Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva … · · 2007-06-11Flexibles de...
Transcript of Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva … · · 2007-06-11Flexibles de...
Ubicación de dispositivos FACTS desdeuna perspectiva dinámica
Tesis que presenta
Ixtláhuatl Coronado Gallegos
Para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
En la especialidad de
Ingeniería Eléctrica
Guadalajara, Jalisco, Septiembre de 2001
Ubicación de dispositivos FACTS desdeuna perspectiva dinámica
Tesis de Maestría en Ciencias
Ingeniería Eléctrica
Por:
Ixtláhuatl Coronado Gallegos
Ingeniero Mecánico Electricista
Universidad Veracruzana 1993-1998
Becario de CONACyT, expediente No. 143816
Director de Tesis:
Dr. Juan Manuel Ramírez Arredondo
CINVESTAV del IPN Unidad Guadalajara, Septiembre de 2001
I
R E S U M E N
En éste trabajo se presentan técnicas para la localización de dispositivos FACTS (SistemasFlexibles de Transmisión de C.A) en un sistema de potencia multimáquinas a fin demejorar el comportamiento transitorio electromecánico.
En la primera parte se presenta una breve introducción acerca de los dispositivos FACTS,en la cual se mencionan algunas de sus principales características, clasificación y lasventajas que presenta su utilización.
En la siguiente parte, se desarrolla la formulación de la matriz de estado en el contextomáquina-barra infinita considerando la posibilidad de incluir un estabilizador de sistemasde potencia. Posteriormente se extiende la formulación a un sistema multimáquina. Ademásse analiza la forma de incluir un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC por sussiglas en inglés) y un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC por sus siglas eninglés).
Se lleva a cabo un análisis del UPFC en condiciones de estado estacionario y dinámico enun sistema máquina-barra infinita a fin de conocer sus características operativas y sucapacidad para amortiguar oscilaciones de potencia a través de sus entradas de control alutilizar señales locales.
En la última parte del trabajo se propone una metodología para atacar el problema de lalocalización de dispositivos FACTS, la cual esta basada en la técnica de respuesta a lafrecuencia del sistema. Para validar esta propuesta se utilizan algunos casos de estudio y secomparan los resultados obtenidos con los proporcionados por otras técnicas. Asimismo seproponen algunos medios auxiliares para la obtención de localizaciones factibles utilizandootras herramientas matemáticas como los valores singulares y las sensitividades.
Finalmente se llevan a cabo simulaciones en el tiempo para corroborar los resultadosobtenidos.
II
D E D I C AT O R I A
“Por mucho tiempo fuiste un sueño en el sueño de tu madre, luego despertó y te dio el ser.”
K. Gibrán
A mis padresNapoleón Coronado e Imelda Gallegos
A mis hermanosNapoleón, Imelda y Josué C.
A mis abuelosHiginia y Perfecto
a quienes debo todo lo que soy y pueda llegar a ser.
III
A G R A D E C I M I E N T O S
A Dios por haberme dado la oportunidad de completar esta meta.
A mi familia por su cariño, comprensión y apoyo incondicional en todo momento.
A todos los profesores de la especialidad de Sistemas Eléctricos de Potencia, Dr.Pablo Moreno Villalobos, Dr. José Luis Naredo Villagrán, Dr. Arturo Román Messina, Dr.José Manuel Cañedo Castañeda y en especial al Dr. Juan Manuel Ramírez Arredondo porsu apoyo y dirección en la realización de esta investigación.
A todo el grupo de Potencia 99 y agregados, por estar conmigo en las buenas y enlas malas, por todo lo que aprendí de cada uno de ustedes y sobre todo por su amistad.
A toda la gente del CINVESTAV y foráneos que han colaborado directa oindirectamente para llegar al final de esta empresa.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico brindadopara el desarrollo de este trabajo.
“En última instancia, llegarás al lugar desde donde podrá mirar atrás, ver todas las personas que han figuradoen tu vida y darte cuenta de que los encontraste porque tenían algo importante que enseñarte.”
W. Dyer
IV
Í N D I C E D E C O N T E N I D O
ÍNDICE DE FIGURAS VIII
CAPÍTULO 1INTRODUCCIÓN 1
1.1 Sistemas de transmisión flexibles de C.A. ________________________________ 2
1.2 Flujo de potencia en un sistema de C.A. _________________________________ 3
1.3 Clasificación _______________________________________________________ 4
1.4 Ubicación _________________________________________________________ 7
1.5 Ventajas en la utilización de dispositivos FACTS __________________________ 8
1.6 Estructura de la tesis_________________________________________________ 9
CAPÍTULO 2ESTABILIDAD DE SEÑAL PEQUEÑA PARA SISTEMAS MULTIMÁQUINAS 11
2.1 Introducción ______________________________________________________ 11
2.2 Formación de la matriz de estado para análisis de señal pequeña _____________ 12
2.3 Transformación de coordenadas d-q a coordenadas R-I_____________________ 14
2.4 Formación de la matriz de estado______________________________________ 15
2.5 Inclusión de un estabilizador de sistema de potencia (PSS) en la matriz de estado 19
2.5.1 Señal estabilizadora Washout ___________________________________________ 19
2.5.2 Compensación de adelanto de fase _______________________________________ 20
2.6 Modelado de cargas estáticas _________________________________________ 23
2.6.1 Representación de cargas estáticas _______________________________________ 23
V
2.7 Resumen _________________________________________________________ 26
CAPÍTULO 3REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO DE UN SISTEMAMULTIMÁQUINA 27
3.1 Introducción ______________________________________________________ 27
3.2 Formulación de las ecuaciones de estado________________________________ 28
3.3 Ecuaciones de estado de la máquina síncrona ____________________________ 28
3.4 Ecuaciones de la red ________________________________________________ 30
3.5 Integración de las ecuaciones de la red y del generador_____________________ 32
3.6 Inclusión de un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) _____________ 33
3.7 Inclusión de un Controlador Unificado de Flujo de Potencia (UPFC)__________ 39
3.7.1 Reducción del modelo del UPFC ________________________________________ 44
3.8 Resumen _________________________________________________________ 46
CAPÍTULO 4ANÁLISIS DEL CONTROLADOR UNIFICADO DE FLUJOS DE POTENCIA(UPFC) 47
4.1 Introducción ______________________________________________________ 47
4.2 Modelo del UPFC en estado estacionario _______________________________ 48
4.2.1 Ecuaciones de flujos de potencia en un sistema con UPFC's ___________________ 49
4.3 Inclusión del dispositivo UPFC en el problema máquina-barra infinita ________ 55
4.4 Análisis del UPFC en estado estacionario _______________________________ 57
4.4.1 Comportamiento ante cambios en los parámetros del sistema __________________ 59
4.4.1.1 Variación de las reactancias de los transformadores ET y BT ____________________ 59
4.4.1.2 Variación de la reactancia de línea _________________________________________ 60
4.4.1.3 Variación de la reactancia del transformador (Xtr)_____________________________ 60
4.4.1.4 Variación de la potencia de carga __________________________________________ 65
VI
4.4.1.5 Variación de la magnitud del voltaje en el nodo controlado ______________________ 69
4.4.1.6 Conclusiones __________________________________________________________ 71
4.5 Análisis dinámico ante pequeñas y grandes perturbaciones incluyendo un UPFC 71
4.5.1 Efecto de las señales de control del UPFC en el amortiguamiento de los modos deoscilación mecánicos __________________________________________________ 76
4.5.1.1 Análisis de señal pequeña ________________________________________________ 76
4.5.1.2 Análisis de estabilidad transitoria __________________________________________ 79
4.5.2 Retroalimentación de señales locales _____________________________________ 84
4.5.2.1 Análisis de señal pequeña ________________________________________________ 85
4.5.2.2 Análisis de estabilidad transitoria __________________________________________ 86
4.5.3 Sistema de control del UPFC____________________________________________ 88
4.5.3.1 Control proporcional integral para el enlace de CD____________________________ 89
4.5.3.2 Efecto de las señales de control del UPFC al utilizar un control PI en el enlace de CD. 92
4.6 Resumen _________________________________________________________ 97
CAPÍTULO 5LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS EN UN SISTEMAMULTIMÁQUINAS 99
5.1 Introducción ______________________________________________________ 99
5.2 Criterios para la localización de dispositivos FACTS _____________________ 100
5.3 Localización de controladores FACTS mediante residuos__________________ 100
5.4 Localización de dispositivos FACTS mediante respuesta en frecuencia _______ 102
5.4.1 Sistema retroalimentando la salida ______________________________________ 105
5.4.2 Caso de estudio _____________________________________________________ 106
5.4.3 Ejemplo de aplicación. Caso 46 máquinas. ________________________________ 111
5.5 Análisis de localizaciones factibles utilizando el valor singular _____________ 114
5.5.1 Valores singulares ___________________________________________________ 114
5.6 Pares de amortiguamiento y sincronización _____________________________ 116
VII
5.7 Sensitividades ____________________________________________________ 121
5.8 Resumen ________________________________________________________ 123
CAPÍTULO 6SIMULACIONES EN EL TIEMPO 125
6.1 Introducción _____________________________________________________ 125
6.2 Metodología _____________________________________________________ 126
6.2.1 Consideraciones para la rapidez de la convergencia del problema ______________ 128
6.3 Robustez de los controladores _______________________________________ 128
6.4 Aplicación_______________________________________________________ 129
6.5 Resumen ________________________________________________________ 142
CONCLUSIONES 143
APORTACIONES 144
TRABAJOS FUTUROS 145
PUBLICACIONES 146
APÉNDICE A 148
APÉNDICE B 150
APÉNDICE C 151
APÉNDICE D 153
APÉNDICE E 155
APÉNDICE F 158
APÉNDICE G 160
VIII
Í N D I C E D E F I G U R A S
Fig. 1.1. (a) Símbolo general de los controladores FACTS; (b) Controlador serie 4
Fig. 1.2. Controlador paralelo 5
Fig. 1.3. Controlador unificado serie – serie 5
Fig. 1.4. (a) Controlador coordinado serie – paralelo; (b) Controlador unificado serie –paralelo 6
Fig. 2.1. Transformación del marco de referencia 11
Fig. 2.2. Sistema de excitación estático 14
Fig. 2.3. Diagrama de un PSS 19
Fig. 2.4. Bloque Washout 19
Fig. 2.5. Bloque de compensación de adelanto de fase 20
Fig. 2.6. Bloque de compensación de adelanto de fase 21
Fig. 3.1. Sistema de 3 máquinas, 9 nodos 27
Fig. 3.2. TCSC como capacitancia variable en la línea i-k 35
Fig. 3.3. Esquema para el control del disparo de los tiristores 38
Fig. 3.4. Diagrama esquemático del UPFC 39
Fig. 3.5. (a) UPFC conectado en la línea que une al nodo i y k; (b) modelo del UPFCutilizando fuentes de voltaje; (c) modelo del UPFC utilizando fuentes de corriente 40
Fig. 4.1. Modelo de estado estacionario del UPFC 48
Fig. 4.2. Diagrama fasorial de un UPFC 48
Fig. 4.3. UPFC conectado en la línea l-m 49
Fig. 4.4. UPFC representado por inyecciones de potencia 51
Fig. 4.5. Sistema de 5 nodos, Stagg and El-Abiad 53
Fig. 4.6. UPFC instalado en un sistema de potencia máquina-barra infinita 55
Fig. 4.7. Sistema barra infinita incluyendo un UPFC 56
Fig. 4.8. Modelo monofásico equivalente de estado estacionario del UPFC en un sistemamáquina – barra infinita 58
Fig. 4.9. Retrato de flujos de carga 59
Fig. 4.10. Variación de VB y VE respecto a XS y XSh 61
IX
Fig. 4.11. Variación de SE y SB respecto a XS y XSh 62
Fig. 4.12. Variación de VB respecto a Xlin 62
Fig. 4.13. Variación de SB y S4 respecto a Xlin 63
Fig. 4.14. Variación de Vg y VE respecto a Xtr 63
Fig. 4.15. Variación de IE respecto a Xtr 64
Fig. 4.16. Variación de SE respecto a Xtr 64
Fig. 4.17. Variación de Vg, VB y VE respecto a PL 65
Fig. 4.18. Variación de IB e IE respecto a PL. 66
Fig. 4.19. Variación de SE, SB y S4 respecto a PL 66
