TRABAJO DE INGENIERA ECONMICA

TEMA: GRADIENTE O SERIES VARIABLES

PRESENTADO A: PROFESOR MANUEL SARMIENTO

PRESENTADO POR: OSWALDO DE LA PUENTE PABUENA CARLOS OLARTE DIAZ JORGE POSADA COHEN BAYRON VELAZCO JULIO

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA DE ADMINISTRACION INDUSTRIAL IV SEMESTRE

FECHA: 06 de Mayo de 2012

CARTAGENA D.T.Y.C

INTRODUCCION

La toma de decisiones en ingeniera requiere tener en cuenta variables de tipo tcnico, variables econmico-financieras y de modelos econmicos. En el presente trabajo se explica un modelo econmico llamado gradiente o tambin conocida como series variables y si se profundizan los conocimientos de su forma de manejarlo y calcularlo, se convertir en una excelente herramienta para una toma de decisiones segura en los negocios ya sea de amortizacin (crdito) o de capitalizacin (ahorro).

En economas inflacionarias los crditos favorecen a los deudores, porque estn en la posibilidad de liquidar sus deudas con dinero ms barato, razn por la cual los acreedores no recuperan totalmente el dinero prestado. El otorgamiento de crditos con tasa de inters fijas constituye un subsidio tcito a favor del deudor y a cargo de los fondos manejados por la entidad financiadora. Por esta razn, el prestamista necesita recuperar lo antes posible el dinero dado en el prstamo. En este trabajo se hace un anlisis de este modelo matemtico y de lo que incluye este, como lo es: su concepto, clasificacin, aplicaciones; esto requiere de un manejo de la lgica intrnseca para cada parte del modelo ya que cada uno requiere de un anlisis que se amolda a los distintos tipos de conceptos y formas de resolver los ejercicios planteados.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Calcular de forma correcta el valor de cada uno de los pagos, con sus respectivos aumentos ya sean constantes (gradiente aritmtico) o proporcional al pago inmediatamente anterior (gradiente geomtrico).

OBJETIVOS ESPECIFICOS Conocer

el concepto de gradiente y el de cada una de sus. clasificaciones.

Identificar las formulas para cada caso.

DESARROLLO

CONCEPTO DE GRADIENTE

Gradientes son anualidades o serie de pagos peridicos, en los cuales cada pago es igual al anterior ms una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que vara cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmtico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $500 mensuales sin importar su monto). Si la cantidad en que vara el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geomtrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3% mensual) La aplicacin de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios: Negocios con amortizacin (crdito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la ltima cuota. Negocios de capitalizacin (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado. CLASIFICASION DE GRADIENTES

Lineal o Aritmtico: Es el conjunto de pagos o ahorros crecientes o decrecientes en forma constante en pesos o unidades monetarias. Es la serie de flujos de caja peridicos, en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante en pesos y se simboliza con la letra G y se le denomina variacin constante. Cuando la variacin constante es positiva, se genera el gradiente aritmtico creciente. Cuando la variacin constante es negativa, se genera el gradiente aritmtico decreciente.

Gradiente lineal creciente: Valor presente de un gradiente aritmtico o lineal creciente:

Es un valor ubicado en un perodo determinado, que resulta de sumar los valores Presente de una serie de flujos de caja que aumenta cada perodo en una cantidad constante denominada gradiente (G).A+(n-1)G

A[E scri 0 P TG=P A + P G 1[E scri

A+G

A+2G

A+(n-2)G

2

3[E scri

(n-1)

n

El valor A, se conoce como la base de la serie gradiente lineal creciente, y se comporta como una anualidad, esta base se encuentra localizada un periodo despus del cero de la serie gradiente aritmtica y en este cero se ubica el valor presente total de la serie gradiente aritmtica o lineal, el cual se calcula a travs de la frmula P TG=P A + P G El P A, es el presente de la base o de la anualidad, y P G es el presente del gradiente. El crecimiento o gradiente (G), se encuentra ubicado dos periodos despus de donde se localiza el cero de la serie gradiente lineal o aritmtica. El valor presente total de la serie gradiente aritmtica o lineal, se determina a travs de la siguiente expresin:

