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TRABAJO FINAL

CARRERA DE ESPECIALIZACIÓN EN APLICACIONES TECNOLÓGICAS DE LA ENERGÍA NUCLEAR

CARACTERIZACIÓN DEL DAÑO PRODUCIDO SOBRE SUPERFICIES DE DISTINTOS MATERIALES

Ing. Héctor Damián Dellavale Clara

Directores: Dr. Nestor Fuentes - Dr. Eduardo A. Favret

Diciembre 2004

Comisión Nacional de Energía Atómica Universidad Nacional de Cuyo (Instituto Balseiro)

Universidad de Buenos Aires (Facultad de Ingeniería)

2

Abstract

In the present work the characterization techniques of surfaces ULOI and RIMAPS have been applied

on laboratory samples made from aluminium, stainless steel and material based on fiberglass. The

resultant surfaces of, chemical etching with corrosive agents Keller and Tucker, mechanic damage

from the wear and tear of abrasive paper and sandrubbing with alumina particles, are analized to

different level of damage.

The systematic application of the above mentioned techniques is carried out with the objetive of

finding information, which allows to characterize the superficial damage, both in its incipient state as

in the extreme situation revealed by the presence of etch pits.

Important results have been obtained, in the characterization of the incipient stage of the chemical

etching, using the curves of the normalized area. In addition, it was possible to verify the capacity of

the techniques in the early detection of the preferential directions generated by the etch pits.

3

Resumen

En el presente trabajo se aplican las técnicas de caracterización de superficies ULOI y RIMAPS, sobre

muestras de aluminio, acero inoxidable y material compuesto a base de fibra de vidrio. Las superficies

resultantes de, ataque con los agentes corrosivos Keller y Tucker, desbaste mecánico con papel

abrasivo y arenado mediante partículas de alúmina, son analizadas para distintos niveles de daño.

Se realiza la aplicación sistemática de las técnicas mencionadas con el objetivo de encontrar

información que permita caracterizar el daño superficial, tanto en su estado incipiente, como la

situación extrema revelada por la presencia de figuras de corrosión.

Importantes resultados han sido obtenidos, en la caracterización de la etapa incipiente del ataque

químico, utilizando las curvas del área normalizada. Además pudo verificarse la capacidad de las

técnicas, en la detección temprana de las direcciones preferenciales generadas por figuras de corrosión.

4

Indice:

- Abstract.

- Resumen.

- Indice.

1. Introducción ......................................................................................................................................... 6

2. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica ULOI........... 8

2.1 Sistema sensor de intensidad.......................................................................................................... 8

2.1 Determinación del ángulo de incidencia ....................................................................................... 9

2.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos de la curva de intensidad ...................... 10

3. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica RIMAPS .... 11

3.1 Especificaciones del sistema de adquisición de imágenes........................................................... 11

3.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos en las gráficas RIMAPS........................ 12

4. Descripción de las muestras y el proceso superficial implementado ............................................... 13

4.1 Daños mecánicos.......................................................................................................................... 13

4.1.1 Arenado sobre una superficie de aluminio con una sola dirección preferencial inicial ......... 13

4.1.2 Arenado sobre una superficie de aluminio con dos direcciones de desbaste inicial ................ 13

4.1.3 Arenado sobre una superficie de acero inoxidable con dos direcciones de desbaste inicial ... 14

4.1.4 Arenado sobre una superficie de material compuesto a base de fibra de vidrio...................... 15

4.1.5 Desbastes mecánicos con papel abrasivo sobre una superficie de aluminio ........................... 15

4.2 Ataques químicos.......................................................................................................................... 17

4.2.1 Ataque químico con compuesto Keller sobre una superficie de aluminio ................................ 17

4.2.2 Ataque químico con compuesto Tucker sobre una superficie de aluminio ............................... 17

5. Análisis de los resultados ................................................................................................................... 18

5.1 Resultados de los daños mecánicos ............................................................................................. 18

5.1.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.1 ............... 18

5.1.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.2 .......... 19

5.1.3 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3 .............. 20

5.1.4 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3 ......... 22





5.2 Resultados de los ataques químicos ............................................................................................. 29


5.2.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.1 .......... 41


5

6. Proyección de los resultados obtenidos en la caracterización del daño químico ............................. 49

7. Conclusiones generales...................................................................................................................... 51

8. Referencias ......................................................................................................................................... 52

10. Agradecimientos............................................................................................................................... 53

- Apéndice 1: “Conceptos relacionados con la técnica ULOI”.

- Apéndice 2: “Conceptos relacionados con la técnica RIMAPS”.

6

1. Introducción

La cantidad de estructuras y objetos industriales y de la vida diaria, construidos empleando metales

como aluminio, aceros, cobre, cinc, titanio, etc, es realmente amplia. A estos se agrega la incidencia

cada vez mayor de los plásticos reforzados, polímeros, compuestos a base de fibra de vidrio y fibra de

carbono.

Todos estos materiales pueden presentar:

- Distintas terminaciones de la superficie que incluyen rugosidades y deformaciones

superficiales.

- Tensiones mecánicas.

y estar inmersos en ambientes con distintas condiciones de:

- Temperatura.

- Humedad.

- Concentración de O2.

- PH.

- Grado de salinidad (ambiente marino).

- Solventes y otros agentes corrosivos producidos artificialmente.

- Radiación ionizante, en el caso de todas aquellas piezas y estructuras sometidas a un entorno

nuclear o espacial.

El resultado de la interacción del material con su entorno, frecuentemente ocasiona el deterioro del

mismo, provocando en un determinado período de tiempo la alteración de sus propiedades físicas y

mecánicas. Aunque mucho antes de llegar a ese estado de deterioro, ocurre una variación en las

características superficiales del material.

Los mecanismos responsables de tal deterioro son distintos según se trate de metales, polímeros o

cerámicos, pero en todo caso provocan modificaciones en el patrón superficial, cuyas características

dependerán también del agente ambiental que haya actuado y su correspondiente evolución temporal.

Por otra parte, las naciones mas industrializadas gastan un considerable porcentaje de su producto

bruto en la prevención, mantenimiento o reemplazo de estructuras expuestas a diversos ambientes.

Todo esto constituye un gran estímulo para el estudio de procedimientos que permitan identificar las

alteraciones de los patrones superficiales en los materiales, provocadas por los distintos agentes, como

una forma de detección incipiente del daño que ocurrirá sobre el material, si continúa expuesto bajo

esas condiciones.

7

En el desarrollo de este trabajo se analiza el daño producido en forma controlada sobre distintos

materiales, aplicando dos técnicas de caracterización de superficies:

- ULOI (Unidirectional Laser Oblique Illumination) [1 – 4].

- RIMAPS (Rotated Image with Maximum Average Power Spectrum) [5 – 8].

Las experiencias realizadas incluyen dos tipos de daño:

- Daño mecánico: Implementado mediante arenado de las superficies de aluminio, acero

inoxidable y material compuesto de fibra de vidrio, con partículas de alúmina (Al2O3) de

diámetro medio 120µm. Se incluye además el desbaste mecánico, con papel abrasivo de

distintas granulometrías, sobre una probeta de aluminio.

- Ataque químico: Implementado mediante la exposición, de una probeta de aluminio, a los

compuestos Keller y Tucker. Además se analiza el daño extremo ocasionado por el compuesto

Tucker, lo que permite observar claramente las figuras de corrosión para la orientación

cristalina del grano estudiado.

2. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica ULOI

En la determinación de las curvas de intensidad de la técnica ULOI (Apéndice 1), la fuente propia de

iluminación del microscopio (lámpara halógena de 9V) se sustituye por el haz LASER con incidencia

oblicua, para el registro del patrón de difracción.

2.1 Sistema sensor de intensidad

Esquema circuital:

Interruptor con iluminación

Conexión directa al Voltímetro

Placa experimental

TIL78

470K

+9Vdc

470µF 50V

0,1µF

7809

12Vdc 500mA

Cable 2 x 0,8mm

Con la polarización del fototransistor TIL78, determinada por la alimentación de +9Vcc y la

resistencia de emisor Re = 470KΩ, se obtiene una transferencia lineal del sistema sensor, para el rango

de intensidades de luz captadas en las mediciones.

Esquema físico: Fototransistor (TIL78)

Placa experimental

Zona de componentes

Tubo de adaptación

Goma Opaca para aislamiento de luz exterior

Tubo soporte del ocular (Microscopio)

En el Apéndice 1 se presentan imágenes de este dispositivo.

La cadena de medición está compuesta por: Cañón LASER (He-Ne sin polarización, potencia

máxima = 30mW a λ = 632,8 nm.) incluyendo el sistema soporte de posicionamiento, superficie de la

muestra que actúa como sistema de difracción, objetivo (16x, epi) y sistema óptico del microscopio,

sistema sensor de intensidad y por último el voltímetro digital. La lectura obtenida es

[ ] )()( ϕϕ ImVV ∝=

8

En las experiencias realizadas se considera que el error en la medición de esta magnitud queda

determinado en forma predominante por el voltímetro digital. Se utilizaron dos escalas, que involucran

los siguientes errores:

Rango Resolución Error

20V 10mV ±0,5% of rdg ±2D

= 0,005*20000mV+20mV=120mV

2V 1mV ±0,5% of rdg ±2D

=0,005*2000mV+2mV=12mV

2.1 Determinación del ángulo de incidencia

El ángulo de incidencia α del haz LASER respecto de la superficie de la muestra se obtuvo midiendo

las longitudes “a” y “b” indicadas en la Fig. A1 del Apéndice 1.

Entonces se calculó:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=a2b

arctgα

La influencia del ángulo α sobre las curvas de intensidad se puede ver en la Fig. 1, en la que se

muestran las curvas )(ϕV para tres ángulos de incidencia del haz LASER sobre la misma superficie de

aluminio. Esta superficie presenta una dirección preferencial evidenciada por dos picos ubicados con

una diferencia angular de 0180=∆ϕ

9

0 45 90 135 180 225 270 315

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Fig. 1 - Curvas de intensidad, obtenidas para la misma superficiey tres ángulos de incidencia del haz LASER.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

α3 = 10,19º (Vmax = 1560mV) α1 = 7,16º (Vmax = 770mV) α2 = 9,3º (Vmax = 1250mV)

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

donde:

01 16,7

81,5cm2

20,5cm

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= arctgα ; 02 3,9

81,5cm2

26,7cm

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= arctgα ; 03 19,10

81,5cm2

29,3cm

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= arctgα

En la figura se observa que una disminución de α produce:

- Una reducción en la amplitud de los picos.

- Una reducción en el ancho de la base de los picos.

- Una pequeña disminución de la línea de base u offset de ordenada.

- No se detectan modificaciones significativas en la ubicación de los máximos.

Esto señala la importancia de mantener el ángulo de incidencia α lo más constante posible en todas

las mediciones a realizar, para evitar introducir modificaciones indeseadas en las curvas de intensidad.

A menos que se indique lo contrario, el ángulo utilizado corresponde a . 02 3,9=α

2.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos de la curva de intensidad

Para un pico dado, se adopta como posición angular de su máximo Mϕ , a aquella que corresponde al

máximo valor de tensión perteneciente al pico que se analiza. Luego se toma como error en la posición

angular del máximo, al intervalo angular que abarca exactamente a todos los puntos que no posean

diferencia significativa de tensión, con el máximo identificado previamente.

ϕϕϕ ′−=∆ MM

Donde ⎪⎩

⎪⎨

⎧→′→

tensión.de valor máximo elcon iva,significat diferencia posea no que alejado mas punto delangular Posición

tensión.de valor máximo delangular Posición ϕϕM

10

Se recuerda que dos valores de ordenada no poseen diferencia significativa, cuando sus intervalos de

error en ordenada se solapan.

En todo caso se adopta como error angular mínimo al valor del paso angular utilizado en la medición.

A menos que se indique lo contrario, el paso angular entre mediciones sucesivas para conformar las

curvas de intensidad es de 5º.

3. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica RIMAPS

Esta técnica se aplica sobre la imagen digital de la superficie de interés, y combina la Rotación de la

imagen con la Transformada de Fourier en dos dimensiones. Su implementación consiste en obtener el

MAPS (Maximum Average Power Spectrum) de la imagen, para cada ángulo de rotación de la misma

entre 0º y 180º, tomando en general incrementos de 1º. Se obtienen así 181 valores de )(αM .

Se puede considerar que la gráfica RIMAPS para resulta simétrica a la ordenada ubicada

en .

03600 <≤ α0180=α

3.1 Especificaciones del sistema de adquisición de imágenes

El sistema de adquisición comprende una cámara CCD montada, a través de una óptica de adaptación

a un microscopio de reflexión para observaciones metalográficas. Las especificaciones son:

Microscopio Olympus BX60M.

Objetivos: 5x, 10x, 20x, 50x, 100x.

Ocular: 10x.

Cámara: 1/3” Color CCD, Sistema PAL.

