Tópicos de Matemática I: Diseñado desde un enfoque por...
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Tópicos deMatemática IDiseñado desde un enfoque por competencias
Luis Enrique EyzaguirreJosé Luyo Sánchez
TÓPICOS MATEMÁTICA IDiseñado desde un enfoque por competencias
© Luis Enrique Eyzaguirre Espino© José Raúl Luyo Sánchez © De esta ediciónUniversidad San Ignacio de LoyolaFondo EditorialAv. La Fontana 750, LaMolinaTeléfono: 3171000, anexo 3705
Dirección de Estudios Generales - USIL
Primera edición, agosto 2017
Diseño de portada: Fondo Editorial
Diseño y diagramación: Renato Vara Sánchez
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2017-10965
Impresión:
Calle Luisa Beausejour No. 2049-Urb. Chacra Ríos Norte, Lima
Agosto 2017
Tiraje 1000 ejemplares
Se prohibe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquiermedio, sin permiso expreso del Fondo Editorial.
de formación por competenc / Luis Eyzaguirre & José Luyo – 1a ed.– Lima : Universidad San Ignacio de Loyola , 2017.495 p. ; cm.
ISBN:
ejercicios, etc. I. Luyo, José.515 E98
978-612-4370-09-0
un enfoque por competencias
Eyzaguirre Esino, Luis Enrique, 1964 - Tópico de Matemática I. Diseñado para cursos desde
Los autores agradecemos la valiosa colaboración
recibida por los docentes de la Dirección de Estudios
Generales de la Universidad San Ignacio de Loyola,
durante el proceso de elaboración de este texto.
Í NDICE GENERAL
Presentación 9
Introducción 11
1 Inecuaciones lineales 15
2 Inecuaciones lineales. Aplicaciones 33
3 Inecuaciones cuadráticas 49
4 Inecuaciones cuadráticas. Aplicaciones 67
5 Inecuaciones polinómicas y racionales 83
6 Solución gráfica de SIL con dos incógnitas 101
7 Programación lineal 117
8 Función real de variable real 135
9 Transformaciones de funciones 155
10 Modelamiento Funcional 171
11 Función lineal 191
12 Aplicaciones a la economía 207
13 Función cuadrática 223
14 Función cuadrática. Aplicaciones 243
15 Función polinómica y racional 261
16 Función exponencial y logarítmica 279
17 Funciones exponenciales y sus aplicaciones 295
18 Matemática financiera. Introducción 313
ÍNDICE GENERAL
19 Límite de funciones 329
20 Límites infinitos y al infinito 349
21 Asíntotas de funciones 367
22 La derivada 383
23 Análisis de una función 399
24 Optimización de funciones 415
25 Aplicaciones a la administración y economía 431
26 Razón de cambio 449
27 Diferencial de una función 465
28 Derivación: implícita, logarítmica y paramétrica 481
Bibliografía 495
Presentación
El libro que tienen entre sus manos es muy interesante y está escrito por autores de
reconocida solvencia, a los cuales conozco por mi relación con las personas interesadas
en la mejora de la Educación Matemática en el Perú. Sabía de su seriedad teórica y
metodológica, la cual se ha vuelto a confirmar con la lectura de este libro.
Este texto se encuentra concebido como parte de la propuesta formativa de los
Estudios Generales en un enfoque de formación por competencias. El mismo que
responde a la demanda y expectativa de la sociedad actual en relación con un primer
curso de matemática en la formación universitaria, formulado desde un modelo socio-
constructivista. Se ha organizado en tres unidades: los números reales, las funciones
reales de variable real y los límites y las derivadas. Además, cada una de estas unidades
presenta un conjunto de lecciones que disponen de una secuencia didáctica que facilita
y orienta tanto al estudiante como al docente en los procesos de aprendizaje-enseñanza
en el aula y fuera de esta, tomando como eje la participación activa del estudiante
en la construcción del conocimiento, el logro de aprendizajes significativos en
forma progresiva, y complementado con actividades para el desarrollo de habilidades
de trabajo colaborativo, indagación y pensamiento crítico. En tal sentido, el docente
adquiere el rol de mediador en los procesos de aprendizaje.
