Trabajo de Algebra Determinantes 1
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7/23/2019 Trabajo de Algebra Determinantes 1
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Universidad de Cuenca
Trabajo de lgebraLineal
Nombre: Andrea Moncayo
Ciclo: 2do
ciclo 2Profesor: Ing. HernnPesantez
eterminantes 1
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7/23/2019 Trabajo de Algebra Determinantes 1
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Contenido:
!" Introd#cci$n bibliogrfica2" efinici$n de la f#nci$n determinante%" Pro&iedades de los determinantes'" Clc#lo de determinantes &or &ro&iedades(" )$rm#las &ara desarrollar determinantes*" M#lti&licaci$n de determinantes
+" eterminantes de orden n,simo-" eterminante de la matriz inersa de #na matriz nosing#lar
/" eterminante de la matriz transesta!0" A&licaciones de los determinantes: 1btenci$n de la
inersa de #na matriz!!" A&licaciones de los determinantes: egla de Cramer
!2" A&licaciones de los determinantes: obtenci$n de reas3ol4menes y ec#aciones de rectas y &lanos.
!%" 5ibliograf6a
1. Introduccin bibliogrfica
7os determinantes f#eron introd#cidos en 1ccidente a &artir del siglo89I3 esto es3 antes #e las matrices3 #e no a&arecieron ;asta el siglo
8I8. Coniene recordar #e los c;inos
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n#ee ca&6t#los del arte matemtico." f#eron los &rimeros en #tilizarla tabla de ceros y en a&licar #n algoritmo#e3 desde el =iglo 8I83 seconoce con el nombre de >liminaci$n de ?a#ss,@ordan.
La historia de los determinantes
7os determinantes ;icieron s# a&arici$n en las matemticas ms de #nsiglo antes #e las matrices. >l trmino matriz f#e creado &or @ames@ose&; =ylester3 tratando de dar a entender #e era la madre delos determinantes.
Alg#nos de los ms grandes matemticos de los siglos 89III y 8I8contrib#yeron al desarrollo de las &ro&iedades de los determinantes.
7a mayor6a de los ;istoriadores coinciden en afirmar #e la teor6a delos determinantes se origin$ con el matemtico alemn ?ottfriedBil;elm 7eibnizn !-'0 Ca#c;y;izo m#c;as otras contrib#ciones a las matemticas. >n s# teto declc#lo de !-2/ 7eJons s#r le calc#l diffrential3 dio la &rimeradefinici$n razonablemente clara de l6mite.
Ca#c;y escribi$ am&liamente tanto en las matemticas ras como en
las a&licadas. =olo >#ler escribi$ ms. Ca#c;y ;izo contrib#ciones enarias reas3 incl#yendo la teor6a de las f#nciones reales y com&leDas3la teor6a de la &robabilidad3 geometr6a3 teor6a de &ro&agaci$n de lasondas y las series infinitas.
A Ca#c;y se le reconoce el ;aber establecido n#eos nieles de rigoren las blicaciones matemticas. ess de Ca#c;y3 f#e m#c;o msdif6cil blicar escritos basndose en la int#ici$nK se eigi$ #naestricta ad;esi$n a las demostraciones rig#rosas.
3
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton -
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>l ol#men de las blicaciones de Ca#c;y f#e abr#mador. C#ando laAcademis )rancesa de Ciencias comenz$ a blicar s# reista Com&tesend#s en !-%(3 Ca#c;y eni$ s# obra &ara #e se blicara3 en &ocotiem&o los gastos de im&resi$n se ;icieron tan grandes3 solo &or laobra de Ca#c;y3 #e la academia imso #n l6mite de c#atro c#artillas&or cada doc#mento a ser blicado.
Hay alg#nos otros matemticos #e merecen ser mencionados a#6. >ldesarrollo de #n determinante &or cofactores f#e em&leado &or&rimera ez &or el matemtico francs Pierre de 7a&lace
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A la m#erte de =of6a Carlota n colaboraci$n cons# amigo A. Cayley3 estableci$ la teor6a de las inariantes algebraicasy la de los determinantes. esc#bri$ #n mtodo &ara eliminar #nainc$gnita entre dos ec#aciones y cre$ #n im&ortante ocab#lario
matemtico.Isaac #e$ton
)#e #n f6sico3 fil$sofo3 te$logo3 inentor3 al#imista y matemticoingls3 a#tor de los P;iloso&;iae nat#ralis &rinci&ia mat;ematica3 msconocidos como los Princi&ia3 donde describi$ la ley de graitaci$n#niersaly estableci$ las bases de la mecnica clsicamediante lasleyes#e llean s# nombre. Neton com&arte con 7eibnizel crdito
&or el desarrollo del clc#lo integral y diferencial3 #e #tiliz$ &araform#lar s#s leyes de la f6sica. ambin contrib#y$ en otras reas dela matemtica3 desarrollando el teorema del binomioy las f$rm#las deNeton,Cotes.
