ResumenEn este artculo se evala la precisin en el clculo analtico y numrico de la inductancia del ncleo del

transformador para anlisis de transitorios electromagnticos

rpidos. Se comparan los resultados obtenidos a diferentes

frecuencias con dos enfoques utilizados en el mtodo de elemento

finito (MEF): enlaces de flujo y energa magntica. Las

simulaciones muestran que ambos enfoques resultan en valores

muy similares en bajas frecuencias, pero difieren

considerablemente en altas frecuencias. Adicionalmente, se

evalan los resultados al aplicar distintas frmulas analticas y se

propone una nueva frmula que demuestra tener mayor

precisin para un rango completo de frecuencias.

Palabras clave Transitorios electromagnticos, campos

electromagnticos incidentes, lnea iluminada, anlisis transitorio

en el dominio de la frecuencia.

I. INTRODUCCIN

Una de las causas principales de falla en los sistemas de

transmisin y distribucin es la ruptura dielctrica en el

sistema de aislamiento de transformadores. Este tipo de fallas

son causadas principalmente por fenmenos transitorios

rpidos relacionados con el impacto directo o indirecto de

descargas atmosfricas, as como a operaciones de maniobra

de interruptores [1]. Un fenmeno similar se presenta en

transformadores conectados a la salida de convertidores de

tensin con topologas PWM para control de motores [2], [3] o

en sistemas modernos de alta tensin en CD (HVDC) [4],

donde pulsos de tensin con frentes muy rpidos estn

continuamente alimentando el transformador. El sistema de

aislamiento del transformador debe disearse para soportar los

altos esfuerzos dielctricos generados por este tipo de eventos.

El estudio de transitorios electromagnticos rpidos en

transformadores se realiza comnmente mediante tcnicas de

simulacin, las cuales requieren del desarrollo de modelos

matemticos y/o circuitales. Existen 3 opciones bsicas para la

determinacin de los parmetros (R, L y C) requeridos por

este tipo de modelos [5]:

Determinacin experimental mediante pruebas de

laboratorio

Simulacin de campos electromagnticos

Aplicacin de frmulas analticas (empricas o basadas en

geometras simplificadas)

Uno de los parmetros fundamentales para la prediccin

correcta de la respuesta transitoria del transformador es la

inductancia del ncleo. A frecuencia nominal, el flujo

magntico en el ncleo es muy elevado debido a su alta

permeabilidad; sin embargo la penetracin del flujo en el

ncleo decrece rpidamente en las altas frecuencias

relacionadas con un evento transitorio. Por lo tanto, la

inductancia del ncleo es un parmetro inherentemente

dependiente de la frecuencia, lo cual hace que su

determinacin sea complicada.

Por otro lado, debido a la reduccin en la densidad de flujo

magntico en altas frecuencias, el comportamiento del ncleo

puede considerarse como completamente lineal.

En este trabajo se evalan 2 enfoques usados comnmente

en el clculo de la inductancia al aplicar el mtodo del

elemento finito: enlaces de flujo y energa magntica. Los

resultados de ambos enfoques se comparan en un rango

completo de frecuencias.

Adicionalmente, se muestran y comparan diversas opciones

para el clculo analtico de la inductancia del ncleo mediante

frmulas simples.

II. CLCULO DE LA INDUCTANCIA DEL NCLEO MEDIANTE EL

MTODO DE ELEMENTO FINITO

El mtodo del elemento finito es un mtodo numrico para

la solucin de ecuaciones diferenciales parciales mediante la

discretizacin de la regin de solucin en un nmero finito de

elementos y la solucin de un sistema de ecuaciones

algebraicas obtenido a partir de dichos elementos [6]. En el

caso de los problemas electromagnticos, el mtodo de

elemento finito resuelve la forma diferencial del conjunto de

Ecuaciones de Maxwell.

Existen 2 enfoques usados principalmente para el clculo

de inductancia en transformadores al aplicar el mtodo del

elemento finito (MEF):

A travs del flujo magntico que atraviesa la superficie s:

iLd

s

sB (1)

y por medio de la energa magntica Wm almacenada en el

volumen :

Clculo de la Inductancia en el Ncleo del

Transformador Mediante el Mtodo de Elemento

Finito y Formulaciones Analticas

Pablo Gmez, Fermn P. Espino-Corts, Francisco de Len

RVP-AI/2010 TRO-02PONENCIA RECOMENDADA

POR EL COMIT DE TRANSFORMADORES DEL CAPTULO DE POTENCIA DEL IEEE SECCIN MXICO

Y PRESENTADA EN LA REUNIN DE VERANO, RVP-AI2010,

ACAPULCO GRO., DEL 11 AL 17 DE JULIO DEL 2010.

