TRANSFERENCIA DE CALOR EN SUPERFICIES EXTENDIDAS (ALETAS).

La transferencia de calor, es la relación del intercambio de calor por convección de un

sólido a un fluido. Es decir, un sólido que experimenta transferencia de energía por

conducción dentro de sus límites, así como transferencia de energía por convección

(y/o) radiación entre sus límites y los alrededores.

Superficies extendidas también llamadas “aletas” puede entenderse como un sistema

que combina la conducción y la convección; el calor se transfiere desde la superficie a

los alrededores, donde la distribución de temperatura funciona como un gradiente que

en la dirección “x” mantiene la transferencia de calor por conducción internamente, al

mismo tiempo que hay transferencia de energía por convección desde la superficie. Se

encuentra bajo los parámetros de la ley de enfriamiento de Newton:

(YUNUS A. Cengel, 2004)

Las superficies extendidas llamadas aletas aumentan la velocidad de transferencia de

calor, desde una superficie al exponer un área más grande a la convección y a la

radiación, como también aumentar el calor disipado por convección al ambiente. La

aletas Incrementan el flujo de calor entere un sólido y un fluido contiguo, su material

debe tener una alta conductividad térmica para cumplir su objetivo, que es finalmente el

aumento del calor disipado por convección al ambiente.

La conductividad térmica es de gran importancia en las superficies extendidas (Aletas),

debido a que a partir de este valor se escoge el material más apropiado para la

construcción de determinada aleta, además teniendo en cuenta que la transferencia de

calor en lo equipos que utilizan estos dispositivos, en su mayoría se da por convección

hacia el ambiente, es importante contar con materiales altamente conductivos, en los

cuales la temperatura de la toda la aleta sea lo más cercana posible a la temperatura de

la base de la misma.(FRANK P. Incropera, 1999)

Cuando la temperatura de la aleta es uniforme al valor de la temperatura en la base (Tb),

se dice que la conductividad térmica es infinita o límite de resistencia térmica cero (𝑘 →

∞). En este caso, la transferencia de calor desde la aleta será máxima y se puede

expresar como:

𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑥. = ℎ𝐴𝐴𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞)

(YUNUS A. Cengel, 2004)

Ecuación de energía para condiciones unidimensionales en una superficie

extendida.

En una aleta, el calor de la base es transferido internamente por conducción, de forma

quasi-unidimensional en la dirección perpendicular a la base y adicionalmente, el calor

también es transferido por convección a través de la superficie de la aleta. Para hallar

la ecuación que describe el comportamiento de la temperatura en la aleta, se aplica la

ecuación de conservación de energía al elemento diferencial. (Yepes, n.d.)

Podemos suponer conducción unidimensional en la dirección “x”. Consideramos condiciones de estado estable, conductividad térmica es una constante, que la radiación desde la superficie es insignificante, los efectos de la generación de calor están ausentes y que el coeficiente de transferencia de calor por convección h es uniforme sobre la superficie.

Tenemos entonces: 𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 (1)

Según la ley de Fourier:

𝑞𝑥 = −𝐾 ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑑𝑇

𝑑𝑥

Donde Ac es el área de la sección transversal, que varía con x. como la conducción de calor en x + dx se expresa como:

𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 + (𝑑𝑞𝑥)

𝑑𝑥∗ 𝑑𝑥

𝑞𝑥+𝑑𝑥 = −𝐾 ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑑𝑇

𝑑𝑥− 𝐾 ∗

𝑑

𝑑𝑥 (𝐴𝑐 ∗

𝑑𝑇

𝑑𝑥)𝑑𝑥

Según la ley de Newton (enfriamiento):

𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ ∗ 𝑑𝐴𝑠 ∗ (𝑇 − 𝑇∞)

Donde As: es el área superficial del elemento diferencial entonces tenemos sustituyendo todas las ecuaciones

𝑑

𝑑𝑥(𝐴𝑐 ∗

𝑑𝑇

𝑑𝑥) − (

ℎ

𝐾)(

𝑑𝐴𝑠

𝑑𝑥) ∗ (𝑇 − 𝑇∞) = 0

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2 + (1

𝐴𝑐∗

𝑑𝐴𝑐

𝑑𝑥) ∗ (

𝑑𝑇

𝑑𝑥) − (

1

𝐴𝑐∗

ℎ

𝐾∗

𝑑𝐴𝑠

𝑑𝑥) ∗ (𝑇 − 𝑇∞) = 0 (2)

Este resultado proporciona una forma general de la ecuación de energía para

condiciones unidimensionales en una superficie extendida.

A partir de la anterior ecuación (2). Se obtiene la siguiente ecuación teniendo en cuenta

la geometría y otras condiciones de la aleta.

