DISTRIBUCION T¨STUDENT

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Definición

T’Student es una distribución de probabilidad que surge cuando se desea estimar la media de una población normalmente distribuida pero el tamaño de la muestra es pequeño, es decir ≤ 30.

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Historia

La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Quien trabajaba en una fábrica de cerveza, Guiness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. Por esta razón Gosset publicó los resultados de sus investigaciones bajo el seudónimo de Student.

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Características de la Distribución T’Student

Es una distribución continua.

La distribución T tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende de - a + .

Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribución T tiende a 1.

Existe una familia de distribuciones T que comparten una media de cero pero con desviaciones estándar diferentes

.    

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La distribución T es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar.

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¿Qué son los Grados de libertad ?Existe una distribución T para cada

tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.

Entonces los grados de libertad de definen como el número de valores que se pueden elegir libremente.

Dentro de una muestra para distribución T’Student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: GL= n – 1

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Tabla de distribución T’Student

La tabla de distribución T es más compacta que z y muestra las áreas y valores de T para unos cuantos porcentajes.

La t´ Student mide la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza.

El empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando y determinar el valor de la probabilidad, así:

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Distribución de la media muestralLa distribución muestral de medias

con desviación típica desconocida y n<30.Cuando no se conoce la desviación típica se simboliza (S).

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Ejemplo Un fabricante desea hacer público, a fin de aumentar sus ventas, que el contenido de nicotina de sus cigarrillos tiene un promedio inferior a los 22 mg. Una oficina gubernamental de salud y del medio ambiente, realiza un análisis de 10 cigarrillos y obtiene los contenidos de nicotina para cada uno, así:

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10, 24, 18, 16, 22, 23, 20, 20, 24, 16α = 0.05¿tiene justificación lo aseverado por

el fabricante ?

Solución:H 0 : μ=22

H 1: μ<22

n=10

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Gl= 9

No se acepta la hipótesis nula, es decir que no hay justificación a un nivel 5%, aceptar lo aseverado por el fabricante.

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03.2

1019.4

223.19 tc

Intervalos de confianza

Los límites de confianza son los ts y ti , forman los extremos superiores o inferiores respectivamente del intervalo de confianza, con respecto al valor puntual.

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Ejemplo

Una muestra de 26 observaciones tiene una media de 65 y una desviación de 4,28. se piden hallar límites de confianza del 95%.

Solución:

S= 4,28

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α= 0.05

μ inferior =63.5

μ superior =66,43

16

)839.0(7081.165

26

28.4708.165

Prueba de Hipótesis para una proporción

En muestras pequeñas se aplica el mismo procedimiento que las muestras grandes, pero con la diferencia que se hace con la distribución de t’Student.

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Ejemplo El distribuidor de una maquinaria, afirma que el máximo de elementos defectuosos por hora que presenta su funcionamiento es del 3%. En una determinada hora, se toman como muestra 20 artículos producidos, lo que a su vez son sometidos a control, encontrando un artículo defectuoso. ¿Al nivel del 5%, se podrá decir que el porcentaje de defectuosos es superior al señalado por el distribuidor?

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Solución P= 3% α= 0.05 n=20 gl=19

H 0 :P≤0.03

H a : P>0.03

No se puede concluir que el porcentaje sea superior al señalado por el distribuidor al nivel del 5%

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Prueba para diferencia de dos proporciones

En la aplicación de estas distribuciones en muestras pequeñas se sigue el mismo procedimiento utilizando para las muestras grandes.

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Ejemplo En una muestra probabilística de 12 clientes de Bancolombia, el 20% indicó preferencia por las transacciones por internet. Con posterioridad a una campaña intensiva del banco, se seleccionó una nueva muestra entre clientes del mismo tamaño y clase social. En esta muestra el 22% indicó preferencia por las transacciones por internet. De acuerdo con estos resultados y a un nivel de 5%, ¿podría rechazarse la hipótesis de que la publicidad del banco no fue efectiva?

