Tu pregunta es, Verificar las siguientes identidades ...

Tu pregunta es,

1- Verificar las siguientes identidades trigonométricas,

a. 1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)+

1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)=

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)−𝑠𝑖𝑛4(𝜃)

b. 𝑐𝑡𝑔2(𝜃)𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

c. 1+csc(𝜃)

csc(𝜃)−1=

1+𝑠𝑖𝑛(𝜃)

1−𝑠𝑖𝑛(𝜃)

d. 𝑡𝑎𝑛(𝐴)−𝑡𝑎𝑛(𝐵)

1+𝑡𝑎𝑛(𝐴)𝑡𝑎𝑛(𝐵)=

𝑐𝑡𝑔(𝐵)−𝑐𝑡𝑔(𝐴)

1+𝑐𝑡𝑔(𝐴)𝑐𝑡𝑔(𝐵)

e. 𝑐𝑡𝑔(𝑥)

1−𝑡𝑎𝑛(𝑥)+

𝑡𝑎𝑛(𝑥)

1−𝑐𝑡𝑔(𝑥)= 1 + 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑐𝑠𝑐(𝑥)

f. 𝑠𝑖𝑛4(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠4(𝐵) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2(𝐵)𝑐𝑜𝑠2(𝐵)

g. 𝑠𝑖𝑛6(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠6(𝜃) = 1 − 3𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

h. 𝑠𝑖𝑛2(𝑡) +1−𝑡𝑎𝑛2(𝑡)

𝑠𝑒𝑐2(𝑡)= 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

i. 𝑠𝑖𝑛4(𝜃) − 1 − 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)

j. 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑐𝑠𝑐2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

2- Resolver las siguientes ecuaciones para todos los valores 𝑥 no negativos y menores

que 2𝜋

2𝑠𝑒𝑐2(𝑥) = 3𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 1

𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 𝑐𝑠𝑐(𝑥) = 0

𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2 = 0

𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 1

Bien, entonces primero veamos un poco de teoría que iremos usando, tenemos las

siguientes razones trigonométricas,

𝑡𝑎𝑛2(𝑥) =𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥),𝑡𝑎𝑛(𝑥) =

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑐𝑡𝑔2(𝑥) =𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛2(𝑥),𝑐𝑡𝑔(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑐2(𝑥) =1

𝑐𝑜𝑠2(𝑥),𝑠𝑒𝑐(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑐𝑠𝑐2(𝑥) =1

𝑠𝑖𝑛2(𝑥),𝑐𝑠𝑐(𝑥) =

1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Y,también,laidentidadmáspoderosa…:3

𝑠𝑖𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1

Es hermosa, en fin, son con éstas herramientas, un poco de inspiración, comida, y ganas de

divertirte que puedes demostrar absolutamente cualquier cosa respecto a la geometría

por supuesto, por ejemplo;

Si dividimos a toda esa identidad para 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)+𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)=

1

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

Entonces nos queda,

1 + 𝑐𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)

Y ya tenemos ésta, ahora, que pasa que a la identidad original le dividimos entre 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)+𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)=

1

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

Entonces nos queda,

𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

Y así podríamos ir jugando con la identidad original para obtener diferentes identidades

según necesitemos, usando las razones trigonométricas que esas sí, tienes que sabértelas,

o al menos tener una idea de cómo se las obtiene,

Bien, con todo esto vamos a resolver éste taller, recuerda que el propósito es llevar todo a

senos o todo a cosenos,

Además, puedes partir del lado que tú quieras, prefieres, escojas, te guste o puedas, de

izquierda o derecha de la igualdad, e intentarás llegar al otro lado.