Se trata de un texto diseñado de acuerdo a algunas de las tendencias actuales
sobre las que se enmarca la mejora de la enseñanza de las matemáticas: una enseñanza
en la que se presentan unas matemáticas que surgen de la realidad y que emergen de
la acción y la construcción del estudiante; una enseñanza en la que se incorporan las
nuevas tecnologías y en las que se pretende desarrollar la competencia matemáticas de
los estudiantes y su autonomía. Por una parte, se han tenido en cuenta los elementos
característicos de los enfoques y las teorías de La Educación Matemática actual, en
particular los estándares formulados por el NCTM (National Council of Teachers of
Mathematics) y, por la otra, el contexto institucional en las que dichas tendencias y
enfoques se han de aplicar.
La propuesta curricular en la que se enmarca el texto busca desarrollar la
competencia matemática de forma secuencial e integrada a través de la potenciación
de las capacidades de comunicación matemática, matematización y representación y la
de estrategias y cálculo; considerando como eje transversal la resolución de problemas.
Este texto se complementa metodológicamente con dos puntos. Primero con el uso
de una plataforma virtual, espacio donde el estudiante puede desarrollar
actividades autónomas de aprendizaje y evaluación permanente. Segundo, el desarrollo
de proyectos formativos, que busca potenciar habilidades blandas como las de comuni-
cación, indagación, uso de tecnologías y trabajo en equipo.
Lima, agosto de 2017 Vicenç Font
Introducción
La matemática se manifesta constituyendo armoniosos tejidos de códigos o símbolos,
algunos de los cuales buscan describir fenómenos del universo y las relaciones entre
ellos, y ha permitido asociar el desarrollo cognitivo en el proceso de su evolución,
puesto que, a mayor paciencia y gentileza en el uso de sus herramientas, el tratamiento
y la interpretación de sus resultados se verán enriquecidos en su práctica y utilidad.
Esta ciencia acompaña al hombre desde que comienza a relacionar su entorno, los
espacios y las formas. El modo de aprendizaje y enseñanza de dicha disciplina se ha
convertido en un tema de investigación de muchas personas apasionadas en este tipo
de proyectos.
Los métodos y ensayos modernos aplicados han permitido evolucionar y mejorar
el trabajo con los estudiantes, ya que ellos son protagonistas de la formación activa
del siglo XXI y tienen como objetivo fortalecer la capacidad de movilizar recursos de
sus pensamientos para hacer frente a diversas situaciones de su entorno y construir
conocimientos innovadores.
Este libro, que presenta la Dirección de Estudios Generales de la Universidad San
Ignacio de Loyola, debe ser junto con sus docentes, un pilar de esfuerzo donde el
estudiante tenga como desafío resolver, con su experiencia, problemas cotidianos y sea
capaz de autoevaluarse para definir mecanismos, que mejoren la retroalimentación
positiva y a través de la metacognición. Por tal razón, hemos constituido el texto en
sesiones de aprendizaje donde cada unidad está organizada para un trabajo cooperativo
e individual, con una serie de ejercicios propuestos que van desde el desarrollo intuitivo
y natural hasta los que exigen un resumen de conocimientos previos, que presentamos
a continuación.
Logros de aprendizaje. Al iniciar cada lección, se declaran los aprendizajes que
se esperan que logren los estudiantes, los mismos que se evidenciarán a través de
desempeños individuales o grupales. Se precisan las habilidades relacionadas con
comunicación matemática, matematización y representación, así como estrategias
y cálculos. De igual forma, los conocimientos con contenidos conceptuales,
procedimentales y epistémicos es otro de los componentes de esta sección.
Nota histórica. Se incluye un breve e interesante texto para que el estudiante
conozca aspectos de la vida y obra de algunos matemáticos que, a lo largo de la historia,
han efectuado aportes significativos a esta disciplina. Estos testimonios también ofrecen
una visión sobre la contribución de dichas personalidades al pensamiento científico
actual. Dichas referencias históricas orientan el acercamiento a los conocimientos
epistémicos de la Matemática.
