Introduccin al pensamiento matemtico Unidad 2. Mtodos de demostracin

Evidencia de aprendizaje. Aplicacin de los mtodos de demostracin

Instrucciones: Demuestra el lema para que lo utilices al momento de realizar la demostracin del teorema y verifica si el corolario se desprende del teorema y es verdadero.

Lema: Si x e y son nmeros reales, = y n es par, entonces = o = .

Teorema: Si x e y son nmeros reales, = , entonces = o = .

Corolario: Si x e y son nmeros reales, = y n es impar, entonces = .

Empezamos con el lema:

Si x e y son nmeros reales, = y n es par, entonces = o =

Observacin 1. Si n es par, entonces existe k en los naturales tal que n = 2k

Observacin 2. Nos piden demostrar que se vale sacar raz ensima de ambos lados de

la igualdad y sta se mantiene; es decir, nos piden demostrar que si tenemos:

= , entonces (sacando raz ensima) = o = .

Entonces no podemos usar que se vale sacar raz ensima de ambos lados de la igualdad

y sta se mantiene, pues es precisamente lo que nos estn pidiendo que demostremos.

Entonces queremos demostrar que si k es cualquier nmero natural y 2 = 2,

entonces = o =

Como hay que demostrar que algo se cumple para todo natural par, hay que que usar el

mtodo inductivo.

Primer paso inductivo:

i) Por demostrar para k = 1

Se quiere demostrar que si y 2 = 2, entonces = o = .

Observemos que 2 = 2 2 2 = 0

Es decir, podemos partir de que: 2 2 = 0

Lo anterior es una diferencia de cuadrados, entonces:

2 2 = ( )( + ) = 0

[Completen arriba y terminen]

Segundo paso inductivo:

ii) Suponemos que vale para k, por lo que:

si 2 = 2, entonces = o =

Tercer paso inductivo:

Introduccin al pensamiento matemtico Unidad 2. Mtodos de demostracin iii) Por demostrar que la proposicin se cumple para k + 1; es decir, queremos demostrar

que si 2(+1) = 2(+1), entonces = o =

La primera igualdad se satisface si y solo si 2(+1) 2(+1) = 0

Desarrollen los productos indicados en los exponentes y usen sus pasos inductivos

anteriores.

Para el teorema, hay que demostrar lo mismo, pero sin la hiptesis de que el exponente

sea par:

Teorema: Si x e y son nmeros reales, = , entonces = o = .

Aqu conviene hacerlo por casos:

Caso I. Si n es par. Ya est demostrado por el lema anterior.

Caso II. Si n es impar, entonces n + 1 es par, por el lema se tiene que:

si +1 = +1 entonces = o =

Subcasos:

Caso IIa) si x = 0, ya no hay nada que demostrar [expliquen por qu]

Caso IIb) si x < 0, y x = y, entonces y < 0, y terminamos, porque... [expliquen por qu].

Ntese que en este caso no puede ocurrir que x = -y, porque tendramos que y < 0 y, en

consecuencia, y > 0, luego al dividir entre x lo marcado en azul nos quedara algo menor

que cero (pues lo marcado en azul es positivo y x es negativo); y al dividir entre y lo

marcado en verde, nos quedara algo positivo (pues lo marcado en verde es positivo)

[estamos usando que una potencia par de x siempre es positiva, y una potencia impar de

x es positiva si x > 0 y es negativa si x < 0].

Caso IIc) si x > 0, y x = y, entonces y > 0, y terminamos, porque... [expliquen por qu].

Hacer notar que en este caso no puede ocurrir que x = y

Las explicaciones que tiene que dar son muy sencillas, pues lo marcado en amarillo arriba

se cumple (por el lema).

El corolario resulta inmediato, pues es el segundo de los casos anteriores.