En la adquisición de todas las imágenes se establecieron los mismos ajustes para el tipo (BF) y nivel de

iluminación. Dado que se utilizaron distintos objetivos, a los que se debe agregar la influencia del

sistema óptico de adaptación de la cámara CCD, se especifica para cada imagen el objetivo utilizado y

se incluye en las mismas la escala correspondiente.

A menos que se indique lo contrario, el tamaño de las imágenes utilizadas en la aplicación de la

técnica RIMAPS corresponde a: 567 x 743 pixels.

11

En la siguiente imagen se puede apreciar el sistema de adquisición utilizado:

La pantalla de TV es utilizada para la exploración rápida de la superficie. Luego, se ajusta

definitivamente el foco en el monitor de la PC para realizar la adquisición.

Todas las gráficas RIMAPS presentadas, se encuentran normalizadas respecto del máximo valor

obtenido para cada imagen.

3.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos en las gráficas RIMAPS

Para un pico dado, se adopta como posición angular de su máximo Mϕ , a aquella que corresponde al

máximo valor de ordenada perteneciente al pico que se está analizando. Luego se toma como error en

la posición, al intervalo angular que abarca exactamente desde el máximo hasta el punto que pertenece

al pico en cuestión, y que posee un valor de ordenada inmediato inferior, al máximo identificado

previamente.

ϕϕϕ ′−=∆ MM

Donde ⎪⎩

⎪⎨

⎧→′→

.analizando está se que pico al pertenezca que máximo, alinferior inmediato ordenada de valor delangular Posición

ordenada. de valor máximo delangular Posición ϕϕM

En todo caso se adopta como error angular mínimo al valor del paso angular utilizado en el cálculo. A

menos que se indique lo contrario, el paso angular entre valores sucesivos para conformar las gráficas

RIMAPS es de 1º.

12

4. Descripción de las muestras y el proceso superficial implementado

4.1 Daños mecánicos

4.1.1 Arenado sobre una superficie de aluminio con una sola dirección preferencial inicial

Para este ensayo se utilizó una probeta de aluminio cuya superficie inicial corresponde a una

terminación comercial.

Dimensiones de la probeta: 60mm x 40mm x 0,8mm.

La superficie inicial se muestra en las siguientes imágenes:

Sup

Sup

Se s

el de

desd

resp

Con

te= 2

4.1.2

En e

Prim

en d

Dim

Microscopio óptico, Objetivo: 10x erficie: Aluminio (terminación comercial)

Imagen 1

ometió la probeta a un arenado con partículas de alúmina

sarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la pro

e la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partícu

ecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.

estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de

, 5, 15 seg.

Arenado sobre una superficie de aluminio con dos dire

ste caso se utilizó la superficie de aluminio con una termi

er pulido unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500. L

os direcciones ortogonales, con papel abrasivo ANSI 600.

ensiones de la probeta: 60mm x 40mm x 0,8mm.

13

Microscopio electrónico de barrido Ancho: 117µm, Alto: 91µm

erficie: Aluminio (terminación comercial)Imagen 2

(Al2O3) de diámetro medio 120µm. Para

beta a una distancia de 11cm medida

las, con un ángulo de incidencia de 90º

exposición al flujo de partículas:

cciones de desbaste inicial

nación inicial definida por:

uego se practicó un desbaste mecánico

En la siguiente imagen se muestra la superficie resultante.

(d

Posteriormente se sometió la probet

medio 120µm. Para el desarrollo de

de 11cm medida desde la boca de sa

incidencia de 90º respecto al eje del

Con estas condiciones se analizó un

4.1.3 Arenado sobre una superficie

Para esta experiencia se utilizó una

inicial definida por:

Primer pulido unidireccional con pa

en dos direcciones ortogonales, con

Las dimensiones de la probeta son:

En la siguiente imagen se muestra la

(d

Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Aluminio

esbaste ANSI 600 en dos direcciones)Imagen 3

a a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro

la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia

lida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de

flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.

tiempo de exposición al flujo de partículas de te = 2 seg.

de acero inoxidable con dos direcciones de desbaste inicial

superficie de acero inoxidable tipo 18 – 8, con una terminación

pel abrasivo ANSI 1500. Luego se practicó un desbaste mecánico

papel abrasivo ANSI 600.

60mm x 40mm x 1mm.

superficie resultante.

Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Acero inoxidable 18 – 8 esbaste ANSI 600 en dos direcciones)

Imagen 4

14

Posteriormente se sometió la probeta a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro

medio 120µm. Para el desarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia

de 11cm medida desde la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de

incidencia de 90º respecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.

Con estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de exposición al flujo de partículas:

te= 2, 5, 10 seg.

4.1.4 Arenado sobre una superficie de material compuesto a base de fibra de vidrio

Para este ensayo se utilizó una probeta de material compuesto de fibra de vidrio y matriz epoxy,

recubierta por una película de teflón.

Dimensiones de la probeta: 60mm x 60mm x 5mm.

Posteriormente se sometió la superficie a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro

medio 120µm. Para el desarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia

de 11cm medida desde la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de

incidencia de 30º respecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.

Con estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de exposición al flujo de partículas:

te= 2, 5, 10, 15 seg.

4.1.5 Desbastes mecánicos con papel abrasivo sobre una superficie de aluminio

En el desarrollo de esta experiencia se analizan cuatro terminaciones superficiales diferentes, sobre la

probeta de aluminio que se muestra en la siguiente imagen.

Dimensiones: 27mm x 16mm x 2mm.

Imagen 5

15

Las terminaciones superficiales corresponden a los desbastes mecánicos con papel abrasivo ANSI 400,

600, 1000 y 1500.

La granulometría de los papeles abrasivos se muestra en la siguiente tabla:

Código ANSI Tamaño de las partículas [µm]

400 25

600 15

1000 6

1500 2

En todos los casos el desbaste se realizó en forma unidireccional y, con similar presión perpendicular a

la superficie de la probeta.

Todas las aplicaciones de las técnicas ULOI y RIMAPS se realizaron en la zona central del grano

cristalino que puede identificarse por la marca de referencia visible en la Imagen 5.

Las imágenes obtenidas de las superficies de aluminio desbastadas con los papeles abrasivos ANSI

600 y 1500 se muestran a continuación:

Microscopio óptico, Objetivo: 10x

Superficie: Aluminio (desbaste ANSI 600 en una dirección)

Imagen 6


(desbaste ANSI 1500 en una dirección) Imagen 7

16

17

4.2 Ataques químicos

4.2.1 Ataque químico con compuesto Keller sobre una superficie de aluminio

En esta experiencia se analiza el daño ocasionado por el compuesto químico Keller, sobre la probeta

de aluminio que se muestra en la Imagen 5.

Las técnicas ULOI y RIMAPS también se aplicaron en la zona central del grano cristalino

identificadas por la marca de referencia visible en la imagen.

La composición química del compuesto utilizado como agente corrosivo se indica en la siguiente tabla:

Compuesto H2O HNO3 HCl HF Total

Keller 25ml 12,5ml 7,5ml 2,5ml 47,5ml

La condición superficial inicial de la probeta, tomada como referencia, corresponde a:

Primer desbaste unidireccional con papel abrasivo ANSI 1000 y posterior desbaste mecánico

unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500, en dirección ortogonal al primero.

A partir de esta condición superficial de la probeta se analizaron los siguientes tiempos de exposición

al agente corrosivo Keller:

Primera medición:

te= 5, 14, 20, 26, 36, 40, 50, 65, 85, 105, 125, 155, 195, 255, 495, 1695, 1995, 2295, 2595, 3195, 3495,

4095 seg.

Segunda medición:

te= 3, 8, 15, 25, 40, 50, 70, 90, 110, 150, 200, seg.

En cada uno de estos intervalos se obtuvo la curva de intensidad con la técnica ULOI, realizándose

además la adquisición de la imagen en la zona estudiada de la superficie, para la aplicación de la

técnica RIMAPS.

4.2.2 Ataque químico con compuesto Tucker sobre una superficie de aluminio

En este caso se analiza el daño ocasionado por el compuesto químico Tucker, sobre la probeta de

aluminio que se muestra en la Imagen 5.

Las técnicas ULOI y RIMAPS también se aplicaron en la zona central del grano cristalino

identificadas por la marca de referencia visible en la imagen.

18

La composición química del compuesto utilizado como agente corrosivo se indica en la siguiente tabla:

Compuesto H2O HNO3 HCl HF Total

Tucker 12,5ml 7,5ml 22,5ml 7,5ml 50ml

En este caso se utilizaron dos terminaciones superficiales iniciales de la probeta. La primera,

corresponde a un pulido electrolítico, para el cual solo se analiza la condición de daño extremo

ocasionado por el compuesto Tucker.

La segunda condición superficial inicial de la probeta, corresponde a:

Primer desbaste unidireccional con papel abrasivo ANSI 1000 y posterior desbaste mecánico

unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500, en dirección ortogonal al primero.

A partir de esta condición superficial de la probeta se analizaron los siguientes tiempos de exposición

al agente corrosivo Tucker:

te= 2, 5, 10, 15, 28, 50, 150, 210, 600 seg.

En cada uno de estos intervalos se obtuvo la curva de intensidad con la técnica ULOI, realizándose

además la adquisición de la imagen en la zona estudiada de la superficie, para la aplicación de la

técnica RIMAPS.

5. Análisis de los resultados

En general, para el análisis de las mediciones obtenidas, se debe tener en cuenta que tanto en las curvas

de intensidad de la técnica ULOI como en las gráficas RIMAPS, la información relevante se encuentra

en la posición angular relativa entre los máximos.

5.1 Resultados de los daños mecánicos

5.1.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.1

En la Fig. 2 se muestran las curvas de intensidad obtenidas aplicando la técnica ULOI.

La curva correspondiente a la superficie de referencia, muestra los dos picos característicos de la

dirección preferencial dada por la terminación de la superficie (Imagen 1).

0 45 90 135 180 225 270 3150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Fig. 2 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de aluminio.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.) Superficie arenada (te = 5 seg.) Superficie arenada (te = 15 seg.)

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

Para tiempos crecientes de exposición al arenado se observa, además de un incremento del offset de

ordenada, un enmascaramiento de la direcciones preferenciales iniciales, debido al patrón superficial

aleatorio generado por el impacto de las partículas de alúmina.

5.1.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.2

En la Fig. 3 se muestran las gráficas RIMAPS para la superficie de referencia, obtenida a partir de la

Imagen 3, y la correspondiente a un tiempo de arenado de 2 seg. (Imagen 8).


(desbaste ANSI 600 en dos direcciones) Tiempo de arenado: 2 seg.

Imagen 8

19

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0Pico 3

Pico 2Pico 1

Fig. 3 - Gráficas RIMAPS obtenidas para la superficiede aluminio con arenado.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.)

Ampl

itud

norm

aliz

ada

Rotación [grados]

Se aprecian los tres picos generados por las dos direcciones ortogonales de las líneas de desbaste

presentes en la superficie de la probeta.

En la siguiente tabla se compara la ubicación de los máximos para los dos casos de la Fig. 3:

Posición angular.

(te = 0 seg.)

Posición angular.

(te = 2 seg.)

Pico 1 01 11±=Mϕ 0

1 10 ±=Mϕ

Pico 2 02 192 ±=Mϕ 0

2 390 ±=Mϕ

Pico 3 03 1179 ±=Mϕ 0

3 2179 ±=Mϕ

Respecto de las direcciones preferenciales de la superficie, no se observan diferencias significativas

en la posición angular de los máximos.

Por otro lado, el daño mecánico aplicado produce un aumento en el ancho de la base de los picos

originales, correspondientes a las dos direcciones presentes en la superficie inicial.

Es importante resaltar que aún existiendo un patrón superficial inicial, la gráfica RIMAPS permite

detectar la baja densidad de impactos producidos en la superficie de aluminio, por el pequeño tiempo

de exposición al arenado.


En la Fig. 4 se muestra la curva de intensidad, correspondiente a la superficie inicial de la probeta de

acero inoxidable. Es posible apreciar los cuatro picos producidos por las dos direcciones ortogonales,

definidas por las líneas de desbaste practicadas con papel abrasivo ANSI 600.

20

0 45 90 135 180 225 270 3150

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Pico 4

Pico 3

Pico 2

Pico 1

Fig. 4 - Curva de intensidad, obtenidas para la superficie inicialde acero inoxidable.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

Solo con el objeto de ilustrar la información proporcionada por la curva de intensidad, a continuación

se determina la posición de los máximos y se calculan sus posiciones angulares relativas sin tener en

cuenta los errores angulares involucrados. De la Fig. 4 se obtiene:

Posición angular.