Saberes previos. Antes de desarrollar cada lección, se presenta al estudiante un
conjunto de ítems o situaciones que le permitirán evocar sus conocimientos previos
para el abordaje y, en algunos casos, generar el conflicto cognitivo que estimulará su
interés y acercamiento inicial a cada tema. Asimismo, estas situaciones promoverán
su reflexión y valoración del estado de sus conocimientos previos, favoreciendo los
posteriores aprendizajes significativos.
Ficha de trabajo. Cada lección contiene actividades contextualizadas que permiten
a los estudiantes explorar situaciones que le favorecerá el surgimiento de conceptos
matemáticos. Asimismo, dicho accionar se ve reforzado por diversos procedimientos y
estrategias que confluirán en aprendizajes significativos.
Ejercicios propuestos. Esta sección presenta una selección de actividades y
problemas variados que plantean situaciones intra y extra matemáticos. Por lo tanto, su
proceso de solución requiere del dominio de la competencia matemática planteado en
el curso y los conocimientos (conceptuales, procedimentales y epistémicos) así como la
valoración sobre el propio aprendizaje.
Trabajo colaborativo. Corresponde a actividades diseñadas específicamente para
que los estudiantes, al resolverlas en forma dialogada, reflexiva y sistemática,
potencien la competencia matemática planteada en el curso. Estos trabajos se
encuentran orientados a promover las habilidades blandas en los estudiantes, tales
como trabajo en equipo, comunicación, responsabilidad, entre otros.
Trabajo autónomo. Actividades diseñadas específicamente para que los
estudiantes las resuelvan en forma independiente y se apropien de estrategias que le
permitan aprender a aprender.
Saberes. Breve sección de institucionalización de los conocimientos conceptuales,
procedimentales y epistémicos trabajados a lo largo de toda la lección. Se busca obtener
una mirada clara e integrada de los conceptos, teoremas y propiedades que sustentan el
tema tratado en la lección.
e-portafolio. Conjunto de actividades virtuales que los estudiantes deben desarrollar
de manera autónoma y en relación con cada lección, apoyándose en el uso e
integración de las TICs para la consecución de los aprendizajes esperados. De esta
forma, se podrá evidenciar el logro de los aprendizajes esperados y desarrollo de la
competencia matemática de manera progresiva. Por otra parte, también permitirá
que los docentes elaboren un registro y proceso de realimentación en relación con el
progreso de cada estudiante.
Ficha de evaluación. Contiene un conjunto de problemas diseñados para que los
estudiantes puedan valorar la calidad de sus propios aprendizajes, alcanzados al final
de cada lección.
Finalmente, consideramos este libro una herramienta didáctica al servicio de la
educación matemática universitaria que va permitir estructurar el conocimiento que se
extrae de la realidad, para el desarrollo del pensamiento crítico y darle el valor debido a
la toma de decisiones oportunas.
La Molina, agosto 2017 Los autores
1 Inecuaciones lineales
En esta lección, estudiaremos las inecuaciones lineales, su definición, propiedades, las for-
mas de representación del conjunto solución, sus aplicaciones y estrategias de solución. Aprende-
remos también acerca de cómo resolver las inecuaciones utilizando las TIC, haciendo énfasis en
el análisis, la comprensión de conceptos y procedimientos y su relación con lo ya aprendido.
Logros de aprendizaje:
Argumenta procedimientos o proposiciones vinculados con las inecuaciones lineales
haciendo uso de definiciones, teoremas, propiedades y contraejemplos.
Explica conceptos, relaciones y procedimientos de las inecuaciones lineales haciendo
uso de representaciones, simbólicas y/o en lenguaje natural.
Resuelve problemas relacionados a las inecuaciones lineales, aplicando propiedades
y procedimientos matemáticos.
Nota histórica:
Tales de Mileto (Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.)Fue un filósofo y matemático griego. Entre sus aportes en geometría
destacan la elaboración de un conjunto de teoremas generales y de
razonamientos deductivos a partir de los primeros y la medición de
la altura de las pirámides por medio de su sombra.
Asimismo, es conocido por ser el pionero en reflexionar sobre los ángulos, las líneas y demás
aspectos a partir de abstracciones. En física, dedujo los cambios en el estado del agua; y
en astronomía, predijo un eclipse. Fallece en 543 a.C., mientras contemplaba los juegos
olímpicos.
