Trabajo Final Vibraciones
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1.1.* en el blo(ue correspondiente al tiempo de de nir∆ t y e l tiempo desimulacion
1.1.+ en los blo(ues correspondientes a integración, dar los valores iníciales xt = 0 ; ´ xt = 0 de cada
caso.
1.1. obtener el resultado num-rico y grá cos para cada caso contrastar consoluciones analíticas
y veri car puntos del ob/etivo especí co.
1.1.0 escribir el reporte resaltando lo anterior y aciendo comentario críticosobre coincidencias y
diferencias entre resultados analíticos y num-ricos, así como sobre
cual(uier aspecto interesante del proceso num-rico de simulación.
1.# sistema amortiguado: variación en la ra2ón de amortiguamiento
Objetivos específcos:
Observar el comportamiento del sistema, pasando de no vibratorio a vibratorio,al variar los
valores de su coe ciente de su amortiguamiento.Veri car como varia, de acuerdo al amortiguamiento, la rigide2 deretorno a la posición de e(uilibrio estático o el decremento logarítmico,seg3n se apli(ue.
Veri car la relación entre la frecuencia natural libre y amortiguada.
Cálculos previos:
1.#.1 asumir un sistema masa resorte amortiguador, sin e citación
m ́x+c ´ x+kx= 0
1.#.# usar los valores ya establecidos para m y " y calcular el coe ciente deamortiguamiento critico cc veri car consistencia de unidades.
1.#.% asumir los valores arbitrarios para el coe ciente de amortiguamiento delsistema, c considerar tres casos:
a ¿c >c c , ε >1
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b ¿c= cc , ε= 1
c ¿c
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7 m 8 7 s.• 9denti car los valores obtenidos en las grá cas amplitud vs frecuencia
y fase vs frecuencia, para al menos dos valores del coe ciente deamortiguamiento.
4álculos previos:
#.1.1 Asumir un sistema masa5 resorte5 amortiguador, una e citaciónarmónica:
; m sen < t
#.1.# =sar los valores ya establecidos para m , K y c > < cc?. 4alcular la
de6e ión estática x
s ; m 8k
.
#.1.% Asumir los valores arbitrarios para la frecuencia de e citación delsistema,
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Cn los blo(ues correspondientes a integración, dar los valoresiníciales
x
t x 0 , x
t . @ugerencia: Cn este caso usar x x
%8#.
#.1.+ Cn el blo(ue correspondiente a la e citación de nir ; m y < >trescasos?.
#.1. Obtener resultados num-ricos y grá cos para cada uno de los incisosde #.1.%.
4ontrastar con soluciones analíticas y veri car puntos del ob/etivoespecí co. Aclarar especialmente diferencias entre vibración transitoriay estable.
#.1.0 Cscribir reporte resaltando lo anterior y aciendo comentario críticosobre coincidencias y diferencias entre resultados analíticos ynum-ricos.
@e agrego un cuarto caso e tra de análisis de vibraciones de un sistema masaD resorte sin amortiguamiento, con una fuer2a de e citación periódica,despu-s del sistema amortiguado.
Ccuaciones por caso
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1.1 Vibración librem ́x(t )+kx(t )= 0
x= xSen(ωnt +∅)
x= 1 Senωnt + 2cos ωnt
Caso a)
xt = 0 ; x 0= 0 ; ´ xt = 0
´ xt = c 1 ωn osωnt − 2 ωnSenωnt
x (0 )= 1 Sen 0 + 2cos 0
x0 = 2
´ x(0 )=( 0 )= c 1 ωn os 0 − 2 ωnSen 0
0 = 1 ωn; 1 = 0
x(t )= x0 osωnt Posición
́x(t )=− x0 ωnSenωnt Velocidad
´ x(t )=− x0 (ωn2 ) osωnt Aceleración
Caso b)
xt = 0 ; ´ xt = 0 = vo= ́x
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x0 = 0 = 1 Sen (0 )+ 2 cos (0 )
0 = 2
́x(0 )= v0= ´ x= 1 ωn os 0− 2 ωnSen (0 )
´ x0 = 1 ωn
1= ´ xωn
x (t )= ´ xωn
Senωnt Posición
´ x (t )= ́x osωnt Velocidad
´ x (t )=− ́xωnSenωnt Aceleración
Caso c)
xt = 0 = x0 ; ´ xt = v o= ́x
x(0 )= x0 = 1 Sen (0 )+ 2 cos (0 )
x0 = 2
́x(0 )= v0= ́ x= 1 ωn os (0 )− 2 ωnSen (0 )
́x= 1 ωn
1= ´ xωn
x(t )= ´ xωn
