Pandeo de columnas

contenido

1.1. Introducción 1

1.2. Equilibrio Neutro 3

1.3. Euler carga 4

1.4. Ecuaciones diferenciales de vigas y columnas 8

1.5. Efectos de las condiciones de frontera en la resistencia de columna 15

1.6. Introducción al Cálculo de Variaciones 18

1.7. Derivación de GDE viga-columna utilizando la cepa Finitos 24

1.8. Método de Galerkin 27

1.9. Continua vigas y columnas se reclinan sobre soportes elásticos 29

1.9.1. lapso uno 29

1.9.2. lapso Dos 30

1.9.3. lapso Tres 31

1.9.4. lapso Cuatro 34

1.10. Pandeo elásticos de las Columnas sometidos a cargas axiales distribuidos 38

1.11. Large Teoría de desviación (El Elastica) 44

1.12. Descentrada ColumnsdSecant Fórmula 52

1.13. Pandeo inelástico de la columna recta 56

1.13.1. Haga doble módulo (Módulo reducido) Teoría 57

1.13.2. Tangente-Módulo Teoría 60

1.14. Sistema métrico de unidades 66

Referencias generales 67

Referencias 68

Problemas 69

1.1. INTRODUCCIÓN

Es Un fenómeno físico de un miembro razonablemente recta, delgada (o cuerpo) doblar lateralmente (por lo general bruscamente) de su posición longitudinal debido a la compresión se conoce como pandeo. El término de pandeo es utilizado por los ingenieros así como laicos sin pensar demasiado profundamente. Un examen cuidadoso revela que hay dos tipos de pandeo:

(1) de tipo bifurcación pandeo;

(2) de tipo de amplificación de deflexión de pandeo.

De hecho, la mayoría, sino todos, pandeo fenómenos en la situación de la vida real son la deflexión amplificación. Un pandeo tipo de bifurcación es puramente conceptual que se produce en un perfectamente recta (geometría) homogénea (material) miembro sometido a una carga de compresión de los cuales debe pasar la resultante.

aunque el eje centroidal del miembro (carga concéntrica). Es altamente poco probable que cualquier columna ordinaria se reunirá perfectamente estas tres condiciones. Por lo tanto, es muy poco probable que alguien haya presenciado jamás un fenómeno de pandeo. Aunque, en un entorno de laboratorio, se podría demostrar el establecimiento de una acción de pandeo de tipo de amplificación de desviación que es muy cerca de la bifurcación de tipo pandeo.

1.2. EQUILIBRIO NEUTRO

El concepto de la estabilidad de diversas formas de equilibrio de un comprimidor se explica con frecuencia al considerar el equilibrio de una pelota (rigidbody)en varias posiciones, como se muestra en la Fig. 1-1 (Timoshenko y Gere961; Hoff 1956).

Aunque la pelota está en equilibrio en cada posición que se muestra, una estrecha examen revela que existen diferencias importantes entre los tres casos. Si la pelota en la parte (a) está ligeramente desplazado de su posición original de equilibrio, volverá a la posición de la extracción de la inquietante la fuerza. Un cuerpo que se comporta de esta manera se dice que está en un estado de equilibrio estable. En la parte (a), cualquier ligero desplazamiento de la bola desde su posición de equilibrio elevará el centro de gravedad. Una cierta cantidad de Se requiere trabajo para producir un desplazamiento tal. La bola en la parte (b), si es

perturbado ligeramente de su posición de equilibrio, no vuelve pero continúa para moverse hacia abajo desde la posición de equilibrio original. La equilibrio de la bola en la parte (b) se llama equilibrio inestable. En la parte (b), cualquier ligero desplazamiento de la posición de equilibrio bajará la centro de gravedad de la pelota y por lo tanto disminuirá el potencial la energía de la bola. Así, en el caso del equilibrio estable, la energía de la sistema es un mínimo (local), y en el caso de equilibrio inestable que es un máximo (local). El balón en la parte (c), después de haber sido desplazada ligeramente, ni vuelve a su posición de equilibrio original ni continúa alejándose

después de la retirada de la fuerza perturbadora. Este tipo de equilibrio se llama equilibrio neutral. Si el equilibrio es neutral, no hay ningún cambio en energía durante

un desplazamiento en el sistema de fuerza conservadora. La respuesta de la columna es muy similar a la de la bola en la Fig. 1-1. La configuración recta de la columna es estable a cargas pequeñas, pero es inestable a grandes cargas. Se supone que existe un estado de equilibrio neutro en el