Pico 1 01 50=Mϕ

Pico 2 02 145=Mϕ

Pico 3 03 230=Mϕ

Pico 4 04 330=Mϕ

Ahora se calculan las posiciones relativas entre los máximos:

mecánico. desbaste de líneas las de dirección, otra la a ientescorrespond

picos, dos los de relativaangular Posición 185

mecánico. desbaste de líneas las de dirección, una a ientescorrespond

picos, dos los de relativaangular Posición 180

024

013

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

MM

MM

ϕϕ

ϕϕ

desbaste. de sdireccione dos las

entre relativaangular Posición 100

desbaste. de sdireccione dos lasentre relativaangular Posición

95

034

012

⎩⎨⎧

=−

⎩⎨⎧

=−

MM

MM

ϕϕ

ϕϕ

21

En la Fig. 5 se muestran las curvas de intensidad para los tres tiempos de exposición al arenado, en

contraste con la curva que corresponde a la superficie de referencia.

0 45 90 135 180 225 270 3150

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

Fig. 5 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de acero inoxidable.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 2 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 10 seg.)

V(ϕ)

[mV

]

ϕ [grados]

Nuevamente se obtiene que para tiempos crecientes de exposición al arenado se produce, además de un

incremento del offset de ordenada, un enmascaramiento de las direcciones preferenciales iniciales,

debido al patrón superficial aleatorio generado por el impacto de las partículas de alúmina.


En la Fig. 6 se muestra la gráfica RIMAPS, correspondiente a la superficie inicial de la probeta de

acero inoxidable (Imagen 4). Es posible apreciar los tres picos producidos por las dos direcciones

ortogonales, definidas por las líneas de desbaste practicadas con papel abrasivo ANSI 600.

22

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 6 - Gráfica RIMAPS de la superficie inicial de acero inoxidable.

Pico 3

Pico 2

Pico 1

Am

plitu

d N

orm

aliz

ada

Rotación [grados]

A continuación se determina la posición de los máximos y se calculan sus posiciones angulares

relativas.

De la Fig. 6 se obtiene:

Posición angular.

Pico 1 01 14 ±=Mϕ

Pico 2 02 494 ±=Mϕ

Pico 3 03 2180 ±=Mϕ

A continuación se calculan las posiciones relativas entre los máximos:

⎩⎨⎧

±=−

⎩⎨⎧

±=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧±=−

desbaste. de sdireccione dos lasentre relativaangular Posición

47,486

desbaste. de sdireccione dos las

entre relativaangular Posición 12,490

mecánico. desbaste de líneas las de dirección, una a ientescorrespond

picos, dos los de relativaangular Posición 12,4176

023

012

013

MM

MM

MM

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

Para la propagación del error en la posición angular, se aplicó la fórmula de propagación de errores,

considerando una variación Gaussiana de los picos [10].

En la Fig. 7 se muestran las curvas de intensidad para un tiempo de exposición al arenado de te = 2

seg., en contraste con la curva que corresponde a la superficie de referencia.

23

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 7 - Gráfica RIMAPS de la superficie inicial de acero inoxidable y,la correspondiente a un arenado de 2 seg.

Pico 3

Pico 2

Pico 1

Imagen de la superficie de referencia (te = 0 seg.) Imagen de la superficie arenada (te = 2 seg.)

Ampl

itud

Nor

mal

izad

a

Rotación [grados]

Respecto de las direcciones preferenciales de la superficie, podemos decir que no se observa una

modificación significativa en la posición de los máximos.

Pero por otro lado, el daño mecánico aplicado produce un aumento en el ancho de la base de los picos

originales, correspondientes a las dos direcciones presentes en la superficie inicial de la probeta.

Nuevamente, existiendo un patrón superficial inicial, la gráfica RIMAPS permite detectar la baja

densidad de impactos producidos en la superficie de acero inoxidable, por el pequeño tiempo de

exposición al arenado. Se debe notar que en este caso se trata de una superficie de dureza

considerablemente mayor a la del aluminio.


En la Fig. 8 se observa que para la superficie inicial de la probeta de material compuesto, las curvas de

intensidad no detectan direcciones preferenciales.

Luego, la exposición al arenado produce la aparición de picos generados por daño de los impactos

distribuidos en forma aleatoria.

24

0 45 90 135 180 225 270 3150

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Fig. 8 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de material compuesto.Rango = 2V, Error ∆V = 12mV.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 2 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 10 seg.) Superficie atacada (te = 15 seg.)

V(ϕ)

[mV

]

ϕ [grados]

No es posible detectar alguna dirección preferencial para ϕ = 90º, eventualmente establecida por la

incidencia rasante (30º) fijada para el flujo de partículas en este caso.

Con el objetivo de caracterizar los cambios en las curvas de intensidad, se procede a integrarlos en una

sola gráfica, calculando el área bajo cada curva y graficándola en el tiempo. En la Fig. 9 se muestra la

evolución del área normalizada para los distintos tiempos de exposición al arenado.

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.50.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Fig. 9 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidad,para el material compuesto arenado.

Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [segundos]

25


Las imágenes obtenidas para el caso del material compuesto son:


Superficie: Material compuesto (Estado inicial)

Imagen 9

Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Material compuesto

Tiempo de exposición al arenado: 2 seg. Imagen 10

En la Fig. 10 se muestran las gráficas RIMAPS para estas imágenes.

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 10 - Gráficas RIMAPS, obtenidas para la superficie inicial dematerial compuesto, y la correspondiente a un arenado de 2 seg.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.)

Ampl

itud

norm

aliz

ada

Rotación [grados]

En la gráfica RIMAPS de la superficie inicial se detecta una dirección preferencial, manifestada por

los picos ubicados alrededor de 0º y 180º. Tal dirección puede apreciarse en la Imagen 9 como líneas

horizontales. El máximo ubicado alrededor de los 65º, indica la presencia de líneas que van desde la

esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha de la Imagen 9.

26

Estas direcciones son producidas por plegamientos o deformaciones de la película de teflón, que

recubre a la probeta de material compuesto. Dado que la película de teflón resulta transparente a la luz

del haz LASER, ocurre que estas rugosidades lineales no son detectadas por las curvas de intensidad

de la técnica ULOI (Fig. 8).

En el caso de la superficie arenada, las direcciones mencionadas quedan enmascaradas, produciéndose

la aparición de nuevos picos que pueden atribuirse a direcciones generadas por la distribución aleatoria

de los impactos de partículas de alúmina.


En la Fig. 11 se muestran las curvas de intensidad obtenidas aplicando la técnica ULOI, para las

superficies descriptas. En estas mediciones se utilizó un paso angular de 10º.

Para todas las curvas de intensidad se utilizó la misma cadena de medición, lo que incluye el mismo

ángulo de incidencia del haz LASER.

0 45 90 135 180 225 270 3150

1500

3000

4500

6000

7500

9000

Fig. 11 - Curvas de intensidad de un desbaste unidireccional,para cuatro granulometrías diferentes.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

ANSI 400 (Vmax = 8790mV) ANSI 600 (Vmax = 4900mV) ANSI 1000 (Vmax = 1790mV) ANSI 1500 (Vmax = 2050mV)

V(ϕ)

= [m

V]

ϕ = [grados]

Los dos picos presentes en cada curva de intensidad revelan la existencia de la dirección preferencial

en la superficie de la probeta. Estos máximos se producen cuando las líneas de desbaste mecánico se

ubican en forma perpendicular a la dirección de incidencia del haz LASER. Por lo tanto se tienen dos

máximos separados 180º, uno ubicado alrededor de 90º y otro alrededor de 270º.

27

Dado que la profundidad de la rugosidad generada por el desbaste mecánico, es directamente

proporcional al tamaño de las partículas del papel abrasivo utilizado [9]. Podemos concluir que un

aumento en la profundidad de la rugosidad superficial de la probeta de aluminio produce:

- Aumento en la amplitud de los picos.

- Aumento en el ancho de la base de los picos.

- Un pequeño aumento del offset de ordenada.

Es posible integrar las variaciones ocurridas en estos tres parámetros característicos de los picos,

graficando el área bajo cada curva de intensidad en función de la granulometría.

Esto se muestra en la Fig. 12, donde se puede notar que para importantes incrementos en la

profundidad de la rugosidad superficial, superiores a la generada por el papel abrasivo ANSI 1000, el

área normalizada bajo los picos aumenta en forma proporcional. En cambio, para pequeñas variaciones

en la profundidad de la rugosidad superficial, por debajo de la generada por el papel abrasivo ANSI

1000, el área normalizada no sufre grandes cambios.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 ANSI_400

ANSI_1500

ANSI_1000

ANSI_600

Fig. 12 - Area normalizada bajo las curvas de intensidad, para cuatro valoresde profundidad de la rugosidad, dadas por el desbaste mecánicocon cuatro papeles abrasivos diferentes.

Area

nor

mal

izad

a

Granulometría [µm]


En la Fig. 13 se muestra la gráfica RIMAPS de la imagen tomada a la superficie de aluminio, con el

desbaste mecánico unidireccional proporcionado por el papel abrasivo ANSI 1500 (Imagen 7).

28

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig 13 - Gráfica RIMAPS de la imagen de la superficie de aluminio,la condición superficial corresponde a un desbaste mecánico ANSI 1500.

Ampl

itud

norm

aliz

ada

Rotación [grados]

Se observa un máximo en 95 ± 2º, que corresponde a la alineación horizontal de la única dirección

establecida por el desbaste mecánico.

5.2 Resultados de los ataques químicos


En la Fig. 14 se muestra la curva de intensidad obtenida para la superficie de referencia especificada.

0 45 90 135 180 225 270 3150

200

400

600

800

1000

1200

1400

∆ϕ = 175 + 14,14º

Pico 2Pico 1

Fig. 14 - Curva de intensidad, obtenida para la condicióninicial de la superficie de la probeta de aluminio.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

29

Los máximos se ubican en:

Pico 1 en 011 1090 ±=∆± MM ϕϕ

Pico 2 en 022 10265 ±=∆± MM ϕϕ

La posición angular relativa de los picos es:

( ) ( ) ( ) 022

211212 14,14175±=∆+∆±−=∆ MMMM ϕϕϕϕϕ *

Esto indica claramente la existencia de una única dirección preferencial en la superficie dada por el

desbaste mecánico. Esta información es coincidente con lo observado en la gráfica RIMAPS de la

misma superficie (Fig. 13).

A continuación se analizan los resultados obtenidos al utilizar el compuesto Keller como agente

corrosivo sobre la probeta de aluminio.

En la Fig. 15 se muestran los efectos sobre las curvas de intensidad para los primeros segundos de

exposición de la probeta al compuesto Keller.

0 45 90 135 180 225 270 3150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Pico 2Pico 1

Fig. 15 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiempos de exposiciónde la superficie de aluminio, al compuesto Keller.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.


V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

El análisis de las curvas de intensidad, como las mostradas en la Fig. 15, pero abarcando todo el rango

del tiempo de exposición “te” al agente corrosivo, ha permitido identificar tres etapas diferentes para la

evolución de dichas curvas. Estas etapas son:

* Para la propagación del error en la posición angular, se aplicó la fórmula de propagación de errores,

considerando una variación Gaussiana de los picos [10].

30

a. Daño superficial incipiente .1000 segte ≤<

En esta etapa se observó:

- Importante aumento en la amplitud de los picos.

- Significativo aumento en el ancho de la base de los picos.

- Marcado aumento en el offset de ordenada.

- No se detectó nuevas direcciones preferenciales en la superficie de la muestra.

Con el objetivo de caracterizar estos cambios, se procede a integrarlos en una sola gráfica, de forma

similar a lo planteado en los ítems 5.1.5 y 5.1.7. Entonces, se calcula el área bajo cada curva de

intensidad, luego se las normaliza respecto del máximo valor obtenido y finalmente se grafica el área

normalizada en función del tiempo. Un primer resultado se muestra en la Fig. 16.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 16 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Keller).

Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [segundos]

Al repetir las mediciones bajo las mismas condiciones, pero acotando con mas cuidado los ajustes de

la cadena de medición, como son el ángulo de incidencia y tiempo de estabilización del haz LASER,

se obtuvieron los resultados que se muestran en la Fig. 17.

31

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 1950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 17 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Keller).(nueva medición)

Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [segundos]

Realizando el ajuste de la curva mediante un crecimiento exponencial de primer orden, dado por

( ) Tt

eAtAn−

⋅+= 1 se obtiene:

0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ajuste de los valores de área normalizada,mediante un crecimiento exponencial de primer orden.(Keller)

Model: Evolución exponencial de primer orden.

A -0.77533 ±0.01849T 7.68767 ±0.42508

Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [seg]

( ) 68767,777533,01t

etAn−

⋅−=

La curva de la Fig. 17 sintetiza las modificaciones que se producen en los picos de las curvas de

intensidad, a medida que aumenta el tiempo de exposición de la superficie al agente corrosivo. La

evolución observada, puede ser utilizada para caracterizar la cinética del daño superficial incipiente.

32

b. Picado generalizado en avance .490.100 segtseg e ≤<


- Alteración en la forma y desplazamiento en la posición angular de los picos previamente

existentes.

- No se registró variaciones significativas en la amplitud de los picos previamente existentes.

- No se registró variaciones significativas en el offset de ordenada.

- No se detectó nuevas direcciones definidas, sino una modificación de las direcciones

preferenciales originales.

