Universidad Nacional de LujanLogica y Matematica Discreta

Trabajo Practico No5 Grafos y Arboles.

1. Considere el grafo G de la figura 1.a. Encontrar el conjunto de vertices y el conjunto de aristas de G.b. Encontar el grado de cada vertice.c. Deducir una relacion entre la suma de los grados de los vertices y la cantidad de aristas.

2. Considere el grafo de la figura 2. Encontrar:a. Todos los caminos simples de A a F .b. Todos los recorridos de A a F .c. La distancia de A a F .d. El diametro de G.e. Todos los ciclos que incluyen al vertice A.f. Todos los ciclos en G.

3. Considere los multigrafos de la figura 3.a. ¿Cuales son conexos?b. ¿Cuales son libres de ciclos (sin ciclos)?c. ¿Cuales son libres de lazos (sin lazos)?d. ¿Cuales son grafos simples?

4. Sea G el grafo de la figura 4. Encontrar:a. Todos los caminos simples de A a C.b. Todos los ciclos.c. El subgrafo H generado por V

′= {B,C,X, Y }.

d. G \ Y .e. Todos los puntos de corte.f. Todos los puentes.

5. Considere el grafo G de la figura 2.a. Encontrar el subgrafo que resulta de eliminar cada vertice.b. ¿Tiene G puntos de corte?

6. En los grafos obtenidos en el problema anterior, ¿Hay algun par de grafos isomorfos?

7. Considere los grafos de la figura 5.a. ¿Cuales son recorribles, es decir que tienen caminos eulerianos?b. ¿Cuales son eulerianos, es decir que tienen un circuito euleriano?

8. ¿Cuales de los grafos de la figura 5 tienen algun circuito hamiltoniano?

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9. Demostrar el siguiente teorema: Un grafo conexo finito G es euleriano si y solo sitodo vertice tiene grado par.

10. Trazar todos los arboles que hay con exactamente seis vertices.

11. Dibujar una representacion plana, en caso de ser posible, de los grafos de la figura6.

12. Hallar el numero V de vertices, el numero E de aristas y el numero R de regionesde cada mapa de la figura 7. Comprobar la formula de Euler y encontrar el gradode cada region exterior.

13. Encontrar el numero mınimo de colores necesarios para pintar cada mapa de lafigura 7.

14. Demostrar el teorema de Euler: V − E + R = 2.

15. Encontrar la matriz de adyacencia de cada grafo de la figura 8.

16. Dibujar el grafo correspondiente a cada una de las siguientes matrices de adyacencia.

A =

0 1 0 1 01 0 0 1 10 0 0 1 11 1 1 0 10 1 1 1 0

B =

1 3 0 03 0 1 10 1 2 20 1 2 0

17. Sea G el grafo dirigido de la figura 9.

a. Describa formalmente G.b. Encuentre todos los caminos simples de X a Z.c. Encuentre todos los caminos simples de Y a Z.d. Encuentre todos los ciclos en G.

18. Sea G el grafo dirigido de la figura 9.a. Encuentre el grado de entrada y el grado de salida de cada vertice de G.b. Encuentre la lista de sucesores de cada vertice de G.c. Encuentre el subgrafo H generado por V

′= {X, Y, Z}.

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