TRO-02 P30

2

2

1iLdW mm

u (2)

donde B es la densidad de flujo magntico, um es la densidad

de energa magntica, L es la inductancia e i es la corriente de

excitacin.

Si se considera una geometra en 2 dimensiones,

correspondiente al corte transversal mostrado en la Fig. 1, la

integral sobre la superficie s se sustituye por una integral sobre

el contorno c por unidad de longitud transversal, mientras que

la integral sobre el volumen se sustituye por una integral

sobre el rea A por unidad de longitud transversal.

Por simplicidad, se considera un transformador con ncleo

slido, es decir, no se toman en cuenta las laminaciones en el

anlisis. Para incluir de forma adecuada el efecto piel en el

ncleo, se calcula una resistividad equivalente; esto es, una

resistividad tal que la penetracin del flujo magntico en el

ncleo slido sea similar a la penetracin del flujo en un

ncleo con laminaciones.

III. CLCULO ANALTICO DE LA INDUCTANCIA DEL NCLEO

EN CORRIENTE DIRECTA Y COMPARACIN CON MEF

Como primer estudio, se realizan simulaciones

magnetostticas para calcular los valores de inductancia del

ncleo en corriente directa, en la cual la penetracin del flujo

en el ncleo es completa.

El elemento bsico en el clculo de parmetros en modelos

para transitorios rpidos es una vuelta del transformador. Para

el arreglo analizado (Fig. 1) se considera la excitacin de la

vuelta 30, lo cual permite observar si la ubicacin del

conductor tiene algn efecto en el clculo.

Los resultados de las simulaciones se comparan con la

solucin analtica. Para ello se supone, como primera

aproximacin, que la densidad del flujo magntico es

constante y est definida (por unidad de longitud transversal)

como:

iB r

0 (3)

donde 0 es la permeabilidad del vaco, r es la permeabilidad

relativa del ncleo y es longitud promedio de la trayectoria de flujo. Aplicando la ley de Faraday (Ec. (1)), la inductancia

por unidad de longitud puede definirse mediante la siguiente

frmula analtica simple:

wL rcd

0 (4)

donde w es el ancho del ncleo. Una dificultad al aplicar la Ec.

(4) es la seleccin correcta de la longitud promedio de la

trayectoria del flujo; la opcin ms lgica es definirla como el

promedio entre el permetro mayor y menor del ncleo, esto

es:

wba 42 (5)

1234567

30

0.0080.030

0.018

0.10

0.3

0

0.10

C1

C2

C3

rea

Fig. 1. Corte transversal del transformador: (a) dimensiones fsicas,

(b) contornos y rea de integracin

donde a y b corresponden al ancho y altura de la ventana

interna del ncleo, respectivamente. Sin embargo, esto no es

necesariamente correcto en forma fsica para un ncleo slido

con un ancho considerable, particularmente en las esquinas.

Otra opcin es considerar las esquinas completamente

redondas en la trayectoria del flujo, de manera que se tenga:

wba 2 (6)

Sustituyendo (5) y (6) en (4), se obtienen las ecuaciones

denominadas en adelante I y II para el clculo de la

inductancia del ncleo en c.d.:

wba

wL rIcd

42

0,

(7a)

wba

wL rIIcd

2

0, (7b)

No obstante, la Fig. 2 muestra que en realidad la

distribucin de la densidad de flujo longitudinal del ncleo no

es constante, como se supuso hasta ahora. Por lo tanto, se

propone una alternativa mediante la definicin de la densidad

de flujo magntico como funcin de su posicin horizontal:

xP

ixB r

0 (8)

donde P(x) es el permetro de la trayectoria de flujo, y se

define como:

xbaxP 42)( (9)

Sustituyendo (9) en (8) e integrando desde 0 hasta w se

obtiene el flujo magntico en el ncleo:

ba

wbai

xba

dxi r

w

r

2ln

442

0

0

0

(10)

Fig. 2. Densidad de flujo magntico longitudinal en el ncleo

Finalmente, la inductancia del ncleo en corriente directa,

definida en adelante como ecuacin III, tiene la siguiente

forma:

ba

wbaL rIIIcd

2ln

4

0,

(11)

Para comparar los resultados de frmulas I, II y III, se

considera la geometra mostrada en la Fig. 1(a). Los

parmetros requeridos para el clculo son:

4000

m 0.1

m 0.3

m 0.1

r

w

b

a

Los valores de inductancia del ncleo obtenidos a partir de

las Ecs. (7a), (7b) y (11) son los siguientes:

Lcd,I = 0.41888 mH/m.