Entonces, para el primer ejercicio,

1


1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)=

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑠𝑖𝑛4(𝜃)

Podemos partir de lado derecho que se lo ve más prometedor, e intentaremos llegar al

lado izquierdo,

Ademásdetodaslasherramientasquepuse,lodemáscomodicenes“carpintería”,esdecir

es el uso del álgebra, sumar fracciones, agrupar términos a nuestra conveniencia, nuestra

habilidad para manipular los números a nuestro antojo, algunas es despejar de las

identidades que puse al comienzo.

1


1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)=𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Pero, el numerador es la identidad poderosa ¿verdad?, además, para el denominador

podemos despejar de la identidad poderosa el coseno cuadrado, y reemplazamos aquí,

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃))=

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑠𝑖𝑛4(𝜃)∎

Y eso es lo que queríamos demostrar,

Continuemos,

𝑐𝑡𝑔2(𝜃)𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

Mira que sería un poco complicado partir de la izquierda e intentar llegar a la derecha

¿verdad?, entonces, la idea es dejar todo en función de senos y de cosenos y luego tratar de

reducir lo más que se pueda,

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)∎


1 +csc(𝜃)

csc(𝜃) − 1=1 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

1 − 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

Partimos del lado derecho e intentaremos llegar al izquierdo, llevemos todo a senos y

cosenos,

1 +1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)− 1

=𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 1𝑠𝑖𝑛(𝑥)

1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Hacemos, medios con medio, extremos con extremos,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)(

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 1

1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

1 + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)∎


𝑡𝑎𝑛(𝐴) − 𝑡𝑎𝑛(𝐵)

1 + 𝑡𝑎𝑛(𝐴)𝑡𝑎𝑛(𝐵)=

𝑐𝑡𝑔(𝐵) − 𝑐𝑡𝑔(𝐴)

1 + 𝑐𝑡𝑔(𝐴)𝑐𝑡𝑔(𝐵)

Ésta es una identidad muy útil, para la geometría analítica, bien, pero también es algo

complicadita, entonces,



𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐴)

−𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

1 + (𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐴)

) (𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

)

Haciendo operaciones,

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

1 + (𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

)

Seguimos haciendo operaciones,

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) + 𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

Medios con medios, extremos con extremos,

(𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)

𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵))(

𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)

𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) + 𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵))

Entonces,

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴)

𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) + 𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

Ahora, en el numerador hay una propiedad, que se llama la resta y resta de senos,

𝑠𝑖𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) ± 𝑠𝑖𝑛(𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑥)

Y, el denominador cumple con una propiedad, que se llama resta de cosenos,

𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑦)

Mira que, en la suma y resta de senos, los signos son correspondientes, pero en la resta de

cosenos se suma, de forma análoga, en la suma de cosenos se resta,

Peor bueno,

Entonces, usando esto nos queda,

𝑠𝑖𝑛(𝐴 − 𝐵)

𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵)

Ahora, la pregunta ¿Cómo llegamos con esto al otro lado?, la demostración de ésta es un

poco larga y hay que ver otras herramientas, así quevamosahacerunpocode“trampa”,

ya desarrollamos el lado derecho y llegamos a esto, eso quiere decir que, si en verdad se

cumple la igualdad de donde salimos, entonces desarrollemos el lado izquierdo y

deberemos llegar a lo mismo que llegamos a partir de lado derecho,

𝑐𝑡𝑔(𝐵) − 𝑐𝑡𝑔(𝐴)

1 + 𝑐𝑡𝑔(𝐴)𝑐𝑡𝑔(𝐵)

Pasamos a senos y cosenos,

𝑐𝑜𝑠(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

−𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐴)

1 + (𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐴)

) (𝑐𝑜𝑠(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

)

Operamos,

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

1 + (𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

)

Entonces,


𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

=


𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) + 𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

Nuevamente aplicamos medios con medios, extremos con extremos,

(𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵))(

𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)


Entonces nos queda,

(𝑠𝑖𝑛(𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑖𝑛(𝐵)


Pero éstas definiciones ya las sabemos,



Pero mira que llegamos a los mismo, cuando salimos del lado derecho,

Entonces si se cumple esa identidad,

Ahora, una forma de camuflar éste procedimiento que hemos hecho, y que a algunos

profesores no les agrada, es que,

“desarrollamoselladoizquierdounpoquito,yreescribimoslaidentidadconlanueva

parte”,enéstecaso,





Ya reescrita la identidad que vamos a demostrar, entonces ahí sí, partimos del lado

derecho y ésta demostración es muchísimo más fácil.