%ierre &arrus
Matemtico francs. Profesor en la Lniersidad de >strasb#rgo3demostr$ el lema f#ndamental del clc#lo de ariaciones y blic$n#merosas obras sobre la resol#ci$n de ec#aciones de ariasinc$gnitas. =e le debe la regla de =arr#s3 &ara el clc#lo dedeterminantes. estaca s# obra Mtodo &ara ;allar las condiciones deintegrabilidad de #na ec#aci$n diferencial
abriel Cramer
5
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inventorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alquimistahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Inglaterrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_naturalis_principia_mathematicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inventorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alquimistahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Inglaterrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_naturalis_principia_mathematicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Coteshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Cotes -
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Matemtico s#izo. )#e catedrtico de matemticas
oda matriz cuadradaede asociarse con #n n4mero real denominados# determinante. Hist$ricamente3 el #so de los determinantes s#rgi$de la identificaci$n de &atrones es&eciales #e oc#rren en la sol#ci$nde sistemas de ec#aciones lineales. Por eDem&lo:
a!!!a!22b!
a2!!a222b2
es:
! y 2
=iem&re #e a!!.a22,a2!.a!2 O0. Ambas fracciones tienen el mismo
denominador3 a!!.a22,a2!.a!2. sta cantidad se denomina el determinantede la matriz de coeficientes A.
7a f#nci$n determinante es #na notaci$n matemtica formada &or #natabla c#adrada de n4meros3 # otros elementos3 entre dos l6neaserticalesK el alor de la e&resi$n se calc#la mediante s# desarrollosig#iendo ciertas reglas. 7os determinantes f#eron originalmenteinestigados &or el matemtico Da&ons =eEi Foa alrededor de !*-%
y3 &or se&arado3 &or el fil$sofo y matemtico alemn ?ottfried6
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Bil;;elm 7eibniz alrededor de !*/%. >sta notaci$n se #tiliza en casitodas las ramas de las matemticas y en las ciencias nat#rales.
>l s6mbolo es #n determinante de seg#ndo orden3 es es#na tabla con dos filas y dos col#mnasK s# alor es3 &or
definici$n3 a!!a22, a!2a2!. Ln determinante deorden n,simo es #na tabla c#adrada con nfilas y ncol#mnas como sem#estra en la fig#ra:
=i A es #na matriz c#adrada
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A 5
>ntonces: ,
% ,l determinante de #na matriz en cero c#ando:
>l determinante &osee dos filas ig#ales:
RAR0
odos los elementos de #na fila son ceros.
9
/ '
% !
% 2!2 '
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RAR0
7os elementos de #na l6nea son combinaci$n lineal delas otras.
RAR0)% )! )2
'., =i m#lti&licamos #na fila o col#mna &or #n n4mero el determinante#eda m#lti&licado &or dic;o n4mero. sta &ro&iedad sire &ara &oder
sacar factor com4n en #n determinante"
Condiciones e)uivalentes
=i A es #na matriz nn3 entonces las sig#ientes &ro&osiciones sone#ialentes:
!. A es inertible.
10
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2. A85 tiene sol#ci$n 4nica &ara toda matriz 5 n!.
%. A80 tiene s$lo la sol#ci$n triial.
'. A es e#ialente &or renglones a !n.
(. A ede e&resarse como el &rod#cto de matrices elementales.
*. O0
'. Clc#lo de determinantes &or &ro&iedades
Calc#le los sig#ientes determinantes a&licando las &ro&iedades:
!" A 5
>l determinante cambia de signo si se intercambian dos
filas consec#tias:
,!2/ !2/
2" A
C#ando el determinante &osee dos filasig#ales3 ste se an#la.
0
11
A
% * ,+
2 / !
! 0 '
5A
2 * ,-
! ( +
! ( +
A
/ ,- !
/ ,- !
* + %
-
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%"A
C#ando el determinante &osee dos filas ig#ales3 ste se
an#la.
0
'"A
C#ando todos los elementos de #na filason ceros en #n determinante3 ste es cero.
0
("A
0
*"A
12
A
(,i ' -i
*,i ( 2i
0 0 0
A
(,i ' -i
*,i ( 2i
0 0 0
A
! + !!
2 ,' ,*
% % (
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>l determinante es 0 c#ando 7os elementos de #na filason combinaci$n lineal de las otras.
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(. )$rm#las &ara desarrollar determinantes*egla de &arrus
7a regla de =arr#s es #n mtodo fcil &ara memorizar y calc#lar eldeterminantede #na matriz%U%. ecibe s# nombre del matemticofrancsPierre )rdric =arr#s.
