República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Defensa.

Universidad Nacional Experimental Politécnica De la Fuerza Armada Nacional.

Núcleo Anzoátegui San Tomé.

Transformaciones Lineales.

Profesora: Bachilleres:

Lesmari Lara. Verónica Aguilera C.I:21513041

Adrián Guzmán C.I:23005289

Nairym Jaramillo C.I:25059972

Franklin Mendoza C.I:19939793

Yosneidy Guzmán C.I:25436987

Verónica Mejías C.I:24708328

D-01 Ing. De Petróleo.

Índice.

Págs.

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. 3

Transformaciones Lineales. . . . .. . . . . .. . . . .. . .. . . .. .. .. . . .. . . . . . .. 4

Definición. . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . … . . .. . .. . . . … .. . . . 4

Propiedades. . . . . . . . . . . … . .. . . . .. . . .. .. .. .. . . . .. . .. . .. . . .. . .. 4

Imagen y núcleo de una transformación lineal. . .. . . .. . .. . . . . . . . … .. 5

Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a una base dada. .5

Isomorfismo entre espacios vectoriales. . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . .. .. . . . . . . . 6

Cambio de base y matriz asociada. . . . . .. . . .. . . .. . . … . .. . . .. .. . . . .. . 7

Conclusión. . . .. . . .. . … . .. .. .. . .. .. . . .. . .. .. .. .. . . .. . … . . .. . .. .. . .. . . .. .. 9

Bibliografía. . . . . . .. . . . . . .. . . … . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . .. . . . .. . … . .. . . .. ..10

Transformaciones Lineales.

Definición.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K y T, y  una función de V  en W.T es una transformación lineal si para todo par de vectores U y V pertenecientes a V y para todo escalar K perteneciente a K, se satisface que:1- T (u+v)=t (u) + (v)2-T (ku)=kT (u) donde k es un escalar.

Propiedades de las transformaciones lineales.

Las propiedades de las transformaciones lineales son:

Sea 1)  

2)  

3)  

Para toda transformación lineal T: V  W, T (-x) = -T (x)

Para toda transformación lineal T: V  W, T (0) = 0 (El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W)

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de

W. Entonces existe una única transformación lineal T: V  W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)

Imagen y núcleo de una transformación lineal.

Sean   y   espacios vectoriales sobre   (donde   representa el cuerpo) se satisface que:

Si   es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de   de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

 Dado que    (para probar esto, observar que

).

Dados 

Dados 

Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a una base dada.

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sean T: V→W una transformación lineal, B= {v1,..., vn} una base de V, C= {w1,..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T (vi) para cada i=1,..., n y escribirlo como combinación lineal de la base C:

T (v1) =a11w1+ ...+am1 wm, T (vn) =a1nw1+ ...+amn wm.

La matriz asociada se nota C [T] B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única.

Cambio de base y matriz asociada.

Representacio´n matricial de una transformaci´on lineal

Sean V, W espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre un mismo cuerpo K, T :V → W una transformaci´on lineal, A = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V y B ={w1, w2,. . ., wm} una base de W.

Los vectores T (v1 ) , T (v2 ) , . . . , T (vn ) est´an en W y

por lo tanto, cada uno de ellos se puede expresar como una combinaci´on lineal de los vectores de la base B :

T (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + . . . + am1 wmT (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + . . . + am2 wm

. .T (vn ) = a1n w1 + a2n w2 + . . . + amn wm .

Se llama representacio´n matricial de T en las bases A y B o matriz asociada a T en las bases A y B, a la matriz que

representaremos por B (T )A y cuya i-´esima columna son

las coordenadas del vector T (vi ) en la base B.

Isomorfismo entre espacios vectoriales

 

Sea     una transformación lineal.

           -Decimos que  T  es un monomorfismo, si T es inyectiva. -Decimos que  T  es un epimorfismo, si T es suprayectiva. -Decimos que  T  es un isomorfismo, si T es biyectiva.

  Así, un isomorfismo no es sino una transformación lineal que es invertible, y por lo tanto, es una “identificación entre dos espacios vectoriales”.  Sean V y  W  dos espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Decimos que V  es isomorfo a  W  si existe un isomorfismo   

Cuando dos espacios vectoriales son isomorfos, escribimos   En palabras, dos espacios vectoriales son isomorfos, si son indistinguibles como tales. Es importante entonces, preguntarse cuándo dos espacios vectoriales son isomorfos, porque a lo mejor a simple vista lucen diferentes, pero en realidad son la misma cosa.  

Bibliografía.

http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html

http://matematicas.uniandes.edu.co/t-maticas/archivos/LinealJD.

http://estudiofacultad.hostoi.com/teoricogal/gal1/capitulo7.

http://clubensayos.com/Temas-Variados/transformaciones-lineales/331605.html

Introducción.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Conclusión.

Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales. Ellas preservan (mantienen las estructuras que caracterizan a esos espacios), los transformados de combinaciones lineales de vectores son las correspondientes combinaciones de los transformados de cada uno de los vectores.

Las funciones que mantienen las estructuras características de los espacios entre los que actúan son de especial importancia porque permiten moverse entre ellos comparando las estructuras que los definen en particular, permiten analizar cuan diferentes o semejantes son desde el punto de vista de esas propiedades. Las transformaciones lineales son tan importantes en el estudio de los espacios vectoriales, como las isometrías o movimientos lo son en la geometría métrica.

Índice

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. 3

Transformaciones Lineales. . . . .. . . . . .. . . . .. . .. . . .. .. .. . . .. . . . . . .. 4

Definición. . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . … . . .. . .. . . . … .. . . . 4

Propiedades. . . . . . . . . . . … . .. . . . .. . . .. .. .. .. . . . .. . .. . .. . . .. . .. 4

Imagen y núcleo de una transformación lineal. . .. . . .. . .. . . . . . . . … .. 5

Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a una base dada. .5

Cambio de base y matriz asociada. . . . . .. . . .. . . .. . . … . .. . . .. .. . . . .. . 6

Isomorfismo entre espacios vectoriales. . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . .. .. . . . . . . . 7

Conclusión. . . .. . . .. . … . .. .. .. . .. .. . . .. . .. .. .. .. . . .. . … . . .. . .. .. . .. . . .. .. 9

Bibliografía. . . . . . .. . . . . . .. . . … . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . .. . . . .. . … . .. . . .. ..10