Transparencias sobre integrales impropias e integrales dobles
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INTEGRALES IMPROPIAS
• Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una función f acotada y definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b], con ,a b∈ . Ahora generalizamos este concepto.
1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo:
1( ) en [1, )f xx
= ∞
2. Integral de una función no acotada, definida en un
intervalo acotado (Integral impropia de 2ª especie). Ejemplo:
1( ) en (0,1]f xx
=
3. Integral de una función no acotada, definida en un
intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª y 2ª especie). Ejemplo:
1
0 0 1
1ª especie 2ª especie
1 1 1 1( ) en (0, )f x dx dx dxx x x x
∞ ∞= ∞ ⇒ = +∫ ∫ ∫
• Definición: Sea f una función acotada definida en el intervalo [ , ),a a∞ ∈ . Si para todo b>a la función es integrable en [a, b] y además es finito el límite lim ( )
b
abf x dx
→∞< ∞∫ , se dice que existe la integral
impropia de f en [ , )a ∞ y es convergente. Ejemplo:
[ )2
12 2 11 1
1( ) en 1, ;
1 1 1lim lim lim 1 1b b
b b b
f xx
dx dx xx x b
∞ −
→∞ →∞ →∞
= ∞
= = − = − + = ∫ ∫
• Definición: Sea f una función acotada definida en el intervalo ( , ],b b−∞ ∈ . Si para todo a<b la función es integrable en [a, b] y además es finito el límite lim ( )
b
aaf x dx
→−∞< ∞∫ , se dice que existe la integral
impropia de f en ( , ]b−∞ y es convergente. • Definición: Sea f una función acotada definida en el
intervalo ( , )−∞ ∞ . Si para todo a<b la función es integrable en [a, b] y además son finitos los límites lim ( )
b
aaf x dx
→−∞< ∞∫ y lim ( )
b
abf x dx
→∞< ∞∫ , se dice que
existe la integral impropia de f en ( , )−∞ ∞ y es convergente, es decir,
( ) lim ( ) lim ( )c b
a ca bf x dx f x dx f x dx
∞
−∞ →−∞ →∞= + < ∞∫ ∫ ∫
• Observación:
Valor Principal en sentido de Cauchy
Si existe ( ) ( ) lim ( )b
bbf x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞ −→∞⇒ =∫ ∫ ∫
La implicación contraria no se da.
Condiciones para la existencia de la integral impropia de 1ª especie:
a) Condición necesaria: Si existe (converge)
0( )f x dx
∞
∫ , entonces lim ( ) 0x
f x→∞
= . b) Condición necesaria y suficiente: si f es una
función acotada definida en [ , ),a a∞ ∈ e integrable en [a, b] b a∀ ≥ , con función primitiva F tal que lim ( )
bF b k
→∞= < ∞ , entonces
( )a
f x dx∞
∫ es convergente y
( ) ( )a
f x dx k F a∞
= −∫ • Criterios de Comparación: Si f es integrable en el
intervalo [a, b] b a∀ ≥ , g en una función tal que 0 ( ) ( ) [ , )f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ ∞ , y la integral de g en [ , )a ∞ es convergente, entonces la integral f en [ , )a ∞
es convergente y ( ) ( )a a
f x dx g x dx∞ ∞
≤∫ ∫ . Además si la integral f en [ , )a ∞ es no convergente, entonces la integral de g en [ , )a ∞ no es convergente.
Ejemplo:
22
12 2 2 2 22 2
1 es convergente para todo 2 ya que(1 )
1 1 1 1 10 y lim lim .(1 ) 2
x
b b
x b b
dx xx e
dx dx xx e x x x
∞
∞ −
→∞ →∞
≥+
≤ ≤ = = − = +
∫
∫ ∫ Ejemplo:
5 / 31
2 / 3 2 / 3 1/ 35 / 3 5 / 3 11
2 es divergente para todo 1 ya que22 1 1 1 y lim 3 .
2 2 2 2 2b
b
x dx xx
x x x x dx xx x
∞
∞− −
→∞
+≥
+ > = = = ∞
∫
∫
Ejercicio: Estudie para qué valores de α ∈ es
convergente la integral de la función 1( )f xxα
= en el
intervalo [ , ), con 0.a a∞ >
• Integrales impropias de 2ª especie Definición: Sea f una función definida en (a, b] y supóngase que f es integrable en [ , ] 0a bε ε+ ∀ > . Si
existe y es finito el límite 0
lim ( )b
af x dx
εε + +→< ∞∫ , se dice
que existe la integral impropia de f en (a, b] y es convergente. Análogamente:
- La integral de una función f no acotada en el intervalo [a, b) se define como el límite (cuando existe y es finito):
0lim ( )
b
af x dx
ε
ε +
−
→ ∫ .
