TRABAJO DE ACADÉMIA REGIÓN ZONA...
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1 INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR TELEBACHILLERATO DEL ESTADO DE HIDALGO TRABAJO DE ACADÉMIA REGIÓN ZONA SIERRA CUADERNILLO DE TRABAJO MATEMÁTICAS I ELABORÓ: • ING. ANGÉLICA MARÍA CALLEJAS LARA • ING. JESÚS FUENTES ARROYO • LIC.MA. DE LOS ÁNGELES AGUILAR AMADOR • ING. DONACIANO VÍCTOR CAMPOY SÁNCHEZ • M.C. MARIO CALLEJAS JUÁREZ • ING. EMILIANO ARRAZOLA HERNÁNDEZ • ING. KARINA HERNÁNDEZ BARRERA • LIC. MAGDALENO HERVER HIGUERON • LIC: VICTOR MANUEL CASTILLO JIMÉNEZ JULIO DE 2003 - DICIEMBRE 2003
Transcript of TRABAJO DE ACADÉMIA REGIÓN ZONA...
1
INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR YSUPERIOR
TELEBACHILLERATO DEL ESTADO DE HIDALGO
TRABAJO DE ACADÉMIAREGIÓN ZONA SIERRA
CUADERNILLO DE TRABAJO
MATEMÁTICAS I
ELABORÓ:
• ING. ANGÉLICA MARÍA CALLEJAS LARA
• ING. JESÚS FUENTES ARROYO
• LIC.MA. DE LOS ÁNGELES AGUILAR AMADOR
• ING. DONACIANO VÍCTOR CAMPOY SÁNCHEZ
• M.C. MARIO CALLEJAS JUÁREZ
• ING. EMILIANO ARRAZOLA HERNÁNDEZ
• ING. KARINA HERNÁNDEZ BARRERA
• LIC. MAGDALENO HERVER HIGUERON
• LIC: VICTOR MANUEL CASTILLO JIMÉNEZJULIO DE 2003 - DICIEMBRE 2003
2
JUSTIFICACIÓN
El presente proyecto tiene como finalidad servir como una herramienta tanto al
alumno como al docente de ciencias exactas en la Asignatura de Matemáticas I, en
su proceso de enseñanza – aprendizaje; considerando que el cuadernillo de
procedimientos no cuenta con un contenido que permita al alumno conocer y
entender cada uno de los conceptos, además de no contar con bibliografía suficiente
en los planteles de Telebachillerato.
El trabajo esta estructurado de la siguiente manera:
• Nombre del tema
• Objetivo
• Explicación breve de la manera de desarrollar los ejercicios
• Dos ejemplos resueltos
• Problemas de aplicación de relativa facilidad
Dichos problemas fueron tomados de diferentes bibliografías mismas que se
anexan en la última parte del mismo.
Esperando que este material sea utilizado para el desarrollo de la educación la
academia correspondiente a la zona Sierra ha puesto su máximo empeño dejando el
cuadernillo de Matemáticas I, al buen uso de los docentes que integran este
subsistema.
ING. DONACIANO VICTOR CAMPOY SANCHEZ
3
NÚMEROS NATURALES
Objetivo:
El alumno empleará los números naturales, a través de la aplicación de sus
operaciones, propiedades de orden y representación en la recta numérica para la
resolución de problemas.
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS NATURALES.
1.- Representa en la recta numérica la siguiente suma.
8 + 4 =
PASOS:
1) Dibujar una recta numérica.
2) Seleccionar una escala.
3) Efectuar la suma
Resultado = 12
-2 -1 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13
a 8 se le suman
4 unidades.
4
2.- Si en días anteriores solicité un préstamo de $25.00 y a la semana aboné $10.00
y la siguiente semana pienso abonar $5.00 ¿cuánto me resta por pagar?
PASOS:
1) Dibujar una recta numérica.
2) Seleccionar una escala para los intervalos.
3) Como estamos hablando de un préstamo se selecciona la escala
negativa.
Segundo pago
Primer pago
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Préstamo
Lo que resta de pagar = 10
EJERCICIOS:
1.- Un buque navega en el Mar Atlántico a una Latitud Norte de 32°. Grafique este
valor en la recta numérica.
2.- Juan el esposo de María vive a 39° al Norte y Rosa la hermana del esposo de
María Radica a 90° hacia el Este, ¿que distancia entre ellos existe?
3.- Una oruga cae a un pozo, intenta salir de él y avanzando 3 m durante el día y
retrocediendo 1 m durante la noche, ¿cuantos días tardará en salir, si el pozo mide 9
m de profundidad?.
5
4.- ¿Cómo representaría en la recta numérica la temperatura promedio de un día de
invierno en la ciudad de Nebrasca si de lunes a viernes las temperaturas que marco
el termómetro fueron 15, 12, 7, 8, 3 grados centígrados?.
5.- ¿Cómo representaría en la recta numérica las siguientes operaciones?
a)10 + 5 - 25 =
b) 13 X 2 - 20 =
c) 12 – 12 + 5 =
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NÚMEROS ENTEROS
Objetivo: El alumno empleará los números enteros, a través de la aplicación de sus
operaciones, propiedades de orden y representación en la recta numérica para la
resolución de problemas.
Definición: Los números enteros son aquellos que usamos para representar
pérdidas o ganancias, temperaturas, profundidades, etc., donde necesitamos
considerar cantidades positivas o negativas.
Para hacer uso de los números enteros, necesitamos introducir el cero.
Los números enteros quedan de la siguiente manera:
... -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
números negativos números positivos
pero también pudieras encontrar números fraccionarios y símbolos como los
radicales (√ ) , exponentes entre otros. Con los cuales se debe realizar el siguiente
procedimiento.
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA.
Localiza en la recta numérica los siguientes valores:
a).- 81
b).- 82
c).- 23
d).- 94
2
Solución:
7
a).- 81 , con la ayuda de tu calculadora obtienes la raíz de 81, el resultado extraído
es igual a 9, posteriormente ubicas este valor en la recta numérica.
81
-9 -6 - 3 0 3 6 9
b).- 82
, para encontrar la solución a este ejercicio solo tienes que dividir la unidad en
ocho partes, de las cuales tienes que tomar dos.
-3 -2 - 1 0 1 2 3
Recta numérica: Es la representación gráfica de todos los números, para ello se
traza una recta con divisiones consecutivas iguales, colocando el cero a la mitad de
ésta, los números positivos hacia la derecha del cero y los negativos hacia la
izquierda.
-3 -2 - 1 0 2/8 1 2 3
8
c).- 23 , para representar la solución a este ejercicio en la recta numérica solo hay
que multiplicar el numero 3 por si mismo el resultado seria 9, este valor es el que
buscamos en la recta numérica.
-9 -6 - 3 0 3 6 9
1.- Cómo representarías en una recta numérica la temperatura que se leyó de un
termómetro en una madrugada de invierno, cuyo registro fue de 7° C bajo cero.
PASOS:
• Se traza una recta numérica, seleccionando una escala, de tal forma que la
cantidad a buscar quede incluida dentro del intervalo.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
• Como la cantidad a representar es inferior al cero, estamos hablando de un
número entero negativo. Y en la recta numérica quedaría de la siguiente
manera.
El número que buscamos
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Representación gráfica de –7°C
9
2.- Cierto buceador estableció como marca personal una profundidad de 10 M. bajo
el nivel del mar ¿Cómo representaría esa profundidad en la recta numérica?.
Nivel del mar
PASOS:
• Se traza una recta numérica, seleccionando una escala, de tal forma que la
cantidad a buscar quede incluida dentro del intervalo.
• Como la cantidad a representar es inferior al nivel del mar, se habla de una
cantidad negativa, por lo que se colocará de la siguiente manera.
El número que buscamos
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Representación gráfica de 10 m bajo el mar
10
3.- Un papalote se elevó 16 m sobre una colina ¿Cómo lo representaría en la recta
numérica?.
Base de la colina
• Se traza una recta numérica, seleccionando una escala, de tal forma que la
cantidad a buscar quede incluida dentro del intervalo, (como la escala es
grande se emplea una escala diferente a la unidad para cada intervalo).
El número que buscamos
-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20
Representación gráfica de la elevación del papalote , 16 m sobre la colina
11
EJERCICIOS:
1.- Representa en la recta numérica la profundidad total a la que se encuentra
sumergido un submarino en tres horas, si sabemos que se sumerge 10 m cada hora.
2.- Miguel se ganó un premio de $1000.00 pero de esta cantidad tiene que pagar
$200.00 de la renta de un auto y $150.00 de la compra de ropa. ¿Cómo
representaría en la recta numérica la cantidad que le queda?
4.- ¿Cómo representaría la temperatura promedio de un día de invierno si en la
mañana el termómetro registró un temperatura de 15° C y durante la noche de –5°
C?.
5.- ¿Cómo representaría en la recta numérica las siguientes operaciones?
a) 5 + 5 - 2 =
b) 3 X 2 - 7 =
c) 2 – 4 + 5 =
6.- ¿Cómo representaría en la recta numérica lo siguiente?.
a) 36 m bajo el nivel del mar.
b) 18 °C sobre el punto de congelación.
c) Debo $200.00
d) Un barco hundido a un metro bajo el nivel del mar.
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EJERCICIOS DE NÚMEROS RACIONALES
Objetivo: El alumno aplicara los conocimientos sobres números racionales, a través
del manejo de sus propiedades y operaciones, para la resolución de problemas
1.3.1 Adición (suma)
1.3.2 Sustracción (resta)
1.3.3 Producto (multiplicación)
1.3.4 Cociente (división)
1.3.1 Adición de números racionales (fracciones)
Diferentes situaciones que se presentan
a) suma de fracciones con el mismo denominador
¬ ProcedimientoEjemplos
1 3 1+3 45 + 5 = 5 = 5
2 4 5 2 + 4 + 5 11 47 + 7 + 7 = 7 = 7 = 1 7
En general si
b) suma de fracciones con diferentes denominadores
a numeradorQ= b denominador
a c a + c
b
+
b=
bDonde b ≠≠ 0
13
¬ ProcedimientoEjemplos
2 3 2x4 + 3x5 8 + 15 235 + 4 = (4) (5) = 20 =20
3 4 2 3x3+ 4x1 + 2x5 23 85 + 15 + 3 = 15 = 15 = 1 15
En general
c) suma de números mixtos
Se pueden resolver de dos formas diferentes
c.1 Se suman por separado los enteros y las fracciones después, posteriormente se
suman los resultados obtenidos
¬ Procedimiento
Ejemplos
c.2 Convertir los números mixtos en fracciones impropias (ejemplo anterior)
1 5 723
7(2) +23(1)
14+23 12
3+ 3
6=
3+
6=
6=
6= 6
6
Resuelve los siguientes ejercicios
a c Ad + cb
b+
d=
b d
Donde b ≠≠ 0 y d≠≠ 0
1 5 1 5 2(1) + 1(5) 7 12 3 + 3 6 = 2 + 3 + 3 + 6 = 5 + 6 = 5 6 = 6 6
14
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Problemas donde se involucran la solución de números racionales
1.- En los municipios de Actopán, El Arenal y Pachuca miden respectivamente 1/3,
3/5 y 4/15, del área total del estado de Hidalgo, ¿Cuánto representa el total?.
R =
2.- Si se unen tres placas de acero que tienen de espesor 1/4, 3/8 y 7/16 m.
respectivamente ¿Qué espesor se obtiene?
R =
3.- En tres envases se tiene 5 4/5, 3 1/2 y 3/4 de litros de petróleo
respectivamente ¿Qué cantidad de petróleo se tiene en total?
R =
1.3.2 Sustracción de fracciones
1 2 35 + 5 = 5
2 4 5 25 + 9 + 9 = 1 9
2 3 43 + 5 = 1 15
2 3 1 53 + 4 + 6 = 1 12
5 3 3 54 8 + 6 4 + 2 2 = 15 8
2 3 5 76 3 + 8 4 + 3 6 = 13 12
31 15 m 2
111 16 m
19 20 Litros
15
Recuerda que el sustraendo en este caso debe sermenorSituaciones que se presentan.
a) Sustracción de fracciones con el mismo denominador
Ejemplos
5 3 5 – 3 27 - 7 = 7 = 7
5 3 1 5 – 3 – 1 113 - 13 - 13 = 13 = 13
b) Resta de fracciones con diferente denominador
ejemplos
3 2 3x5 – 2x4 15 – 8 74 - 5 = (4) (5) = 20 = 20
5 4 1 5x2 – 4x1 – 1x4 2 18 - 16 - 4 = 16 = 16 = 8
a cb d
minuendomenos
sustraendo
16
c) Sustracción de números mixtos
c.1 Restando por separado enteros y las fracciones y sumando al final los resultados
obtenidos
Ejemplo.
c.2 Convirtiendo los números mixtos a fracciones impropias
Ejemplo
7 5 34 23 34 - 23 11 23 9 - 2 9 = 9 - 9 = 9 = 9 = 1 9
Resuelve los siguientes ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Problemas que involucran resta de fracciones
7 5 7 5 7 - 5 23 9 - 2 9 = 3 - 2 + 9 - 9 = 1 + 9 = 1 9
5 3 211 - 5 = 11
7 2 925 - 25 = 25
2 3 13 - 5 = 15
3 2 118 - 9 = 72
2 1 15 - 2 10 = 3 5
2 1 57 3 - 3 4 = 4 12
17
1.- Un hombre gana mensualmente $ 200. Gasta $ 50 2/9, en alimentación de su
familia; $ 60 en alquiler y $18 3/8 ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente?
