INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura: Algebra LinealCarrera: Ingeniería en Sistemas ComputacionalesClave: ACF-0903Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5

EN EL ESTADO DE CAMPECHE

TEMARIO

U N I D A D 2

RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTAA r q u i t e c t o

U N I D A D 2

Matrices y Determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

2.2 Operaciones con matrices.

2.3 Clasificación de las matrices.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

2.7 Propiedades de los determinantes.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011

U N I D A D 2

Matrices y Determinantes.2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

I. Intercambiar la posición de dos filas.II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

EJEMPLO

Rango de una matriz

Rango de una matr iz : es e l número de l íneas de esa matr i z ( f i l as o

co lumnas) que son l inea lmente independ ientes .

Una l ínea es l inealmente dependiente de o t ra u o t ras cuando se

puede es tab lecer una combinac ión l inea l ent re e l las .

Una l ínea es l inealmente independiente de o t ra u o t ras cuando no se

puede es tab lecer una combinac ión l inea l ent re e l las .

E l rango de una matr i z A se s imbo l i za : rang(A) o r(A ) .

También podemos dec i r que e l rango es : el orden de la mayor

submatr iz cuadrada no nula . U t i l i zando es ta de f in i c ión se puede ca lcu la r

e l rango usando determinantes .

Se puede ca lcu la r e l rango de una matr i z por dos métodos :

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Podemos descar ta r una l ínea s i :

Todos sus coe f i c ientes son ceros .

Hay dos l íneas igua les .

Una l ínea es proporc iona l a o t ra .

Una l ínea es combinac ión l inea l de o t ras .

F 3 = 2F 1

F 4 es nu la

F 5 = 2F 2 + F 1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas e l máximo número de l íneas

posib le, y e l rango será e l número de f i las no nulas.

F 2 = F 2 - 3F 1

F 3 = F 3 - 2F 1

Por tanto r(A) = 3.

Rango de una matriz

Es e l número de f i las o columnas l inealmente independientes ,

u t i l i zando esta def in ic ión se puede ca lcu lar usando e l método de Gauss .

También podemos dec i r que e l rango es : el orden de la mayor

submatriz cuadrada no nula . Ut i l i zando esta def in ic ión se puede

ca lcu lar e l rango usando determinantes .

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una l ínea si :

Todos sus coef ic ientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

Supr imimos la tercera co lumna porque es combinac ión l inea l de las

dos pr imeras : c 3 = c 1 + c 2

2. Comprobamos si t iene rango 1, para el lo se t iene que

cumplir que al menos un elemento de la matr iz no sea cero y por

tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 s i existe alguna submatriz cuadrada de

orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 s i existe alguna submatriz cuadrada de

orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatr ices son nu los no t iene

rango 3 , por tanto r(B) = 2 .

5. Si t iene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4,

cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo

se t raba ja para comprobar s i t iene rango super ior a 4 .