16 Inecuaciones lineales
1.1 Saberes previos
Antes de iniciar el presente estudio, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a
comprender íntegramente lo estudiado en esta lección.
Conjuntos númericos
Operaciones algebraicas directas e inversas
Valor absoluto
Ecuaciones lineales y sus propiedades
Manejo básico de la calculadora/computadora
Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus com-
pañeros.
1. La solución de la ecuación 3x −5 = 0 es un número:
a) entero
b) racional
c) natural
d) irracional
2. Clasifique los números según los conjuntos numéricos:22
7; 0 ; 1 ;
p2+p
3 ; 0,12 ; 0,33.
3. Resuelva la ecuaciónx −2
3−1 = 3
(x −0,�3
2
).
4. ¿Cuál de las siguientes desigualdades representa el siguiente gráfico?
a) |x +4| ≤ 2 b) |x −4| ≤ 2 c) |x −2| ≤ 4 d) |x +2| ≤ 4
5. Resuelva la ecuación |x|+3 = 17−|x|.6. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)x
2+ 1
6= 1
3− x
5
b)a +3x
b= c
2
c)1
3(x −1) = 1
d) 3+x (6x −2(3x −1)) = 11
Inecuaciones lineales 17
1.2 Ficha de trabajo
A continuación, se presenta una actividad colaborativa, por lo que se sugiere lo siguiente:Conformen grupos, lean con atención la información presentada en la actividad, planteen las pre-
guntas que consideren necesarias, dialoguen sobre los posibles argumentos, procedimientos o
estrategias que se vayan a emplear para resolverlas, aplíquenlas; luego compartan sus resultados
con toda la clase.
Integrantes:
Desigualdades
Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea. Sólo debemos saber dónde
buscar. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante
para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.
Plantee en cada caso la desigualdad que corresponda. Considere para esto las variables y
restricciones necesarias:
• Velocidad máxima: 45 km/h.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• El pago mínimo para adquirir un vehículo es el 10% de su valor de venta.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Se dispone de 120 minutos como máximo para llamar por el celular al mes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 Inecuaciones lineales
• El tiempo que me toma llegar a la escuela es de 15 a 20 minutos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• La nota mínima aprobatoria en el curso de matemática es 11.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• El precio del par de zapatos está entre S/ 120 y S/ 150.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De lo anterior se puede apreciar que las desigualdades pueden ser usadas para modelar si-
tuaciones cotidianas, formule tres nuevos ejemplos de desigualdades.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Explique:
a) ¿Cómo se puede verificar si un número es o no solución de una inecuación?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) ¿Pueden existir inecuaciones con infinitas soluciones? ¿Con una solución? ¿Sin solu-
ción? Formule ejemplos para cada una de ellas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) ¿Qué son inecuaciones equivalentes?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analice la siguiente secuencia. Encuentre si en algún paso se cometió algún el error y si fuera
ese el caso, realice la corrección
Paso 1 4 < 8
Paso 21
4> 1
8
Paso 3(
1
2
)2
>(
1
2
)3
Paso 4 ln
(1
2
)2
> ln
(1
2
)3
Paso 5 2× ln1
2> 3× ln
1
2
Paso 6 2 > 3
Inecuaciones lineales 19
1.3 Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.1
Determine si la desigualdad 3x +4 < 5(8x −7)+5 es una inecuación lineal.
Solución:
Ejercicio 1.2
Resuelva la siguiente inecuación:x
2− 1
6≤ x
3+ 1
4
Solución:
Ejercicio 1.3
Resuelva la inecuación 12− 3x
2< 5x +13
3< 9(2+x)
5y escriba su solución como un intervalo.
Solución:
20 Inecuaciones lineales
Ejercicio 1.4
En cada caso marque la proposición verdadera.
a) Si 2x2 +5 > 2(x2 +10x), entonces x > 1
4.
b) La inecuación1−3x
6< 8x −9
5es equivalente a
3x −1
6> 9−8x
5.
c) Para el intervalo [−2/3,+∞[ existe más de una inecuación que lo tiene como conjunto
solución.
d) Toda inecuación lineal tiene solución.