R = $ 71 29/72
2.- Un hombre vende de su finca 1/3, alquila 1/8 y el resto lo cultiva ¿Qué porción del
finca cultiva?
R = 13/24.
3.- Tres obreros tienen que tejer 200 m. de tela uno teje 53 2/7 m. y el otro 15/34 m.
¿Cuánto tiene que tejer el tercero?
R = 146 65/ 238 m.
4.- Si tengo $ 7/8, ¿Cuánto me falta para tener $ 1?
R = $ 1/8
1.3.3 Producto de números racionales o fracciones
El producto de dos o más fracciones, es otra fracción cuyo numerador es el producto
de los numeradores y el denominador es el producto de denominadores
Diferentes situaciones que se presentan
• Procedimiento
a) producto de fracciones comunes
18
Ejemplo
En general
b) Multiplicación de enteros y fracciones
A los enteros se pone por denominador la unidad; los números mixtos se conviertena fracciones, multiplicándose todos como fracciones.
Resuelve los siguientes ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
3 2 65 X 3 = 15
A c AcB X d = Bd
2 105 X 5 = 5 = 2
4 115
x19x1 315 X 35
X12
=1x5x12 = 4 4
2 4 89 X 5 = 45
1 2 1 1 14 X 3 X 2 X 5 = 60
1 3 2 13 X 4 X 7 = 14
1 3 364 3 X 4 = 12 = 3
1 2 12 3 X 3 3 = 1 3
19
6.-
Resuelve los siguientes problemas
1.- Compre tres sombreros a $ 2 3/5 uno; 6 camisas a $ 3 3/4 una. Si doy para
comprar un billete de $ 50 ¿Cuánto me devuelven?
R = $ 19 7/10
2.- Un mechero consume 3/4 Kg. De aceite por día ¿cuánto consumirá en 5/6 de
día?
R = 5/8 Kg.
3.- ¿Cuántos litros de aceite hay que sacar de un tinaco de 560 litros para que
queden en el los 6/7 del contenido?
R = 80 litros
1.3.4 División de números racionales (quebrados)
El cociente de dos números racionales se obtiene al multiplicar el dividendo por el
reciproco del divisor.
• Procedimiento
Ejemplo
1 1 3 13 4 X 4 2 X 2 4 = 2 4
a DividendoQ = b Divisor
20
Resuelve los siguientes ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Problemas relacionados con división de fracciones
1.- ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que en 5 2/37 horas recorre 202
6/37 Km?
R = 40 Km.
3 2 3 3 14 ÷ 3 = 4 X 2 = 1 8
3 3 1 32 ÷ 5 = 2 X 5 = 10
3 3 24 3
8÷
2 2 =8 X 7 = 7 = 3 7
2 1 35 ÷ 3 3 = 25
3 2 32 ÷ 5 = 3 4
3 2 3 3 14 ÷ 3 = 4 X 2 = 1 8
3 2 3 3 14 ÷ 3 = 4 X 2 = 1 8
3 2 3 3 14 ÷ 3 = 4 X 2 = 1 8
3 2 3 3 14 ÷ 3 = 4 X 2 = 1 8
21
2.- ¿Si se reparten $ 7/8 entre 6 personas ¿Cuánto toca a cada una?
R = $ 7/48
3.- La distancia entre dos ciudades es de 140 Km. ¿Cuántas horas debe andar un
hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora para ir de una ciudad a
otra?
R = 4 2/3 HR.
Resuelve los siguientes ejercicios
1.- 3/2 X (1/3 + 1/6) = 3/4
2.- 3/5 X (1/2 + 3/5 - 2/7) = 171/350
3.- (1/4 +1/8) / (2/3) = 9/16
4.- (3 - 3/4) / (2 1/4 + 3) = 3/7
5.- (3 1/4 + 2 1/2) / (3 1/2 + 3 1/5) = 115/134
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b•0 y d•0 en general: c) suma de números mixtos
Se pueden resolver de dos formas diferentes
1.- Se suman por separado los enteros y las fracciones después, posteriormente se
suman los resultados obtenidos
Procedimiento
Ejemplos
2.- Convertir los números mixtos en fracciones impropias (ejemplo anterior)
6 3 6 6 6 6
dondebd
cbaddc
ba +=+
61
661
56
5*11*2565
31
3265
331
2 ==++=+++=+
61
66
23146
1*232*7623
37
65
331
2 =+=+=+=+
23
Resuelve los siguientes ejercicios
Problemas donde se involucran la solución de números racionales
1.- En los municipios de Acopan, El Arenal y Pachuca miden respectivamente 1/3,
3/5 y 4/15, del área total del estado de Hidalgo, ¿Cuánto representa el total?.
2.- Si se unen tres placas de acero que tienen de espesor 1/4, 3/8 y 7/16 m.
respectivamente ¿Qué espesor se obtiene?
3.- En tres envases se tiene 5 4/5, 3 1/2 y 3/4 de litros de petróleo
respectivamente ¿Qué cantidad de petróleo se tiene en total?
=++
=++
=++
=+
=++
=+
65
343
832
6
23
243
685
4
61
43
32
53
32
95
94
52
52
51
2
153
1 m
m1611
1
l201
9
24
c) Sustracción de números mixtos
1.- Restando por separado enteros y las fracciones y sumando al final los resultados
obtenidos
Ejemplo.
2.- Convirtiendo los números mixtos a fracciones impropias
Ejemplo
Resuelve los siguientes ejercicios
92
19
571
95
97
2395
297
3 =−+=−+−=−
92
1911
92334
923
934
95
297
3 ==−=−=−
125
441
332
7
51
3101
252
7211
92
83
151
53
32
259
252
257
112
53
115
=−
=−
=−
=−
=−
=−
25
Problemas que involucran resta de fracciones
1.- Un hombre gana mensualmente $ 200. Gasta $ 50 2/9, en alimentación de su
familia; $ 60 en alquiler y $18 3/8 ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente?
R = $ 71 29/72
2.- Un hombre vende de su finca 1/3, alquila 1/8 y el resto lo cultiva ¿Qué porción del
finca cultiva?
3.- Tres obreros tienen que tejer 200 m. de tela uno teje 53 2/7 y el otro 15/34 m.
¿Cuánto tiene que tejer el tercero?
R = 146 65/ 238 m.
4.- Si tengo $ 7/8, ¿Cuánto me falta para tener $ 1?
R = $ 1/8
2413=R
26
PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones, es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de denominadores
Diferentes situaciones que se presentan:
a) Producto de fracciones comunes
En general:
b) Multiplicación de enteros y fracciones
A los enteros se pone por denominador la unidad; los números mixtos se
convierten a fracciones, multiplicándose todos como fracciones.
156
32
53 =x
bdac
dc
xba =
43
41251
11915121
54
315
25
1052
5
==
==
xxxx
xx
x
27
Resuelve los siguientes ejercicios
Resuelve los siguientes problemas
1.- compre tres sombreros a $ 2 3/5 uno; 6 camisas a $ 3 3/4 una. Si doy para
comprar un billete de $ 50 ¿Cuánto me devuelven?
R = $ 19 7/10
2.- Un mechero consume 3/4 Kg. De aceite por día ¿cuánto consumirá en 5/6 de
día? R = 5/8 Kg.
3.- ¿Cuántos litros de aceite hay que sacar de un tinaco de 560 litros para que
queden en el los 6/7 del contenido?
R = 80 litros
41
243
221
441
3
31
132
331
2
1236
43
31
4
141
72
43
31
601
51
21
32
41
458
54
92
=
=
=
=
=
=
xx
x
x
xx
xxx
x
28
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (QUEBRADOS)
El cociente de dos números racionales se obtiene al multiplicar el dividendo
por el reciproco del divisor.
Procedimiento
Ejemplos:
Resuelve los siguientes ejercicios
Problemas relacionados con división de fracciones
divisordividendo
ba
Q ==
73
3724
73
823
28
103
51
23
523
81
123
43
32
43
===+
==+
==+
x
x
x
253
31
352 =+
81
123
43
32
43
81
123
43
32
43
43
352
23
==+
==+
=+
x
x
29
1.- ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que en 5 2/37 horas recorre 202
6/37 Km?
R = 40 Km.
2.- ¿Si se reparten $ 7/8 entre 6 personas ¿Cuánto toca a cada una?
R = $ 7/48
3.- La distancia entre dos ciudades es de 140 Km. ¿Cuántas horas debe andar un
hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora para ir de una ciudad a
otra?
R = 4 2/3 hr.
Resuelve los siguientes ejercicios
134115
51
321
321
241
3
73
341
243
3
169
32
81
41
350171
72
53
21
53
43
61
31
23
=
+÷
+
=
+÷
−
=÷
+
=
−+
=
+
x
x
30
NÚMEROS REALES
Objetivo: Aplicar los números reales, como un recurso que permita al alumno,tener
una mejor obtención de resultados, y al mismo tiempo que los aplicarlos en su vida
cotidiana.
I.- División de números decimales
Veamos un ejemplo:
Se desea dividir.
Si esta fracción la multiplicamos por diez entonces quedaría.
Instrucciones: Resuelve cuidadosamente los siguientes ejercicios.
5.15.7
1075
1010
5.15.7 =x
4.52.3
2.11.5
1.75.8
2.29.4
6.38.6
31
a) Operaciones con números racional.
1) La suma de (5) + (-2) = 5 – 2 = 3
Ejemplo.
-------------------------------------------------------------------------------------
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6
Instrucciones. Resuelve los siguientes ejercicios.
1) (-5) + (-3) = 3) (15) + (-4) =
2) (8) + (3) = 4) (-9) + (3) =
5) ( 23) + (-14) =
También es común encontrar expresiones en las que se utilizan, además de la
suma o resta, multiplicación y división
Veamos algunos ejemplos:
1) (5) (4 ) + (-2) (3) = (20) + (-6) = 20 - 6 = 14
( )( )( )16
696
62412 ==−−
32
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) =−
=
3235410
625458
1) Resuelve los siguientes ejercicios en base a los ejemplos anteriores.
(12) (-5) – (-8) (-4) =
b) Conversión de fracciones decimales a fracciones comunes.
Instrucciones. Para convertir una fracción decimal en fracción común se
escribe como numerador el decimal sin el punto, y como denominador la unidad
fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si es posible se simplifica la
fracción obtenida.
Ejemplos.
O.5= 5/10 = ½ 0.75= 75/100= ¾
0.125= 125/1000 = 1/8
Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios.
0.7 = 0.315 =
0.35 = 0.120 = 0.95 =
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) =
−−−
=−−
−+−−
2.08.13.05.15.02.1
5458615
33
PORCENTAJES
Objetivo: El alumno conocerá y manejara la metodología necesario para calcular
porcentajes.
Debemos calcular el 20% de 280 es decir:
Lo cual se puede resolver de diversas maneras, una de ellas seria 20/100 x280 = 0.20 x 280 = 56.00 = 56
Otra forma:
Instrucciones. Exprese los siguientes porcentajes.
28010020
x
561005600
100280
2028010020 === xx
=
=
=
=
=
15010048
7510025
22010075
15010062
5010038
x
x
x
x
x
34
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
OBJETIVO: El alumno empleará los números naturales, a través de la aplicación de
número primos comunes y así obtener el múltiplo menor posible.
El mínimo común múltiplo de dos a más números es aquel que siendo múltiplo
de todos ellos es al mismo tiempo el menor posible.
Para obtener el MCM de 24, 18 , 36 .
a).- Para obtenerlo colocamos en una fila horizontal a todos los números de los que
se quiere conocer el MCM.
b).- Se les va dividiendo entre primos comunes, comenzando por el menor posible,
por comodidad, si se agotan todos los divisores primos no importando que solo se
dividan a algunos o a uno solo de los números considerados, así se continúa con
este procedimiento hasta que se hayan reducido a la unidad todos los números.
24 18 3612 9 18 26 9 9 2 divisores1 9 9 3 primos1 3 3 31 1 1 3
24 18 36
35
c).- El MCM será el producto de todos los divisores primos considerados.
2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 72 El MCM de 24, 18, 36, es 72.
PASOS PARA OBTENER EL MCM DE MONOMIOS.
a).- Para obtener el MCM de los monomios 10 X 2 Y 3 Z, 36 X 3 Y , se separan los
números de la parte literal y se colocan en una fila horizontal.
10 36
b).- Se les va dividiendo entre primos comunes, comenzando por el menor posible,
hasta que se hayan reducido a la unidad todos los números.
10 365 18 25 9 2 divisores5 3 3 primos.5 1 31 1 5
c).- El MCM de los números extraídos de los monomios serán el producto de todos
los divisores primos considerados.