Fig. 4.20. Variación de VB y VE respecto a QL 67
Fig. 4.21. Variación de IB e IE respecto a QL 68
Fig. 4.22. Variación de SE, SB y S4 respecto a QL 68
Fig. 4.23. Variación de Vg, VB y VE respecto a V3 69
Fig. 4.24. Variación de IB e IE respecto a V3 70
Fig. 4.25. Variación de SE, SB y S4 respecto a V3 70
Fig. 4.26. Respuesta del ángulo de potencia ante una falla trifásica en la barra infinita 74
Fig. 4.27. Respuesta de la velocidad angular ante una falla trifásica en la barra infinita 74
Fig. 4.28. Comportamiento del ángulo ante una falla trifásica en la barra infinita 77
Fig. 4.29. Comportamiento de la velocidad ante una falla trifásica en la barra infinita 77
Fig. 4.30. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales decontrol actúan en forma individual 80
Fig. 4.31. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando lasseñales de control actúan en forma individual 81
Fig. 4.32. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales decontrol actúan conjuntamente 82
Fig. 4.33. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando lasseñales de control actúan conjuntamente 83
Fig. 4.34. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real en la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE) 86
Fig. 4.35. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real en la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE) 87
Fig. 4.36. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real en la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE) 87
Fig. 4.37. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real en la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE) 88
Fig. 4.38. Sistema de control del UPFC 88
Fig. 4.39. Control proporcional para el enlace de C.D. 89
X
Fig. 4.40. Comportamiento de la posición angular cuando se tiene un control proporcional yun control proporcional-integral en el enlace de C.D. 91
Fig. 4.41. Comportamiento de la velocidad angular cuando se tiene un control proporcional yun control proporcional-integral en el enlace de CD. 91
Fig. 4.42. Comportamiento del voltaje en el enlace de CD cuando se tiene un controlproporcional y un control proporcional-integral. 92
Fig. 4.43. Comportamiento de la posición angular para cada una de las entradas de controlante una falla en la barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación lavelocidad angular. 93
Fig. 4.44. Comportamiento de la velocidad angular para cada una de las entradas de controlante una falla en la barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación lavelocidad angular. 94
Fig. 4.45. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real como retroalimentación (control PI en el enlace de CD) 96
Fig. 4.46. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real como retroalimentación (control PI en el enlace de CD) 97
Fig. 5.1. Sistema de potencia con tres máquinas 101
Fig. 5.2. Configuración del sistema retroalimentado 103
Fig. 5.3. Gráficas de respuesta a la frecuencia para G1(s) y G2(s) 104
Fig. 5.4. Diagrama de flujos para la localización de dispositivos FACTS 104
Fig. 5.5. Sistema de potencia de tres máquinas 105
Fig. 5.6. Respuestas de lazo abierto y lazo cerrado con el UPFC en la línea 4-5 107
Fig. 5.8. Gráficas de respuesta a la frecuencia para la ω1 (frecuencia menor), cuando elUPFC se inserta en la línea 75-84. 111
Fig. 5.7. Sistema de 46 máquinas y 190 nodos. 112
Fig. 5.9. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS. 117
Fig. 6.1. Controlador tipo PSS 127
Fig. 6.2. Algoritmo para coordinar controladores tipo adelanto-atraso 130
Fig. 6.3. Estabilizadores para el TCSC y el UPFC 131
Fig. 6.4. Ángulo del generador 12 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59 132
Fig. 6.5. Ángulo del generador 45 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59 133
Fig. 6.6. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 59 133
Fig. 6.7. Potencia eléctrica del generador 3 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 59 134
Fig. 6.8. Ángulo del generador 4 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78 134
Fig. 6.9. Ángulo del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78 135
XI
Fig. 6.10. Velocidad del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78 135
Fig. 6.11. Velocidad del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78 136
Fig. 6.12. Potencia eléctrica del generador 4 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 78 136
Fig. 6.13. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 78 137
Fig. 6.14. Ángulo del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185 137
Fig. 6.15. Ángulo del generador 39 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185 138
Fig. 6.16. Velocidad del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185 138
Fig. 6.17. Potencia eléctrica del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 185 139
Fig. 6.18. Ángulo del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53 139
Fig. 6.19. Ángulo del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53 140
Fig. 6.20. Velocidad del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53 140
Fig. 6.21. Velocidad del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53 141
Fig. 6.22. Potencia eléctrica del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 53 141
Fig. 6.23. Potencia eléctrica del generador 6 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 53 142
1
C A P Í T U L O 1
I N T R O D U C C I Ó N
Los sistemas de transmisión y distribución de las empresas eléctricas han comenzado unperíodo de cambio, debido principalmente a la creciente demanda de energía eléctrica, laapertura de los mercados, así como el desarrollo en la electrónica de potencia,microprocesadores y comunicaciones en general.
En la actualidad los sistemas de potencia presentan un gran nivel de interconexiones debidoa las ventajas que éstas representan, como son la posibilidad de poder suministrar energíaeléctrica a los centros de carga al mínimo costo con la confiabilidad requerida, tenerasistencia mutua en emergencias, y coordinación de la operación de todas las unidadesgeneradoras participantes. Sin embargo, esto ha traído como consecuencia un crecimientoexcesivo de los sistemas de potencia haciendo que estos sean cada vez más difíciles decontrolar y por lo tanto, pueden ser menos seguros, conducir grandes flujos de potencia concontrol inadecuado, tener exceso de potencia reactiva en varias zonas del sistema, grandesoscilaciones dinámicas entre diferentes partes del sistema, y así el potencial de transmisiónno siempre se puede utilizar al cien por ciento. Aunado a esto, el costo de las líneas detransmisión, así como las dificultades que representa su construcción, limitan ladisponibilidad y el crecimiento de la capacidad de generación. Además, en un sistema detransmisión complejo, la potencia entre una estación generadora y los centros de cargafluye a través de numerosas líneas, éste fenómeno se conoce como flujo en anillo o flujopor rutas paralelas. En un mercado de servicio eléctrico desregulado, éste fenómeno causaproblemas en las empresas eléctricas ya que la energía eléctrica no fluye basada en leyeseconómicas, por lo tanto, el manejo de la transmisión de energía es de principal interés parael establecimiento de una competencia real en el mercado eléctrico [1].
Tradicionalmente las principales acciones de control en un sistema de potencia, tales comoel cambio de taps de los transformadores, o la conmutación de la corriente, se han llevado acabo a través de dispositivos mecánicos. En la actualidad, hay una gran utilización dedispositivos microeléctronicos, computadoras y comunicaciones de alta velocidad para elcontrol y protección de los sistemas de transmisión; sin embargo, cuando las señales deoperación se envían a los circuitos de potencia, y se toma la acción de control final, losdispositivos de conmutación mecánicos presentan una respuesta lenta. Otro problema conlos dispositivos mecánicos es que el control puede fallar, ya que estos tienden a desgastarsecon rapidez respecto a los dispositivos estáticos. De tal forma que la falta de controlesrápidos y confiables puede resultar en:
2
! Problemas de estabilidad! Flujo de potencia por líneas no deseadas! Flujo indeseable de reactivos! Salidas en cascada como consecuencia de los grandes tiempos de restauración! Mal aprovechamiento de la capacidad de transmisión
Así, desde un punto de vista de operación dinámica y de estado estacionario, el sistemapuede tornarse incontrolable.
1.1 SISTEMAS DE TRANSMISIÓN FLEXIBLES DE C.A.
El desarrollo de la electrónica de potencia ha conducido al desarrollo e implementación dedispositivos que realizan las mismas funciones que los mecánicos, pero con una mayorvelocidad de operación y menos problemas técnicos. La filosofía de los sistemas detransmisión flexibles de C.A. (FACTS), desarrollada a finales de los 80s, es el uso dedispositivos basados en tiristores para controlar el flujo de potencia en una línea detransmisión, esto permite utilizar las líneas cerca de sus límites térmicos y/o forzar losflujos de potencia por rutas determinadas. Debido a la rapidez en su operación, estosdispositivos también pueden ser utilizados para controlar problemas dinámicos del sistema.De acuerdo al IEEE la definición de estos dispositivos es la siguiente [2]:
“Sistema de transmisión de corriente alterna que incorpora controladores estáticosbasados en electrónica de potencia para mejorar la controlabilidad e incrementar lacapacidad de transferencia de potencia.”
El concepto de FACTS es nuevo♦ , no obstante, incluye a los compensadores estáticos deVAR´s, los cuales han sido utilizados desde los años 70. De hecho, fueron utilizados porprimera vez en el control de un sistema de transmisión de C.A. en 1978 [3] en un proyectoconjunto de EPRI y la Minnesota Power and Light. Sin embargo, para algunoscontroladores FACTS que están emergiendo actualmente no se tiene la experiencia con laque se cuenta con otros dispositivos teniendo como consecuencia los riesgos asociados a lanueva tecnología. A pesar de esto, la mayoría de los controladores FACTS tienen muchascaracterísticas en común con aquellos que ya han sido probados, lo cual es un gran apoyopara la utilización de los mismos.
La tecnología de FACTS abre nuevas oportunidades en el control de la potencia y elincremento de la capacidad disponible, ya que la posibilidad de controlar la corriente através de una línea a un costo razonable, permite incrementar la capacidad de las líneasexistentes. Esto se puede lograr debido a que estos dispositivos tienen la capacidad demanejar parámetros que actualmente restringen a los sistemas eléctricos de potencia(impedancia serie y shunt, ángulo de fase, oscilaciones a frecuencia subsíncronas),permitiendo además operar las líneas de transmisión cerca de sus límites térmicos, lo queanteriormente no era posible sin violar las restricciones de seguridad del sistema.
♦ El concepto de FACTS fue introducido por Hingonari a la comunidad técnica en 1988 [4].
3
Asimismo, el desarrollo de estos dispositivos también ha tenido repercusiones importantesen el aspecto económico de las compañías suministradoras, debido al ambiente competitivoactual (desregulación). El potencial de esta tecnología se basa en la posibilidad de controlarla ruta del flujo de potencia y la habilidad de conectar redes que no estén adecuadamenteinterconectadas, dando la posibilidad de comerciar energía entre agentes distantes lo queantes era muy difícil.
1.2 FLUJO DE POTENCIA EN UN SISTEMA DE C.A.
Una de las características de los sistemas eléctricos de potencia, es que la energía eléctricagenerada debe ser igual a la energía demandada, ya que la energía eléctrica no puedealmacenarse. Si no se consigue este balance de energía en cada momento, se puedenpresentar ciertos problemas. Por ejemplo, si la generación es menor que la carga, el voltajey la frecuencia disminuirán y como consecuencia la carga será igual a la generación menoslas pérdidas de transmisión. Cuando se tiene un balance generación-carga, la potencia realfluye de las áreas de generación a las áreas de carga a través de todas las rutas disponibles.
