Trabajo Final de Lineas (2)

LINEAS DE TRANSMISION

Propagación en Fibras ÓpticasMODO LP01=HE11

PROFESORA:Ana María Cárdenas

POR:Edwar Chaverra Torres

Universidad de AntioquiaFacultad De IngenieríaDepto. De Electrónica

Medellín (Ant)2010

PARTE I 60%

A partir de las ecuaciones de Maxwell, llegue a la ecuación característica del modo que la ha sido asignado, resuelva dicha ecuación característica para una fibra de índice escalonado, obtenga la expresión para la frecuencia normalizada V, la frecuencia de corte del modo y la constante de propagación . Indique cual es el modo dominante en una fibra de índice escalonado. Luego de obtenidas estas expresiones, realice en Matlab una gráfica tridimensional para visualizar cómo es el campo asignado en sus componentes radial y angular. Obtenga las gráficas b vs V (p ej. Fig. 7-15) y y n1/ nvs V (p ej. Fig. 7-16) del modo que le ha sido asignado.

Ecuación de Maxwell

( 1ρ ) ∂

∂ ρ ( ρ ∂Ψ∂ ρ )+( 1ρ2 )( ∂

2Ψ∂φ2 )+h2Ψ=0 donde h2=γ 2+ω2με

Solución de la ecuación de Maxwell

El análisis para la región del núcleo ( ρ≤a)

Ψ=Jm (h1 ρ ) cosmφe−γz dondeh12=γ2+ω2με1

Con una condición de propagación: β2<ω2 με1 ;ε=n2 ε0 yε 1=ε0 ε r1

Por tratarse de dos materiales dieléctricos, en la frontera núcleo-revestimiento debe haber continuidad para toda z en la componente tangencial axial y en la componente tangencial en la dirección φ de los campos E y H, esto es debido a que no hay corriente en la frontera, de esta forma:

E z1(ρ=a ,0≤φ≤2 π , z )=E z2

(ρ=a ,0≤φ≤2π , z )H z1

(ρ=a ,0≤φ≤2π , z)=H z2( ρ=a ,0≤φ≤2π , z)

Eφ1( ρ=a ,0≤φ≤2π , z )=Eφ2

( ρ=a ,0≤φ≤2π , z )Hφ1

( ρ=a ,0≤φ≤2 π , z )=Hφ2( ρ=a ,0≤φ≤2π , z )

Así pues las ecuaciones generales son:

E z=[ BJm (h1a ) ] Jm(h1ρ)senmφ (1) H z=[ A

Jm (h1a ) ]Jm(h1ρ)cosmφe−γz (2)

Eφ=( jωμh12 ) ∂H z

∂ρ−( jβ

h12ρ ) ∂ E z

∂φ (3) Hφ=−( jβh1

2ρ ) ∂ H z

∂φ−( jω ε1

h12 ) ∂E z

∂ ρ (4)

Eρ=(− jh1

2 )[(ωμρ ) ∂H z

∂φ+ (β )

∂ Ez

∂ ρ ](5) H ρ=(− jh1

2 )[ (β )∂ H z

∂ ρ+(ω ε1

ρ ) ∂ E z

∂φ ](6)

En primer lugar hallaremos las expresiones respectivas para los campos E z, Eφy Eρ

Comenzamos con expresar nuevamente la ecuación 1, que será la base para las demás componentes de Eφy Eρ, junto con la ecuación 2.

