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1

NOCIONES DE PRUEBA DE HIPTESIS

1 Conceptos bsicos

Prueba de Hiptesis

Una Prueba de Hiptesis es hacer una afirmacin acerca del valor que el parmetro de la

poblacin bajo estudio puede tomar. Esta afirmacin puede estar basada en alguna creencia

o experiencia pasada que ser contrastada con la evidencia que nosotros obtengamos a

travs de la informacin contenida en la muestra.

La prueba de hiptesis involucra una suposicin elaborada sobre algn parmetro de la

poblacin. Se usa una muestra aleatoria para decidir si se rechaza o no la suposicin

planteada. Para tomar esta decisin se establece una regla antes de seleccionar la muestra.

Hiptesis nula H0 Es la hiptesis que se acepta inicialmente como verdadera y cuya

validez ser sometida a la comprobacin experimental.

Hiptesis alterna H1 Es la negacin de la hiptesis nula. Es la hiptesis que se acepta en

caso se rechace H0. (H1 es generalmente la hiptesis de investigacin).

Ejemplo 1 H0: El tiempo medio de atencin a un cliente en el mdulo de informacin es de 2,8

minutos o menos.

H1: El tiempo medio de atencin a un cliente en el mdulo de informacin es de ms de 2,8

minutos.

H0: 2,8 minutos H1: > 2,8 minutos

Ejemplo 2 H0: El porcentaje de personas que votar por un candidato es del 50%.

H1: El porcentaje de personas que votar por un candidato es menor al 50%.

H0: p = 0,50

H1: p 0,50

Contraste de hiptesis

El hecho de no rechazar la hiptesis nula no implica que sta sea cierta, significa que los

datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente que contradiga lo supuesto en la

hiptesis nula.

La hiptesis que se contrasta es rechazada o no en funcin de la informacin muestral. La

hiptesis alternativa se especifica como opcin posible si se rechaza la hiptesis nula.

Tipos de errores

Error tipo I

Es el error que se comete al rechazar la hiptesis nula cuando sta es realmente verdadera.

La probabilidad de cometer el error tipo I ( ) se define como: = P (Rechazar H0/ H0 es cierta) se denomina el nivel de significacin de la prueba.

El valor es fijado por la persona que realiza la investigacin, por lo general, en 1%, 5% 10%. Tambin se le llama riesgo

Error tipo II

Es el error que se comete al no rechazar la hiptesis nula H0 cuando sta en realidad es

falsa.

La probabilidad de cometer el error tipo II () se define como:

= P (No Rechazar H0/ H0 es falsa)

Decisin

Rechazar H0 No rechazar H0

H0 cierta Error tipo I Decisin correcta

H0 falsa Decisin correcta Error tipo II

2

PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPTESIS

Paso 1: Plantear hiptesis acerca del parmetro . En este curso puede ser , (media

poblacional), 2 (varianza poblacional) o p (proporcin poblacional) 1 - 2 (diferencia

de medias poblacionales) o p1 - p2 (diferencia de proporciones poblacionales) o 2

2

2

1

cociente de varianzas poblacionales

Paso 2: Fijar el nivel de significacin.

Paso 3: Establecer las regiones crticas

Regin crtica La regin crtica o de rechazo de la hiptesis nula H0 es un intervalo de

valores de la estadstica de la prueba que depende del nivel de significacin y de la hiptesis alterna H1.

*Intervalos de valores de la estadstica que se observaran con una probabilidad muy baja

en el caso en que la hiptesis nula fuera cierta.

*La regin crtica se usa para establecer la regla de decisin para la prueba.

Paso 4: Calcular el valor del estadstico de prueba con los datos de la muestra, y la regla

de y la regla de decisin. Tomar la decisin

Regla de decisin

Sea Zc Tc Fc el estadstico de prueba (valor calculado)

Si el estadstico de prueba pertenece a la regin crtica o regin de rechazo se rechaza H0

Si el estadstico de prueba no pertenece a la regin crtica no se rechaza H0

Paso 5. Conclusin dar las conclusiones en el contexto del problema.