Lcd,II = 0.45115 mH/m.

Lcd,III = 0.50952 mH/m.

En la Tabla I se muestran los resultados de las simulaciones

con elemento finito y su diferencia relativa con respecto a las

3 frmulas analticas. Se consideran 3 contornos diferentes en

el clculo del flujo para la obtencin de la inductancia de

acuerdo a la Ec. (1). Estos contornos se definen como C1, C2

y C3 y se muestran en la Fig. 1(b).

La Tabla I muestra claramente que las aproximaciones en

la longitud media y la suposicin de una densidad de flujo

magntico constante al aplicar las Ecs. (7a) y (7b) provocan

subestimaciones en el clculo. Esto se debe particularmente al

ancho considerable del ncleo slido. La longitud elegida al

aplicar la Ec. (7b) provoca una subestimacin menor, pero an

significativa. Por otro lado, la Ec. (11) no requiere de la

definicin de una longitud media del flujo magntico, y los

resultados con respecto al MEF son muy similares. La Tabla I

permite tambin observar que, para corriente directa, los

resultados del MEF aplicando enlaces de flujo o el mtodo de

energa son prcticamente iguales. Adems, la posicin del

contorno utilizado al aplicar enlaces de flujo no tiene mayor

efecto en el clculo.

Tabla I. Valores de inductancia del ncleo en corriente directa.

Lcd

(mH/m)

Dif. Rel.

(%) I

Dif. Rel.

(%) II

Dif. Rel.

(%) III

Flujos, C1 0.49465 18.08859 9.64125 2.91923

Flujos, C2 0.49091 17.19613 8.81263 3.65293

Flujos, C3 0.49150 17.33763 8.94400 3.53660

Energa 0.49158 17.35536 8.96046 3.52203

IV. CLCULO ANALTICO DE LA INDUCTANCIA DEL NCLEO

EN ALTA FRECUENCIA Y COMPARACIN CON MEF

Como segunda etapa del estudio, se realiza un anlisis

similar al de la Seccin III pero considerando frecuencias

mayores. Debido al efecto piel en el ncleo, la penetracin de

flujo en el ncleo es inversamente proporcional a su

frecuencia para cualquier resistividad del ncleo mayor a cero.

Una forma simple de calcular analticamente la inductancia

como funcin de la frecuencia es mediante una modificacin

de la ecuacin (4) que considere, en lugar del ancho real del

ncleo, w, un ancho ficticio que represente la disminucin de la penetracin de flujo en el ncleo conforme la frecuencia

se incrementa. Aplicando el concepto de profundidad de

penetracin compleja p [7] puede definirse una impedancia del

ncleo, de tal forma que tambin puedan obtenerse las

prdidas del ncleo en alta frecuencia:

rn

jZ 0 (12)

donde:

p

w

j nrtanh

1

0 (13)

En (13), el factor tanh(w/p) evita que la profundidad de

penetracin rebase el ancho del ncleo. Sin embargo, la

seleccin de en este caso es an ms complicada que en c.d. Conforme la frecuencia aumenta, el flujo tiende a concentrarse

en la superficie interna del ncleo disminuyendo la longitud de

la trayectoria del flujo. Para aproximar este fenmeno, se

consideran nuevamente las opciones dadas en (5) y (6), pero

como trminos dependientes de la frecuencia. De lo anterior, y

partiendo de (7a) y (7b), se tienen las formas I y II para el

clculo de la impedancia del ncleo como funcin de la

frecuencia:

42

0,

ba

jZ rIn (14a)

0

,2

r

n II

jZ

a b

(14b)

Partiendo de (11), la forma III se obtiene de manera similar:

ba

bajZ rIIIn

2ln

4

0, (15)

En la Fig. 3 se compara el espectro de frecuencias de la

inductancia del ncleo calculada con las Ecs. (14) y (15),

tomando en cuenta que L = Imag(Z)/j. Los resultados para las frecuencias iniciales corresponden a los mismos valores

que ya se haban obtenido en corriente directa, con las

diferencias sealadas previamente. Sin embargo, se observa

que conforme la frecuencia aumenta los resultados de las tres

frmulas tienden a ser muy similares. De hecho, puede

observarse que todas las frmulas tienden a cero cuando la

profundidad de penetracin tiende a cero.

