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Trabajo y Energía

Herramientas procedimentales

Trabajo de una fuerza. Una manera de entender qué es una fuerza es pensar en una cañita voladora. Lo que quiero decir es:

O sea, como si fuera una especie de carrito a chorro o algo por el estilo. El considerar que la fuerza F está generada por la acción de la cañita voladora hace que el asunto se entienda mejor. Ahora, con esta idea en la cabeza, queremos que te imagines que bajo la acción de esta fuerza el cochecito recorre una distancia d.

Durante todo el trayecto F se mantiene constante y el carrito va acelerando. El trabajo que realizó la fuerza efe al moverse la distancia d se calcula haciendo la cuenta F por d. (Esto es una definición). Al trabajo realizado por una fuerza se lo suele poner con la letra T (de Trabajo) o la letra W (Del inglés Work) (Nota: generalmente emplearemos W dado que venimos empleando la letra T para denotar la fuerza Tensión). Así, nos queda: W = F . d Trabajo de la fuerza F. Esto vale cuando la fuerza se mueve en la misma dirección del desplazamiento. Pero podría pasar que la fuerza esté inclinada con respecto a la distancia d. Por ejemplo:

Lo que hacemos en este caso es descomponer a la fuerza F en dos direcciones: una así →, y otra así ↑. Veamos. Si F forma un ángulo α con la distancia d tenemos:


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La fuerza así ↑ NO realiza trabajo. El cuerpo no se mueve en la dirección vertical. (No se levanta del piso). La componente que va así → SÍ hace trabajo, porque recorre la distancia d. Como esta componente vale F ⋅ cos α, el trabajo que realiza vale: O, lo que es lo mismo:

W = F . d . cos

Atenti!. Esta es la hiper-archifamosa expresión que da el trabajo realizado por una fuerza F. En esta fórmula F es la fuerza que actúa, d es la distancia que recorre y el ángulo α (alfa) (MUY IMPORTANTE), que es el ángulo formado entre la fuerza F y la distancia d. Ahora, observá esto. La distancia d da la dirección de desplazamiento. Quiero decir, d apunta para donde se está moviendo el cuerpo. Dicho de otra manera, la distancia d es un vector (el vector desplazamiento). Este vector d siempre apunta para el lado donde va la velocidad. Entonces, vale la pena que recuerden esta conclusión muy importante:

El ángulo alfa que va en la fórmula W = F. d . cos es el ángulo formado entre la fuerza y el desplazamiento d. esto es lo mismo que decir que alfa es el ángulo entre la fuerza y el vector velocidad que tiene el cuerpo.

¿EN QUÉ SE MIDE EL TRABAJO DE UNA FUERZA? El trabajo es F por d, de manera que se medirá en unidades de Fuerza por unidades de distancia. La fuerza la ponemos siempre en Newton (Sistema MKS), rara vez en Kilogramo fuerza. La distancia la ponemos en metros. Así que las unidades de trabajo que más se usan son: Como 1 Kilogramo fuerza son 10 Newton, 1 Kilográmetro equivaldrá a 10 Joule.

¿Qué tan grande es un trabajo de 1 joule en la realidad real? Bueno, 1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1 Newton cuando se desplaza 1 metro. Como 1 N son aproximadamente 0,1 kilogramos fuerza, si tenés algo que pese 100 gramos y lo levantas hasta una altura de 1 m, el trabajo W que realizaste es 1 Joule.


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En la práctica al levantar una calculadora a una altura de 1 metro, estás haciendo un trabajo aproximado de 1 Joule.

ALGUNAS ACLARACIONES ( Ver! ) La fuerza es un vector, sin embargo el trabajo no es un vector. No tiene dirección, sentido, módulo ni nada de eso. Sólo puede haber W cuando una fuerza se mueve. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo que queda quieto no puede realizar trabajo. Hay fuerzas que no realizan trabajo aún cuando se estén moviendo. Es el caso de las fuerzas que se trasladan en forma perpendicular a la trayectoria.

Esto podemos entenderlo viendo que en realidad, F no se está moviendo en la dirección vertical. No hay distancia recorrida en esa dirección ( ⇒ no hay W ). Visto de otra forma, podemos decir que el ángulo que forma F con d vale 90° y coseno de 90° es cero, así que F ⋅ d ⋅ cos 90° nos da cero. Para un cuerpo que cae por un plano inclinado, la normal es perpendicular (⊥) a la trayectoria, así que tampoco hace trabajo.

Una fuerza puede realizar trabajo negativo. Esto pasa cuando el cuerpo va para allá →, y la fuerza va para allá ←. (Es decir, la fuerza va al revés del desplazamiento).


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Esto se puede entender viendo que el ángulo que forma la fuerza es en realidad 180°. Coseno de 180° es −1, ⇒ el producto F.d.cos 180° da con signo (-). Ahora, pensemos un poco. ¿Qué fuerza suele ir al revés de la velocidad? Rta: El rozamiento. Generalmente Froce apunta al revés de como se está moviendo el cuerpo. Por eso, casi siempre el trabajo de la Froce es negativo. F ⋅ d ⋅ cos 180° = -1

Ultima aclaración: La palabra trabajo, en física, no se usa con el mismo sentido que se usa en la vida diaria. Uno puede decir: “Uf !... ¡Resolver este problema me costó un trabajo terrible! Nada que ver: acá no hay una fuerza F que recorrió una distancia d... ENERGÍA CINÉTICA Las cosas que se mueven tienen energía cinética. ¿Qué quiere decir esto ? Quiere decir lo siguiente: Supongamos que tenemos un cuerpo que está quieto. Lo empezamos a empujar y comienza a moverse. Ahora tiene velocidad y, por lo tanto, energía cinética.

