Universidad Nacional de Cuyo Anlisis Matemtico I - 2011 Facultad de Ingeniera Gladys ASTARGO

4. B. Variacin de las funciones

Optimizacin. Problemas de aplicacin. En esta parte de la unidad 4, te ofrecemos una gua para resolver los problemas de optimizacin.

Estrategias para resolver problemas de OPTIMIZACIN 1) Comprender el problema. Para ello, como siempre, es necesario leer comprensivamente el

enunciado, realizar un esquema representativo de la situacin. En los problemas de este tipo siempre hay una variable que se debe maximizar o minimizar. a) Identificar y asignar nombres y smbolos a:

i) La variable (funcin) a maximizar o a minimizar, por ejemplo Q. ii) Los datos que da el problema, hay que calcular alguna cantidad, o establecer

relaciones? Con frecuencia hay datos disfrazados en el enunciado. iii) Cules son las condiciones dadas?

b) Ubicar en el esquema los datos e incgnitas. 2) Hallar una expresin para Q en funcin de los datos. Si hay ms de una variable

independiente, suele haber datos que permitan sustituir una en funcin de la otra, combinando dos o ms ecuaciones para expresar luego en funcin de una sola variable, por ejemplo x. Q = f(x)

3) Encontrar los valores crticos a) Derivar con respecto a esa variable, igualar a cero y despejar:

Q = f (x) = 0 xc =. b) Si la derivada no puede ser cero, buscamos para qu valores de x no existe derivada:

f (c) x = c es un valor crtico. c) Si el dominio de la funcin es un intervalo cerrado [a, b], se debe calcular el valor de

la funcin en los extremos, f(a) y f(b) y comparar. En este caso, siendo un problema de optimizacin, se podran comparar los valores de f(xc) con los de f(a) y f(b) no siendo estrictamente necesario realizar el anlisis completo a travs de un criterio.

4) Determinar si los valores crticos hallados producen en la funcin mximos o mnimos a travs de la aplicacin de uno de los criterios, o, en el caso de los extremos del intervalo, mediante la comparacin directa de los valores de la funcin. Resuelve esto el problema planteado?

5) Releer el problema, revisar tanto el procedimiento como los clculos y expresar la respuesta de acuerdo a lo que se solicita.

Ejemplo: Problema de la escalera apoyada en el muro Un muro tiene 8 pies de alto y dista 27 pies del edificio. Qu longitud tendr la viga recta ms corta que, apoyndose en el suelo al otro lado del muro y sobre el mismo, alcance la pared del edificio?

1) Realizamos el esquema representativo de la situacin y asignamos nombres y smbolos a las variables y constantes que intervienen.

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Incgnita: Longitud de la viga ms corta. L: Longitud de la viga. Es la Funcin a minimizar Dividimos la longitud de la viga en dos sectores, de manera que: L = L1 + L2 L1: Longitud del sector de la viga comprendido entre el muro y el edificio. L2: Longitud del sector de la viga comprendido entre el muro y el piso. : ngulo comprendido entre la viga y la horizontal

2) Hallamos una expresin para L en funcin de los datos. Para el sector L1, los datos e incgnitas se encuentran en la hipotenusa y el cateto adyacente. Por lo tanto planteamos la frmula del coseno del ngulo .

Busca otro camino: Seguramente has pensado en el teorema de Pitgoras y/o en tringulos

semejantes. Qu inconvenientes surgen si aplicas alguno de esos procedimientos?

cos = 1L

27 L1 = cos

27

De manera anloga procedemos con L2 y obtenemos: L2 = sen8

Reemplazamos en la expresin de L:

+

=

sen

28cos

27L sta es la funcin a minimizar.

Hay que considerar que 0 < < pi/2, es decir, su dominio es (0, pi/2)

3) Derivamos con respecto a :

=

22 sencos8

cos

sen27ddL

Igualamos a cero y resolvemos la ecuacin: 27 sen3 8 cos3 = 0 tan3 = 8/27 334124

Si el dominio fuera un intervalo cerrado, deberamos considerar tambin el valor de L en los extremos del intervalo, pero en este caso es abierto.

4) Determinamos si este valor crtico hallado produce mximo o mnimo en la funcin. Podemos usar cualquier criterio, por ejemplo, el del signo de la derivada segunda en el valor crtico.

+

=

3322

sen

8cos

27d

Ld Para 334124 tanto el coseno como el seno son positivos y

por lo tanto la derivada segunda es tambin positiva. Por lo tanto la Longitud resulta mnima. Resuelve esto el problema planteado? No, nos preguntan qu longitud tiene la viga. Hay que calcularla. Reemplazamos para encontrar los valores de L1 y L2: L1 32,45 ft ; L2 14,42 ft L 46,87 ft

5) Volvemos a leer el problema y revisamos el procedimiento que utilizamos: 5.1) Encontramos una expresin para L en funcin de los datos, pero tuvimos que introducir el

L L1

L2 8 ft 27 ft

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ngulo pues no son viables otros caminos. (Revisa las razones trigonomtricas usadas y las expresiones despejadas) 5.2) Derivamos con respecto a . (Revisa la derivada) 5.3) Igualamos a cero la derivada y resolvimos la ecuacin para encontrar el valor crtico de . (Revisa el despeje y los valores numricos). 5.4) Determinamos que para ese valor crtico la funcin posee un mnimo. (Revisa la expresin de la derivada segunda y el signo para el valor de encontrado). 5.5) Calculamos las longitudes parciales y luego las sumamos. (Revisa las cuentas)

La longitud de la viga ms corta posible es de aproximadamente 46,8 pies