Uso de valores p para la toma de decisiones

En la estadstica aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximacin del

valor P. La aproximacin se disea para dar al usuario una alternativa a la simple

conclusin de rechazo o no rechazo

Un valor Pe s el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valor observado de la estadstica de prueba es significativo.

El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al rechazo de la hiptesis nula Ho.

El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado

de informacin. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusin en

cualquier nivel particular resulta de comparar el valor P con

1. Valor P rechazar Ho al nivel 2. Valor P > No rechazar Ho al nivel

Clculo del valor p

A continuacin se da la forma de como hallar el p de la prueba dependiendo del

parmetro que se est contrastando

Unilateral

)(1 czzPp

Unilateral

)( czzPp

Bilateral

)(12 czzPp )(1 1 cn ttPp

)( 1 cn ttPp

)(12 1 cn ttPp

3

2. PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL

Caso 1 Prueba de hiptesis para con varianza 2 conocida .Poblacin normal o n30

Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis

1. Planteamiento de las hiptesis

Unilateral

01

00

:

:

H

H

Unilateral

01

00

:

:

H

H

Bilateral

01

00

:

:

H

H

2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas

4. Clculos: estadstico de la prueba

n

xzc

/

0

1zzc 1zzc

2/1

2/1

zz

zz

c

c

5. Conclusiones.

Ejemplo 1 a. Se trata de probar si el tiempo medio de lmparas fluorescentes

producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a perder

es a lo ms 1550horas con una desviacin estndar de 120 horas. Para ello se toma una

muestra de 102 lmparas y se dejan encendidas hasta que se apagan. El resultado de la

muestra dio una duracin por da de 1500 horas Utilice un riesgo del 2%

b. Halle el p de la prueba

c. Qu tipo de error se comete?

Solucin

PRUEBA DE HIPTESIS UNILATERAL

1.

01

00

:

:

H

H

?1550:0 H El tiempo medio de lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a

perder es a lo ms 1550 horas

1550:1 H El tiempo medio de lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a

perder es ms de 1550 horas

2. 02.0

Como alfa =0.02 99.02

101.02

Buscamos en la tabla Z el valor crtico 33.299.01 ZZ

3. Regin crtica o regin de rechazo

4. Estadstico de la prueba

n =102 15501500120 0 x

208.4

102

120

15501500

/

0

n

xzc

Decisin Como ZC < 2.32 NO se rechaza Ho.

5. Al nivel de significancia del 2% hay suficiente evidencia para aceptar que el tiempo

medio de las lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen

encendidas antes de echarse a perder es a lo ms 1550 horas

b. Usando el p de la prueba

05.0101)208.4(1)(1 zPzzPp c No se rechaza H0

c) Se comete Error tipo II

RRRR

RRRA

4

Ejemplo 2 Un fabricante de detergente afirma que el contenido de los paquetes que

vende pesa, por trmino medio, al menos 200 gramos. Se sabe que la distribucin de los

pesos es normal, con desviacin tpica de cuatro gramos. Una muestra aleatoria de 16

paquetes da un peso medio muestral de 198,4 gramos. Contrastar, al nivel de significacin

del 10% la afirmacin del fabricante.

Solucin

Caso 2 Varianza 2 desconocida y X tiene Poblacin normal

A continuacin consideramos el caso donde la desviacin estndar de la poblacin se estima mediante la desviacin estndar muestral s. En este caso se puede utilizar la

distribucin t para hacer inferencias acerca del valor de la media de la poblacin.



Unilateral

01

00

:

:

H

H

Unilateral

01

00

:

:

H

H

Bilateral

01

00

:

:

H

H


4. Clculos. Hallar el valor del estadstico de la prueba

ns

xtc

/

0

1,1 nc tt 1,1 nc tt

1,2/1

1,2/1

nc

nc

tt

tt

5 Conclusiones.

Ejemplo3 Una compaa que se dedica a la venta de franquicias afirma que, por

trmino medio, los delegados obtienen durante el primer ao un rendimiento del 10% (para

clculo tomar 10) en sus inversiones iniciales. Una muestra aleatoria de 10 de estas

franquicias present los siguientes rendimientos el primer ao de operacin

6,1 9,2 11,5 8,6 12,1 3,9 8,4 10,1 9,4 8,9

a. Asumiendo que los rendimientos poblacionales tienen distribucin normal, contrastar la

afirmacin de la compaa.