¿De dónde salió esa energía que el tipo tiene ahora ? RTA.: Salió del trabajo que hizo la fuerza F. Todo el trabajo F ⋅d se transformó en energía cinética. Veamos cuánto vale esa Ec. El trabajo realizado por F vale F ⋅ d, entonces: Pero este trabajo realizado es la energía cinética que el tipo adquirió. Entonces:


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Fijate que las unidades son Kg ⋅ m /s que es lo mismo que N ⋅ m, que es Joule. Trabajo y energía se miden en las mismas unidades (Joule). ¿Casualidad? No. Justamente NO. Trabajo y energía son, en cierta medida, la misma cosa. Cuando una fuerza actúa a lo largo de una distancia d, ese trabajo se invierte en energía cinética. De la misma manera, cuando un cuerpo viene con una determinada energía cinética, se necesitará el trabajo de una fuerza para frenarlo. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA Supongamos que un cuerpo se viene moviendo con velocidad inicial Vo. En ese momento se prende una cañita voladora y el tipo empieza a acelerar.

Esto se lee de la siguiente manera: Al principio el carrito tenía una energía cinética inicial (Eci = ½ m ⋅ V0

2 ). Después de actuar la fuerza, tiene una energía cinética final ( Ef = ½ m ⋅ Vf2). La

diferencia entre estas dos energías es el trabajo realizado por la fuerza F. Ejemplo SE TIRA UN LADRILLO AL SUELO CON VELOCIDAD V = 10 m/s. SABIENDO QUE SE FRENA DESPUÉS DE RECORRER 2 m, CALCULAR EL VALOR DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO. Masa del LADRILLO = 1 kg.

El ladrillo recorre 2 m hasta que se frena. Vamos a ver qué fuerzas actúan mientras se está frenando. Hacemos el diagrama de cuerpo libre:


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La fuerza de rozamiento es la que hace que el ladrillo se vaya frenando. El peso y la normal no hacen trabajo. Entonces usamos el teorema del trabajo y la energía cinética. Planteamos que el trabajo de la fuerza de rozamiento tiene que ser igual a la variación de la energía cinética. Veamos: Fijate que: El trabajo de la fuerza de rozamiento es Fr.d.cos 180 . Eso pasa porque la velocidad va para allá →, y la fuerza de rozamiento va para el otro lado. Trabajo y energía nos permite resolver problemas de dinámica por otro camino. Es más, hay algunos problemas que sólo pueden resolverse usando W y energía. ( Éste por ejemplo → El teorema del trabajo y la energía cinética se usa sólo cuando tenemos planos horizontales. Pero a veces podemos tener planos inclinados o montañas así:

En estos casos conviene usar el teorema del trabajo y la energía mecánica. (Que viene después). Lo mismo va para problemas en donde haya resortes. El teorema del trabajo y la energía fue deducido para un cuerpo que tiene 1 sola fuerza aplicada. ¿ Y si tenemos más de una fuerza, qué hacemos? Rta :Bueno, en ese caso calculamos la resultante de todas las fuerzas que actúan:

Ahora tenemos un cuerpo que tiene una sola fuerza aplicada (la resultante ) y podemos usar el teorema.


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POTENCIA Supongamos que un señor empuja una caja y la mueve con velocidad constante. Mirá el dibujito:

Si la fuerza de rozamiento vale 100 N decimos que el trabajo que hizo el tipo vale 100 N . 1m ( W = Froce ⋅ d ). Muy bien. Ahora resulta que si el señor desplazó el cuerpo 1 m, el trabajo realizado vale 100 Joules independientemente de si el tipo tardó 1 seg ó 1 año en hacer que el cuerpo se mueva 1 metro. Es decir, uno podría encontrar otra persona que hiciera ese trabajo más rápido, pero el trabajo realizado sería siempre el mismo: 100 Joules. Cualquier auto puede ir de acá a Mar del Plata, pero el que va más rápido es mejor. También podés ir a Mar del Plata en caballo, nadie te dice que no, pero vas a tardar 100 veces más... Un auto puede hacer el trabajo que hace un caballo 100 veces más rápido o, dicho de otra manera, un auto puede realizar un trabajo equivalente al de 100 caballos. De ahí sale la cuestión de que un auto tiene una potencia de 100 caballos y todo eso. Los 2 pueden realizar el mismo trabajo (llevarte a Mar del Plata), pero uno lo puede hacer más rápido que el otro. CONCLUSIÓN: A veces no sólo importa el trabajo realizado. Puede importar también el tiempo que uno tardó en realizarlo. Entonces para tener una idea de qué tan rápido una cosa (hombre, animal o máquina) puede realizar trabajo, lo que hago es tomar el trabajo realizado y dividirlo por el tiempo. Es decir:

P = W / t En esta expresión de potencia como fuerza por velocidad, F debe ser la fuerza que va en la dirección del movimiento, sino habría que multiplicar todo por el coseno del ángulo formado entre F y V. ( Quedaría P = F . V . Cos α ). UNIDADES DE POTENCIA Las unidades de potencia serán las de trabajo divididas por las de tiempo. El trabajo realizado se mide en Joules ( N ⋅ m ) y el tiempo en seg. Entonces:

Es decir que si una fuerza de 1 N recorre una distancia de 1 m en 1 seg, la potencia entregada será de 1 Watt. EL KILOWATT – HORA La electricidad que consume una casa se mide en Kw-hora. ¿Es esto equivalente a medir la potencia en Kilowatts ( = 1000 Watt ) ?