Como te mencioné, hay que ser habilidoso para poder obtener una respuesta, emplear

cualquier tipo de artificio, muy pocas veces vas a necesitar hacer esto. La demostración

formal de ésta identidad se basa en agregar números inteligentes es decir ceros (0) o unos

(1), distribuirlos, agruparlos a nuestro antojo y llegar al otro lado, pero como se trata de

una demostración podemos darnos éste gusto.

𝑐𝑡𝑔(𝑥)

1 − 𝑡𝑎𝑛(𝑥)+

𝑡𝑎𝑛(𝑥)

1 − 𝑐𝑡𝑔(𝑥)= 1 + 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑐𝑠𝑐(𝑥)

Dejamos todo en función de senos y cosenos,

𝑐𝑡𝑔(𝑥)

1 − 𝑡𝑎𝑛(𝑥)+

𝑡𝑎𝑛(𝑥)

1 − 𝑐𝑡𝑔(𝑥)=

𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

1 −𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)

+

𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)

1 −𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Operamos,

𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)

+


𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Hacemos medios con medios, extremos con extremos,

[(𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(𝑥))(

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))] + [(

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥)) (

𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥))]

Entonces,

[(1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)) (

𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))] + [(

1


𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥))]

Podemos extraer el signo del denominador del segundo corchete,

[(1


𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))] + [(

1


𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

−(−𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)))]

Lo sacamos, y acomodamos

[(1


𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))] − [(

1


𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))]

Hicimos eso para que los denominadores se parezcan un poco más, ahora operemos,

[(𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

(𝑠𝑖𝑛(𝑥))(𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)))] − [(

𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

(𝑐𝑜𝑠(𝑥))(𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)))]

Hacemos ésta resta de fracciones,

(𝑐𝑜𝑠2(𝑥)(𝑐𝑜𝑠(𝑥)) − 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)(𝑠𝑖𝑛(𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)(𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)))

(𝑐𝑜𝑠3(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛3(𝑥)


Ahora, en el numerador podemos factorizar como la diferencia de cubos

((𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥))(𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2(𝑥))


Simplificamos,

(𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥))

Agrupamos,

(𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + (𝑠𝑖𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))


Pero, esa identidad ya la sabemos,

(𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1


Ahora, aplicamos fracciones homogéneas, si recuerdas que son ¿verdad?, son aquellas que

tienen el mimo denominador y por lo tanto solo se suman los numeradores ¿cierto?,

Entonces, distribuimos el denominador para cada término del numerador,


𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)+

1


Es decir,

1 +1


Pero,

1 + (1


1

𝑐𝑜𝑠(𝑥))

Y ya sabemos a qué equivale cada una de esas fracciones,

1 + 𝑐𝑠𝑐(𝑥)𝑠𝑒𝑐(𝑥)∎

Y es lo que queríamos demostrar,

𝑠𝑖𝑛4(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠4(𝐵) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2(𝐵)𝑐𝑜𝑠2(𝐵)

Ésta vez vamos a partir del lado izquierdo,

1 − 2𝑠𝑖𝑛2(𝐵)𝑐𝑜𝑠2(𝐵)

Podemos hacer,

1 − 2(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝐵))𝑐𝑜𝑠2(𝐵)

Simplificamos,

1 − 2𝑐𝑜𝑠2(𝐵) + 2𝑐𝑜𝑠4(𝐵)

Pero, podemos jugar un poco,

1 − 2𝑐𝑜𝑠2(𝐵) + (𝑐𝑜𝑠4(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠4(𝐵))

