REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

MISIÓN SUCRE – ALDEA UNIVERSITARIA

“JOSÉ LEONARDO CHIRINOS”

PÍRITU ESTADO PORTGUESA

FUNCIONES

PARTICIPANTES:

JULIANGEL RODRÍGUEZ, C.I: 24.024.577

MISLEIDY SÁNCHEZ, C.I. 20.024.922

YIDISMAR BADILLA, C.I. 21.057.398

NOVIEMBRE, 2015

INTRODUCCIÓN

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por

primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una

potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm

Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su

pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en

1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien

escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un

conjunto de ello.

Por lo tanto, una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a

cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que

se escribe y=f (x). En la presente investigación documental se detallan aspectos

tales como: la definición de funciones, tipos, características, función afín y función

cuadrática.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

El matemático Leonhard Euler (1707-1783) utilizando un criterio geométrico

definía función como la relación entre las dos coordenadas de los puntos de una

curva trazada a mano en un plano y usó la expresión f(x) para designar una

función cuya variable es x. En su obra Introductio in Analysin Infinitorium de 1748

definió la función como “una expresión analítica en general compuesta por esta

cantidad variable y por algunos números o cantidades constantes”.

Igualmente, Cauchy (1821) escribe: “Se llama variable a una cantidad que se

considera tiene que tomar sucesivamente muchos valores diferentes unos de los

otros”. “Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que

estando dado el valor de una de éstas, se puedan determinar los valores de todas

las otras, ordinariamente se concibe a estas cantidades diversas expresadas por

medio de la que está entre ellas, la cual entonces toma el nombre de variable

independiente; y las otras cantidades expresadas por medio de la variable

independiente son aquellas que uno llama funciones de esta variable” (Id., p.

1254).

De igual manera, Dirichlet (1839) se expresa en términos matemáticos más

precisos: “y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado, le

corresponde un único valor de y. No importa si en todo este intervalo y depende

de x de acuerdo a una ley o más, o si la dependencia de y con respecto a x puede

expresarse por medio de operaciones matemáticas” (Id., p. 1254).

TIPOS DE FUNCIONES

a) Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la

variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división,

potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es

preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0

 

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real. f(x)= k. La gráfica es una recta

horizontal paralela a al eje de abscisas.

 

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la

función. Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

 

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una

parábola.

 

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que

anulan el denominador.

 

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos

los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 

Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se

consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

b) Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se

halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la

trigonometría.

 

Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente

x.

 

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en

base a.

 

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

CARACTERÍSTICAS

DOMINIO.

Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se

designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la

función, es decir, para los cuales hay un f(x).

RANGO

Se llama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de valores

de y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la variable

dependiente “y”.

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS

PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX, Como el eje de

abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma (xo,0) 4º 4.5.2

PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY, Como el eje de

ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma (0,yo).

SIMETRÍA

Una función es par o simétrica respecto del eje OY si f(x) = f(-x) Una función es

impar o simétrica respecto del origen O si f(x) = - f(-x). Una función que no es par

ni impar se dice que es no simétrica.

DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD

IDEA INTUITIVA. La idea de función continua es la de que puede ser

representada con un solo trazo. 3º Una función que no es continua presenta

alguna discontinuidad.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD. Una función se llama continua cuando no

presenta discontinuidades de ningún tipo. Una función puede ser continua en un

intervalo si solo presenta discontinuidades fuera de él. Las funciones con

expresiones analíticas elementales son continuas en sus dominios.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES. Varias razones por las que una función

puede ser discontinua en un punto:

Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen o

decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que presenta

una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.

Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto

finito en ese punto. No está definida (le falta un punto) o el punto que parece que

le falta lo tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en

ese punto.

TENDENCIA Y PERIODICIDAD

TENDENCIA. Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de

ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido

estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas

reciben el nombre de asíntotas. Existen tres tipos de asíntotas:

• Asíntotas verticales: x = a

• Asíntotas horizontales: y = b

• Asíntotas oblicuas: y = mx + n

PERIODICIDAD. Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite

cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de

ese intervalo se llama periodo.

MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MONOTONÍA. Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.

Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Una función presenta un máximo absoluto en un punto

cuando es el valor más alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser

del dominio. Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el

valor más bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.

Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la

función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Una

función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función

pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M). Para medir la variación (aumento o

disminución) de una función en un intervalo se utiliza la tasa de variación media.

Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al cociente

entre la variación de la función y la longitud del intervalo.