Dnde:

PTG=Valor presente de la serie gradiente A=Valor de la base o anualidad i= Tasa de inters de la operacin n= Nmero de flujos de caja G =Variacin constante o gradientePara calcular el valor de cualquier flujo de caja en una serie gradiente aritmtica Creciente, se usa la siguiente expresin:

Cuota n=A+(n-1) G

Dnde:Cuota n: Valor de la cuota n de la serie gradiente A = Valor de la base n =Nmero del flujo de caja que se est analizando G =Variacin constante o gradiente Valor futuro De Un Gradiente Lineal creciente:

Se busca determinar el valor futuro de una serie de flujos de caja peridicos que aumentan en un valor constante cada periodo. El valor futuro estar ubicado en el perodo de tiempo donde se encuentre el ltimo flujo de caja de la serie gradiente aritmtica o lineal creciente, y se calcula a travs de la frmula donde FA es el valor futuro de la base y FG es el valor futuro del gradiente.

El valor futuro total de la serie gradiente aritmtica creciente, se determina con la siguiente expresin:

Donde:

GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE Valor Presente De Un Gradiente Lineal Decreciente:

Es un valor localizado en el presente equivalente a una serie de flujos de caja peridicos que disminuyen, cada uno respecto al anterior, en una cantidad constante (G).A A-G 0 1 2 3 n-1 n A-2G A-(n-2)G A- (n-1)G

PTG= PA -PG El valor A, se conoce como la base de la serie gradiente lineal decreciente, y se comporta como una anualidad, esta base se encuentra localizada un periodo despus del cero de la serie gradiente aritmtica y en este cero se ubica el valor presente total de la serie gradiente aritmtica o lineal, el cual se calcula a travs de la frmula PTG= PA -PG, donde PA , es el presente de la base o de la anualidad, y PG es el presente del gradiente. El decrecimiento o gradiente (G), se encuentra ubicado dos periodos despus de donde se localiza el cero de la serie gradiente lineal o aritmtica. El valor presente total de la serie gradiente aritmtica decreciente, se determina mediante la siguiente expresin:

PTG= A

[(

-n 1-(1+)

) / ]- [(G/

-n (1-(1+) ) /)-

(n/

n ( (1+) )

)

Dnde: PTG= Valor presente de la serie gradiente A= Valor de la base o anualidad i = Tasa de inters de la operacin n= Nmero de flujos de caja G = Variacin constante o gradiente

Para calcular el valor de cualquier flujo de caja en una serie gradiente aritmtica decreciente, se usa la siguiente expresin: Cuota n=A-(n-1) G

Valor futuro De Un Gradiente Lineal Decreciente:

Consiste en determinar un valor futuro equivalente a una serie de flujos de caja Peridicos que disminuyen cada periodo en un valor constante (G), el valor futuro se encuentra ubicado en el perodo donde se encuentra el ltimo flujo de caja, y se calcula a travs de la formula: Donde FA es, es el valor futuro de la base o de la anualidad y FG es el valor futuro de la gradiente.

El valor futuro total de la serie gradiente aritmtica decreciente, se determina con la siguiente expresin:

Donde: FTG= Valor Futuro De La Serie Gradiente A= Valor De La Base o Anualidad i= La Tasa De Inters De La Operacin n= Nmeros De Flujo De Caja G= Variacin Constante o Gradiente Para calcular el valor de cualquier flujo de caja en una serie gradiente aritmtica decreciente, se usa la siguiente expresin:

Donde: CUOTA n = Valor De La Cuota n De La Serie Gradiente A= Valor De La Base n= Numero De Flujo De Caja Que Se Esta Analizando G= Variacin Constante o Gradiente GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO En este tipo de series de flujos de caja slo tiene sentido, la determinacin del valor presente. Se puede analizar desde la ptica de lo creciente, su aplicacin ms importante se da en el clculo del costo de capital.