Solucin

5

Prueba de hiptesis bilateral

1.

?10:0 H

para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por

trmino medio, los delegados obtienen durante el primer ao un

rendimiento del 10%

10:1 H Para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por trmino medio, los delegados no obtienen durante el primer ao un

rendimiento del 10%

2. 05.0 gl 0.975

Como alfa =0.05 975.02

1025.02

9 2.262



n = 10 100 xS

ns

xtc

/

0

Decisin Como tC cae en la regin se rechaza Ho.

5. Conclusin

Al nivel de significancia del 5%...............................suficiente evidencia para afirmar que

para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por trmino medio, los delegados

obtengan durante el primer ao un rendimiento del 10%

b) Hallando el p de la prueba

*212)(12)(12 9tPttPp c p rechazar Ho c. Qu tipo de error se comete?.............................................................................................. ...

Ejemplo 4 Cuando funciona correctamente un proceso produce frascos de champ

cuyo contenido pesa, en promedio 200 gramos. Una muestra aleatoria de nueve frascos de

una remesa present los siguientes pesos (en gramos) para el contenido

214 197 197 206 208 201 197 203 209

Asumiendo que la distribucin de la poblacin es normal, contrastar al nivel del 5%, la

hiptesis nula de que el proceso est funcionando correctamente.

Solucin

Ejemplo 5 Suponga que el peso (en kilogramos) de ciertos paneles publicitarios

sigue una distribucin normal. Para realizar un control de calidad de los mismos, se

tomaron al azar una muestra de 7 de ellos, encontrndose los siguientes resultados:

RRRR

RRRA

RRRR

6

Paneles 1 2 3 4 5 6 7

Peso(en kilos) 55,50 56,20 61,00 64,50 67,80 62,10 56,70

a. Se desea probar si las evidencia muestral permiten suponer que el verdadero peso

promedio de estos paneles es menos de 59 kilos. Sabiendo que los pesos siguen una

distribucin normal y = 0,05 b. Halle el p de la prueba


Solucin

Caso 3 Varianza 2 desconocida y n30

Desviacin estndar de la poblacin se estima mediante la desviacin estndar muestral

s



Unilateral

01

00

:

:

H

H

Unilateral

01

00

:

:

H

H

Bilateral

01

00

:

:

H

H


4. Clculos.

ns

xzc

/

0

1zzc 1zzc

2/1

2/1

zz

zz

c

c

Ejemplo 6 Los inspectores de INDECOPI al investigar el cargo levantado contra una

embotelladora de que no llena adecuadamente las botellas, tomaron una muestra de 100

botellas y encontraron que el contenido tena una media de 31,65 onzas con una desviacin

estndar de dos onzas. Las botellas indican en su etiqueta que contienen 32 onzas. Al nivel

de significacin del 2%.

a. Deberan los inspectores aceptar que las botellas estn siendo llenadas con menos contenido

medio que el indicado?



Solucin PRUEBA DE HIPTESIS UNILATERAL

1. 32:0 H

El contenido neto de las botellas es por lo menos a 32 onzas

32:1 H ? El contenido neto de las botellas es menos a 32 onzas

7

2. 02.0 98.01



n = 100 3265.312 0 xS

75.1

100

2

3265.31

/

0

nS

xzc

Decisin Como ZC se rechaza Ho.

5. Al nivel de significancia del 4% no hay suficiente evidencia para aceptar que la

embotelladora no llena adecuadamente las botellas, es decir, los inspectores de INDECOPI

no tenan razn

b) Usando el p de la prueba

02.00409.0)75.1()( zPzzPp c No se rechaza H0

c. Qu tipo de error se comete?............................................................................................