Senωnt + x0 osωnt Posición
́x(t )= ́x osωnt − x0 ωnSenωnt Velocidad
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´ x (t )=− ´ xωnSenωnt − x0 ωn 2 osωnt Aceleración
1.# @istema Amortiguadom ´ x (t )+ ´ x (t )+kx(t )= 0
x= ! e " t ; ́x= ! " e " t ; ́x= ! " 2 e "t
m " 2+c " +k = 0
"2 + cm
"+k = 0
"=
− cm
+¿−√ c 2m2 − 4 k m2
" = − c2 m
#√ c2
22m
2 − k m
"1=− c2 m
+√ c24 m2 − k m " 2 = − c2 m −√ c
2
4 m2 −
k m
ε= cc c
ε= c2 mωn
c= ε 2 mωn
"= − 2 m ω n $2 m
+√(2 m ω n $ )24 m2 − mω n 2m " =− ωn$# √ ωn 2 $ 2 − ωn 2
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"=− ωn$#ωn √ $ 2 − 1
Caso a)
c >c c , $ >1 por lo tantohay solucionesreales y diferentes
x(t )= %1 e(− $ +√ $2− 1)ωnt + %2 e(− $ − √ $
2− 1)ωnt
Proponiendo xt = 0= x0, ´ xt = 0= 0
x(0 )= x0= %1+ %2
´ & (0 )= 0 = % 1 (− $ +√ $2
− 1 )ωne(− $ +√ $ 2 − 1 )ωnt
+ % 2 (− $ − √ $2
− 1 )ωn e(− $ − √ $ 2 − 1 )ωnt
0 = %1 (− $ +√ $ 2 − 1 )ωn + % 2 (− $ − √ $ 2 − 1 )ωn
0 =− % 1 $ + %1 √ $ 2 − 1 − %2 $ − %2 √ $ 2 − 1
0 =− $ ( % 1 + %2 )+√ $ 2 − 1 ( %1 + % 2 )
0 =− $ % 1 − $ % 2 + %1 √ $ 2 − 1 − %2 √ $ 2 − 1
0 = %1 (√ $ 2 − 1 − $ )− %2 (√ $ 2 − 1 + $ )
%1 = %2 (√ $ 2− 1 + $ )(√ $ 2− 1− $ )
%2= %1 (√ $ 2− 1 − $ )(√ $ 2 − 1+ $ )
& 0 = % 2 (√ $ 2 − 1 + $ )
(√ $ 2 − 1 − $ ) + % 2
& 0 = %2 (√ $ 2− 1 + $ )+ %2 (√ $ 2− 1 + $ )
(√ $ 2− 1 − $ )
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& 0 = %2 √ $ 2 − 1 + %2 $ + % 2 √ $ 2 − 1 − % 2 $
√ $ 2 − 1 − $
x0=2 %2 [√ $ 2− 1− $ ]
2 √ $ 2− 1
%2= & 0 [√ $ 2− 1− $ ]
2 √ $ 2− 1
& 0 = %1 + & 0√ $ 2 − 1 − $
2 √ $ 2 − 1
%1 =2 x0 √ $
2 − 1− x0[√ $ 2− 1− $ ]2 √ $ 2− 1
Ecuación de Posición
x(t )=2 x0 √ $
2− 1− x0 [√ $ 2− 1− $ ]e(− $ +√ $2− 1 )ωnt
2 √ $ 2− 1+
x0 [√ $ 2− 1− $ ]e(− $− √ $2− 1 )ωnt
2 √ $ 2− 1
Ecuación de velocidad
́x(t )={2 x0 √ $ 2 − 1− x0[√ $ 2 − 1− $ ]2 √ $ 2− 1 }[− $ +√ $ 2− 1 ]ωn e (− $ +√ $ 2− 1 )t +{ x0 [√ $2− 1− $ ]
2 √ $ 2− 1 }[− $ − √ $ 2− 1 ]ωn
Ecuación de Aceleración
́x(t )={2 x0 √ $ 2 − 1− x0[√ $ 2 − 1− $ ]2 √ $ 2− 1 }[− $ +√ $ 2− 1 ]2 ωn 2 e (− $ +√ $ 2− 1)t +{ x0[√ $2 − 1− $ ]
2 √ $ 2− 1 }[− $ − √ $ 2− 1]2
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Caso b)c= cc , $ = 1
" 1 =− ωn," 2 =− ωn
Proponiendo
x (0 )= x0 , ´ x (0 )= 0
x (t )= % 1 e−ωnt + % 2 t e− ωnt
x(0 )= x0= %1 e(0 )+ %2 (0 )e (0 )= %1
x0= %1
´ x (t )= % 1 (− ωn )e−ωnt + % 2 t (−ωn )e−ωnt + % 2 e−ωnt
́x(t )=− %1 ωn e −ωnt − %2 e− ωnt − ωnt% 2 e−ωnt
́x(0 )= 0 =− %1 ωn − %2, %1= − %2ωn
Ecuación de Aceleración
x(t )= x0 e−ωnt − %2ωn
t e−ωnt
́x(t )=− ωn x 0 e−ωnt ∓ [ − %2ωn t (− ωn )e−ωnt +e− ωnt (− %2ωn )]
Ecuación de velocidad
́x(t )=− ωn x 0 e−ωnt ∓ %2 t e−ωnt − %2ωn
e− ωnt
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́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt ∓ %2 t (− ωn )e− ωnt +e− ωnt %2− %2ωn
(− ωn )e− ωnt
́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt − %2 tωne −ωnt + %2 e−ωnt + %2 e−ωnt
Ecuación de Aceleración
́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt − %2 tωne −ωnt +2 %2 e− ωnt
Caso c)c < c ε
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%1 ε= %2 √ ε 2− 1
%2= %1 ε√ ε2− 1
%2= x0 ε√ ε2− 1
Ecuación de Posición
x0 cos (ωn √ ε2− 1 t )+ ε x0√ ε2− 1
sen (ωn √ ε2− 1 t ] x (t )= e−ωnεt ¿
x0 ¿ ́x(t )= e− ωnεt ¿
+e− ωnεt (− ωnε ) Ecuacion de velocidad
La ecuación de aceleración queda:
− x0 cos (ωn √ ε2 − 1 t ) (ωn √ ε2 − 1 )2
− ε x 0√ ε2 − 1
sen (ωn √ ε2 − 1 ) (ωn √ ε2 − 1 )2 +[− x0 sen (ωn √ ε2 − 1 t ) (ωn √ ε´ x (t )= e− ωnεt ¿
4aso e tra: Vibración for2adam ́x(t )+ x(t )= pm senω f t
x part = xm senω f t
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− mωf 2 xm senωft +k xm senωft − pm senωft
xm= pm
k − mωf 2 xm=
pmk
1−( ωf ωn
)2
xm= ( m
1−( ωf ωn
)2
xcomp= c 1 senωnt +c 2 cosωnt