2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180.
d).- Posteriormente con la parte literal de los monomios se descomponen en sus
factores y se encuentran sus factores comunes y no comunes.
10 X 2 Y 3 Z X 2 Y 3 Z = X * X * Y * Y * Y * Z. Factores comunes X * X * Y = X 2 Y.36 X 3 Y X 3 Y = X * X * X * Y Factores no comunes X * Y * Y * Z = X Y 2 Z
36
e).- Para encontrar el MCM de la parte literal es el producto de los factores comunes
por los no comunes.
Factores comunes = X 2 Y.
Factores no comunes = X Y 2 Z.
( X 2 Y ) ( X Y 2 Z ) = X 3 Y 3 Z.
f).- El MCM de los monomios será la unión de los divisores comunes de los números
y las literales.
MCM 10 36 = 180.MCM X 2 Y X Y 2 Z = X 3 Y 3 Z.
El MCM de: 10 X 2 Y 3 Z 36 X 3 Y = 180 X 3 Y 3
37
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
OBJETIVO: El alumno empleará los números naturales, a través de la aplicación de
divisores primos comunes y así obtener el divisor menor posible.
Los divisores comunes de dos números cualesquiera son divisores comunes
del menor de ellos y el resto de la división.
El MCD de dos o mas números es el numero mas grande posible que es
divisor común de todos ellos.
Pasos para hallar el MCD de 36 y 24.
a).- Para obtenerlo se colocan por separado los números en una fila horizontal.
36 24
b).- Se les divide entre un divisor primo común tantas veces como sea posible,
empezando por facilidad con el más pequeño, en este caso el numero dos, hasta que
se haya reducido a la unidad los números.
36 2418 2 12 2 9 2 6 2 3 3 3 2 1 3 1 3
c).- Se toman en cuenta todos los divisores de ambos números y se buscan los
divisores comunes.
36 = 2 * 2 * 3 * 3 divisores comunes. 24 = 2 * 2 * 2 * 3 son: 2 * 3
38
d).- A continuación el producto de los divisores comunes es el MCD de ambos
números.
Divisores primos 2 * 3 = 6.Comunes El MCD de 36 y 24 es igual a 6.
PASOS PARA HALLAR EL MCD DE UN MONOMIO.
a).- Para obtener el MCD de los monomios 12 a2 b3 c y 18 a b 4, se separan los
números de las literales, y se colocan en una fila horizontal.
12 18
b).- Se les divide entre un divisor común tantas veces como sea posible empezando
por facilidad por el mas pequeño, hasta que se haya reducido a la unidad los
números.
12 186 2 9 23 2 3 31 3 1 3
c).- A continuación se toma en cuenta todos los divisores primos comunes de ambos
números.
12 = 2 * 2 * 3 divisores primos comunes 2 y 3.18 = 2 * 3 * 3
d).- Posteriormente con las literales se descomponen en sus factores y se
encuentran los factores comunes.
12 a2 b3 c 18 a b 4
a2 =a*a. a2 b3 c = a * a * b * b * b * cb3 =b*b*b. a b 4 = a * b * b * b * bb4 =b*b*b*b.
Factores comunes de a2 b3 c y a b 4 son a * b * c.
39
c).- Para finalizar s obtiene el producto de los divisores comunes y factores comunes
de los monomios y se obtiene el MCD.
Producto de divisores comunes 2 * 3 = 6.
Producto de los factores comunes a * b * b * b = a b3
El MCD de 12 a2 b3 c y 18 a b 4 es 6 a b3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MCD Y MCM.
1- ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que puedan medir
exactamente tres dimensiones de 140 mts ,860 mts y 800 mts.?
2.- Se tienen tres cajas que contienen 1600 Kg, 2000 Kg y 3392 Kg de jabón
respectivamente, el jabón de cada caja esta dividido en bloques del mismo peso
y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuantos bloques hay en cada
caja?
3.- Un hombre tiene tres rollos de billetes, en uno tiene $4500, en otro $5240y en el
tercero $6500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación
posible. ¿Cuánto vale cada billete y cuantos billetes hay en cada rollo?
4.- ¿Puedes tener $50, en billetes de $5, $10, $20?
5.- ¿cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un numero
exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la primera 2 litros x
segundo, la segunda 30 litros x segundo y la tercera 48 litros x segundo.
40
6.-¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se pueda dividir en pedazos de
8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud sin que sobre ni falte nada y cuantos pedazos de
cada longitud se podrían sacar de esta varilla.
7.- De la central camionera de la central del norte de México salen autobuses cada 3
horas rumbo a Querétaro, otros salen cada 4 horas a Guanajuato y otros mas cada 6
horas hacia Guadalajara; si a las 6 de la mañana de un día determinado coincide la
salida de los autobuses. ¿Después de cuantas horas vuelve a coincidir la hora de
salida de las tres líneas de autobuses?
8.-Juan tiene $15.00 y Luis $20.00 ambos desean cambiar sus billetes por monedas
de la misma denominación y de la mayor posible. ¿ Cual es el mayor valor que
pueden tener las monedas?.
HALLAR EL MCD Y EL MCM DE LOS SIGUIENTES NUMEROS Y
MONOMIOS.
1. - 133, 135.
2. - 12, 15, 24.
3. - 12,16.
4. - 27,16,21.
5.- 135, 63.
1. - 629, 444.
2. 8a2b, 15a3b2c, 20ab4
3. 16x3y4, 24x3z2, 28x2y3
4. 15 r2s4, 24r3s2
5. 20, 30, 40, 50.
6. 18, 24, 44.
7. 36, 72.
8. 7x2y3z, 27 x4y2, 42 y z2
9. 16 o2pq4, 8 op4, 28 p2y3
10. 2 a2b c, 4 ab2c4, 8a2c2.
41
42
RADICALES
OBJETIVO: El alumno empleará conocimientos algebraicos y algoritmos, para
comprender el uso adecuado de las leyes de exponentes de orden radical. .
La expresión q a , que representa la raíz principal de índice (q) de (a), se llama
radical y la cantidad (a) que aparece bajo el signo radical se llama radicando o
subradical.
Al índice de la raíz (q) se le llama también orden del radical.
Por lo tanto, las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de
los exponentes que son las siguientes.
LEY I : m a * m b = m a b.
Obtener la multiplicación de los siguientes radicales ( )( ) 222 abba =
Se conserva el índice 2 y solo se multiplican los radicales a*b, por lo que tenemos:
( )( ) 222 abba = ( )( ) 2222 153*535 ==
LEY II.-
ba
mba
m
m
= para b diferente de cero
ba
ba
22
2
=
Para obtener el cociente del siguiente radical. 3 • 8, 3 • 10 se conserva el índice
y solamente se dividen o se simplifican los radicales 8 y 10 por lo que tenemos.
43
LEY III:
Para obtener raíz de raíz de los siguientes números se conserva
el subradical (a) y los índices se multiplican.
EJERCICIOS DE RADICALES.
1. - 6 8 a 5
2. - 27 / 2
3. - ab / 6 b
4. - 2 / 2
5. - 3 5a 2 * 3 4a 2
6. - 4 bc * 4 bc 2
33
3
54
88 =
mnn m aa =
6612
1
31
322 3 aaaaa ==
== +
2 3 a
44
7. - 4 10 / 4 5
8. - 5 25 a 2 / 5 5a
Ejercicios:
1. Una mesa cuadrada tiene 225 diámetros cuadrados de superficie. Hallar sus
dimensiones.
R= 15 diámetros.
2. Se requieren distribuir los 144 soldados de una compañía formando un cuadrado.
¿ Cuántos hombres habrá en cada lado del cuadrado?.
R=12
3. Un comerciante compró cierto número de cajas grandes de madera, la que
contenían cajas de corbatas. En cada caja de madera hay 1024 cajas de
corbatas. Si el número de cajas de corbatas de cada caja de madera es el doble
del cubo del número de cajas de madera. ¿Cuántas cajas de madera compró el
comerciante y cuántas cajas de corbatas?
R=8.8192
4. Un comerciante d. compró cierto número de trajes por $512, si el precio de un
traje es el cuadrado del número de trajes comprados. ¿Cuántos trajes compró y
cuánto costó cada uno?
R= compró 8 trajes y costó $64.00 cada traje.
45
5. La altura de una caja es el triple de su longitud y de su ancho. Si el volumen de la
caja es de 2400cm cúbicos. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
R=20cm de largo y ancho, 60 cm de altura.
46
POTENCIACIÓN
OBJETIVO: El alumno empleará conocimientos algebraicos y algoritmos, para
comprender el uso adecuado de las leyes de exponentes.
Potenciación : es el producto de varios factores iguales; se compone de una
base y un exponente.
Base : es él numero o variable que se repite como factor.
Exponente : es él numero que indica cuantas veces se toma como factor la
base; la forma general de representar una potencia es a n, en donde a es un
numero racional y n un natural
Al representar la potencia de un numero y variable debemos tomar en cuenta
la seis leyes relativas de los exponentes:
1ley: el producto de dos o más potencias, se suma los exponentes
conservando la misma base:
I.- a m. a n = a m+n m 3 * m 8 = m*m*m*m*m*m*m*m*m*m*m = m 11
3 8
Factores Factores
(2/3)2 (2/3)5 = (2/3)2+5
2 ley: la potencia de otra potencia: cuando se eleva una potencia a otra
potencia los exponentes se multiplican:
47
II.- (a m) n = a m*n (43 )2 = 4 6 (-6 x2 y3 )3 = -6x6 y9
Por lo que la potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto
de los exponentes. La potencia de cero es la unidad.
3 ley: la potencia de dos números cuales quiera es igual a la base elevada a la
potencia deseada.
III.- ( a.b )m = ambm (4.3)3= 43.33 (x.y)6 = x6 y6
4 ley: cociente de potencia de la misma base y se le pone como exponente la
diferencia del dividendo y el exponente del divisor. Siempre y cuando el dividendo
sea mayor.
IV.- am/an = a m-n m>>n 43/42 =41 x5/x3= x*x*x*x*x=x5-3 =x2
X*x*x*1*1
5 ley : potencia de un cociente: es igual al minuendo y dividendo con el mismo
valor de la potencia como exponente.
V.- (a/b)m = am (7/3)2 = 72
bm 32
6 ley: cociente de una potencia cuando el exponente del dividendo es menor
que el exponente del divisor. Con la misma base.
Es igual a la base y como el exponente es la unidad entre la diferencia del
divisor al dividendo. siendo el divisor mayor.
48
Calcular los productos indicados
1. (2 a 2b)(-3ab2)=
2. (3 a )4 (3 a )9=
3. (52)(54) =
4. 73 =
5. (a5)(a-3)=
6. (83)(82)(8-4) =
7. b8/ b3 =
8. x3 / x6 =
9. -18 a 2 b3/ 2 a 4 b =
10. (2x+5y)6 =
11. 36 x3 y2 z6 / 12 x4 y3 z4
12. (3xm)4 =
13. (2mn)2 / 2 m4 n5 =
14. 6 m-2 / 3 m-3 =
15. ( x4 y-3) -2 =
2355
3 11;
1.
xxxx
nmaa
aVI
nmn
m
==⟨∴=− −−
49
NOTACIÓN CIENTÍFICA
OBJETIVO: El alumno empleará conocimientos de leyes de los exponentes y
notación decimal para deducir y entender la potencia de diez.
Con frecuencia el trabajo científico implica el uso de números muy grandes o
muy pequeños, por ejemplo una célula contiene alrededor de 200,000,000, 000
moléculas de .0 000 000 000 00040 cm, general mente es difícil trabajar con
cantidades como las anteriores, ya que no se puede introducir en las computadoras.
Sin embargo con los exponentes ya definidos para todos los enteros es
posible expresar cualquier cantidad como alguna potencia de 10; esta notación se
emplea frecuentemente en la ciencia. Con ella se logra representar en forma breve
los números que tienen muchas cifras por que indican el grado de exactitud de una
medición.
La notación científica para un numero positivo (entero, fracción decimal o con
parte entera y parte decimal) se expresa por medio de las potencias indicadas de
diez.
1. Pasos para convertir un numero a la notación científica.
• Convertir 563929 a la notación científica
• Como existe un convenio de que el numero expresado en esta notación debe de
tener un solo dígito en su parte entera, se cuenta el numero de cifras, menos uno,
para escoger la potencia de 10, en este caso es de 10 5.
• 6 cifras = 563929 6-1 = 5 por lo que se usara 105
• Después se cuentan cinco cifras de la derecha a la izquierda y se coloca el
punto decimal que quedara entre las dos primeras cifras de la izquierda.
50
• 563929 = 5.63929
• Es decir que 563929 en notación científica es 5.63929 *10 5
• Pasos para convertir 34000000 a notación científica.
• Se encuentra el numero de cifras menos uno , para escoger la potencia de diez• 8 cifras = 34 000000 8-1 = 7 por lo que se usara 107
• Después se cuentan siete cifra de derecha a izquierda y se coloca el numero
decimal y como la representación debe de ser breve.
