TPV Fisica Intro2 Parte3 Vectores 2
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PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
También llamado producto PUNTO produce un resultado
ESCALAR que resulta al multiplicar el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que forman
Puede ser positivo, negativo o cero dependiendo del ángulo
entre los vectores
1)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL
PRODUCTO ESCALAR
El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos
es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro
sobre él.
1.Conmutativa
2. Homogénea
3.Distributiva
4.Producto escalar de un vector no nulo por si mismo es
siempre positivo
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
DE VECTORES
ANALIZANDO LOS PRODUCTOS DE LOS VECTORES UNITARIOS:
4)
SEIS DE LOS NUEVE TERMINOS DE EC 2) SON CERO Y EL RESTO
DA LA SIGUIENTE VERSIÓN SIMPLIFICADA:
5)
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES ES LA SUMA DE
LOS PRODUCTOS DE SUS RESPECTIVAS COMPONENTES
CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR DE
VECTORES USANDO COMPONENTES
CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR
EJEMPLO 1
1. IDENTIFICAR:
las magnitudes y direcciones estan
dadas, se pide calcular el producto
escalar
2. PLANTEAR:
existen 2 formas:
a) usando las magnitudes y el
ángulo
b) Usando las componentes de los
dos vectores
3. EVALUAR:
Se obtiene el msmo
resultado con los dos
métodos, como tendría que
ser!
CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR
EJEMPLO 1
CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS
VECTORES – EJEMPLO 2
1. IDENTIFICAR:
las componentes x, y y z de dos
vectores estan dadas. Se pide
calcular el ángulo φ entre
ambos
2. PLANTEAR:
ec 1) relaciona a los vectores
con su ángulo, también se
relacionan las componentes con
el ángulo. En casos como este
PRIMERO se determina el
producto escalar y LUEGO la
incógnita φ
CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS
VECTORES – EJEMPLO 2
1. EJECUTAR:
Calculamos el producto:
Determinamos A y B:
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
También llamado producto CRUZ produce un resultado
VECTORIAL, cuyo módulo resulta al multiplicar el
producto de sus módulos por el seno del ángulo que
forman
1)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
Geométricamente: prod. vectorial coincide con el área del
paralelogramo que tiene por lados a esos vectores
PROPIEDADES DEL PRODUCTO
VECTORIAL DE VECTORES
1. Anticonmutativo
2. Homogénea
3. Distributivo
4. Vectores apralelos = vector nulo
2)
3)
4)
5)
CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL
POR MEDIO DE COMPONENTES De manera análoga al producto escalar:
El producto de cualquier vector consigo mismo es cero:
Utilizando las ecuaciones 1) y 2):
6)
7)
8)
CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL
POR MEDIO DE COMPONENTES
Simplificando la ecuación 8):
Por tanto las componentes de C = A x B están dadas por:
Es también usual expresa al producto cruz en forma de
determinante:
9)
10)
11)
PRODUCTOS CRUZ USANDO
(I, J, K)
x
z
y Considere ejes 3D (x, y, z)
Defina vectores unitarios i, j, k i j
k Considere producto cruz: i x i
i x i = (1)(1) sen 00 = 0 i
i
j x j = (1)(1) sen 00 = 0
k x k = (1)(1) sen 00= 0
Las magnitudes son
cero para productos
vectoriales paralelos.
PRODUCTOS VECTORIALES USANDO
(I, J, K)
Considere ejes 3D (x, y, z)
Defina vectores unitarios i, j, k x
z
y
i j
k Considere producto punto: i x
j
i x j = (1)(1) sen 900 = 1
j x k = (1)(1) sen 900 = 1
k x i = (1)(1) sen 900 = 1
j
i
Las magnitudes son
“1” para productos
vectoriales
perpendiculares.
PRODUCTO VECTORIAL (DIRECCIONES)
x
z
y
i j
k
i x j = (1)(1) sen 900 = +1 k
j x k = (1)(1) sen 900 = +1 i
k x i = (1)(1) sen 900 = +1 j
Las direcciones están
dadas por la regla de la
mano derecha. Rote el
primer vector hacia el
segundo.
k
j
i
PRÁCTICA DE PRODUCTOS VECTORIALES
(I, J, K)
x
z
y
i j
k i x k = ?
k x j = ?
Las direcciones están dadas por
la regla de la mano derecha.
Rote el primer vector hacia el
segundo.
k
j
i 2 i x -3 k = ?
- j (abajo)
- i (izq.)
+ 6 j (arriba)
j x -i = ? + k (afuera)
USO DE NOTACIÓN I, J – PRODUCTOS
VECTORIALES
Considere: A = 2 i - 4 j y B = 3 i + 5 j
A x B = (2 i - 4 j) x (3 i + 5 j) =
(2)(3) ixi + (2)(5) ixj + (-4)(3) jxi + (-4)(5) jxj k -k 0 0
A x B = (2)(5) k + (-4)(3)(-k) = +22 k
Alternativa: A = 2 i - 4 j
B = 3 i + 5 j
A x B = 10 - (-12) = +22 k
Evalúe el
determinante