x= c 1 senωnt +c 2cos ωnt + xm senωft
Factor de amplificación:
xm pmk
= xm( m
= 1
1 −( ωf ωn
)2
́x(t )= c 1 ωncosωnt − c 2 ωnsenωnt + xm ωfcosωft
́x(t )=− c 1 ωn 2 senωnt − c 2 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft
Proponiendo:
x(0 )= x0 ; ́x(0 )= ´ x0
x(0 )= x0= c 2
́x(0 )= ´ x0= c 1 ωn + xm ωf ∴ c 1= ´ x0− xm ωf
ωn
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La ecuación de posición es:
x(t )= ´ x0− xm ωf
ωn senωnt + x0 cosωnt + xm senωft
́x(t )={( ´ x0− xm ωf ωn )ωncosωnt }− x0 ωnsenωnt + xm ωfcosωft
La ecuación de velocidad queda así:
´ x (t )= { ( ´ x0 − xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xmωfcosωft
́x(t )=−{( ´ x0− xm ωf ωn )ωn 2 senωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft
La ecuación de aceleración es:
´ x (t )=− ( ´ x0 − xm ωf )ωnsenωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft
Si ωn = ωf
La ecuación de posición es:
x(t )=( ´ x
0− x
mωn
ωn )senωnt − x0 cosωnt + xm senωnt
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xm=
pmk
1− 1 2 = )
se dice*ue la fuer+a aplicada p m estaenresonancia conel sistema
́x(t )= { ( ´ x0− xm ωn )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xm ωncosωnt
La ecuación de velocidad es:
́x(t )= ´ x0 cos ωnt − xo ωnsenωnt
´ x (t )=− ( ´ x0 − xm ωn )ωnsenωnt − x 0 ωn 2 cosωnt − xm ωn 2 senωnt
´ x(t )= ´ x0 ωnsenωnt − x0 ωncosωnt aceleracion
xm=
pmk
1−( ωf ωn
)
xm sera positiva ,lo *uedetermina *uela fuer+a p m estaen fase conla vibra
Y la ecuación de posición es:
x(t )= ´ x0− xm ωf ωn senωnt + x0 cosωnt + xm senωft
La ecuación de velocidad es:
´ x (t )= { ( ´ x0 − xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xmωfcosωft
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La ecuación de aceleración es:
´ x (t )=−{ ( ´ x 0 − xm ωf )ωnsenωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωnt
ωf >ωn
xm=
pmk
1−( ωf ωn
)
xm seranegativa , lo*uedetermina *ue la fuer+a p m esta fuerade fase
La ecuación de posición es:
x(t )= ´ x0+ xm ωf
ωn senωnt + x0 cosωnt − xm senωft
La ecuación de velocidad es:
́x(t )= { ( ´ x0+ xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt − xmωfcosωft
Y la ecuación de aceleración es:
´ x (t )=−{ ( ´ x 0 + xm ωf )ωnsenωnt − x 0 ωn 2 cosωnt + xmωf 2 senωnt
#.1 ;uer2a armónica:Fuerza directamente aplicada sobre el momento inercial!"t)#
@istema masa resorte amortiguador, con e citación armónica
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m ́x+c ´ x+fmsen -t
; m '"g " E8m y c F c c c 1# ; m 1 E
7 s f m 8" 1 8' # m
a? $F$n $ $n8' #.'#
-dt f 1 sen-dt +f 2cos ¿
xc= e− ε-nt ¿
xc= xm e−ε-nt sen (-dt − . )
x p= xf sen (-t − . )
´ x p= xf -fcos (-ft − . )
´ x p=− xf - f 2sen (-ft − . )
$rimera condici%n&
-ft − . = 0 ∴ -ft = 0
'e(unda condici%n&
-ft − . = π 2∴ -ft = . + π
2
sen -ft = sen(. + π 2 )= cos.@ustituyendo
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m{− xf - f 2 sen (- f t − . ) }+c { xf - f cos (- f t − . )}+k {fsen (sen- f t − . )}= pf sen.
1 ¿ c x f - f = pf sen.
2 ¿− m xf - f 2 +k xf − pf cos.
tan. = c - f /k − m- f 2
xf = pf /√ (c - f )2−( k − m- f
2 )2
!ividiendo entre "
xf = pf k
/√ (c - f /k )2 −(( k − m- f
2 )/k )2
xf = pf k
/1−( - f 2 / - n)
2 +(2 ε - f - n
)2
/ 0 ! 0x f / pf
k = 1
√1 −( - f 2 / - n)2 +(2 ε - f - n )2
@olución general xg= xc + x p
√[1−( -f -n )]2+¿(2 ε -f -n )2
x= e− ε-nt
{f 1 sen-d +f 2 cos-dt }+ pf /k ∗(sen-ft − . )
¿
!eriva y obtener la velocidad volver a derivar y obtener laaceleración y aplicar las condiciones iníciales para
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xt = 0 usar x 0= xs2
x0= e− ε-nt {f 1 sen-dt +f 2 cos-dt }+
( p f k )(sen (-ft − . ))√[1− -f -n 2]+(2 ε -f -n )2
x0= f 2 −
( pf k
).
√[1− -f -n2
]2
+(2 ε -f -n
)2
f 2 = x0 +( pf
k ).