• 34 000000 = 3.4000000 es decir 3.4*107
• Pasos para convertir un numero con parte entera y parte decimal.
• Convertir 376.253 a notación científica.
Como debe de quedar un solo dígito en la parte entera, se cuenta el numero de
lugares que se recorre el numero decimal hacia la izquierda.
6 cifras 376.253 6-1= 5 5 cifras
3.7 6 . 2 5 3 3 7 6.253 # de lugares que se recorre el punto =102
-5 -4 -3 -2 -1 -2 -1
Al colocar el punto resulta 3.76253*102
• Convertir 0.229657 a notación científica.
51
• Como el numero debe tener un solo dígito en su parte entera, el punto debe de
recorrerse hacia la derecha 3 lugares, hasta llegar al primer dígito.
• 0.0 0 2 9 6 5 7 = 2.9657 10-3
• 2 3
• Cuando el punto se recorría hacia la izquierda el exponente era positivo. Si ahora
se recorre hacia la derecha el exponente será negativo. 10-3
• Entonces 0.0029657 = 2.9657 *10-3
• Problemas de aplicación.
• Si la masa de la tierra es de aproximadamente 6.1*1027gr y cada gramo es
2.2*10-3 libras. ¿cuál es la masa de la tierra en libras?
R= 1.3*1025 libras
• (32.7)(0.00000000842) / (0.0513)(80700000000)
R=6.65*10-17
• Si las computadoras mas avanzadas de nuestro tiempo, pueden realizar una
suma en un tiempo de 10-8 seg. ¿cuántas sumas será capaz de realizar en un
segundo?
• R= 108 o 100 millones.
• Se estima que el oxigeno libre en la tierra pesa 1.5*1021 gr y que este se produce
solo por la vida misma. Si un gramo es aproximadamente 3.2*10-3 libras ¿ cual
es el peso del oxigeno libre en libras?
• 5760,000,000/(527)(0.00000709) =
52
• Una célula contiene alrededor de 200 000 000 000 de moléculas. ¿Cuántas
moléculas serán alrededor de 85.6 células?
• Convertir las siguientes cifras a notación científica
• 2248091
• 54066625
• 704969
• 912673
• 663054848
• 27000
• 70000
• 325000000
• 13000000
• 135000
• 0.00000531441
• 0.729
• 24.389
• 212.776173
• 126.506008
• 32.768
• 0.000027
53
VARIACIÓN DIRECTA INVERSA
VARIACIÓN DIRECTA PROPORCIONAL
Objetivo: Manejar las diferentes aplicaciones con números reales a través de utilizar
los tipos de variación directa e inversa, para la resolución de problemas
Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para
la otra, o una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice
que tales cantidades son directamente proporcionales.
Cantidades directamente proporcionales son:
a).- El lado de un polígono regular y su perímetro
b).- El radio y la longitud de una circunferencia
c).- El importe del consumo de electricidad y el numero de Kilovatios hora
consumidos.
Ejemplo:
Si por un consumo de 40 m3 se pagan 20.80 unidades de dinero ¿ cuanto se
pagar por un consumo de 37 m3?
24.1940
60.76960.76940
87.20*37*4037
80.2040
=
=
=
===
x
x
x
xx
54
Ejercicios
1.- A 40 Km/h, un tren recorre 320 Km ¿Qué distancia recorrerá en el mismo tiempo
a 72 Km/h?
2.- En una escuela con 780 alumnos el 63% son varones ¿Cuantas niñas son?
3.- Un automovilista recorre 420 Km que corresponde al 60% de su recorrido
¿Cuantos Km le faltan por recorrer.?
VARIACIÓN INVERSA PROPORCIONAL
Dadas dos cantidades puede ocurrir que a todo aumento de una corresponde una
disminución para la otra, o a que toda disminución de una corresponda una aumento
para la otra. Cuando esto ocurre se dice que dos cantidades son inversamente
proporcionales.
Ejemplo:
a).- para una misma obra, el numero de obreros y el tiempo empleado para realizarla.
b).- para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recórrela.
c). A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se
someten.
Ejemplo ilustrativo:
Para realizar una obra en 42 días se emplean 23 obreros. ¿ Cuantos obreros se
necesitaran para hacer la misma obra en 7 días?
obrerosx
x
xx
1387
9669667
23*42*7
=
=
==
55
Ejercicios:
1.- El trigo pierde 18% de su peso al molerlo cuando se han perdido 360 kg ¿ que
cantidad de trigo se ha molido?
2.- Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días. Si al momento de
partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas ¿cuántos días les duraran las
provisiones?
3.- Si un mineral da 60 kg de metal por tonelada, ¿Cuánto por ciento (%) da?
IDENTIFICAR SI LAS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIÓNALES
O INVERSAMENTE PROPORSIONALES.
1.- La calificación y el numero de aciertos de un examen
2.- la calificación y el numero de errores de un examen
3.- la velocidad y la distancia recorrida en determinado tiempo
4.- la velocidad y el tiempo para una distancia recorrida
5.- la iluminación y la distancia de una fuente luminosa
6.- la presión y la temperatura de una masa gaseosa a volumen constante
7.- la iluminación y la distancia de una fuente luminosa.
8.- para un trabajo determinado, el tiempo y el numero de obreros.
9.- el numero de artículos iguales y el costo total de ellos
10.- el importe del consumo de agua y el numero de metros cúbicos consumidos.
56
ECUACIONES LINEALES
OBJETIVO: El alumno empleará conocimientos algebraicos y algoritmos, para
comprender el empleo de dicho lenguaje en operaciones y expresiones matemáticas.
LENGUAJE ALGEBRAICO
El lenguaje algebraico es aquel que emplea operaciones con literales,
coeficientes, exponentes y diversos signos, para expresar o indicar en forma verbal o
escrita las operaciones.
Lenguaje verbal Lenguaje escrito
Suma o adición
Resta o diferencia
Multiplicación o producto
División o cociente
Potencia
Raíz
Mayor que
Menor que
Igual
Diferente
idéntico
+
-
*, . , ( ) , {}
÷, • , /.
A n
•
•
•
=
•
•
el triple de un numero cuales quiera
la suma de dos números cualesquiera
la diferencia de dos números cualesquiera
la suma de tres números
el producto de dos números
el cociente de dos números
el triple de un numero cualesquiera mas el doble de otro
la diferencia de los cuadrados de dos números
3x
a +b
a-b
a + b +c
(a) (b)
a / x
3ª + 2b
a 2 – b 2
57
el cuadrado de la suma de dos números
el doble de la suma de dos números cualesquiera
seis veces el numero restado del mismo numero, es igual
a cinco veces dicho numero
el triple de m no es igual a un numero cualesquiera
la tercera parte de un numero cualesquiera puede ser
mayo o menor de diez y seis
( a +b )2
2 (a +b)
6X- X = 5X
3M • C
a >
3<
De los ejemplos anteriores podemos deducir que el lenguaje algebraico se puede
utilizar:
1. Números para representar cantidades determinadas como 2 doble,3 triple, etc.
2. Letras para representar números cualesquiera, como las primeras y las ultimas
letras del abecedario, a , b , c , x , y , z
3. Signos para indicar operaciones +-*/ etc.
4. Signos para indicar los sentidos de los números (+),(-)
5. Signos de agrupación ( ) ,{},[ ]
6. Signos de secreción > < = •
También a una expresión dada en lenguaje algebraica debemos traducirlo a
lenguaje común:
Expresión algebraica expresión verbal
( a - b ) 2 El cuadrado de la diferencia de dos
números3 • a/b La raíz cúbica del cociente de dos
números
A + b / a b El cociente de la suma de dos números
entre el producto de los mismos 4 • 3X La raíz cuarta del triple de un numero
n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) La suma de tres números consecutivos
58
( a + b + c ) - ( x + y ) La diferencia de la suma de tres
números y la suma de otros dos
Traducir el lenguaje escrito a expresiones verbales
1. La suma de cuatro números
2. El producto de tres números
3. La raíz cúbica de un números
4. El quíntuplo del cuadrado de la suma
de dos números
5. El cociente del doble de un numero
entre la raíz
Escribir la forma verbal de las siguientes expresiones algebraicas
2.- ( a + b ) c3.- • a - • b4.- 3ª 2
5.- a + b > c/d
Expresión algebraica: podemos traducirlo como la expresión escrita en
lenguaje escrito
Elementos:
2 y 3 EXPONENTES
5 a 2 b 3 c a ,b ,c PARTE LITERAL
5 COEFICIENTE
nnm +−.1
59
Exponente : determina el grado de un termino con respecto a una de las literales y el
grado absoluto esta dado por la suma de sus literales.
Es el numero de veces otro numero llamado base como factor. A 2 = a. A
Término Coeficiente Parte literal
2b
3ab
2 ( a+b)
3ab/5
3 a 2 b 3
3 a 2 b 2
n a
2
3
2
3/5
B
Ab
( a + b )
a b
Término Grado de X Grado de Y Grado del termino3XY
X2 Y3
5X4 Y2
6XY2
17 X2Y2Z3
5X7Y6
30 a2 b4 c
1
2
4
1
3
2
2
5
6
Clasificación de expresiones algebraicas: atendiendo a su numero de términos
Monomio Un solo termino 5X,3Y, 3ª,
Binomio Dos términos A + b , 5X2 + 3y
Polinomio Por tres o mas términos. 3 a 2+b2+3c2+5ab
Términos semejantes son cuando tienen la misma parte literal y exponentes iguales
60
MÉTODO ALGEBRAICO
Una ecuación lineal con una incógnita , también llamada ecuación de primer
grado con Una incógnita, es aquella que una vez simplificada solo contiene una
incógnita cuyo exponente es la unidad. Para resolver una ecuación de primer grado
con una incógnita hacemos uso de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de
la igualdad.
a)Propiedad de identidad o reflexiva: Todo numero es igual a sí mismo.
Ejemplo: a = a 6 = 6
b) Propiedad simétrica o reciproca: Los miembros de una igualdad pueden permutar
sus lugares.
Ejemplo: 7 = 4 + 3 o 4 + 3 = 7
30= 6 x 5 o 6 x 5 = 30
c)Propiedad transitiva: Si un numero es igual a otro y este a su vez a un tercero,
entonces el primero es igual al tercero.
Ejemplo; a = b b = c por lo tanto a = c
6 = 4 + 2 y 4 + 2 = 5+1 por lo tanto 6 = 5 + 1
d)Uniforme de la suma o adición: A los miembros de una igualdad se le pueden
sumar un mismo número y la igualdad permanece.
Ejemplo: si a = b 8 = 6 + 2
a + c = b + c 8 + 7 = 6 + 2 + 7 sumando a ambos
miembros el 7
61
e) Cancelativa de la suma o inverso aditivo :a los miembros de una igualdad se les
puede restar un mismo número y la igualdad permanece.
Ejemplo: a + c = b + c 10 + 5 = 8 + 2 + 5
a + c – c = b + c – c 10 + 5 – 5 = 8 + 2 + 5 – 5
Restando a los miembros el 5.
por lo tanto a = c 10 =8 + 2
10 = 10
f) Uniforme de la multiplicación: A los miembros de una igualdad se les puede
multiplicar por un mismo numero y la igualdad permanece.
Ejemplo: a = b 5 = 3 + 2 a c = b c ( 5 ) ( 7 ) = ( 3 + 2 ) ( 7 ) Multiplicandoambos miembros por 7 35 = 21 + 14
g) Cancelativa de la multiplicación: Para quitar una misma cantidad en ambos
miembros de una igualdad se multiplica dicha cantidad por su reciproco
multiplicativo.
Ejemplo: ac = bc y deseo eliminar “ c “ multiplicativo. a c ( 1 / c) = b c ( 1 / c) a = c
4 ( 6 ) = ( 3 + 1 ) 6 4 ( 6 ) ( 1/6) = ( 3 + 1 ) 6 ( 1/6) Deseo eliminar el 6, multiplico por (1 /6) 4 ( 6 / 6 ) = ( 3 + 1 ) ( 6 / 6 ) 4 ( 1 ) = ( 3 + 1 ) ( 1 ) 4 = 3 + 1
Nota: Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma operación y con
los mismos números en ambos miembros de la misma, con excepción de la división
entre cero que carece de sentido.
62
EJEMPLOS: Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
14344
43..1
−=−=−+
=+−
x
x
x
10220202
14626142
6)7(2.2
=
=
=+==−
=−−
x
x
x
x
x
x
24884
181026102186
)5(2)62(3.3
=
=
=+−=−
−=−−=−−
x
x
x
xx
xx
xx
110727102
7)5(2.4
−=−−=−−=+
−=+−
x
xx
xxxx
72
14142
11321312
13)12(
13)1(.5
22
22
22
=
=
=+=
=−+−=+−−
=−−−
x
x
x
x
xxx
xxx
xx
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.- 6x = 24
2.- 7x – 11 = 22
3.- 5x + 8 = 6
4.- 3x + 5 = x + 2
5.- 12(5x – 2) + 6 = - 29 – 3 ( x – 7)
6.- 30=25 – y 3
7.- 2x + 6 = x 5 58.- 2x + 8 = 6
63
59.- x = 12 – x
2 4
10.- 4x – 5x = -23 3
64
MODELO MATEMÁTICO DE UNA ECUACIÓN LINEAL
Encuentra tres números enteros consecutivos tales que, la suma del primero y
el triple del tercero sea igual al doble del segundo aumentado en 20 seg.
