U2 Funciones Con Radicales

Funciones racionales y con radicales

Al igual que los polinomios se puede elaborar la grafica de la función f(x)=1/x, la cual se define como una hipérbola equilátera como se muestra

2Unidad 2 Funciones racionales y con radicales

Sin embargo, a diferencia de las polinomiales se puede observar que esta función no corta el eje de las “x”, es decir no hay ceros en la función. Al mismo tiempo puede verse que al hacerse la función de 0 el resultado es infinito: f(0)=

Esto se podría comprobar al evaluar la función en valores cercanos a cero. Por ejemplo:F(x)=1/0.1=10F(x)=1/0.01=100F(x)=1/0.001=1000F(x)=1/0.000001=1000000


Como la función no se puede evaluar en cero, el dominio de la función será:

D= (-,+) – {0}.Así mismo el rango de la función será:R= (-,+) – {0}


Función racional


Una función racional es el cociente de dos funciones, f(x) y g(x)H(x)=f(x) y g(x)

Donde f(x)y g(x) son funciones polinomiales y g(x) es diferente de cero. Esto significa que todos aquellos valores de “x” que hagan posible que g(x)=0 no será parte del dominio. Por eso se dice que el dominio de la función racional es el conjunto de todos los números reales con excepción de que todos los que g(x)=0


Conocer el dominio de una función permite tener una idea sobre ella. Por lo que se procederá a determinar el dominio de las funciones F(x), G(x) y H(x).

Así algunas funciones racionales serian las siguientes:F(x)=3/(x-2)G(x)=(5x-3)/(x2-4)H(x)=1+4/x + 3/x2


Ejemplos


EJEMPLO 1:Determina el dominio de la función:F(x)=3x/(x-2)SOLUCION:el dominio de una función racional se caracteriza por ser el conjunto de todos los reales con excepción de aquellos valores que hagan cero la función g(x). Entonces se puede escribir la función F(x) como f(x)=3 y g(x)=x-2Si g(x)=0 entonces x-2=0. el valor que se obtendrá es x=2parag(x)=0Así, el dominio de la función G(x)=(5x-3)/(x2-4)


EJEMPLO 2:Determina el dominio de la función:G(x)=(5x-3)/(x2-4)

SOLUCION:El dominio de una función racional se

caracteriza por ser el conjunto de todos los reales con excepción de aquellos valores que hagan cero la función g(x). Entonces se puede escribir la función G(x) como f(x)/g(x), donde f(x)=5x-3 y g(x)=x2-4

Si g(x)=0 entonces x2-4=0 los valores que se obtendrían son x=2 y x=-2 para g(x)=0

Así el dominio de la función G(x) será D=R-(2,-2)


EJEMPLO 3:Determina el dominio de la función: H(x)=1+4/x + 3/x2

SOLUCION:el dominio de una función racional se caracteriza por ser el conjunto de todos los reales como excepción de aquellos valores que hagan cero la función g(x)

. Entonces se puede escribir la función H(x) como f(x)/g(x)


Para escribir H(x) como un cociente de funciones se obtiene el común denominador de las expresiones como sigue:

1+4/x + 3/x2= x2+4x+3 = f(x) x2 g(x)Con lo que se obtiene que f(x)=x2+4x+3 y

g(x)=x2

Si g(x)=0 entonces x2=0. el único valor que se obtendría será x=0 para g(x)

Por ello el dominio de la función H(x)=D=R-(0)


Ejercicios


Ejercicios

1) Determina cuales de las siguientes funciones son racionales

a. A(x)=3b. B(x)=5/x + 2c. C(x)=x+4d. D(x)=(x-8)/5e. E(x)=(x3-6x+9)f. F(x)=(x+7)/(x2-3x-10)2) Determina el dominio de cada una


GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL


Para elaborar la gráfica de una función racional se procede de manera similar a la elaboración de una grafica de una función polinomial. Se elabora una tabla de valores y posteriormente se representa a un sistema de coordenadas.