En la Fig. 18 muestra que, en esta etapa, la curva de área normalizada permanece prácticamente

constante.

105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 4900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [segundos]

En esta etapa, el picado generalizado producido por el agente corrosivo, genera un enmascaramiento

de la dirección definida por el desbaste mecánico inicial. Al mismo tiempo se fue revelando

gradualmente un nuevo ordenamiento subyacente y en una dirección diferente a las líneas de desbaste.

Esta nueva dirección se define por la manifestación incipiente de figuras de corrosión, producto de la

acción del agente corrosivo sobre el grano analizado. El conjunto de tales figuras de corrosión

incipientes surgen con un ordenamiento que es propio de la orientación cristalina que presenta el

grano.

Estos sucesos son los responsables de las alteraciones ocurridas en los picos de las curvas de

intensidad.

33

En la Imagen 11 se puede observar el picado generalizado de la superficie para 195 segundos de

exposición al compuesto Keller:

Tiempo

En las Figs. 19 y 20 se muestran las c

partir del cual es posible detectar el s

la probeta.

0 450

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

FievR

V(ϕ)

[mV

]


Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)

de exposición al compuesto Keller: 195seg. Imagen 11

urvas de intensidad, correspondientes al tiempo de exposición a

urgimiento de la nueva dirección preferencial en la superficie de

90 135 180 225 270 315

Alteraciónesen la forma del pico

Pico 2Pico 1

g. 19 - Manifestación de la nueva dirección preferencial,idenciada por alteraciones en el Pico 2.

ango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 195 seg.)

ϕ [grados]

34

0 45 90 135 180 225 270 3150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Alteracionesen la forma del pico

Desplazamiento del máximo

Fig. 20 - Manifestación de la nueva dirección preferencial,evidenciada por alteraciones en el Pico 1.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 255 seg.)

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

El tiempo de detección se encuentra alrededor de los 200 segundos de exposición al compuesto Keller.

c. Manifestación de las figuras de corrosión .4095.490 segtseg e ≤<


- Marcado desplazamiento en la posición angular de los picos previamente existentes.

- Importante reducción en el ancho de los picos.

- Reducción en el offset de ordenada.

- No se registró variaciones significativas en la amplitud de los picos.

- Se produjo la aparición y desplazamiento en la posición angular de un nuevo máximo (Pico 3).

Las Figs. 21 y 22 muestran los sucesos mencionados.

35

0 45 90 135 180 225 270 3150

1000

2000

3000

4000

5000

Pico 2

Pico 3

Pico 1

Fig. 21 - Evolución de las curvas de intensidad en la Etapa 3.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie atacada (te = 4095 seg.) Superficie atacada (te = 495 seg.) Superficie de referencia (te = 0 seg.)

V(ϕ)

[mV

]

ϕ [grados]

0 45 90 135 180 225 270 3150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Pico 2

Pico 1

Pico 3

Fig. 22 - Evolución de las curvas de intensidad en la Etapa 3.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

Superficie atacada (te = 4095 seg.) Superficie atacada (te = 1695 seg.)

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

Para integrar estos cambios en una sola gráfica recurrimos nuevamente a graficar el área normalizada

en función del tiempo. La Fig. 23 muestra el resultado obtenido.

36

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Are

a no

rmal

izad

a

Tiempo [segundos]

En esta etapa como consecuencia del avance del daño producido por el agente corrosivo, además de

ocurrir la casi total eliminación de la dirección preferencial dada por el desbaste mecánico, se produce

una marcada manifestación de las figuras de corrosión.

Esto genera dos fenómenos:

- Se define clara y en forma predominante la nueva dirección preferencial establecida por el

ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión.

- La geometría propia de las figuras de corrosión del grano, hace que se manifiesten nuevas

direcciones preferenciales.

El resultado son picos de pequeño ancho y gran amplitud generados por el ordenamiento del conjunto

de figuras de corrosión y, por otro lado, el surgimiento de nuevos picos producidos por la geometría

propia de las figuras de corrosión del grano.

Todo esto es coincidente con el decaimiento observado en la curva del área normalizada.

Para la obtención de las curvas de intensidad, en los distintos tiempos de exposición, la probeta de

aluminio se ubicó en la misma posición relativa respecto de la iluminación del haz LASER, por lo

tanto, es posible construir la Fig. 24 donde se muestra el desplazamiento de la posición angular de los

picos, en función del tiempo de exposición al agente corrosivo. A partir de los 1695 seg. se puede ver

la ubicación del nuevo máximo (Pico 3).

37

10 100 1000

45

90

135

180

225

270

315

360

Fig. 24 - Desplazamiento de la posición angular de los picosen función del tiempo de exposición.

Pico 1 Pico 2 Pico 3

Pos

ició

n an

gula

r [gr

ados

]

Tiempo [seg]

Las Figs. 25, 26 y 27 se puede ver el detalle del desplazamiento para cada pico en particular.

10 100 100050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

Fig. 25 - Desplazamiento angular del Pico 1.

Posi

ción

ang

ular

[gra

dos]

Tiempo [segundos]

38

10 100 1000220

230

240

250

260

270

280

290


Posi

ción

ang

ular

[gra

dos]

Tiempo [segundos]

1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000280

290

300

310

320

330

340

350


Posi

ción

ang

ular

[gra

dos]

Tiempo [seg]

La tabla siguiente da la posición angular inicial y final de cada pico.

Posición angular inicial. Posición angular final.

Pico 1 0

_1 1090 ±=inicialMϕ

(para te = 0 seg.)

0_1 5,265±=finalMϕ

(para te = 4095 seg.)

Pico 2 0

_2 10265±=inicialMϕ

(para te = 0 seg.)

0_2 5240±=finalMϕ


Pico 3 0

_3 20315±=inicialMϕ


0_3 5,195,335 ±=finalMϕ


39

Ahora se calculan las posiciones relativas entre los máximos:

corrosión. de figuras de conjunto del

toordenamien elpor originadadirección la a ientescorrespondpicos, dos los de relativaangular Posición

59,5175

mecánico. desbaste de líneas las dedirección la a ientescorrespondpicos, dos los de relativaangular Posición

14,14175

0_1_2

0_1_2

⎪⎩

⎪⎨

⎧±=−

⎩⎨⎧

±=−

finalMfinalM

inicialMinicialM

ϕϕ

ϕϕ

La posición angular relativa entre la dirección inicial “A” dada por las líneas de desbaste y la nueva

dirección “B” generada por el ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión es:

ABfinalMinicialM

finalMinicialM−

⎪⎭

⎪⎬⎫

±=−

±=−0

_2_2

0_1_1

18,1125

3,1025

ϕϕ

ϕϕ

Los valores angulares entre las direcciones definidas por la geometría propia de las figuras de

corrosión son:

CB

CB

finalMfinalM

finalMfinalM

−±=−

+−±=−0

_2_3

00_1_3

13,205,95

18066,195,270

ϕϕ

ϕϕ

Las direcciones “A”, “B” y “C” se indican en las Imágenes 12 y 13 obtenidas en el microscopio

electrónico de barrido, y corresponden a la superficie de aluminio para un tiempo de exposición de

4095 segundos al compuesto Keller:

T T

A D

B, C

Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 26µm, Alto: 21µm


iempo de ataque con Keller: 4095seg.Imagen 12

irección de las líneas de desbaste mecánico inicial.

Direcciones definidas por la geometría de las figuras de

40



iempo de ataque con Keller: 4095seg.Imagen 13

corrosión.


Picado generalizado en avance .490.100 segtseg e ≤<

Dentro de esta etapa ha sido posible obtener la gráfica RIMAPS a partir de la cual es posible detectar

el surgimiento de nuevas direcciones preferenciales, generadas por la manifestación gradual de figuras

de corrosión.

En la Fig. 28 se muestra la gráfica RIMAPS correspondiente a un tiempo de exposición de 195 seg., en

contraste con la superficie de referencia (Imagen 7).

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 28 - Gráfica RIMAPS en la que se manifestación de la nueva dirección preferencial,evidenciada por el desplazamiento del máximo en la gráfica RIMAPS.

Desplazamiento del máximo

Imagen de la superficie de referencia (te = 0 seg.) Imagen de la superficie atacada (te = 195 seg.)

Ampl

itud

Nor

mal

izad

a

Rotación [grados]

Se observa un aumento en el ancho de la base del pico mostrado por la gráfica RIMAPS.

La comparación en la posición del máximo de las dos gráficas, solo es posible porque que las dos

imágenes fueron tomadas en la misma zona del grano y se fijó la probeta en la misma posición

respecto del sistema de adquisición de imágenes. Se puede apreciar un leve desplazamiento del

máximo hacia la izquierda.

Tiempo de exposición = 0seg. 0295 ±=Mϕ

Tiempo de exposición = 195seg. 0190 ±=Mϕ

Manifestación de las figuras de corrosión .4095.490 segtseg e ≤<

Se observa una marcada modificación de la gráfica RIMAPS, respecto de la obtenida para la superficie

de referencia. La detección de nuevas direcciones, se debe a que en esta etapa se manifiestan en mayor

medida las figuras de corrosión.

En la siguiente imagen se muestra la superficie de aluminio para dos tiempos de exposición

pertenecientes a esta etapa.

41

T

T

La gráfica RIMAPS correspondiente

0 150.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 29 de la su

Ampl

itud

norm

aliz

ada


(desbaste inicial ANSI 1500) iempo de ataque con Keller: 1995seg.

Imagen 14



Tiempo de ataque con Keller: 4095seg. Imagen 16


(desbaste inicial ANSI 1500) iempo de ataque con Keller: 4095seg.

Imagen 15

a la Imagen 16 se muestra en la Fig. 29.

30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

Pico C

Pico BPico A

- Gráfica RIMAPS para un tiempo de exposición de 4095seg,perficie de aluminio al compuesto Keller.

Rotación [grados]

42

Las ubicaciones de los máximos principales son:

Posición angular del máximo.

Pico A 0374 ±=MAϕ

Pico B 0190 ±=MBϕ

Pico C 01144 ±=MCϕ

Las posiciones angulares relativas resultan:

0

0

0

16,370

41,154

16,316

±=−

±=−

±=−

MAMC

MBMC

MAMB

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ


En primer lugar se analiza el ataque con el compuesto Tucker, a la probeta de aluminio con una

terminación superficial proporcionada por un pulido electrolítico.

Realizando sistemáticamente inspecciones en el microscopio óptico y la aplicación de la técnica ULOI,

sobre la superficie de la probeta para distintos tiempos de exposición al agente corrosivo, no se detectó

el picado generalizado, ni el surgimiento gradual de figuras de corrosión. Por el contrario, a partir de

un instante determinado se produjo la manifestación de figuras de corrosión localizadas en las zonas

deformadas mecánicamente del grano analizado (alrededor de la marca practicada para la

identificación del grano). Luego de ese momento, se observó la distribución abrupta de figuras de

corrosión en todo el grano.

Debido a este comportamiento aquí solo se analiza la condición de daño extremo que presenta la

superficie luego de un tiempo de exposición prolongado. La curva de intensidad para tal condición se

muestra en la Fig. 30.

43

0 45 90 135 180 225 270 3150

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Pico 3

Pico 2

Pico 1

Fig. 30 - Curva de intensidad correspondiente a la superficie de aluminiopulida electrolíticamente, y luego expuesta al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

Las ubicaciones de los máximos son:


Pico 1 01 5,264 ±=Mϕ

Pico 2 02 5,75,222 ±=Mϕ

Pico 3 03 15325 ±=Mϕ

Las siguientes posiciones angulares relativas son valores angulares entre las direcciones definidas por

la geometría propia de las figuras de corrosión:

013

023

012

2,15261

77,165,102

9,75,158

±=−

±=−

±=−

MM

MM

MM

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

β1

β3c

b β2

a

( ) 00003

002

001

2,1599215261360c 180

16,77102,5b 180

9,75,158a 180

±=±=−=

±=−=

±=−=

,-β

β

β

44

Donde 1β , 2β y 3β son los ángulos entre las aristas de las figuras de corrosión para el grano

estudiado. En el esquema anterior, las flechas indican la dirección del haz LASER que produce un

máximo en la curva de intensidad, tales direcciones resultan perpendiculares a las aristas de la figura

de corrosión.

A continuación se muestran los resultados obtenidos al practicar sobre la misma probeta, la

terminación superficial por desbaste mecánico con papel abrasivo ANSI 1500 y manteniendo al

compuesto Tucker como agente corrosivo.

En la Fig. 31 se muestran los efectos sobre las curvas de intensidad para los primeros segundos de

exposición.

0 45 90 135 180 225 270 3150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

Fig. 31 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiempos de exposiciónde la superficie de aluminio, al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.


V(ϕ)

[mV

]

ϕ [grados]

La evolución de la curva de área normalizada en la Etapa 1 (daño superficial incipiente), se muestra en

la Fig. 32:

45

0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 32 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Tucker).