E z=[ BJm (h1a ) ] Jm(h1ρ)senmφe

−γz

Aplicando en la ecuación 3 las ecuaciones 1 y 2 encontramos que:

Eφ=( jωμh12 ) [ Ah1

Jm (h1a ) ]Jm' (h1 ρ ) cosmφe−γz−( jβ

h12ρ )[ Bm

Jm (h1a ) ]Jm (h1 ρ ) cosmφ e−γz

Hacemos lo mismo para la ecuación 5 obteniendo la expresión:

Eρ=(− jh1

2 )¿Teniendo en cuenta que:

Jm' (h1 ρ )=−m

h1ρJm (h1ρ )+Jm−1 (h1ρ )(7) Método aproximado

Las ecuaciones anteriores se pueden reescribir así:

Eφ={( jωμAh1 Jm (h1a ) )[−m

h1ρJm (h1ρ )+Jm−1 (h1ρ ) ]−( jβBm

h12ρ Jm (h1a ) )Jm (h1ρ )}cosmφ e−γz

Eρ={−( jβBh1Jm (h1a ) )[−m

h1 ρJm (h1ρ )+Jm−1 (h1ρ )]+( jωμAm

h12 ρ Jm (h1a ) )Jm (h1 ρ )}senmφ e−γz

A continuación, reemplazaremos la constante B en términos de A, y es aquí donde se enmarca precisamente la diferencia entre los modos HE y EHContando con la relación entre A y B que permite simplificar estas dos últimas ecuaciones. Para los modos HE, esta relación es B=−A ¿ o bien B=−η1 A; y para los modos EH, es B=A ¿. Sustituyendo para el modo HE se tiene.

Eφ={( − jωμAm

h12ρ Jm (h1a ) )Jm (h1ρ )+[ jωμA

h1 Jm (h1a ) ]Jm−1 (h1 ρ )+( jβAm

√ε 1μ0

h1

2ρ Jm (h1a ) )Jm (h1ρ )}cosmφe−γz

Como μ=μ0 y β=ω √μ0 ε1 , el primero y el tercer término del segundo miembro se

suman con signo negativo, quedando finalmente para Eφ .

Eφ={[ jωμAh1 Jm (h1a ) ]Jm−1 (h1ρ )}cosmφe−γz

La expresión para el campo en Ez permanece igual:


−γz

Y para el campo en Eρ se encuentra que:

Eρ=(− jh1

2 ){ [ −ωμAmρ Jm (h1a ) ] Jm (h1 ρ )

−[ βAh1√ μ0

Jm (h1a )√ε1 ][−mh1 ρ

Jm (h1 ρ )+Jm−1 (h1 ρ )]}senmφ e−γz

Cancelando términos y simplificando, obtenemos finalmente la ecuación:

Eρ=[ jωμAh1 Jm (h1a ) ] (Jm−1 (h1 ρ )) senmφ e−γz

COMPONENTES DE CAMPO MAGNETICOPara hallar las componentes de campo magnético.

H z=[ AJm (h1a ) ]Jm (h1 ρ ) cosmφe−γzH φ=−( jβ

h12 ρ ) ∂H z

∂φ−( jω ε1

h12 ) ∂ E z

∂ρ

H ρ=(− jh1

2 )[ (β )∂ H z

∂ ρ+(ω ε1

ρ ) ∂ E z

∂φ ]Hφ=( jβ

h12ρ )[ A

Jm (h1a ) ] Jm(h1ρ)senmφ e−γz−¿( jω ε1

h12 )[ Bh1

Jm (h1a ) ]Jm' (h1 ρ)senmφ e

−γz¿

H ρ=(− j

h12 )[ (β )[ Ah1

Jm (h1a ) ]Jm' (h1 ρ ) cosmφe−γz−(ωε1

ρ )[ BmJm (h1a ) ]Jm(h1 ρ)cosmφe− γz]

Introduciendo a continuación el término:

Jm' (h1 ρ )=−m

h1ρJm (h1ρ )+Jm−1 (h1ρ ) Método aproximado

Hφ=¿Simplificando la expresión anterior obtenemos ahora:

Hφ={[ jβh1

2 ρ ( AmJm (h1a ) )+ jω ε1

h12 ρ ( Bm

Jm (h1a ) )]Jm (h1 ρ )−jω ε1

h1 ( BJm (h1a ) )Jm−1 (h1 ρ )}senmφ e−γz

H ρ={(− jh1

2 ) [(β )[ A h1

Jm (h1a ) ][−mh1ρ

Jm (h1 ρ )+Jm−1 (h1ρ )]−(ωε1

ρ ) [ BmJm (h1a ) ]Jm (h1 ρ )]}cosmφ e−γz

H ρ={[ jβAm

h12ρ Jm (h1a )

+jω ε1Bm

h12 ρ Jm (h1a ) ] Jm (h1ρ )−( jβA

h1 Jm (h1a ) )Jm−1 (h1 ρ )}cosmφ e−γz

Aplicando la misma relación para los modos HE; tenemos que B=−A ¿ se obtienen a continuación las expresiones:Hφ=¿

Como μ=μ0 y β=ω √μ0 ε1, se simplifica la expresión de la siguiente manera:

Hφ={−( jω √μ0 ε1 A

h1 Jm (h1a ) ) Jm−1 (h1 ρ )}senmφ e−γz

Para la otra componente del campo tenemos ahora que :H ρ=¿

Con la misma relación se suman los dos primeros términos, y se obtiene la expresión más simplificada:

H ρ={−( j ω√ μ0 ε1 A

h1 Jm (h1a ) )Jm−1 (h1ρ )}cosmφe−γz

Obtenemos ahora las expresiones correspondientes para los campos magnético y eléctrico:

H z=[ AJm (h1a ) ]Jm(h1ρ)cosmφ e−γz

H ρ={−( j ω√ μ0 ε1 A

h1 Jm (h1a ) )Jm−1 (h1ρ )}cosmφe−γz

Hφ={−( jω √μ0 ε1 A

h1 Jm (h1a ) ) Jm−1 (h1 ρ )}senmφ e−γz


−γz

Eφ={[ jωμAh1 Jm (h1a ) ]Jm−1 (h1ρ )}cosmφe−γz

Eρ={[ jωμAh1 Jm (h1a ) ]Jm−1 (h1ρ )}senmφe−γz

El análisis para la región del revestimiento ( ρ≥a)

Ψ=km (h2 ρ ) cosmφe−γz dondeh22=−(γ¿¿2+ω2μ ε2)¿

Con una condición de propagación: β2>ω2 με2 ;ε=n2 ε0 y ε2=ε0 ε r2

Análogamente a la región ρ≤a, pero con la sustitución h2=h1, ε 2=ε1, y km= jmEncontramos los siguientes resultados:

km' (h1ρ )=−m

h1 ρkm (h1 ρ )−(h1 ρ )

H z=[ Akm (h2a ) ] Jm (h2 ρ)cosmφe−γz

H ρ={( j ω√ μ0 ε2 A

h2 km (h2a ) )km−1 (h2 ρ )}cosmφe−γz

Hφ={( jω √μ0 ε2 A

h2km (h2a ) )km−1 (h2 ρ )}senmφe−γz

E z=[ Bkm (h2a ) ]km(h2ρ)senmφ e

−γz

Eφ={−[ jωμAh2 km (h2a ) ]km−1 (h2ρ )}cosmφe−γz

Eρ={[ − jωμAh1 Jm (h1a ) ]Jm−1 (h1ρ )}senmφe−γz

Los modos linealmente polarizados son una combinación de (TE, TM, HE, EH), como los modos HEm+1, n y EHm-1, n tienen características de propagación cuasi-idénticas, se consideran como modos degenerados, por lo tanto, en lugar de tomarlos en cuenta separadamente se pueden usar como combinaciones lineales de ellos y considerar el resultado como un nuevo modo (LP).