EJEMPLOS DE APLICACIN

GRADIENTE LINEAL CRECIENTE Valor presente de un gradiente aritmtico o lineal creciente Ejemplo #1 El valor de un torno se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $30.000, y el valor de la primera es de $ 220.000. Si la tasa de inters es del 3,5% Mensual, hallar el valor del torno. Solucin:

Ejemplo#2 En qu valor debe aumentar el valor de 48 cuotas mensuales, si se est financiando una obligacin financiera que tiene un valor de $ 60.000.000, si se exige una primera cuota de $ 400.000 y se cobra una tasa de inters del 3% mensual. Solucin:

Valor futuro de un gradiente aritmtico o lineal creciente

Ejemplo #3 En una institucin financiera que reconoce una tasa de inters del 15% semestral, se hacen depsitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 20.000, durante 12 aos. Si el valor del primer depsito es de $ 300.000, calcular el valor acumulado al final del ao doce. Solucin:

GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE Valor Presente De Un Gradiente Lineal Decreciente:

Ejemplo#4 Una vivienda se est cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 20.000 cada mes, siendo la primera cuota $ 3900.000. Si la tasa de financiacin que se cobra es del 2,5% mensual, calcular el valor de la vivienda. Calcular el valor de la cuota #80 Solucin:

Valor futuro De Un Gradiente Lineal Decreciente:

Ejemplo#5 Una persona realiza depsitos en una institucin bancaria que disminuyen en $ 15.000 cada mes, si se devenga un inters del 2,5% mensual, cul ser el valor que se tendr acumulado al cabo de 12 meses, si el depsito del primer mes es $ 600.000. Calcular el valor de la cuota #6

Solucin:

GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO

Ejemplo# 6 Encontrar el valor presente de una serie de flujos de caja a perpetuidad que crecen en$ 10.000, si el primer flujo vale $ 200.000 y la tasa de inters es del 2,5%. Solucin:

GRADIENTE GEOMETRICO: Se llama gradiente geomtrico a una serie de pagos peridicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes tambin se presenta el gradiente geomtrico creciente y el geomtrico decreciente, dependiendo de que las cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje.

Gradiente geomtrico creciente

Valor presente de un Gradiente geomtrico creciente: Es un valor

ubicado en el presente, equivalente a una serie de pagos peridicos que aumenta cada uno con respecto al anterior en un porcentaje fijo.

Valor presente: Si

i

j; entonces:

y donde el primer pago se calcula:

Si i = j se tiene que:

La cuota de una serie gradiente geomtrica se determina por la siguiente manera:

Valor futuro de un Gradiente geomtrico creciente

Es el valor ubicado en el perodo donde se encuentra el ltimo flujo de caja del gradiente geomtrico, hay que tener en cuenta que cada flujo crece cada perodo en un porcentaje constante (j)

Si i j, el valor futuro de la serie gradiente geomtrica, se calcula haciendo uso de la siguiente igualdad:

Gradiente geomtrico decreciente: Lo constituye una serie de pagos o

ingresos que disminuyen peridicamente en un porcentaje constante.

Valor presente de un Gradiente geomtrico decreciente:

Es un valor ubicado en un periodo anterior a la fecha del primer pago.

Si i j, el valor presente de la serie gradiente geomtrica decreciente, se determina utilizado la siguiente igualdad:

, de donde, el primer pago o flujo de la serie se calcula con la siguiente frmula:

Ahora, Si i = J, se halla con:

el valor presente serie gradiente geomtrica o exponencial,

La cuota de una serie gradiente geomtrica decreciente se determina de la siguiente manera:

Valor futuro de un Gradiente geomtrico decreciente

Es el valor futuro equivalente a una serie peridica de flujos de caja que decrecen en un porcentaje fijo (j). El valor futuro queda localizado en el ltimo flujo.

