Trigonometria
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TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY
Ing. E. Sergio Vázquez Castaño
Objetivo General: Proporcionar a los estudiantes de la carrera, los conocimientos matemáticos básicos y fundamentales necesarios para comprender, analizar y aplicar los conceptos, métodos y procedimientos de las materias consecuentes, que le permitan analizar y resolver problemas relacionados con la Trigonometría Plana y esférica.
Temario
1. TRIGONOMETRÍA PLANA.
1.1 Funciones trigonométricas.
1.1.1 Ángulos.
1.1.2 Triángulos rectángulos.
1.1.3 Funciones trigonométricas.
1.1.4 Identidades.
1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas.
1.2 Trigonometría analítica.
1.2.1 Ecuaciones trigonométricas.
1.2.2 Suma y diferencia de dos ángulos.
1.2.3 Múltiplos de un ángulo.
1.2.4 Producto y factorización.
1.2.5 Funciones trigonométricas inversas.
1.3 Aplicaciones.
1.3.1 Ley de los senos.
1.3.2 Ley de los cosenos.
1.3.3 Forma trigonométrica para números complejos.
1.3.4 Teorema de Moivre y raíces N-ésimas de números complejos.
1.3.5 Vectores.
2. TRIGONOMETRÍA ESFERICA.
2.1 Geometría del espacio.
2.2 Triángulos esféricos rectángulos.
2.3 Resolución de triángulos esféricos rectángulos.
2.4 Triángulos esféricos oblicuángulos.
2.5 Resoluciones normales de triángulos esféricos oblicuángulos.
2.6 Resoluciones alternas de triángulos esféricos oblicuángulos.
TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY
Ing. E. Sergio Vázquez Castaño
3. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
3.1 Rectas.
3.2 Propiedades de las rectas.
3.3 Circunferencia.
3.4 Secciones cónicas.
3.4.1 Parábola.
3.4.2 Elipse.
3.4.2 Hipérbola.
Bibliografía
Tipo Título Autor Editorial Año
1 Texto Álgebra y
Trigonometría con
Geometría Analítica
Earl W. Swokowski Grupo Editorial
Iberoamérica 1988
2 Consulta Trigonometría
Moderna
Kaj L. Nielsen CECSA 1973
3 Consulta Trigonometría Plana y
Esférica
Frank Ayres Jr. Mc Graw Hill 1980
TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY
Ing. E. Sergio Vázquez Castaño
1. TRIGONOMETRÍA PLANA / PLANE TRIGONOMETRY.
La trigonometría fue inventada hace más de 2000 años por los griegos, quienes necesitaban
métodos preciosos para medir ángulos y lados de triángulos. De hacho, la palabra trigonometría
se deriva de las palabras griegas trigonon (triángulo) y metria (medición). La trigonometría es
la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los
triángulos.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y
astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la
Trigonometría.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y
desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separó de la Astronomía para
convertirse en una rama independiente que forma parte de las matemáticas.
1.1 Funciones trigonométricas.
1.1.1 Ángulos.
En trigonometría, con frecuencia se interpretan los ángulos como rotaciones de líneas.
Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un
ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje
x positivo. Si el lado inicial se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas de un
reloj hasta la posición terminal, el ángulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en
dirección de las manecillas, el ángulo es negativo.
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Ing. E. Sergio Vázquez Castaño
Ángulos complementarios y suplementarios
Two positive angle α and β are complementary (complements of aech other) if their sum is π/2.
Two positive angles are supplementary (supplements of each other) if their sum is π.
Ángulos coterminales /Coterminals angles
Se dice que dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado inicial y
el mismo lado terminal, pero diferentes giros.
Algunas veces es necesario determinar una expresión que genere todos los ángulos coterminales
con un ángulo dado. Por ejemplo, se puede obtener cualquier ángulo coterminal con 60°
sumando un múltiplo entero apropiado de 360° a 60°. Sea que n represente cualquier entero;
entonces la expresión
60° + n ∙ 360°
Representa todos los ángulos coterminales. La tabla muestra algunas posibilidades.