𝒅𝟐𝑻

𝒅𝒙𝟐 −𝒉𝑷

𝒌𝑨𝒄(𝑻 − 𝑻∞) = 𝟎 (1)

𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒙𝟐 − 𝒎𝟐𝜽 = 𝟎 (2)

Dónde: 𝜽(𝑿) = 𝑻(𝑿) − 𝑻∞ y 𝒎𝟐 =𝒉𝑷

𝒌𝑨𝒄

Para aleta recta rectangular: 𝑷 = 𝟐𝒘 + 𝟐𝒕 y 𝑨𝒄 = 𝒘𝒕

Para aleta recta circular: 𝑷 = 𝝅𝑫 y 𝑨𝒄 = 𝝅𝑫𝟐

𝟒

La ecuación (2) es diferencial lineal de 2º orden, homogénea y coeficiente constantes,

quedando así:

𝜽(𝑿) = 𝑪𝟏𝓮𝒎𝒙 + 𝑪𝟐𝓮−𝒎𝒙 (3)

Para evaluar las constantes C1 y C2 es hay que especificar condiciones de frontera

apropiadas, especificadas así:

En términos de la temperatura en la base de la aleta (x=o)

𝜽(𝟎) = 𝑻𝒃 − 𝑻∞ ≡ 𝜽𝒃 (4)

En el extremo de la aleta (x=L), dependiendo de 4 casos para condiciones diferentes a

continuación:

1) Caso A: transferencia de calor por convección.

𝒉𝜽(𝑳) = −𝒌𝒅𝜽

𝒅𝒙│𝒙=𝑳 (5)

La rapidez de transferencia de energía hacia el fluido por convección desde el extremo

debe ser igual a la rapidez que la energía alcanza en el extremo por conducción a través

de la aleta.

Sustituyendo (3) en (4) y (5):

𝜽𝒃 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 (6)

Y

𝒉(𝑪𝟏𝓮𝒎𝑳 + 𝑪𝟐𝓮−𝒎𝑳) = 𝒌𝒎(𝑪𝟐𝓮−𝒎𝑳 − 𝑪𝟏𝓮−𝒎𝑳) (7)

Resolviendo C1 y C2, se puede demostrar que la distribución de temperatura 𝜽

𝜽𝒃 queda

en la siguiente ecuación:

𝜽

𝜽𝒃=

𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒎(𝑳 − 𝒙) + (𝒉 𝒎𝒌)⁄ 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒎(𝑳 − 𝒙)

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒎𝑳 + (𝒉 𝒎𝒌)⁄ 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒎𝑳

De la gráfica, sabemos que el gradiente de temperatura disminuye al aumentar x debido

a la reducción en la transferencia de calor por conducción con el aumento de x, de

acuerdo a las pérdidas por convección continuas en la superficie de la aleta.

2) Caso B: suponer que el extremo es adiabático, es decir, la perdida de calor conectivo

en el extremo de la aleta es insignificante.

𝒅𝜽

𝒅𝒙│𝒙=𝑳 = 𝟎

(7)

Sustituyendo (3) en (7) y dividiendo por (m), se obtiene:

𝑪𝟏𝓮𝒎𝑳 − 𝑪𝟐𝓮−𝒎𝑳 = 𝟎 (8)

Resolviendo C1 y C2, se puede demostrar que la distribución de temperatura 𝜽

𝜽𝒃,

sustituyendo (7) en (6) y (3):

3) Caso C: se obtiene de la misma forma que el caso anterior

Se establece la distribución de temperatura en los extremos de la aleta como condición de frontera 𝜽(𝑳) = 𝜽𝑳, de tal forma que se obtiene la siguiente ecuación:

4) Caso D: aleta infinita, es decir, muy larga, cuando 𝑳 → ∞ ; 𝜽𝑳 → 𝟎, se comprueba que:

(Scribd, n.d.) (Carlos & González, 2010)

Desempeño de una aleta.

El desempeño de las aletas se juzga sobre la base del mejoramiento en la transferencia

de calor comparado con el caso en el que no se usan aletas. El desempeño de las

aletas, expresado en términos de la efectividad de la aleta (𝜺𝑨𝒍𝒆𝒕𝒂) se define como:

𝜽

𝜽𝒃=

𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒎(𝑳 − 𝒙)

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒎𝑳

𝜽

𝜽𝒃=

(𝜽𝑳 𝜽𝒃)⁄ 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒎𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒎(𝑳 − 𝒙)

𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒎𝑳

𝜽

𝜽𝒃= 𝓮−𝒎𝒙

𝜺𝑨𝒍𝒆𝒕𝒂 =𝒒𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂

𝒒𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂=

𝒒𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂

𝒉𝑨𝒃(𝑻𝒃 − 𝑻∞)=

𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝑨𝒃

𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 á𝒓𝒆𝒂 𝑨𝒃

Ab es el área de la sección transversal de la aleta en la base y 𝒒𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂representa la

velocidad de la transferencia de calor desde esta área si no se tienen aletas sujetas a

la superficie.

