Universidad NacionalSan Lus Gonzaga de Ica

Facultad Ingenieria Mecnica yElctrica

TEMAINTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS Y CALCULO DEL VOLUMEN DE UN SOLIDO UTILIZANDO INTEGRALES TRIPLES

CURSO : Anlisis Vectorial

DOCENTE : Lic. Andres Moran

ALUMNO : Carrasco Vargas Ronald Chacaliaza Huamani Jean Inca aez JhonLian Romani Andres CICLO : III ME 1

ICA - PER2012

COORDENADAS ESFERICASEn un sistema de coordenadas esfricas se tiene un plano polar y un eje perpendicular al plano polar (plano XY) con el origen del eje Z en el polo del plano polar.A las coordenadas esfricas de un punto del espacio denotaremos por en donde es el ngulo polar de la proyeccin de p en el plano polar y es el ngulo entre la direccin positiva del eje Z y el radio vector

La relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas es:

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICASSi una regin tiene un eje de simetra, las integrales triples tambin se pueden calcular en forma muy simple, usando coordenadas esfricas y cuya relacin entre las coordenadas cartesianas es:

Si es una funcin continua sobre S, entonces la transformacin de la integral triple en coordenadas esfricas es dado por:

Donde por lo tanto:

Cuando se tiene el volumen del slido S, es decir:

Un solido en coordenadas esfricas es un conjunto de la forma: que geomtricamente representa una cua esfrica.

ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS1) Calcular siendo U la regin entre y donde 2) Hallar el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con un semingulo de , tal como se muestra.3) Evaluar la integral , usando coordenadas esfricas.4) Mediante coordenadas esfricas, calcula el valor de la integral , donde S es la regin por arriba del plano XY y entre las esferas de radios respectivamente a y b centradas en el origen (0 < a < b).5) Hallar , donde D es la regin acotada por el plano XY en la parte inferior y entre las esferas de radio 4 y 1 respectivamente centrados en el origen.6) Calcular el volumen del casquete esfrico limitado por:, con siendo 7) Calcular , donde D es la regin limitada por las esferas 8) Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera y el arco y por arriba del plano XY.9) Calcular , transformndola previamente a las coordenadas esfricas.10) Calcular el volumen de la esfera empleando coordenadas esfricas11) Hallar el volumen de la porcin del cono limitada superiormente por la esfera 12) Encontrar el volumen del solido acotado por la esfera usando coordenadas esfricas13) Calcular Si T es la esfera 14) Calcular donde D es la esfera unitaria con centro en el origen.15) Encontrar el volumen del solido acotado por la esfera , usando coordenadas esfricas y 16) Calcular 1.- Calcular siendo U la regin entre y donde Resol:

Hacemos un esbozo del slido U. (Esfera) (Esfera)La proyeccin del solido U sobre el plano XY es la regin plana E.Porque en el integrando se tiene una funcin que tiene los trminos y el slido U esta limitado por dos esferas, conviene usar las coordenadas esfricas: donde El jacobiano en valor absoluto es Con las coordenadas esfricas, las ecuaciones cartesianas de las superficies se convierten en ecuaciones esfricas:a) La esfera se convierte en b) La esfera se convierte en as tenemos : c) La variacin de es: d) La variacin de es: e) La regin U se deforma y se convierte en la nueva regin

La triple integral en coordenadas esfricas es:

La integral iterada se desarrolla en el siguiente orden, la primera integral es respecto a , la segunda integral es respecto a y la tercera integral es respecto a .

=

2.- Hallar el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con un semingulo de , tal como se muestra en la figura.

Resol:En coordenadas esfricas, la ecuacin de la esfera es y el cono por lo tanto el slido es: adems entonces el volumen de S es:

3.- Evaluar la integral , usando coordenadas esfricas.

Resol: Pasando a coordenadas esfricas

Adems el jacobiano

4.- Mediante coordenadas esfricas, calcula el valor de la integral , donde S es la regin por arriba del plano XY y entre las esferas de radios respectivamente a y b centradas en el origen (0 < a < b).

Resol:

5.- Hallar , donde D es la regin acotada por el plano XY en la parte inferior y entre las esferas de radio 4 y 1 respectivamente centrados en el origen.

Resol:Usando coordenadas esfricas tenemos: entonces adems

6.- Calcular el volumen del casquete esfrico limitado por: , con siendo Resol:

Pasando a coordenadas esfricas tenemos:donde

7.- Calcular , donde D es la regin limitada por las esferas Resol:

8.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera y el arco y por arriba del plano XY.Resol: Proyectando al plano XY se tiene:

9.- Calcular , transformndola previamente a las coordenadas esfricas.Resol:

10.- Calcular el volumen de la esfera empleando coordenadas esfricasResol: La ecuacin de la esfera en coordenadas esfricas es

El volumen estara dado por:

El volumen estara dado por:

Evaluando:

11.- Hallar el volumen de la porcin del cono limitada superiormente por la esfera Resol:

La integral para el volumen seria:

Evaluando:

12.- Encontrar el volumen del solido acotado por la esfera usando coordenadas esfricas

Resol: Usando coordenadas esfricas se tiene:

13.- Calcular Si T es la esfera Resol:

Adems

14.- Calcular donde D es la esfera unitaria con centro en el origen.Resol:

15.- Encontrar el volumen del solido acotado por la esfera , usando coordenadas esfricas y Resol:

Usando coordenadas esfricas se tiene:

16.- Calcular Resol:

10

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