Considrese la matriz %U%:
=# determinante se ede calc#lar de la sig#iente manera:
>n &rimer l#gar3 re&etir las dos &rimeras col#mnas de la matriz a laderec;a de la misma de manera #e #eden cinco col#mnas en fila.ess s#mar los &rod#ctos de las diagonales descendentes sto res#lta en:
Ln &roceso similar basado en diagonales tambin f#nciona conmatrices 2U2:
14
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrushttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus -
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>sta regla no se ede a&licar &ara matrices mayores a %U%.
+jem,los:
1-/
/ /
'-0/
/ / /
-C/
/ / 2*/15
+ ! -! ( +2 % /
+ ! - + !! ( + ! (2 % / 2 %
2 + !! % (2 * !
0
2 ! (+ * %' ! 2
C
-
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3-(/
/ / 2+
4-+/
/ / '0
(esarrollo de menores
=e llama menor del elemento aiE de #n determinante de nn aldeterminante MiEde orden #e se obtiene al eliminar elrengl$n i y la col#mna E de
+jem,lo 1.
1btener los menores M!% del determinante de .
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* ! %2 ! '% ! 2
(
% + !2 - 2! ' (
+
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Para M!% eliminamos el rengl$n ! y la col#mna % &ara obtener
=e llama cofactor del elemento aiE del determinante 3 al menorMiE con el signo
odo determinante es ig#al a la s#ma de los &rod#ctos de los
elementos de #n rengl$n
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>s el desarrollo del determinante &or el rengl$n i3 ysimilarmente
>s el desarrollo del determinante &or la col#mna E
+jem,los:
esarrollar &or cofactores del seg#ndo rengl$n y calc#lar el alor deldeterminante .
>ntonces:
a2!A2!a22A22a2%A2%
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2 ! ,! %0 ! ' 00 ( ,2 *0 ,% ! 0
! ' 0( ,2 *,% ! 0
-
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+l determinante de una matri" triangular es el ,roducto de sus
elementos en la diagonal ,rinci,al.
>Dem&los:
A= det (A)= (4*1*5)= 20
5= det (B) = (1*1*5) = 5
C= det(C) = (6*8*1) = 48
= det(D)= (6*8*1) = 48
>= det (E)= (4*2*5) =40
Clculo de determinantes ,or el m5todo de auss
= e conoce c$mo mtodo de ?a#ss a #n mtodo &ara facilitar elclc#lo de determinantes #sando las &ro&iedades de stos. ic;o
mtodo consiste en ;allar #n determinante e#ialente
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alor" al #e se &retende calc#lar3 &ero triang#lar. e estaforma el & r o b l e m a s e r e d # c e a c a l c # l a r # nd e t e r m i n a n t e d e # n a m a t r i z triang#lar3 cosa #e esbastante fcil #sando las &ro&iedades de los determinantes.
Para conseg#ir triang#larizar el determinante se edena&licar las sig#ientes o&eraciones:
I" Intercambiar dos filas
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A
5
A5
Por lo tanto: det
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Por lo tanto: det
)
>)
Por lo tanto: det" ,!0( det
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(eterminante de orden tres
a!!a22a%% a!2a2% a%! a!%a2! a%2,
, a !%a22a%!, a!2a2!a%% , a!!a2%a%2.
(eterminante de orden su,erior a tres
Consiste en conseg#ir #e #na de las l6neas del determinante estformada &or elementos n#los3 menos #no: el elemento base o &iote3#e aldr !.
=eg#iremos los sig#ientes &asos:
!. =i alg4n elemento del determinante ale la #nidad3 se elige #na delas dos l6neas: la fila o la col#mna3 #e contienen a dic;o elemento s decir sacamos factor com4n en #nal6nea de #no de s#s elementos.
%. omando como referencia el elemento base3 o&eraremos de modo#e todos los elementos de la fila o col#mna3 donde se enc#entre3 seanceros.
'. omamos el adD#nto del elemento base3 con lo #e obtenemos #ndeterminante de orden inferior en #na #nidad al original.
23
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/calculo.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/calculo.html -
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+jem,los:
1-/
et
-
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-/
et
-
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et
-
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, !( ,!T!(
'"A A,!
2 !T2
("A A,!
(* !T(*
/. eterminante de #na matriz transesta=i A es #na matriz c#adrada3 entonces es cierto #e:
Considerem os:
27
A
% ,2
,+T2 (T2
A
!T2- !T' ,%T(*
,!!T2- !T' (T(*
!T' ,!T' !T-
A
At
% 2 ,'
! 0 ,!