Ejemplo 7 Una cadena de restaurantes de comida rpida afirma en su anuncio

publicitario: Te atendemos en menos de 3 minutos. Para corroborar esta afirmacin se le encarga a usted verificarla y para ello decide seleccionar al azar una muestra de 50 clientes

de uno de estos restaurantes encontrando que el tiempo promedio de espera era de 2,75

minutos con una desviacin estndar de 1 minuto.

a. Ser cierta la afirmacin dada por esta cadena de restaurantes? Use un nivel de

significancia del 5%.



Solucin

PRUEBAS DE HIPTESIS PARA UNA PROPORCIN POBLACIONAL



Unilateral

01

00

:

:

ppH

ppH

Unilateral

01

00

:

:

ppH

ppH

Bilateral

01

00

:

:

ppH

ppH

2. Fijar el nivel de significacin

3. Regiones crticas

4. Clculo del estadstico de la prueba

RRRR

RRRA

8

n

qp

ppzc

00

0

1zzc 1zzc

2/1

2/1

zz

zz

c

c

5. Conclusiones

Ejemplo 8 El jefe de personal opina que el 18% de los empleados de la compaa

trabajan horas extras cada semana. El porcentaje observado esta semana en una muestra de

100 empleados es de 9%. Con un nivel de significacin del 5%. La opinin del jefe de

personal ha cambiado?

Solucin

Ejemplo 9 En una encuesta a 400 electores de un distrito, el 52 % estaban de

acuerdo con la gestin del alcalde. Con un nivel de significacin del 5%. Se puede afirmar

que ms de la mitad de los electores del distrito estn de acuerdo con la gestin del alcalde?

Solucin

Ejemplo 10 En abril del 2010 un diario de la capital public en base a una encuesta

realizada por una prestigiosa encuestadora a una muestra de 2735 limeos el siguiente

grfico:

9

Es posible concluir en base a la informacin muestral que a lo ms el 60% de los limeos

son trabajadores independientes? Use =0,03

Solucin

Ejemplo 11 Una organizacin de defensa del consumidor afirma que ms del 15% de

los clientes de una compaa que presta servicios de desratizacin necesita que se repita el

proceso despus del perodo de garanta de 90 das. Para determinar la validez de esta

afirmacin, selecciona una muestra aleatoria de 100 clientes y descubre que 22 necesitaron

repetir el proceso despus del perodo de garanta de 90 das. Usando un nivel de

significacin del 5%, hay evidencia estadstica de que la afirmacin sea vlida?

Solucin

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS VARIANZAS POBLACIONALES

Al comparar las varianzas de dos poblaciones normales usaremos datos obtenidos de dos

muestras aleatorias independientes, una de la poblacin 1 y la otra de la poblacin 2. Las

dos varianzas de las muestras, y sern la base para realizar la inferencia acerca de las dos

varianzas poblacionales 2

2

2

1 y Las muestras son independientes y las poblaciones tienen distribucin normal



2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

2. Fijar el nivel de significacin: alfa

3. Regiones crticas. F1, F2 valores crticos

10

1;1,2

2

12

1

nnF

F

1;1,2

121

nn

FF


2

2

2

1

s

sFc

n1 : Es el tamao de la muestra de la poblacin 1.

n2 : Es el tamao de la muestra de la poblacin 2. 2

1 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 1. 2

2 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 2. F: Es la distribucin F con n11 y n21 grados de libertad.

5. Conclusin

Ejemplo 12 .En un estudio de investigacin referente al nmero de accidentes de

trnsito diario que ocurren en Lima segn distrito, realizado por el Diario El Comercio,

destaca que tanto en el Cercado de Lima y en el Distrito de la Victoria en el ao 2008 son

los distritos que presentan mayor incidencia de accidentes. Bajo el supuesto de

normalidad de la variable en estudio. Con un nivel de significacin del 5%, existe

evidencia para afirmar que la variabilidad del nmero accidentes de trnsito diario es

diferente para ambos distritos?

