Triangulo
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
SAN FERNANDO ESTADO APURE
1
Profesor: Participantes:
San Fernando, Enero 2013
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
3
Triangulo y clasificación 4
Elementos de un triangulo y teoremas 5
Ángulos y clasificación 6
Bisectriz y propiedades 8
Ángulos exteriores de un triangulo 10
semejanzas de triángulos 11
Congruencia de triángulos 12
Teorema del cateto y hipotenusa 12
Desigualdades geométricas 13
CONCLUSIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
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BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
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INTRODUCCIÓN
El triángulo, a pesar de su aparente sencillez, esconde multitud
de resultados interesantes. Además cualquier otro polígono se puede
descomponer en triángulos, por ello todas las propiedades sobre
áreas, ángulos, etc. se trasladan inmediatamente desde el triángulo a
otras figuras más complejas. Igualmente el triángulo es una figura
rígida, por lo que se convierte en una pieza fundamental en la
construcción de diversas estructuras.
El triángulo es el polígono más sencillo, pero no por eso menos
interesante. Alrededor nuestro lo encontramos formando parte de
construcciones, objetos, figuras, etc.
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Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por
tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se
encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de
intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta
determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman
uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos
exteriores, 3 lados y 3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de
polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina
triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie
terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación de los Triángulos
Según sus lados
w Equilátero: tres lados iguales
w Isósceles: dos lados iguales.
w Escaleno: tres lados desiguales.
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Según sus ángulos
w Acutángulo: tres ángulos agudos
w Rectángulo: un ángulo recto
w Obtusángulo: un ángulo obtuso
Elementos de un triángulo
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en
dos partes iguales.
Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un
triángulo. Es el centro de la circunferencia inscripta.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al
mismo en su punto medio.
Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de
un triángulo. Es el centro de la circunferencia
circunscripta.
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y
el lado opuesto.
Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un
triángulo.
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Mediana es el segmento comprendido entre un
vértice y el punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las tres
medianas de un triángulo.
Teoremas
• En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos
iguales.
• En todo triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales.
• Todo triángulo equilátero es equiángulo, y recíprocamente, todo
triángulo equiángulo es equilátero.
• La bisectriz del ángulo desigual en un triángulo isósceles, es a la
vez altura , mediana y mediatriz de la base de dicho triángulo.
Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre
dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado
sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas
(trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se
denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre
dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es
el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su
tamaño aparente.
Las unidades de medida de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano
son:
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Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de
Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como
el goniómetro, el cuadrante, elsextante, la ballestina,
el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación De Ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas
denominaciones:
Tipo Descripción
Ángulo nuloEs el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con
amplitud mayor de 0rad y menor de rad.Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a radEs equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es
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mayor a rad y menor a radMayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano,
extendido o
colinealEl ángulo llano tiene una amplitud de radEquivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuoÁngulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de radEquivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con
un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el
de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1
Tipo Descripción
Ángulo
convexo
o saliente
Es el que mide menos de rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o
más de 0g y menos de 200g centesimales).
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Ángulo
cóncavo,
reflejo o
entrante
Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o
más de 200g y menos de 400g centesimales).
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el
vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma
distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Propiedades
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo.
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices
se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.
En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y
la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En
efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos
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que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo
plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se
cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se
llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia
inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de
los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser
paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura).
Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C).
Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas
(AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C)
y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a
D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia
cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados
del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
TEOREMAS
- Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz, o dicho de otra
manera, todo ángulo tiene una bisectriz.
Ángulos exteriores de un triángulo
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Los ángulos exteriores de un triángulo lo forman un lado y
su prolongación.
El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de
los dos interiores no adyacentes.
Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es
decir, suman 180º.
α = 180º - A
Igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus lados y sus
ángulos homólogos.
Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos
ángulos adyacentes son iguales.
Dos triángulos que tienen iguales dos lados y el ángulo
comprendido son iguales.
Dos triángulos serán iguales si tienen iguales respectivamente los
tres lados.
Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el
ángulo opuesto al mayor de ellos son iguales.
Semejanza De Triangulos
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Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos
correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales,
son semejantes
Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales e iguales los
ángulos comprendidos, son semejantes.
Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales son semejantes.
Congruencia de triángulos
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o
más triángulos presentan ángulos y lado de igual medido o
congruente.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes
tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la
misma medida.
Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación
puede ser escrita matemáticamente así:
En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres
partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para
deducir la congruencia de dos triángulos.
Corolarios de congruencia de triángulos
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Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para
que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los
cuales son:
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los del otro, entonces los
triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Dos lados y un ángulo compredido entre ellos.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos.
Teorema Del Cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a hipotenusa
b y c catetos
m proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n proyección del cateto c sobre la hipotenusa
La Hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo
rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la
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hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras, si se
conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos. La
hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de
un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
Desigualdades Geometricas
Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está
hablando de sus medidas.
Propiedades De Las Desigualdades
Tricotomia
x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos:
1) x < y
2) x = y
3) x > y
Propiedad Transitiva
Si x < y y < z entonces x < z
Propiedad Aditiva
a) Si x < y entonces x + c < y + c
b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b
Propiedad Multiplicativa
Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c
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CONCLUSIÓN
Se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto,
es decir, mide 90º (grados sexagesimales). Los triángulos
rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes
entre sus lados, los lados de un triángulo rectángulo que forman el
ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al
ángulo recto) es la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la
hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Algunas funciones
fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para
después ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones
Trigonométricas, es necesario dejar claro que es importante ya que
forma parte de las matemáticas y que es fundamental en el desarrollo
de algunas operaciones de cálculos para así obtener los resultados de
los objetivos trazados.
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BIBLIOGRAFÍA
Consulta por internet:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://www.vitutor.com/geo/eso/el_7.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
http://www.ditutor.com/geometria/angulo_exterior3.html
http://www.matetam.com/glosario/definicion/angulo-externo-un-
triangulo
http://html.rincondelvago.com/geometria-clasica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr
%C3%ADa)#Congruencia_de_tri.C3.A1ngulos
http://www.vitutor.com/geo/eso/s_6.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo
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