El flujo de potencia entre dos puntos a través de una línea de transmisión sin pérdidas estádado por la ecuación
ij
ji
jiij X
)sen(VVP
θ−θ= (1.1)
De esta expresión se puede ver que la potencia que fluye por una línea depende de losparámetros físicos de la red: voltaje en los extremos de la línea, V, impedancia de la línea,Xij, y la diferencia angular entre los voltajes, θ i - θ j.
La característica principal de los controladores FACTS, es la capacidad que tienen paramodificar parámetros del sistema, lo cual permite controlar el flujo de potencia, ya que:
• Al controlar la impedancia de la línea Xij, se puede controlar la corriente, así como lapotencia activa.
• El control del ángulo, permite controlar el flujo de corriente.• Inyectar un voltaje en serie con la línea y ortogonal a la corriente, puede aumentar o
disminuir la magnitud de la corriente.• Inyectar un voltaje en serie con la línea y con cualquier ángulo de fase, puede controlar
la magnitud y la fase de la corriente de línea y por lo tanto, se puede controlar lapotencia real y reactiva de forma más precisa.
• La combinación del control de la impedancia de línea con un controlador serie, y laregulación de voltaje con un controlador shunt puede ser una medida efectiva decontrolar el flujo de potencia real y reactiva entre dos sistemas.
El elemento básico de los FACTS es el tiristor. Esencialmente el tiristor es un conmutadorcontrolado de silicio, con un ánodo, un cátodo y una terminal de control llamadacompuerta. Existen dos tipos principales de tiristores: el Rectificador Controlado de Silicio(SCR), conocido también como tiristor convencional que tiene la capacidad de encendido
4
mediante una señal adecuada, y el tiristor con capacidad de apagado (GTO) el cual puedeencenderse y apagarse mediante señales adecuadas.
Las ventajas que presenta el tiristor sobre los dispositivos de conmutación mecánica son:
1. Los tiristores son capaces de conmutar mucho más rápido y además se puedenutilizar para redireccionar la potencia en una fracción de ciclo. Esta ventaja permiteamortiguar oscilaciones de potencia, lo cual no puede hacerse con controladoresmecánicos.
2. Los dispositivos de conmutación mecánica tienden a desgastarse, mientras que loscontroladores basados en tiristores pueden conmutar dos veces cada ciclo sindeteriorarse.
Los controladores basados en tiristores ofrecen oportunidades sin precedentes para regularla transmisión de C.A., incrementando o disminuyendo el flujo de potencia en líneasespecíficas y respondiendo de manera casi instantánea a los problemas de estabilidad.
1.3 CLASIFICACIÓN
Existen diferentes clasificaciones para los dispositivos FACTS, una de ellas se da enfunción del tipo de conexión de los dispositivos, llevando a cuatro grandes categorías:
Dispositivos SerieEl objetivo principal de un dispositivo serie es el de inyectar un voltaje en serie con la línea,el cual puede provenir de una fuente variable basada en electrónica de potencia o de unaimpedancia variable que puede ser un capacitor, reactor, etc. Una impedancia variablemultiplicada por la corriente que fluye a través de ella, representa un voltaje en serieinyectado a la línea; cuando el voltaje está en cuadratura con la corriente de línea, elcontrolador serie sólo suministra o consume potencia reactiva. Otra relación de fasesimplicará el manejo de potencia real. La Fig. 1.1(b) representa un controlador serie.
Línea
(a)
e
(b)
Fig. 1.1. (a) Símbolo general de los controladores FACTS; (b) Controlador serie
5
Dispositivos en derivaciónEl objetivo principal de un dispositivo en derivación es el de inyectar una corriente a la reden el punto de conexión. Al igual que los dispositivos serie, los controladores en derivacióntambién pueden ser una impedancia variable, una fuente variable o una combinación deambas. De aquí que una impedancia variable, conectada en derivación a una línea, hace quefluya una corriente hacia ella; cuando esta corriente está en cuadratura con el voltaje delínea, el controlador shunt, sólo podrá suministrar o consumir potencia reactiva. En la Fig.1.2, se puede apreciar la representación del dispositivo.
Línea
i
Fig. 1.2. Controlador paralelo
Dispositivos Serie-SerieEn este tipo de dispositivos pueden presentarse dos diferentes configuraciones. En laprimera se tienen dispositivos serie separados en un sistema de transmisión multilínea quese controlan de manera coordinada; en la segunda, puede ser un dispositivo unificado en elque existe además intercambio de potencia real entre líneas. Este último dispositivo seconoce como Controlador de Flujo de Potencia Interlínea (IPFC). La Fig. 1.3, muestra larepresentación de este dispositivo.
Líneas de CAEnlacede CD
Fig. 1.3. Controlador unificado serie – serie
Dispositivos Serie-DerivaciónEste tipo de dispositivo puede ser la combinación de dispositivos serie y derivación,controlados de una manera coordinada inyectando voltaje y corriente respectivamente, o unControlador Unificado de Flujo de Potencia (UPFC), Fig. 1.4(b), con elementos serie yderivación en el que existe además intercambio de potencia real entre ambos.
6
e
Línea
i
ControlCoordinado
i
e
Línea
Enlacede CD
(a)
(b)
Fig. 1.4. (a) Controlador coordinado serie – paralelo; (b) Controlador unificado serie – paralelo
Cada uno de los dispositivos mencionados presentan ciertas características operativas quehacen que tengan un impacto distinto en el sistema al cual se conectan. Por ejemplo, parapropósitos de aplicación, como el control del flujo de potencia y el amortiguamiento deoscilaciones, un controlador serie puede ser mejor que un controlador en derivación. Porotra parte, un controlador en derivación es mucho más efectivo para mantener el perfil devoltaje en un nodo. Cabe hacer mención que para los controladores basados enconvertidores hay dos tipos de ellos: fuentes convertidoras de voltaje y fuentesconvertidoras de corriente. La función de estos dispositivos es la de convertir el voltajeunidireccional de CD o la corriente de CD del capacitor en un voltaje de CA o corriente deCA a través de la conmutación en forma secuencial de sus componentes.Los controladores FACTS, también pueden clasificarse en dos grupos, en función de susprincipales elementos. El primer grupo utiliza impedancias o transformadores cambiadoresde taps controlados por tiristores. Dentro de este grupo se encuentran:
SVC Compensador estático de VAR'sTCVR Regulador de voltaje controlado por tiristoresTCPAR Regulador de ángulo de fase controlado por tiristoresTCSC Capacitor serie controlado por tiristores
El segundo grupo utiliza convertidores de voltaje que actúan como fuentes estáticas devoltaje síncrono. A este grupo corresponden:
STATCOM Compensador estático síncronoSSSC Compensador serie estático síncrono
7
La principal diferencia entre estos grupos estriba en la capacidad para generar potenciareactiva e intercambiar potencia real. De tal forma que en el primer grupo, estas habilidadesson excluyentes, ya que el SVC y el TCSC, son compensadores de reactivos pero no soncapaces de intercambiar potencia real con el sistema, o en el caso del TCVR y TCPAR, loscuales pueden intercambiar potencia real o reactiva, pero no son capaces de generarpotencia reactiva. El segundo grupo tiene la capacidad inherente, como una máquinasíncrona, para intercambiar potencia real y reactiva con el sistema, además de generar oabsorber de forma automática la potencia reactiva intercambiada, teniendo comoconsecuencia compensación reactiva sin capacitores o reactores de C.A.; sin embargo, lapotencia real intercambiada se debe suministrar o absorber a través del sistema de C.A.
La Tabla 1.1, resume los principales dispositivos, de los que cuales algunos aún están enetapa de desarrollo y experimentación [2].
1.4 UBICACIÓN
Existen tres factores a considerar cuando se ha tomado la decisión de instalar un dispositivoFACTS:
• El tipo de dispositivo• La capacidad requerida• La ubicación que optimice el funcionamiento del dispositivo
De estos factores, el último es de gran importancia, ya que la ubicación de los FACTSdepende del efecto deseado y de las características propias del sistema. Por ejemplo, si sedesea evitar el flujo en anilloa, primero se tiene que identificar el anillo y después se debeubicar el dispositivo en una de las líneas de transmisión de éste para forzar el flujo en lamanera deseada. Ahora bien, si se desea mejorar la operación económica del sistema alincrementar la capacidad de transmisión de potencia, el dispositivo FACTS se puede ubicaren una línea subutilizada, aumentando el flujo a través de ella, o bien, colocarlo en la líneamás cargada para limitar el flujo por la misma, permitiendo mayor flujo por el resto delsistema.
Otro aspecto que hay que tomar en cuenta es la selección de las señales deretroalimentación para estos dispositivos, ya que ésta información es de vital importanciapara el diseño de estabilizadores basados en dispositivos FACTS. El criterio para laselección ha sido la capacidad máxima de los estabilizadores para amortiguar lasoscilaciones en el sistema de potencia. Sin embargo, para un buen diseño de losestabilizadores, además de la máxima eficiencia de los mismos, un factor relevante es larobustez de los estabilizadores a las condiciones de operación del sistema de potencia. Estosignifica que en la etapa de selección de la localización y las señales de retroalimentación,se debe examinar no sólo la efectividad de los estabilizadores en condiciones típicas deoperación, sino también su robustez sobre otras condiciones de operación [5].
a La diferencia entre una ruta directa y la determinada por la red se denomina "flujo en anillo", que se caracteriza por unacirculación de potencia que disminuye la capacidad disponible de la línea.
8
Tabla 1.1 Principales dispositivos FACTS desarrollados y en experimentación
Controladores FACTS Atributos de ControlCompensador Estático Síncrono(STATCOM sinalmacenamiento)
Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad de voltaje
Compensador Estático Síncrono(STATCOM conalmacenamiento)
Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje
Compensador estático de VAR's(SVC, TCR, TCS, TRS)
Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad de voltaje
Resistencia de interrupcióncontrolada por tiristores (TCBR)
Amortiguamiento de oscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica
Compensador serie estáticosíncrono (SSSC sinalmacenamiento)
Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitación de lacorriente de falla
Compensador serie estáticosíncrono (SSSC conalmacenamiento)
Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje
Capacitor serie controlado portiristores (TCSC, TSSC)
Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitación de lacorriente de falla
Reactor serie controlado portiristores (TCSR, TSSR)
Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitación de lacorriente de falla
Transformador cambiador defase controlado por tiristores(TCPST o TCPR)
Control de potencia activa, amortiguamiento de oscilaciones,estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad de voltaje
Controlador Unificado de Flujode Potencia (UPFC)
Control de potencia activa y reactiva, control de voltaje,compensación de VAR's, amortiguamiento de oscilaciones,estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitaciónde la corriente de falla
Limitador de voltaje controladopor tiristores (TCVL)
Limite de voltaje dinámico y transitorio
Regulador de voltaje controladopor tiristores (TCVR)
Control de potencia reactiva, control de voltaje, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje
Controlador de flujo de potenciainterlínea (IPFC)
Control de potencia reactiva, control de voltaje, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje
1.5 VENTAJAS EN LA UTILIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS
Las siguientes características resumen las principales ventajas que representa el uso dedispositivos FACTS.
• Permiten un mayor control sobre el flujo de potencia, dirigiéndolo a través de rutaspredeterminadas
• Se puede operar con niveles de carga seguros (sin sobrecarga) y cercanos a los límitestérmicos de las líneas de transmisión.
