transformacion de filtros

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© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

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TRANSFORMACIONES ENFRECUENCIA

5.1 Introducción

Hasta ahora sólo hemos considerado la aproximación de funciones de transferencia con

especificaciones paso de baja. Las transformaciones en frecuencia consiguen, mediante una

simple transformación de la variable de frecuencia, obtener a partir de una función de transfer-

encia paso de baja conocida, llamada paso de baja prototipo, otros tipos de características de

transferencia tales como paso de alta, paso de banda o rechazo de banda.

5.2 Transformación paso de baja a paso de banda

La transformación paso de baja a paso de banda se usa para encontrar una aproximación

a unas especificaciones paso de banda calculando primero una aproximación a unas especifica-

ciones paso de baja "equivalentes". Por tanto, la transformación LP→BP se aplica a la función

de transferencia del filtro paso de baja prototipo para obtener la función de transferencia del fil-

tro paso de banda.

El punto de partida son unas ciertas especificaciones para el filtro paso de banda. El prim-

er paso es encontrar las especificaciones para el filtro paso de baja prototipo. Este paso depend-erá de las propiedades de la transformación LP→BP por lo que nos ocupamos de ellas en primer

lugar.

Propiedades de la transformación LP→BP

Consideremos unas especificaciones de atenuación paso de baja tales como las de la Fig.

5.1.

Estas especificaciones será posible satisfacerlas con una aproximación clásica. Si no se

fuera buscando una aproximación clásica carecería de sentido la transformación puesto que se

haría directamente la aproximación paso de banda.



TRANSFORMACIONES EN FRECUENCIA

94 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

Una vez que se han obtenido las especificaciones paso de baja ( A p, As y ωs) se busca una

aproximación adecuada con ayuda de tablas o fórmulas. Esto proporciona una función de trans-

ferencia H (s) (donde s= jΩ) para el filtro paso de baja prototipo. Entonces se busca una transfor-

mación de la variable de frecuencia s en una nueva variable de frecuencia p ( p= jω), s=f( p), tal

que la función de transferencia paso de banda,

(5.1)

satisface las especificaciones paso de banda.

Ya que la atenuación es una función par de Ω, podemos dibujar la función A(−Ω) como

imagen especular de A(+Ω) para obtener la representación completa de A(Ω) que se muestra en

la Fig. 5.2.

Obsérvese que esta gráfica representa un filtro paso de banda cuya frecuencia central es

0, la banda de paso se extiende desde −1 a +1 y la banda de rechazo superior se extiende de Ωs

a ∞ y la inferior de −Ωs a −∞.Necesitamos una transformación de frecuencia que traslade esta representación a una pos-

ición determinada en la parte positiva y negativa del eje de frecuencias. Esta transformación es:

(5.2)

De esta expresión se obtienen las siguientes propiedades:

1) La frecuencia s=0 se transforma en p=± jωo. ωo se denomina frecuencia central del fil-

tro paso de banda.

2) Cualquier frecuencia s= jΩ en la que la atenuación es A dB se transforma en dos fre-

Fig.6.5 Sedra

Figura 5.1: Especificaciones paso de baja y aproximación típica

H BP p( ) H s( )s f p( )=

=

s p

2ωo

2+

pB------------------=



5.2 Transformación paso de baja a paso de banda

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 95

cuencias, una positiva y otra negativa, con la misma atenuación de A dB:

(5.3)

La frecuencia s=− jΩ también produce dos frecuencias, positiva y negativa, con A dB

de atenuación:

(5.4)

Dado que estamos solo interesados en frecuencias positivas podemos decir en resumen

que una frecuencia s=± jΩ en el filtro paso de baja prototipo da lugar a dos frecuencias

positivas:

(5.5)

relacionadas mediante

(5.6)

Es decir, en el diagrama de atenuación transformado cada dos frecuencias de igual aten-

uación son geométricamente simétricas respecto a la frecuencia central ωo.3) Las bordes de la banda de paso s=± j1 se transforman en cuatro frecuencias. Las dos

Fig.6.6. Sedra

Figura 5.2: Ilustrando la transformación LP→BP

ω2

1

2--- BΩ ωo

2 1

4--- B

2Ω

2++=

ω2′1

2--- BΩ ωo

2 1

4--- B

2Ω

2+–=

ω1

1

2---– BΩ ωo

2 1

4--- B

2Ω

2++=

ω1′1

2---– BΩ ωo

2 1

4--- B

2Ω

2+–=

ω1 2,

1

2---+− BΩ ωo

2 1

4--- B

2Ω

2++=

ω1ω2 ωo

2=





positivas vienen dadas por:

(5.7)

Por tanto:

(5.8)

es el ancho de banda del filtro paso de banda.

4) Las frecuencias s=± jΩs, que definen la banda de rechazo, se corresponden con cuatro

frecuencias. Las dos positivas se relacionan mediante:

(5.9)

La Fig. 5.2(b) muestra el diagrama de atenuación transformado. La propiedad más impor-

tante es la simetría geométrica. Esta es una limitación fundamental de la transformación

LP→BP: no es posible diseñar filtros BP con simetría aritmética usando esta transformación.