La simulación de los tres condiciones perfectamente incluso en un entorno de laboratorio no es probable. Los elementos estructurales que resisten la tensión, esfuerzo cortante, torsión, o incluso a corto columnas robustos fallan cuando la tensión en el miembro alcanza un cierto limitación de resistencia del material. Por lo tanto, una vez que la fuerza limitante deel material que se conoce, es una cuestión relativamente sencilla para determinar la capacidad del miembro. Pandeo, tanto la bifurcación y la Tipo de deflexión-amplificación, no tiene lugar como resultado de la resistencia a estrés alcanzar una resistencia a la limitación del material. El estrés en el que pandeo se produce depende de una variedad de factores que van desde la dimensiones del elemento a las condiciones de contorno a las propiedades de el material del miembro. La determinación de la tensión de pandeo es bastante tarea compleja.

Una columna esbelta acorta cuando se comprime por un peso aplicado a su parte superior, y,al hacerlo así, disminuye la posición del peso. La tendencia de todos los pesos para bajar su posición es una ley básica de la naturaleza. Es otra ley básica de la naturaleza que, siempre que hay una elección entre diferentes caminos, un fenómeno físico seguirá el camino más fácil. Frente a la opción de doblar hacia fuera o acortamiento, la columna le resulta más fácil acortar para cargas relativamente pequeñas y se doble hacia fuera para relativamente

Transición de estable a equilibrio inestable en la columna. Entonces la carga en la que la configuración recta de la columna deja de ser estable es el carga a la que el equilibrio neutral es posible. Esta carga se refiere generalmente como la carga crítica.

Para determinar la carga crítica, valor propio, de una columna, uno debe encontrar la carga bajo la cual el miembro puede estar en equilibrio, tanto en el recta y en una configuración ligeramente dobladas. Cómo ligeramente? la magnitud de la configuración ligeramente curvada es indeterminado. Es conceptual. Es por qué el cuerpo libre de una columna debe elaborarse en una configuración ligeramente dobladas.

El método que basa esta configuración ligeramente flexionadas para evaluar las cargas críticas se denomina método de equilibrio neutro (vecina de equilibrio, o de equilibrio adyacente). En las cargas críticas, la trayectoria de equilibrio primario (equilibrio estable, vertical) llega a un punto de bifurcación y se ramifica en equilibrio

neutral caminos (horizontal). Este tipo de comportamiento se llama el pandeo de bifurcación

1.3. EULER CARGA

Es informativo para comenzar la formulación de la ecuación de la columna con un modelo idealizado tanto, la columna de la Euler1. El miembro cargado axialmente se muestra en la Fig. 1-2 se supone que es prismática (área de sección transversal constante) y estar hecha de material homogéneo. Además, la siguiente más se hacen suposiciones:

1. extremos del miembro están puestas. El extremo inferior está unido a una inmuebles bisagra, y el extremo superior está soportado en una forma tal que puede girar libremente y moverse verticalmente, pero no horizontalmente.

2. El miembro es perfectamente recta, y la carga P, consideró positivo

cuando causa la compresión, es concéntrico.