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RTA: No. Lo que se mide en una casa es la energía eléctrica consumida y no la potencia consumida. 1 Kw-hora no son 1000 Watt. Son 1000 Watt por hora. (por de multiplicar ). Buscamos la equivalencia entre Joule y Kilowatt-hora. Veamos:

Es decir, el Kw-h es una unidad de energía, no de potencia. Por ejemplo, una plancha consume alrededor de 1 Kw. Si una casa gasta en 1 mes 100 Kw-h, eso quiere decir que la casa consumió una energía equivalente a la que hubiera consumido una plancha si hubiera funcionado 100 horas seguidas.

Ejemplo Un hombre que camina con v = 3,6 Km/h arrastra un bloque de 50 Kg una distancia de 10 m. Calcular la potencia entregada por la persona. (µd = 0,2)

Resolución: El diagrama de cuerpo libre para el bloque es éste:

Como la aceleración es igual a cero (la velocidad es constante), sacamos como conclusión que la fuerza que el hombre hace tendrá que ser igual a la del rozamiento.


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Planteamos: La potencia que el tipo entrega la calculo como fuerza por velocidad:

La potencia que el tipo entrega la calculo como fuerza por velocidad:

PREGUNTA: ¿ Y toda esta potencia que entrega el tipo, a dónde va ? RTA: No va a ningún lado. No se almacena en ninguna parte. Todo lo que el tipo entregó se lo comió el rozamiento. ¿Y en qué se transformó ? Rta: En calor. __________________________________________________________________________________


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Energía mecánica.Conservación de la energía. ENERGÍA POTENCIAL Hay dos tipos de energía potencial que tenés que conocer. Una es la potencial gravitatoria, que tiene que ver con la altura a la que está un objeto. La otra es la potencial elástica, que tiene que ver con la distancia que está comprimido o estirado un resorte. Entonces, título:

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Suponé que sostenemos un objeto a 1 m del piso y lo soltamos.

Al principio el objeto tiene velocidad inicial cero. Pero resulta que cuando toca el piso tiene una velocidad Vfinal . Es decir que, inicialmente, la energía cinética vale cero ( v0 = 0 ) y al final NO. ( Vf no es cero ).

La pregunta entonces es: ¿Quién fue el que le entregó energía al cuerpo? La mano no fue porque el cuerpo cayó solo (no lo empujamos hacia abajo). La respuesta a esta pregunta es: La fuerza Peso es la que le dio energía al cuerpo. El peso recorrió una distancia de 1 m e hizo un trabajo que vale: WPeso = P ⋅ 1 m. Ese trabajo se convirtió en energía cinética. La conclusión que saco de acá es que un cuerpo que está a una determinada altura tiene energía. Esa energía es igual al trabajo que la fuerza peso puede realizar si se deja caer al cuerpo desde esa altura. ¿Y cuánto vale el trabajo que puede realizar la fuerza peso? Bueno, el trabajo realizado por una fuerza es F . d . En este caso, la fuerza es el peso (P) y la distancia es la altura (h). Por lo tanto, si se suelta un peso P desde una altura h, el trabajo valdrá P por h.


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Ep = m . g . h

Ep = 1 Kg . 10 m/s2 . 1 m = 10 Joules (10 J) Observar lo siguiente: la energía potencial se mide en Joules, como la energía cinética y todas las demás energías. Esta Ep que tiene el objeto es con respecto al piso. Al calcular energías potenciales, uno siempre tiene que indicar el nivel de referencia, es decir, el lugar desde donde uno empieza a medir la altura. __________________________________________________________________________________

ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA La ENERGIA MECANICA (Em) de un sistema en un momento determinado es la suma de la energía cinética (Ec) más la potencial (Ep) * que el cuerpo tiene en ese momento. Es decir:

E mecánica = E potencial + E cinética

*NOTA: De ahora en adelante a la energía potencial gravitatoria la vamos a denominar solamente “energía potencial”.

__________________________________________________________________________________ Ejemplo CALCULAR LA ENERGÍA MECÁNICA DEL CARRITO EN EL PUNTO A.

La energía mecánica del carrito en el punto A va a ser la suma de las energías Cinética y potencial. Ep = m . g . h = 2 Kg . 10 m/s2. 1 m = 20 Joules Ec = ½. m. v2 = ½ . 2 Kg . ( 1 m/s )2 = 1 Joule Em = Ep + Ec = 20 Joules + 1 Joule = 21 Joules __________________________________________________________________________________


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Ejemplo 2: Calcular las energías potencial, cinética y mecánica en los puntos A, B y C, sabiendo que la masa del carrito es de 5 Kg. y que la velocidad al pasar por el punto A es 2 m/s.