Solución:
Ejercicio 1.5
Resuelva el sistema de inecuaciones y calcule la suma de los enteros que la verifican.4x −5
7< x +3
3x −8
4> 2x +5
Solución:
Inecuaciones lineales 21
Ejercicio 1.6
Si x ∈ ]−2;5], determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) 2 ≤ x +2 ≤ 7 b) 0 < x2 ≤ 25 c) 18 ≤ 1
x+3 < 1
Solución:
Ejercicio 1.7
Norma nació 20 años antes que Andrea. Si las edades de ambas suman menos de 86 años,
¿cuál es la máxima edad que podría tener Norma?
Solución:
22 Inecuaciones lineales
Ejercicio 1.8
La tarifa de telefonía celular de la empresa Telcel es S/ 120 fijos mensuales más S/ 0,10 por
minuto de conversación; y la tarifa de la empresa Axtel es S/ 108 fijos más S/ 0,18 por minuto
de conversación. ¿A partir de cuántos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la
empresa Telcel?
Solución:
Ejercicio 1.9
Si 0 < m < n, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones y
justifique.
a)1
m< 1
n
b) (m −n)(n −m) > 0
c)m
m −n< n
m −n
d)m
n< m +1
n +1
e)m
n< 1 < n
m
f) m < m +n
2< b
g) m2 < n2
Solución:
Inecuaciones lineales 23
1.4 Trabajo colaborativo
Ejercicios propuestos
1. Resuelva las siguientes inecuaciones ex-
presando el conjunto solución en térmi-
nos de intervalos y represéntelas gráfi-
camente.
a) x −2 < 7
b) 3x +2 > 14
c)x
2+3 > x −9
d)x +1
x2 +3> 0
e)(x4 +3
)(x +5) > 0
f )x −2
3+x −2 < 0
g)(x2 +1
)(4x −5)+x2 +1 < 0
h) (x −3)(x +2) < 5+x (x −1)
i) 2x −1 < 5−x ≤ 3x −7
j)5x −3
4+3x −2 ≤
x +1
3
k)
{4(x −7)−1−4x ≥ 5(x −9)+1
2(x −6)−1−5x < 4(1−5x)
l)
{5(x −3)−1+x ≥ 6(x −8)+1
3(x −1)−1+5x < 4(1+x)
m)
{x −3−4(1+x) ≥ x −8
−1+5x < 3(1−x)
2. Indique el valor de verdad de las si-
guientes proposiciones. Justifique su
respuesta.
a) Si x ∈ ]5;+∞[ entonces 3x −6 > 9.
( )
b) El conjunto solución de la inecua-
ción x +π≤ 0 es ]−∞;π]. ( )
c) Cualquier x ∈ R verifica la de-
sigualdad
x +1 < x +2 <2x +5
2. ( )
d) El conjunto solución de la inecua-
ción 3x −2 ≤ 0, es R− {−2/3}. ( )
e) Si 3(x −1) ≤ 6(x +2) entonces
x −1 ≤ 2(x +2). ( )
f ) Si x (3x +2) ≥ 2x (x +3) entonces
3x +2 ≥ 2x +6. ( )
g) Si x2 (x +5) < (4x −1) x2 entonces
x +5 < 4x −1. ( )
h) Si 2x +5 < x +1 entonces
(2x +5)2 < (x +1)2. ( )
3. Norma es una estudiante universita-
ria. En su tiempo libre trabaja
en un restaurante tres tardes a la
semana.
Cada tarde, trabaja cuatro horas y gana
S/ 20 por hora. Cada semana, gana ade-
más S/ 80 en propinas y ahorra exacta-
mente la mitad de la cantidad de dinero
que gana cada semana.
a) Si Norma necesita ahorrar por lo
menos S/ 1 440 para hacer un via-
je de vacaciones, ¿cuál es la canti-
dad mínima de semanas que ten-
drá que trabajar?
b) Norma desea viajar en 12 semanas
y sabe que el gasto total a efectuar
estará comprendido entre S/ 3 000
y S/ 3 144. ¿Cuál será ser el nuevo
pago por hora, a fin de que cumpla
con su deseo? Justifique su proce-
dimiento.