√[1 − -f -n 2 ]2 +(2 ε -f -n )2
x= e− ε-nt [(f 1 -dcos-dt − f 2 -dsen-dt )+ pf k (-fcos-ft )/√(1 −( -f -n )2)2+( -f -n )2]G
Hf1sen$dt Gf#cos$dtI G( pf k )(sen -ft − . )
√[1 − -f -n 2]2 +(2 ε -f -n )2e−ε-nt (− ε-n )
* +CC,-. * F-/ + ' *.*/ *'& , / C, .F-/ -/ , +
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$osici%n&
/ 1= ε ωn x0
ω d
2 εω f
ω n¿
[1 −( ω f ωn )2
]2
+¿
√ ¿
/ 2 = x0 +( 1 f k ).¿
ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿
2 εω f ωn
¿
[1 −( ω f ω n )2
]2
+¿
√ ¿
/ 1 sen ¿+( 1 f k )sen (ω f t − . )
¿¿
x= e− εω n t ¿
elocidad&
)age 21 of 91
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ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿
2 εω f
ω n¿ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿
2 εω f ω n
¿
[1−(
ω f
ωn)
2
]2
+¿
√ ¿
/ 1 sen ¿+( 1 f k
)sen (ω f t − . )¿
¿
[1−( ω f ωn )2]
2
+¿− ε ω n e− ε ω n t ¿
√ ¿
/ 1 ω d cos ¿+
( 1 f k
)ω f cos (ω f t )
¿¿ ́x= e−ε ω n t ¿
celeraci%n&
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ωω
2 εω f ω n
¿[1 −( ω f ω n )2]
2
+¿
√ ¿ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿
2 εω f ω n
¿
[1 −( ω f ω n )2
]2
+¿
√ ¿
/ 1 ωd cos ¿+( 1 f k
)ω f cos (ω f t )¿
¿
(¿¿d t )−( 1 f
k )ω f
2sen (ω f t )
¿ − ε ω n e− εω n t ¿
(¿¿d t )− / 2 ω d2
cos ¿− / 1 ω d2
sen ¿¿
x= ¿e− εω n t ¿¿́
5
ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿
2 εω f
ω n¿
ε ωn¿¿ωω
(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿
2 ε ω f ω n
¿
[1−( ω f ωn )2]
2
+¿
√ ¿
/ 1 sen ¿+( 1 f k
)sen (ω f t − . )¿
¿
[1−( ω f ωn )2]
2
+¿+¿
√ ¿
/ 1 ω d cos ¿+( 1 f
k )ω f cos (ω f t )
¿¿
ε ω n e− ε ω n t ¿
Caso a) $ f F$ n ; $ f $ n8'
Simplificando y sustituyendo valores sugeridos ( $ f $ n8'? en / 1 y / 2 seobtiene,
/ 1 = ε ω n & 0
ω n √ 1 − 2 ε2=
ε & 0√ 1 − 2 ε2
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& s= 1 f k
& 0 = & s
2
& 0 = 1 f 2 k
/ 2 = & 0 +
1 f k
tan −1( 512 ε)
√(1−( ω n
5ω n)
2
)2
+(2 εωn5ωn)
2
/ 2 = 1 f 2 k
+
1 f k
tan −1( 512 ε)
√ 0.9216 +0.16 ε2
Sustituyendo valores sugeridos ( $ f $ n8'? y despejando∅
se obtiene,
tan ∅=2 ε(ω f ω n)1− ω f
2
ω n2
∅= tan − 1( 512 ε)La ecuación de posición es la siguiente:
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& = e− εω n t [{ ε 1 f 2 k √ 1− 2 ε2 sen (ω n √ 1− 2 ε2 t )+( 1 f 2 k + 1 f k tan − 1( 512 ε)√ 0.9216 +0.16 ε 2 )cos (ω n √ 1− 2 ε2 t )}+ 1 f k sen(ω f t −√ 0.9216La ecuación de velocidad es la siguiente :
´ & = e− εω n t [{εω n 1 f 2 k cos (ω n√ 1 − 2 ε 2 t )−( 1 f 2 k + 1 f k tan − 1( 512 ε)√ 0.9216 +0.16 ε2 )(ω n√ 1 − 2 ε2 )sen (ωn √ 1 − 2 ε2 t )}+ 1 f k √ 0.92
La ecuación de aceleración es la siguiente:
´ & = e− ε ω n t
[{− ε ω n
2 1 f √ 1 − 2 ε
2
2 k sen (ωn √ 1 − 2 ε2
t )−( 1 f 2 k +
1 f k
tan −1( 512 ε)
√ 0.9216 +0.16 ε2 )ω n
2
(1 − 2 ε2
)cos (ω n √ 1 − 2 ε
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Caso b) ω f = ω nωω
(¿¿d t )
(¿¿d t )+ / 2 cos ¿2 ε
ω f ωn
¿
[1 −( ω f ω n )2
]2
+¿
√ ¿
/ 1 sen ¿+( 1 f k
)sen (ω f t − . )¿
¿ x= e− εω n t ¿
$osici%n&
ωω
(¿¿d t )+( 1 f k
)sen (ω f t − . )
2 ε
(¿¿d t )+[ x0 +( 1 f k ).2 ε ]cos ¿[ ε x 0√ 1 − 2 ε2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]sen ¿
x= e−ε ω nt ¿
elocidad&
)age 26 of 91
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27/91
ωω
(¿¿d t )+( 1 f k
)ω f cos (ω f t )
2 ε
(¿¿d t )−[ x0 +( 1 f k
).
2 ε ]ω d sen ¿ωω
(¿¿d t )+( 1 f
k )sen (ω f t − . )
2 ε
(¿¿ d t )+[ x0 +
( 1 f k
).