En el punto A: Ep = 5 Kg. 10 m/s2. 1 m = 50 J Ec = ½ . 5 Kg. (2 m/s)2 = 10 J EmA = EpA + EcA = 50 J + 10 J = 60 J En el punto B: Ep = 5 Kg. 10 m/s2. 0,5 m = 25 J Ec = ½ . 5 Kg. (1 m/s)2 = 2,5 J EmB = EpB + EcB = 25 J + 2,5 J = 27,5 J En el punto C: Ep = 5 Kg. 10 m/s2. 0 m = 0 J Ec = ½ . 5 Kg. (0 m/s)2 = 0 J EmC = EpC + EcC = 0 J + 0 J = 0 J Es decir, en el punto C el carrito no tiene energía mecánica. Su velocidad es cero (Ec ⇒ ½ m ⋅ v2= 0), su altura es cero (⇒ P ⋅ h = 0). Al igual que antes, toda la energía mecánica que el carrito tenía en B (27,5 J) la eliminó el rozamiento. ¿Pero cómo? ¿No era que la energía siempre se conservaba? ¿No era que no se perdía sino que sólo se transformaba de una forma en otra? Y bueno, justamente. Toda la energía mecánica que el tipo tenía se transformó en calor. El calor también es energía (energía calórica). Si inventáramos una nueva forma de energía que fuera la suma de la energía mecánica más calórica (podríamos llamarla “energía calomecánica”), diríamos que la energía del sistema se conservó. Es decir, la mecánica se perdió, pero la calomecánica se conservó. Lo que conserva en el universo es la energía total, no una energía en particular. __________________________________________________________________________________

FUERZAS CONSERVATIVAS Una fuerza es conservativa si hace que la energía mecánica del sistema no cambie mientras ella actúa. O sea, una fuerza conservativa hace que la energía mecánica se conserve. Es decir, tenemos un sistema con una determinada energía mecánica inicial. Digamos 100 Joules. Ahora hago que actúe la fuerza. Si cuando la fuerza dejó de actuar, la E mecánica del sistema es otra vez 100 Joules, decimos que esta fuerza es una fuerza conservativa. ¿Cómo es esto de que una fuerza puede actuar sin que la energía mecánica del sistema aumente o disminuya? Veamos.


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1ª FUERZA CONSERVATIVA: El Peso Suponé que tengo un cuerpo (gatitus) que está a 2 m de altura.

Si el gatitus se deja caer desde ahí arriba, ¿qué pasa? Rta: Bueno, inicialmente su energía potencial vale m ⋅ g ⋅ h y a medida que va cayendo la va perdiendo. Pero atención con esto: Pierde energía potencial... ¡pero va ganando energía cinética! Por ejemplo, supongamos que la masa del gatis es de 1 Kg. Su energía potencial inicial es: Ep i= 1 Kg. 10 m/s2. 2 m = 20 J Ec i= 0 J Em i= 20 J Para calcular la velocidad final con la que toca el suelo un cuerpo que se deja caer desde una altura h nos valemos de la conservación de la energía, la energía mecánica al llegar al suelo (antes de tocarlo) es 20 J, la energía potencial es 0 J (porque estamos en el suelo, nivel de referencia), entonces la Ec es 20 J, y de ahí despejamos la velocidad: Em f = 20 J Ep f = 0 J Ec f = 20 J

---> v =

=

= 6,3 m/s

Es decir, toda la E potencial se transformó en cinética al final. La fuerza peso no hizo que se ganara ni se perdiera energía mecánica. La fuerza peso, lo único que hizo fue transformar toda la Epot del principio en energía cinética. Pero la mecánica no cambió. Era 20 al principio y es 20 al final. Conclusión: La energía mecánica no se modificó. Se mantuvo igual. Se conservó. Decimos entonces que la fuerza peso es una fuerza conservativa. 2ª FUERZA CONSERVATIVA: La Fuerza del Resorte Suponemos que tenemos un resorte comprimido una distancia ∆x:


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El resorte en esa situación tiene almacenada una energía potencial elástica. ¿Qué pasa ahora si sacamos la traba y dejamos que el resorte se descomprima? RTA: Bueno, lo que va a pasar es que el resorte va a empujar al cuerpo.

Haciendo un razonamiento parecido al que hicimos antes con la fuerza peso podemos llegar a la conclusión de que el carrito no pierde ni gana energía mientras actúa la fuerza del resorte. ¿Por qué? Porque al principio el resorte tenía una energía elástica. Una vez que el resorte se descomprimió, toda esa energía se transfiere al carrito (trabajo del resorte sobre el carrito) y se transforma en energía cinética del carrito. No sé si seguiste. Lo que queremos decir es esto. Mirá el dibujo:

La fuerza con la que el resorte empujó al cuerpo no hizo que aumentara o disminuyera la energía mecánica del sistema. Solamente hizo que la Energía elástica se transformara en Energía cinética. Mientras la fuerza del resorte actúa, la Emec del sistema se conserva. Entonces la fuerza del resorte, ¿qué es? Respuesta: Una fuerza conservativa. __________________________________________________________________________________

FUERZAS NO CONSERVATIVAS Una fuerza es no conservativa cuando hace que la energía del sistema no se conserve. Es decir, si tenemos un sistema con una determinada energía mecánica inicial, por ejemplo, 100 Joule. Ahora hacemos que actúe la fuerza. Si cuando la fuerza dejó de actuar, la E mecánica del sistema es de más de 100 Joule o es de menos de 100 J, entonces esa fuerza es no conservativa. Las fuerzas no conservativas lo que hacen es que el sistema gane o pierda energía mecánica. Que un sistema pierda energía no es muy raro, pero... ¿que un sistema gane energía? ¿Cómo es eso? Momento. Vamos por partes.

1ª FUERZA NO CONSERVATIVA: El Rozamiento Supongamos que tiramos una cosa por el piso con una velocidad de 10 m/s. Si hay rozamiento, después de recorrer unos metros se va a parar.


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Inicialmente el objeto venía con v = 10 m/s y su energía cinética era ½ m ⋅ (10 m/s)2. Al final, el objeto queda quieto y su energía cinética final es cero. ¿Dónde fue toda la energía que el objeto tenía al principio? RTA: Se la gastó el rozamiento. El rozamiento hizo que el sistema perdiera energía. La E mecánica no se conservó. Por lo tanto: El rozamiento es una fuerza NO conservativa.

