Trabajos1 ED U2

8/16/2019 Trabajos1 ED U2

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

LMAT-EDO

P2.2

MC. Marco Antonio Rodríguez R.

1. COMPETENCIA

Resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas a papel y lápiz y usando

el software Mathematica.

3. PRODUCTO DE APRENDIZAJE ESPERADO

Ejercicios resueltos correctamente.

4. REQUISITOS

- Saber calcular raíces

-Conocer el concepto de valores iniciales

5. EQUIPO y HERRAMIENTAS

Computadora

Software Mathematica

Cañón

5. PROCEDIMIENTO

El profesor modelará algunos de los ejemplos que se enuncian a continuación y realizar los

ejercicios planteados.

6. COMANDOS

El comando Solve[fun, var], calcula las raíces de funciones para la variable var.

El comando factor[polinomio], factoriza una función.

DSolve[ D, y[x], x], Resuelve una EDO

LABORATORIO: LMAT- EDO PRÁCTICA: 2.2

UNIDAD 2 EcuacionesDiferenciales Linealesde Orden Superior

TEMA 2.2 Solución de EDL homogéneas decoeficientes constantes de segundo orden


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LMAT-EDO

P2.2


7. EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Una ecuación con coeficientes constantes tiene la forma '' ' 0ay by c

. Es posible que esta

ecuación tenga la soluciónmx y e , entonces después de sustituir la solución y sus derivadas

2' y ''mx mx y me y m e en la ED, esta se transforma en

2 0mxe am bm c

Comomxe nunca es cero para valores reales de x, la única forma de que existe de satisfacer a la ED

esta solución es determinando como una raíz de la ecuación cuadrática

2 0am bm c

Esta última ecuación se denomina ecuación auxiliar y sus raíces son:

2 2

1 2

4 4;

2 2

b b ac b b acm m

a a

Habrá tres formas distintas de solución

Si 2 4 0b ac 1 2ym m son raíces reales y distintas

Si 2 4 0b ac 1 2m m son raíces reales e iguales

Si 2 4 0b ac 1 2ym m son raíces complejas. m i

Estudiaremos tres casos:

CASO 1. Las raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. → y = 1 21 2m x m xc e c e , es

solución general de la ecuación diferencial.

CASO 2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales. → y = 1 11 2m x m x

c e c xe , es

solución general de la ecuación diferencial.

CASO 3. Las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas.

→ y = 1 2( ) ( ) x

e c Cos x c Sen x

es solución general de la ecuación diferencial.

1. Determinamos la ecuación auxiliar2 2 3 0m m

2. Factorizamos la ecuación auxiliar para calcular las raíces o se aplica la ecuación general

EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial homogéneade coeficientes constantes '' 2 ' 3 0 y y y


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LMAT-EDO

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2 4

2

b b acm

a

Usando Mathematica podemos factorizar mediante el comando Factor

Factor[ − 2 − 3]

(−3 + )(1 + )

o determinar directamente las raíces con el comando Solve.

Solve[ − 2 − 3 == 0]

{ → −1}, { → 3}}

3. La solución es = +

1. Ecuación auxiliar + 2 +

= 0

2. solución de la ecuación auxiliar

Solve[ + 2 + 5 4⁄ == 0]

{{ → −1 −

2},{ → −1 +

2}}

3, La solución es = [2]Cos[

] + [1]Sen[

]

Una forma directa de encontrar la solución es usando el comando DSolve[ED, y, x]],

DSolve[''[] + 2′[] + 5 4⁄ [] == 0, [], ]

{{[] → [2]Cos[2

] + [1]Sin[2

]}}

1. + 14 + 49 = 0

EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial homogénea

de coeficientes constantes5

'' 2 ' 04

y y y

EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial + 14 +49 = 0, con las condiciones iniciales (0) = −2, (0) = 10


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6. ''' 5 '' 3 ' 9 0 y y y y

7. ''' 3 '' 3 ' 0 y y y y

8.

2

2 4 5 0, (1) 0, '(1) 2d y dy y y ydx dx

9. '' ' 2 0; (0) '(0) 0 y y y y y

10. ''' 12 '' 36 ' 0; (0) 0, '(0) 1, ''(0) 7 y y y y y y

EJERCICIO En los ejercicios siguientes encuentre la solución de las ecuaciones detercer orden.

EJERCICIO En los ejercicios siguientes resuelvas las ecuaciones diferenciales convalor inicial.

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