3. El material obedece la ley de Hooke.

4. . Las deformaciones del miembro son pequeñas, así que el término es insignificante en comparación a la unidad en la expresión para la curvatura,

Por lo tanto, la curvatura se puede aproximar

Desde el cuerpo libre, la parte (b) en la Fig. 1-2, el siguiente se convierte inmediatamente obvia:

La ecuación (1.3.2) es una de segundo orden ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Sus condiciones de contorno son

Las ecuaciones (1.3.2) y (1.3.3) definen un problema de valores propios lineal. La

solución de la ecuación. (1.3.2) A continuación se obtuvieron. Dejar

Entonces Supongamos que la solución sea de una forma

para los cuales Sustituyendo esto

en la ecuación. (1.3.2) tenemos desde no puede ser

igual a cero para una solución no trivial, sustituyendo da

A y B son constantes integrales, y pueden ser determinados por límites

condiciones.

si (B =0, entonces se llama una solución trivial; 0 = 0).

N=1,2,3 y por lo tanto desde que sigue

inmediatamente

Los valores propios PCR, llamados cargas críticas, denotan los valores de la carga P para el cual una desviación distinta de cero de la columna perfecto es posible. Las formas de deflexión a las cargas críticas, en representación de los modos propios o vectores propios, están dadas por.

Tenga en cuenta que B es indeterminado, incluyendo su signo; es decir, la columna puede ir en cualquier dirección. Por lo tanto, la magnitud de la forma del modo de pandeo no se puede determinar, que se dice que es inmaterial. La carga de pandeo más pequeña para una columna prismática cubrió correspondiente n=1

Si una columna prismática cubrió de longitud 'se fuera a doblar, será doblada por n = 1, a menos refuerzos externos se proporcionan entre los dos extremos.

Una curva de la carga aplicada frente a la desviación en un punto en una estructura de tal como el mostrado en la parte (a) de la figura. 1-3 se llama la trayectoria de equilibrio. Puntos a lo largo de la ruta primaria (inicial) (vertical) representan configuraciones de la columna en la forma comprimida pero recta; aquellos a lo largo del camino secundario (horizontal) representan configuraciones dobladas. La ecuación (1.3.4) determina un punto de bifurcación periódica, y la Ec. (1.3.5) representa un secundario (adyacente o vecino) equilibriumpath para cada valor de n. Sobre la base de la ecuación. (1.3.5), la ruta secundaria se extiende indefinidamente en la dirección horizontal. En realidad,

Sin embargo, la curvatura no puede ser tan grande y, sin embargo satisface la asunción de rotaciones a ser insignificantemente pequeña. Como P en la ecuación. (1.3.4) no es una función de y, la ruta secundaria es la formulación desplazamiento horizontal .A fin dr ser discutido muestra después de que la trayectoria de equilibrio secundaria para las curvas de la columna hacia arriba y tiene una tangente horizontal a la carga crítica.

Carga y críticos tensiones Figura 1-3 Euler.

Tenga en cuenta que en Pcr la solución no es única. Esto parece estar en contradicción con la noción bien conocido que las soluciones a los problemas de lineal clásica elasticidad son únicos. Cabe recordar que la condición de equilibrio es determinado con base en la geometría deformada de la estructura en la parte (b) de Fig. 1-2. La teoría de que tiene en cuenta el efecto de desviación sobre la condiciones de equilibrio se llama la teoría de segundo orden. el rector ecuación, la ecuación. (1.3.2), es una ecuación diferencial lineal ordinaria. Describe respuestas ni lineales ni no lineales de una estructura. Se describe una

problema de valores propios. Cualquier término de carga distinto de cero en el lado derecho de la Eq. (1.3.2) inducirá una de segundo orden (no lineal) respuesta de la estructura. Dividiendo la ecuación. (1.3.4) por el área de sección transversal A da crítico.

Donde se llama la relación de esbeltez y es el radio de giro de la sección transversal. Tenga en cuenta que la carga crítica y por lo tanto, la esfuerzo de pandeo crítico es independiente de la tensión de fluencia del material. Ellos son sólo la función de módulo de elasticidad y la geometría de la columna. En Fig. 1-3 (b), Cc es el valor umbral de la relación de esbeltez de la cual pandeo elástico comienza.