CURVATURA, PUNTOS DE INFLEXIÓN

CURVATURA. Una función es cóncava cuando presenta la siguiente forma: ∩

Una función es convexa cuando presenta la siguiente forma: ∪

PUNTOS DE INFLEXIÓN. Puntos (del dominio) donde la función cambia de

curvatura, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

FUNCIÓN AFÍN

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía  (uso dela

oferta y la demanda)  los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y 

las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en

cualquier análisis económico. Por  ejemplo,  si un consumidor desea adquirir 

cualquier producto, este  depende del precio en que el artículo esté disponible. 

Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los

consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se

denomina ley de demanda.  La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b,

donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la

medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el

entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento

psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la

formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada

al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:

Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es

una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).

Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el

origen de coordenadas (0,0).

 Hay casos especiales de la función afín que definen las rectas horizontales o

verticales. Esto ocurre cuando no existe el término de la variable independiente

(x) o cuando no existe el término de la variable dependiente (y)

 

Para graficar una recta en el plano cartesiano se necesita encontrar las

coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta, para ello se asignan

valores arbitrarios a la variable “x”, es decir, cualquier valor positivo o negativo, se

recomienda “cero”, “uno para facilitar las operaciones algebraicas en el momento

de la sustitución del valor, para obtener el valor de la variable “y” y graficar

la función afín.

Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Numéricamente ya sabes cómo se resuelve: "despejando" la x: ya lo hicimos

antes y obtuvimos x = -1,5. Gráficamente, esto producía una línea recta vertical de

abscisa -1,5.

Ahora vamos a dar una interpretación geométrica a esta ecuación distinta a la

de los ejercicios anteriores.

Si pasamos todos los términos de la ecuación al primer miembro y

simplificamos el resultado se obtiene la ecuación:

2x + 3 = 0, ecuación equivalente a la de partida, o sea que tiene la misma

solución.

Si al primer miembro de la ecuación le llamamos "y" se obtiene la función y =

2x+3, quizás sepas que se trata de una función afín y su representación gráfica es

una recta como la que se ve en la escena siguiente.

Como puede verse la recta corta al eje X en un punto. La "abscisa x" de ese

punto es la solución de la ecuación.

Seguramente observarás que la solución es x = -1,5

Así pues, al pasar todos los términos de una ecuación de primer grado al primer

miembro se obtiene una expresión semejante a ésta: ax + b = 0.

Si llamamos "y" al primer miembro de esta nueva ecuación obtenemos

la expresión general de una función afín:

y = ax + b

Como hemos visto antes, esta función afín está representada por una línea

recta que corta al eje X en un punto. La abscisa de este punto es la solución de la

ecuación inicial. En la próxima escena veremos que las dos interpretaciones

gráficas vistas hasta ahora nos llevan a la misma solución.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática

sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la

trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer

desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se

desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo

transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil,  para resolver problemas específicos

tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción

de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables

amarrados a dos  torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para

estudiar los efectos nutricionales de los organismos. 

Existen fenómenos físicos que el  hombre a través de la historia ha tratado de

explicarse.  Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal

para realizar sus cálculos  la ecuación cuadrática. Como  ejemplo palpable,

podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia

arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½gt2, donde S es la altura, V0 es la

velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su

gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es

convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo

grado.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3

f(x) 9 4 1 0'2 0 0'2 1 4 9

= x2 5 5

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

Dada la parábola  y = x2  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de

los puntos de la figura:

a.   Del punto A (x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la

parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 =

1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B (x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola,

no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de

x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C (x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como

también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C =

(0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la

parábola: , que nos proporciona las

soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye

que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma

(x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 ,

cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F =

(3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto

medio del segmento  , es decir,  . Sustituyendo este valor en la

ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 -

8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está

"justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H

tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H =

(5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo

a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola,

 cuyas soluciones aproximadas

son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades

menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

CONCLUSIÓN

Las funciones matemáticas son muy importantes, de mucho valor y utilidad para

resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de

estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de

geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. De igual

forma, Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se

relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el

costo en bolívares para así saber cuánto se puede comprar; si se lleva al plano, se

puede escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el

precio y la cantidad de producto como "y".

Además a través de esta investigación se pudo conocer los diversos tipos de

funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender

de cada tipo de función. El resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue

positivo, ya que se cumplió el objetivo, el cual es el aprendizaje de los contenidos

del programa relacionados con las funciones.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS

Blanco, J. (2014). Funciones Matemáticas. Administración Industrial. Instituto

Universitario de Tecnológico de Administración Industrial. Barcelona. España.

García A., López A. y otros (1994)  Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis

Matemático de una variable". 2ª edición. Ed. CLAGSA, Madrid.

Funciones. Documento Digital. Disponible en:

http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/funcion/

funcdef.html.

Thomas, G., Finney R. (1987) Cálculo con geometría analítica, Addison-Wesley

Iberoamericana, 6ª edición. Wilmington, Delaware, EE.UU.