Los valores de inductancia del ncleo obtenidos a 10 MHz

a partir de las Ecs. (14a), (14b) y (15) son los siguientes:

Ln,I (10Mhz) = 1.82573 uH/m.

Ln,II (10Mhz) = 1.82574 mH/m.

Ln,III (10Mhz) = 1.82574 mH/m.

Las 3 frmulas resultan en valores prcticamente iguales.

En la Tabla II se muestran los resultados de las simulaciones

con elemento finito a 10 MHz y su diferencia relativa respecto

a la frmula analtica I (se omitieron las comparaciones con

las frmulas II y III por ser iguales en este caso).

En la Fig. 4 se muestra la comparacin de los espectros de

frecuencia obtenidos con MEF y la frmula analtica III. Se

observa que los resultados obtenidos a partir de los enlaces de

flujo difieren entre s a altas frecuencias dependiendo del

contorno empleado para la integracin. Esto significa que a

altas frecuencias el flujo magntico obtenido por el MEF no es

totalmente uniforme a lo largo de su trayectoria, como se

muestra en la Fig. 5. Puede observarse adems que ninguno de

los resultados del mtodo de enlaces de flujo se aproxima al

espectro obtenido con el mtodo de energa. Esto se debe a

que el mtodo de enlaces de flujo al aplicarse sobre un

contorno especfico es incapaz de observar (y por lo tanto

reproducir) las disminucin de la trayectoria del flujo con el

incremento en la frecuencia.

Por otro lado, la frmula III resulta en valores muy

similares al mtodo de la energa para el rango completo de

frecuencias, con diferencias menores al 5% en todas las

frecuencias analizadas.

Tabla II. Valores de inductancia del ncleo a 10 MHz.

Ln(10MHz)

(uH/m)

Dif. Rel.

(%) I

Flujos, C1 4.77765 161.68368

Flujos, C2 3.06232 67.73101

Flujos, C3 2.50558 37.23701

Energa 1.90223 4.19011

Fig. 3. Comparacin de frmulas analticas para el clculo de la

inductancia del ncleo

Fig. 4. Comparacin de frmula analtica y MEF

Fig. 5. Densidad de flujo magntico a 10 MHz obtenida con MEF

V. CONCLUSIONES

En este trabajo se evaluaron distintos enfoques analticos y

numricos para el clculo de la inductancia en el ncleo del

transformador.

De acuerdo con los resultados obtenidos por el mtodo de

elemento finito, se mostr que tanto enlaces de flujo como

energa magntica son buenos enfoques para calcular la

inductancia del ncleo a bajas frecuencias. Sin embargo,

conforme la frecuencia aumenta y la penetracin del flujo en

el ncleo disminuye, es indispensable reproducir

correctamente la disminucin de la trayectoria del flujo. Esto

slo es posible mediante el mtodo de energa, ya que ste

emplea valores del ncleo completo, mientras que el mtodo

de enlaces de flujo emplea valores nicamente del contorno de

integracin elegido.

Por otro lado, se mostr que al describir analticamente el

comportamiento del ncleo es importante tomar en cuenta que

la densidad de flujo magntico longitudinal no es totalmente

constante. Esto es particularmente importante en baja

frecuencia al considerar un ncleo slido con resistividad

equivalente al ncleo laminado real. Tomando esto en cuenta,

se obtuvo una ecuacin que considera el comportamiento

variable de la densidad de flujo longitudinal. Se demostr que

dicha frmula tiene mayor precisin para el rango completo de

frecuencias.

REFERENCIAS

[1] A. Greenwood, Electrical Transients in Power Systems. John Wiley & Sons, New York 1991.