2ª FUERZA NO CONSERVATIVA: Una Fuerza Exterior. Una fuerza exterior es una fuerza de este tipo:

Es decir, es una fuerza que viene de afuera. Podés imaginarte a esta F como la fuerza que hace una cañita voladora o un tipo que empuja o el viento o algo así. Suponé que el carrito está quieto y la fuerza exterior F empieza a actuar. ¿Qué pasa? Pasa que el carrito se empieza a mover. (Empieza a acelerar)

Inicialmente la E cinética del carrito vale cero y al final NO. ¿Quién hizo que aumentara la energía del sistema? RTA: La fuerza F recorrió una distancia d, hizo un trabajo que vale F ⋅ d y entregó ese trabajo al carrito. Ahora el carro lo tiene almacenado en forma de energía cinética. F entregó energía al sistema. La E mecánica aumentó y no se conservó. Por lo tanto, una fuerza exterior es una fuerza NO conservativa.

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS - RESUMEN Básicamente y sin hilar fino, digamos que, en la mayoría de los problemas, salvo el rozamiento y una fuerza F exterior, todas las demás fuerzas terminan siendo conservativas. Es decir, o son conservativas o a la larga no realizan trabajo. Saber esto viene muy bien para resolver los problemas. Pero ojo, esto no es absolutamente siempre así. Esto pasa en la mayoría de los casos, PERO NO SIEMPRE. (Atento). Podría haber algún caso raro donde la normal o la tensión de la cuerda (por ejemplo) fueran fuerzas NO conservativas. Lo que sí tenés que saber es que las que siempre son conservativas si o si son la fuerza peso y la fuerza del resorte. Resumamos esto en un cuadrito:


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Hay más fuerzas conservativas y hay más fuerzas no-conservativas, pero para lo que tenés que saber y para los problemas que vas a tener que resolver con esto alcanza.

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA (Importante) Con la cuestión de fuerzas conservativas y no conservativas llegamos a la siguiente conclusión: Hay dos casos posibles: o sobre el sistema actúan fuerzas conservativas o sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas. Analicémoslos: CASO UNO: Actúan sólo fuerzas conservativas y se conserva la E mecánica del sistema.

CASO DOS: Actúan fuerzas no conservativas. La energía mecánica no se conserva. Habrá una disminución o un aumento de la E mecánica del sistema.

¿Quién provocó ese cambio en la energía del sistema?. Bueno, eso ya quedamos en que fue la fuerza no conservativa. La fuerza no conservativa (sea el rozamiento o una fuerza exterior F) hizo un trabajo que hizo que aumentara (o disminuyera) la E mecánica del sistema. Ahora bien... ¿Y cuánto vale esa variación de la E mecánica? Rta: ¡Justamente vale el trabajo que hizo la fuerza no conservativa!


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Es decir, si tengo un sistema que tiene una energía mecánica de 100 Joule y después de que actuó una fuerza exterior veo que la energía mecánica es de 120 Joules, digo entonces que el trabajo que hizo la fuerza exterior vale 20 Joule. Conclusión: (Muy importante)

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica del sistema.

Enunciado del teorema del Trabajo y la Energía Mecánica.

En forma matemática esto se suele poner así:

W F No-Cons = Em f – Em 0

Teorema del Trabajo y la E. Mecánica.

Esta fórmula se lee así: En un sistema donde actuó una fuerza no conservativa, la energía que falta (o sobra) con respecto a la E mecánica que había al principio es el trabajo que hizo la Fuerza no-conservativa. (Punto). ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGÍA? Bueno, tengo 2 casos posibles: 1 - Problemas en donde se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas caso (1) 2 - Problemas en donde NO se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas caso (2) . Si los tipos te toman un problema en el examen, éste tendrá que ser caso (1) o Caso (2). Otra posibilidad no hay. Es decir que tengo estas dos situaciones:

Tipo de Problema Conclusión Se plantea que:

Caso (1): Sólo actúan fuerzas

conservativas, es decir, no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza exterior.

La energía mecánica del

sistema se conserva. La energía mecánica final

será igual a la inicial.

E mecánica final = E mecanica I

Caso (2): Actúa por lo menos una fuerza NO conservativa,

es decir, el rozamiento o una fuerza exterior F.

La energía mecánica del sistema NO se conserva. ⇒ La energía mecánica final NO será igual a la

inicial.

W F no cons = Emf − Em0

Supongamos que te cae un caso . Tu manera de razonar tiene que ser algo parecido a esto:


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Algunas aclaraciones sobre el tema trabajo y energía. Para entender bien todo esto no alcanza con leerlo de acá. Tenés que ponerte y resolver muchos problemas. Es la única manera. Más adelante vas a ver que en realidad todos los problemas se parecen y que todo el asunto consiste en plantear Em f = Em 0 para los problemas caso (1), y W F no conservativas = Em f – Em 0 para los problemas caso (2). Es más, uno puede considerar que todos los problemas son caso (1), sólo que en algunos no hay fuerzas no conservativas y entonces W F no conservativas = 0. (Que es lo mismo que decir Em f = Em 0 ). Los casos (2) generalmente son más difíciles porque tienen rozamiento o fuerzas raras. Probá empezar con los casos (1), que suelen ser más fáciles. Pero te repetimos, el truco para entender este tema es resolver muchos problemas. Despues de hacer los problemas de la guía, los problemas del módulo de la facultad, exámenes, etc., vas a ver que con el tiempo todos los problemas te van a parecer iguales. __________________________________________________________________________________ ACTIVIDADES: 1- ¿Qué energía potencial tiene un ascensor de 800 Kg. en la parte superior del Empire State, a 380 m sobre el suelo? Suponer que la energía potencial en el suelo es 0.