Cercado (1) 70 90 84 65 75 85 71

La Victoria(2) 43 43 51 56 44 64 58

Distrito n media Desviacin

estndar

Accidentes

Cercado 7 77.14 9.263

La Victoria 7 51.29 3.160

Solucin

Ejemplo 13. La empresa de investigacin de mercados ABC realiza un estudio para

evaluar el tiempo que pasan conectados a Internet, por mes, adultos y jvenes de los

niveles socioeconmicos A y B. En un estudio preliminar, se concluy que, en promedio,

los adultos pasan ms tiempo conectados a Internet que los jvenes. Suponga que para

confirmarlo esta empresa toma una muestra de 25 adultos y otra de 21 jvenes. Las

desviaciones estndar de las cantidades de tiempo que pasan conectados a Internet son 94 y

58 minutos, respectivamente. Estos resultados favorecen la conclusin que las varianzas

de los tiempos que pasan conectados a Internet los adultos es diferente al de los

jvenes? Use alfa= 0,05. Asuma distribucin normal.

Solucin

11

Ejemplo 14 Una agencia de Informes de consumidores deseaba comparar el precio de

una marca particular de una calculadora en dos ciudades diferentes: Se seleccion una

muestra aleatoria de seis tiendas en una ciudad y de ocho tiendas en la segunda ciudad, con

los siguientes resultados

Usando un nivel de significacin del 5% se puede confirmar que existe una diferencia

significativa en la variabilidad del precio de la calculadora en las dos ciudades?

Solucin:

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

POBLACIONALES

Caso 1 : Varianzas conocidas de la poblacin, las muestras son independientes y cada una

de las poblaciones tiene distribucin normal o los tamaos de muestra son suficientemente

grandes.

Procedimiento para la prueba de hiptesis


Unilateral

211

210

:

:

H

H

Unilateral

211

210

:

:

H

H

Bilateral

211

210

:

:

H

H


4. Clculos: Estadstico de la prueba

2

2

2

1

2

1

2121

nn

uuxxzc

1zzc 1zzc

2/1

2/1

zz

zz

c

c

5. Conclusiones

Ciudad 1 10 12 9 14 12 10

Ciudad 2 13 16 8 12 14 13 11 14

12

Ejemplo 15 Se llev a cabo un estudio para comparar el tiempo que toma a los

hombres y mujeres efectuar determinada maniobra en una lnea de ensamble. Se utilizaron

muestras independientes de 50 hombres y 50 mujeres en un experimento en el cual se

tomaba a cada persona el tiempo para hacer tareas idnticas. Los resultados fueron los

siguientes:

Datos N 2 x Hombres1 50 18 42s

Mujeres2 50 14 38s

Presentaron estos datos la evidencia suficiente como para decir que hay una diferencia

entre los verdaderos tiempos de terminacin para hombres y mujeres? A un nivel se

significancia del 5%

Solucin

Para realizar las pruebas de hiptesis acerca de la diferencia entre las medias de dos

poblaciones con varianzas poblacionales desconocidas y poblaciones independientes que

siguen una distribucin normal, usaremos la distribucin t.

Aqu las varianzas poblacionales, pueden ser similares o diferentes, para ello ser

necesario realizar previamente la prueba de la razn de las varianzas poblacionales. Esto

afectar al clculo del error tpico de la diferencia de medias muestrales y el grado de

libertad del estadstico de prueba.

Caso 2 y 3 Varianzas desconocidas pero iguales o diferentes, las muestras son

independientes y las poblaciones tienen distribucin normal.



Unilateral

211

210

:

:

H

H

Unilateral

211

210

:

:

H

H

Bilateral

211

210

:

:

H

H

2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los valores crticos3. Regiones crticas

4. Clculos: estadstico de la prueba

Si las varianzas poblacionales son similares

221

21

2

2121

11

nn

p

c t

nnS

uuxxt

2

11

21

2

22

2

112

nn

snsnS p

Si las varianzas poblacionales son diferentes

vc t

n

s

n

s

uuxxt

2

2

2

1

2

1

2121

2

11 1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

v

Rechazar Ho si

13

1,1 nc tt 1,1 nc tt

1,2/1

1,2/1

nc

nc

tt

tt

5. Conclusiones.

Ejemplo 16 Ciertos observadores de medios afirman que la cantidad promedio de

minutos dedicados a las noticias de negocios y finanzas durante los noticieros de dos

canales de televisin no son similares. Para cada canal, seleccionaron de manera aleatoria

e independiente diez emisiones semanales y observaron durante la transmisin la cantidad

de minutos dedicados a la noticia de negocios y finanzas. Los tiempos medidos en estas

muestras independientes se presentan a continuacin. Asumiendo normalidad en las

poblaciones y varianzas similares en el tiempo que dedican a las noticias de negocios y

finanzas, es correcta la afirmacin de los observadores utilizando un nivel de significacin

del 5%?