[2] G. Scheuer, B. Monsen, K. Rongve, T. O. Ronhovd, T. E. Moen, E. Virtanen, S. Ashmore, Subsea Compact Gas Compression With High-Speed VSDS And Very Long Step-Out Cables, PCIC European Conference on Power Electronics and Aplications, Barcelona Espaa,

26-28 Mayo 2009, pp. 1-11, 2009.

[3] J. Rodrguez, J. Pontt, C. Silva, R. Musalem, P. Newman, S. Fuentes, Resonances and Overvoltages in a Medium Voltage Fan Motor Drive

with Long Cables in a Underground Mine, IEEE Trans. on Industry Applications , pp. 1101-1107, 2004.

[4] K. Raja, F. Devaux, and S. Lelaidier, Influence of Voltage Sourced Converter Waveforms on the Dielectric Strength of Transformer

Insulation, International Conference on Power Systems Transients, IPST 2003 in New Orleans, USA, pp. 1-6, 2003.

[5] F. de Len, P. Gmez, J.A. Martinez-Velasco, and M. Rioual, Cap. 4, Transformers en Power System Transients: Parameter Determination (Editado por J.A. Martinez-Velasco), CRC Press, Boca Raton FL, 2009,

pp. 177-250.

[6] M. N. O. Sadiku, A simple introduction to finite element analysis of electromagnetic problems, IEEE Trans. on Education, Vol. 32, No. 2, pp. 85-93, 1989.

[7] A. Deri, G. Tevan, A. Semplyen, A. Castanheira, The complex ground return plane, a simplified model for homogenous and multi-layer earth return, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, No. 8, 1981 pp. 368693

BIOGRAFAS

Pablo Gmez naci en Zapopan, Jal., Mxico, en 1979. Recibi su ttulo

de Ingeniero Mecnico Electricista de la Universidad Autnoma de Coahuila, Mxico, en 1999. Recibi los ttulos de Maestro en Ciencias y Doctor en

Ciencias en Ingeniera Elctrica del CINVESTAV, Unidad Guadalajara,

Mxico,en 2002 y 2005, respectivamente. Desde el 2005, es Profesor de tiempo completo en el Departamento de Ingeniera Elctrica de la SEPI-

ESIME Zacatenco, Instituto Politcnico Nacional, Mxico D.F, Mxico.

Actualmente realiza una estancia de investigacin Posdoctoral en el Instituto

Politcnico de la Universidad de Nueva York (Polytechnic Institute of New

York University), Brooklyn, NY, EUA. Sus reas de investigacin principales

son el modelado y la simulacin para anlisis de transitorios electromagnticos y compatibilidad electromagntica.

Fermn P. Espino Corts naci en Zimapn, Hgo, Mxico, en 1969. Recibi su ttulo de Ingeniero Electricista de la Universidad Autnoma

Metropolitana Azcapotzalco DF, Mxico, en 1995. Recibi su ttulo de

Maestro en Ciencias en Ingeniera Elctrica de la SEPI ESIME-ZAC del Instituto Politcnico Nacional, Mxico, en 1998 y su ttulo de Doctor en

Ciencias en Ingeniera Elctrica de la Universidad de Waterloo, Canad, en el

2006. Desde el 1998, es profesor de tiempo completo en la ESIME Zacatenco y desde el 2007 profesor en el Departamento de Ingeniera Elctrica de la

SEPI-ESIME Zacatenco, Instituto Politcnico Nacional, Mxico D.F, Mxico.

Sus reas de investigacin principales son en sistemas de aislamiento en mquinas elctricas, la aplicacin de energa pulsada en diferentes procesos

industriales y el modelado de dispositivos de alta tensin.

Francisco de Len naci en la Ciudad de Mxico en 1959. Recibi sus ttulos

de Ingeniero Electricista y Maestro en Ciencias en Ingeniera Elctrica del

Instituto Politcnico Nacional, Mxico, en 1983 y 1986, respectivamente, y su ttulo de Doctor en Ciencias en Ingeniera Elctrica de la Universidad de

Toronto, Canad, en 1992. Actualmente es Profesor Asociado en el Instituto

Politcnico de la Universidad de Nueva York (Polytechnic Institute of New York University), Brooklyn, NY, EUA. Sus reas de investigacin incluyen el

anlisis de definiciones de potencia bajo condiciones no senoidales, el anlisis

transitorio y de estado estable de sistemas de potencia, el dimensionamiento trmico de cables y el clculo de campos electromagnticos aplicado al diseo

y modelado de mquinas.