Rta: 3,04 .106 Joules.

2- Un saco de 2,27 Kg. de harina se levanta 12 m verticalmente con una velocidad constante de 4 m/s. a) ¿Qué fuerza se requiere? Rta: a) 22,7 N. b) ¿Cuánto trabajo realiza esa fuerza sobre el saco? Rta. b) 272,4 J.

c) ¿Qué pasa con dicho trabajo? Rta. c) se convierte en Ep.

3- Se lanza una pelota desde la azotea de un edificio de 27,5 m de altura con una velocidad inicial de magnitud 16 m/s y dirigida con un ángulo de 37° sobre la horizontal. a) ¿Qué velocidad tiene la pelota justo antes de tocar el suelo?. Usar métodos de

energía e ignorar la resistencia del aire. Rta: a) 28,4 m/s b) Repetir el apartado (a) pero con la velocidad inicial formando un ángulo de 37° por

debajo de la horizontal. Rta. b) idem a) 4- Una bolsa de correo de 120 Kg. cuelga de una cuerda vertical de 8 m. a) ¿Qué fuerza horizontal se necesita para mantener la bolsa desplazada 4 m

lateralmente respecto a su posición inicial? Rta: a) 330 N. b) ¿Cuánto trabajo se efectúa para llevar la bolsa a esa posición? Rta. b) 1320 J. 5*- 30° A B

Rta: a) TF = 2165 J., TFr = - 450 J b) TTotal = 1715 J. ; c) aumenta la V ; d) vf = 26,s m/s.

El cuerpo de la figura es arrastrado desde A hasta B, por una fuerza F = 50 Kg. la distancia AB = 5 m. el bloque pesa 50 N. El coeficiente de roce cinético es 0,3. a) Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

y calcular el trabajo que realiza cada una de ellas. b) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque?. c) ¿Este trabajo producirá un aumento o una

disminución en su velocidad?. d) Calcular la velocidad final si el bloque parte del

reposo.


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6*- Dos automóviles de M1 y M2, siendo M2 > M1, viajan por una carretera recta. Sus energías cinéticas son iguales. Se detienen por la aplicación de fuerzas iguales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La velocidad del auto de menor masa es mayor. b) El trabajo necesario para detener el auto de mayor masa es mayor. c) Ambos automóviles se detienen en la misma distancia.

Rta: V Ec1 = Ec2 v1>v2; b) F T1=T2; c) V ( T iguales y fuerzas iguales d iguales). 7- Una caja vacía con una velocidad inicial v0 se desliza rampa abajo, llegando al fondo con una velocidad v y una energía cinética Ec. La masa de la caja se triplica llenándola con libros, se supone que el coeficiente de fricción cinética es constante y la resistencia del aire insignificante y la caja parte otra vez con v0 desde arriba de la rampa, ¿qué velocidad y energía cinética finales tendría ahora la caja? Explicar su razonamiento. 8- Una pequeña piedra de 0,1 Kg. se deja en libertad desde su posición en reposo en el punto A, en el borde de un tazón hemisférico de radio R = 0,6 m (Figura). Suponga que la piedra es pequeña en comparación con R, así que puede tratarse como una partícula. El trabajo efectuado por la fricción sobre la piedra al bajar de A a B en el fondo del tazón es – 0,22 J. ¿Qué velocidad tiene la piedra al llegar a B?.

9- a) En el ejercicio N°7, calcular la velocidad mínima inicial para que la caja llegue al extremo superior de la rampa. b) Si la velocidad inicial es de 10 m/s, ¿qué velocidad tiene la caja en el extremo superior de la rampa? 10*- 0,8 m 11*- Irma, Miguel y Eduardo cargan bloques de concreto idénticos desde el piso hasta la parte trasera de un camión. Irma levanta sus bloques casi verticalmente del piso hasta el piso del camión. Miguel desliza sus bloques hacia arriba por una tabla rugosa. Eduardo desliza sus bloques hacia arriba por una tabla con rodillos sin fricción. Las tablas de Miguel y de Eduardo tienen la misma longitud. Los tres cargan el mismo número de bloques. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?. a) Irma hace más trabajo que Miguel, y Miguel hace más trabajo que Eduardo. b) Irma y Eduardo hacen el mismo trabajo, y Miguel hace más. c) Miguel hace más trabajo que Eduardo, y éste hace más trabajo que Irma. d) Irma, Eduardo y Miguel realizan la misma cantidad de trabajo. e) Ninguna de las anteriores es la opción correcta.

Un trabajador usa un diferencial sencillo para levantar una masa de 70 Kg. desde el piso hasta una mesa de trabajo de 0,8 m de altura. a) ¿Cuánto trabajo se hizo? b) ¿Cuál fue la fuerza con la que

tiraba el trabajador de la cuerda del diferencial?


