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Prof. Micaela Uribe C.

La palabra Trigonometría proviene de tres palabras griegas

que significan “tres – ángulos – medida” que indican las

medidas de un triángulo.

Se dice que los elementos o fuentes de donde surge la

Trigonometría son las sombras y las cuerdas de arco. La

observación de sombras proyectadas por postes y árboles condujo

al estudio de los triángulos semejantes.

No fue sino hasta el siglo XVI cuando varios matemáticos

empezaron a forjar la poderosa herramienta de la trigonometría

con la cual innumerables problemas de matemáticas, pudieron

resolverse de modo fácil, rápido y preciso. Al desarrollar tal

herramienta, combinaron las medidas de cuerdas, ángulos y

arcos con la forma generalizada de los cálculos conocidos como

algebraicos.

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la

composición de las palabras griegas trígono: triángulo y

metrón: medida trigonometría: “Medida de los triángulos”.

Se considera a Hiparco (180 – 125 a.C.) como el padre de la

Trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas

de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

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DEFINICIÓN:

Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, que gira

alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial (OA)

hasta una posición final (OB) en un mismo plano.

ELEMENTOS DEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Reconocemos los elementos:

(OA) ________________________

(OA) ________________________

O ________________________

Φ ________________________

TIPOS DE ROTACIÓN

Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación:

Sentido Antihorario Sentido Horario

NOTA:

Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será

positivo

es positivo

O

A

B

Lado Final

Lado Inicial

Vértice

O

O Vértice

Lado Final

Lado Inicial

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Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.

es negativo

OBSERVACIONES

1. Ángulo de una vuelta

Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final

coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos

como: 1v.

2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la

geometría.

Medida del ángulo trigonométrico < -; +>

3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden

realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido

de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de

sentido.

1v

V2

1

O

G

O A

B

O A

-

Cambio de

Sentido Cambio de Signo

V4

1

V4

3

4

1) Calcule a del gráfico mostrado.

a) 100º b) -100º c) 120º d) -120º e) 130º

2) Señale la relación correcta entre y .

a) + = 90º b) - = 90º c) + = -90º d) + = 0 e) - = 90º

3) Del gráfico determine x.

a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 35º

x + 50º

10º - x

120º

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4) Del gráfico mostrado: Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. O es el vértice del ángulo AOB

II. f es la medida del ángulo AOB

III. lado final del ángulo AOB

a) VVV b) VVF c) VFF d) VFV e) FFF

5) Calcule «X» del gráfico mostrado.

a) -50° b) -100° c) -200° d) -180° e) -90°

6) Halla el valor de «X» del gráfico mostrado.

a) 2

º90

b)

2º90

c)

2º180

d)

2º180

e)

2º270

B

A

O

(x + 40)º (20 – x)º

x

-x

6

7) Del gráfico hallar “x”

a) 15º b) 35º c) 55º d) 30º e) 60º

8) Del gráfico señale lo correcto:

a) + = 90º b) + = 180º c) - = 90º d) - = 180º e) + = -90º

9) Del siguiente gráfico hallar “x”

a) 31º b) 51º c) 62º d) 60º e) 61º

30º- x x + 10º

(x + 3)º (9 – 2x)º

7

1) Del gráfico hallar “x”

a) - 10º b) - 20º c) - 30º d) - 40º e) - 50º

2) Del gráfico señale lo correcto:

a) 10 ° b) 30° c) – 30° d) 15° e) – 10°

3) Del siguiente gráfico hallar “x”

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e)50º

(2x - 10)º (50 – 4x)º

(25 + x)º (7x - 35)º

3x + 30 30 – 6x

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4) Del gráfico hallar “x”

a) 90º - -β b) 90º + -β c) 180º - +β d) 180º + +β e) 180º + -β

5) Del gráfico señale lo correcto:

a) 18° b) 22° c) 26° d) 30° e) 34°

6) Del siguiente gráfico hallar “x”

a) 10º b) 15º c) 25º d) 35º e) 45º

x β

20 +3x 5 + x

15-x

-x 40

x

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Sistema Sexagesimal:

Es aquel sistema que tiene como unidad al grado

sexagesimal, el cual se define como la 360 ava parte del

ángulo de una vuelta.

Las subunidades del grado sexagesimal son:

• El minuto sexagesimal: 1’

• El segundo sexagesimal: 1’’

Sus equivalencias son:

1° = 60’

1’ = 60’’

1° = 3600’’

Sistema Radial:

Es aquel sistema cuya unidad es el radian, el cual se define

como:

“El ángulo central de una circunferencia que subtiende

un arco cuya longitud es igual a la longitud del radio.”

m 1 vuelta = 2 rad

El Ángulo de una vuelta m ide 360º

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1. Convierte a minutos:

a) 3° =.............................................................................

b) 6° =..............................................................................

c) 7° =..............................................................................

d) 18°=..............................................................................

e) 15°=..............................................................................

2. Convierte a segundos:

a) 20’ =............................................................................

b) 10’ =.............................................................................

c) 32’ =............................................................................

d) 54’ =.............................................................................

e) 100’ =.............................................................................

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3. Convierte a minutos:

a) 1° 10’ =...........................................................................

b) 2° 10’ =..........................................................................

c) 3° 20’ =........................................................................

d) 7° 12’ =..........................................................................

e) 5° 21’ =........................................................................

4. Convierte a grados:

a) 2400’ =..............................................................................

b) 7200’ =..............................................................................

c) 3600’=................................................................................

b) 1200’ =..............................................................................

c) 4500’=................................................................................

5. Si a = 30’ b = 2° / Calcular: a + b

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

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1. Convierte a minutos:

a) 35° =.............................................................................

b) 4° =..............................................................................

c) 21° =..............................................................................

2. Convierte a segundos:

f) 19’ =............................................................................

g) 25’ =.............................................................................

h) 43’ =............................................................................

3. Convierte a minutos:

a) 5° 15’ =...........................................................................

b) 6° 20’ =..........................................................................

c) 10° 10’ =........................................................................

4. Convierte a grados:

a) 2800’ =..............................................................................

b) 5600’ =..............................................................................

c) 4400’=................................................................................

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CONVERSIÓN DE UNIDADES

La relación entre el sistema sexagesimal y radial es:

Simplificando tenemos:

Ejemplos:

1. Convertir 45° a radianes: Utilizas la fórmula 1

2. Convertir a grados sexagesimales: Utilizas la fórmula

S = 36°

Convertir 90° a radianes

S R

360 2 rad

S R

180 rad

S R

180 rad

S R

180 rad

radS 5

180 rad

180

S

36

5

rad

rad

45 R 45R

180 rad

1

rad

180

4

rad4

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2π rad a grados sexagesimales

Convertir 216° a radianes

π/6 rad a grados sexagesimales

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Convertir 270° a radianes

π/10 rad a grados sexagesimales

Convertir 36° a radianes

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4 π rad a grados sexagesimales

Convertir 120° a radianes

8 π rad a grados sexagesimales

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I. Determinar las siguientes equivalencias:

1. 180° <> _______________________ radianes

2. 360° <> _______________________ radianes

3. 270° <> _______________________ radianes

4. 720° <> _______________________ radianes

5. 45° <> _______________________ radianes

6. 90° <> _______________________ radianes

II. Realizar las siguientes conversiones:

π/3 rad a grados sexagesimales

π/18 rad a grados sexagesimales

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Convertir 210° a radianes

Convertir 45° a radianes

6 π rad a grados sexagesimales