Agrupamos,

1 − 2𝑐𝑜𝑠2(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠4(𝐵) + (𝑐𝑜𝑠4(𝐵))

Y ahora, no sé si te das cuenta a que equivale lo que están en color rojo. Eso es un caso de

factorización, es un trinomio cuadrado perfecto,

(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝐵))2 + (𝑐𝑜𝑠4(𝐵))

Pero, ya sabemos a qué es igual lo que está dentro de ese cuadrado,

(𝑠𝑖𝑛2(𝐵))2 + (𝑐𝑜𝑠4(𝐵))

Entonces nos queda,

𝑠𝑖𝑛4(𝐵) + 𝑐𝑜𝑠4(𝐵)∎

Y esto es lo que queríamos demostrar,

𝑠𝑖𝑛6(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠6(𝜃) = 1 − 3𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Primero recordemos como se factorizaba un binomio al cubo para la suma,

(𝑎3 + 𝑏3) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Entonces, vamos a salir del lado derecho e intentaremos llegar a la izquierda,

𝑠𝑖𝑛6(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠6(𝜃)

Pero, esto es lo mismo que,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))3+ (𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

3

Entonces podemos factorizar usando la fórmula que vimos,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))3+ (𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

3

= (𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃))((𝑠𝑖𝑛(𝜃)2)2 − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + (𝑐𝑜𝑠(𝜃)2)2)

Podemos colegir,

𝑠𝑖𝑛6(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠6(𝜃) = (𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃))(𝑠𝑖𝑛4(𝜃) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠4(𝜃))

Entonces,

(1)(𝑠𝑖𝑛4(𝜃) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠4(𝜃))

Agrupamos,

𝑠𝑖𝑛4(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠4(𝜃) − 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Ahora, esto es lo mismo que escribir,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))2+ (𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

2− 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Ahora, recordemos como se hacía un binomio al cuadrado,

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

¿En qué se parece a lo que tenemos?, es como que tenemos,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))2+ (𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

2− 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃),(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

Entonces, nos falta el término 2𝑥𝑦 para poder transformar lo que tenemos en (𝑥 + 𝑦)2

Pero que, pasa si despejamos de aquí lo está en rojo,

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

(𝑥 + 𝑦)2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

Y mira, esto ya se parece a lo que nosotros tenemos entonces,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))2+ (𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

2= (𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

2− 2(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))(𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

Entonces unimos todo,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃))2− 2(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))(𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Listo, hemos hecho algo medio extraño, pero está correcto, a esto me refiero con que

tienes que ser hábil en usar todo lo que sepas del álgebra.

Podemos sumar término semejante,

(𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃))2− 3(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))(𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

Pero lo que está dentro del primer paréntesis es 1,

(1)2 − 3(𝑠𝑖𝑛2(𝜃))(𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

Finalmente,

1 − 3𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)∎


𝑠𝑖𝑛2(𝑡) +1 − 𝑡𝑎𝑛2(𝑡)

𝑠𝑒𝑐2(𝑡)= 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

Dejamos todo en términos de senos y cosenos,

𝑠𝑖𝑛2(𝑡) +1 − 𝑡𝑎𝑛2(𝑡)

𝑠𝑒𝑐2(𝑡)= 𝑠𝑖𝑛2(𝑡) +

1 −𝑠𝑖𝑛2(𝑡)𝑐𝑜𝑠2(𝑡)1

𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

Operamos,

𝑠𝑖𝑛2(𝑡) +

𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝑡)𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

1𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

Hacemos medios con medios, extremos con extremos,

𝑠𝑖𝑛2(𝑡) + (𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝑡)

𝑐𝑜𝑠2(𝑡))(

𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

1)

Simplificamos,

𝑠𝑖𝑛2(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2(𝑡)

Finalmente,

𝑐𝑜𝑠2(𝑡)∎


𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑐𝑠𝑐2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