• Mayor capacidad de transferencia de potencia entre áreas controladas, con lo que elmargen de reserva en generación puede reducirse considerablemente.
9
• Incrementan la seguridad del sistema al aumentar el límite de estabilidad transitoria.• Amortiguar oscilaciones del sistema de potencia que dañan los equipos y limitan la
capacidad de transmisión disponible.• Responder rápidamente a los cambios en las condiciones de la red para proporcionar un
control del flujo de potencia en tiempo real.• Proveen una mayor flexibilidad en la localización de nuevas plantas generadoras.• Proporcionan seguridad en las conexiones a través de las líneas de enlace entre
empresas y regiones vecinas.
Una propiedad única de los FACTS es la gran flexibilidad que presentan en los tres estadosoperativos del sistema de potencia: prefalla, falla y postfalla. La capacidad para controlartransitorios y para impactar rápida y significativamente el estado de postfalla los hacesumamente atractivos [6].
1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS
La tesis está dividida en cuatro partes En la primera, que comprende los capítulos dos ytres, se hace la formulación en variables de estado de un sistema de potencia empezandocon una sola máquina y finalmente se traslada al contexto de un sistema multimáquinastomando en cuenta la inclusión de dispositivos FACTS, particularmente el capacitor seriecontrolado por tiristores (TCSC) y el controlador unificado de flujos de potencia (UPFC).
En la segunda parte, capítulo cuatro, se realiza un estudio de un dispositivo FACTS conmúltiples señales de control y se estudian sus características operativas y su capacidad paraimpactar en los modos de oscilación electromecánicos en el contexto máquina-barrainfinita.
En la tercera parte se analiza la ubicación de dispositivos FACTS desde el punto de vistadinámico y se propone una técnica de localización basada en la respuesta a la frecuencia. Seconsideran adicionalmente herramientas matemáticas como valores singulares ysensitividades y se propone la forma de utilizarlas en el problema de localización dedispositivos FACTS. Se utilizan algunos sistemas de potencia para ejemplificar lametodología propuesta.
En la última parte se utilizan las formulaciones desarrolladas anteriormente y seejemplifican con un estudio dinámico de un sistema de potencia de 46 máquinas y 190nodos, equivalente del sistema nacional, en el cual se instala un TCSC y un UPFC. Serealizan simulaciones en el tiempo para distintas condiciones operativas y fallas en distintosnodos
REFERENCIAS
[1] E. J. Oliveira, J. W. Marangon Lima and J. L. R. Pereira, “Flexible A.C. transmissionsystem devices: allocation and transmission pricing”. Electrical Power and EnergySystems, pp. 111-118, 1999.
10
[2] N. G. Hingorani and Laszlo Gyugyi, “Understanding FACTS”. IEEE Press, 2000.
[3] S. L. Nilsson, “Security aspects of flexible AC transmission system controllerapplications”, Electrical Power and Energy Systems, Vol. 17, No. 3, pp. 173-179,1995.
[4] M. Pavella, P. G. Murthy, “Transient Stability of Power Systems, Theory andPractice” Jonh Wiley & Sons, England (1994).
[5] H. F. Wang, “Selection of Robust Installing Locations and Feedback Signals ofFACTS-based Stabilizers in Multi-machine Power Systems”. IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 14, No. 2, pp. 569-574, May 1995.
[6] B. Avramovic and L. H. Fink, “Energy management systems and control of FACTS”,Electrical Power and Energy Systems, Vol. 17, No. 3, pp. 195-198, 1995.
11
C A P Í T U L O 2
E S TA B I L I D A D D E S E Ñ A LP E Q U E Ñ A PA R A S I S T E M A S
M U LT I M Á Q U I N A S
2.1 INTRODUCCIÓN
El análisis de sistemas de potencia implica la solución simultánea de ecuaciones querepresentan:
! Máquinas síncronas, los sistemas de excitación asociados y primo motores.! Sistema de transmisión.! Cargas estáticas y dinámicas.! Otros dispositivos tales como los FACTS.
Cada modelo de la máquina está expresado en su propio marco de referencia (d-q) el cualgira con su rotor. Para la solución de las ecuaciones de interconexión con la red, todos losvoltajes y las corrientes deben expresarse en un marco de referencia común.Frecuentemente se utiliza como referencia común un marco de referencia rotando a lavelocidad síncrona. Para transformar los marcos de referencia entre cada máquina (d-q) y lareferencia común (R-I) se pueden utilizar las ecuaciones de transformación de ejes como semuestra en la Fig. 2.1.
R
I
d
q Vt
δ
ω
ωVR
VI
VdVq
Fig. 2.1. Transformación del marco de referencia
12
El eje real (R) del marco de referencia común, sirve como referencia para medir la posicióndel rotor de la máquina. Para una máquina síncrona que incluye las dinámicas de uno o máscircuitos del rotor, el ángulo del rotor δ se define como el ángulo por el cual el eje q de lamáquina adelanta al eje R. Bajo condiciones dinámicas, el ángulo δ cambia con lavelocidad del rotor.
La formulación de las ecuaciones de estado para análisis de señal pequeña involucra eldesarrollo de ecuaciones linealizadas alrededor de un punto de operación y la eliminaciónde todas aquellas variables que no sean variables de estado.
2.2 FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ESTADO PARA ANÁLISIS DESEÑAL PEQUEÑA
Como primer paso para la formación de la matriz de estado para un sistema multimáquina,es necesario linealizar las ecuaciones que modelan la máquina síncrona, así como lasrelaciones que ésta guarda con el sistema de potencia. Para ejemplificar, en el presenteanálisis se utiliza el modelo de la máquina síncrona de cuarto orden, tomando enconsideración un sistema de excitación estático.
Modelo de la máquina síncrona
a) Ecuación de oscilación
refdt
d ωωδ −= (2.1)
( )[ ]refemj
DTTTdt
d ωωω −−−= 1(2.2)
donde
( ) qddqqqdde iiXXiEiET '''' −++= (2.3)
b) Ecuaciones de voltajes internos transitorios
( )[ ]dddqfddo
q iXXEET
Edt
d''
'
1' −−−= (2.4)
( )[ ]qqqdqo
d iXXET
Edt
d''
'
1' −−−= (2.5)
c) Ecuación del voltaje en terminales
+
−−
−=
q
d
q
d
ad
qa
q
d
E
E
i
i
RX
XR
V
V
'
'
'
'(2.6)
13
donde:
δ ángulo de potencia del generadorω velocidad angular del rotorωref velocidad síncronaTj 2H/ωo, donde H es la constante de inercia.Tm par mecánico aplicado a la flechaTe par eléctricoD factor de amortiguamientoid , iq corrientes del estator en eje directo y el eje en cuadraturaVd , Vq voltajes del estator en eje directo y el eje en cuadraturaEfd voltaje de campoE’d componente en el eje d de la fem transitoria interna proporcional a los
enlaces de flujo del eje q.E’q componente en el eje q de la fem transitoria interna proporcional a los
enlaces de flujo del devanado de campo.Ra resistencia de armaduraXd , Xq reactancias síncronasX’d , X’q reactancias transitoriasT’do , T’qo constantes de tiempo transitorias en circuito abierto
Linealizando las ecuaciones anteriores tenemos las expresiones en forma incremental:
ωδ ∆=∆dt
d(2.1 a)
[ ]ωω ∆−∆−∆=∆ DTTTdt
dem
j
1 (2.2 a)
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) qqoddoqdodqqodqodqdoe EiEiiiXXEiiXXET '''''''' ∆+∆+∆−++∆−+=∆ (2.3 a)
))((1 ''
'
'dddqfd
doq iXXEE
TE
dt
d ∆−−∆−∆=∆ (2.4 a)
))((1 ''
'
'qqqd
qod iXXE
TE
dt
d ∆−+∆−=∆ (2.5 a)
∆∆
−−
∆∆
=
∆∆
q
d
ad
qa
q
d
q
d
i
i
RX
XR
E
E
V
V'
'
'
'
(2.6 a)
El término ∆∆∆∆ representa incremento, y el subíndice o indica condición estacionaria.
Se incluye un sistema de excitación estático como el de la Fig. 2.2 resultando,
14
( )tSrefA
Afd VVV
sT
kE −+
+=
1(2.7)
o bien
( )[ ]tSrefAfdA
fd VVVkET
Edt
d −++−= 1
que al linealizarse se tiene,
( )[ ]tSrefAfdA
fd VVVkET
Edt
d ∆−∆+∆+∆−=∆ 1(2.7 a)
Fig. 2.2. Sistema de excitación estático
Para la magnitud del voltaje en terminales tenemos
22
IR ttt VVV +=que conduce a,
I
IoRo
Io
R
IoRo
Ro
t
tt
tt
tt
tt V
VV
VV
VV
VV ∆
++∆
+=∆
2222
donde el subíndice R e I indican las componentes real e imaginaria, respectivamente.
