Trabajo Momento de Inercia[1]

8/20/2019 Trabajo Momento de Inercia[1]

1/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

DEDICATORIA

Quiero dedicarle este trabajo a Dios que me ha dado la vida y que me dé la

fortaleza de seguir adelante para terminar mis estudios universitarios. A mi profesor por su gran apoyo y motivación para la culminación de nuestros

estudios profesionales, por su apoyo ofrecido con mucho esmero en esta etapa de

estudiante, por haberme transmitidos los conocimientos obtenidos y haberme

llevado paso a paso en el aprendizaje.


2/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

1. INTRODUCCIÓN

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacionalde un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalarque refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en

rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de lageometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de lasfuerzas que intervienen en el movimiento.El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en elcaso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angularlongitudinal de un sólido rígido.

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área querepresenta la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como lasuma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por elcuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la

cuatro (longitud4).Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque eldiseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento deinercia, ya que el momento de inercial define la forma apropiada que debe lasección del elemento estructural.

Un aspecto importante de este trabajo lo encontramos en la posibilidad de aplicarlos conocimientos adquiridos, directamente en nuestra área de estudios. Estetrabajo es un esfuerzo que nos aporta, el manejo directo sobre problemasprácticos.


3/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

2. ASPECTOS HISTORICOS

Durante toda la antigüedad, así como en la Edad Media, prevalecieron las teoríasde Aristóteles acerca del movimiento. Aristóteles consideraba el movimiento como

un cambio desde el reposo que exigía una causa.

Para Aristóteles el cosmos era una esfera extensa, pero finita, limitada por laesfera de las estrellas fijas. En el centro del cosmos estaba la Tierra, a la cualrodeaban las envolturas esféricas del aire, agua y fuego.

Aunque Aristóteles fue muy discutido por Juan Filopón, en el siglo V, y JuanBuridán, en el siglo XIV, fue el físico italiano Galileo Galilei (1564-1642) quiéndemostró, en una serie de experiencias llevada a cabo en la torre de Pisa, quetodos los cuerpos, sea cual sea su peso, caen con una misma velocidad (salvo

pequeñas diferencias atribuibles a la resistencia del aire), y sentó las bases de laDinámica, que luego sería estructurada por Newton.

El trabajo que Newton realizó con el punto material, basado en la Geometría, Fueampliado por Euler (1707 - 1793) a los sistemas de cuerpo rígido. Euler fue quienprimero utilizó el término momento de inercia y quien desarrollo el teorema de losejes paralelos para los momentos de inercia, conocido por el nombre del teoremade Steiner.


4/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

3. OBJETIVOS Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de

cuerpos.

Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de

traslación de una partícula y la rotación del cuerpo rígido. Analizar dicho sistema mecánico a partir de las leyes dinámicas de

traslación y rotación, o alternativamente, del principio de conservación de laenergía.

Interiorizar el concepto de inercia rotacional.

4. MOMENTO DE INERCIA

DEFINICIÓN:

Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o unsistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro; que sólo depende de lageometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; mas no de las fuerzas queintervienen en el movimiento.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacionalde un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar

que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas enrotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de lageometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de lasfuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña unpapel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo yuniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.


5/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de unsistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inerciadesempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento

rectilíneo y uniforme.

Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Elmomento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de ladistribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un mismocuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotaciónubicados en distintas partes del cuerpo.

Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia, dependiendo dedónde se considere el eje de rotación. Mientras más masa está más alejada del

eje de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia tieneunidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4, m4, pulg4.


6/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES

El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inerciaJo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejesperpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en eleje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemasrelacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionadoscon la rotación de placas.

http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Archivo:PROPINER.PNG


7/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL


8/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Momento de inercia de una distribución de masas puntualesUna varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de losextremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje

perpendicular a la varilla que pasa a través de Un extremo

De la segunda masa

Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje perpendiculara la varilla y que pasa por la primera partícula es

I A=1·0

2

+1·0.252

+1·0.52

+1·0.752

+1·12

=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendiculara la varilla y que pasa por la segunda partícula es

I B=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendiculara la varilla y que pasa por la tercera partícula (centrode masas) es

I C =1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlosde forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido I C podemoscalcular I A e I B, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m yBC=0.25 m.


9/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

La fórmula que tenemos que aplicar es:

2

C

I I Md

I C es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por elcentro de masa

I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior

M es la masa total del sistema

d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

I A=I C +5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

I B=I C +5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inercia de una distribución continua de masaPasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua demasa. La fórmula que tenemos que aplicar es

2

x I dm dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia

Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido


10/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia deuna varilla de masa M y longitud L respectode un eje perpendicular a la varilla que pasapor el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemoscalcular el momento de inercia de la varillarespecto de un eje perpendicular a la misma quepasa por uno de sus extremos.