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Grados (sistema sexagesimal)
El ángulo formado al girar el lado inicial exactamente una vez en dirección contraria a las
manecillas del reloj hasta que coincide consigo mismo (1 vuelta), se dice que mide 360 grados,
abreviado 360°
Nota: Los babilonios fueron los primeros en subdividir la circunferencia del círculo en 360 partes, hay varias teorías
de por qué se eligió el numero 360. Una de ellas afirma que es aproximadamente el número de días en un año, y este
número tiene varios divisores, gracias a lo cual resulta conveniente trabajar con él. Otra rebuscada teoría versa sobre
la longitud de una milla babilónica.
Radianes /Radians
La medida en radianes de un ángulo se obtiene al asignar a un ángulo en sentido positivo cuya
longitud de arco es igual al radio de la circunferencia, el número 1 radián (rad); a las particiones
posibles de la vuelta, el número proporcional teniendo en cuenta que un ángulo central al dar una
vuelta completa, determina un arco de longitud 2πr.
Por lo anterior, la medida en radianes del ángulo de una vuelta es donde
obtenemos las equivalencias 2π rad ↔ 360° ↔ 1 vuelta o revolución.
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Notación
El símbolo rad indica que una cantidad está expresada en radianes: 3π rad = 3π radianes.
De todas formas, cuando no se añade ningún símbolo a la medida de un ángulo es porque está
expresado en radianes.
Equivalencias o conversiones
Grados centesimales
La circunferencia se puede dividir en 400 partes iguales luego podemos establecer otra unidad de
medida llamada grados centesimales. Los grados centesimales corresponden a una unidad de
medida en base 10. Es decir un grado centesimal es igual a 10 décimos y un décimo es igual a 10
céntimos. En esta unidad de medida, que notamos con un super cero y una C.
La circunferencia mide 400°C grados centesimales.
Una semiciercunferencia mide 200°C grados centesimales.
Un ángulo recto mide 100°C
Un ángulo α es agudo si su medida en grados centesimales está entre 0 < α < 100°C.
Un ángulo β es obtuso si su medida en grados centesimales está entre 100°C < β < 200°C.
Dos ángulos α y β son complementarios si su suma mide α + β = 100°C.
Dos ángulos α y β son suplementarios si su suma es igual a α + β = 200°C.
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Podemos establecer las siguientes relaciones:
1.1.2 Triángulos rectángulos./ Right triangle
Un triángulo en el que un ángulo es recto (90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde que el
lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa y los otros dos lados son los catetos del
triángulo. En la siguiente figura, se han marcado la hipotenusa como c, para indicar que su
longitud es c unidades y, de una manera parecida, se han marcado los catetos como a y b. Ya que
el triángulo es un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras nos dice que
a2 + b
2 = c
2
1.1.3 Funciones trigonométricas.
Llamando a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto
opuesto (b) y cateto adyacentes (a), como se indica en la siguiente figura, se puede expresar las
funciones trigonométricas de θ como las razones de los lados de un triángulo rectángulo:
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En una situación en la cual dos observadores A y B estén situados de tal manera que B se
encuentre arriba del nivel de visión de A, a menudo nos referiremos al ángulo de elevación o al
ángulo de depresión, como se indica en la siguiente figura:
1.1.4 Identidades.
Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la variable.
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Nota: Es costumbre escribir sen2
θ en lugar de (sen θ)2, cos
2 θ en lugar de (cos θ)
2, etcétera.
1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
Para ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas de manera que incluyan ángulos
que no son agudos, se emplea un sistema de coordenadas rectangulares y se coloca el ángulo en
la posición estándar, de modo que su vértice esté en el origen y su lado inicial en el lado positivo
del eje x.
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1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas.
Funciones seno y coseno
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Amplitud / Amplitude
Periodo / Period
Traslación horizontal / Horizontal translation
Traslacion vertical / Vertical translation