2.3 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS d-q A COORDENADASR-I
En la forma en que se ha abordado la formulación se puede apreciar que las corrientes y losvoltajes están en función de las coordenadas d-q referentes a la máquina síncrona, sinembargo, para poder utilizar estas ecuaciones en el marco de referencia de la red, va a sernecesario transformar estas coordenadas al sistema real e imaginario, para que nos permitasu utilización. Esta transformación es válida tanto para las corrientes como para losvoltajes:
KA
1+sTA
Vref
Vt
+
-
Vs
+ Efd
15
−=
I
R
q
d
V
V
sen
sen
V
V
δδδδ
cos
cos(2.8)
−=
I
R
q
d
I
I
sen
sen
I
I
δδδδ
cos
cos(2.9)
desarrollando las ecuaciones anteriores
δδδδ
senVVV
VsenVV
IRq
IRd
+=−=
cos
cos
Linealizando éstas expresiones resulta
δδδ
δδδδδδ
∆
+−
++
∆∆
−=
∆∆
ooIooR
ooIooR
I
R
oo
oo
q
d
VV
VV
V
V
V
V
cossen
sencos
sencos
cossen
que es equivalente a
δδδδδ
∆
−
+
∆∆
−=
∆∆
od
oq
I
R
oo
oo
q
d
V
V
V
V
V
V
sencos
cossen(2.8 a)
Análogamente
δδδδδ
∆
−
+
∆∆
−=
∆∆
od
oq
I
R
oo
oo
q
d
I
I
I
I
I
I
sencos
cossen(2.9 a)
2.4 FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ESTADO
Despejando el vector de corrientes de la ecuación (2.6 a) tenemos:
∆∆
−
∆∆
−+=
∆∆
q
d
q
d
ad
qa
qdaq
d
V
V
E
E
RX
XR
XXRI
I'
'
'
'
2 ''
1
Sustituyendo en esta última expresión la ecuación (2.8 a) resulta
∆
−
−
∆∆
−−
∆∆
−+=
∆∆
δδδδδ
od
oq
I
R
oo
oo
q
d
ad
qa
qdaq
d
V
V
V
V
sen
sen
E
E
RX
XR
XXRI
I
cos
cos
''
1'
'
'
'
2
o bien
∆
−
−
∆∆
−−
∆∆
−=
∆∆
δδδδδ
od
oq
I
R
oo
oo
q
d
ad
qag
q
d
V
V
V
V
sen
sen
E
E
RX
XRY
I
I
cos
cos'
'
'
'
(2.10)
16
donde
''2
1
qda
gXXR
Y+
=
Sustituyendo (2.9 a) en la ecuación (2.10),
δ∆
−
−
∆∆
δδδ−δ
−
∆∆
−
=δ∆
−
+
∆∆
δδδ−δ
od
oq
I
R
oo
oo'q
'd
a'd
'qa
g
od
oq
I
R
oo
oo
V
V
V
V
sencos
cossen
E
E
RX
XRY
I
I
I
I
sencos
cossen
de donde se puede despejar el vector de corrientes en el marco de referencia real -imaginario:
δ∆
−
δδ−δδ
−δ∆
−
−
δδ−δδ
−
∆∆
δδδ−δ
−
δδ−δδ
−
∆∆
−
δδ−δδ
=
∆∆
od
oq
oo
oo
od
oq
a'd
'qa
goo
oo
I
R
oo
oo
a'd
'qa
goo
oo
'q
'd
a'd
'qa
goo
oo
I
R
I
I
sencos
cossen
V
V
RX
XRY
sencos
cossen
V
V
sencos
cossen
RX
XRY
sencos
cossen
E
E
RX
XRY
sencos
cossen
I
I
Desarrollando los productos de la ecuación anterior y simplificando se obtienen lascorrientes del generador en el marco de referencia R-I en función de los estados y losvoltajes terminales:
δ∆
+
∆∆
+
∆∆
=
∆∆
24
14
2221
1211
'
'
2221
1211
Z
Z
V
V
WW
WW
E
E
ZZ
ZZ
I
I
I
R
q
d
I
R (2.11)
donde
( )( )( )( )oaoqg
odoag
oaoqg
odoag
senRXYZ
senXRYZ
RsenXYZ
XsenRYZ
δδδδ
δδδδ
+−=
−−=
+=
−=
cos'
'cos
cos'
cos'
22
21
12
11 ( )[ ]( )
( )( )[ ]oodqag
ooqodg
oqodg
ooqdag
senXXRYW
XsenXYW
senXXYW
senXXRYW
δδ
δδ
δδ
δδ
cos''
cos''
'cos'
cos''
22
2221
2212
11
−+−=
+=
+−=
−+−=
( )( ) RoodoqoqodRoag
IoodoqoqodIoag
IVXVXVRYZ
IVXVXVRYZ
+++−=
−++−=
δδδδ
cos'sen'
sen'cos'
24
14
17
Vamos a emplear las relaciones de corrientes calculadas para obtener la representación deestado de la máquina síncrona.Desarrollando la ecuación (2.10)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
odaoqdoqaodq
oaodoqoa
oaodoqoa
IRqadd
IRqqda
gq
d
VRVXmVRVXm
senRXmsenXRm
RsenXmXsenRm
donde
mVmVmEREX
mVmVmEXERY
I
I
+=−=
+=−=
+−=+=
∆+∆−∆−∆+∆−
∆+∆+∆−∆+∆=
∆∆
''
cos''cos
cos'cos'
:
'''
'''
63
52
41
654
321
δδδδδδδδ
δδ
(2.12)
y sustituyendo ∆Id en la ecuación (2.4 a)
( )
( )
( )δ∆
−−
−∆
δ−δ−
−∆
δ+δ−
+∆
−+−∆
−−∆=∆
'do
oqaodqg'dd
I'do
oqoag'dd
R'do
oqoag'dd
q'do
qg'dd
d'do
ag'dd
fd'do
'q
T
VRV'XY)XX(
VT
sen'XcosRY)XX(
VT
cos'XsenRY)XX(
'ET
'XY)XX('E
T
RY)XX(E
TE
dt
d 11
(2.13)
Sustituyendo ahora ∆Iq en la ecuación (2.5 a)
( )
( )
( )δ∆
+−
+∆
δ+δ−
−∆
δ+δ−−
−∆
−+∆
−+−=∆
'qo
odaoqdg'qq
I'qo
oaodg'qq
R'qo
oaodg'qq
q'qo
ag'qq'
d'qo
dg'qq'
d
T
VRV'XY)XX(
VT
senRcos'XY)XX(
VT
cosRsen'XY)XX(
'ET
RY)XX(E
T
'XY)XX(E
dt
d 1
(2.14)
Sustituyendo (2.3 a) en (2.2 a)
18
( )
( )q
j
qod
j
doq
j
dodqqo
dj
qodqdo
jm
j
'ET
i'E
T
ii
T
i'X'X'E
iT
i'X'X'E
T
DT
Tdt
d
∆
−∆
−∆
−+
−∆
−+−ω∆
−∆
=ω∆ 1
(2.15)
Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (2.12) resulta,
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )δ∆
+−+
−∆
δ+δ−+
+∆
δ+δ−−+
+∆
−+−∆
−+
+δ∆
−−+
−∆
δ−δ−+
−∆
δ+δ−+
+∆
−+−∆
−+
−∆
−∆
−ω∆
−∆
=ω∆
j
odaoqdgdodqqo
Ij
oaodgdodqqo
Rj
oaodgdodqqo
qj
agdodqqod
j
dgdodqqo
j
oqaodqgqodqdo
Ij
oqoagqodqdo
Rj
oqoagqodqdo
qj
qgqodqdod
j
agqodqdo
qj
qod
j
do
jm
j
T
VRV'XYi'X'X'E
VT
senRcos'XYi'X'X'E
VT
cosRsen'XYi'X'X'E
'ET
RYi'X'X'E'E
T
'XYi'X'X'E
T
VRV'XYi'X'X'E
VT
sen'XcosRYi'X'X'E
VT
cos'XsenRYi'X'X'E
'ET
'XYi'X'X'E'E
T
RYi'X'X'E
'ET
i'E
T
i
T
DT
Tdt
d 1
(2.16)
Donde se han definido las constantes:( )( ) ( )( ) gdodqqogqodqdo YiXXEFYiXXEF '''''' 21 −+=−+=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )δ∆
++−
−∆
δ+δ+δ−δ−
+∆
δ+δ−+δ+δ
+∆
++−∆
−+−ω∆
−∆
=ω∆
j
odaoqdoqaodq
Ij
oaodoqoa
Rj
oaodoqoa
qj
aqqod
j
dado
jm
j
T
VRV'XFVRV'XF
VT
senRcos'XFsen'XcosRF
VT
cosRsen'XFcos'XsenRF
'ET
RF'XFi'E
T
'XFRFi
T
DT
Tdt
d
21
21
21
21211
(2.17)
19
Así que con las ecuaciones (2.1 a), (2.7 a) (2.13), (2.14) y (2.17) se forma la representaciónde estado de la máquina síncrona, en función de las entradas smref V,T,V ∆∆∆ y los voltajes
RV∆ y IV∆
∆∆
+
∆∆∆
+
∆∆∆∆∆
−
=
∆∆∆∆∆
I
R
S
m
ref
A
A
A
A
j
fd
q
d
A
j
do
fd
q
d
V
V
cc
cc
cc
cc
V
T
V
T
k
T
k
T
E
E
E
T
aT
Daa
Taaa
aaa
E
E
E
dt
d
5251
3231
2221
1211
343231
242221
141211
00
0
000
01
0
000
000
'
'
10000
00100
0
'
10
00
'
'
δω
δω
(2.18)
con las constantes definidas en el apéndice A.
2.5 INCLUSIÓN DE UN ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTENCIA(PSS) EN LA MATRIZ DE ESTADO
La función de un estabilizador de sistemas de potencia (PSS) es proporcionaramortiguamiento a las oscilaciones del rotor del generador. Esto se realiza mediante lamodulación de la excitación de la máquina utilizando una componente de par eléctrico enfase con las variaciones de velocidad del rotor.
El diagrama de bloques de la Fig. 2.3, muestra la estructura típica de un PSS [1]. Paraincluir éste dispositivo en un análisis de pequeñas señales, se analizará cada bloque paradeterminar las variables de estado que lo representan.
Fig. 2.3. Diagrama de un PSS
2.5.1 SEÑAL ESTABILIZADORA WASHOUT
Este bloque es un filtro pasa-altos que previene cambios en la velocidad provocados porvariaciones en el voltaje de campo. Además en este bloque se incluye la ganancia del PSS,la cual se selecciona para proporcionar un amortiguamiento adecuado de todos los modoscríticos bajo diferentes condiciones de operación.
Fig. 2.4. Bloque Washout
sT
sTk
+14
3
1
1
sT
sT
++
2
1
1
1
sT
sT
++
Vsw
sT
sTk
+1
w1x
sT
k
+1
1
•x
sT1xw
20
Las ecuaciones del bloque washout son las siguientes, Fig.2.4:
11
11
xTxs
xsT
kw
=
=+
•
• (2.19)
(2.20)
linealizando las expresiones anteriores
11
11
xTxs
xsT
kw
∆=∆
∆=+
∆
•
• (2.19 a)
(2.20 a)
relacionando (2.19a) y (2.20a) tenemos
1xwkxi ∆−∆=∆•
(2.21)
2.5.2 COMPENSACIÓN DE ADELANTO DE FASE
El PSS debe producir una componente de par eléctrico en fase con la velocidad del rotor.Para esto se requieren circuitos de adelanto de fase que compensen el atraso existente entrela entrada del excitador y el par eléctrico resultante.
Fig. 2.5. Bloque de compensación de adelanto de fase
Las ecuaciones para este bloque son, Fig. 2.5,
2221
2
21 1
1
xxxsT
xsT
x
=+
=+
••
• (2.22)
(2.23)
al linealizarse tenemos las siguientes expresiones:
2221
2
21 1
1
xxxsT
xsT
x
∆=∆+∆
∆=+
∆
••
• (2.22 a)
(2.23 a)
2
1
1
1
sT
sT
++1x 2x 2
•x 2x1x
21
1
sT+ 1sT
+
+
21
relacionando (2.22a) y (2.23a)
1
12
12
12
22 x
TT
Tx
TT
Tx ∆
−−∆
−=∆
•
(2.24)
De forma similar para el tercer bloque, Fig. 2.6:
2
34
3
34
4 xTT
TV
TT
TV SS ∆
−−∆
−=∆
•
(2.25)
Fig. 2.6. Bloque de compensación de adelanto de fase
Una vez linealizado el PSS y definidas las variables de estado que lo describen, éstas seagregan al vector de estado y la matriz de estado aumenta sus dimensiones.
Para ejemplificar lo anterior, se tomará la representación en variables de estado de unamáquina síncrona de cuarto orden con la inclusión de un sistema de excitación estático y unPSS como el de la Fig. 2.3.
El vector de estados resultante es:
∆∆∆
∆∆∆
∆∆
=
S
fd
q
d
V
x
x
E
E
E
X
2
1
'
'
δω
La dimensión de la matriz A aumenta y resulta:
4
3
1
1
sT
sT
++2x SV SV
•
SV2x
41
1
sT+ 3sT
+
+
22
−
−=
8887
7776
343231
242221
141211
000000
000000
0010000
001
0000
00000100
0000
000'
10
00000
aa
aa
kT
k
T
aT
Daa
Taaa
aaa
A
A
A
A
j
do
donde:
34
488
34
387
12
277
12
176 TT
Ta
TT
Ta
TT
Ta
TT
Ta
−=
−−=
−=
−−=
=
=
00
00
00
00
00
00
00
0
00
10
00
00
5251
3231
2221
1211
cc
cc
cc
cc
C
T
k
T
B
A
A
j
∆∆
=∆
∆∆
=I
R
m
ref
V
VV
T
VU
finalmente:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 12281228188818
xxxxxxx
VCUBXAX ∆++=
•
(2.26)
La ecuación (2.26) representa la formulación en variables de estado de una máquinasíncrona incluyendo un estabilizador de sistemas de potencia.