Ahora tenemos que LP0n=HE1n,

De esta forma LP01=HE11, y de los resultados anteriores tenemos:

Para ρ≤a En el modo LP01

H z=[ AJ 1 (h1a ) ]J 1(h1 ρ)cosφ e−γz

H ρ={−( j ω√ μ0 ε1 A

h1 J 1 (h1a ) )J 0 (h1 ρ )}cos φe−γz

Hφ={−( jω √μ0 ε1 A

h1J 1 (h1a ) ) J0 (h1 ρ )}senφe− γz

E z=[ BJ1 (h1a ) ]J 1(h1 ρ) senφe

−γz

Eφ={[ jωμAh1 J 1 (h1a ) ] J0 (h1ρ )}cosφe− γz

Eρ={[ jωμAh1 J 1 (h1a ) ] J0 (h1 ρ )}senφ e−γz

Para ρ≥a En el modo LP01

H z=[ Ak1 (h2a ) ] J1(h2 ρ)cos φe−γz

H ρ={( j ω√ μ0 ε2 A

h2k1 (h2a ) )k0 (h2 ρ )}cosφe−γz

Hφ={( jω √μ0 ε2 A

h2 k1 (h2a ) )k0 (h2ρ )}sen φe−γz

E z=[ Bk1 (h2a ) ] k1(h2 ρ)sen φe

−γz

Eφ={−[ jωμAh2 k1 (h2a ) ]k0 (h2ρ )}cosφe− γz

Eρ={[ − jωμAh1 J 1 (h1a ) ] J0 (h1 ρ )}senφ e−γz

De las condiciones de propagación tenemos que: h12=γ2+ω2με 1 y

h22=−(γ¿¿2+ω2με2)¿, si p=ah1 y q=ah2, ε=n2 ε0 y ε2=ε0 εr2, ε 1=ε0 ε r1 para que

haya propagación debe cumplirse q2+ p2=V 2

V 2=(ah1 )2+(ah2)2=a (( j β )2+ω2με1 )−a ( ( j β )2+ω2με 2) Simplificando

V 2=aω2μ ε1−aω2με 2 Sacando factor común y reemplazando ε 1 y ε2

V 2=ω2μ0a2(ε0 ε r1−ε 0ε r2), sustituyendo ε=n2 ε0 , ε2=ε0 εr 2 y ε 1=ε0 ε r1

V 2=ω2μ0a2(ε0n

21−ε0n

22), con ω=2πf

V 2=(2πf )2 ε0μ0a2(n2

1−n22), v=1/ (ε 0μ0 )

12

V 2=(2 πf )2( a2

v2 )(n21−n2

2), ¿ v / f

V=(2π a )

❑ (n21−n2

2 )12

Si ρ≤a , h12=γ2+ω2με 1 y p=ah1

pa=h1, así pues

( pa )2

=( j β )2+ω2με1 β2=β20 εr1−( pa )

2

β2=β20 εr1−( pa )

2

β=(β20ε r1−( pa )¿¿2)

(1 /2)

¿

La frecuencia de corte normalizada y la frecuencia real de corte están relacionadas

mediante la expresión V c2=(2 π f c )2( a2

v2 ) (n21−n2

2 )

Despejando f c y con NA=(n21−n2

2)12

f c=cV c

(2π a ) (NA )

Con base a la ecuación ( 1p )( Jm−1 (p )

Jm ( p ) )=( 1q )( km−1 (q )

km (q ) ) y tomando m=1 se debe cumplir

( p )( J1 (p )J 0 (p ) )=(q )( k1 (q )

k0 (q ) ) Como en la condición de corte q 0 , entonces p=V y

( p )( J1 (p )J 0 (p ) )=0, el primer cruce (n=1) de J1 (p=V ) por cero ocurre cuando p=0 de

acuerdo a la figura 1. Para este valor de p=0, J0 está definida y vale 1 por tanto p=0 es una solución válida. De esta forma se concluye que para este modo V=p=0.El siguiente cruce por cero (n=2), sucede cuando p=V=3.832 y también se cumple la

condición ( p )( J1 (p )J 0 (p ) )=0, vemos que el menor valor es V=0, por tanto el modo

dominante es LP01=HE11

V c=f c=0

β=β0(ε¿¿ r1)(12)¿

figura 1

Grafica tridimensional de LP01=HE11 en matlab.