Valor propio:

Vector propio

1.4. Ecuaciones diferenciales de vigas y columnas

De tipo bifurcación de pandeo es esencialmente el comportamiento a la flexión. Por lo tanto, la diagrama de cuerpo libre debe estar basada en la configuración deformada como la examen de equilibrio se hizo en el equilibrio vecina posición. Sumando las fuerzas en la dirección horizontal en la figura. 1-4 (a) da.

de la que sigue inmediatamente

Resumiendo el momento en la parte superior del cuerpo libre da

Figura 4.1 Diagramas de cuerpo libre de una viga-columna

Despreciando el término de segundo orden conduce a

Tomando derivados a ambos lados de la ecuación. (1.4.2) da

Desde el lado convexo de la curva (forma abrochado) es opuesta a la

eje y positivo, Eq. (1.4.1), por lo tanto

Para una prismática (EI = const) viga-columna

sometido a una fuerza de compresión constante P, la ecuación se simplifica a

La ecuación (1.4.4) es el diferencial fundamental de gobierno viga-columna ecuación.Considere el diagrama de cuerpo libre se muestra en la Fig. 1-4 (d). fuerzas sumatoriasen la dirección y da

Sumando momentos sobre la parte superior de los rendimientos de cuerpo libre

Para el sistema de coordenadas mostrado en la Fig. 1-4 (d), la curva representa una función decreciente (pendiente negativa) con el lado convexo de la y positiva

dirección. Por lo tanto,

lo que conduce a

Se puede demostrar que los diagramas de cuerpo libre muestran en las Figs. 1-4 (b) y 1-4 (c) dará lugar a la ecuación. (1.4.4). Por lo tanto, la ecuación diferencial que rige es independiente de la forma del diagrama de cuerpo libre asumido.

La solución homogénea de la ecuación. (1.4.4) rige la bifurcación pandeo de una columna (comportamiento característico). El concepto de geométrica imperfección (tortuosidad inicial), la heterogeneidad de materiales, y una excentricidad es equivalente a tener q términos (x) no evanescentes. Reorganización de la ecuación. (1.4.4) da

Suponiendo que la solución sea de una forma entonces

Sustituyendo estos derivados de nuevo a los rendimientos de ecuaciones diferenciales homogéneas simplificados.

Conozca las identidades matemáticas

donde las constantes integrales A, B, C, y D se puede determinar de forma única mediante la aplicación de límites adecuada condiciones de la estructura.

Ejemplo 1 Considere una columna ambos fines-fijos se muestra en la Fig. 1-5..

Figura 1-5 Ambos fines fijados columna.

Para una solución no trivial para A, B, C, y D (o la condición de estabilidad ecuación), el determinante de los coeficientes debe desaparecer. Por lo tanto,

Ampliando el determinante da.

Conozca las siguientes identidades matemáticas:

Reorganizar el determinante dado encima de los rendimientos:

Si entonces la solución se convierte en y

Para sustituyendo

el valor propio en la forma rendimientos modo de pandeo

Entonces vector propio o forma del modo como se muestra en la Fig. 1-6.-

Donde se llama la longitud de pandeo efectiva de la columna. para

bronceado u= u, la raíz entero más pequeño se puede calcular fácilmente usando En los viejos tiempos, era una tarea formidable para resolver un sencillo trascendental tales ecuación. Por lo tanto, un método de solución gráfica se emplea con frecuencia, comose muestra en la Fig. 1-7.-

Figura 1-8 Modo forma, segundo modo

de salida, la raíz más pequeña es distinto de cero.

La forma del modo correspondiente se muestra en la Fig. 1-8.

Ejemplo 2

Considere la columna apoyada como se muestra en la Fig. 1-9.

La columna de la Figura 1-9 apuntalado

La equiparación de C da dejar

a continuación del ejemplo anterior

Sustituyendo el valor propio de en el vector propio da

Resumiendo el momento en los rendimientos de punto de inflexión.