2 ε
]cos ¿
[ ε x0√ 1− 2 ε 2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]sen ¿e− εω n t [ ε x0√ 1− 2 ε2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]ω d cos ¿− ε ωn ¿
´ x= e− εω n t ¿
)age 27 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
28/91
ωωωω
( 1 f
k )ω f ω d cos
(¿¿d t )
2 ε
(¿¿d t )−( 1 f k
). ω d sen (ω d t )
2 ε +¿
ωωω
(¿¿d t )+( 1 f k
).cos (ω d t )
2 ε +
( 1 f k
)sen (ω f t − . )
2 ε
( 1 f k )ω f sen
(¿¿d t )2 ε + x0 c os ¿
ε x0 sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2
− ¿
¿( 1 f k
)ω f ωd cos (¿¿d t )
2 ε − x0 ω d sen ¿− e
− εω n t ε ω n ¿
ε x0 ω d cos (¿¿ d t )√ 1− 2 ε2
− ¿
¿´ x= e−ε ω n t ¿
)age 28 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
29/91
ωω
(¿¿d t )−( 1 f k
). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ωd t )
2 ε
(¿¿d t )− x0 ω n√ 1− 2 ε2 sen ¿ε x0 ω n cos ¿´ x= e− ε ω n t ¿
5
ω
ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2
−( 1 f
k )ωn ω f sen(ωd t )
2¿¿ω
(¿¿d t )+( 1 f
k )ω n .cos (ω d t )
2 +
( 1 f k )ωn sen (ω f t − . )
2
e− ε ω n t ¿
ωωω
ω
(¿¿d t )−( 1 f k
)e−ε ω nt ω n .cos (ωd t )
2−
e− ε ω n t ( 1 f k
)ωn sen (ω f t − . )
2
ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2
+( 1 f k )ωn ω f sen (ωd t )
2 − e−ε ω n t ε x0 ω n cos ¿
(¿¿d t )− e− ε ω n t ( 1 f
k ). ω n √ 1− 2 ε
2 sen (ω d t )
2 ε − e− ε ω n t ¿
(¿¿ d t )− e− ε ω n t x0 ω n√ 1− 2 ε 2 sen ¿ ́x= e− ε ω n t ε x0 ω n cos ¿
)age 29 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
30/91
ωω
ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2
+( 1 f k )ωn ω f sen (ω d t )
2−
( 1 f k
)ω n .cos (ω d t )
2−( 1 f k )ω n sen (ω f t − . )
2
(¿¿d t )−( 1 f k ). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ω d t )
2 ε − ¿
− x0 ωn √ 1 − 2 ε2 sen ¿
́x= e−ε ω nt ¿
celeraci%n&
ω
ω
ε2 x0 ω n ωd sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2
+( 1 f k )ω n ω f ω d cos (ωd t )
2+
( 1 f k
)ω n ω d .sen (ωd t )
2−
( 1 f k
)ωn ω f .cos (ω f t )
2
(¿¿d t )−( 1 f k
). ω n ω d √ 1 − 2 ε2 cos (ω d t )2 ε
−¿
− x0 ωd ω n √ 1− 2 ε2cos ¿
́x= e−ε ω nt ¿
ωω
ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2
+( 1 f k
)ωn ω f sen (ω d t )
2−
( 1 f k )ωn .cos (ωd t )
2−
( 1 f k
)ωn sen (ω f t − . )
2
(¿¿d t )−( 1 f k
). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ωd t )
2 ε −¿
− x0 ω f √ 1− 2 ε2 sen ¿
́x=− ε ω n e−ε ω n t
¿
)age 30 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
31/91
Caso c)& ωf >ωn
C lculos pre:ios
xo= 1f 2 k
ωd = ωn √ 1− 2 ε2
ϕ= 2 εωfωn
(ωn )2
− (ωf )2
ϕ=2 ε (10 ωn )ωn(ωn )2 − (ωn )2
ϕ=− 2.22 ε
f 1= εωnxo
ωn √ 1− 2 ε 2 = ε1f
2 k √ 1 − 2 ε2
f 2= 1f 2 k
+
1f k
(−2.22 ε)
√[(1− 10 ωnωn )2]2+(2 ε 10 ωnωn )2
f 2 = 1f 2 k
+
1f
k (−2.22 ε)
√ 9801 +(2 ε 10 )2= f 2 = 1f
2 k −
1f
k (2.22 ε)
√ 9801 +400 ε2
$osici%n
)age 31 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
32/91
& = e− εωnt [{ ε1f 2 k √ 1− 2 ε2 sen (ωn √ 1 − 2 ε2 t )+( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε)√ 9801 +400 ε2)cos (ωn √ 1− 2 ε 2 t )}+ 1f k Sen (10 ωn√ 9801 +40elocidad
´ & = e− εωnt [{εωn1f 2 k cos (ωn √ 1 − 2 ε2 t )−( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε)√ 9801 +400 ε2 )(ωn √ 1 − 2 ε2 )Sen(ωn √ 1 − 2 ε2 t )}+ 1f k 10√celeraci%n&
´ & = e− εωnt [{− ε (ωn )2 √ 1− 2 ε 2 1f 2 k Sen(ωn √ 1− 2 ε2 t )−( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε )√ 9801 +400 ε2 )(ωn )2 (1 − 2 ε2 )cos (ωn √ 1−
Primera parte: Graficas de los Sistemas IdealesSISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO
a) Xt=0==X0 , Xt=0==0
)age 32 of 91
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
33/91
Se vericará l a rel ación e ntre l a a mplitud d e la vibración y los va lores d e las co ndiciones i níciales a tr avés de grácos
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 1. Esta gráca represen ta la forma de onda de la posición del sistema masa-resorte sin amortiguamiento y si n excitación, sepuede a preciar que el movimiento es a rmónico y no pierde a mplitud debido a l a f alta d el amortiguamiento.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 2. En e sta g ráca se repr esenta a hora l a forma d e o nda d e l a ve locidad d el sistema si n a mortiguamiento, se p uede apreciaral igual que l a g ráca anterior, que e l movimiento e s a rmónico y n o p ierde amplitud debido a l a f alta d e a mortiguamiento.
)age 33 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
34/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 3. Esta gráca represen ta la forma de onda de la aceleración de igual forma maniesta las mismas características de lasgrácas anteriores debido a la ausencia del amortiguamiento.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 4 . Grácas un icadas d el sistema si n a mortiguamiento a nterior con s us resp ectivos d atos d e va lores i níciales, para o bservaruna relativa entre ellas.
b) Xt=0==0 , Xt=0==V0
)age 34 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
35/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 5. Este caso corresponde a d iferentes c ondiciones i níciales, pero s e d estaca que se s iguen los mismos p rocedimientos e
iniciativas y se maniesta la misma fenomenología.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 6 . Gráco d e ve locidad, bajo e stas c ondiciones i níciales la ve locidad se vio incrementada e n co mparativa co n las
condiciones anteriores.
)age 35 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
36/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10
-5
0
5
10
ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 7. Gráco de aceleración, mismo co mportamiento y a l igual la m agnitud de la a celeración incrementó.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10
-5
0
5
10
TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 8. Conjunción de grácos del caso 2. Se observan las tres f ormas de onda u nicadas.
c) Xt=0==X0 , Xt=0==V0
)age 36 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
37/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 9. Nuevamente se cambian las co ndiciones i níciales, pero si gue si endo el mismo si stema m asa-resorte. En e sta g ráca
comenzamos nuevam ente con l a forma de onda de la velocidad.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 1 0. Gráco d e ve locidad p ara el caso t res. La velocidad e s la m ayor de los t res d iferentes c asos.
)age 37 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
38/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15
-10
-5
0
5
10
15
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Grá
ca 1 1. Gráco de aceleración. De i gual manera e n e ste ca so l as t res m agnitudes so n las m ayores d e l os t res c asos con diferentes
condiciones iníciales .