Criterios:

Una efectividad de (𝜺𝑨𝒍𝒆𝒕𝒂) = 𝟏indica que la adición de las aletas a la superficie no afecta

la transferencia de calor en lo absoluto.

Una efectividad de (𝜺𝑨𝒍𝒆𝒕𝒂) =< 1indica que la aleta actúa como aislante retardando la

transferencia de calor desde la superficie.

Una efectividad de (𝜺𝑨𝒍𝒆𝒕𝒂) => 1indica que las aletas están mejorando la transferencia

de calor desde la superficie, como debe ser.

(YUNUS A. Cengel, 2004)

Si a una superficie se le agregan dos o más aletas se habla de un arreglo, que involucra

la disipación de calor desde las aletas y desde la superficie, en este tipo de sistema es

necesario definir una eficiencia global. En contraste con la eficiencia de una aleta, la

eficiencia global caracteriza a varias aletas similares y a la superficie base a la que se

unen, por ejemplo los que se muestran en las figuras.

La eficiencia global se determina por medio de:

𝜂𝑜 = 𝑄�̇�

𝑄𝑚𝑎𝑥̇

𝑄𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝐴𝑡𝜃𝑏̇

𝐴𝑡 = 𝑁𝐴𝑓 + 𝐴𝑏

�̇�𝒕: Transferencia de calor total desde las aletas y la base (espacios libres de aletas)

�̇�𝒎𝒂𝒙: Máxima transferencia de calor suponiendo temperatura uniforme en todo

el sistema.

𝑨𝒕: Área total del arreglo que se expone a la convección (espacios libres de aletas y

área superficial de todas las aletas).

𝑵:cantidad de aletas.

(Santos, n.d.)

Configuraciones de superficies extendidas.

Existen diferentes configuraciones de superficies extendidas, las cuales se pueden

observar en la siguiente imagen.

Aletas rectas: a, b, c y d.

Aletas circulares: e y f.

Aletas de punta: g, h i.

Aletas rectas

𝑚 = (2ℎ/𝑘𝑡)

Rectangular

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 2𝑤𝐿𝑐 𝐿𝑐 = 𝐿 + (𝑡/2) 𝜀 =tan ℎ 𝑚𝐿𝑐

𝑚𝐿𝑐

(Santos, n.d.)

Triangular

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 2𝑤[𝐿2 + (𝑡/2)2]1/2 𝜀 = 1

𝑚𝐿

𝐼1 (2𝑚𝐿)

𝐼0 (2𝑚𝐿)

(Santos, n.d.)

Parabólica

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑤[𝑐1 𝐿2 + (𝐿2/𝑡) ln(𝑡/𝐿 + 𝑐1)]

(Santos, n.d.) 𝑐1 = [1 + (𝑡/𝐿)]21/2 𝜀 =

2

[4 (𝑚𝐿)2+ 1]1/2+1

Aletas circulares

Rectangular

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 2𝜋(𝑟2𝑐2 − 𝑟1

2) 𝑟2𝑐2 = 𝑟2 + (𝑡/2) 𝑐2 =

(2 𝑟1/𝑚)

(𝑟2𝑐2 − 𝑟1

2)

𝜀 = 𝑐2 𝑘1 (𝑚𝑟1)𝐼1 (𝑚𝑟2𝑐 )−𝐼1 (𝑚𝑟1)𝑘1 (𝑚𝑟2𝑐 )

𝐼0 (𝑚𝑟1)𝑘1 (𝑚𝑟2𝑐)+𝑘0 (𝑚𝑟1)𝐼1 (𝑚𝑟2𝑐 )

(Santos, n.d.)

Aletas de punta

𝑚 = (4ℎ/ 𝑘𝐷)1/2

Rectangular

Aaleta = 𝜋𝐷𝐿𝑐 𝐿𝑐 = 𝐿 + (𝐷/4) 𝜀 =tan ℎ 𝑚𝐿𝑐

𝑚𝐿𝑐

(Santos, n.d.)

Triangular

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =𝜋𝐷

2 [𝐿2 + (𝐷/2)2]1/2 𝜀 =

2

𝑚𝐿 𝐼2 (2𝑚𝐿)

𝐼1(2𝑚𝑙)

(Santos, n.d.)

Parabólica

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜋𝐿3/8𝐷 {𝐶3𝐶4 − 𝑙/2𝐷 ln[(2𝐷𝐶4 /𝐿) + 𝐶3 }

𝐶3 = 1 + 2(𝐷/𝐿)2 𝐶4 = [1 + (𝐷/𝐿)2]1/2

(Santos, n.d.) 𝜀 =2

[4/9(𝑚𝐿)2 +1]1/2+1