’ π‘ π‘’π‘Ž 𝑒𝑙 π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘œ, 𝑒π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘›π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘žπ‘’π‘’ π‘Žπ‘™ π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘™π‘’ π‘Žπ‘™ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘–π‘›π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 βˆ’ 3β€œ

βˆ€π’™ ∈ β„€, βˆƒ π’š ∈ β„•: 𝒙 βˆ’ π’š β‰  βˆ’πŸ‘

~[ βˆ€π’™ ∈ β„€, βˆƒ π’š ∈ β„•: 𝒙 βˆ’ π’š β‰  βˆ’πŸ‘] ⟺

⟺ βˆƒπ’™ ∈ β„€, βˆ€ π’š ∈ β„•: 𝒙 βˆ’ π’š = βˆ’πŸ‘

"𝐸π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘œ, π‘π‘’π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ž π‘ π‘’π‘Ž 𝑒𝑙 π‘›π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘žπ‘’π‘’ π‘Žπ‘™ π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘™π‘’ π‘Žπ‘™ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑒𝑠 π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘™ π‘Ž βˆ’ 3β€œ

β€œLa negaciΓ³n del Cuantificador Exis-

tencial es el Cuantificador Universal”

~ βˆƒπ’™: 𝒑 𝒙 ⟺ βˆ€π’™: ~𝒑(𝒙)

Ejemplo:

"𝐸π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™, π‘π‘’π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ž π‘ π‘’π‘Ž 𝑒𝑙 π‘›π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘žπ‘’π‘’ π‘Žπ‘™ π‘ π‘’π‘šπ‘Žπ‘Ÿπ‘™π‘’ π‘Žπ‘™ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑒𝑠 π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘™ π‘Ž 5β€œ

βˆƒπ’™ ∈ β„š, βˆ€ π’š ∈ β„•: 𝒙 + π’š = πŸ“

~[ βˆƒπ’™ ∈ β„š, βˆ€ π’š ∈ β„•: 𝒙 + π’š = πŸ“] ⟺

⟺ βˆ€π’™ ∈ β„š, βˆƒ π’š ∈ β„•: 𝒙 + π’š β‰  πŸ“

"πΆπ‘’π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘–π‘’π‘Ÿπ‘Ž π‘žπ‘’π‘’ π‘ π‘’π‘Ž 𝑒𝑙 π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™, 𝑒π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘›π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘žπ‘’π‘’ π‘Žπ‘™ π‘ π‘’π‘šπ‘Žπ‘Ÿπ‘™π‘’ π‘Žπ‘™ π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑒𝑠 π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘–π‘›π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 5β€œ

Page 24: TP1 - LOGICA

MΓ©todos AxiomΓ‘ticos

Directo

Indirecto o ContrarrecΓ­proco

ReducciΓ³n por el Absurdo

RefutaciΓ³n

Teoremas

Demostraciones

Axiomas o Postulados

DEMOSTRACIΓ“N

Argumento que establece la

verdad de un teorema

TEOREMA

ProposiciΓ³n que se desprende de

otra u otras (demostrada/as

dentro de un sistema)

AXIOMA

ProposiciΓ³n que se asume

como verdadera

Page 25: TP1 - LOGICA

MΓ©todo Directo

Consiste en partir de la verdad del antecedente (HipΓ³tesis) y tratar de

establecer la verdad del consecuente (Tesis)

Ejemplo:

Demostrar que : β€œsi un nΓΊmero es impar, entonces su cuadrado es impar”

DemostraciΓ³n:

π‘―π’Šπ’‘Γ³π’•π’†π’”π’Šπ’” ∢ π‘₯ 𝑒𝑠 π‘–π‘šπ‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯ = 2𝑛 + 1, βˆ€π‘› ∈ β„€

π‘»π’†π’”π’Šπ’”: π‘₯2 𝑒𝑠 π‘–π‘šπ‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯2 = 2𝑛 + 1 2, βˆ€π‘› ∈ β„€

π‘₯2 = 2𝑛 + 1 2 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1

Si consideramos al tΓ©rmino 2𝑛2 + 2𝑛 = π‘š, βˆ€π‘š ∈ β„€

π‘₯2 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 = 2π‘š + 1

ConclusiΓ³n: π’™πŸ = πŸπ’Ž + 𝟏, es decir, π’™πŸ 𝒆𝒔 𝒖𝒏 π’ΓΊπ’Žπ’†π’“π’ π’Šπ’Žπ’‘π’‚π’“