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15
-10
-5
0
5
10
15TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 12.conjunción de las t res magnitudes, para poder observar su forma de onda simultáneamente.
Con amorti(uamiento
Cn este caso el sistema será masa5resorte5amortiguador, sin e citación. @erántres casos, variando los valores de relación entre C y Cc.
a) C>Cc , la razón am ort >1
)age 38 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
39/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 13. Los r esultados de esta gráca arrojan que existe amortiguamiento considerable, t anto así com o para no permitir queexistieran o scilaciones d e l a m asa, como se observa; la cu rva e s es tabiliza d e m anera r ápida.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 14. Zoom del gráco 13.
)age 39 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
40/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 15. En e ste ca so e xiste ve locidad q ue de la m isma m anera s e e stabiliza h acia c ero, por que e l amortiguamiento a bsorbió lavelocidad d e l a m asa.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 16. Zoom del gráco 15.
)age 40 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
41/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 17. Lo m ismo o curre con la a celeración de la m asa, el amortiguamiento desacelera a l a m asa.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 18. Zoom de la gráca 17
)age 41 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
42/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 19. Conjunción de las t res m agnitudes d el mismo ca so.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 20. Zoom del gráco 19
c) C
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
43/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 21. En este n uevo caso se p uede observar que la forma d e o nda del desplazamiento t iende a t ener considerablesoscilaciones, debido a q ue el amortiguamiento e s m enor, el amortiguamiento t arda m ás e n d etener el movimiento.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
)age 43 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
44/91
Gráca 22. Zoom del gráco 21.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4VELOCIDAD
TIEMPO
Gráca 23. Así como la p osición, la velocidad de pierde gradualmente. Disminuye la velocidad poco a poco hasta el estado estático.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 24. la m asa desacelera con forme e l amortiguador act úa, la d esaceleración es l enta p orque en este ca so e l amortiguamientoes l igero.
)age 44 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
45/91
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8
-6
-4
-2
0
2
4
6ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 25. Zoom gráco 24.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 26. Conjunción de las tres magnitudes, posición, velocidad y a celeración
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8
-6
-4
-2
0
2
4
6TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
)age 45 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
46/91
Gráca 27. Zoom gura 26.
b) C=Cc , la razón am ort =1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 28. Est e es e l caso en el que e l amortiguamiento es m ayor de l os t res ca sos. Como se observa e l amortiguamiento e sgrande y l leva al paro rápidamente a la m asa.
)age 46 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
47/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 29. Zoom de la gráca 28.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 30. La velocidad también disminuye d rásticamente.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0VELOCIDAD
TIEMPO
A
M P L I T U D
Gráca 31. Zoom de la gráca 30.
)age 47 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
48/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 32. De i gual forma l a a celeración es rápi damente d isminuida por el gran a mortiguamiento.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 33. Zoom de la gráca 32.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
TIEMPO
A M
P L I T U D
TOTAL
Gráca 34. Conjunción de las formas de onda de las t res magnitudes físicas.
)age 48 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
49/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 3 5. Zoom de la g raca 3 4 pa ra ap reciar más cl aramente las m agnitudes.
F+*/ / -.,C
@e asumirá el sistema masa5resorte5amortiguador, pero a ora con e citaciónarmónica. @e observara el comportamiento del sistema, en amplitud y fase, enfrecuencia inferior a resonancia.
a) W
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
50/91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
51/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 38. L a a celeración sólo a l inicio t iene u na ligera d iferencia e n u n p ico, pero ya las s iguientes se comportan de manera
periódica debido a la fuerza de excitación.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 39. Conjunción de m agnitudes p ara est e ca so, estas m agnitudes si empre est án e n desfase entre las t res.
B) W=Wn
)age 51 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
52/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 40. En esta p arte, se o bserva qu e l a forma d e onda t iene cambios m uy p equeños y amplitud reducida, pero e s pe riódica y
mantiene las características de l sistema e xcitado a rmónicamente.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5
0
5
10
TIEMPO
A M P L I T U D
VELOCIDAD
Gráca 41. La velocidad d e e ste ca so e s m uy si milar a l a d e ca sos a nteriores se m antiene e n a mplitudes ce rcanas a 1. Y la forma d e
onda sigue si endo periódica d ebido a la exc itación armónica.
)age 52 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
53/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 42. La velocidad de es te ca so e s todavía m ayor a la d e ca sos a nteriores e sta se m antiene e n a mplitudes ce rcanas a 1 0 la
aceleración resulta ser m uy brusca. La f orma de onda sigue siendo periódica debido a la excitación armónica.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 43. Cambio e n la e scala e n cu anto a mplitud de la g ráca 42.
)age 53 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
54/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-250
-200
-150
-100
-50
0
50TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 4 4. Conjunción de las t res m agnitudes p ara est a ca so.
c) W>Wn (126.5>12.65)
l
l
l
l
l
)age 54 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
55/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 45. C uando se d an las co ndiciones d e e ste ca so se d ispara la frecuencia d el sistema, como s pu ede ob servar la frecuencia
de respuesta d el sistema e s grand ísima y l a a mplitud del sistema se redujo
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 4 6. En e ste zo om de l a g ráca 4 5, se o bserva que en realidad esta forma d e o nda no tiene un a forma con cisa y m antiene
deferencias e n su s on dulaciones, por lo q ue bajo e stas c ondiciones d e ca so l a f recuencia p rovoca d icha p erturbación al sistema.
)age 55 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
56/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 47. Ocurre q ue la ve locidad también se ve disminuida en amplitud, pero la f recuencia t ambién es d emasiado g rande. Es
necesario u n ca mbio e n e scala p ara vi sualizar m ejor l a forma d e o nda.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 48. Bajo es te ca mbio e n e scala se p uede apreciar mejor la forma d e on da, debido a que e n la g raca 47 la frecuencia e s
alta. La forma d e o nda d enota rui do por lo q ue en este ca so l a ve locidad también se v e a fectada p or l as c ondiciones i níciales
propuestas.