Area

nor

mal

izad

a

tiempo [seg]

Realizando el ajuste de la curva mediante un crecimiento exponencial de primer orden, dado por

( ) Tt

eAtAn−

⋅+= 1 se obtiene:

0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ajuste de los valores de área normalizada,mediante un crecimiento exponencial de primer orden.(Tucker)

Model: Evolución exponencial de primer orden.

A -0.81978 ±0.03819T 7.50351 ±0.80697

Area

nor

mal

izad

a

Tiempo [seg]

( ) 50351,781978,01t

etAn−

⋅−=

La curva de intensidad correspondiente al daño extremo, para un tiempo de exposición de 600

segundos al agente Tucker, es mostrada en la Fig. 33:

46

0 45 90 135 180 225 270 3150

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Pico 3

Pico 2Pico 1

Fig. 33 - Curva de intensidad correspondiente a la superficie de aluminiocon desbaste mecánico inicial y luego expuesta,600 seg. al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.

V(ϕ)

[mV]

ϕ [grados]

Debe notarse que la forma particular del Pico 2 se debe a la saturación del sistema sensor de

intensidad.

Las ubicaciones de los máximos son:


Pico 1 01 5,282 ±=Mϕ

Pico 2 02 20225 ±=Mϕ

Pico 3 03 5,2313 ±=Mϕ

Las siguientes posiciones angulares relativas son valores angulares entre las direcciones definidas por

la geometría propia de las figuras de corrosión:

013

023

012

54,3231

16,2088

16,20143

±=−

±=−

±=−

MM

MM

MM

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

Las direcciones “A”, “B”,“C” y “D” que se indican en las Imágenes 17, 18 y 19 obtenidas en el

microscopio electrónico de barrido, corresponden a la superficie de aluminio, con desbaste mecánico,

para un tiempo de exposición de 600 segundos al compuesto Tucker:

47

A D

B, C,



Tiempo de ataque con Tucker: 600seg.Imagen 17

irección de las líneas de desbaste mecánico inicial.

D Direcciones definidas por la geometría de las figura

48







s de corrosión.

Existen diferencias apreciables al comparar estos valores angulares, y los obtenidos para la misma

terminación superficial atacada con Keller y la superficie con pulido electrolítico atacada con Tucker.

Se debe tener en cuenta que aún tratándose del mismo grano analizado en la probeta, la geometría de

las figuras de corrosión es revelada en forma distinta por los dos compuestos, Keller y Tucker. Esto

puede verificarse observando las Imágenes 12, 13, 17, 18 y 19. Además debe sumarse la influencia de

las deformaciones ocasionadas por el desbaste mecánico inicial de la superficie.

6. Proyección de los resultados obtenidos en la caracterización del daño químico

Los resultados que se han obtenido al exponer la superficie de aluminio, con distintas terminaciones

superficiales, a la acción de dos compuestos químicos, permiten concluir que el proceso de corrosión

en general dependerá de:

- Metal atacado.

- Condiciones ambientales (agente corrosivo, temperatura, presión, etc).

- Terminación de la superficie, caracterizada por la rugosidad, deformaciones y tensiones

superficiales del metal.

Sin olvidar los complejos procesos físico-químicos involucrados en la corrosión, es posible plantear la

hipótesis de que las deformaciones superficiales, ocasionadas por el desbaste mecánico, generan una

distribución de tensiones en la superficie que favorece el proceso de corrosión, a través del cual se

facilita la liberación de energía por parte de la estructura superficial del metal. Por otra parte si se

considera que durante el proceso de pulido electrolítico se produce liberación de tensiones en la

superficie, es posible comprender el comportamiento tan diferente del proceso de corrosión entre los

dos tipos de terminaciones superficiales (pulido electrolítico y desbaste con papel abrasivo) para el

mismo agente corrosivo (Tucker) y metal estudiado (aluminio).

En particular para la superficie correspondiente al desbaste mecánico con papel abrasivo ANSI 1500,

el comportamiento del área normalizada, para las curvas de intensidad obtenidas mediante la técnica

ULOI, se pueden resumir en el siguiente esquema:

31 2

1

0 tiempo

Are

a no

rmal

izad

a

0

49

50

La evolución temporal de cada etapa se caracteriza por:

1.- Etapa de daño superficial incipiente:

Es función de la terminación de la superficie del metal (rugosidad y deformaciones superficiales).

2.- Etapa de picado generalizado en avance:

La evolución de las curvas de intensidad en esta etapa, depende de la diferencia entre la dirección

inicial dada por las líneas de desbaste y, la nueva dirección definida por el ordenamiento del conjunto

de figuras de corrosión. La curva de área normalizada permanece prácticamente sin cambio.

3.- Etapa de Manifestación de las figuras de corrosión:

Es determinada por:

- Ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión.

- Geometría propia de las figuras de corrosión y, la forma en que esta geometría es revelada por

el agente corrosivo que ataca la superficie.

Las Etapas 2 y 3 son muy sensibles a la orientación cristalina del grano analizado.

Estos resultados inducen a pensar en una posible relación entre la evolución temporal de la Etapa 1,

definida por su constante de crecimiento “T” y, la velocidad de corrosión final luego de la Etapa 3. De

existir tal relación, manteniendo entonces la misma terminación de la superficie del metal por algún

desbaste mecánico y, modificando solo el agente corrosivo, se podría predecir el rango en el que se

encuentra la velocidad de corrosión del metal (daño extremo), a partir de la cinética de la Etapa 1

(daño incipiente). Esto haría posible, la comparación del proceso de corrosión entre distintos agentes,

o condiciones ambientales en general, por la caracterización de la Etapa 1 en cada caso.

En la Etapa 1 no se manifiestan figuras de corrosión, sino que ocurre un picado generalizado que

produce un aumento de intensidad del patrón de difracción captado por el objetivo del microscopio.

Resulta interesante plantear nuevos ensayos, que permitan evaluar la posibilidad de cierta

independencia, en la evolución del área normalizada observada en esta etapa, respecto de la

orientación cristalina del grano, o más aún, del número de granos abarcados por el campo visual.

7. Conclusiones generales

En las experiencias llevadas a cabo, se produjo distintas alteraciones superficiales, tanto químicas

como mecánicas, en los materiales analizados. El estudio mediante las técnicas ULOI y RIMAPS, han

suministrado alentadores resultados.

En coincidencia con trabajos anteriores [2], la gráfica ULOI de la superficie de aluminio con pulido

electrolítico, reveló los ángulos ( )β entre las aristas de las figuras de corrosión.

El análisis de las mediciones realizadas para los distintos tipos de daño condujo a plantear las gráficas

del área normalizada en función del tiempo, las que aportan importante información sobre la evolución

del daño en la superficie estudiada. Específicamente para el caso del ataque químico, estas gráficas

permitieron encontrar un comportamiento característico para la etapa de daño químico incipiente. A tal

evolución temporal inicial del área normalizada en función del tiempo se la ha denominado Etapa 1 o

Etapa de daño superficial incipiente.

Si bien en este trabajo se ha calculado el área normalizada, a partir de las curvas de intensidad

proporcionadas por la técnica ULOI, no se descarta un cálculo similar basado en las gráficas RIMAPS.

Por otra parte, una vez superada la etapa de daño incipiente, fue posible detectar el surgimiento de

figuras de corrosión, manifestado por la alteración evidente de las gráficas suministradas por ULOI y

RIMAPS, respecto de las obtenidas para las superficies de referencia antes de producir el daño.

51

52

8. Referencias

1. Eduardo A. Favret and Francisco Povolo, Microscopy Research and Technique. 2001. 55, 270

– 281.

2. Eduardo Favret, Francisco Povolo and Adrian Cazian, Practical Metallographie. 1999. 36, 206

– 215.

3. J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. 2nd edn. Berkeley, 1974.

4. Bruno Rossi, professor of phisics MIT. Optics. Addison-Wesley Publishing Company,Inc.

Cambridge, Massachusetts, 1956.

5. Eduardo A. Favret and Nestor O. Fuentes, Materials Characterization. 2003. 49, 387 – 393

6. Nestor O. Fuentes and Eduardo A. Favret, Journal of Microscopy. 2002. 206, 72 – 83

7. William K. Pratt. Digital Image Processing. 2nd edn. John Wiley & Sons, Inc. New York,

1991.

8. Edward R. Dougherty, Charles R. Giardina. Matriz Structured Image Processing. Prentice

Hall, Inc. New Jersey, 1987.

9. Günter Petzow. Metallographic Etching. Compliments of BUEHLER. Stuttgart, West

Germany, 1977.

10. Glenn F. Knoll. Radiation Detection and Measurement. 3th edn. John Wiley & Sons, Inc. New

York, 1999.

53

10. Agradecimientos

A mis padres Aldo y Esther.

A Florencia, por dedicarme tanta paciencia y ternura.

A mis hermanas Vanesa, Guadalupe y Jesica, por todo su cariño.

Un especial agradecimiento a Maria Eugenia, Leandro, Natalia, Rafael y Agustín, por su desinteresada

ayuda y por la confianza que siempre han tenido en mí.

Un cálido agradecimiento a Roberto, Marta y Luciana Cápula, por la gran consideración y afecto que

me han brindado.

Al Ing. Roberto A. Riachi, por su calidad humana y por el respaldo con el que siempre he podido

contar.

A los Ings. Eduardo González y Juan Picco, por la predisposición a escucharme y su oportuno apoyo.

A los Drs. Nestor O. Fuentes y Eduardo A. Favret por todo lo ofrecido.

A los Sres. Ramón A. Castillo Guerra y Ricardo J. Montero por facilitarme el acceso al laboratorio de

microscopía y por su invalorable asistencia.

Al Sr. Héctor A. Raffaeli por su gran ayuda en los ensayos.

A Sra. Marcela Margutti y Lic. Angélica Straus por la atención dedicada durante todo este tiempo.

Al Instituto Balseiro y al Dr. Carlos J. Gho por hacer esto posible.

Apéndice 1: Conceptos relacionados con la técnica ULOI

Esta técnica consiste en utilizar un haz LASER, incidente en forma oblicua sobre la muestra, como

fuente de iluminación en un microscopio de reflexión para observaciones metalográficas.

Ocular

Fuente de alta tensión.

Fuente de 12Vdc.

220Vac 50Hz

(φ)V(φ) = [mV] α IVoltímetro

Sistema sensor de intensidad de luz

Sistema soporte de posicionamiento del cañón LASER

LASER 30 mW λ = 632,8 nm

b

Hr

Hi

Objetivo

PD

r

0 ≤ φ < 360

Muestra

αα

a

Sistema óptico

Hi Haz incidente. Hr Haz reflejado.

PD Patrón de difracción. Fig. A1

54

La rugosidad superficial de la muestra constituye un sistema de difracción, definido por una longitud

característica. Como consecuencia de la interacción del haz incidente con la superficie de la muestra,

se generan ondas reflejadas y difractadas. La distribución angular de las ondas en la región de

difracción se denomina patrón de difracción. Siendo éste función de la geometría involucrada, deben

considerarse tres escalas de longitud:

1) Longitud característica “d” del sistema de difracción.

2) Distancia “r” desde el sistema de difracción hasta el punto de observación.

3) Longitud de onda “λ” del haz LASER.

Las ondas difractadas se generan cuando el haz LASER incidente encuentra en su camino estructuras

cuyas dimensiones, son del orden de magnitud de la longitud de onda λ de la luz monocromática que

conforma el haz. Tales estructuras dadas por la rugosidad superficial de la muestra, que actúan como

sistema de difracción, pueden tener diversos orígenes: rugosidad cristalina, capas de óxido, líneas de

pulido y en general relieves superficiales producidos por la acción de reactivos químicos o procesos

mecánicos.

Dado que el ángulo de incidencia α utilizado para el haz LASER es aproximadamente 10º, en el

objetivo del microscopio ingresan las ondas correspondientes a los ordenes de difracción mas altos

generados por la topografía de la superficie.

Se destaca que, por el tipo y forma de iluminación utilizada en esta técnica, el objetivo buscado no es

la observación directa de la rugosidad superficial de la muestra, ya que la nitidez es afectada por la

elevada coherencia del haz LASER. En su lugar se realiza la medición de la intensidad de luz del

patrón de difracción capturado por el objetivo, lo que posibilita la detección de estructuras

superficiales, aún cuando estas se encuentren por debajo del poder de resolución del objetivo.

Las curvas de intensidad de luz LASER ( )ϕI se obtienen rotando la muestra alrededor de un eje

perpendicular a su superficie, tal como se indica en la Fig. A1, y registrando, con un fotómetro a través

del objetivo del microscopio, la intensidad de luz ( )ϕI dispersada por la superficie.

A continuación se muestran imágenes del sistema utilizado, para la aplicación de la técnica ULOI en

las experiencias realizadas:

55

Microscopio, sistema LASER y sistema

sensor de intensidad del patrón de difracción.

Cañón LASER y su sistema de posicionamiento.

Sistema sensor de intensidad del patrón de difracción. En el ocular puede apreciarse la difracción del haz LASER captada por el

objetivo del microscopio.

Muestra de aluminio, ocular y sistema de rotación del microscopio utilizado.