Solución:
La suma del primero y el triple del tercero = x + 3(x + 2)
El doble del segundo aumentado en 20 = 2(x + 1) + 20
Como ambas expresiones deben ser iguales = x + 3(x + 2) = 2(x + 1) + 20
x + 3(x + 2) = 2(x + 1) + 20 x + 3x + 6 = -6 + 2 + 20 x + 3x - 2x = - 6 + 2 + 20 2x = 16 x= 16 2Los números consecutivos son: 8, 9, 10
2.- Un comerciante compro una mercancía en $800 000. Al venderla, su utilidad fue
de 40% sobre una parte de aquella y de 30 % sobre el resto. EL monto de su utilidad
fue de $ 290 000. Determine la fracción de los $ 800 000 originales en los que gano
el 40%.
SOLUCIÓN:
Si x produce una utilidad del 40% se expresa como = 0.40x
Si la fracción $800 000 que ganó el 40% se llama x, y produce una
utilidad del 30% = 0.30(800 000 – x)
La suma de ambas utilidades será igual a los $290 000 = 0.4x +
0.3(800 000 – x) = 290 000
0.4x + 0.3(800 000 – x) = 290 000
Multiplicado por diez 4x + 3(800 000 – x) = 2 900 000
Multiplicando 4x + 2 400 000 – 3x = 2 900 000
65
Dejando los términos de x en 1er termino 4x – 3x = 2 900 000 – 2 400 000
Reduciendo x = 500 000
La fracción de los $800 00 en que se gana el 40% son $500 000.
EJERCICIOS:
1.- Encontrar tres números enteros consecutivos tales que el doble de la suma de los
dos primeros es igual al triple de la suma de los dos últimos.
2.- Encontrar tres números enteros impares consecutivos tales que la suma de los
dos primeros sea igual al triple del tercero menos 19.
3.- ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de solución del 20% de
concentración para reducirla a una de 2%?
4.- ¿Cuantos gramos de plata deben fundirse con 75 gramos de una aleación de
plata de 0.750 para obtener una aleación de 0.900?
5.- ¿Cuanto por ciento de agua debe evaporarse de una solución salina del 6% de
concentración para aumentar la concentración al 10%?
RESPUESTAS:
1.-2( (2x –1) + ( 2x + 1) ) = 3 ( (2x + 1 ) + (2x + 3) )
2.- (2x – 1) + ( 2x + 1) = 3 ( 2x + 3) – 19
3.- 0.02(1 + x) = 0.20
4.- x + 0.750 (75) = 0.900 (75 + x)
5.- 0.10(1 – x) = 0.6
66
ECUACIONES LINEALES (DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA)
1.- Ecuación 3X-6=9
Para resolver un ecuación se tiene que despejar X es decir dejarla sola para saber suvalor.
Se le suma +6 para poder quitarle –6.
3X – 6 + 6= 9+63X=15
Para quitar el 3, se multiplica por un 1/3
3x(1/3)=15 (1/3)
Se efectúa la operación.
3X/3=15/3= X=5
Comprobación de la ecuación.
3X-6=9 como X =5
Sustituimos a X por su valor(5).
3(5)-6=915-6=99=9 como existe una igualdad (9=9) el valor de X es el correcto.
2.- 5X - 14 + 3X = 4X+2
Se reducen los términos semejantes del primer miembro.
8X-14 = 4X + 2
Se le suma Mas 14 para poder quitarle –14
8X-14+14 =4X+2+14
8X = 4X+16
Para eliminar el 4X del segundo miembro, se le suma –4x.
8X-4X = 4X-4X+16
67
4X=16Para eliminar el 4, se multiplica por ¼.
4X(1/4)=16(1/4)
4X/4=16/4
X=4
Comprobación de la ecuación
5X-14 + 3X = 4X+12
Sustituimos a X por su valor (4).
5X-14+3X=4X+2
5(4)-14+3(4)=4(4)+2
20-14+12=16+2
18=18
Como existe una igualdad (18=18) el valor de X es el correcto.
68
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADOR.
1.- 52
425
3 +=+ xx
Se obtiene un m.c.m el cual en esta ocasión es 10, multiplicándose cadatermino.
520
402
105
3052
10)4(102
105
310
+=+
+=
+
xx
xx
Se realizan las divisiones indicadas.
44056 +=+ xxSe reducen términos semejantes en ambos miembros.
4411 =xPara quitar el 11, se multiplica por (1/11)
4111
44111
11
=
=
x
x
Comprobación de la ecuación.
52
425
3 +=+ xx como X=4
52
424
312
52
424
5)4(3
+=+
+=+
El m.c.m es 10, se multiplica cada termino por 10.
44444402024
520
40240
5120
=+=+
+=+
2.- Ecuación xxx 3
142
348 −=+
69
Se determina el m.c.m de los denominadores, que es el 3X multiplicándose por cada
término.
xx
xxx
xx
xxx
xxx
342
63
1224314
3)2(334
358
3
−=+
−=+
Se simplifican las fracciones para que desaparezcan los denominadores.
146424342
63
1224
342
63
125
24
−=+
−=+
−=+
x
x
xx
xxxx
Se reducen términos semejantes.
14628 −= x
Se suman +14 en ambos miembros.
xx
642141461428
=+−=+
Para quitar el 6, se multiplica por 1/6.
x
x
=
=
761
661
42
Propiedad reciproca
7=xComprobación de la ecuación
xxx 314
2348 −=+
como X=7
70
2114
2214
78
7*314
27*3
478
−=+
−=+
El m.c.m de los denominadores es 21, este se divide por cada denominador
multiplicando el cociente por cada numerador de cada termino.
2128
2128
2114
2142
214
2124
=
−=+
71
FUNCIONES LINEALES
Se tiene la expresión 3X+5.
El valor de esta expresión esta en función del valor o de los valores que le damos a
X.
)(53)(
53
xfx
xfyx
=+=+
Se le da a X los valores –5,0,5,10 y con base a ellos tendremos la tabulación
siguiente:
Y = 3x+5 Y =3(0)+5 Y =3(5)+5
Y = 3(-5)+5 Y =0+5 Y =15+5
Y = -15+5 Y =5 Y =20
Y =-10
Punto A B C D
x -5 0 5 10
3x + 5 =Y -10 5 20 35
Por lo que en una gráfica cartesiana, los puntos correspondientes a X y a Y quedaran
así:
72
ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.
La ecuación de primer grado con dos incógnitas determina un función.
( )( ) ( )( )
237372
13712372
723
xy
xy
xyxy
yx
+−=
+−=−−=−−
−=−=−
El valor de Y dependerá del valor de X
Y= f(X) por lo tanto f(X)=Y
27
23 −= x
y
Tabulación
X Y puntos
1 -2 A(1-2)
3 1 B(3,1)
5 4 C(5,4)
7 7 D(7,7)
9 10 E(9,10)
73
ECUACIONES LINEALES (Suma y resta)
2334663
=−=−
yxyx
Se igualan los coeficientes de Y, en la ecuación uno el coeficiente es 6 y en la
ecuación dos el coeficiente es 3, lo que quiere decir que debemos multiplicar la
ecuación (2) por 2.
4668663
=−−=+−
yx
yx
La ecuación uno se copio tal como estaba y en la ecuación dos se
multiplicaron + por todos los términos, como tienen el mismo signo todos los
términos de Y se le cambio el signo, a cualquiera de las dos ecuaciones, en este
caso se lo cambiamos a la ecuación uno por tener números mas pequeños y se
suman algebraicamente las dos ecuaciones.
4005
4668663
=−
=−−=+−
x
yx
yx
Se busco que la Y tuviera el mismo coeficiente y diferente signo para que al
efectuar la suma algebraica (reducción) nos quede una ecuación con una incógnita.
85
405
5405
=
=
=
x
x
x
ya tenemos el valor de X se sustituye este valor en la ecuación original, de
preferencia en la que se tenga los números mas pequeños, en este caso en la
ecuación uno.
Como x =8
74
18624662424
6624
66)8(3663
−=−−=−−
=−=−
=−
y
y
y
y
yx
Se multiplica por (-1)
36
186
6186
=
=
=
y
y
y
Valores
x =8 y y=3
Comprobación
6661824
6)3(6)8(3663
==−
=−=− yx
Ecuación dos
232323932
23)3(3)8(42334
==−
=−=− yx
75
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
5351353
=+=+
yx
yx
En la ecuación uno despejamos el valor de X.
351351331353
yx
yxyx
−=
−==+
En la ecuación dos se sustituye el valor de X formando así una sola ecuación con
una incógnita.
801665159256565
1592565
−=−−−=+−−
−=+−
yy
y
Multiplicando la ecuación por –1, para tener el termino con incógnita positiva.
51680
1616
)80)(1(16)1(
=
=
−−=−−
y
yy
Una vez encontrado el valor de Y lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones
para encontrar el valor de X, la sustituimos en la ecuación uno.
Y =5 tenemos
3X+ 5Y=13
3X+5(5)=13
3X+25=13
3X-25+25=13-25
3X=-12
3X/3=-12/3
X=-4
76
Solución de la ecuación
X = -4
Y = 5
Comprobación
X = -4
Y = 5
Ecuación uno
3X +5Y =13
3(-4)+5(5)=13
-12+25=13
13=13
Ecuación dos
5X + 3Y =-5
5(-4)+3(5)=-5
-20+15=-5
-5=-5
77
MÉTODO GRÁFICO
Objetivo: El alumno desarrollara su destreza para graficar un punto, una recta y
verificar el punto en común entre dos rectas, mediante la resolución de problemas
en el plano cartesiano.
RECTA : Es un segmento de línea que puede estar dividida en números enteros o
fraccionarios sean positivos o negativos.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3/2 -1 -1/2 0 ½ 1 3/2
PLANO CARTESIANO
Esta formado por el cruze de 2 rectas una horizontal llamada eje de la x o de
las absisas y una vetical llamada de la y o de las ordenadas, cortandose en un
punto llamado origen y formando angulos rectos (90o ) y 4 cuadrantes.
(-,+) II I (+,+) ORIGEN
(-,-)III IV (+,-)
78
¿Cómo se gráfica un punto en el plano cartesiano?
Para que un punto sea graficado se necesitan 2 coordenadas una de “x” y otra
de “y” ; se dice que “y” es función de “x” por que a cada valor de la variable “x”
corresponde solo uno de la variable “y”.
Los valores de “x” serán enunciados en el eje de las abscisas y los valores de
“y” en el eje las ordenadas; al Graficar se comienza por el eje “x”.
Conociendo las coordenadas de un punto lo podemos fijar o localizar en el
plano.
Ejemplo:
x y
-1 2
. 2
-1
(-1 , 2 )
79
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Una función (F(x)) lineal puede ser representada gráficamente dándole una
sucesión de valores a “x”, sustituyéndolo en la ecuación o la función para obtener
una serie de valores correspondientes de “y”; obteniendo una tabulación la cual es
una sucesión de parejas ordenadas.
Ejemplo:
Función (y = 2x )
Se le dan valores a “x”
X y
A -2
B 0
C 2
Se resuelve la ecuación con los valores de “x” para completar la tabulación
A (-2, -4) y = 2x
B ( 0, 0) y = 2 (-2)
C (2, -4) y = -4
NOTA:
a)Esto aplica para una o más incógnitas.
b)Toda función lineal se representa por una línea recta.
c) la recta que pasa por los puntos hace verdadera la ecuación.
Y = 2X
80
SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR MÉTODO GRÁFICO
Este sirve para representar dos funciones o ecuaciones en un plano y
conocer el punto que comparte entre ellas ( punto de intersección) y obtener el valor
de sus coordenadas “ x ” y “y”
Ejemplo:
3x = 2y x + y = 5
x y x y
-1 -1
0 0
1 1
3x = 2y x + y = 5
y = 3x/2 y = 5 – x
y = 3 (-1) / 2 y = 5 – (-1)
y = -3 / 2 y = 5 + 1
y = 6
(2,3)
x + y =5
3x = 2y
81
A ( -1 , -3/2 ) D(-1 , 6)
B ( 0 , 0 ) E (0 , 5)
C (1 , 3/2 ) F(1 , 4)
El punto 2, 3 es el único punto que tienen en común simultáneamente las dos
ecuaciones, por lo tanto este punto satisface las dos ecuaciones .
NOTA:
a) si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este satisfacen la
ecuación de la recta.
b) si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de una recta, dicho
punto pertenece ala recta.