Para

Si se supone que esta columna tiene imperfección inicial de '/ 250 en el punto de inflexión, a continuación,

regla de oro

1.5. EFECTOS DE CONDICIONES LÍMITE EN LA FUERZA DE COLUMNAS

La carga de pandeo críticos de la columna en la misma columna se puede aumentar en dos maneras.

1. Cambie las condiciones de contorno de tal forma que la nueva condición de frontera hará que la longitud efectiva más corta.

(a) Clavado – clavado

(b) Clavado – fijo

(c) Fijo – fijo

(d) Viga voladiza 2. Proporcionar arriostramiento intermedio para que la hebilla de la columna en

una mayor modes0achieve longitud efectiva más corta. Considere una columna AB elásticamente restringida se muestra en la Fig. 1-10. Los dos miembros, AB y BC, se supone que tienen idéntica miembro longitud y la rigidez a la flexión de la simplicidad. Los momentos, my M, se deben a la rotación en el punto B y, posiblemente, debido al acortamiento axial del miembro AB.

Desde se fija igual a cero y el efectode cualquier acortamiento axial se descuida..

Figura 1-11 cuerpo libre de la columna

Resumiendo momento en la parte superior del cuerpo libre da (desde el cuerpo libre de la izquierda) (desde el cuerpo libre de la derecha)

Como era de esperar, la forma deformada asumido no afecta a la Administración La ecuación diferencial (GDE) del comportamiento de miembro de AB.

Se da la solución general de esta ED

forma del modo de pandeo

Desde el nudo B se supone que es rígida, la continuidad debe ser preservado. Eso es

para la viga

Recordemos la ecuación de desviación pendiente:

Igualando las dos vertientes en la unión B da

Tenga en cuenta el sentido de giro en el conjunto B! Si el marco está hecho del mismo material, entonces

condición ecuación estabilidad

Reordenando la ecuación condición de estabilidad da:

1.6. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES

El cálculo de variaciones es una generalización de la mínima y máxima problema del cálculo ordinario. Se busca determinar una función y = f(x), que minimiza / maximiza una integral definida

que se llama un funcional (función de las funciones) y cuyo integrando y contiene y sus derivados y la variable independiente x. Aunque el cálculo de variaciones es similar al máximo y problemas mínimos de cálculo ordinario, no difieren en un aspecto importante de aspecto. En cálculo ordinario, se obtiene el valor real de una variable para una función dada que tiene un punto extremo. En el cálculo de variaciones, uno no obtiene una función que proporciona valor extremo para un determinado

Figura 1-12 forma deformada de la columna (en equilibrio )

integral (funcional). En lugar de ello, sólo se obtiene el diferencial de gobierno ecuación de la función que debe cumplir para que la función dada tiene un valor estacionario. Por lo tanto, el cálculo de variaciones no es un computacional herramienta, pero es sólo un dispositivo para obtener la ecuación diferencial que rige del problema físico valor estacionario. El comportamiento de bifurcación de pandeo de una columna tanto de extremo fijado se muestra en la Fig. 1 a 12 may ser examinado en dos perspectivas diferentes. Consideremos en primer lugar que la deformación estática antes de pandeo ha tomado y el examen se lleva a cabo en el equilibrio vecina posición en la que la carga axial de compresión ha alcanzado el valor crítico y los bifurca columna (es perturbado) sin ningún aumento adicional de la carga. La energía de deformación almacenada en el cuerpo elástico debido a esta flexión acción es

En el cálculo de la energía de deformación, las contribuciones de las deformaciones por corte son generalmente descuidado ya que son muy pequeñas comparadas con las de la normalidad Despreciando el pequeño acortamiento axial antes de pandeo

donde por lo tanto la distancia vertical

Por lo tanto, el cambio (pérdida) en la energía potencial de la carga crítica es

y se convierte en la energía potencial total funcional

Ahora la tarea es encontrar una función, y = f (x) que hará que el total de funcional, p, tiene un valor estacionario.