a=8.335;lambda=0.6328;nc=1.462420;ng=1.457420;v=(2*pi*a/lambda)*sqrt(nc^2-ng^2);umax=v;umin=0;wmax=v;wmin=0;u=[0:0.1:v];Su=size(u);for m=1:Su(2); J(m)=u(m)*besselj(1,u(m))/besselj(0,u(m));endfor m=1:Su(2); w(m)=sqrt(v^2-u(m)*u(m)); K(m)=w(m)*besselk(1,w(m))/besselk(0,w(m));end %plot(u,J);hold on;plot(w,K);u01=2.1845;neff01=sqrt(nc^2-(u01/(2*pi*a/lambda))^2);u02=4.9966;neff02=sqrt(nc^2-(u02/(2*pi*a/lambda))^2);u03=7.7642;neff03=sqrt(nc^2-(u03/(2*pi*a/lambda))^2);w01=sqrt(v^2-u01^2);w02=sqrt(v^2-u02^2);w03=sqrt(v^2-u03^2);rc=[0:0.1:a];Src=size(rc);for m=1:Src(2); psic01(m)=besselj(0,u01*rc(m)/a)/besselj(0,u01);endrg=[a:0.1:2*a];Srg=size(rg);for m=1:Srg(2); psig01(m)=besselk(0,w01*rg(m)/a)/besselk(0,w01); endpsic01t=psic01';psig01t=psig01';

psic01t = psic01t(end:-1:1);psig01t=psig01t(end:-1:1); PSIC01=repmat(psic01t,1,500); PSIG01=repmat(psig01t,1,500);[Xc,Yc,Zc]=polar3d(PSIC01.^2/max(max(PSIC01))^2,0,2*pi,0,a,2,'off');[Xg,Yg,Zg]=polar3d(PSIG01.^2/max(max(PSIC01))^2,0,2*pi,a,2*a,2,'off');subplot(2,1,1);surf(Xc,Yc,Zc); hold on;surf(Xg,Yg,Zg);axis([-20 20 -20 20]);shading interp;colorbar;subplot(2,1,2);pcolor(Xc,Yc,Zc);hold on;pcolor(Xg,Yg,Zg);axis([-10 10 -10 10]);shading interpcolorbar

Resultado.

Tomando ( 1p )( Jm−1 (p )

Jm ( p ) )=( 1q )( km−1 (q )

km (q ) ) y recordando que m=n=1 equivale a pasar por

la primera raíz en las funciones de Bessel correspondientes se hallan p y q en función

de V, quedando la ecuación como p=(2.414213V

1+ (4+V 4 )14 ). Cuya gráfica es la

siguiente:

Sea b= q2

V 2 donde h22=−(γ¿¿2+ω2με2)¿, q2=(ah2 )2 y V c

2=(2 π f c )2( a2

v2 ) (n21−n2

2 ),

haciendo las sustituciones correspondientes llegamos a:

b=(( ββ0

)2

−n22)

(n21−n2

2 ), (*) de p=(2.414213

V

1+ (4+V 4 )14 ) y sabiendo que q2+ p2=V 2

obtenemos q=(V 2−(2.414213V

1+( 4+V 4 )14 )

2

)12

Ahora como b= q2

V 2 tenemos

b=(V 2−(2.414213V

1+( 4+V 4 )14 )

2

)( 1V 2 )(**)

Reemplazando (**) en (*) y despejando ββ0

obtenemos la siguiente expresión:

ββ0

=( (n21−n2

2 )b+n22)