Ejercicios:
a) x – y = 1 d) x – 2y =10
x + y = 7 3y = – 8 –2x
b) x – 2y = 6 e) x/2 – y/3 = –1/6
2x – 4y = 5 x/3 + y/4 = – 7/12
c) 3x = – 4y f) 5x – 3y = 0
5x – 6y = 38 7x – y = – 16
82
Respuestas:
a) x = 4 d) x = 2
y = 3 y = – 4
b) las líneas son paralelas, no e) x = –1
hay puntos de intersección y = –1
c) x = 4 f) x = – 3
y = – 3 y = – 5
83
MÉTODO DE IGUALACION
Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones. Las
expresiones así obtenidas se igualan para obtener una ecuación con una sola
variable. Se encuentra el valor de ésta y se substituye en una de las expresiones
despejadas de la otra variable para determinar su valor numérico.
Resolver el sistema:
)2.(..........1925)1(..........1347
=−=+
yx
yx
Despejemos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.
Despejando x en ( 1):
74134137y
x
yx
−=
−=
Despejamos x en (2):
52192195y
x
yx
−=
−=
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido, y
posteriormente se multiplican cruzados.
7)219()413(55
2197
413
yy
yy
−=−
−=−
84
Ahora tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
Resolviendo esta ecuación:
234
686834
651331420141332065
)219(7)413(5
−=−
=
=−−=−−
+=−+=−
y
y
y
yy
yy
yy
Sustituyendo este valor numérico de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por
ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla),se tiene:
3721217
81371387
13)2(47
=
=
=+=
=−=−+
x
x
x
xx
x
Resultados: x =3, y = -2
Ejercicios:
X + 6Y = 27 3x + 5y =7 9x +16y = 7
7X – 3Y = 9 2x – y = -4 4x – 3y = 3
3X –2Y = -2 7x –4y = 5 x + 3y = 6
5x + 8y = -60 9x +8y = 13 5x – 2y =13
85
MÉTODO DE DETERMINANTES
El símbolo a1 b1
a2 b2
Formado por los cuatro números a1, b1, a2, b2 ordenados en una matriz de dos
filas y dos columnas, representa un determinante de segundo orden. Los cuatro
números anteriores se denomina elementos de la matriz o de la determinante. Los
elementos a1, b1 constituyen la primera fila y los elementos a2, b2 constituyen la
segunda columna. Los elementos a1,y b2 constituyen la diagonal principal, los
elementos b1, y a2 constituyen la diagonal secundaria
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden
resolver empleando el concepto de determinante de segundo orden.
Resolver por determinantes la siguiente ecuación de segundo orden
5x + 3y = 5
4x + 7y = 27
1) Para poder resolver esta ecuación necesitamos que la ecuación esté
igualada a los términos independientes.
2) Se generan tres determinantes, el primero solo se forma por los
coeficientes de las variables x y y, tomando en cuenta sus signos, al cual
le llamaremos ∆.
∆ = 5 3
4 7
El segundo determinante le llamaremos ∆x, que estará formado por los
términos independientes en lugar de los coeficientes de x y los coeficientes de y.
86
∆x = 5 3
27 7
El tercer determinante le llamaremos ∆y, que estará formado los coeficientes
de x y los términos independientes en lugar de los coeficientes de y.
5 5
AY=
4 27
SOLUCIÓN DE LOS DETERMINATES:
Se multiplican los elementos de la diagonal principal menos el producto de loselementos de la diagonal secundaria.
∆ = 5 3 = (5) (7) – (3) (4) = 35 – 12 = 23
4 7
∆x = 5 3 = (5) (7) – (3) (27) = 35 – 81 = -46
27 7
∆y = 5 5 = (5) (27) – (5) (4) = 135 – 20 = 115
4 27
Por último se efectúa el cociente de ∆x /∆ para obtener el valor de x.
x= ∆x /∆ = -46 / 23 = -2
87
Por último se efectúa el cociente de ∆y /∆ para obtener el valor de y.
y= ∆y /∆ = 115 / 23 = 5
Ejercicios:
a n1) = ab - nm m b
a -n2) = ab – (- n)m = ab + nm. m b
3 23) = 3 x 4 – 2 x 5 = 12 – 10 = 2
5 4
3 -54) = 3 (-2) – (-5)1 = -6 + 5 = -1
1 -2
-2 -55) = (-2) (-9) – (-5) (-3) = 18 – 15 = 3
-3 -9
88
VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de
un determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus. Explicaremos esta
sencilla regla.
1) Resolver 1 -2 -3
-4 2 1 Por regla de Sarrus.
5 -1 3
Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y
tenemos:
Ahora trazamos 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha,
como se indica a continuación:
1 -2 -3-4 2 15 -1 31 -2 -3-4 2 1
1 -2 -3-4 2 15 -1 31 -2 -3-4 2 1
89
Ahora se multiplican entre sí los tres números por que pasa cada diagonal.
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a
derecha se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay
en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo opuesto. Así, en
este caso, tenemos:
6– 12 – 10 + 30 + 1 – 24 = - 9
Valor de la determinante dada.
De izquierda a derecha:
1 x 2 x 3 = 6 (-4) x (-1) x (-3) = -12 5 x (-2) x 1 = -10
De derecha a izquierda:
(-3) x 2 x 5 = -30 cambiándole el signo +30
1 x (-1) x 1 = -1 cambiándole el signo +1
3 x (-2) x (-4) = 24 cambiándole el signo –24
Ejercicios:
X + y + z = 42x – 3y + 5z = -53x + 4y + 7z = 10
90
X + y + Z = 122X –2Y +Z = 7X + 2Y – Z = 6
X – Y + Z =2X + Y + Z = 42X +2Y –Z = -4
2X +Y –3Z = -1X –3Y –2Z = -123X –2Y –Z = -5
2X +3Y +Z = 16X –2Y –Z = -143X + Y – Z = 1
91
FACTORIZACIÓN
Un factor es cada uno de dos o más elementos que se multiplican entre sí
para formar un producto.
Factorizar una expresión es representarla como un producto indicado de sus
factores.
TIPOS DE FACTORIZACIÓN
• FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN QUE TIENE UN FACTOR COMÚN
• FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO• FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS• FACTORIZAR UN TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO• FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUBOS
A) FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN QUE TIENE UN FACTOR COMUN
Para factorizar una expresión de este tipo, debemos recordar la propiedaddistributiva que dice: a ( b + c) =ab + ac.
5a + 5b + 5c = 5 (a + b + c)ax + ay + az = a (x + y + z)3bx + 3by + 3bz = 3b (x +y +z)
En los ejemplos anteriores se nota que en la primera expresión el factor
común es 5, en la segunda expresión, el factor común es “a” y en la tercera
expresión el factor común es 3b.
92
Ejemplo
Factorizar 5324 2081612 xxxx −+− en este caso notemos que todos los coeficientes
son múltiplos de 4, por lo tanto el 4 es de los factores comunes, además vemos que
todos los términos tienen la variable “x” con diferentes exponentes, y que el menor de
ellos es 2, por lo que podemos saber que x2 se encuentra presente en todos los
términos. De tal forma que podemos decir que el factor común es 4 x2 . Por lo tanto
)5243(42081612 2225324 xxxxxxxx −+−=−+−
Ejemplo II
En este ejemplo los coeficientes son múltiplos de 7; todos los términos tienen la
variable a y la del menor exponente es a3, mientras que todos los términos tienen la
variable b y la de menor exponente es b2, por lo tanto el factor común es 7 a3 b2.
entonces.
)325(7121435 42223654322 babababababa −+=−+
factorizar las siguientes expresiones
423 252015
352814352814
126344
666
nnm
bxbxaxbxbxax
cba
aranam
cba
++−+−+−
+−−+
+−
93
B) FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Cuando hablamos de factorizar un trinomio cuadrado perfecto, el resultado es un
trinomio cuadrado perfecto. Ahora vamos a factorizar un trinomio cuadrado perfecto
para obtener un binomio al cuadrado.
Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma 22 2 yxyx ++ .
Condiciones que debe reunir un trinomio cuadrado perfecto
o Esta formado por tres términos.
o Dos de sus tres términos son cuadráticos, es decir tienen raíz cuadrada
exacta
o El otro término, es igual al doble producto de las raíces
Ejemplo:
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se realiza lo siguiente.
♠ Se extrae la raíz cuadrada a los términos cuadráticos.
♠ Se separan estas raíces por el signo del segundo término.
♠ El binomio así formado se eleva al cuadrado.
222 )(2 yxyxyx +=++
ejemplo II
2222 )53()53(25309 yxyxyxyx +−=−=+−
resuelva los siguientes ejercicios:
94
12
6416
4914
2510
3612
2
2
2
2
2
+−
+−
+++−
++
yy
mm
bb
xx
aa
95
C) FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
La forma de una diferencia de cuadrados es: 22 yx − para factorizar esta
expresión debemos tomar en cuenta que los términos que la forman provienen de “ el
cuadrado de un término común menos el cuadrado del término simétrico”
Ejemplo:
))((22 yxyxyx −+=−
binomios conjugados
Ejemplo II:
)52)(52(254 22 yxyxyx −+=−
D) FACTORIZAR UN TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Según (Afonssi y Flores., 1998; Jonson y Steffensen, 1998; Baldor, 1998) un
trinomio general de segundo grado es de la forma 02 =++ cbxax en donde a, b y c
son constantes, y es un tipo de expresión que, si usted recuerda se forma a partir del
producto de dos binomios, ya sea con un término común o con términos semejantes,
en este tipo de trinomio debemos considerar que el valor de a, (coeficiente de x2)
pueda tener muchos posibles valores, lo que hace que el proceso para factorizarlo
pueda variar. Cualquier trinomio de segundo grado tiene la posibilidad de
factorizarse, lo que varia es, si sus factores son números enteros o si no lo son. Para
esto, antes de intentar factorizarlo, debe asegurarse que se pueda factorizar en el
conjunto de los enteros, lo cual se puede comprobar fácilmente utilizando la
96
expresión acb 42 − , que es llamado discriminante, y que sirve para determinar si el
trinomio es factorizable en los enteros.
Cabe señalar que:
• Si el discriminante es una valor cuadrático, el trinomio es factorizable
• Si el discriminante no es cuadrático, el trinomio no se puede factorizar, al
menos en el conjunto de los enteros.
Ejemplo:
Se desea comprobar si el trinomio 012102 2 =−+ xx , es factorizable. Los
coeficientes de cada término del trinomio son:
a = 2 b = 10 c = -12
entonces lo que procede es sustituir esos valores en el discriminante y efectuar las
operaciones indicadas.
196961004
)12)(2(4)10(42
22
=+=−−−=−
acb
acb
Entonces como el valor de acb 42 − es 196 y 196 es un número cuadrático,
entonces podemos decir que el trinomio es factorizable.
97
ASPECTOS CONSIDERADOS EN LA FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO
• Si el trinomio es de la forma 02 =++ cbxax y a = 1 entonces:
Factorizar : 02092 =++ xx
Sabemos que debemos formar un producto de binomios entonces tenemos que:
1.- El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, o
sea la raíz cuadrad a del primer término del trinomio.
2.- En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término
del trinomio.
3.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y
cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos
números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término
del segundo binomio.
Estos números son: 5 y 4 ya que multiplicados dan 20 y sumados dan 9, por lo tanto
la factorización es:
98
)5)(4(2092 ++=++ xxxx
Ejemplo II:
Factorizar: 02762 =−− yy , el primer término de cada binomio debe de ser y el
segundo término como ya mencionamos antes debe ser dos números que
multiplicados den 27 y que sumados o restados su resultado sea el valor del termino
lineal, entonces los números buscados son 9 y 3 porque multiplicados dan 27 y la
diferencia de 9 y 3 es 6 el resultado por lo tanto la factorización es:
)3)(9(2762 +−=−− yyyy .
• Si el trinomio es de la forma 02 =++ cbxax , y a ≠ 0 , en este caso el
proceso de factorización varia, ya que al formar binomios se presentan
alternativas. Veamos un ejemplo:
8103 2 −− xx , este trinomio se puede factorizar de varias formas, una de ellas es el
método del ensayo y el error. Para realizar esto se procede a buscar los factores de
el termino independiente de la siguiente forma:
Sabemos que el primer termino de los binomios son: (3x + )(x- ), ahora
procedemos a buscar los factores del termino independiente (-8)(1) = -8 (-
1)(8)=- 8 , (-4) (2)=-8, (-2)(4)= -8, posteriormente se procede a realizar el
método del ensayo y el error como un producto de binomios:
8538833)1)(83( 22 −−=−−+=+− xxxxxxx , si observamos al desarrollar el binomio
el término lineal no es 10x, por lo tanto no es esta la factorización procedemos con
los números siguientes:
99
810382123)4)(23( 22 −−=−+−=−+ xxxxxxx , entonces estos son los números para
factorizar la expresión, porque al desarrollar el binomio nos da exactamente la
ecuación a factorizar.
Factorice lo siguiente:
)32)(43(:012176
)32)(4(:012112
)3)(45(:04175
)6)(12(:06112
22
2224
22
2
yxyxrespyxyx
ttresptt
yxyxrespyxyx
xxrespxx
++=++++=++
++=++
+−=−+
E) FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS
33 ba + , representa una suma de cubos
33 ba − , representa una diferencia de cubos.