Sistema sensor de intensidad del patrón de difracción, y su conexión directa al

voltímetro digital.

56

Apéndice 2: Conceptos relacionados con la técnica RIMAPS

Los procedimientos de cálculo involucrados en la obtención de los Coeficientes de la Serie

Exponencial de Fourier, como de la Transformada de Fourier de una función, son básicamente

operaciones de integración.

Estas ecuaciones pueden plantearse de tres formas:

1) Expresiones Continuas Analíticas.

2) Expresiones Discretas en Serie.

3) Expresiones Matriciales Numéricas.

57

)Donde las expresiones del ítem 1, involucran variables independientes continuas

, obteniendo así funciones continuas. ( alesRe ntesindependie variables ∈

Luego para posibilitar el tratamiento de señales por sistemas de procesamiento digital, en la práctica

surge la necesidad de tomar las señales analógicas (funciones contínuas) y realizar sobre ellas un

proceso de digitalización, el cual se puede dividir en tres pasos básicos: Muestreo, Cuantificación y

Codificación.

(Continua)Analógica Señal

Muestreo ciónCuantifica ónCodificaci

tiempo)elen y amplituden

ada(DiscretizDigital Señal

Las señales de variables independientes discretas ( )Naturales∈ ntesindependie variables y sus

expresiones asociadas, se incluyen en los ítems 2 y 3, siendo éstas, aproximaciones de las ecuaciones

del ítem 1.

1 - Funciones de una variable independiente:

1.1 Expresiones analíticas continuas

Considerando

( ) ( )120

... 2y con funciones de ortogonal Conjunto

)( integrable nteabsolutame continuafunción )(

xxwwenterosZne

dxxfxf

xwni

−==∈→

∞<⋅⇒→ ∫∞

∞−

π

Es posible plantear:

1.1.1 Serie exponencial de Fourier

La función queda representada en el intervalo ( )xf [ ]21; xx mediante la serie:

∑∞

−∞=

⋅⋅⋅ ≤≤⋅=n

xwnin xxxefxf 21 )(

siendo

( ) Fourier de lexponencia serie la de complejos esCoeficient )(1 2

112

→⋅⋅⋅−

= ∫ ⋅⋅⋅−x

x

xwnin dxexf

xxf

Euler de Fórmula )()cos( →⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅ xwnsenixwne xwni

sortogonale funciones de conjunto del Norma )( 12 →−=⋅⋅⋅ xxe xwni

Cuando es función real resulta y como ( )xf nn ff −=* *nn ff = entonces nn ff −= . Esto significa

que toda función real posee una gráfica de los módulos de las componentes espectrales de Fourier

simétrica al eje de ordenadas.

Para no periódica, la serie representa a la función, solo en el intervalo [ ] . ( )xf 21; xx

Para periódica de período ( )xf X , se tiene ( ) ( )Xxfxf += . Al tomar:

2y

2 21XxXx =−= entonces la serie representa a la función solo en el intervalo [ ]∞∞− ; de la

variable . x

1.1.2 Transformada de Fourier y su inversa

∫∞

∞−

⋅⋅− →⋅⋅= )( deFourier de daTransforma )()( xfdxexfwF xwi

donde es la Función de Densidad Espectral. ( )wF

∫∞

∞−

⋅⋅ →⋅⋅= )(F deFourier de inversa daTransforma )(21)( wdwewFxf xwi

π

Cuando es función real resulta ( )xf ( ) ( )wFwF −=* y como ( ) ( )*wFwF =

entonces ( ) ( )wFwF −= .

Esto significa que toda función real posee una gráfica del módulo de la Densidad Espectral que resulta

simétrica al eje de ordenadas.

Para no periódica, resulta una Función de Densidad Espectral continua. ( )xf

Para periódica, resulta una Función de Densidad Espectral dada por funciones impulso (deltas de

Dirac):

( )xf

( ) Fourier. de lexponencia serie la de complejos esCoeficienty 2 donde

)(2)(

120

0

→−

=

⋅−⋅⋅= ∑∞

−∞=

n

nn

fxx

w

wnwfwF

π

δπ

58

1.1.3 Función de Densidad Espectral

Se puede expresar la función de densidad espectral ( )wF en función de los coeficientes complejos de la

serie exponencial de Fourier como: nf

( )

( ) ( ) ∫ ⋅⋅⋅−

=−

=

⋅−=

⋅⋅⋅−

⋅=

2

1

0

)(1 ; 2con

)(

12120

12

x

x

xwnin

nwnw

dxexfxx

fxx

w

fxxwF

π

1.2 Expresiones Discretas en Serie

Si se muestrea la señal continua en el intervalo ( )xf [ ]21; xx , resultan M valores.

( )xf

1x 2x

x 0 1 2 3 4 --------------------------- (M-1)

m

Planteando ( )M

xxx 12 −=∆

Es posible discretizar la variable independiente, de la forma:

( )1...3,2,1,0 que tal −=∆⋅= Mmxmx

1.2.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier

59

( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤≤⎩⎨⎧

→→

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅≈

−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅−

≈

−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅−

=

∆⋅⋅∆⋅⋅−

=

∆⋅⋅⋅−

=

→⋅⋅⋅−

=

∑

∑

∑

∑

∑

∫

−

=

⋅⋅⋅−

−

=

−⋅⋅

−⋅⋅−

−

=

−⋅⋅

−⋅⋅−

∞→

−

=

∆⋅⋅−

⋅⋅−

∞→

−

=

⋅⋅⋅−

∞→

⋅⋅⋅−

10con discreta variable

discreta frecuencia siendo 1

1

lim1

)(lim1

)(lim1

contínua analíticaExpresión )(1

1

0

212

1

0

122

12

12

1

0

122

12

12

1

0

2

12

1

012

12

12

12

12

12

12

2

1

Mnmn

eM

xxmf

Mf

Mxxe

Mxxmf

xxf

Mxxe

Mxxmf

xxf

xexmfxx

f

xexfxx

f

dxexfxx

f

M

m

mMni

n

M

m

Mxx

mxx

ni

n

M

m

Mxx

mxx

ni

Mn

M

m

xmxx

ni

Mn

M

m

xwni

Mn

x

x

xwnin

π

π

π

π


Teniendo en cuenta que ( ) nwnwfxxwF ⋅−=

⋅= 120

)(

De las ecuaciones anteriores se obtiene la expresión discreta en serie de la función de densidad

espectral.

( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤≤⎩⎨⎧

→→

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅−

=⋅ ∑−

=

⋅⋅⋅−


discreta frecuencia siendo

1

0

21212

0

Mnmn

eM

xxmfM

xxwnFM

m

mMni π

Para la Transformada inversa se tiene:

( ) ( )∑

∫

−=

⋅∆⋅⋅−

∞→

∞

∞−

∆⋅⋅∆⋅⋅=

∈∆⋅=

→⋅⋅=

M

Mn

xwni

M

iwx

wewnFxf

Naturalesnwnww

dwewFxf

lim21

resulta que tal :forma la de variablela ndoDiscretiza

contínua analíticaExpresión )(21)(

π

π

Cuando es función real, entonces se cumple la propiedad de simetría conjugada de la Función de

Densidad Espectral

( )xf

NaturaleskMkwnFwnF ∈⋅+⋅−=⋅ que tal)()( 0*

0

Por lo tanto, solo es necesario conocer 0)( 0 ≥∀⋅ nwnF ya que a partir de estos es posible conocer

los 0)( 0 <∀⋅ nwnF

60

Entonces,

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤≤⎩⎨⎧

→→

⋅⋅⋅−

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅

∈−

=∆∆⋅=→

⋅⋅⋅−

≈

⋅⋅∆⋅⋅≈

−==⋅−⋅+=∆

∆⋅⋅∆⋅⋅≈

∆⋅⋅∆⋅⋅≈

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

⋅⋅⋅

−

=

⋅−

⋅⋅−

−

=

⋅⋅⋅−

−

=

⋅∆⋅⋅−

=

⋅∆⋅⋅−

∞→


discreta frecuencia siendo 1

y que tal variablela mosDiscretiza

1

21

2)1( si

21

lim21

1

0

2

012

12

12

1

0

2

012

1

00

12000

1

0

0

12

0

Mmmn

ewnFxxM

xxmf

NaturalesmM

xxxxmxx

ewnFxx

xf

wewnFxf

xxwwnwnw

wewnFxf

wewnFxf

M

n

mMni

M

n

xxx

ni

M

n

xwni

M

n

xwni

M

n

xwni

M

π

π

π

ππ

π

Siendo esta la expresión discreta en serie de la transformada inversa de Fourier.

1.3 Expresiones Matriciales Numéricas

En este tipo de notación, las ecuaciones contienen la misma información que las expresiones discretas

en series, solo que en este caso los valores numéricos complejos se plantean en forma explícita

mediante arreglos matriciales, adaptándose de esta forma para el tratamiento mediante procesadores

digitales.

1.3.1 Coeficientes de la Serie exponencial de Fourier

EfM

f mn ⋅⋅=1

donde:

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Mi

M

M

M

m

Mn

eW

WW

WWWWWWWW

WWWW

E

MxxMf

Mxxf

Mxxfff

fffff

π2

10

12420

1210

0000

121212

1210

con

120

2

⋅−

−

−⋅

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

LLL

MM

L

L

L

L

L

61


( ) EfM

xxF mwn ⋅⋅−

=⋅12

0 (Transformada de Fourier)

( )*

120

1 EFxx

f wnm ⋅⋅−

= ⋅ (Transformada inversa de Fourier)

donde:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]000 1200

wMFwFwFFF wn ⋅−⋅=⋅ L

La matriz *E se obtiene aplicando la operación conjugado a cada elemento de la matriz E .

2 - Funciones de dos variables independientes:

Este tipo de funciones surgen al realizar una caracterización matemática de imágenes continuas.

Se considera que la función ( )λ,,, tyxI representa la distribución espacial de energía de longitud de

onda λ , en las coordenadas ( y tiempo t de una imagen fuente. )

)

yx,

Dado que la distribución espacial de energía es proporcional al módulo cuadrado del vector campo

eléctrico: ( ) ( 2,,,,,, λλ tyxEtyxI

r∝ resulta que ( )λ,,, tyxI es una función REAL y NO NEGATIVA.

En todos los sistemas de adquisición de imágenes, siempre existe una pequeña cantidad de luz de

fondo, esto implica que ( ) 0,,, >λtyxI . Además dichos sistemas imponen alguna restricción en la

máxima intensidad ”A” de una imagen, por lo tanto se tiene: ( ) AtyxI ≤< λ,,,0 , donde A es un valor

real positivo.

Una imagen física es necesariamente limitada, en su extensión espacial, por el sistema de adquisición,

entonces los intervalos de existencia de la función de distribución espacial de energía son:

, ⎩⎨⎧

≤≤≤≤

21

21

yyyxxx

El intervalo finito de observación es: 21 ttt ≤≤ .

Como la imagen registrada dependerá de la respuesta espectral del sistema de adquisición, se define:

( ) ( )n.adquisició de cadena la de espectral Respuesta

),,,(,,,0 →=λλ

λtyxItyxI

S

En los sistemas de adquisición, el campo imagen observado es modelado como una integral

espectralmente ponderada de la función de distribución espacial de energía:

62

( )λ,,, tyxI

63

Entonces si ( ) ( ) ( )λλλ StyxItyxI ⋅= ,,,,,,0 , la función respuesta de intensidad se obtiene integrando la

función de distribución espacial de energía en todas las longitudes de onda:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .intensidad de respuestaFunción ,,,,,

,,,,,,

0

000

→⋅⋅=

⋅⋅=⋅

∫

∫∫∞

∞∞

λλλ

λλλλλ

dStyxItyxf

dStyxIdtyxI

Se consideran solo sistemas en los que no se tiene dependencia temporal, por lo tanto:

( ) ( ) ( )∫∞

⋅⋅=0

,,, λλλ dSyxIyxf

donde:

( )( )

( ) imágen.Función o intensidad de respuestaFunción ,energía. de espacialón distribuci deFunción ,,0

n.adquisició de cadena la de espectral Respuesta

→→≤<

→

yxfAyxI

Sλ

λ

La función imagen caracteriza matemáticamente la imagen continua observada por el sistema de

adquisición.

Como restricción final, se asume que la función imagen ( )yxf , es continua sobre todo su dominio de

definición . ⎩⎨⎧

≤≤≤≤

21

21

yyyxxx

Ahora es posible plantear sobre esta función, las expresiones relacionadas con la serie exponencial y

transformada de Fourier.