Podemos partir del lado izquierdo y llegar al derecho, llevamos todo a senos y cosenos,

𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 𝑐𝑠𝑐2(𝜃) =1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

Operamos,

𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Pero,

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)=

1

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)(

1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃))

Finalmente,

𝑐𝑠𝑐2(𝜃)𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)𝑠𝑒𝑐2(𝜃)∎

Que es lo que queríamos demostrar,

Y con eso acabamos las demostraciones,

Ahora para las ecuaciones, es lo mismo, debemos tratar de llevar todo a funciones de

senos y cosenos, veamos,

2𝑠𝑒𝑐2(𝑥) = 3𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 1

Entonces,

2 (1

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) = 3(

𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) + 1

Operamos,

(2

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) =

3𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Simplificamos,

2 = 3𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

Jugando,

2 = 3𝑠𝑖𝑛2(𝜃) + (1 − 𝑠𝑖𝑛2(𝜃))

1 = 2𝑠𝑖𝑛2(𝜃)

Es decir,

𝑠𝑖𝑛2(𝜃) =1

2

Sacamos raíz a ambos lados,

√𝑠𝑖𝑛2(𝜃) = √1

2=√2

2

Pero cuando sacamos raíz de un número elevado al cuadrado siempre nos deja un,

|𝑠𝑖𝑛(𝜃)| =√2

2

Si nos queremos deshacer del valor absoluto,

𝑠𝑖𝑛(𝜃) = ±√2

2

Es decir, tiene una parte positiva y una parte negativa,

𝑠𝑖𝑛(𝜃) =√2

2,𝑠𝑖𝑛(𝜃) = −

√2

2

Pero si recuerdas,

𝑠𝑖𝑛(45) = 𝑠𝑖𝑛 (𝜋

4) =

√2

2

Entonces,

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (√2

2) ,𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−

√2

2)

Es decir,

𝜃 =𝜋

4,𝜃 = −

𝜋

4

Pero, éstas no son las únicas soluciones, la función seno es periódica es decir se vuelve a

repetir cada 2𝜋, es decir que la siguiente solución para 𝜃 =𝜋

4, estará en,

𝜋

4+ 2𝜋 =

9

4𝜋

Ésta medida en radianes podemos pasarla a grados, para verla mejor

9

4𝜋 (

180𝑜

𝜋) = 405𝑜

Peroelcondicionamientodelejercicionosdice,“soloconsiderelosvalorespositivosy

además, hasta 2𝜋 es decir, hasta 360𝑜,

Entonces, como que,

405𝑜 > 360𝑜

Por lo tanto 9

4𝜋, ya no es solución dentro de las restricciones que impone el ejercicio.

Pero, no olvidemos que dejamos una solución atrás,

𝜃 = −𝜋

4

¿Qué problema tiene éste resultado dentro de la restricción del ejercicio?, el ejercicio nos

exige solo respuestas positivas, y ésta negativa, pero, no podemos desecharla y ya ¡

Si recuerdas,

¿Estás de acuerdo con éste dibujo?

El ángulo negativo le damos la interpretación como el ángulo que va a en sentido Horario,

por lo tanto, si queremos usarlo a éste ángulo en su forma positiva, debes calcular en éste

caso el SUPLEMENTO, que es igual a,

𝜃 =3

4𝜋 = 135𝑜

Y mira que éste ángulo ya cumple, con las condiciones del ejercicio, es positivo, y está

dentro de los trecientos sesenta grados,

Nuevamente, ésta no es la única solución, la función es periódica, es decir se vuelve a

repetir, y se vuelve a repetir cada 2𝜋

Entonces la siguiente solución sería,

3

4𝜋 + 2𝜋 =

11

4𝜋 = 495𝑜

Entonces, esto es un ángulo positivo, pero no está dentro del intervalo que nos propone el