Ejemplo factorizar 33 ba + , primero obtenemos la raíz cúbica de a3 y b3, las cuales
son a y b, con estos términos formamos el binomio: (a + b), ahora obtenemos el
cuadrado al termino “a” el cual es a2, ahora obtenemos el inverso del producto del
primer y segundo término:
El producto es: (a)(b) =ab
El inverso del producto es: -ab
El cuadrado de b = b2.
Con estos términos formamos el trinomio: )( 22 baba +− , y al acomodarlos con el
binomio quedaría de la siguiente forma:
))(()( 2233 babababa +−+=+
100
Factorice las siguientes expresiones:
3
3
33
33
8
2
8
y
m
ba
yx
−−
−
+
101
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Objetivo: El alumno conocerá los diferentes métodos de solución de ecuaciones de
segundo grado, (completar el cuadrado perfecto, gráfico, factorización, formula
general), mediante la solución de problemas.
¿QUE ES FACTORIZACIÓN?
Un factor es cada uno de dos o más elementos que se multiplican entre sí
para formar un producto.
Factorizar una expresión es representarla como un producto indicado de sus
factores.
TIPOS DE FACTORIZACIÓN
• FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN QUE TIENE UN FACTOR COMÚN
• FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
• FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
• FACTORIZAR UN TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO
• FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUBOS
A) FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN QUE TIENE UN FACTOR COMÚN
Para factorizar una expresión de este tipo, debemos recordar la propiedaddistributiva que dice: a ( b + c) =ab + ac.
5a + 5b + 5c = 5 (a + b + c)ax + ay + az = a (x + y + z)3bx + 3by + 3bz = 3b (x +y +z)
En los ejemplos anteriores se nota que en la primera expresión el factor
común es 5, en la segunda expresión, el factor común es “a” y en la tercera
expresión el factor común es 3b.
102
Ejemplo
Factorizar 5324 2081612 xxxx −+− en este caso notemos que todos los
coeficientes son múltiplos de 4, por lo tanto el 4 es de los factores comunes, además
vemos que todos los términos tienen la variable “x” con diferentes exponentes, y que
el menor de ellos es 2, por lo que podemos saber que x2 se encuentra presente en
todos los términos. De tal forma que podemos decir que el factor común es 4 x2 . Por
lo tanto
)5243(42081612 2225324 xxxxxxxx −+−=−+−
Ejemplo II
En este ejemplo los coeficientes son múltiplos de 7; todos los términos tienen
la variable a y la del menor exponente es a3, mientras que todos los términos tienen
la variable b y la de menor exponente es b2, por lo tanto el factor común es 7 a3 b2.
entonces.
)325(7121435 42223654322 babababababa −+=−+
factorizar las siguientes expresiones
423 252015
352814352814
126344
666
nnm
bxbxaxbxbxax
cba
aranam
cba
++−+−+−
+−−+
+−
103
B) FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Cuando hablamos de factorizar un trinomio cuadrado perfecto, el resultado es
un trinomio cuadrado perfecto. Ahora vamos a factorizar un trinomio cuadrado
perfecto para obtener un binomio al cuadrado.
Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma 22 2 yxyx ++ .
Condiciones que debe reunir un trinomio cuadrado perfecto
o Esta formado por tres términos.
o Dos de sus tres términos son cuadráticos, es decir tienen raíz cuadrada
exacta
o El otro término, es igual al doble producto de las raíces
Ejemplo:
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se realiza lo siguiente.
♠ Se extrae la raíz cuadrada a los términos cuadráticos.
♠ Se separan estas raíces por el signo del segundo término.
♠ El binomio así formado se eleva al cuadrado.
222 )(2 yxyxyx +=++
Ejemplo II
2222 )53()53(25309 yxyxyxyx +−=−=+−
104
Resuelva los siguientes ejercicios:
12
6416
4914
2510
3612
2
2
2
2
2
+−
+−
+++−
++
yy
mm
bb
xx
aa
C) FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
La forma de una diferencia de cuadrados es: 22 yx − para factorizar esta
expresión debemos tomar en cuenta que los términos que la forman provienen de “ el
cuadrado de un término común menos el cuadrado del término simétrico”
Ejemplo:
))((22 yxyxyx −+=−
binomios conjugados
Ejemplo II:
)52)(52(254 22 yxyxyx −+=−
105
D) FACTORIZAR UN TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Según (Afonssi y Flores., 1998; Jonson y Steffensen, 1998; Baldor, 1998) un
trinomio general de segundo grado es de la forma 02 =++ cbxax en donde a, b y c
son constantes, y es un tipo de expresión que, si usted recuerda se forma a partir del
producto de dos binomios, ya sea con un término común o con términos semejantes,
en este tipo de trinomio debemos considerar que el valor de a, (coeficiente de x2)
pueda tener muchos posibles valores, lo que hace que el proceso para factorizarlo
pueda variar. Cualquier trinomio de segundo grado tiene la posibilidad de
factorizarse, lo que varia es, si sus factores son números enteros o si no lo son. Para
esto, antes de intentar factorizarlo, debe asegurarse que se pueda factorizar en el
conjunto de los enteros, lo cual se puede comprobar fácilmente utilizando la
expresión acb 42 − , que es llamado discriminante, y que sirve para determinar si el
trinomio es factorizable en los enteros.
Cabe señalar que:
• Si el discriminante es una valor cuadrático, el trinomio es factorizable
• Si el discriminante no es cuadrático, el trinomio no se puede factorizar, al
menos en el conjunto de los enteros.
Ejemplo:
Se desea comprobar si el trinomio 012102 2 =−+ xx , es factorizable. Los
coeficientes de cada término del trinomio son:
a = 2 b = 10 c = -12
entonces lo que procede es sustituir esos valores en el discriminante y efectuar las
operaciones indicadas.
106
196961004
)12)(2(4)10(42
22
=+=−−−=−
acb
acb
Entonces como el valor de acb 42 − es 196 y 196 es un número cuadrático,
entonces podemos decir que el trinomio es factorizable.
Aspectos considerados en la factorización de un trinomio
• Si el trinomio es de la forma 02 =++ cbxax y a = 1 entonces:
Factorizar : 02092 =++ xx
Sabemos que debemos formar un producto de binomios entonces tenemos que:
1.- El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, o
sea la raíz cuadrad a del primer término del trinomio.
2.- En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término
del trinomio.
3.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y
cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos
107
números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término
del segundo binomio.
Estos números son: 5 y 4 ya que multiplicados dan 20 y sumados dan 9, por lo
tanto la factorización es:
)5)(4(2092 ++=++ xxxx
Ejemplo II:
Factorizar: 02762 =−− yy , el primer término de cada binomio debe de ser y el
segundo término como ya mencionamos antes debe ser dos números que
multiplicados den 27 y que sumados o restados su resultado sea el valor del termino
lineal, entonces los números buscados son 9 y 3 porque multiplicados dan 27 y la
diferencia de 9 y 3 es 6 el resultado por lo tanto la factorización es:
)3)(9(2762 +−=−− yyyy .
• Si el trinomio es de la forma 02 =++ cbxax , y a ≠ 0 , en este caso el
proceso de factorización varia, ya que al formar binomios se presentan
alternativas. Veamos un ejemplo:
8103 2 −− xx , este trinomio se puede factorizar de varias formas, una de ellas es el
método del ensayo y el error. Para realizar esto se procede a buscar los factores de
el termino independiente de la siguiente forma:
Sabemos que el primer termino de los binomios son: (3x + )(x- ), ahora
procedemos a buscar los factores del termino independiente (-8)(1) = -8 (-
1)(8)=- 8 , (-4) (2)=-8, (-2)(4)= -8, posteriormente se procede a realizar el
método del ensayo y el error como un producto de binomios:
108
8538833)1)(83( 22 −−=−−+=+− xxxxxxx , si observamos al desarrollar el binomio
el término lineal no es 10x, por lo tanto no es esta la factorización procedemos con
los números siguientes:
810382123)4)(23( 22 −−=−+−=−+ xxxxxxx , entonces estos son los números para
factorizar la expresión, porque al desarrollar el binomio nos da exactamente la
ecuación a factorizar.
Factorice lo siguiente:
)32)(43(:012176
)32)(4(:012112
)3)(45(:04175
)6)(12(:06112
22
2224
22
2
yxyxrespyxyx
ttresptt
yxyxrespyxyx
xxrespxx
++=++
++=++++=++
+−=−+
E) FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS
33 ba + , representa una suma de cubos
33 ba − , representa una diferencia de cubos.
Ejemplo factorizar 33 ba + , primero obtenemos la raíz cúbica de a3 y b3, las cuales
son a y b, con estos términos formamos el binomio: (a + b), ahora obtenemos el
cuadrado al termino “a” el cual es a2, ahora obtenemos el inverso del producto del
primer y segundo término:
El producto es: (a)(b) =ab
El inverso del producto es: -ab
El cuadrado de b = b2.
109
Con estos términos formamos el trinomio: )( 22 baba +− , y al acomodarlos con el
binomio quedaría de la siguiente forma:
))(()( 2233 babababa +−+=+
Factorice las siguientes expresiones:
3
3
33
33
8
2
8
y
m
ba
yx
−−
−
+
110
ECUACIONES CUADRÁTICAS
DEFINICIÓN: Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o
cuadrática, cuando, después de reducida a su más simple expresión, el más alto
grado de la incógnita es 2 (Afonssi y Flores., 1998; Jonson y Steffensen, 1998;
Baldor, 1998)
Modelo matemático de las ecuaciones de segundo grado.
02 =++ cbxax donde:
2ax = Termino cuadrático
bx = Término lineal
c = Término independiente
a, b, c = coeficientes
de esta forma los coeficientes de la siguiente ecuación son:
086120 2 =+− xx
a = 20
b = -61
c = 8
Características de las ecuaciones de segundo grado: al desarrollar una ecuación
de segundo grado nos podemos encontrar con que puede ser completa o incompleta.
Cuando es completa es un trinomio cuadrado, es decir tiene un termino cuadrático
( 2ax ), un termino lineal (bx) y un termino independiente (c ). Cuando es incompleta
se pueden presentar dos casos Afonssi y Flores., 1998; Jonson y Steffensen, 1998;
Baldor, 1998) estos son:
111
• Cuando carece solamente del termino independiente, entonces la ecuación es
02 =+ bxax
• Cuando carece del termino lineal 02 =+ cax
Ecuaciones cuadráticas puras y mixtas. Las ecuaciones de la forma 02 =+ cax ,
se llaman cuadráticas puras; y las de la forma 02 =++ cbxax y 02 =+ bxax ,
cuadráticas mixtas (Afonssi y Flores., 1998; Jonson y Steffensen, 1998; Baldor,
1998).
MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
• Completar el cuadrado
• Grafico
• factorización
• Formula general
1.- Método de completar el cuadrado.
Pasos necesarios para la solución.
a) Despeja el termino independiente
b) Se divide ambos miembros de la ecuación por el coeficiente del termino
cuadrático
c) Se agrega el cuadrado de la mitad del termino lineal a ambos miembros de la
ecuación
d) Se factoriza el primer miembro
e) Se le extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación
f) Se resuelve la ecuación para x1 y x2
112
Sea la ecuación 02234 2 =−+ xx encontrar sus raíces
comprobación con una de las raíces
0002222
0226160226)4(4
022)2(3)2(4 2
==−
=−+=−+
=−+
Resolver, completando el trinomio cuadrado perfecto:
183
0127
01110
056
0214
2
2
2
2
2
=−
=+−
=−+=++
=−+
xx
xx
x
yy
xx
113
2.- Método de factorización
Pasos para la solución
a) Se factoriza el trinomio del primer miembro de la ecuación
b) Se iguala a cero cada uno de los factores
c) Se despeja cada uno de los factores
Resolver :
( )( )( )
( )
3
8)03
08)038)
0245
2
1
2
=−==−
=+=−+
=−+
x
xc
x
xb
xxa
xx
Comprobación con una de las raíces
0002424
024159024)3(5)3( 2
==−
=−+=−+
Resolver por descomposición en factores:
2
2
2
2
2
30157
0472
658
187
06
xx
xx
xx
xx
xx
−=
=−+
−=−=+
=−−
114
3.- Método gráfico
Sea la ecuación 0342 =+− xx resolverla por el método gráfico.
X -1 0 1 2 3 4 50342 =+−= xxy 8 3 0 -1 0 3 8
Puntos A B C D E F G
Entonces de acuerdo a la figura los valores de x que satisfacen a la ecuación son:
11 =x y 32 =x , llamadas raíces que son los valores de raíces de las abscisas cuando
la ordenada es igual a cero.
NOTA: La curva que representa un trinomio de segundo grado se le llama parábola
A G
B
CD
E
F
115
4.- Ecuación general
aacbb
x2
42 −±−=
Aplicación de la fórmula general:
Resolver 02092 =+− xx
Para esta ecuación los coeficientes son: a = 1, b = -9 y c = 20
Sustituyendo en la fórmula general las literales por sus valores:
428
219
52
102
192
191*2
20*1*499
2
1
2
==−=
==+=
∴±=−±=
x
x
x
Comprobación con la raíz de x1.