)age 56 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
57/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100
0
100
200
300
400
500ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 49. Con las conclusiones anteriores se podría inferir que l a a celeración también esta p erturbada bajo e stas condiciones, elsiguiente g ráco mostrará l a forma d e o nda m ás cl ara.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100
0
100
200
300
400
500ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 50. La aceleración también no está del todo bien denida bajo las condiciones iníciales de este caso. Se observa u n ruido ensu forma de onda, debido al tipo de frecuencias.
)age 57 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
58/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100
0
100
200
300
400
500
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 51. Conjunción de las tres diferentes magnitudes.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100
0
100
200
300
400
500
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 52. Zoom de l a gráca 5 1 a diferente frecuencia, p ara una m ejor apreciación de las t res m agnitudes en su forma de onda.
)age 58 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
59/91
Segunda parte: Graficas Basada en los CálculosSISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO
a) Xt=0==X0 , Xt=0==0
a) Xt=0==X0 , Xt=0==0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
,
POCISION
Gráca 1. La gráca resulta exacta a l del modelo ideal y se mantienen las mismas características de onda y se denota la falta deamortiguamiento
)age 59 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
60/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
TIEMPO
A M P L I T U D
VELOCIDAD
Gráca 2. R esultando con los mismos valores y características al del caso ideal, también la aceleración muestra los mismosparámetros q ue en el caso ideal.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 3. La graca de aceleración también mantiene l os m ismos resultados e n este caso.
)age 60 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
61/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 4.Se co ncluye que e n e ste c aso las si mulaciones d el caso calculado y el caso ideal resultaron se r las mismas.
b) Xt=0==0 , Xt=0==V0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 5. El resultado e s el esperado, de m odo qu e e ste g ráco de posición cumple co n lo est ablecido en e l modo ideal
)age 61 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
62/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 6. La velocidad también denoto u na onda armónica n o a fectada p or amortiguamiento, y su r esultado e s eq uivalente a l caso
ideal
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10
-5
0
5
10
TIEMPO
A M P L I T U D
ACELERACION
Gráca 7 . Muestra resu ltados e quivalentes, el gráco de aceleración.
)age 62 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
63/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10
-5
0
5
10
TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 8 . Se co ncluye con los resu ltados o btenidos ba jo e ste ca so co n su s respectivas co ndiciones i níciales, son los e sperado s
bajos los d el caso ideal. Existió e l mismo co mportamiento co n las m ismas m agnitudes.
c) Xt=0==X0 , Xt=0==V0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 9. En e stas nuevas condiciones los resultados s iguen siendo los precisos y tienen las mismas reacciones.
)age 63 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
64/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 10. La velocidad n o e s l a e xcepción, se siguen manteniendo los resultados ideales.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15
-10
-5
0
5
10
15
ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 11.La aceleración de igual forma se mantiene b ajo los m ismos r esultados y co mportamientos q ue en el caso ideal.
)age 64 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
65/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15
-10
-5
0
5
10
15
TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 1 2. Se co ncluye que e n los t res c asos f ue fácil resolver l a p roblemática d e las e cuaciones y l as s imulaciones e n los c asos
ideales co mo e n los q ue se t uvo que m antener un cá lculo, y los resul tados o btenidos eran l os e sperados.
Con amorti(uamiento
a) C>Cc , la razón am ort >1
SISTEMA AMORTIGUADO
a) C>Cc , la razon am ort >1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I
I
)age 65 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
66/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 13. Ahora los resultados en el sistema masa-resorte-amortiguador se analizarán. Se puede percibir que efectivamente laforma d e o nda tiende a estabilizarse i nmediatamente d ebido a l a presencia de un riguroso amortiguamiento y que e s e l resultado e scomplaciente e n su equivalente i deal.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 14 . Zoom del gráco 1 3.C
)age 66 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
67/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 15. Esta e s l a g ura de la g ráca de velocidad y en comparativa co n su equivalente i deal es p rácticamente l a m isma.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0 VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 16. Zoom de la gráca 14.
)age 67 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
68/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 17. Esta e s l a gura d e l a gráca de aceleración y en comparativa co n s u e quivalente i deal es p rácticamente l a m isma, soloun detalle d e o scilaciones compuestas a ntes de alcanzar l a e stabilidad.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 18. Zoom de la g ráca 15, para u na mejor apreciación.
)age 68 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
69/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 19. Se concluye que en los tres ca sos l as simulaciones g rácas alcanzan u n grado de concordancia muy a ceptable al
observar los dos r esultados totales; tanto este el calculado, com o el del caso ideal y los resultados obtenidos e ran los esperados.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 20 .Zoom 1 d el graco 19 .
)age 69 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
70/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 21, Zoom 2 d el gráco 19, para u na mejor apr eciación del detalle.
b) C=Cc , la razón am ort =1b) C=Cc , la razon am ort =1
,
)age 70 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
71/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 22. Es o btiene l a respu esta d eseada. En e ste c aso sólo va ria u n l igeramente e l tiempo donde t oco cero l a a mplitud de la
posición de estabi lización. De i gual manera se estabilizo inmediatamente.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 23. Zoom del gráco 22.
)age 71 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
72/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
TIEMPO
A M P L I T U D
VELOCIDAD
Gráca 2 4. Este m odelo es p rácticamente el mismo qu e en el modelo en el caso i deal al amplitud m áxima es d e ap roximadamente
0.225 e n a mbos ca sos y tarda e l mismo t iempo en llegar a l a e stabilización.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
TIEMPO
A M P L I T U D
VELOCIDAD
Gráca 2 5. En e ste Z oom del gráco 2 4 d e pu ede co mprobar el parecido con m ás de talle.