Transferencia Óptica

(lentes, filtros, etc)

Transferencia Electrónica

(sensor, amplificador, etc) ∫ λdK( )λ,,,0 tyxI

( )λ,,, tyxf

2.1 Expresiones analíticas continuas

64

)Si es función continua absolutamente integrable, es decir, se cumple ( yxf , ( )∫ ∫∞

∞−

∞<⋅⋅ dydxyxf ,

y se define: ( )

( )( )

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−==

−==

⎭⎬⎫

∈∈

→=⋅ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

120

120

2

2

y

:cuando sortogonale funciones de Conjunto

yyww

xxww

enterosZuenterosZv

eee

yy

xx

ywuxwviywuixwvi yxyx

π

π

Verificación de ortogonalidad:

( ) ( )

⎩⎨⎧

→⋅⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

funciones. de conjunto del interno Producto2

1

2

1

x

x

y

y

ywmxwniywuxwvi dydxee yxyx

Para y : mu = nv =

( ) ( ) ( ) ( )22

1212

2

1

2

1

Normaeyyxxdydx ywuxwvix

x

y

y

yx ==−⋅−=⋅ ⋅⋅+⋅⋅∫ ∫

Para y : mu = nv ≠

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫ ⋅⋅−=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

2

1

2

1

2

1

210

x

x

xwnvix

x

y

y

xwnixwvi dxeyydxdyeee xxx

Si ( )120

2xx

ww xx −==

π como ( ) (enterosZ)( )(

∈−⇒⎭⎬⎫

∈∈

nventerosZnenterosZv )

)

Entonces ( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02

1

12 →=⋅⋅− ∫ ⋅⋅−x

x

xwnvi dxeyy x

Para y : mu ≠ nv =

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫ ⋅⋅−=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

2

1

2

1

2

1

210

y

y

ywmuiy

y

x

x

ywmiywui dyexxdydxeee yyy

Si ( 120

2yy

ww yy −==

π como ( ) (enterosZ)( )(

∈−⇒⎭⎬⎫

∈∈

muenterosZmenterosZu )

Entonces ( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02

1

12 →=⋅⋅− ∫ ⋅⋅−y

y

ywmui dyexx y

Para y : mu ≠ nv ≠

De lo anterior

( )( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02

1

2

1

→=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅−⋅⋅−

x

x

y

y

ywmuixwnvi dxdyee yx

Se concluye que si:

( ) ( )( )( )

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∈

−==

−==

enterosZmenterosZn

enterosZuenterosZv

yyww

xxww yyxx ; ; 2 ; 2

120

120

ππ

Resulta:

( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ ==∀−⋅−

=⋅⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

contrario casoen 0y 1212

2

1

2

1

nvmuyyxxdydxee

x

x

y

y

ywmxwniywuxwvi yxyx

A partir de lo cual, es posible plantear:

2.1.1 Serie exponencial de Fourier

Se representa la función en el dominio dado por los intervalos: mediante la serie: ( yxf , ) ][ ][⎩⎨⎧

21

21

;;

yyxx

( ) ( )∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅⋅+⋅⋅⋅=u v

ywuxwvivu

yxefyxf ,

siendo:

( ) ( ) ( ) ( )

⎩⎨⎧

→⋅⋅⋅−⋅−

= ∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−

Fourier. de lexponencia serie la decomplejos esCoeficient

,1 2

1

2

11212

x

x

y

y

ywuxwvivu dydxeyxf

yyxxf yx

( ) ( ) ( ) Euler. de Fórmula cos →⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ywuxwvseniywuxwve yxyxywuxwvi yx

( ) ( ) ( ) funciones. de ortogonal conjunto del Norma 1212 →−⋅−=⋅⋅+⋅⋅ yyxxe ywuxwvi yx

Para función real, se cumple la propiedad de simetría conjugada: ( yxF , )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )uvvuvuvuuvvu

uvvuvuuvuvuv

vuvuvuvuvuvu

ffffff

ffffff

ffffff

−−

−−

−−

=⇒==

=⇒==

=⇒==

**

**

**

como

como

como

Lo anterior indica que toda función real de dos variables independientes posee una gráfica de los

módulos de las componentes espectrales de Fourier simétrica al eje de ordenadas.

65

v

u

vuf

66

)

)

Para no periódica, la serie representa a la función solo en el dominio ( yxf ,[ ][ ]⎩⎨⎧

21

21

;;

yyxx

Para periódica solo en ( yxF , ( ) ( )yXxfyxfx ,, +=→

si se toma

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

2

2

2

1

Xx

Xx

Entonces la serie representa a la función en el dominio dado por los intervalos

[ ][ ]⎩⎨⎧ ∞∞−

. variablela de ;. variablela de ;

21 yyyx

También puede plantearse la equivalencia para ( )yxf , periódica solo en .y

Para periódica en las dos variables independientes( yxf , ) ( ) ( YyXxfyxf ++ )=→ ,,

Si se toma

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

=

−=

2

2

2

2

2

1

2

1

Yy

Yy

Xx

Xx

Entonces la serie representa a la función en los dominios dado por los intervalos

[ ][ ]⎩⎨⎧

∞∞−∞∞−

. variablela de ;. variablela de ;

yx


( ) ( ) ( ) ( )

( ) espectral densidad deFunción ,

, deFourier de daTransforma ,,

→

→⋅⋅⋅= ∫ ∫∞

∞−

⋅+⋅−

yx

ywxwiyx

wwF

yxfdydxeyxfwwF yx

La transformada de Fourier en dos dimensiones, puede ser obtenida en dos pasos como resultado de la

posibilidad de separación del kernel de integración:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∞

∞−

⋅⋅−

∞

∞−

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅⋅=

dyeywFwwF

dxeyxfywF

ywixyyx

xwixy

y

x

,,

:Luego

,, ( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∞

∞−

⋅⋅−

∞

∞−

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅⋅=

dxewxFwwF

dyeyxfwxF

xwiyxyx

ywiyx

x

y

,,

:Luego

,,

La transformada inversa es:

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

⋅+⋅− ⋅⋅⋅⋅= yxywxwi

yx dwdwewwFyxf yx,4

1, 2π

67

)

)Cuando es una función real resulta: ( yxf ,

( ) ( yxyx wwFwwF −−= ,, * y como ( ) ( )*,, yxyx wwFwwF = se cumple ( ) ( )yxyx wwFwwF −−= ,,

Y también: ( ) ( ) ( )yxyxyx wwFwwFwwF ,,, =−=−

Esto indica que toda función real de dos variables independientes posee una gráfica del módulo de la

densidad espectral que resulta simétrica al eje de ordenadas.

( )yx wwF ,

yw

xw

Para no periódica, se obtiene una función de densidad espectral ( yxf , ) ( )yx wwF , continua en las

variables . yx ww y

Para periódica en las dos variables independientes ( yxf , ) ( ) ( YyXxfyxf ++ )=→ , se obtiene una

función de densidad espectral dada por funciones impulso (deltas de Dirac) de la forma:

,,

( ) ( )

( ) ( )sdimensione dosen Fourier de lexponencia serie la de complejos esCoeficient y

2 ; 2 donde

,4,

120

120

002

→−

=−

=

⋅−⋅−⋅⋅= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

vu

yx

u vyyxxvuyx

fyy

wxx

w

wuwwvwfwwF

ππ

δπ

2.1.3 Función de densidad espectral en dos dimensiones

Podemos expresar ( )yx wwF , en función de los de la forma: vuf

( ) ( ) ( ) vuwuwwvwyx fyyxxwwF

yyxx ⋅−⋅−=

⋅=⋅= 2121

00,

Donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅−⋅−

=−

=−

= ⋅⋅+⋅⋅−2

1

2

1

,1 ; 2 ; 2

1212120

120

x

x

y

y

ywuxwvivuyx dydxeyxf

yyxxf

yyw

xxw yxππ

2.2 Expresiones discretas en serie

Procediendo en forma similar al caso de funciones de una variable independiente, si se muestrea la

señal bidimensional continua en el dominio definido por los intervalos ( yxf , ) [ ][ ]⎩⎨⎧

21

21

;;

yyxx

Se obtiene ⎩⎨⎧

.en valores.en valores

yNxM

Entonces Discretizando las variables:

( ) ( )

( ) ( )1...3,2,1,0j que tal

1...3,2,1,0 que tal

21

21

−=∆⋅=→−

=∆

−=∆⋅=→−

=∆

NyjyN

yyy

MkxkxM

xxx

Ahora es posible plantear las expresiones discretas en serie de:

2.2.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier en dos dimensiones

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅

−⋅⋅

⋅≈ ∑∑

−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−

discretas variables,discretas sfrecuencia ,

siendo

1010

con

,1 1

0

1

0

21212

jkuv

NuMv

eN

yyj

Mxx

kfNM

fM

k

N

j

jNu

kMv

i

vu

π

2.2.2 Transformada de Fourier en dos dimensiones y su inversa

Expresión discreta en serie de la función de densidad espectral en dos dimensiones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⋅⋅−

⋅−

=⋅⋅ ∑∑−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−


siendo

1010

con

,,1

0

1

0

212121212

00

jkuv

NuMv

eN

yyjM

xxkfN

yyM

xxwuwvFM

k

N

j

jNuk

Mvi

yx

π

( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⋅⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⋅ ∑−

=

⋅⋅⋅−


siendo

1010

con

,,1

0

2121212120

jkuv

NjMv

eN

yyjM

xxkfM

xxN

yyjwvFM

k

kMvi

xj

π

68

( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⋅⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅ ∑

−

=

⋅⋅⋅−


siendo

1010

con

,,1

0

2121212

012

jkuv

NuMk

eN

yyjM

xxkfN

yywuM

xxkFN

j

jNui

yk

π

Para la Transformada inversa se tiene:

Si es función real, entonces se cumple la propiedad de simetría conjugada de la función de

densidad espectral

( yxf , )

⎩⎨⎧

∈∈

⋅+⋅−⋅+⋅−=⋅⋅NaturalesnNaturalesm

NnwuNmwvFwuwvF yxyx que tal),(),( 00*

00

Por lo tanto, solo es necesario conocer 0y 0 ),( 00 ≥≥∀⋅⋅ uvwuwvF yx ya que a partir de estos

es posible conocer los 0y 0 ),( 00 <<∀⋅⋅ uvwuwvF yx

Si

( )

( )12000

12000

2)1(

2)1(

yywwuwuw

xxwwvwvw

yyyy

xxxx

−==⋅−⋅+=∆

−==⋅−⋅+=∆

π

π

Se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⋅ ∑∑−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅


siendo

1010

con

,11,1

0

1

0

2

001212

1212

jkuv

NjMk

ewuwvFyyxxN

yyjM

xxkfM

v

N

u

jNuk

Mvi

yx

π

2.3 Expresiones matriciales numéricas

Se aclara que en las expresiones discretas en serie, utilizamos una notación equivalente a las

expresiones analíticas continuas: ( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⋅−

⋅continua absisacontinua absisa

discreta absisa

12

discreta absisa

12 ,, yxfN

yyjM

xxkf4342143421

En las expresiones matriciales numéricas, en cambio, utilizaremos la notación:

columnasfilas

kjf

69

2.3.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier en dos dimensiones

MjkNuv EfENM

f ⋅⋅⋅⋅

=1

donde:

( )

( ) ( )( )

1101

20

10

10020100

u

MNN

M

uv

v

ff

ff

ffff

f ↓

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

→

−−−

−

LLL

MM

M

M

L

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j

M

xxM

N

yyNf

N

yyNf

N

yyf

N

yyf

M

xxMf

M

xxf

M

xxff

k

jkf

↓

−⋅−

−⋅−

−⋅−

−⋅

−

−⋅−

−⋅

−

=

→

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

1212

2

1

1

21

1

2

21212

1,10,1

0,2

0,

1,02,0,00,0

LLL

MM

M

M

L

( )

( )

( )

Ni

N

N

N

N eW

WW

WWWWWWWW

WWWW

Eπ2

10

12420

1210

0000

con

2

⋅−

−

−⋅

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

LLL

MM

L

L

L

( )

( )

( )

Mi

N

N

N

M eV

VV

VVVVVVVV

VVVV

Eπ2

10

12420

1210

0000

con

2

⋅−

−

−⋅

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

LLL

MM

L

L

L

2.3.2 Transformada de Fourier en dos dimensiones y su inversa

( ) ( )MjkNuv EfE

Mxx

NyyF ⋅⋅⋅

−⋅

−= 1212 (Transformada de Fourier)

70

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

1,10,1

0,20,

1,02,0,00,0

000

0

0

000

u

xyy

y

y

xxx

uv

v

wMwNFwNF

wFwF

wMFwFwFF

F ↓

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−⋅−⋅−

⋅

⋅−⋅

=

→

LLL

MM

M

M

L

Luego también:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j

wMN

yyNF

N

yyNF

N

yyF

N

yyF

wMFwjFwFF

v

xjj

j

j

xjxxjj

Mjkj EfM

xxvjF

↓

⋅−−

⋅−−

⋅−

−⋅

−

⋅−⋅

=

→

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅⋅−

=

01212

12

12

000

12

1,10,1

0,2

0,

1,02,0,00,0

,

LLL

MM

M

M

L

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

,

1,10,1

0,20,

1,02,0,00,0

00

0

0

121212

12

u

MwNFwNF

wFwF

M

xxMF

M

xxF

M

xxFF

k

ykyk

yk

yk

kkkk

jkNk fEN

yykuF

↓

−⋅−⋅−

⋅

−⋅−

−⋅

−

=

→

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅⋅−

=

LLL

MM

M

M

L

Para la transformada inversa:

( ) ( )**

1212

11MuvNjk EFE

yyxxf ⋅⋅⋅

−⋅

−= (Transformada inversa de Fourier)

( ) ( ) *

12

,1Mjjk EvjF

xxf ⋅⋅

−=

( ) ( )kuFEyy

f kNjk ,1 *

12

⋅⋅−

=

71

2.4 Relación entre coordenadas

Dadas las expresiones analíticas:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

⋅+⋅− →⋅⋅⋅= yxfdydxeyxfwwF ywxwiyx

yx , deFourier de daTransforma ,,

( ) ( ) ( ) ( )yxyxywxwi

yx ,wwFdwdwewwFyxf yx deFourier de inversa daTransforma ,4

1, 2 →⋅⋅⋅⋅= ∫ ∫∞

∞−

⋅+⋅−

π

Se recuerda que una imagen digitalizada es un arreglo de muestras, donde cada una de esas muestras

de la imagen original, constituye un píxel (picture element) de la imagen resultante.