0002020
02045250205*952
==−
=+−=+−
116
Resolver las siguientes ecuaciones, aplicando la fórmula general de resolución:
xxx
xx
xx
yy
xx
1040510
015025
2110
0152
0158
2
2
2
2
2
+−=−
=+−
−==−−
=+−
117
RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS DE LA FORMA
02 =+ bxax .
Sea la ecuación 042 =− xx
Póngase x en factor común: x(x-4)=0
Para que un producto se anule, es necesario y basta que se anule uno de los
factores.
Si x = 0, 0 es una solución;
Si x- 4 = 0, x =4 es otra solución.
Por lo tanto la solución es.
4
0
2
1
==
x
x
comprobación.
00000
00*402
==−
=−
Ejemplo II
53
35
00)35(
035
35
2
1
2
2
−=+=
==+
=+−=
xx
x
xx
dofactorizan
xx
xx
118
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas
08
016
05
2
2
2
=−
=−
=−
xx
xx
xx
119
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA 02 =+ cax
Si en la ecuación 02 =+ cax , pasamos al segundo miembro a “c” se tiene.
cax −=2 por lo tanto ac
x =2 entonces finalmente resulta ac
x −= .
Si “a” y “c” tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada
de una cantidad negativa; si tiene signo distinto, las raíces son reales.
Ejemplo I
39
71
22 +=+ x
x
suprimiendo denominadores
27799 22 +=+ xx
Trasponiendo términos
3
39
92
18182
92779
2
1
2
2
2
22
−==
±=
=
=
=
−=−
x
x
x
x
x
x
xx
120
Resuelva los siguientes ejercicios:
7)5)(5(07
4695
483
22
2
2
−=−+=−
=−=
xx
ax
x
x
121
ECUACIONES LITERALES DE SEGUNDO GRADO
EJEMPLO I
123 =−ax
xa
Quitando denominadores
032
2322
22
=−+
=−
aaxx
axxa
Resolvemos por la fórmula general
A = 2 b = a c =-3a2
122
aaaa
x
aaaa
x
aaaaaaax
aaax
23
46
45
44
45
45
425
424
)2(2)3)(2(4
2
1
222
22
−=−=−−=
==+−=
±−=±−=+±−=
−−±−=
123
ÁNGULOS
Objetivo:
Identificar y resolver en la vida diaria los diferentes problemas con ayuda de
las diferentes formulas y leyes matemáticas.
Ángulo: es la cobertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto
llamado vértice.
Notación: los ángulos pueden distinguirse de tres diferentes maneras de acuerdo con
cada situación particular .
Primera: de los lados de un ángulo se coloca una letra minúscula, un número una
letra del alfabeto griego; el arco indica el ángulo a que se refiere.
Un ángulo se expresa anteponiendo a la letra el símbolo ∠ que significa ángulo, de
esta manera tenemos que ∠ a, ∠α .
Segunda : se coloca una letra mayúscula en el vértice del ángulo los ángulos quedan
expresados como ∠ A, ∠ B, ∠C, respectivamente.
Tercera : Los puntos que conforman un ángulo se indican por medio de tres letras
mayúsculas
Para expresar el ángulo remarcado se coloca en medio de las tres letras la que
corresponde al vértice del ángulo, así queda de la siguiente manera
∠ AOB o ∠ BOA.
124
Clasificación de los ángulos
Cuando situamos un ángulo en el plano de coordenadas rectangulares plano
cartesiano), uno de cuyos lados llamado inicial coincide con el eje de las abscisas(eje
X) en su parte positiva y con el vértice en el origen, el lado terminal es el que resulta
de la rotación que parte del lado inicial, indicada por una flecha curva que indica la
rotación
Signo de los ángulos
Cuando el lado terminal rota en dirección contraria a las manecillas del reloj, la
medida del ángulo es positiva y viceversa.
Formas para referirse a los ángulos
Cuando los ángulos se encuentran en posición normal y su lado terminal coincide en
estar en el mismo lugar. Ejemplo: un ángulo de 45° y el de 405°.
Ángulos cóncavos y convexos:
Un ángulo divide un plano en dos regiones a y b
El ángulo que limita a la región a se llama ángulo convexo, y el de la región b
ángulo cóncavo. El ángulo cóncavo mide mas de 180° y menos de 360°, el convexo
menos de 180° y más de 0°.
Ángulo de elevación:
Si vemos hacia el horizonte y elevamos la mirada para observar un avión,
hacemos un giro que genera un ángulo de elevación.
Se origina el la horizontal, en dirección positiva hacia un punto dado.
125
Ángulo de depresión: si observamos el horizonte desde un acantilado, y
bajamos la vista a una lancha que navega cerca del mismo. Hacemos un giro que
genera un ángulo de depresión, es generado en dirección de la horizontal, en
dirección negativa a un punto dado.
De acuerdo a la magnitud de sus medidas
Ángulo recto: es aquel que mide mas de 90°
Ángulo obtuso: es el que mide mas de 90° y menos de 180°
Ángulo llano: también llamado colineal y mide 180°
Ángulo entrante: es el que mide mas de 180° y menos de 360°
Ángulo perigonal: es el ángulo que mide de 360° es decir una rotación completa
Ángulo consecutivo: son los que tienen el mismo vértice y un lado en común
Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos, cuyos lados no comunes
forman
un ángulo llano.
Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma es un ángulo recto ángulos
Ángulos suplementarios: son dos ángulos que al sumarse dan como resultado un
ángulo llano.
Ángulos conjugados: son dos ángulos que al sumarse, tienen como total un ángulo
perigonal.
126
Ángulos opuestos por el vértice: son los dos ángulos que comparten el vértice y
los lados de uno son extensión de los lados de otro
Ángulos formados por dos paralelas y una transversal
Al trazar dos paralelas y una secante obtenemos 8 ángulos:
Los ángulos 3,4,5,6, se llaman internos por estar dentro de las paralelas
Los ángulos 1,2,7,8 se llaman externos por estar fuera de las paralelas
Los ángulos 1,3,5,8 son colaterales por estar del mismo lado de la secante, así como
los ángulos 2,4,6,7 y 5,3,8
Los ángulos correspondientes, pues al superponerlos, los lados coinciden uno con
otro, así como el vértice.
En la figura los pares de ángulos 1 y 8, 2 y 7 se llaman colaterales externos, por
estar fuera de las paralelas y del mismo lado de la secante tanto los colaterales
internos como externos son ángulos suplementarios.
127
TRIÁNGULOS
Objetivo: El conocerá los diferentes tipos de triángulos y sus elementos, para la
solución de problemas.
El triángulo es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a
dos. También se define como polígono o figura geométrica formada por tres lados
que forman a su vez, entre si tres ángulos.
Los vértices del ángulo son los puntos de intersección A, B, C. y los lados del
triángulo son AB, BC, AC. Usualmente designados por una letra minúscula e igual
a la del vértice opuesto. Así tenemos:
AB se denomina como c
BC se denomina como a
AC se denomina como b
La notación más común de nombrar a los triángulos se da al colocar las literales de
los vértices enseguida del símbolo. De acuerdo con esto la notación será •ABC.
Por otra parte, los ángulos interiores se designan con las letras de los vértices o con
las literales minúsculas de los mismos:
∠A, ∠B, ∠c, o ∠a, ∠b, ∠c
por lo tanto un triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos.
Clasificación de los triángulos por las medidas de sus lados
Los triángulos que tienen sus tres lados iguales se les llama Equiláteros
128
Los triángulos que tienen dos lados iguales y uno desigual se le llama isósceles
A aquellos triángulos que tienen sus tres lados desiguales se llaman escálenos
Por la medida de sus ángulos
Acutángulos : son aquellos cuyos ángulos interiores son agudos
Rectángulos: son los triángulos con un ángulo recto
Obtusángulos :son los que tienen un ángulo obtuso
Los triángulos Acutángulos y obtusángulos también reciben el nombre de
triángulos oblicuángulos, por que ninguno de sus ángulos interiores forma un ángulo
recto.
Puntos y rectas notables en el triángulo
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirecta interior que lo divide en dos partes
iguales.
Las bisectrices se cortan en un punto interior del triángulo, que es el centro del
mismo y desde el cual podemos trazar una circunferencia inscrita, cuyo radio será la
perpendicular trazada de los lados del triángulo, a este punto se le llama incentro,
que en todo triángulo se encuentra en el interior.
Mediatriz
La perpendicular que corta el punto medio de un segmento. Si trazamos las
mediatices de los lados de un triángulo observamos que:
La intersección de las mediatices se encuentra ala misma distancia de los
vértices de un triángulo, por lo que si la tomamos como radio podemos trazar una
circunferencia circunscrita al triángulo. Al punto de intersección de las mediatices de
los lados de un triángulo se le llama, circuncentro, el cual en un triángulo acutángulo
se encuentra en el interior y en un rectángulo o obtusángulo se encuentra el exterior.
129
Altura de un triángulo.
Se llama así al segmento de recta trazado desde un vértice perpendicularmente al
lado opuesto.
Mediana
Es el segmento trazado de un vértice al punto medio del lado opuesto.
El punto de intersección de las medianas se llama baricentro, gravicentro o
centro de gravedad, en todo triángulo es un punto interior
Congruencia:
Dos triángulos son congruentes cuando los ángulos y los lados de uno son
respectivamente iguales a los ángulos y lados de otro. El símbolo de congruencia es
≅.
Semejanza: dos triángulos son semejantes cuando tienen respectivamente, ángulos
iguales, uno a uno y sus lados son proporcionales. el símbolo de semejanza es ˜.
130
EJERCICIOS
I Subraya la respuesta correcta
1. Este tipo de ángulo mide menos de 90°
a) Agudo b) Recto c) Obtuso d) Llano
2. También se llama ángulo de lados colineales; y vale 180°
a) Agudo b) Perígono c) Obtuso d) Llano
3. Es el que se origina en un plano por la rotación completa de una recta alrededor
de un punto dado; y su valor es de 360°
a) Agudo b) Perígono c) Obtuso d) Llano
4. La siguiente figura corresponde a un ángulo…………….
á
a) Agudo b) Perígono c) Obtuso d) Recto
5. La siguiente figura corresponde a un ángulo…….
á
131
a) Agudo b) LLano c) Obtuso d) Recto
6. Son dos ángulos, y cada uno es el complemento del otro cuando su suma es
un ángulo recto:
a) Complementarios b) Convexos c) Cóncavos d) complementarios
7. Son dos ángulos que sumados son dos ángulos rectos:
a) Complementarios b) Convexos c) Cóncavos d) complementarios
8. El complemento de un ángulo de 60°, es un ángulo de………….
a) 90° b) 120° c) 30° d) 90°
9. El suplemento de un ángulo de 120°, es un ángulo de…………………
a) 60° b) 240° c) 30° d) 120°
10. Son los ángulos formados por dos rectas paralelas y cortadas por una
transversal; internos no adyacentes, situados en distinto lado de la trasversal.
a) Internos externos
b) Alternos externos
c) Alternos internos
d) Colaterales
11. Son los ángulos formados por dos rectas paralelas y cortadas por una
transversal; externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante:
a) Internos externos
b) Alternos externos
c) Alternos internos
d) Colaterales
12. Los ángulos alternos internos son…..
a) Iguales b) Diferentes c) Parecidos d) Contrarios
132
I.- Realiza los siguientes ejercicios:
1. Determina los complementos de los siguientes ángulos:
a) 23°
b) 19°
c) 45°
d) 37°
e) 89°
2. Determina los suplementos de los siguientes ángulos:
a) 88°
b) 90°
c) 55°
d) 120°
e) 150°
3. En la siguiente figura, el ángulo 7 mide 32°, obtener los valores de loa ángulos
1,2,3,4,5,6 y 8.
1 2
3 4
5 6
7 8
Ángulo 1 ___________
Ángulo 2 ___________
133
Ángulo 3 ___________
Ángulo 4 ___________
Ángulo 5 ___________
Ángulo 6 ___________
Ángulo 8 ___________
4. Expresar en grados cada uno de los siguientes ángulos.
a) π / 3 rad
b) 2 / 5 rad
c) 4 / 3 rad
d) π / 4 rad
134
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
• Anonssi y M. A. Flores Meyer,. Álgebra. Editorial Progreso. México D. F.
1988. Pp 93-101, 259-277.
• Baldor.. Álgebra. Editorial Publicaciones Cultural. México 1998. Pp 446-459.
• Cultural. Matemáticas. Editorial Cultural. Madrid España 1998. Pp 100-108.
• Garza Chapa E., E. B. Gretel, G. R. Leticia, G. C. Carmen, Á. H. Humberto.
Habilidades Numéricas. Editorial Trillas. México D.F 1996. Pp. 131-146.
• G. Z. Dennis, M. D. M. Jacqueline. Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc.
Graw Hill. Bogotá D. C. , Colombia. Pp 44-49, 77-86.
• L. M. Jonson y R. S. Arnold, (1998). Álgebra y Trigonometría Con
Aplicaciones. Editorial Trillas. México, D.F.. Pp 158-164.
• Ortiz Campos Francisco Jose. Matematicas I, Algebra. Publicaciones Cultural.
México 2003.