Canal

8 (1) 3,8 2,7 4,9 3,4 3,7 4,5 4,2 2,8 3,5 4,6

Canal

10 (2) 3,6 4,0 4,5 5,2 4,8 4,3 5,7 3,5 3,7 5,8

Solucin

Ejemplo 17. Usted desea determinar si un cambio en os procedimientos has

disminuido el tiempo que su empresa se demora instalando el servicio de televisin

por cable en el domicilio del cliente. Para ello, posee los siguientes registros de

muestras aleatorias para el procedimiento viejo, tiene una muestra de 25 instalaciones

con un promedio muestral de 149 minutos y desviacin de 21 minutos, para el nuevo,

31 instalaciones con promedio muestral de 135 minutos y desviacin de 19 minutos.

a. Se desea saber si las varianzas de los procedimientos son iguales. Existe evidencia de diferencia en las varianzas, con una probabilidad

de incurrir en error tipo I del 1%?

Solucin

Se desea comparar las varianzas del procedimiento antiguo y del nuevo, a las cuales

se llamar respectivamente X;Y.

1ro PRUEBA DE HIPTESIS BILATERAL

2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

2. Fijar el nivel de significacin: alfa=0.01= Error tipo I

3. Regiones crticas. F1, F2 valores crticos

3484.087.2

1

1

1

24,30,005.0

1;1,2

2

12

F

FF

nn

30,24,005.0

1;1,2

121

F

FFnn

2.73

n1 =25: tamao de la muestra de la poblacin 1. n2 =31: tamao de la muestra de la

poblacin 2. 2

1 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 1. 2

2 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 2. F: Es la distribucin F con n11 =24y n21=30 grados de libertad.

14


2216.119

212

2

2

2

2

1 s

sFc

No Rechazo H0

5. Al nivel de significancia del 1% No existe evidencia de diferencia en las varianzas.

b. Existe evidencia de disminucin de los tiempos de instalacin, si usted desea correr

un riesgo mximo del 0.5% es decir que existe una disminucin, cuando en realidad

no la hay?

Solucin

1.

211

210

:

:

H

H

2. Fijar el nivel de significacin: =0.5% = 0.005 para hallar los valores crticos3. Regiones crticas

3. Clculo estadstico de la prueba

4.

6154.2

31

1

25

19137.19

0135149

11

21

2

2121

nnS

uuxxt

p

c

221

2

22

2

112 9137.192

11

nn

snsnS p

No rechazo H0

5. No existe evidencia para rechazar la igualdad de las medias.

c. Calcule la probabilidad de afirmar que no existe evidencia de disminucin de

tiempos, cuando en realidad dicha disminucin es de 10 minutos

Solucin

La probabilidad aqu solicitada corresponde a la definicin de , la probabilidad de incurrir en el error tipo II.

El valor sensible es una diferencia de 10 minutos.

Dada la conclusin de la prueba, el error tipo II se hace muy relevante para los resultados

de la misma. Es por eso que lo mejor es hallar lo desde el principio de la prueba

En este caso, el valor que separa las reas de rechazo y no rechazo, una vez estudentizado

es 2.6699 del cual se puede obtener el valor 21 xx al despejarlo de la definicin del estadstico de la prueba

msxx

nnS

nnS

uuxxt p

p

c

2924.1400723.0)9137.19(6699.2

0733.011

9137.196699.211

21

21

22

21

2

2121

De donde se debe calcular,

%69.78802.00723.09137.19

02924.14

)2924.14(

5454

21

tPtP

xxP

Como la probabilidad de cometer error tipo II e suficientemente grande como para

revaluar el tamao de muestra de la prueba. Si se supone que la desviacin

poblacional conjunta es de 20.6 (para ello se puede hacer una prueba de hiptesis) el

tamao que se requerira por diseo para alfa=0.5% y beta=5%

RRRR

RRRA

15

Sera

tiempos

zzn

yx

152010

645.1576.26.206.20

2

222

2

01

2

11

22

Este resultado implica 152 mediciones para el procedimiento antiguo, y 152 para el

nuevo.