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Solución n 1 = 12 n 2= 12 p 1 =0.20 p 2 = 0.22 α= 0,05

H 0 : μ p1 = μ p2

H a : μ p1 < μ p2

=

Se ubica -0.115 en la zona de aceptación al nivel de 5%, se puede rechazar la hipótesis de que la publicidad del banco no fue efectiva.

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En la tabla buscamos y da0.5970 que seria zona de rechazo

Prueba T para grupos independientes

En tales pruebas se exige una serie de requisitos para aplicarlas como estadística de prueba: Las observaciones sean independientes. Las varianzas de los grupos deben ser homogéneas. Las observaciones se deben efectuar en universos distribuidos normalmente.

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Las mediciones se deben elaborar en una escala de intervalo, entendiendo que una escala de intervalo exige que puedan efectuarse todas las operaciones aritméticas admisibles.

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Los grados de libertad para las distribuciones de medidas independientes son:

Considerando que n1 es el tamaño de la muestra del grupo 1 y n2 de la muestra del grupo2, los dos son menores o iguales a 30.

221 nngl

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Ejemplo:Los puntajes obtenidos en una

prueba de rendimiento hecha con trabajadores que participan en actividades de la empresa, al que llamaremos grupo1, y trabajadores que no participan en las actividades empresariales, grupo2, son los siguientes:

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Grupo 152 72 73 64 48 52 57

46 66 61 46 65 62 47

51 53 49 47 73 61 53

60 62 43 46 75 64 68

Donde

Donde

Grupo 2

42 58 35 51 51 47 35

61 31 32 47 60 29 35

28 14 64 37 65 60 48

37 43 45 58 18 39 41

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¿Existe evidencia suficiente de que el rendimiento de los empleados de estos dos grupos es diferente con un nivel de significación de 0,05?

Solución:

Grupo 1 Grupo 2

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Grado de libertad: n1 + n2 – 2Gl= 28+28-2Gl=54

Decisión.

Como el valor de t= 4,614 se ubica en la zona de rechazo, quiere decir que si es diferente el rendimiento de los dos grupos, a nivel del 5%

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Prueba T para medias repetidas En este tipo de análisis el interés se centra

en las diferencias que se observan en un mismo sujeto entre un momento y otro.

Por este motivo resulta intuitivo trabajar con la diferencia de ambas observaciones.

Con la prueba T se comparan las medias y las desviaciones estándar de grupo de datos y se determina si entre esos parámetros las diferencias son estadísticamente significativas o si sólo son diferencias aleatorias.

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Donde :

T = valor estadístico del procedimiento.

= Valor promedio o media aritmética de las diferencias entre los momentos antes y después.

Sd = desviación estándar de las diferencias entre los momentos antes y después.

n = tamaño de la muestra.

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La media de las diferencias:

La desviación estándar de las diferencias:

Grados de libertad:

n-1

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Ejemplo

Comparar los niveles de producción de empresas productoras de piezas para motos, antes y después de participar en un concurso de calidad y producción.10 de las empresas que asisten al concurso. Se evaluó el número de producción que reportaban antes y después del entrenamiento.

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Tabla de los jóvenes no asertivos

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sujetos Antes Después1 35 122 28 273 38 144 45 255 32 136 25 207 39 128 52 459 29 10

10 38 22

Solución Hipótesis Ho: X1 ≥ X2

H1: X1 < X2

α = 0.05

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Gl= 10-1=9 α= 0,05

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No se puede concluir que a un nivel de 5%, que antes las empresas eran menos productoras que después de la prueba.

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Bibliografía

MARTINEZ CIRO. Estadística y muestreo. Decimo segunda edición.

WALPOLE, ROLAND. Probability and Statistics for Engineers and Scientists.  Pearson Education.

Cibergrafia.

http://www.ray-design.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=232:t-student-dr&catid=52:pruebaspara&Itemid=61

http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_10.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student#Historia

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GRACIAS

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