Obtención de las especificaciones paso de baja prototipo

Consideremos el problema de encontrar una función de transferencia H BP( p) para las es-

pecificaciones paso de banda de la Fig. 5.3. Para obtener una aproximación clásica primero hay

que modificar las especificaciones como sigue:

ω p1 2,

1

2---+− B ωo

2 1

4--- B

2++=

ω p2 ω p1– B=

ωs2 ωs1– BΩs=

Fig.6.7 Sedra

Figura 5.3: Modificación de las especificaciones del filtro BP.



5.3 Transformación paso de baja a paso de alta


1) La atenuación de las bandas de rechazo debe hacerse constante ya que éste es el único

caso que se considera en las aproximaciones clásicas. La atenuación mínima As debe

hacerse igual al caso más desfavorable.

2) Deben redefinirse los bordes de las bandas de rechazo para que sean geométricamente

simétricos. Para ello primero se halla la frecuencia central:

(5.10)

Entonces se evalúa:

(5.11)

Si ωs1>ω1 entonces los bordes de la banda de rechazo son ωs1 y ω2. Pero si ωs1<ω1

entonces se evalúa:

(5.12)

y se redefinen los bordes de la banda de rechazo como ω1 y ωs2. Las especificaciones

modificadas de la Fig. 5.3(a) se muestran en laFig. 5.3(b.)

El segundo paso es encontrar los parámetros del diagrama de especificaciones del filtro

paso de baja prototipo. A p y As son iguales que los de la Fig. 5.3(b). El factor de selectividad Ωs

se obtiene de (5.9):

(5.13)

Entonces se realiza una aproximación clásica del filtro paso de baja prototipo y se aplica

la transformación LP→BP:

(5.14)

Conviene hacer notar que la aplicación de la transformación conduce a un filtro paso de

banda desnormalizado en la frecuencia.

5.3 Transformación paso de baja a paso de alta

Esta transformación permite el diseño de un filtro HP mediante la transformación del dis-

eño de un filtro LP prototipo. Esta transformación tiene una importancia especial ya que es vál-

ida para el diseño de cualquier filtro HP, no solamente para el caso de aproximaciones clásicas.

ωo ω p1ω p2=

ωs1

ωo

2

ω2

------=

ωs2

ωo

2

ω1

------=

Ωs

ωs2 ωs1–

ω p2 ω p1–------------------------=

s p

2ωo

2+

pB

------------------=





Consideremos la característica de atenuación paso de baja de la Fig. 5.4(a). A partir de

ella dibujamos la función de atenuación A(ω p / ω) donde ω p es una frecuencia constante. Resulta

la función paso de alta de la Fig. 5.4(b). Por definición el valor de ωs se obtiene de Ωs=ω p / ωs.

Luego la transformación LP→HP es,1

(5.15)

1. Estrictamente, parece haber una contradicción en las expresiones ya que haciendo la equivalencia s= jΩ

y p= jω aparece un signo −. La razón última hay que buscarla en considerar el cambio s2=ω p

2 / p2. Entonces

el signo − desaparece ya que como son funciones pares se están transformando valores positivos y nega-

tivos de ω.

Ωω p

ω------= o s

ω p

p------=

Figura 5.4: Ilustrando la transformación paso de baja a paso de alta.

Fig. 6.13 Sedra



5.4 Transformación paso de baja a rechazo de banda



La transformación LP→BR se usa para diseñar filtros rechazo de banda de simetría ge-

ométrica mediante la transformación del filtro paso de baja correspondiente.

Consideremos la característica de atenuación paso de baja de la Fig. 5.5(a). Aplicando unatransformación LP→HP con ω p=1 se obtiene la función de la Fig. 5.5(b). Esta transformación

se obtiene mediante,

(5.16)

Dado que la función de atenuación es una función par de la frecuencia se puede replicar para

Ω’<0, tal como se muestra en la Fig. 5.5(c). La característica resultante es del tipo rechazo de

banda con la banda de rechazo entre −1/ Ωs y 1/ Ωs. La frecuencia central es 0. Las bandas de

paso se extienden desde −1 a −∞ y de 1 a ∞. Siguiendo el mismo procedimiento de la transfor-

mación LP→BP se puede trasladar esta característica de atenuación a cualquier punto del eje

de frecuencia positivo mediante la transformación:

(5.17)

resultando la característica de atenuación de la Fig. 5.5(d).

Utilizando las propiedades de la transformación LP→BP tenemos que:

(5.18)

Luego la transformación LP→BR viene dada por,

(5.19)

El conjunto de pasos a realizar para obtener una aproximación a un conjunto de especifi-caciones de filtro rechazo de banda son:

1) Modificar las especificaciones haciendo constante la atenuación en la banda de rechazo

a su valor más alto. También ha de transformarse el diagrama de forma que sea

geométricamente simétrico.

2) El filtro paso de baja prototipo correspondiente tendrá un factor de selectividad Ωs

dado por:

(5.20)

s1

s′----=

s′ p

2ωo

2+

pB------------------=

B ω p2 ω p1–=

ωs2 ωs1– BΩs′B

Ωs

------= =

spB

p2

ωo

2+

------------------=

Ωs

ω p2 ω p1–

ωs2 ωs1–------------------------=





3) Encontrar una aproximación para el filtro paso de baja prototipo.

4) Aplicar la transformación LP→BR:

(5.21)

donde

Figura 5.5: Ilustrando la transformación paso de baja a rechazo de banda.

Fig.6.15 Sedra

spB

p2

ωo

2+

------------------=





(5.22)

B ω p2 ω p1–=

ωo

2ω p1ω p2 ωs1ωs2= =

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