24 Inecuaciones lineales
1.5 Trabajo autónomo
Ejercicios propuestos
1. Resuelva las inecuaciones y exprese la
solución en términos de intervalos.
a)x +1
2< x +3
4< x +5
6
b) x +1 < x +3
2< x +5
c) 3(x −2) ≥ 2(x −3)
d)1
3x + 5
6> 2
5x
e)1
5(x +10) ≤
3
2x −x +1
f ) 2x
(x + 1
3
)≥ 2x2 − 3
8x +6
2. Indique el valor de verdad de las si-
guientes proposiciones:
a) El conjunto vacío es conjunto so-
lución de la inecuación
3x +1 < 6x −3
2.
b) El conjunto de los números reales
es el conjunto solución de la
inecuación x +5 > 2x +9
2.
c) Si x < 5 entonces 25−5x > 0.
d) El intervalo ]−∞;1] es conjunto
solución de la inecuación x−1 > 0.
e) El intervalo ]−∞;−3] es conjunto
solución de la inecuación x+3 < 0.
3. En cada caso, encuentre dos inecuacio-
nes cuyo conjunto solución sea:
a) R
b) [−4;+∞[
4. En cada caso, encuentre una inecuación
lineal cuyo conjunto solución es descri-
to de la siguiente manera:
a) Está formado por todos los núme-
ros reales mayores que 3 y que no
superan a 10.
b) Está formado por todos los núme-
ros reales que no son menores que
5.
c) Está formado por todos los núme-
ros reales positivos que no son me-
nores que 7.
d) Está formado por todos los núme-
ros reales no negativos que no son
mayores que 10.
5. Resuelva cada inecuación y escriba la
solución en términos de intervalos:
a) 2x −x
5< x −
3
10b) −4 ≤ 3x −1 ≤ 5
c) 2x −1 ≤ x −2 < 3x +5
d) 3(x +2) < 3x +8
6. Resuelva las siguientes inecuaciones:
a) 3x +2(x −1)
5>−3x −
x −1
2
b)3(x −1)
2≤ 3x +2 < 5+ x
2
c)3
4(5x −1)+
1
2<
2
3(7−x)+x
d)3x −1
4+1 <
x −2
5+
x −1
2
7. Un número natural es tal que la sexta
parte del número anterior es menor que
6; además la sexta parte del número na-
tural siguiente es más que 6. ¿Cuál se-
rá la raíz cuadrada del número natural,
disminuido en 1?
Inecuaciones lineales 25
1.6 Saberes
Sistema de los números reales
Es el conjunto denotado por R cuyos elementos son llamados números reales donde está definida
una operación de adición + y multiplicación (·), tal que para cada x, y ∈ R se tiene que x + y ∈ R y
x · y ∈R, además satisfacen las siguientes condiciones llamadas axiomas.
Axioma Adición Multiplicación
Conmutatividad∀x, y ∈R,
x + y = y +x
∀x, y ∈R,
x · y = y · x
Asociatividad∀x, y, z ∈R,
x + (y + z) = (x + y)+ z
∀x, y, z ∈R,
x · (y · z) = (x · y) · z
Elemento neutro∃0 ∈R tal que ∀x ∈R,
x +0 = 0+x = x
∃1 ∈R tal que ∀x ∈R,
x ·1 = 1 · x = x
Elemento inverso∀x ∈R,∃−x ∈R,
x + (−x) = (−x)+x = 0
∀x ∈R\ {0},∃x−1 ∈R,
x · x−1 = x−1 ·x = 1
Distributividad ∀x, y, z ∈R, (x + y) · z = x · y + y · z
Entre los elementos de R hay una relación ≤, para cada x, y ∈R se puede determinar si x ≤ y o no.
Axioma Desigualdad
Reflexividad ∀x ∈R, x ≤ x
Antisimetría x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y
Transitividad x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z
Comparación ∀x, y ∈R, x ≤ y ∨ y ≤ x
Conexión entre la adición, multiplicación y orden en R.
Adición Multiplicación
Si x, y, z ∈R, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z Si, x, y ∈R,0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ x · y