23
2.6 MODELADO DE CARGAS ESTÁTICAS
Un modelo de carga estática expresa las características de la carga en cualquier instante detiempo como una función algebráica de la magnitud del voltaje nodal y la frecuencia en eseinstante de tiempo.
Tradicionalmente, la dependencia del voltaje y las características de la carga se hanrepresentado por el modelo exponencial .
no
mo
vQQ
vPP
)(
)(
=
=
Los parámetros de este modelo son los exponentes m y n, los cuales al tomar valores de 0, 1y 2, representan características de potencia constante, corriente constante o de impedanciaconstante, respectivamente. Se pueden usar otros exponentes para representar el efectoagregado de los diferentes tipos de componentes de la carga [2].
Modelo de carga de potencia constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia no varía con cambios en la magnitud delvoltaje. También se le conoce como modelo de carga de MVA constantes.
Modelo de carga de corriente constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia varía directamente con la magnitud delvoltaje.
Modelo de carga de impedancia constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia varía directamente con el cuadrado de lamagnitud del voltaje. También se le conoce como modelo de carga de admitanciaconstante.
2.6.1 REPRESENTACIÓN DE CARGAS ESTÁTICAS
Considerando una carga cuyas características de dependencia con el voltaje estánrepresentadas por:
n
oLoL
m
oLoL V
VQQ
V
VPP
=
= (2.27)
Donde:PLo valor inicial de la componente activa de la cargaQLo valor inicial de la componente reactiva de la cargaVo valor inicial de la magnitud del voltaje nodalV valor de la magnitud del voltaje nodal dado por la ecuación (2.28)m,n valores que representan el modelo de potencia constante, corriente constante o
impedancia constante.
22IR VVV += (2.28)
24
De aquí, las componentes real ( R ) e imaginaria ( I ) de la corriente de carga son:
22
22
V
VQ
V
VPi
V
VQ
V
VPi
RL
ILI
IL
RLR
−=
+=(2.29)
Linealizando las ecuaciones (2.27), (2.28) y (2.29) resulta:
VV
QnQV
V
PmP
o
LoL
o
LoL ∆=∆∆=∆ (2.27 a)
Io
IoR
o
Ro VV
VV
V
VV ∆+∆=∆ (2.28 a)
VV
)VQVP(VV
QV
V
PQ
V
VP
V
Vi
VV
)VQVP(VV
QV
V
PQ
V
VP
V
Vi
o
RoLoIoLoR
o
LoI
o
LoL
o
RoL
o
IoI
o
IoLoRoLoI
o
LoR
o
LoL
o
IoL
o
RoR
∆
−−+∆−∆+∆−∆=∆
∆
−−+∆+∆+∆+∆=∆
32222
32222
2
2
(2.29 a)
sustituyendo (2.27 a) y (2.28 a) en (2.29 a) se obtiene:
∆∆
−
=
∆∆
I
R
IIIR
RIRR
I
R
V
V
GB
BG
i
i(2.30)
donde:
−−
+−=
−+
+−
−=−
−+
+−=
−+
+−=
222
2
2
222
2
2
222
2
2
222
2
2
)2(1)2(
)2(1)2(
)2(1)2(
)2(1)2(
o
IoRo
o
Lo
o
Io
o
LoII
o
IoRo
o
Lo
o
Ro
o
LoIR
o
IoRo
o
Lo
o
Io
o
LoRI
o
IoRo
o
Lo
o
Ro
o
LoRR
V
VVn
V
Q
V
Vm
V
PG
V
VVm
V
P
V
Vn
V
QB
V
VVm
V
P
V
Vn
V
QB
V
VVn
V
Q
V
Vm
V
PG (2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Empleando las ecuaciones (2.31) a (2.34), podemos determinar la representación de lacarga en función del modelo elegido, se tiene:
25
POTENCIA CONSTANTE ( m = n = 0 )
2020
2020
2020
2020
2
2
2
2
o
Lo
o
LoII
o
Lo
o
LoIR
o
Lo
o
LoRI
o
Lo
o
LoRR
V
Qb
V
PcG
V
Pb
V
QaB
V
Pb
V
QcB
V
Qb
V
PaG
+=
−−=−
−=
−=donde:
2
22
0
20
2
22
0
o
IoRo
o
IoRo
o
IoRo
V
VVc
V
VVb
V
VVa
−=
=
+−=
CORRIENTE CONSTANTE ( m = n = 1 )
2021
2021
2021
2021
o
Lo
o
LoII
o
Lo
o
LoIR
o
Lo
o
LoRI
o
Lo
o
LoRR
V
Qb
V
PcG
V
Pb
V
QaB
V
Pb
V
QcB
V
Qb
V
PaG
+=
−−=−
−=
−=donde:
2
2
1
20
2
2
1
o
Ro
o
IoRo
o
Io
V
Vc
V
VVb
V
Va
=
=
=
IMPEDANCIA CONSTANTE ( m = n = 2 )
2
2
2
2
o
LoII
o
LoIR
o
LoRI
o
LoRR
V
PG
V
QB
V
QB
V
PG
=
−=−
=
=
La matriz de admitancia equivalente que representa la carga estática, se puede agregar enforma directa a la matriz de admitancias de la red. Sin embargo, hay que hacer notar que lamatriz de admitancia equivalente para una carga no lineal (como el modelo de potenciaconstante o corriente constante), no es simétrica, por lo que no representa una simpleadmitancia shunt a tierra como en el caso de una carga de impedancia constante.
26
2.7 RESUMEN
En la primera parte de este capítulo se plantean las ecuaciones que modelan una máquinasíncrona utilizando un modelo de cuarto orden y considerando un sistema de excitaciónestático. Estas ecuaciones se linealizan a fin de obtener una representación de estado de lamáquina síncrona (2.18). Asimismo, se obtiene la representación en variables de estado deun estabilizador de sistemas de potencia (PSS), la cual se utiliza para extender larepresentación en variables de estado de una máquina síncrona incluyendo un estabilizadorde sistemas de potencia (2.26). Finalmente se presentan algunos conceptos básicos para elmodelado de cargas estáticas.Las expresiones obtenidas en este capítulo van a servir como plataforma para extender larepresentación de estado a un sistema multimáquinas en el cual se considera la topología dela red y los distintos elementos que la componen, como los dispositivos FACTS, con lasmáquinas del sistema.
REFERENCIAS
[1] Prabha Kundur, “Power system stability and control”, The EPRI Power SystemEngineering Series, 1994.
[2] “Load representation for dynamic performance analysis”, IEEE Task Force on LoadRepresentation for Dynamic Performance. IEEE Transactions on Power Systems, Vol.8, No. 2, May 1993.
27
C A P Í T U L O 3
R E P R E S E N TA C I Ó N E NVA R I A B L E S D E E S TA D O D E
U N S I S T E M AM U LT I M Á Q U I N A
3.1 INTRODUCCIÓN
La formulación de ecuaciones de estado para el análisis de señal pequeña involucra eldesarrollo de ecuaciones linealizadas alrededor de un punto de operación y la eliminaciónde todas las variables distintas a las variables de estado. El desarrollo de éstas ecuacionesrequiere un proceso sistemático para el amplio rango de elementos que se puedan presentaren un sistema eléctrico de potencia. La inclusión del sistema de transmisión, las cargas, yde los dispositivos FACTS, hace que el proceso sea complejo.
A continuación se ejemplifica el procedimiento para la representación en variables deestado de un sistema de potencia constituido por 3 generadores y 9 nodos. El sistema semuestra en la Fig. 3.1.
2 8 7 6 3
5
4
9
1
2 3
1
Carga A Carga B
Carga C
Fig. 3.1. Sistema de 3 máquinas, 9 nodos
28
3.2 FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO
De igual manera como para el caso de la máquina síncrona, el modelo linealizado de cadaelemento dinámico se puede expresar de la siguiente forma:
VYXCI
VBXAX
iiii
iiii
∆−=∆∆+=
•
donde:Xi son los valores incrementales de las variables de estado de cada dispositivoIi es la inyección de corriente proveniente de cada dispositivoV es el vector de voltajes nodalesEl vector de corrientes Ii y el de voltaje V, son complejos.
Las ecuaciones de estado de cada uno de los dispositivos dinámicos del sistema se puedenagrupar de forma tal que el sistema se puede representar mediante:
VYXCI
VBXAX
DD
DD
∆−=∆∆+=
•
donde X, es el vector de estado del sistema completo, AD y CD son matrices diagonales abloques, conformadas por las matrices Ai y Ci asociadas a cada dispositivo.
3.3 ECUACIONES DE ESTADO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
La representación en variables de estado para las máquinas síncronas del sistema en estudioes de la forma (2.18)
∆
∆
∆
+
+
=
•
•
•
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
V
V
V
C
C
C
U
U
U
B
B
B
X
X
X
A
A
A
X
X
X
(3.1)
donde1:
3,2,1
10000
00100
0
'
10
00
343231
242221
141211
=
−
= i
T
aT
Daa
Taaa
aaa
A
iA
i
ijii
idoiii
iii
i
1 Los elementos de las matrices Ai, Bi y Ci se definieron en el apartado 2.4.
29
3,2,1
0
000
01
0
000
000
=
= i
T
k
T
k
TB
iA
A
iA
A
iji
3,2,1
00
5251
3231
2221
1211
=
= i
cc
cc
cc
cc
C
ii
ii
ii
ii
i
3,2,1
'
'
=
∆∆
=∆
∆∆∆
=
∆∆∆∆∆
= iV
VV
V
T
V
U
E
E
E
XiI
iRi
iS
im
iref
i
ifd
i
i
iq
id
i
δω .
Reescribiendo (3.1) en forma compacta:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]16615199151151515
115xgxgxgxgxgxg
x
g VCUBXAX ∆++=
•
(3.2)
Las corrientes de los generadores están relacionadas por2:
∆
∆
∆
+
=
∆
∆
∆
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
00
00
00
00
00
00
V
V
V
W
W
W
X
X
X
Z
Z
Z
I
I
I
(3.3)
donde, para el ejemplo que nos ocupa:
3,2,100
00
24
14
2221
1211 =
= i
Z
Z
ZZ
ZZZ
i
i
ii
iii
2 Los elementos de las matrices Zi, y Wi se definieron en el apartado 2.4.
30
3,2,12221
1211 =
= i
WW
WWW
ii
iii
3,2,1=
∆∆
=∆
∆∆
=∆ iV
VV
I
II
iI
iRi
iI
iRi .
Reescribiendo (3.3) en forma compacta
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]166611515616 xgxgxgxgxg VWXZI ∆+=∆
reacomodando esta última expresión tenemos:
[ ]1181818
1151518118
00
0
00xL
g
x
g
xg
x
g
x
g
V
VWX
ZI
∆∆
+
=
∆(3.4)
donde ∆Ig es el vector de corrientes de los generadores, ∆Vg el vector de voltaje de losgeneradores y ∆VL, el vector de voltaje en los nodos de carga.