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12- Una pequeña piedra de m = 0,12 Kg. está atada a un hilo sin masa de 0,8 m formando un péndulo, el cual oscila con un ángulo máximo de 60° con la vertical. a) ¿Qué velocidad tiene la piedra cuando el hilo pasa por la posición vertical? b) ¿Qué tensión hay en el hilo cuando forma un ángulo de 60° con la vertical? c) ¿Y cuando pasa por la vertical? 13- Un horno de microondas de 12 Kg. se empuja para subirlo 14 m por la superficie de una rampa inclinada 37° sobre la horizontal, aplicando una fuerza constante F de magnitud 120 N y paralela a la rampa. El coeficiente de fricción cinética entre el horno y la rampa es de 0,25. a) ¿Qué trabajo realiza F sobre el horno? b) ¿Y la fuerza de fricción? c) Calcular el aumento en la energía potencial del horno. d) Usar sus respuestas para calcular el aumento en la energía cinética del horno.

e) Usar F = m. a para calcular la aceleración del horno. Suponiendo que el horno parte del reposo, usar la aceleración para calcular la velocidad del horno después de recorrer 14 m. Calcular con esto el aumento en la energía cinética del horno, y comparar su respuesta con la del apartado (d).

14- Tarzán, en un árbol, ve a Jane en otro. Él toma el extremo de una liana de 30 m que forma un ángulo de 45° con la vertical y describe un arco hacia abajo para llegar a los brazos de Jane. En este punto, su liana forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcule la velocidad de Tarzán justo antes de llegar a Jane para determinar si la abrazará tiernamente o la tirará de su rama. Ignorar la resistencia del aire y la masa de la liana. 15*-

Rta: a) 440.000 J.; b) Vc=20,98 m/s; Vd = 18,16 m/s.; c) 22.000 N.

16*- Sobre un bloque de madera de 20 cm. de espesor, que se encuentra inicialmente en reposo, incide una bala de 200 g de masa a la velocidad de 100 m/s. La bala atraviesa al bloque y ve disminuida su velocidad a la salida a la quinta parte de la velocidad inicial. a) ¿Cuál es la energía cinética de la bala justo antes de chocar con el bloque? b) ¿En qué porcentaje varía la energía mecánica de la bala? c) ¿Cuál es el trabajo realizado por la bala sobre el bloque? d) ¿Qué fuerza realiza la madera sobre la bala?

Rta: a) 1.000 J.; b) 96 % Ecf = 40 J.; c) 960 J. d) 4800 N.

La figura muestra un esquema de una montaña rusa. El carro cargado tiene una masa de 2000 Kg. el punto de partida de la bajada está a 22 m sobre el punto A (que está a 3 m. del suelo). La bajada de B a C tiene 120 m de longitud, el tramo de C a D es de 100 m. En D se aplican los frenos y el carro para 15 m más allá en E (que está a 3 m. del suelo). La fuerza media de fricción entre B y D es 500 N. a) Calcular el trabajo realizado para

llevar al carro hasta su punto de partida, para la bajada.

b) Calcular la velocidad del carro en C y en D.

c) La fuerza media de los frenos aplicada entre D y E.


21

17- Un libro de 0,5 Kg. sube verticalmente 12 m y luego baja verticalmente 12 m, volviendo a su posición inicial. a) ¿Cuánto trabajo realizó la gravedad durante el movimiento ascendente? b) ¿Y durante el movimiento descendente? c) ¿Y durante todo el movimiento? d) Basándose en su respuesta al apartado (c), ¿dirías que la fuerza gravitatoria es

conservativa o no conservativa? Explicar. 18*- Un niño que pesa 30 Kg. está inicialmente en reposo y se desliza por un tobogán desde un punto que está a 3 m del piso. Al llegar al borde inferior del tobogán, que está a 50 cm del piso, su velocidad es de 3 m/s. El tobogán termina en un tablón horizontal de 5 m de longitud y el niño se detiene justo al llegar a su borde. (Tomar el piso como referencia de altura). Marcar la o las opción/es verdaderas: a) La energía perdida por el roce en el tramo inclinado es 615 J. b) La energía cinética máxima es de 135 J.

c) El coeficiente cinético de roce en el tramo horizontal es c = 0,19. d) En todo el trayecto la energía disminuye 750 J.

Rta: a) V; b) V; c) F 0,09; c) V.

19- Un libro de 0,5 Kg. se desliza sobre una mesa horizontal. La fuerza de fricción cinética sobre el libro es de 12 N. a) ¿Cuánto trabajo realiza la fricción sobre el libro durante un desplazamiento de 4 m

hacia la derecha? b) Ahora el libro se desliza 4 m hacia la izquierda, volviendo al punto inicial. Durante este

segundo desplazamiento, ¿qué trabajo efectúa la fricción sobre el libro? c) ¿Cuál es el trabajo total durante el viaje completo de ida y vuelta? d) Basándote en tu respuesta al apartado (c), ¿dirías que la fuerza de fricción es

conservativa? Explicar. 20- Una caja de 35 Kg. es empujada hacia una plataforma de carga por un obrero que

aplica una fuerza horizontal. Entre la caja y el piso, c = 0,2. La plataforma está 18 m al suroeste de la posición inicial de la caja. a) Si la caja se empuja 12,7 m hacia el sur, y luego 12,7 m hacia el oeste, ¿qué trabajo

total efectúa sobre ella la fricción? b) ¿Y si la caja se empuja en línea recta 18 m hacia el suroeste hasta la plataforma? c) Dibujar las trayectorias de la caja en los apartados (a) y (b). Basándote en tus

respuestas a los apartados (a) y (b), ¿dirías que la fuerza de fricción es conservativa? Explicar.