ejercicio,

Por lo tanto,

Las respuestas que cumplen las condiciones del ejercicio son,

𝐶𝑆 = {𝜃 =𝜋

4,𝜃 =

3

4𝜋}

Y eso sería todo,

Continuemos,

𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2 = 0

Lo que podemos hacer es un cambio de variable, si gustas,

𝑎 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥),

Entonces, reescribiendo la ecuación en términos de nuestra nueva variable,

𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0

El cambio de variable nos sirve cuando tenemos una misma variable, pero elevada a

diferentes números, ésta nos permite ver mejor que se forma una ecuación, en éste caso

una ecuación de segundo grado,

Factoricemos,

(𝑎 + 2)(𝑎 − 1) = 0

Aplicando el teorema del factor nulo,

𝑠𝑖,(𝑎)(𝑏) = 0,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,𝑎 = 0ò𝑏 = 0

Entonces,

𝑎 = −2,𝑎 = 1

Volvemos a la variable original,

𝑐𝑜𝑠(𝑥) = −2,𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1

El cambio de variable no es necesario, pero es para verle mejor el polinomio y como

factorizar,

Ahora, para el primer resultado estás de acuerdo, que el recorrido de la función coseno es,

[1,−1]

Es decir, no existe ningún valor, ningún ángulo que te arroje una imagen superior o

inferior a éste intervalo, por lo tanto,

𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≠ −2

Es decir, no existe solución por aquí,

Veamos, el otro,

𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1)

𝑥 = 0

Éste, no es número positivo, es un neutro, creo que sí podemos incluirlo. Pero, la función

coseno, es periódica y se vuelve a repetir cada 2𝜋, por lo tanto, la siguiente solución del

cero estará en,

0 + 2𝜋 = 2𝜋

Ésta solución es positiva, pero no cumple con la otra condición, ¿Por qué?

Porque el ejercicio nos dice, “las soluciones tienen que ser menores que 2𝜋”, yo te

pregunto,

2𝜋 < 2𝜋

Es falso, el enunció debió haber sido,

“las soluciones tienen que ser menores o iguales que 2𝜋”

Entonces ahí sí, 2𝜋 pertenecería, al conjunto solución, entonces,

𝐶𝑆 = {0}

Suponiendo que el cero, sea positivo, porque menor que 360 si es,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 𝑐𝑠𝑐(𝑥) = 0

Entonces,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) −1

𝑠𝑖𝑛(𝑥)= 0

𝑠𝑖𝑛2(𝑥) − 1


Aquí, debemos tomar en cuenta las restricciones que existe, ¿estás de acuerdo que el

denominador nunca es su corta vida podrá ser cero? Porque algo divido entre cero no

existe, entonces tenemos la siguiente restricción,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) ≠ 0

Es decir,

𝑥 ≠ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(0)

Es decir,

𝑥 ≠ 0

Pero, como siempre la función seno es periódica y se vuelve a repetir cada 2𝜋, entonces el

siguiente punto que “x” no puede tomar es,

0 + 2𝜋 = 2𝜋

Es decir,

𝑥 ≠ 0,𝑥 ≠ 2𝜋

Listo, como ya nos dan un intervalo, entonces nos es necesario calcular los infinitos

valores que “x” no puede tomar, solo nos interesa hasta trecientos sesenta grados.

Ya consideremos la restricción entonces continuemos,

𝑠𝑖𝑛2(𝑥) − 1


El seno de equis pasa a multiplicar al cero, mira que ahora sí, podemos hacer eso, primero

debemos considerar la restricción para poder hacer esto,

𝑠𝑖𝑛2(𝑥) − 1 = 0

𝑠𝑖𝑛2(𝑥) = 1

Sacamos raíz cuadrada a ambos lados,

√𝑠𝑖𝑛2(𝑥) = √1

Entonces nos queda,

|𝑠𝑖𝑛(𝑥)| = 1

Es decir,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) = −1,𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 1