3.4 ECUACIONES DE LA RED
Hasta éste momento se tiene una formulación que requiere agregarse. La red de transmisiónrealiza ese enlazamiento. La inyección de corrientes en los nodos está representada por lasiguiente ecuación:
VYI = (3.5)
donde para el ejemplo considerado:
1999
88
77
66
55
44
33
22
11
999999939392929191
8989838382828181
7979737372727171
6969636362626161
5959535352525151
4949434342424141
3939333332323131
2929232322222121
1919131312121111
1999
88
77
66
55
44
33
22
11
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
xIR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
xxIR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
jVV
jVV
jVV
jVV
jVV
jVV
jVV
jVV
jVV
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jbgjbgjbgjbg
jII
jII
jII
jII
jII
jII
jII
jII
jII
+++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++
=
+++++++++
Linealizando la ecuación (3.5) y separando los elementos en parte real e imaginaria resulta:
31
1189
9
3
3
2
2
1
1
18189999939392929191
9999939392929191
3939333332323131
3939333332323131
2929232322222121
2929232322222121
1919131312121111
1919131312121111
1189
9
3
3
2
2
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
xI
R
I
R
I
R
I
R
xxI
R
I
R
I
R
I
R
V
V
V
V
V
V
V
V
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
I
I
I
I
I
I
I
I
∆∆
∆∆∆∆∆∆
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
=
∆∆
∆∆∆∆∆∆
MMOMMMM
(3.6)
Al considerar las cargas como impedancias constantes, éstas se pueden integrar en la matrizde admitancias nodal. El valor requerido para este proceso se obtiene del estudio de flujos
de carga. Esto es, si un nodo de carga tiene un voltaje, LV , potencia real, LP , potencia
reactiva, LQ , y corriente LI , que fluye hacia una admitancia de carga, LLL jBGY += ,
( )[ ] ( )LLLLLLLLLLL jBGVjBGVVIVQP −=−==+ ∗∗ 2
de donde la admitancia shunt equivalente en ese nodo resulta:
22L
L
L
LL
V
Qj
V
PY −=
por lo que los elementos de la matriz de admitancias se modifican de modo que,
Liiiij
iiiij
ikii
ikjik
ikjikik
yeyeyy
kieyeyy
+==
≠==αα
αα
'
'
'
'
Es decir, los nodos que tienen carga contribuyen con un valor de admitancia en la diagonalprincipal de la matriz de admitancia Y.
Al considerar las cargas como admitancias constantes, las inyecciones de corriente en losnodos que no tengan asociado un generador será cero, por lo que (3.6) puede reescribirsecomo:
∆∆
∆∆∆∆∆∆
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
=
∆∆∆∆∆∆
9
9
3
3
2
2
1
1
9999939392929191
9999939392929191
3939333332323131
3939333332323131
2929232322222121
2929232322222121
1919131312121111
1919131312121111
3
3
2
2
1
1
''
''
''
''
''
''
''
''
0
0
I
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
R
V
V
V
V
V
V
V
V
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
I
I
I
I
I
I
M
L
L
MOMMM
L
L
L
L
L
L
M
o en forma compacta:
32
11818181180
xL
g
xLLN
NLg
x
g
V
V
YY
YYI
∆∆
=
∆(3.7)
3.5 INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RED Y DELGENERADOR
Igualando la ecuación (3.4) y (3.7),
[ ]11818181181818
1151518
00
0
0xL
g
xLLN
NLg
xL
g
x
g
xg
x
g
V
V
YY
YY
V
VWX
Z
∆∆
=
∆∆
+
se puede despejar para los voltajes
∆∆
L
g
V
V
[ ] [ ]115
1518
1818
1180 xg
x
gxinv
xL
g XZ
YV
V
=
∆∆
(3.8)
donde
[ ]1
1818
1818
−
−=
xLLN
NLggxinv YY
YWYY
Reescribiendo la ecuación (3.2) resulta:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]19915
11818151151515
115
0xgxg
xL
g
xgxgxgx
g UBV
VCXAX +
∆∆
+=
•
Sustituyendo (3.8) en esta última expresión,
[ ] [ ] [ ] [ ]199151151515
115xgxgxgxredg
x
g UBXAAX ++=
•
(3.9)
donde
[ ] [ ] [ ]1518
181818151515 00
x
gxinvxgxred
ZYCA
=
La ecuación (3.9) es una representación del sistema multimáquina en la forma estándar devariables de estado. Como variables de salida normalmente se pueden considerar lasvelocidades, los flujos de potencia en las líneas, los voltajes. En los dos últimos casos serequerirá expresar esas señales en función del vector de variables de estado.
33
3.6 INCLUSIÓN DE UN CAPACITOR SERIE CONTROLADO PORTIRISTORES (TCSC)
La compensación serie es uno de los métodos más populares para el control del flujo depotencia. El concepto general es simple: modificar la impedancia de la línea al insertarcapacitores o inductancias en serie con el circuito para modificar el flujo de potencia. Lacompensación capacitiva es la que se emplea comúnmente para contrarrestar lascaracterísticas inductivas naturales de las líneas de transmisión.
Los esquemas convencionales de la compensación serie generalmente involucran bancos decapacitores, los cuales son controlados en forma individual por elementos mecánicos, sinembargo, estos elementos tienden a desgastarse y a fallar. Los tiristores de estado sólidohan superado todas estas deficiencias, debido a que no tienen partes móviles, además,pueden conectarse en un esquema tal que le permita proveer un mejor control de formacontinua y una mayor flexibilidad. El TCSC es un dispositivo FACTS que permite variar lareactancia de una línea de transmisión y de esta forma se puede controlar el flujo a travésde ella, además, ayuda en la estabilidad transitoria y el amortiguamiento de oscilaciones depotencia.
La inclusión de éste dispositivo en la red de transmisión provoca que la matriz deadmitancias de la red ya no sea constante, ya que éste elemento puede considerarse comouna capacitancia variable que depende del ángulo de disparo de los tiristores, y quemodifica parcialmente la forma en la que se trabajan las ecuaciones de la red.
Supongamos que se desea incluir un TCSC entre los nodos i y k del sistema en estudio,entonces de (3.5) tenemos las expresiones de las corrientes en esos nodos:
Nodo i
)jVV)(jbg()jVV)(jbg(
)jVV)(jbg()jVV)(jbg()jVV)(jbg(jII
IRiiIkRkikik
IiRiiiiiIRiiIRiiIiRi
9999
22221111
+++++++++++++++++=+
LL
L
Nodo k
)jVV)(jbg()jVV)(jbg(
)jVV)(jbg()jVV)(jbg()jVV)(jbg(jII
IRkkIkRkkkkk
IiRikikiIRkkIRkkIkRk
9999
22221111
+++++++++++++++++=+
LL
L
separando ambas expresiones en su parte real e imaginaria
Nodo i
99991111 IiRiIkikRkikIiiiRiiiIiRiRi VbVgVbVgVbVgVbVgI −++−++−++−= LLL
99991111 IiRiIkikRkikIiiiRiiiIiRiIi VgVbVgVbVgVbVgVbI ++++++++++= LLL (3.10)
Nodo k
99991111 IkRkIkkkRkkkIikiRikiIkRkRk VbVgVbVgVbVgVbVgI −++−++−++−= LLL
99991111 IkRkIkkkRkkkIikiRikiIkRkIk VgVbVgVbVgVbVgVbI ++++++++++= LLL (3.11)
34
Linealizando (3.10) y (3.11) obtenemos:
scsc
Ri
mIm
Im
Ri
mRm
Rm
RiRi X
X
IV
V
IV
V
II ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆ ∑∑==
9
1
9
1
scsc
Ii
mIm
Im
Ii
mRm
Rm
IiIi X
X
IV
V
IV
V
II ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆ ∑∑==
9
1
9
1
(3.12)
scsc
Rk
mIm
Im
Rk
mRm
Rm
RkRk X
X
IV
V
IV
V
II ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆ ∑∑==
9
1
9
1
scsc
Ik
mIm
Im
Ik
mRm
Rm
IkIk X
X
IV
V
IV
V
II ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆ ∑∑==
9
1
9
1
(3.13)
donde ∆Xsc es la reactancia incremental asociada al dispositivo TCSC. Las derivadasparciales respecto a esta variable son:
scIkosc
ikRko
sc
ikIio
sc
iiRio
sc
iisc
sc
Ri XVX
bV
X
gV
X
bV
X
gX
X
I∆
∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
=∆∂∂
scIkosc
ikRko
sc
ikIio
sc
iiRio
sc
iisc
sc
Ii XVX
gV
X
bV
X
gV
X
bX
X
I∆
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∂∂
(3.14)
scIkosc
kkRko
sc
kkIio
sc
kiRio
sc
kisc
sc
Rk XVX
bV
X
gV
X
bV
X
gX
X
I∆
∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
=∆∂∂
scIkosc
kkRko
sc
kkIio
sc
kiRio
sc
kisc
sc
Ik XVX
gV
X
bV
X
gV
X
bX
X
I∆
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∂∂
(3.15)
Al observar las expresiones (3.12) y (3.13) vemos que los primeros dos elementoscorresponden a la matriz de admitancias cuando los valores son constantes, por lo que, allinealizar (3.5) incluyendo el TCSC tenemos:
sc
x
sc
Ik
sc
Rk
sc
Ii
sc
Ri
xI
R
Ik
kR
Ii
iR
I
R
xkkii
kkii
kkkkkkkikikk
kkkkkkkikikk
iiikikiiiiii
iiikikiiiiii
kkii
kkii
xI
R
Ik
kR
Ii
iR
I
R
X
X
IX
I
X
IX
I
V
V
V
V
V
V
V
V
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
gbgbgbgb
bgbgbgbg
I
I
I
I
I
I
I
I
∆
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
=
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
118
1189
9
1
1
1818999999999191
999999999191
9911
9911
9911
9911
191911111111
191911111111
1189
9
1
1
0
0
0
0
M
M
M
M
M
M
LLL
LLL
MMMM
LLL
LLL
MMMM
LLL
LLL
MMMM
LLL
LLL
M
M
M
(3.16)
donde la última parte representa la aportación debida a la inclusión del TCSC
35
Considerando el TCSC como una capacitancia variable, Fig. 3.2, la impedancia serie de lalínea i-k está dada por la siguiente expresión:
scLikikki jX)jXr(Z −+=−
o bien, como admitancia
22 )XX(r
)XX(jrY
scLikik
scLikikki −+
−−=−
donde:rik es la resistencia de la línea i-k.XLik es la reactancia inductiva de la línea i-k.Xsc es la reactancia capacitiva nominal del dispositivo TCSC.