- Si la función f no está acotada en c∈ [a, b], entonces
se define
0 0( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
b c b c b
a a c a cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
ε
εε ε+ +
−
+→ →= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Teorema: Sea f una función definida en (a, b] que tiene función primitiva F. Entonces si
0lim ( )F a kε
ε+→
+ = se
verifica que ( )b
af x dx∫ es convergente y además
( ) ( )b
af x dx F b k= −∫
Ejercicio: Estudie la convergencia de:
y de:2
( ) ln( ), (0,1]1( ) , [ 2,3]
f x x x
g x xx
= ∈
= ∈ −
• Criterios de comparación: Si la función f es integrable en [ , ] 0,a b a bε ε ε+ ∀ > + < y g es una función tal que 0 ( ) ( ) ( , ],f x g x x a b≤ ≤ ∀ ∈ se tiene que:
a) Si la integral de g es convergente entonces la integral de f es convergente y
( ) ( )
b b
a af x dx g x dx≤∫ ∫
b) Si la integral de f es no convergente entonces la
integral de g es no convergente.
INTEGRALES EULERIANAS
• Definición: Se define la función Gamma de parámetro
p como la integral: 1
0( ) p xp x e dx
∞ − −Γ = ∫ • Proposición: Existencia⇒Si p>0, la integral ( )pΓ es
convergente. Demostración:
( )1
1 1
1
Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).
1) Sea ( ) , definida en (0,1); 1 1entonces como 0 , basta con demostrar
1que es convergente la integral en (0,1) de la función
para 0, para co
x p
x p p
p
f x e x
e x x
xp
− −
− −
−
∞ = ∪ ∞
=
≤ ≤
>
[ ]
1
1
1 0 010
1
0 0
ncluir que también será convergente 1la integral en (0,1) de la función para 0 :
1 , si 01 1 1lim lim1, si 0
lim ln lim ln , si 0
x p
p p
p
pe x
ppx
p p pdx pxx p
ε εε
εε ε
ε
ε
+ +
+ +
−
→ →−
→ →
>
> = − = = −∞ < = − = ∞ =
∫
Por tanto, para p>0 será convergente 1 1
0
x pe x dx− −∫ .
11
2 2
12 2 11 1
1
1
1
0
1 12) Sabemos que [1, ) : 0
1 1 Como lim lim 1,
entonces 0< 1, .
En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es
convergen
pp x
x
b b
b b
p x
p x
xx x e pe x x
dx dx xx x
x e dx p
x e dx
+− −
∞ −
→∞ →∞
∞ − −
∞ − −
∀ ∈ ∞ ≤ = ≤ ∀
= = − =
< ∀
∫ ∫
∫∫
te para 0.p >
• Propiedades:
1) (1) 12) ( ) ( 1) ( 1), 13) Si y 2 ( ) ( 1)!
4) (1/ 2)
p p p pp p p p
π
Γ =Γ = − Γ − >
∈ ≥ ⇒Γ = −
Γ =
• Definición: Se define la función beta de parámetros p
y q como:
1 1 1
0( , ) (1 )p qp q x x dxβ − −= −∫ ,
y es convergente para 0, 0p q> >
• Propiedades:
[ ] [ ]
1 1 1
0
/ 2 2 1 2 1
0
1) ( , ) ( , )2) (1, ) 1/
-13) ( , ) (1 ) = ( 1, 1), 0, 1
( ) ( )4) ( , )( )
5) ( , ) 2 sin( ) cos( ) , , 0
p q
p q
p q q pq q
qp q x x dx p q p qq
p qp qp q
p q d p qπ
β ββ
β β
β
β θ θ θ
− −
− −
==
= − + − ∀ > >
Γ Γ=Γ +
= ∀ >
∫
∫
INTEGRALES DOBLES (apuntes extraídos de Moisés Villena)
Definición
De aquí surge la definición de integral doble:
Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a y igualmente. Hágalo como ejercicio.
Integrales dobles sobre regiones generales:
1) Haciendo un barrido vertical:
2) Haciendo un barrido horizontal:
Ejemplo 4