A continuación se elaboran las graficas de las funciones:


EJEMPLO 1:

Elaborar la gráfica de la función f(x)=3/(x-2)

SOLUCION:

Se proponen valores para la variable x como se muestra en la siguiente tabla:


Grafica 1


EJEMPLO 2:Elaborar la grafica de la función: G(x)=(5x-3)/(x2-4)

SOLUCION:Se proponen los valores para la variable x

como se muestra en la siguiente tabla

x -5 -4 -3 -1 0 1 3 4 5

G(x)

-4/3

-23/12

-18/5

8/3 3/4

-2/3

12/5

17/12

22/21


Grafica 2


EJEMPLO 3:Elaborar la grafica de la función:H(x)= 1+4/x + 3/x2

SOLUCION:Se proponen los valores para la variable como

se muestra en la siguiente tabla

X -4 -3

-2 -1 1 2 3 4 5

H(x)

3/16

0 -1/4

0 8 15/4 8/3 35/16

48/25


Grafica 3


Con la finalidad de obtener mas elementos sobre las graficas de las funciones racionales se presenta otro ejemplo

EJEMPLO 4:Elabora la grafica de la función:I(x)=1/(x-2)(x+1(x+3)SOLUCION:Se proponen los valores para la variable x como se muestra en la tabla

x -5 -4 -2.5

-2 -1.5

0 1 1.5 2.5 3 4

I(x)

-1/56

-1/36

-1/21.6

1/4 -1/2.6

-1/6

-1/8

-45/8

77/8

1/24

1/70


Grafica 4


Al revisar las graficas 1, 2, 3se observa lo siguiente:

La función F(x)=3/(x-2) cuya grafica es la 1, consta de un cero y en su figura se observan 3 partes o ramas

La función G(x)=(5x-3)/(x2-4, cuya figura es la 2, consta de dos ceros y en su figura se observan 3 partes o tres ramas

La función I(x)=17(x-2)(x+1)(x+3), cuya figura es la 4, consta de tres ceros y en la figura se observan 4 partes o ramas


De esta forma, es posible establecer la siguiente idea:

La grafica de un función racional f(x)/g(x) tendrá K+1 partes o ramas, donde K es el numero de ceros reales de su denominador g(x)

Además los ceros de la función racional coinciden con los ceros de f(x), es decir las intersecciones de f(x)/g(x)con el eje X se presentan los puntos donde el numerador f(x) corta con el eje X, como se puede observar el las figuras 2 y 3. así mismo, al revisar las funciones F(x) e I(x) y las figuras 1 y 4 se observa que el numerador de estas funciones son constantes por lo que la grafica no corta el eje X


Otro análisis que se puede hacer de las graficas es el siguiente:

En la figura 1 se observa que las ramas de la grafica se acercan hacia el valor en el que se encuentra el cero del denominador g(x), es decir a x=2, pero no lo tocan. En este caso se dice que la recta x=2 es una asíntota vertical de la grafica de F(x). Al mismo, tiempo se puede ver que las ramas se acercan hacia el eje X, a medida que X se acerca a - o a + pero no lo toca. Por ello se dice que y=0 es la asíntota horizontal


Grafica de la función F(x)=37(x-2), su asíntota vertical x=2 y su asíntota horizontal y=0


En la grafica 2, se puede observar que las ramas de la grafica se acerca hacia el valor en el que se encuentra el cero del denominador g(x), es decir a x=2 la rama derecha y a x=-2 la rama izquierda, pero no toca estos puntos. En este caso se dice que la recta x=2es la asíntota vertical derecha y que la recta x=-2 es la asíntota vertical izquierda de la grafica. Al mismo tiempo se puede ver que las ramas derechas y de la izquierda se acerca hacia el eje X, a medida que se acerca a - o a +, pero no lo toca. Por ello se dice que la recta y=0 es una asíntota horizontal de la grafica


Grafica de la función G(x)=85x-3)/(x2-4), sus asíntotas verticales x=2 y x=-2, así como su asíntota horizontal y=0


En la grafica 3 se puede observar que las ramas de la grafica se acercan hacia el valor en el que se encuentra el cero del denominador g(x9, es decir a x=0, pero no lo toca. En esta caso se dice que la recta x=0 es una asíntota vertical de la grafica.