En este caso el experimento deber repetirse.

Ejercicio 18 Un vendedor de jugo de naranja natural compra paquetes de 100 naranjas

de dos tipos y tiene la sospecha que la cantidad promedio de jugo extrado de la naranja

tipo 1 es mayor al del tipo 2. Al seleccionar al azar 10 paquetes de cada tipo de naranja y

anotar la cantidad de jugo extrado (en litros) obtuvo los siguientes resultados:

Tipo 1 20,3 22,5 23,3 29,1 26,5 22,1 20,8 28,6 23,3 21,5

Tipo 2 23,5 26,5 28,6 21,5 26,4 27,9 26,5 25,5 26,7 28,9

Adems se sabe que el vendedor compra mensualmente paquetes del tipo 1 y 2. Utilice un

nivel de significacin del 5% para corroborar su afirmacin.

Solucin

Ejemplo 19 El Gerente de Ventas de la compaa M&E desea analizar 2 tcnicas de

ventas A y B, para ello seleccion al azar 2 muestras aleatorias independientes de 31 y 41

vendedores que aplicaron las 2 tcnicas, obteniendo como resultado ventas promedio de 37

y 35 mil soles y varianzas de 21 y 9 (mil soles)2 respectivamente. Al nivel de significacin

del 5%.

a. Se puede inferir que la variabilidad de las ventas para las 2 tcnicas son diferentes?

b. Se puede inferir que el valor de las ventas promedio aplicando las tcnicas A y B no

son similares?

Solucin

16

Caso 4 Varianzas conocidas de la poblacin, las muestras son independientes y tiene

tamaos de muestra suficientemente grandes.



Unilateral

211

210

:

:

H

H

Unilateral

211

210

:

:

H

H

Bilateral

211

210

:

:

H

H



2

2

2

1

2

1

2121

n

s

n

s

uuxxzc

1zzc 1zzc 2/12/1 zzzz cc

5. Conclusiones

Ejemplo 20 El centro de exmenes del Touring Automvil Club del Per sostiene que

el puntaje promedio obtenido por los hombres al rendir el examen escrito para obtener la

licencia de conducir es mayor al puntaje promedio de las damas al rendir el mismo examen.

Para probar esta hiptesis la institucin tom dos muestras de postulantes que rindieron el

examen la ltima semana, obtenindose los siguientes resultados:

Hombres Mujeres

Tamao de muestra 41 46

Promedio 25,45 17,68

Desviacin estndar 1,3 1,2

Si se muestrearon dos poblaciones independientes se puede afirmar con un nivel de

significacin del 5% que es cierto lo manifestado por el centro de exmenes de esta

institucin?

Solucin

17

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS MEDIAS POBLACIONALES PAREADAS:

MUESTRAS DEPENDIENTES

La prueba estadstica t de Student para muestras dependientes es una extensin de la

utilizada para muestras independientes. De esta manera, los requisitos que deben

satisfacerse son los mismos, excepto la independencia de las muestras; es decir, en esta

prueba estadstica se exige dependencia entre ambas, en las que hay dos momentos uno

antes y otro despus. Con ello se da a entender que en el primer perodo, las observaciones

servirn de control o testigo, para conocer los cambios que se susciten despus de aplicar

una variable experimental.

En el diseo con muestras pareadas o dependientes se someten a prueba dos medias

poblacionales bajo condiciones similares; por consiguiente, este diseo conduce con

frecuencia a un menor error muestral que el diseo con muestras independientes.