12

PARTE II 25%

Consulte un catálogo de un fabricante, escoja una fibra mono-modo y otra multi-modo, ambas con perfil del índice escalonado. De acuerdo con los parámetros encontrados, estime la Apertura numérica, la frecuencia normalizada de corte, la frecuencia de corte y la correspondiente longitud de onda de corte. Identifique para ambos tipos de fibras los parámetros de atenuación, la dispersión cromática y la dispersión multi-ruta.Mediante una simulación muestre el efecto de estos parámetros sobre la señal, para la longitud de onda que se la ha asignado y la tasa de bits asignada, para una distancia de 100 km. Determine si existe aliasing y alguna interferencia entre señales. Anexe las hojas de especificación utilizadas.

Fibra Monomodo

Parámetros Utilizados:

Diámetro del Nucleo: 4.3 um Diámetro del Revestimiento: 125 um Apertura Numerica:0.12 Material del revestimiento: silicio (SO2).

A continuación se hallara el modo para la fibra mono-modo para ello se debe cumplir que V < 2.405, al ser mono-modo trabajaremos para el modo dominante HE 11.

Modo HE 11.

Frecuencia Normalizada y de corte:V=(2πa / λ)*NA

Sabemos que VHE11 < 2.405 por lo tanto escogeremos V=2.4 para de esta forma obtener la λ de corte y con ella su respectiva frecuencia de corte

λ c= (2π(2.15*10^(-6)(0.12) / (2.4))=675.44nm

fc=c/λ =(3*10^8)/(675,44*10^(-9))=444.15*10^12 Hz

Fibra Multimodo

Item # APC300/400N Low OH - Anhydroguide™ PCS VIS-IR Fiber

La Fibra Utilizada es la referencia APC300/400

Parámetros Utilizados:

Diámetro del Núcleo= 300um Diámetro del Revestimiento=400um Material del Núcleo Dióxido de Silicio(SO2)= es el cuarzo y su índice de refracción en

n=1.544 Apertura Numerica:0.37

Hallaremos los cuatros primero modos de propagación:

Primer modo HE 11=

Sabemos que existirá la frecuencia desde 0 hasta 2.405 para el modo de propagación HE 11 por eso trabajaremos con VHE11 = 2.405 y hallaremos la frecuencia de corte y la lambda de corte.

Frecuencia Normalizada y de corte

λc= (2π(150*10^(-6)(0.23) / (2.405))=90.13um

fc= c/λ =(3*10^8)/(90.13*10^(-6)))=3.328*10^12 Hz

Segundo modo TE 01=


VTE01 = 2.405, λ c=90.13um, fc= 3.328*10^12 Hz

Tercer modo TM 01=


VTE01 = 2.405, λ c=90.13um, fc= 3.328*10^12 Hz

Cuarto modo HE 21=


VTE01 = 2.405, λ c=90.13um, fc= 3.328*10^12 Hz

IDENTIFICACION DE LOS PARÁMETROS

Parámetros dados:

Δλ=10λ= 890B=0.155 GbpsD=1285nmL=0km-100km

Mono-modo

Atenuación= 5dB/km, esto es de acuerdo a mi longitud de onda dadaDispersión cromática= Δt=DΔλ L

Multi-modo

Atenuación= 5dB/kmDispersión cromática= Δt=DΔλ L

Dispersión multi-ruta ΔT=

( LC )( n21

n22) (n1−n2 )

n1

Para que no haya aliasin debe cumplirse la siguiente inecuación Δt*B<1

De la gráfica anterior podemos ver que para conservar la condición para que no haya aliasin, la longitud L, debe ser inferior a los 50.4 km, a partir de ese valor en adelante se presenta aliasin.

Grafiquemos ahora la atenuación respecto a la longitud (L)

Atenuación= 5dB/kmPrimero hagamos una conversión a neper 1Nep=8.683dB, de esta formaAtenuacion = (5/8.683)( L[Nep*km/km]) y finalmente tenemos la gráfica de e^(-0.57*L)

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