Si ahora se toma la función imagen digitalizada, y se la considera constituida por pixels rectangulares

de lados iguales y unitarios, hacemos ( ) Nyy =− 12 y ( ) Mxx =− 12

entonces ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−pixelmm

Nyy 112 y

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−pixelmm

Mxx 112 las expresiones discretas en series para este

caso son:

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅= ∑∑−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−


siendo

1010

con

,,1

0

1

0

2

jkuv

NuMv

ejkfuvFM

k

N

j

jNuk

Mvi π

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅≈ ∑∑−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅


siendo

1010

con

,,1

0

1

0

2

jkuv

NjMk

euvFjkfM

v

N

u

jNuk

Mvi π

Adoptándose la siguiente relación entre las coordenadas cartesianas continuas y las

coordenadas discretas

( )(⎩⎨⎧

yx wwyx,

,)

( )( )⎩⎨⎧

uvkj

,,

72

y2

73

Donde las funciones representan la misma imagen. ( )( )⎩

⎨⎧

<<∀=<<∀=

0 ó 0 0,0 ó 0 0,

jkjkfyxyxf

Debido a la propiedad de simetría conjugada, solo se representan los módulos de las componentes

espectrales para y . 0≥v 0≥u

(M-1,N-1) = (k,j)

y

x (x1,y1)

k

j

(0,0)

x2

(M-1,N-1)=(v,u)

(0,0)

u

v

(0,0) wx

wy

3 – Concepto MAPS (Maximum Average Power Spectrum):

Dada una superficie caracterizada matemáticamente por su función imagen . ( )yxf ,

Se realiza la integración en de la transformada de Fourier en dos dimensiones: x

( ) ( )∫∞

∞−

⋅⋅− ⋅⋅= dxeyxfywF xwixy

x,,

A partir de esto es posible obtener el Power Spectrum:

( ) ( ) ( *2,,, ywFywFywF xyxyxy ⋅= )

Luego se calcula el Average Power Spectrum:

( )( )

. variablelaen medioValor ,

,2

1

2

1

2

2y

dy

dyywFywF y

y

y

yxy

xy →

⋅

=

∫

∫

De donde se obtiene:

( ) ( )xxy wAywF =2

,

Finalmente se extrae el Maximum Average Power Spectrum de la forma:

( ) 0

≠

=xwxwAMáximoM

Notar que al extraer el máximo, no se considera la componente espectral para . 0=xw

Ahora se plantean las ecuaciones discretas en serie para la imagen digitalizada, cuya función imagen se

supone es : ( )jkf ,

k – sep of two – dimensional Fourier transform:

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

−≤≤−≤≤

⋅⋅= ∑−

=

⋅⋅⋅−


siendo

1010

con

,,1

0

2

jkuv

NjMv

ejkfjvFM

k

kMvi

j

π

Power Spectrum:

( ) ( ) ( )*2,,, jvFjvFjvF jjj ⋅=

74

Average Power Spectrum:

( )( )

( ) . variablelaen medioValor ,

,

1

0

2

2jvA

N

jvFjvF

N

jj

j →==∑−

=

Maximum Average Power Spectrum:

( ) 0≠

=v

vAMáximoM

Las expresiones matriciales numéricas son:


( ) filas.en daTransforma , →⋅= Mjkj EFvjF

Power Spectrum:

( ) ( ) ( ) *2,,, vjFvjFvjF jjj ⋅=


( )( )

( )32143421

filaVector

1

0

2

Columnasen Promedio

2,

, vAN

vjFvjF

N

jj

j ==∑−

=


( ) 0≠

=v

vAMáximoM

La técnica de caracterización de superficies RIMAPS (Rotated Image with Maximum Average Power

Spectrum) consiste en obtener el MAPS de la función imagen correspondiente a la superficie que se

desea estudiar, para cada ángulo de rotación de la imagen entre 0º y 180º. El paso angular de rotación

en general se toma como 1º, obteniendo así 181valores de ( )αM .

Puede considerarse que al graficar ( )αM entre 0º y 360º la curva es simétrica a la ordenada en 180º.

75

3.1 Ejemplos de MAPS

Ejemplo 1:

3

1

7

12

17

0

2 3 4 5

8 9

10

13 14 15

18 19

6

11

16

0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Píxels unitarios k

M = 20

N = 20 j

Dado que la integración se realiza para cada fila, conviene especificar la expresión discreta en serie de

la función imagen también para cada fila:

( )⎩⎨⎧ =⇔=∀

=contrario. casoen 0

11;10;9;811;10;9;8 1,

kjjkf

76


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅=∑=

⋅⋅⋅−


siendo

190190

con

,,19

0

202

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

≤≤=

∀= ∑

=

⋅⋅⋅−

contrario. casoen 0190

11;10;9;8

,

11

8

202

vj

ejvF k

kvi

j

π

Power Spectrum:

( )⎩⎨⎧

≤≤=

∀⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

=

⋅⋅⋅+

=

⋅⋅⋅−

19011;10;9;8

,11

8

20211

8

2022

vj

eejvFk

kvi

k

kvi

j

ππ

( )⎩⎨⎧

≤≤=

∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+=

19011;10;9;8

3202cos22

202cos4

202cos64,

2

vj

vvvjvFjπππ


( ) ( )

190

3202cos22

202cos4

202cos64

204,

2

≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅==

v

vvvvAjvFjπππ

Graficando la ecuación anterior se obtiene:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

v


( ) ( ) ( ) 823595516,2191 , 2

0====

≠AAjvFMáximoM

vj

77

Ejemplo 2:

A continuación se plantea la función imagen de una línea simple y se calcula el MAPS para cinco

ángulos de rotación de la imagen.

Se aclaran dos aspectos fundamentales:

1) Existen muchos algoritmos para realizar la rotación de la imagen. Estos algoritmos además de

aplicar la transformación de coordenadas para la rotación, pueden generar una imagen

resultante que no posea necesariamente el mismo tamaño de la imagen original. Por lo tanto

deberá tenerse muy en cuenta el criterio de rotación adoptado.

En este sencillo ejemplo se supone un procedimiento de rotación en el que se mantiene

constante el tamaño de la imagen.

2) Existe un tamaño mínimo en pixels, que debe poseer la imagen, para que sea posible la

detección de una dirección preferencial RIMAPS.

Cálculo para : 00=α

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6

k

M = 10

8 9

7

j N = 8

función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):

( )⎩⎨⎧ =⇔=∀


5;4;3;24 1,

jkjkf


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅= ∑=

⋅⋅⋅−


siendo

7090

con

,,9

0

102

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

78

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

≤≤=

∀=

⋅⋅⋅−

contrario. casoen 090

5;4;3;2

,4

102

vj

ejvF

vi

j

π

Power Spectrum:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

≤≤=

∀=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

contrario. casoen 0

905;4;3;2

1,

410

2410

22

vj

eejvF

vivi

j

ππ


( )( )

90

5,084

8

,,

7

0

2

2

≤≤

===∑=

v

jvFjvF j

j

j


( ) ( ) 5,05,0 , 0 2

00 ====

≠MáximojvFMáximoM

vjα


0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6

k

M = 10

8 9

7

j N = 8


( )

( ) ( )( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇔=∀=∀=∀

=

contrario. casoen 045;4 1

3;4; 12;3; 1

,jk

jkjk

jkf

79


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅=∑=

⋅⋅⋅−


siendo

7090

con

,,9

0

102

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

( )

90contrario. casoen 0

4

3

2

,5

1024

102

410

2

310

2

≤≤

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∀

=∀

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

v

jee

je

je

jvFvivi

vi

vi

jππ

π

π

Power Spectrum:

( )


4 102cos22

3 1

2 1

,

510

2410

2510

2410

2

410

2410

2

310

2310

2

2

≤≤

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=∀=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=∀=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

v

jveeee

jee

jee

jvFvivivivi

vivi

vivi

j

πππππ

ππ

ππ


( )( )

90102cos24

81

8

,,

7

0

2

2

≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅==

∑=

v

vjvF

jvF jj

jπ


( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+==

=≠ 9;10

0

102cos24

81

102cos2430

vv

vvMáximoM ππα

( ) 7022542486,0300 ==αM

80


0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6

k

M = 10

8 9

7

j N = 8


( )⎩⎨⎧ =⇔+=∀


5;4;3;21 1,

jjkjkf


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅=∑=

⋅⋅⋅−


siendo

7090

con

,,9

0

102

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

( )


5

4

3

2

,

610

2

510

2

410

2

310

2

≤≤

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀

=∀

=∀

=∀

=

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

v

je

je

je

je

jvFvi

vi

vi

vi

j

π

π

π

π

Power Spectrum:

81

( )


5 14 13 12 1

,2

≤≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀=∀=∀=∀

=

v

jjjj

jvFj


( )( )

90

5,084

8

,,

7

0

2

2

≤≤

===∑=

v

jvFjvF j

j

j


( ) ( ) 5,05,0 , 45 2

00 ====

≠MáximojvFMáximoM

vjα


82


0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6

k

M = 10

8 9

7

j N = 8

( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∀=⇔=∀

=∀

=

contrario. casoen 05;4; 1

34;3 12;3; 1

,jk

jkjk

jkf


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅=∑=

⋅⋅⋅−


siendo

7090

con

,,9

0

102

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

( )


4

3

2

,

510

2

410

2310

2

310

2

≤≤

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀

=∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∀

=

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

v

je

jee

je

jvFvi

vivi

vi

j

π

ππ

π

Power Spectrum:

( )


4 1

3 102cos22

2 1

,2

≤≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∀

=∀⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+

=∀

=

v

j

jv

j

jvFj

π


( )( )

90102cos24

81

8

,,

7

0

2

2

≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+==

∑=

v

vjvF

jvF jj

jπ


( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+==

=≠ 9;10

0

102cos24

81

102cos2460

vv

vvMáximoM ππα

( ) 7022542486,0600 ==αM


0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6

k

M = 10

8 9

7

j N = 8

83


( )⎩⎨⎧ =⇔=∀


46;5;4;3 1,

jkjkf


( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

→→

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⋅=∑=

⋅⋅⋅−


siendo

7090

con

,,9

0

102

jkuv

jv

ejkfjvFk

kvi

j

π

( )


4 ,

6

3

102

≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∀

= ∑=

⋅⋅⋅−

v

jejvF k

kvi

j

π

Power Spectrum:

( )


4 ,

6

3

1026

3

102

2

≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∀⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

=

⋅⋅⋅+

=

⋅⋅⋅−

v

jeejvF k

kvi

k

kvi

j

ππ

( )


4 3102cos22

102cos4

102cos64

,2

≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∀⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+

=

v

jvvvjvFj

πππ


( )

90

3102cos22

102cos4

102cos64

81,

2

≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅=

v

vvvjvFjπππ


( ) ( ) ( )9;1

22

0

0 , , 90=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

vjvj jvFjvFMáximoM α

( ) 184016994,1900 ==αM

84

Los cinco valores de ( )αM obtenidos se muestran en la siguiente tabla de valores:

Rotación α

[grados] ( )αM Amplitud normalizada

0 0,5 0,422291236 30 0,702254249 0,593111629 45 0,5 0,422291236 60 0,702254249 0,593111629 90 1,184016994 1 120 0,702254249 0,593111629 135 0,5 0,422291236 150 0,702254249 0,593111629 180 0,5 0,422291236

Si se representa la Amplitud normalizada para los cinco valores de α calculados, obtenemos la gráfica

RIMAPS de la función imagen . ( )jkf ,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

Rotación [grados]

Ampl

itud

Nor

mal

izad

a

Se observa un máximo en , dado por la presencia de una dirección preferencial en el sentido de

la integración discreta (integración en filas).

090=α

Si se disminuye el número de pixels de la imagen, se reduce la amplitud relativa del máximo en

, hasta que se alcanza un tamaño de la imagen para el cual el máximo desaparece. 090=α

85

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