Transformada de Fourier
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CURSO: CÁLCULO 4 T ema: LA TRANSFORMADA DE FOURIER UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE N 1. La Transformada de Fourier. En el cap´ ıtulo anterior hemos mostrado c´omo podr´ ıamos ampliar una funci´on peri´ odica en t´ erminos de una suma infinita de senos y cosenos. Sin embargo, la mayor´ ıa de las funciones encontradas en la ingenier´ ıa son aperi´ odicas. Como veremos, la extensi´ on de la serie de Fourier de estas funciones conduce a la transformada de Fourier. 1.1. Transformadas de Fourier La transformada de Fourier es una extensi´ on natural de las series de Fourier para una funci´on f (t) de per´ ıodo infinito. Para demostrar esto, consideremos una funci´on peri´ odica f (t) de pe- riodo 2T que satisface las denominadas condiciones de Dirichlet. Si la integral |f (t)|dt existe, esta funci´on tiene la serie compleja de Fourier: f (t)= ∞ n=-∞ c n e inπt/T , (1) en donde c n = 1 2T T -T f (t) e -inπt/T dt. (2) La ecuaci´ on (1) se aplica s´ olo si f (t) es continua en t; si f (t) posee una discontinuidad de salto en t, entonces el lado izquierdo de (1) es igual a 1 2 [f (t + )+ f (t - )], en donde f (t + ) = l´ ım x→t + f (x) y f (t - ) = l´ ım x→t - f (x). Sustituyendo (2) en (1), f (t)= 1 2T ∞ n=-∞ e inπt/T T -T f (x) e -inπx/T dx. (3) Vamos a introducir la notaci´ on: ω n = nπ/T de modo que Δω n = ω n+1 - ω n = π/T . Entonces, f (t)= 1 2π ∞ n=-∞ F (ω n ) e iωnt Δω n , (4) Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias 1
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Transformada de Fourier Conceptos
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CURSO: CLCULO 4
Tema: LA TRANSFORMADA DE FOURIER
UNIVERSIDAD
PRIVADA DEL NORTEN
1. La Transformada de Fourier.
En el captulo anterior hemos mostrado como podramos ampliar una funcion periodicaen terminos de una suma infinita de senos y cosenos. Sin embargo, la mayora de las funcionesencontradas en la ingeniera son aperiodicas. Como veremos, la extension de la serie de Fourierde estas funciones conduce a la transformada de Fourier.
1.1. Transformadas de Fourier
La transformada de Fourier es una extension natural de las series de Fourier para una funcionf (t) de perodo infinito. Para demostrar esto, consideremos una funcion periodica f (t) de pe-riodo 2T que satisface las denominadas condiciones de Dirichlet. Si la integral
|f (t)|dt existe,
esta funcion tiene la serie compleja de Fourier:
f (t) =
n=
cneinpit/T , (1)
en donde
cn =1
2T
TT
f (t) einpit/Tdt. (2)
La ecuacion (1) se aplica solo si f (t) es continua en t; si f (t) posee una discontinuidad de salto ent, entonces el lado izquierdo de (1) es igual a 1
2[f (t+) + f (t)], en donde f (t+) = lmxt+ f (x)
y f (t) = lmxt f (x). Sustituyendo (2) en (1),
f (t) =1
2T
n=
einpit/T TT
f (x) einpix/Tdx. (3)
Vamos a introducir la notacion: n = npi/T de modo que n = n+1 n = pi/T . Entonces,
f (t) =1
2pi
n=
F (n) eintn, (4)
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en donde
F (n) =
TT
f (x) einxdx. (5)
Como T , n se aproxima a una variable continua , y n puede ser interpretado comoel infinitesimal d. Por lo tanto, haciendo caso omiso de las posibles dificultades,
f (t) =1
2pi
F () eitd, (6)
y
F () =
f (t) eitdt. (7)
La ecuacion (7) es la transformada de Fourier de f (t) mientras que (6) es la transformada inversade Fourier que convierte una transformada de Fourier de nuevo a f (t). Alternativamente, sepueden combinar (6) - (7) para dar la forma real equivalente
f (t) =1
pi
0
{
f (x) cos [ (t x)]dx
}d (8)
Hamming sugirio el analogo siguiente en la comprension de la transformada de Fourier. Imagine-mos que f (t) es un haz de luz. Entonces, la transformada de Fourier, como un prisma, rompe lafuncion en sus frecuencias componentes cada una de intensidad F (). En optica, las diferentesfrecuencias se denominan colores, por analoga, la transformada de Fourier nos da el espectrode color de una funcion. Por otro lado, la transformada inversa de Fourier combina el espectrode una funcion para devolver la funcion original.
La mayora de senales encontradas en la practica tienen transformadas de Fourier, ya que sonabsolutamente integrables, ya que son acotadas y de duracion limitada. Sin embargo, hay algunasexcepciones notables. Los ejemplos incluyen las funciones trigonometricas seno y coseno.
Ejemplo 1 Vamos a encontrar la transformada de Fourier para
f (t) =
{1, |t| < a,
0, |t| > a(9)
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De la definicion de transformada de Fourier,
F () =
a
0 eitdt+
aa
1 eitdt+
a0 eitdt (10)
=eai eai
i=
2 sen (a)
, (11)
Aunque en este ejemplo particular, no lo muestra, la transformada de Fourier es, en general,
una funcion compleja. El metodo mas comun de expresarla, es trazando su amplitud y fase en
dos graficos separados para todos los valores de . Otro problema aqu es la relacion 0/0 cuando = 0. Aplicando la regla de LHospital, encontramos que F (0) = 2. As, se puede trazar laamplitud y la fase de F ().
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Indice
1. La Transformada de Fourier. 1
1.1. Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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