11/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Momento de inercia de un discoVamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respectode un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es unanillo de radio x y de anchura dx . Si recortamos el anillo y lo extendemos, seconvierte en un x y anchura dx , cuya masa es

El momento de inercia del disco es


12/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Momento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M , radio R ylongitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento esuna capa cilíndrica cuyo radio interior es x , exterior x+dx , y de longitud L, tal comose muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e


13/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placarectangular delgada de masa M de lados a y b respecto deleje que pasa por la placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje derotación. El elemento es un rectángulo de longitud a deanchura dx . La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de una esferaVamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio Rrespecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz . El momento de inerciade cada uno de los discos elementales es


14/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia detodos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z . Comovemos en la figura x 2 +z 2 =R 2

5. PARA QUE SIRVEEn el estudio de la flexión en materiales, como parte de la estabilidad y resistenciade materiales, se puede deducir una expresión del tipo:

. .

²

Mf ymax Mf ymax

y dA Jx

La viga, vista de costado se flexiona comprimiéndose por encima de un plano oeje neutro y se elonga por debajo del mismo, entonces se utiliza el momento desegundo orden respecto de dicho eje. Si la figura es simétrica será su eje medio ogeneralizando es el eje Bari céntrico.

y máx, es la distancia desde dicho eje neutro (el que no se deforma ya que secomprime por arriba y se estira por debajo, suponiendo que la flexión es tal que

curva a la viga hacia abajo) a la "fibra" más lejana, ya que esa dará la máximatensión (que varía en proporción a la distancia al eje neutro).


15/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

La fórmula anterior nos dice que:

. Mf ymax

Jx

Dada una cierta solicitación (el momento flector) cuanto más grande es la relación Jx

ymáx, menor el esfuerzo o tensión que debe soportar la viga en sus fibras más

alejadas y tiene menor posibilidad de que se rompa".Normalmente crece mucho más rápido J que ymáx a medida que aumentamos las

dimensiones de la sección, entonces indirectamente "a mayor momento de inercia

(o de segundo orden) mayor es la resistencia de la viga porque se generantensiones menores en sus fibras al deformarse.

6. COMO SE CALCULA

El Momento de inercia (a veces llamado el segundo momento), de una masapuntual, alrededor de un eje es:

²I Mr

Donde:

I = MOI (cm4, m4, pulg4.)

M = masa del elemento

R = distancia de la masa puntual al eje de referencia.

Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples Determinar las áreas de las partes, designarlas por A1, A2, A3,…An

Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes (xi, yi) conrespecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm (XG, YG) de toda la figuraformada por todas las áreas parciales anteriores.


16/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de lafigura.

Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes decentroide masas (que serán paralelos a X e Y) Designar como: Ii, x Ii, y parael área i-ésima

Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e yaplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

7. APLICACIÓN EN LA INGENIERIA CIVIL

LA VIGA:

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo linealque trabaja principalmente a flexión.

, e , ,,

i x y tot i yi i

x tot I I I I

http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Archivo:VIGAINERCIA.PNG


17/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele serhorizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión,produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superiorrespectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector yel segundo momento de inercia.

En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes opunzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo enlas vigas que forman el perímetro exterior de un forjado.

Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelode prisma mecánico.

A mayor momento de inercia mayor es la resistencia de la viga a la flexión.


18/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL


19/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

8. CONCLUSIONES

En conclusión podemos decir que el momento de inercia MOI, es similar ala inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimientolineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o acontinuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puedepensarse como una nueva definición de la masa.

Se logró determinar el momento de inercia de dos sólidos con masassimilares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inerciaentre ellos gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momentodel aro porque su masa está distribuida en el borde la circunferencia

Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro derotación, mayor es su inercia. Esto se ve en los resultados obtenidos con elaro, mucho mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares.

Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inerciade la forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar elcálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea,utilizando las reglas descritas en el apartado.

http://www.monografias.com/trabajos15/kinesiologia-biomecanica/kinesiologia-biomecanica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/kinesiologia-biomecanica/kinesiologia-biomecanica.shtml


20/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

McKLEVEY Y GROTCH, FÍSICA para ciencias e ingeniería, primera edición.

Física general con experimentos sencillos. Beatriz Alvarenga, Antonio

Máximo. Editorial Harla, México. 1979, 1980, 1981

Guía de laboratorio FÍSICA I. Luis Alfredo Rodríguez

Villegas Mauricio, Ramírez Ricardo, investiguemos 10, Voluntad, Bogotá1989

Guía de laboratorio De física, momentos de inercia. http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia

BARRERA SILVA, PILAR CRISTINA; física I, ED. NORMA, 2005.

http: //www.monografias.com/trabajos35/momentos-inercia/momentos-

inercia.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/concient/concient.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/nuevas-tecnologias-edicion-montaje/nuevas-tecnologias-edicion-montaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/nuevas-tecnologias-edicion-montaje/nuevas-tecnologias-edicion-montaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/memoram/memoram.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/memoram/memoram.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/memoram/memoram.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/informe-laboratorio/informe-laboratorio.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/wind/wind2.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/wind/wind2.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/wind/wind2.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/informe-laboratorio/informe-laboratorio.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/memoram/memoram.shtmlhttp://www.monografias.com/Fisica/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/nuevas-tecnologias-edicion-montaje/nuevas-tecnologias-edicion-montaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/concient/concient.shtml


21/21

MOMENTO DE INERCIA

INGENIERÍA CIVIL

Trabajo Momento de Inercia[1]

Documents

Transcript of Trabajo Momento de Inercia[1]