En esta caso solo hay una asíntota, solo la de x .


Grafica de la función H(x)=1+4/x+3/x2 y su asíntota vertical x=0


En la figura 4 se puede observar que las ramas de la grafica se acercan hacia el valor en el que se encuentra el cero del denominador g(x), es decir a x=2 la rama de la derecha y a x=-1 y x=-3, la rama izquierda pero no toca en ese punto. En este caso se dice que esas rectas son las asíntotas verticales de la grafica. Al mismo tiempo se puede ver que las ramas se acercan hacia el eje X pero no lo tocan por eso se dice que la recta y=0 es la asíntota horizontal de la grafica


Grafica de la función I(x)=1/(x-2)(x+1)(x+3) y sus asíntotas verticales x=2, x=-1 y x=-3, así como la asíntota vertical y=0


Así a partir de los ejemplos anteriores y sus graficas se puede expresar lo siguiente:

Una asíntota de una curva es una recta a la que la curva se acerca indefinidamente, a medida que X se acerca a un cierto valor sin llegar a tocarla

Una asíntota vertical es una recta x=a de la grafica raciona


Una asíntota horizontal es una recta y=b de la grafica de4 la función racional siempre que las ramas se acercan a b, a medida que X se acerca al + o al -

Finalmente otro elemento que se puede determinar de las funciones racionales es determinar el rango o el contradominio


De la figura 1 se puede observar que los valores de G(x) varían desde - hasta +, pero que no contienen el valor de y=0. por lo que el rango de F(x) son todos los reales menos el 0: R-{0}

De la figura 2 se puede observar que los valores de G(x) varían desde - hasta el +, pero que no contiene el valor de y=0 por lo que el rango de G(x) son todos los reales menos el cero: R-{0}


De la figura 3 se puede observar que los valores de H(x) varían desde y=-1/3 aproximadamente hasta + por lo que el rango de H(x) es:(-1/3,+)

De la figura 4 se puede observar que los valores de I(x) varían desde - hasta +, pero no contiene el valor de y=0 por lo que el rango de I(x) son todo los reales menos el 0: R-{0}


Ejemplo


Dada la función racional J(x)=8x+6)/(x2-x-20)

1)Determina los ceros de la función g(x), el denominador

2)El punto de intersección de J(x)con el eje X

3)Elaborar la grafica de J(x) con sus asíntotas

4)Determinar su dominio 5)Determinar su rango


SOLUCION:Los ceros de la función g(x)=(x2-x-20)Como x2-x-20 =(x-5)(x+4)=0De donde se puede observar que en x=5 existe un

cero de la función g(x)b)El punto de intersección de J(x) con el eje X,

coincide con el punto de intersección de f(x) con el mismo eje. Por lo que, equivale a determinar f(x)=0 f(x)=x

f(x)=0, por lo tanto x= -6c) La grafica de la función J(x) será similar a la que

se muestra


Grafica de la función J(x)=(x+6)/(x2-x-20) y sus asíntotas


d) El dominio de la función J(x) será todo el conjunto de los reales con excepción de los valores de x, tales que x sea cero del denominador de la función D=R-{-5,4}

e) El rango de la función J(x) es el conjunto de los valores que tiene la variable J(x), en rama central varía desde -hasta aproximadamente -1/3, en las otras dos ramas varían desde 0 hasta +. Por lo que el rango de J(x) será (-,-1/3)U(0,)


Es pertinente señalar que se requiere un análisis mas profundo de cada una de las funciones racionales para poder caracterizarlas con exactitud. Tal análisis debe incluir precisiones sobre su concavidad, los puntos de inflexión y otros elementos


