TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS. CIRCUNFERENCIAS ELIPSE HIPERBOLA PARABOLA.
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TRAZADO GEOMETRICO DE
CONICAS
TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS
CIRCUNFERENCIAS
ELIPSE
HIPERBOLA
PARABOLA
CIRCUNFERENCIASCIRCUNFERENCIAS
TANGENCIASTANGENCIAS
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro
0 TLa tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio)
T
Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros
TANGENCIASTANGENCIAS
ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
R
O1
O2
rR+r
ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
O1O2
rR
R-r
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMATANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA
T
A B
0
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO
TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO
A
T
BC
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLATANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA
O1
T2
T1
t2
P
O
t1
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
O2
O1
r
T12
T11
T21
T22
R
R-r
t2
t2
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
r
O1
O2
R
R+r
A
B
T21
T22
T12
T11
t1
t2
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO
P
A
R
r
RO1 O2
T1 T2
R
CURVAS CONICASCURVAS CONICASCurvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica
β = 90º
α = β
α < β
α > β
ELIPSEELIPSE
- Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b).
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor.- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a
A
C
B
D
F F'
a
c
b
r'
N
M
ar
ELIPSEELIPSE
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor.
- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor.
- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c)
- Se cumple que a2= b2+ c2
- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES
ELIPSEELIPSE
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES
A B
C
D
F F’G
a
GBGA
M
N
A B
C
D
4 3 2 1
1
2
3
4
O
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDADCONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD
ELIPSEELIPSE
A B
C
D
E
G H
O
TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA
TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA
ELIPSEELIPSE
F’F
Pt
TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR
TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR
P
F F’
2a
PFI
G
H J
HIPERBOLAHIPERBOLA
- Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes,
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a )- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a
F F’V1V2
A B
rr’O
2a
2c
HIPERBOLAHIPERBOLA
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a.
- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a.
- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real
- Se cumple que c2= b2+ a2
- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1
HIPERBOLAHIPERBOLA
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.
- Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O
- Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.
CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOSCONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS
HIPERBOLAHIPERBOLA
F
F’V1
V2 ABO
r’=V2A
r =V1A
r’=V2A
r =V1A
r =V1B r =V1B
r =V2B r =V2B
TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA
TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA
ELIPSEELIPSE
TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
FV1
F’V2
V1 V2
IP
tO
P
F V1
OF’V2
I
J
K
L
PF’V1 V1
PARABOLAPARABOLA
- Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje.
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz
V F
d
r
r
CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZCONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ
HIPERBOLAHIPERBOLA
O V
F
A
d
AO