Si i j , el valor futuro de una serie gradiente geomtrica decreciente, se calcula utilizando la frmula:

Gradiente Geomtrico Perpetuo Una de sus aplicaciones que tiene este gradiente est en el anlisis sobre emisin de acciones. Slo tiene sentido el anlisis del valor presente. Se puede analizar desde la ptica de lo creciente.

EJEMPLO DE APLICACIONES

Gradiente geomtrico creciente Valor presente de un Gradiente geomtrico creciente

Ejemplo # 7 Una obligacin se est cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10%cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 850.000 y se cobra una tasa de inters del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligacin, b) El valor de la cuota 18. Solucin:

Valor futuro de un Gradiente geomtrico creciente

Ejemplo# 8 Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500.000 Solucin: Para facilitar la realizacin del diagrama econmico, se suponen los pagos para arriba y el valor de la obligacin en el mes 18 para abajo.

Ejemplo # 9 Se hacen depsitos trimestrales que crecen en un 4% durante 3 aos, en una institucin financiera que paga el 7,5% trimestral, si se desea tener disponible $5.000.000, determinar el primer pago. Solucin Para facilitar la realizacin del diagrama econmico, se suponen los depsitos para arriba y el monto en el trimestre 12 para abajo.

Gradiente geomtrico decreciente Valor presente de un Gradiente geomtrico decreciente

Ejemplo # 10 Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2,5%, siendo el primer pago de $ 650.000. La tasa de Inters es del 24% NS. Solucin: Para facilitar la realizacin del diagrama econmico, se suponen los pagos para arriba y el valor de la obligacin para abajo.

Valor futuro de un Gradiente geomtrico decreciente

Ejemplo# 11 Calcular el valor que se tendr ahorrado en una institucin financiera si se hacen 12depsitos trimestrales que decrecen en un 4%, siendo el primer depsito de $3.200.000 y se devenga una tasa de inters del 6% trimestral. Encontrar la cuota 7. Solucin:

Para resolver el ejercicio, se han tomado los depsitos para arriba y el acumulado hacia abajo. Como i j , el valor futuro de una serie gradiente geomtrica decreciente, se calcula utilizando la frmula:

Gradiente Geomtrico Perpetuo Ejemplo# 12 Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 10%, si la tasa de inters es del 20% y el primer pago es $ 300.000. Solucin:

APLICACIONES

Gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) peridicos que poseen una ley de formacin, que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con relacin al flujo de caja anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las siguientes condiciones: Los flujos de caja deben tener una ley de formacin. Los flujos de caja deben ser peridicos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente. La aplicacin de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios: Negocios con amortizacin (crdito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la ltima cuota. Negocios de capitalizacin (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado

CONCLUSIN

Este trabajo es una herramienta muy til para cuando se vaya acceder a crditos bancarios o cualquier tipo de crdito y al abrir una cuenta de ahorro; nos ayuda a calcular: l verdadero valor de las cuotas a cancelar, cuanto obtendremos al final del plazo fijado en una cuenta de ahorro, cuanto estoy pagando en realidad en un crdito, etc., todo lo anterior se logra identificando el tipo de serie variable o gradiente y calculando los valores con sus respectivas formulas.

BIBLIOGRAFIA

ACHING Guzmn Cesar, Matemticas Financieras Para Toma De

Decisiones Empresariales. GRADIENTES, publicacin de BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho,

Economa y Ciencias Sociales. Disponible en : < http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htm> Bsqueda realizada el 11 de mayo de 2012 HERNNDEZ Hernndez Abraham, Matemticas Financieras terica y

prctica, editorial Thomson learning. MEZA Orozco, Johnny de Jess, Matemticas financieras aplicadas, Editorial Ecoe. pg. 341 RAMIREZ Molinares, Carlos; GARCIA Barboza Milton; PANTOJA Algarn

Cristo; ZAMBRANO Meza Ariel, Fundamentos De Matemticas Financieras, producto del Grupo de investigacin Gnosis.