,2 0 (
-
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A A
,* ,*
>Dem&los:
!"A A
(*/ (*/
2"A A
,*%0 ,*%0
%"A A
28
At
* !! -
( ,+ !2
,% ' ,!%
At
2 / ,*
+ ( ,-
% ,! !0
At
2i ,/ ,!!
' %,i '
,(i + !
-
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,%+*,!2i ,%+*,!2i
'"A A
,!* ,!*
("A A
,%2 ,%2
!0. A&licaci$n de los determinantes:1btenci$n de la inersa de #na matriz7a transesta de la matriz de cofactores A indicada anteriormente3se denomina adD#nta de A y se denota &or adD
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Cof
-
7/23/2019 Trabajo de Algebra Determinantes 1
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AdD
-
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%"C C Cof
-
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("> C Cof"
AdD" !
>,! !T!
!!.A&licaci$n de losdeterminantes: egla de Cramer7a regla de Cramer3 as6 denominada en ;onor de ?abriel Cramer3 es#na f$rm#la #e #sa determinantes &ara resoler #n sistema de nec#aciones lineales en n ariables. >sta regla ede a&licarse s$lo asistemas de ec#aciones lineales #e tienen sol#ciones 4nicas.
=i Ab es #n sistema de n ec#aciones lineales con n inc$gnitas tal #e
det
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b
>n otras &alabras los &asos a seg#ir &ara resoler #n sistemade ec#aciones lineales mediante la regla de Cramer es:
!. Hallar la matriz
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A a A!
A2 a A%
>Dem&los:
A&licar la ley de Cramer &ara resoler el sistema de ec#aciones.
!"! ,%2%'
2!,2 ,2
'! ,%%0
A a A!
35
b 82 8%
* 0 2
%0 ' *
- ,2 %
8! 82 b
! 0 *
,% ' %0
,! ,2 -
b 82 8%
' ,% !
,2 ,! 0
0 0 ,%8! 82 b! ,% '
2 ,! ,2
' 0 0
-
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A2 a A%
2" y z!
,2y%z2
z(
A a A!
A2 a A%
%"'(y 2
36
b y
! ! !
2 ! ,2
( ! 0
y b
! ! !
! ,2 2
! 0 (
-
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!! y2z %
8(y2z !
A a A!
A2 a A%
'"2y,2z!0
',y z '
,2yz ,2
A a A!
37
b y z
2 ( 0
% ! 2
! ( 2 y b
' ( 2
!! ! %
! ( !
b y z
!0 2 ,2
' ,! !
,2 ! !
-
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A2 a A%
("2Yy,2z ,2
, y z 0
, 2y z -
A a A!
A2 a A%
38
y b
! 2 !0
' ,! '
,! ! ,2
b y z
,2 ,! ,2
0 ! !
- ,2 !
y b
2 ,! ,2
,! ! 0
! ,2 -
-
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!2. A&licaciones de los determinantes:
Zrea de #n triang#lo en el &lano y.
>l rea de #n triang#lo c#yos rtices son
,2 ( !
! / !
% ( !
* ,2 !
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%" Calc#lar el rea de #n tring#lo c#yos rtices son: A
-
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0
Para eal#ar el determinante3 se desarrolla &or cofactores a lo largodel rengl$n s#&erior3 &ara obtener:
,y ! c#aci$n:
0
>c#aci$n:
-
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>l ol#men de #n tetraedro c#yos rtices son
9ol es !T% #%.42
8! [! \! !
82 [2 \2 !
8% [% \% !
8' [' \' !
0 ' ! !
' 0 0 !
% ( 2 !
2 2 ( !
' % 0 !
0 % 2 !
! % 2 !
2 2 2 !
-
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2" etermine el ol#men del tetraedro c#yos rtices son
9ol#men !T* !T* S
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7a ec#aci$n del &lano #e &asa &or los ntos
8 [ \ !82 [2 \2 !
8% [% \% !
8' [' \' !
y z !
0 ! 0 !
! ( ' !
,2 ! 2 !
y z !
! ! ! !
2 % ' !
2 2 2 !
-
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0
>c#aci$n: . 7arson y 5r#ce H.>dards.
Introd#cci$n al algebra lineal. Hoard Anton. ercera >dici$n.
Algebra lineal y s#s a&licaciones. aid C. 7ay. ercera >dici$n.
Algebra s#&erior. Hall Fnig;t.
eterminantes y matrices. A.C. AIF>N. r =c. )..=. 9ersi$ncastellana de la c#arta ersi$n inglesa.
;tt&:TT.sectormatematica.clTcontenidosTcramer.;tm
;tt&:TT.it#tor.comTalgebraTdeterminantesTres.;tml45
y z !
% ' * !
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7/23/2019 Trabajo de Algebra Determinantes 1
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