Page 26: TP1 - LOGICA

MΓ©todo Indirecto o ContrarrecΓ­proco

Consiste en partir de la negaciΓ³n del consecuente (Tesis) y determinar la negaciΓ³n

del antecedente (HipΓ³tesis)

Ejemplo:

Demostrar que: β€œPara cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho

nΓΊmero es impar”

DemostraciΓ³n:

Nueva HipΓ³tesis = NegaciΓ³n de la Tesis Inicial: π‘₯ 𝑒𝑠 π‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯ = 2𝑛, βˆ€π‘› ∈ β„€

Nueva Tesis = NegaciΓ³n de la HipΓ³tesis Inicial: π‘₯2 𝑒𝑠 π‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯2 = 2𝑛 2, βˆ€π‘› ∈ β„€

π‘₯2 = 2𝑛 2 = 4 𝑛2 = 2(2 𝑛2)

Si consideramos al tΓ©rmino 2 𝑛2 = π‘š, βˆ€π‘š ∈ β„€

π‘₯2 = 2 2 𝑛2 = 2π‘š

ConclusiΓ³n: π’™πŸ = πŸπ’Ž, es decir, π’™πŸ 𝒆𝒔 𝒖𝒏 π’ΓΊπ’Žπ’†π’“π’ 𝒑𝒂𝒓

Page 27: TP1 - LOGICA

MΓ©todo de ReducciΓ³n por el Absurdo

Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente

(HipΓ³tesis), llegar a una contradicciΓ³n (ya sea contradecir la hipΓ³tesis dada o

cualquier resultado conocido).

Ejemplo:

Demostrar que : β€œpara cualquier nΓΊmero entero par su cuadrado es par”

DemostraciΓ³n:

Hipotesis : π‘₯ 𝑒𝑠 π‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯ = 2𝑛, βˆ€π‘› ∈ β„€

Tesis = NegaciΓ³n de la Tesis Inicial: π‘₯2 𝑒𝑠 π‘–π‘šπ‘π‘Žπ‘Ÿ ⟺ π‘₯2 = 2π‘š + 1, βˆ€π‘š ∈ β„€

π‘₯ = 2𝑛 ⟺ π‘₯2 = 2𝑛 2 ⟺ π‘₯2 = 4 𝑛2 ⟺ π‘₯2 = 2(2 𝑛2)

Si consideramos al tΓ©rmino 2 𝑛2 = π‘˜, βˆ€π‘˜ ∈ β„€

π‘₯2 = 2π‘˜

Podemos observar que π’™πŸ= πŸπ’Œ ∧ π’™πŸ = πŸπ’Ž +1, es decir que un nΓΊmero cualquiera es

par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).

ConclusiΓ³n: β€œpara cualquier nΓΊmero entero par su cuadrado es par ”

Page 28: TP1 - LOGICA

RefutaciΓ³n

Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la

afirmaciΓ³n.

Ejemplo:

Demostrar que: β€œel cuadrado de todo nΓΊmero impar es par”

DemostraciΓ³n:

92 = 81

ConclusiΓ³n: β€œel cuadrado de todo nΓΊmero impar es impar”

Page 29: TP1 - LOGICA

BibliografΓ­a

ASTORGA y LISI (2012), β€œMatemΓ‘tica I”, Ed. IMPRENTA FCEJS –U.N.Sa

BOSCH (1999), β€œIntroducciΓ³n al Simbolismo LΓ³gico”, Ed. EUDEBA

JOHNSONBAUGH (1999), β€œMatemΓ‘ticas Discretas”, Ed. Prentice Hall

RABUFFETTI (1992), β€œIntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis MatemΓ‘tico: CΓ‘lculo I”, Ed. EL ATENEO

ROJO ARMANDO (2005), β€œΓlgebra Tomo 1”, Ed. EL ATENEO

SUPPES (1994), β€œIntroducciΓ³n a la LΓ³gica MatemΓ‘tica”, Ed. REVERTΓ‰