Ejercicios


Para cada una de las funciones racionales siguientes:

a) Determina los ceros de la función g(x), el denominador. b) el punto de intersección de función con el eje X c) elaborar la grafica de la función con sus asíntotas d) determinar su dominio e) determinar su rango


1) A(x)= 3/X2) B(x)= 5/X + 23) C(x)= X+4/X2-X-204) D(x)= (X-8)/55) E(x)= (X3-6X+9)/(X2+4X+3)6) F(x)= (X+7)/(X2-3X-10)


Función con radical


Una función racional, generalmente se asocia a los problemas de distancia y a los que expresan una relación entre potencias entre dos variables como seria el caso de determinar una distancia mediante el Teorema de Pitágoras.

Al considerar que la variable independiente varia y en consecuencia el valor la variable dependiente asumirá la correspondiente variación


El análisis que se puede hacer de una función con radicales es determinar su dominio, su grafica y su rango.

Lo cual se realiza mediante unos ejemplo:


Ejemplos

Unidad 2 Funciones racionales y con radicales 51

Ejemplo 1:Elabora la grafica de la función K(x)=25-x2. Elaborar

la grafica de una función primero se debe elaborar una tabla similar a la siguiente:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

K(x) 0 3 4 21 24 5 24

21 4 3 0

Al proponer valores para x 5 o -5 x se obtiene una raíz negativa, las cuales no forman parte de los números reales. Al elaborar la grafica de los valores de la tabla se obtendrá la siguiente grafica


Grafica 1

53

Grafica de la función k(x)=25-x2

Unidad 2 Funciones racionales y con radicales

Como el, valor de X solo puede tomar valores entre -5 y 5 el dominio de la función será:

D=-5,+5Los valor de k(x) varían desde 0 hasta +5, por lo que el

rango de la función es:0,5Observe que se emplean los paréntesis cuadrados para

denotar los intervalos cerrados ; esto indica que los extremos también se consideran a diferencia de los intervalos abiertos que se denotan por los paréntesis redondos (), que no incluyen a los extremos.


Ejemplo 2:Elaborar la grafica de la función r(x)= x2-16 , determina

su dominio y su rango Solución:

Para trazar la grafica de una función primero se debe elaborar una tabla similar a la siguiente:

x -6 5 -4 -3 0 3 4 5 6

r(x) 20 3 0 -9 -16 -9 0 3 20


Al proponer valores para x 4 o x -4 se obtiene una raíz negativa, las cuales no forman parte de los números reales. Al elaborar la grafica de los valores de la tabla se obtendrá un trazo similar al que se muestra el la siguiente figura


Grafica 2

57

Grafica de la función r(x)=x2 -16


La función solo puede tomar valores de x -4 y x -4, por lo que el dominio será:

D=(-, -4U 4, +) = R-(-4, +4)El rango de la función será: 0, +)


Ejemplo 3:Elabora la grafica de la función L(x)=x2-3x-4,

determinar su dominio y su rangoSolución:

Para trazar la grafica de una función primero se debe elaborar una tabla similar a la siguiente:

x -4 -3 -2 -1 0 1 4 5 6

L(x) 24 14 6 0 -4 -6 0 6 14


Al proponer valores para x 4 o x -1 se obtiene una raíz negativa, las cuales no forman parte de los números reales. Al elaborar la grafica de los valores de la tabla se obtendría un trazo similar al que se muestra


Grafica 3

61

Grafica de la función l(x)=x2-3x-4


El dominio de La función L(x) será D= R- (-1,4)

El rango de la función es: 0,)


Ejemplo 4:Elaborar la grafica de la función M(x)=-4-x,

determina su dominio y su rango Solución:Se elabora la tabla de los valores similar a la siguiente

63

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

M(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 --1

De la tabla se puede observar que para los valores de x 4 se obtienen raíces de números negativos, por lo que la grafica será similar a la siguiente


Grafica 4

64

Grafica de la función m(x)= -4-x


El dominio de la función será: (-,4El rango de la función es: (-,0

65

EjerciciosDe la grafica, el dominio y el rango de las siguientes funciones


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