Unilateral

211

210

:

:

H

H

Unilateral

211

210

:

:

H

H

Bilateral

211

210

:

:

H

H



n

s

udt

d

d

c

d:es la diferencia delapar de datos; de estos datos se obtiene la media y la desviacin

1,1 nc tt 1,1 nc tt

1,2/1

1,2/1

nc

nc

tt

tt

5. Conclusiones

Ejemplo 21 La publicidad del gimnasio Gym Center asegura que al trmino del curso

de 6 meses que ofrece se obtendr una efectiva prdida de peso corporal. Una muestra

aleatoria de 8 registros seleccionados al azar de este gimnasio permiti observar el peso

corporal (en Kilos) entre los meses de febrero a julio de 8 participantes que asistieron al

curso. Los resultados se muestran a continuacin:

Participante 1 2 3 4 5 6 7 8

Febrero

2011

70 103 63 73 95 74 83 77

Julio 2011 69 93 66 71 88 68 77 74

a. Si los pesos corporales se distribuyen normalmente y con un nivel de significancia del

5%, se puede afirmar que lo ofrecido por este gimnasio es cierto?

b. Halle el intervalo de confianza

Solucin

18

Ejemplo 22 Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la

efectividad de cierta campaa publicitaria, registrndose la informacin de sus consumos

realizados (en soles) antes y despus de observar por televisin la publicidad de dicho

producto. Los datos que se presentan a continuacin:

Sujetos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Antes (1) 201 231 221 260 228 237 326 235 240 267 284 201

Despus (2) 200 236 216 233 224 216 296 195 207 247 210 209

a. Con un nivel de significacin del 5% se puede concluir que la campaa publicitaria es

efectiva para aumentar los niveles de consumo de dicho producto? Asuma normalidad.

b. Halle el intervalo de confianza

Solucin

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS PROPORCIONES POBLACIONALES

En las pruebas de hiptesis en las que el valor hipottico de (p1 p2) es cero, el cero indica que no hay diferencia entre las dos proporciones poblacionales, p1 y p2.

En este caso se deben combinar las dos proporciones muestrales para obtener un estimado

de la proporcin poblacional. Si el valor hipottico de (p1 p2) es diferente de cero, entonces utilizaremos las proporciones muestrales para estimar el error tpico de la

diferencia de proporciones muestrales.


Unilateral

211

210

:

:

ppH

ppH

Unilateral

211

210

:

:

ppH

ppH

Bilateral

211

210

:

:

ppH

ppH

2. Fijar el nivel de significacin y hallar los valores crticos

3. Regiones crticas

4. Clculo del estadstico de la prueba

21

21

21

2211

21

2121

11)1(

nn

xx

nn

pnpnp

nnpp

pppp

zc

2

2

1

1

2#1#

n

muestralaenxitosdep

n

muestralaenxitosdep

1zzc 1zzc

2/1

2/1

zz

zz

c

c

5. Conclusiones

Ejemplo 23 En una encuesta realizada el ao pasado se determin que 20% de 505

hombres y 25% de 426 mujeres encuestados, estaban a favor de prohibir la venta libre de

cerveza, vinos y licores en el pas. Con un nivel de significacin del 5%, considera usted

que las mujeres favorecen ms a la prohibicin?

Solucin

19

Ejemplo 24 La asociacin de ex alumnos de la Facultad de Ingenieras y arquitectura

ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 graduados en el 2 010. En la muestra, 36

fueron de ingeniera de Sistemas e ingeniera Industrial y 64 de las otras especialidades.

Los resultados de cada muestra indican que 15 egresados de cada especialidad ganan por lo

menos 3 000 $ mensuales . Al nivel de significacin del 5% Existe diferencia entre la

proporcin de graduados de ingeniera de Sistemas e ingeniera Industrial y los egresados

de otras materias que ganan cuando menos 3 000 dlares mensuales?

Solucin

Ejemplo 25 Se tiene la siguiente informacin muestral resultante de una encuesta

realizada a alumnos de dos universidades:

Correo electrnico preferido

Hotmail Gmail Yahoo

Universidad A 85 75 95

Universidad B 107 98 65

Es posible afirmar que la proporcin de alumnos de la universidad A que no prefieren el

correo electrnico Gmail es mayor a la proporcin de alumnos de la universidad B? Utilice

un nivel de significancia del 1%.

Solucin

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