Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACETdL

CARLOS ZEPITA

UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANA SAN PABLO

Pierre-Simon Laplace; (28/03/1749 - París; 5/03/1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplacey la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal.


SOBRE EL DETERMINISMO CAUSAL

• “Todo acontecimiento físico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, están causalmente determinados por la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual determina en algún sentido el futuro”.

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinismo


LA TdL EN EL ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS

• Se usa para descomponer una señal (o sistema) en la suma de exponenciales complejos (eigenfunciones).

• Como la salida de una eigenfunción es fácil de determinar, la TdL puede ser utilizada para determinar la salida de prácticamente cualquier entrada.


¿QUÉ ES LA TdL?

• Es una función de f definida por:

• Es una operación matemática que sirve para expresar prácticamente cualquier señal TC como la suma de exponenciales complejos de la forma:


𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝐾𝑒𝑠𝑡

• TRANSFORMADA

• TRANSFORMADA INVERSA

• f(t) es la suma de un “infinito” numero de exponenciales complejos apropiados: 𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠).

TRANSFORMADA/TRANSFORMADA INVERSA


𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞


𝑓(𝑡) = ℒ−1 𝐹(𝑠) =1

2𝜋𝑖

𝛾−𝑗∞

𝛾+𝑗∞

𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠)𝑑𝑠

SOBRE LA TRANSFORMADA INVERSA

• El contorno de la integral inversa es una línea paralela al eje imaginario (𝑗𝜔) para cualquier valor de 𝜎 en la región de convergencia de la transformada.


TRANSFORMADA UNILATERAL Y BILATERAL

• UNILATERAL

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞


• BILATERAL

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

−∞

∞


• La diferencia son los limites de integración.


¿CUÁL DE ELLAS SE UTILIZA?• Al diseñar en el mundo “real” (ej. sistemas de

control) casi siempre se utiliza la transformada unilateral: NO EXISTE el tiempo negativo.

• En “teoría” y los “procesadores de señales en tiempo no real” se utiliza la forma bilateral por sus propiedades matemáticas.

• Para considerar señales reales (comienzan a existir desde 𝑡 = 0) en el “mundo bilateral” se acostumbra usar la función paso unitario:

𝑥 𝑡 𝑢(𝑡)

CUIDADO CON LA FUNCIÓN PASO UNITARIO

• Olvidar 𝑢(𝑡) es un error común.

• Una señal (o sistema) de la forma: 𝑒𝑠𝑡 esta compuesta de una frecuencia compleja “simple”, mientras que: 𝑒𝑠𝑡𝑢(𝑡) esta compuesta de muchas frecuencias (vea TdF).

• La diferencia significativa en la T unilateral y la bilateral es la forma de tratar las condiciones iniciales.


REGIÓN DE CONVERGENCIAROC

• Se define como el conjunto de valores de 𝑠para los que la integral de la TdL puede ser evaluada.

• EJEMPLO, hallar la TdL y el ROC𝑥 𝑡 = 𝑒2𝑡𝑢 𝑡

𝑋 𝑠 =

−∞

∞

𝑒2𝑡𝑢 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

=

0

∞

𝑒 2−𝑠 𝑡𝑑𝑡

= 1

2 − 𝑠𝑒 2−𝑠 𝑡

0

∞

Como: 𝑙𝑖𝑚

𝑡 → +∞𝑒 2−𝑠 𝑡 = 0

𝑋 𝑠 =1

𝑠 − 2𝑠 − 2 > 0 → 𝑠 > 2


𝑅𝑒 𝑠 > 2

REGLAS DEL ROC

• Hay varias reglas para determinar el ROC sin desarrollar la operación de integración (ni las desigualdades), sólo se necesita conocer el tipo de señal y la localización de los polos de la transformada.


TIPOS DE SEÑALES

• Señal de lado izq.: comienza en un lugar termina en −∞

• Señal de lado der.: comienza en un lugar termina en +∞

• Señal de ambos lados: comienza en −∞ y termina en +∞

• Señal de duración finita: comienza en un punto termina en otro punto


LA REGLAS DEL ROC

• La ROC siempre es:

– Una región del plano 𝑠 a la izq. o der. del eje vertical.

– o el espacio entre dos líneas verticales.

• Nunca tiene un polo.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado der. entonces la ROC es de lado der.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado izq. entonces la ROC es de lado izq.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de ambos lados (o la suma de una señal de lado izq. y otra de lado der.) entonces la ROC es un intervalo siempre que las ROC no se sobrepongan, produciendo una anulación mutua.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de duración finita, la ROC es el plano 𝑠 entero.


PROPIEDADES DE LA TdL BILATERAL

PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL

LA UNILATERAL CONSIDERA

CONDICIONES INCIALES

PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL

TABLA DE TdL BILATERAL

TABLA DE TdL UNILATERAL

TRANSFORMADA INVERSA

• Para recuperar 𝑥(𝑡) a partir de 𝑋(𝑠) puede utilizar la integral:

𝑥(𝑡) = ℒ−1 𝑋(𝑠) =1

2𝜋𝑗

𝛾−𝑗∞

𝛾+𝑗∞

𝑒𝑠𝑡𝑋(𝑠)𝑑𝑠

• NO utilice esta integral, manipule 𝑋(𝑠) hasta que tenga un patrón reconocible de las tablas y propiedades.

• Este es un procedimiento heurístico y se hará más sencillo con la practica.

• Conocer la ROC es muy importante para conseguir la transformada inversa.


TEOREMA DEL VALOR INICIAL Y FINAL

• Dado 𝑋(𝑠) es posible calcular el valor de 𝑥(𝑡 = 0) o 𝑥(𝑡 = ∞) sin tener que realizar la transformada inversa.

VALOR INICIAL: 𝑥 𝑡 = 0 = lim𝑠→∞

𝑠𝑋(𝑠)

VALOR FINAL: 𝑥 𝑡 = ∞ = lim𝑠→0

𝑠𝑋(𝑠)


REFERENCIAS WEB

• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

• http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html


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