lgebra lineal Unidad I M.C. ngel Len 1.4. Forma polar y exponencial de un nmero complejo

1 de 4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Re0

1

2

3

Im

Figura 2. ngulo de un nmero complejo polar

Unidad I - Nmeros complejos

1.4. Forma polar y exponencial de un nmero complejo Hemos visto la representacin rectangular de un nmero complejo y como se definen las operaciones elementales para un nmero complejo en forma rectangular. Sin embargo, existen otras formas de representar al mismo nmero complejo que facilitan las operaciones, stas son la forma polar y la forma exponencial. Cuando hablamos de la forma polar de un nmero complejo, nos referimos a un segmento de recta que est ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos caractersticas importantes, tiene un ngulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y adems, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura:

La distancia del segmento de recta se calcula igual que el modulo del nmero complejo expresado en forma rectangular:

2 2Re Imr

Mientras que el ngulo lo obtendremos como:

1Im Imtan tanRe Re

op

ady

De manera que un nmero complejo en su forma polar se expresa como:

,Z r r

El ngulo de un nmero complejo no es nico. Si medimos el ngulo en sentido contrario a las manecillas del reloj se considera un ngulo positivo, pero si medimos el ngulo en sentido de las manecillas del reloj ser un ngulo negativo, segn lo muestra la Figura 2.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Re0

1

2

3

Im

Figura 1. Nmero complejo en forma polar

lgebra lineal Unidad I M.C. ngel Len 1.4. Forma polar y exponencial de un nmero complejo

2 de 4

Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversin polar a rectangular y rectangular a polar

Sea Z a b i un nmero complejo rectangular. A partir de Z , su expresin en forma polar Z r ser:

2 2

1tan

r a b

b

a

Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversin polar a rectangular usando las funciones

trigonomtricas:

La parte real de nmero complejo rectangular la obtendremos como:

Re cosa r

Y la parte imaginaria:

Im senbi r i

SeaZ r un nmero complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresin en forma rectangular Z a bi est dada por:

cos

sen

a r

b r i

Relacin Rectangular - Polar

Figura 3. Realcin polar - rectangular

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Re0

1

2

3

Im

Relacin Polar - Rectangular

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3 de 4

Si expresamos al nmero complejo como un par ordenado:

cos sen cos , sen cos ,senZ r r r i r r i r i

A la ltima expresin se le conoce como forma trigonomtrica de un nmero complejo. Algunos libros manejan una forma abreviada como:

Z rCiS Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un nmero complejo:

Tabla I. Resumen de las formas de expresar un nmero complejo

Binmica Binmica trigonomtrica Par ordenado

Rectangular Z a bi cos senZ r r i ,a b

Polar Z r ,Z r

Abreviada rCiS Ejercicios: Dados los siguientes nmeros complejos, exprselos en su forma polar y grafquelos.

a) 3 4i b) 4 4i c) 2 3i

d) 25

3i

Forma exponencial de un nmero complejo En la forma polar, el ngulo se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar un nmero complejo que es la forma exponencial, donde el ngulo se mide en radianes.

Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes 180 .

La forma exponencial de un nmero complejo es ire donde r representa el mdulo del numero complejo y el ngulo en radianes.

Para ver de donde proviene esta expresin, recordemos que existe una serie infinita que representa a xe la cual es:

lgebra lineal Unidad I M.C. ngel Len 1.4. Forma polar y exponencial de un nmero complejo

4 de 4

2 3 4

1 ...2! 3! 4! !

nx x x x xe x

n

Si realizamos la sustitucin x i la serie anterior se expresa como:

2 3 4

1 ...2! 3! 4! !

n

ii i i i

e in

Y de acuerdo a las potencias de i :

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5! !

ni i i ie i

n

Si agrupamos los trminos semejantes:

2 4 3 5

1 ... ...2! 4! 3! 5!

ie i

La parte real 2 4

1 ...2! 4!

es la serie que aproxima a la funcin cos mientras que la parte imaginaria

3 5

...3! 5!

i

es la serie que aproxima a la funcin sen . De esta manera, podemos simplificar la expresin

anterior:

cos senie i Multiplicamos ambos lados por el mdulo r :

cos senire r r i Tenemos la relacin entre la forma exponencial y la forma binmica trigonomtrica de un nmero complejo. Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ngulo en radianes y la forma binmica trigonomtrica en grados sexagesimales.