21*- h

= 0,3

L =0

Una partícula de masa m = 3 Kg. cae sin rozamiento por un plano inclinado desde una altura h = 10 m. A continuación recorre un tramo horizontal de longitud L = 2 m, cuyo

coeficiente de rozamiento vale =0,3. Choca con un muelle. Calcular la altura máxima que alcanzará la partícula al ascender nuevamente por el plano inclinado. “El choque con el resorte no le hace perder energía al bloque?.


22

22*- Un niño ejerce una fuerza F = 30 N paralela a una rampa inclinada 30°, para arrastrar un carrito cuyo peso es 50 N. No hay roce, el desplazamiento es 4 m. Indicar V ó F. a) El trabajo realizado por la reacción es nulo. b) El ángulo formado por la fuerza F con el desplazamiento es de 30°. c) El trabajo realizado sobre el carrito es de 20 J. d) El trabajo realizado sobre el carrito es de 120 J. 23*- La figura de la página siguiente representa la superficie lisa donde debe moverse una bola de 4 Kg. de masa. La bola pasa por el punto A con una velocidad de 10 m/s. Marcar con una cruz las afirmaciones verdaderas: a) La bola no llega al punto B. b) La energía cinética de la bola en C es 280J. c) La energía mecánica de la bola en B es 120J. d) La energía mecánica de la bola en C es 280 J. e) La energía cinética de la bola en B es 200 J. 24*- Un esquiador que pesa 70 Kg. es arrastrado por un cable a velocidad constante, sobre una pista inclinada 37° sobre la horizontal. La fuerza de roce es de 120 N. El esquiador recorre 300 m. Calcular. a) La fuerza que el cable ejerce sobre el hombre. b) El trabajo de esa fuerza. c) El trabajo de la fuerza de roce. 25*- Una persona lanza una pelota de 0,2 Kg. a una altura de 6 m. a) ¿Cuál es la Energía cinética de la pelota cuando sale de la mano? b) ¿Qué trabajo realiza la persona al lanzar la pelota? c) Si el músculo del brazo se contrajo a una distancia de 0,05 m mientras lanzaba la

pelota, ¿Cuál fue la fuerza media ejercida por el músculo? 27- El sistema de la figura se suelta del reposo cuando la lata de pintura de 12 Kg. está a 2 m sobre el piso, unida por una cuerda que pasa por una polea a un contrapeso de 4 Kg. Use el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad con que la lata golpea el piso. Ignorar la fricción y la inercia de la polea.

A

B

C 2m

3m


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28*- a) ¿Cuánto trabajo realiza una mujer de 50 Kg. al escalar una montaña de 1500 m de altitud? (Considerar el trabajo realizado solamente al escalar la distancia vertical). c) Si la mujer consume 4 Kcal de energía alimenticia por cada Kcal de trabajo realizado, ¿Cuánta energía alimenticia consume en la escalada?

Rta: a) 750000 J; b) 714,29 Kcal alimenticias

29- Un esquiador de 80 Kg. parte del reposo en la cima de una ladera de 65 m de altura. a) Suponiendo la fricción insignificante entre los esquís y la nieve, ¿Qué velocidad tiene

el esquiador al pie de la ladera?

b) Ahora el se mueve horizontalmente y cruza un área de nieve revuelta, donde c = 0,2. Si el área tiene 225 m de ancho, ¿qué velocidad tiene él después de cruzarla?

c) Ahora él choca con un montón de nieve, penetrando 2,5 m antes de parar. ¿Qué fuerza media ejerce la nieve sobre él?

30*- Un cuerpo de 0,8 Kg. de masa es lanzado con una velocidad de 5 m/s, en dirección

al plano inclinado. Solamente hay roce en el tramo CD, c = 0,1. Al pasar por B su velocidad es 3 m/s. En D la velocidad del carrito es cero. Tomar como nivel cero de energía potencial al piso. (ver gráfico en la página siguiente) a) La diferencia de altura entre A y B es 35 cm. b) La energía potencial en C es 3.2J. c) La energía mecánica en D es nula. d) La distancia CD es 4.5 m. e) La distancia CD es 45 m. f) La velocidad en A es 4 m/s. 31- Un bombero de masa m parte del reposo y baja una distancia d deslizándose por un poste. Al final, él se mueve con tanta velocidad como si se hubiera dejado caer desde una plataforma de altura h con una resistencia del aire insignificante. a) ¿Qué fuerza de fricción media ejerció el bombero sobre el poste? ¿Es lógica su

respuesta en los casos especiales de h = d y h = 0? b) Calcular la fuerza de fricción media que ejerce un bombero de 80 Kg. si d = 3,5 m y h = 1 m. c) En términos de g, h y d, ¿qué velocidad tiene el bombero cuando está a una distancia

y por encima de la base del poste? 33- Un bloque de 2 Kg. se empuja contra un resorte comprimiéndolo 0,22 m. Al soltarse el bloque, el resorte le imprime al bloque una fuerza constante de 88 N, luego el bloque se suelta del resorte deslizándose por una superficie sin fricción que primero es horizontal y luego sube a 37°. a) ¿Qué velocidad tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal después de

separarse del resorte?

V

B C D

A

45 cm

PISO


24

b) ¿A qué altura sube el bloque antes de empezar a regresar? 34- Un bloque de 0,5 Kg. se empuja contra un resorte horizontal, comprimiéndolo 0,2 m. al soltarse el mismo, le imprime al bloque una fuerza constante de 20 N. El bloque se mueve 1 m sobre una mesa horizontal antes de detenerse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa?

0,22 m

m = 2 Kg.

37.0°

0,2 m

1 m

F = 88 N

F = 20 N

m = 0,5 Kg.

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