Entonces, consideremos el primer,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) = −1

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−1)

𝑥 = −𝜋

2= −90𝑜

Ésta respuesta no nos sirve porque el ángulo tiene que ser positivo, aquí nos sirve calcular

el suplemento porque sería el mismo, pero como dijimos el signo menos, nos indica que el

ángulo se recorrió en sentido horario,

Entonces ya tenemos nuestro ángulo positivo que reemplaza al ángulo negativo,

𝑥 =3

2𝜋 = 270𝑜

Éste resultado es positivo, y está dentro del intervalo que nos propone el ejercicio, por lo

tanto, si es solución, creo que es obvio que si le sumo 360 grados se va a pasar ¿verdad?

Entonces, ya sabemos que ésta es la única solución dentro del intervalo.

Ahora para el segundo factor que dejamos,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 1

𝑥 =𝜋

2= 90𝑜

La siguiente solución estaría en,

450𝑜

Pero se pasa, entonces noventa grados es la única solución,

Ahora, debemos consideremos la restricción que obtuvimos,

Dijimos que equis no puede ser cero ni dos pi, pero las soluciones que obtuvimos no caen

en éstos puntos por lo tanto no hay problema,

𝐶𝑆 = {𝑥 =3

2𝜋,𝑥 =

𝜋

2}

Y se acabó,

Para el último

𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 1

Para éste ejercicio podemos aplicar una identidad que demostré al comienzo, es las

herramientas que íbamos a usar,

𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

Podemos reemplazar en la ecuación la secante cuadrada,

𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1 + 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 1

Nos queda,

𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 0

Puedes hacer el cambio de variables, pero ya estamos acabando así que ya nada,

Factor común,

𝑡𝑎𝑛(𝑥)(𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 1) = 0

Por el teorema del factor nulo,

𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 0,𝑡𝑎𝑛(𝑥) = −1

Del primer caso tenemos,

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0)

𝑥 = 0

Ahora, aquí cambia algo, la unción tangente es periódica, pero se ésta vez se repite cada 𝜋

Es decir que el siguiente punto solución que alcanza es,

0 + 𝜋 = 𝜋

Pero 𝜋 = 180𝑜, es decir, el intervalo que nos impone el ejercicio nos permite calcular una

respuesta más, entonces, el siguiente punto solución se encuentra en,

𝜋 + 𝜋 = 2𝜋

Pero como dijimos el 2𝜋 no está dentro del intervalo, casi.

Ahora, para el segundo factor tenemos,

𝑡𝑎𝑛(𝑥) = −1

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(−1)

𝑥 = −𝜋

4= −45𝑜

Nuevamente, no nos sirve el ángulo negativo éste ángulo ya lo hice me parece, el

complemento de éste es,

𝑥 =3

2𝜋 = 270𝑜

La siguiente respuesta está luego de 180 grados, pero ese valor que pasa del intervalo que

nos dan. Entonces queda ahí,

𝐶𝑆: {𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋, 𝑥 =3

2𝜋}

Y listo,

Bueno eso sería todo, y espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas,

Recomendaciones,

- Siempre trata de llevar todo a senos y cosenos,

- Para ecuaciones trigonométricas, saberte algunas identidades te puede ahorrar

tiempo, como por ejemplo en éste último. Podíamos haber dejado todo en

términos de seno y coseno, pero es más largo.

- Apréndete las gráficas de seno, coseno y tangente,

- No olvides considerar las restricciones que se vayan forman.

- Las restricciones se intersecan con las soluciones.

- Para las demostraciones de las identidades, viste que con pocas cosas pudimos

hacer todas, lo demás fue ayuda del álgebra, factorizaciones, jugar con los

números.

- Traté de ser lo más “explicativo”, así que revisa y analiza bien ésta guía.

Mucha suerte ¡

Atta. Santiago Seeker

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