= 0 entonces condición necesaria para el equilibrio o el valor estacionario.

alor mínimo o equilbrium estable

valor máximo o equilbrium inestable

equilibrio neutral o neutral

Si se opta por una función arbitraria, y(x), que sólo satisface la condiciones de contorno (geométrica) y permite y (x) la función exacta real, entonces

donde 3 =pequeño número n(x)= de función dos veces diferenciable satisfacer las condiciones de contorno geométricas. Una representación gráfica de los anteriores declaración es el siguiente:

Figura 1-13 camino Variada

Si uno expresa la energía potencial total funcional en términos de la generalizada (elegido arbitrariamente) de desplazamiento, y(x), entonces

Diferenciando la ecuación. (1.6.6) bajo el signo integral conduce a

Haciendo uso de la ecuación. (1.6.7) los rendimientos

Para simplificar la ecuación. (1.6.8) aún más, utilice la integración por partes. Considere la segunda término de la ecuación. (1.6.8).

(a)

Del mismo modo,

Las ecuaciones (a) y (b) dar lugar a

Excepto es completamente arbitraria y, por tanto, distinto de cero; Por lo tanto, la única manera de mantener la ecuación. (1.6.9) para ser cierto es que cada parte de Eq. (1.6.9) debe desaparecer de forma simultánea. Eso es

Desde y no son cero y resulta que y (x) debe satisfacer Pandeo de columnas

Cabe recordar que uno impone las condiciones de contorno geométricas, y (0)=y (l) = 0 al principio; sin embargo, se puede demostrar que estas condiciones son no necesariamente requerido. Vergüenzas andDym (1985) elegantemente explicar el caso de el problema de que tiene las propiedades de ser autoadjunto y definida positiva.

La ecuación diferencial que rige puede obtenerse ya sea por (1) teniendo en cuenta el equilibrio de elementos deformados del sistema o (2) usando el principio de la energía

potencial estacionario y el cálculo de variaciones. Para un sistema simple tal como un pandeo de columna, método simplemente apoyada (1) es mucho más fácil de aplicar, pero para un sistema complejo como cilíndrica o se prefiere cáscara esférica o placa de pandeo, el método (2) como el concepto es casi automática aunque las manipulaciones matemáticas involucradas son bastante complejo. Al tratar con la energía potencial total, la cinemática (o geométricos) condiciones límite implican condiciones de desplazamiento (desviación o pendiente) de la frontera, mientras que las condiciones de contorno naturales implican condiciones internas de la fuerza (momento o cortante) en el límite.

Ejemplo 1 Deducir la ecuación diferencial de Euler-Lagrange y la cinemática necesario (geométrica) y las condiciones de contorno naturales para la columna prismática en voladizo con un resorte lineal (constante de resorte a) adjunto a su extremo libre se muestra en la Fig. 1-14.

La energía de deformación almacenada en el cuerpo deformado es.

La columna de la Figura 1-14 en voladizo con punta lineal primavera

La pérdida de energía potencial de la carga externa debido a la deformación de la posición de equilibrio es vecina.

Por lo tanto, se convierte la energía potencial total funcional

o

La energía potencial total funcional debe estar parado si la primera variación

Dado que el operador diferencial y el operador son variacional intercambiables, se obtiene.

Integrando por partes cada término en el paréntesis de la ecuación. (1.6.16) los rendimientos.

1.7. DERIVACIÓN DE GDE VIGA-COLUMNA USO DEFORMACIONES FINITAS

Recordemos la cepa siguiente finito Green-Lagrange

: considerado como un término de orden superior y

sólo flexión simple es considerado aquí). Por lo dadosistema de coordenadas en el dibujo, la deformación axial debido a la flexión es.

es la curvatura de la curva elástica. La suma de deformaciones axiales debido a la fuerza axial y flexión constituye la cepa normal total. Por lo tanto,

La energía de deformación almacenada en el cuerpo elástico se hace.

Despreciando el término de orden superior e integrando sobre la sección transversal

área observando un rato todos los integrales de la formar a ser cero como Y esmedido desde el eje centroidal, se obtiene.