)age 72 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
73/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 26. El modelo d e l a a celeración resulta t ambién ser el mismo.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 27. En est e Zoom del gráco 26
)age 73 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
74/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 28. Este e s el gráco conjugado de las f ormas d e o nda de cada magnitud de este ca so, al compararlo co n e l casohomónimo, tenemos q ue sigue siendo p rácticamente las m ismas d eclaraciones.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 29. Zoom del gráco 28.
c) C
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
75/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 30. Las oscilaciones son mucho más d adas, entonces el amortiguamiento e s m enor al de los a nteriores e n e ste m ismo ca so.El modelo ideal y est e m odelo so n m uy pa recidos.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 3 1.la ve locidad d e igual manera t iene u n co mportamiento m uy s imilar al del caso i deal. Las a mplitudes p erece n d escribir lasmismas a mplitudes y f recuencias.
)age 75 of 91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
76/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 32. En e l caso de la a celeración se p uede describir lo m ismo. De igual manera es p rácticamente la m isma g ráca a l
coincidente i deal y m aniesta los mismos t iempos y a mplitudes.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8
-6
-4
-2
0
2
4
6ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 33.Zoom de la g ráca 3 2, para u na mejor apr eciación.
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-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
77/91
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 34. Unicación de las t res f ormas d e o nda de este ca so. Se co ncluye q ue resulto la m isma g eneración de curvas en ambos
casos, manteniendo la co mparativa si empre co n los ca sos h omónimos i deales.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 3 5. Zoom del graco 3 4, donde se pueden ap reciar las t res f ormas de onda de manera si multánea co n un minuciosoacercamiento.
FUERZA ARMONICA
a) W
-
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78/91
wd
I
II
I
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 36. El comportamiento d e esta g ráca de posición es e l mismo a p artir del tiempo 200, lo c ual la hace c orrecta, aunque alprincipio se prese nte un ligero ruido, se piensa que es debido a ligeras diferenc ias de decimales.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
79/91
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 3 7. Zoom del gráco 3 6, para una m ejor contemplación d e su cu rva.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-20
-15
-10
-5
0
5
10VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 38. En los p rimeros m ilisegundos t ambién se com porta d e u na manera a mortiguada con picos d e a mplitud respectivamenteelevados e n comparación con la fuerza de excitación armónica, pero de spués de este primer pl ano se estabiliza la curva.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
80/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-20
-15
-10
-5
0
5
10VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 39 . Z oom del gráco de ve locidad.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-200
-150
-100
-50
0
50
100
150ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 40. En los p rimeros m ilisegundos t ambién se com porta d e u na manera a mortiguada con picos d e a mplitud respectivamenteelevados, desp ués toma su característica armónica.
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-
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81/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-200
-150
-100
-50
0
50
100
150ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 41. Zoo m de la aceleración en su parte ruidosa.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 42. En e ste c aso b ajo su s r espectivas condiciones iníciales, solo va rio d urante l os primeros m ilisegundos de tiempo de laforma d e o nda pero de spués se establecieron para t omar sus val ores n ormales.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
82/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 43. Zoom de la graca 42.
0 10 20 30 40 50 60 70-150
-100
-50
0
50
100
150
TIEMPO
A M P L I T U D
TOTAL
Gráca 44. Nuevo acercamiento d e la g ráca 42, pera u na mejor apreciación del momento ruidoso.
b) W=Wn
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
83/91
wd
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 45. En e ste c aso la posición si resulta se r muy s imilar, mantiene la m ismas amplitudes y la m isma f recuencia, este c aso muymotivador.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
84/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 46. Zoom del gráco 45.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-2
0
2
4
6
8
10VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 47. La cu rva d e velocidad presenta propiamente el mismo comportamiento como la parte ideal, maniesta las mismascaracterísticas, de hecho s on casi exactamente i guales.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
85/91
-
8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
86/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-250
-200
-150
-100
-50
0
50ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 5 0. Zoom del graco d e ace leración 49.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-250
-200
-150
-100
-50
0
50TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-250
-200
-150
-100
-50
0
50TOTAL
TIEMPO
A M P L
I T U D
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
87/91
Gráca 51. Finalmente se muestran las t res f ormas d e o nda d e m anera co njunta se puede denotar que el comportamiento fuebastante s imilar al del caso homólogo i deal.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-15
-10
-5
0
5
10
15TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 5 2. Zoom de la g ráca a nterior, para p oder l ograr una mejor vi sualización
c) W>Wn
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 53. El comportamiento co mparándolo c on el caso ideal, en este, es d iferente l os p rimeros 10 0 m ilisegundos, después
logrando una si militud muy fuerte d espués de ese tiempo.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
88/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
TIEMPO
A M P L I T U D
POCISION
Gráca 5 4. Zoom del gráco d e po sición
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 55. De igual forma t ambién en esta p arte so lo ca mbia los p rimeros 1 00 m ilisegundos, tomando demasiada si militud d espués
de este t iempo, siguiendo las mismas características.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
89/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5VELOCIDAD
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 5 6. Aumento en la esca la d el gráco d e vel ocidad 55, para po der apreciar la forma de onda de una manera m ás ad ecuada.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100
0
100
200
300
400
500ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 57. En e ste ca so l a forma d e o nda d e la a celeración es p rácticamente la m isma. A excepción los p rimeros 1 0 milisegundos
aproximadamente, pro est o e s casi insignicante, porque e l resto d e la o nda e s el mismo e n a mbas grácas.
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
90/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100
0
100
200
300
400
500ACELERACION
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 58. Zoom del gráco d e a celeración del gráco 57 para p oder evi tar la so bre-frecuencia q ue presenta e s m odelo y d e e sta
manera a preciar mejor la forma d e o nda.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100
0
100
200
300
400
500TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 59. Pr ácticamente el resultado de las o ndas ge neradas e s el mismo en esta r epresentación y en su h omónima d e la i deal
solo mostrando unos ligeros detalles de variación que podrían prácticamente despreciarse p or su diminuto cambio. En tonces
concluimos qu e los m odelos de las f orma d e o nda de este caso son l as a decuadas y son correctas
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8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones
91/91
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100
0
100
200
300
400
500TOTAL
TIEMPO
A M P L I T U D
Gráca 59. Un cabio en la e scala en la g raca anterior pe rmite librarnos d e la e xcesiva frecuencia y p oder i denticar mejor l as tres
formas de onda del modelo a nterior y di agnosticar l as magnitudes.