La pérdida de energía potencial de la carga transversal aplicada es

Por lo tanto, la energía potencial total funcional del sistema se convierte

…o tambien

tenga en cuenta que ue se llama el estrés resultante. El signo negativo corresponde al hecho de que P está en compresión. La cantidad dentro de los corchetes, el integrando, se denota por F. Aplicando el principio de la energía potencial mínima (o la aplicación de la Euler-Lagrange ecuación diferencial), se obtiene

Donde

Recordemos la ecuación de Euler-Lagrange DE (véase Bleich 1952, pp 91-103.):

Cabe señalar que el concepto de deformación axial finito implica implícitamente la forma de hebilla (desplazamiento lateral) y cualquier estado prebuckling se ignora.

1.8. GALERKIN METHOD.

El requisito de que la energía potencial total de una columna con bisagras tiene un valor estacionario se muestra en la siguiente ecuación.

Donde es un desplazamiento virtual. Supongamos que es posible aproximarse a la deflexión de la columna poruna serie de funciones independientes, g (x), multiplicado por los coeficientes indeterminados, a1.

Si cada g (x) satisface las condiciones de contorno geométricos y naturales, entonces el segundo término de la ecuación. (1.8.1) se anula cuando se sustituye (y)aprox a y. también, los coeficientes, ai, deben ser elegidos de tal manera que (y)aprox satisfará el primer término. Deje que el operador sea

A partir de las ecuaciones. (1.8.3) y (1.8.4), el primer término de la ecuación. (. 1.8.1) se convierte en:

Desde es una función de los parámetros n; ai,.

Puesto que se ha asumido que gi (x) son independientes uno de otro, la única manera de mantener la ecuación. (1.8.7) es que cada integral de la ecuación. (1.8.7) debe desaparecer, es decir.

La ecuación (1.8.8) es algo similar al proceso integral ponderada en el método de los elementos finito.

Ejemplo 1

Considere el pandeo axial de una columna apoyada. El método de Galerkin se va a aplicar. Para (y)aprox, utilice el desplazamiento lateral la función de una viga apoyada sometido a una carga uniformemente distribuida. Por lo tanto,

Llevar a cabo la integración da.

para una solución no trivial

1.9. CONTINUA VIGA-COLUMNA RECLINADO SOPORTES ELÁSTICOS.

Un método general para evaluar las constantes de resorte mínimos requeridos de un haz de reposo en columna sobre un soporte elástico es aplicar la pendiente-deflexión ecuaciones con compresión axial. Con el fin de simplificar la ilustración, todo vigas y columnas se supone que son tramos rígidos e iguales.

1.9.1. LAPSO UNO

Supongamos que un pequeño desplazamiento se produce en b, de modo que la barra se vuelve inclinado respecto a la horizontal por un pequeño ángulo, a. Como la estabilidad de un sistema es examinado en la posición de equilibrio vecina, cuerpo libre para el equilibrio debe ser extraído de un estado deformado. Debido a este desplazamiento, la carga P se mueve a la izquierda por la cantidad

y la disminución de la energía potencial de la carga P, igual al trabajo realizado por P, es.

Al mismo tiempo, el resorte se deforma por la cantidad aL, y el aumento de energía de deformación del resorte es

donde k indica la constante de resorte. El sistema será estable si.

y estará inestable si,

Por lo tanto el valor crítico de la carga P se encuentra desde la condición Que.

a partir del cual.

A la misma conclusión se llega considerando el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la barra. Sin embargo, si el sistema tiene tres o más manantiales, estática simples no pueden ser suficientes para determinar la pequeña desplazamiento asociado con cada primavera. Por lo tanto, el método de energía parece ser más adecuado.

1.9.2. LAPSO DOS

Para la pequeña deflexión d, el ángulo de inclinación de la barra ab es , y el distancia l movido por la fuerza P se encuentra para ser

y el trabajo realizado por P es.