i kr ik xLik xsc
Fig. 3.2. TCSC como capacitancia variable en la línea i-k
Entonces las derivadas parciales de (3.14) y (3.15) están dadas por:
[ ]222
2
22
2
)XX(r
)XX(r
)XX(r
r
XX
g
scLikik
scLikik
scLikik
ik
scsc
ii
−+
−=
−+∂∂=
∂∂
[ ]222
2
22
2
)XX(r
)XX(r
)XX(r
r
XX
g
scLikik
scLikik
scLikik
ik
scsc
ik
−+
−−=
−+−
∂∂=
∂∂
[ ]222
22
22
2
)XX(r
)XX(r
)XX(r
)XX(
XX
b
scLikik
scLikik
scLikik
scLik
scsc
ii
−+
−−=
−+−−
∂∂=
∂∂
[ ]222
22
22
2
)XX(r
r)XX(
)XX(r
)XX(
XX
b
scLikik
ikscLik
scLikik
scLik
scsc
ik
−+
−−=
−+−
∂∂=
∂∂
sc
ii
sc
kk
sc
ii
sc
kk
sc
ik
sc
ki
sc
ik
sc
ki
X
b
X
b;
X
g
X
g
X
b
X
b;
X
g
X
g
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
Así que (3.14) y (3.15) pueden expresarse como:
36
[ ] [ ]
[ ] [ ] scIko
scLikik
scLikikscRko
scLikik
scLikik
scIio
scLikik
scLikikscRio
scLikik
scLikiksc
sc
Ri
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(r
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(rX
X
I
∆−+
−−+∆
−+
−−
∆−+
−−−∆
−+
−=∆
∂∂
222
22
222
2
222
22
222
2
2
2
[ ] [ ]
[ ] [ ] scIko
scLikik
scLikikscRko
scLikik
scLikik
scIio
scLikik
scLikikscRio
scLikik
scLikiksc
sc
Ii
XVXXr
XXrXV
XXr
XXr
XVXXr
XXrXV
XXr
XXrX
X
I
∆−+−−∆
−+−−−
∆−+−+∆
−+−−=∆
∂∂
222
2
222
22
222
2
222
22
)(
)(2
)(
)(
)(
)(2
)(
)(
[ ] [ ]
[ ] [ ] scIko
scLikik
scLikikscRko
scLikik
scLikik
scIio
scLikik
scLikikscRio
scLikik
scLikiksc
sc
Rk
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(r
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(rX
X
I
∆−+
−−−∆
−+
−+
∆−+
−−+∆
−+
−−=∆
∂∂
222
22
222
2
222
22
222
2
2
2
[ ] [ ]
[ ] [ ] scIko
scLikik
scLikikscRko
scLikik
scLikik
scIio
scLikik
scLikikscRio
scLikik
scLikiksc
sc
Ik
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(r
XV)XX(r
)XX(rXV
)XX(r
)XX(rX
X
I
∆−+
−+∆
−+
−−+
∆−+
−−∆
−+
−−−=∆
∂∂
222
2
222
22
222
2
222
22
2
2
Consideraremos dos maneras de incorporar el TCSC en las ecuaciones de estado de unsistema multimáquina. Como primera opción tomemos el caso en el cual se toma lavariación de la reactancia capacitiva del TCSC como una variable de estado, que presentauna dinámica de primer orden del tipo [1],
)XX(T
Xdt
dscref
TCSCsc −= 1
que en forma incremental es
)X(T
Xdt
dsc
TCSCsc ∆−=∆ 1
(3.17)
Esta ecuación ha de agregarse a los demás estados del sistema:
161611
10
0
xxTCSC
g
nu
T
A
A
−=
6166191691 00xx
gnu
xx
gnu
CC;
BB
=
=
Reacomodando (3.7) y (3.4) al incluir el término adicional de (3.16) tenemos
37
[ ]116
1618
1181818118
00
xsc
g
xTCSC
xL
g
xLLN
NLg
x
g
X
XV
V
V
YY
YYI
∆
+
∆∆
=
∆ (3.7 a)
donde:
1810000 x
T
sc
Ik
sc
Rk
sc
Ii
sc
RiTCSC X
I
X
I
X
I
X
IV
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂= LLL
1181818116161811800
0
00
0
0xL
g
x
g
xsc
g
x
g
x
g
V
VW
X
XZI
∆∆
+
∆
=
∆(3.4 a)
Igualando (3.4 a) y (3.7 a) y despejando el vector de voltajes:
[ ] [ ]116
1618
1618
1818
118
000
0
xsc
g
xTCSC
x
gxinv
xL
g
X
XV
ZY
V
V
∆
−
=
∆∆
En forma compacta se tiene,
[ ] [ ] [ ] 1161618211818
118
xnuxgwgwxinv
xL
g XZZYV
V∆=
∆∆
(3.8 a)
donde:
[ ]
∆
=∆=
=
sc
gnuxTCSCgw
x
ggw X
XX;VZ;
ZZ 1182
1518
1 0
Reescribiendo la ecuación (3.2) y sustituyendo (3.8 a), tenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ]199161161616 xgxnuxnuxrednununu UBXAAX +∆+=
∆
•(3.9 a)
donde:
[ ] [ ] [ ]161821181818160
xgwgwxinvxnurednu ZZYCA =
Otra forma de considerar al TCSC, es tomando la aportación de dispositivo independientede los estados [2], lo cual implica que scX∆ no es una variable de estado. Para este caso la
reactancia del dispositivo es una función del ángulo de disparo de los tiristores (α) [3]. LaFig. 3.3 presenta el esquema propuesto para modificar el valor de la reactancia, donde:
f1(α) = oαωπ −2
38
f2(α) =C
kk
k
k
C
sen
k
k
CX sc πω
σσσπω
σσω
)tan()tan()(cos
)1(
4)2(2
1
1 2
22
2
2
2 −−
++−
−=
Zb = impedancia base
Fig. 3.3. Esquema para el control del disparo de los tiristores
Para este caso la ecuación (3.7) es ahora de la forma:
[ ] scxTCSC
xL
g
xLLN
NLg
x
g XVV
V
YY
YYI∆+
∆∆
=
∆118
11818181180
(3.7 b)
que al igualar con (3.4) se tiene,
[ ] [ ] scxTCSC
xL
g
xLLN
NLg
xL
g
x
g
xg
x
g XVV
V
YY
YY
V
VWX
Z∆+
∆∆
=
∆∆
+
118
11818181181818115
151800
0
0
de donde se despeja para los voltajes nodales
[ ] [ ]
∆−
=
∆∆
scxTCSCxg
x
g
xinvinv
invinv
xL
g XVXZ
YY
YY
V
V118115
1518181843
21
1180
(3.8 b)
donde:
[ ]1
1818181843
21
1818
−
−=
=
xLLN
NLgg
xinvinv
invinv
xinv YY
YWY
YY
YYY
Reescribiendo (3.2) y sustituyendo (3.8 b), se tiene la formulación en variables de estadoresultante:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]199151151151515 xgxgscxTCSCxgxrednugnu UBXBXAAX +∆−∆+=
∆
•(3.9 b)
donde:
[ ] [ ] [ ]156661615 xgxinvxgrednu ZYCA =
αo
bZ
1α σ Xsc
f1(α) f2(σ)
Controlador
39
[ ] [ ] 118181521 xTCSCxinvginvgTCSC VYCYCB =
Resumiendo: las expresiones (3.9 a) y (3.9 b) son la formulación de estado al incluir unTCSC en la red; en el primer caso como un sistema dinámico de primer orden, y en elsegundo empleando su modelo cuasi-estático.
3.7 INCLUSIÓN DE UN CONTROLADOR UNIFICADO DE FLUJO DEPOTENCIA (UPFC)
El concepto del UPFC fue propuesto por Gyugyi en 1991. En un principio, este dispositivose pensó como un controlador y compensador dinámico en tiempo real de sistemas detransmisión de C.A. Sin embargo, dentro del marco de los sistemas de potencia, el UPFC escapaz de controlar en forma simultánea o selectiva todos los parámetros que influyen en elflujo de potencia y debido a esta característica lleva el adjetivo de "unificado". Este es undispositivo híbrido que abre nuevas posibilidades al control del flujo de potencia.
IVpq
V0 V0'Inversor 1 Inversor 2
Línea de transmisión
Transformador de excitación
CA CD CD CA
GTO GTO
Capacitor de CD
V0
V0'
Vpq
Transformador serie
Medición de variables
Inicialización de parámetros Qref
VrefZref
φrefControl
Fig. 3.4. Diagrama esquemático del UPFC
La estructura básica del UPFC se ilustra en la Fig. 3.4. El UPFC consiste de dosconvertidores (fuentes inversoras de voltaje) compuestos de GTO´s trifásicos. Los dosconvertidores son operados desde un capacitor que sirve como enlace de C.D.El convertidor 1 (conectado en derivación) se utiliza para suministrar la potencia realdemandada por el convertidor 2 a través del enlace de C.D. La potencia real intercambiadaestá determinada por la diferencia angular del voltaje del convertidor y el voltaje delsistema de C.A. El convertidor 1 también puede generar o absorber potencia reactiva en susterminales de C.A., por lo tanto, también puede ejecutar las funciones de un compensadorestático de VAR´s.
40
El convertidor 2 realiza la función principal del UPFC, inyectando un voltaje de magnitud yángulo controlable en serie con la línea a través de un transformador de acoplamiento. Estevoltaje de C.A. se produce por la conmutación de tiristores alimentados con C.D. desde elcapacitor de enlace.
La inclusión de un UPFC en un sistema de potencia hace que se modifique la formulaciónde ecuaciones de estado para análisis de señal pequeña.Considerando el modelo monofásico de estado estacionario del UPFC mostrado en la Fig.3.5, tenemos las siguientes relaciones:
E
ishE jX
VII +−=
B
kiserB jX
VVII
−+−=
donde:
IE es la corriente en la rama en derivación del UPFCIB es la corriente en la rama serie del UPFCVk y Vi son los voltajes en los nodos entre los cuales se conecta el UPFC
i k
UPFC
XB
XE
i k
i k
Iser
Ish
XB
XE
VB
VE
IB
IE
(a)
(c)(b)
Fig. 3.5. (a) UPFC conectado en la línea que une al nodo i y k; (b) modelo del UPFC utilizando fuentes devoltaje; (c) modelo del UPFC utilizando fuentes de corriente.
Las expresiones anteriores indican que en el nodo i y el k, se tienen inyecciones decorrientes, por lo que las ecuaciones de la red serán:
41
VY
jX
VVI
jX
VVI
jX
VI
I
I
II
I
)renglónésimok(
)renglónésimoi(
conUPFC
B
kiB
B
kiB
E
iE
g
ser
sersh
g
=
−−
−+−+−
=
−
+
−
−
0
0
0
0
0
0
0
0
M
M
M
M
M
M
donde YconUPFC, se define como la matriz de admitancia nodal que incluye los valores de lasimpedancias de las fuentes serie y shunt del UPFC.
El vector de corrientes se puede separar de la siguiente manera:
−
+
+=
−
+
+
−
−−−
+=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
sin
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
B
BE
UPFC
B
BE
B
ki
B
ki
E
i
conUPFC
g
I
II
VY
I
II
jX
VV
jX
VV
jX
V
VY
I
Separando los elementos de la expresión anterior en sus componentes real e imaginaria ylinealizando, obtenemos:
42
∆−∆−
∆+∆∆+∆
+∆=
∆
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
M
M
M
M
M
M
IkB
RkB
IiBIiE
RiBRiE
sinUPFC
g
I
I
II
II
VY
I
(3.7 c)
Igualando las ecuaciones (3.4) y (3.7 c) se tiene
[ ]11811818181181818
1151518
0
00
0
0xUPFCxL
g
xLLN
NLg
xL
g
x
g
xg
x
g
IV
V
YY
YY
V
VWX
Z
∆
+
∆∆
=
∆∆
+
(3.8 c)
donde:
( ) ( )[ ]TIkBRkBIiBIiERiBRiEUPFC IIIIIII 0000 LLL ∆−∆−∆+∆∆+∆=∆
representa la inyección de corrientes provenientes del dispositivo UPFC.
Si consideramos las inyecciones de corriente ∆IE R, ∆IE I, ∆IB R, ∆IB I y el voltaje del enlacede corriente directa ∆Vdc como los estados del UPFC [4], entonces ∆IUPFC se puedeexpresar como:
UPFCUPFCgUPFC XZI =∆
donde:
[ ]TdcIBRBIERE
UPFC VIIIIX ∆∆∆∆∆=
UPFCgZ es una matriz de ( 2 x No. de generadores + 1 : 2 x No.de nodos , 5 )
para el sistema en estudio 512xUPFCgZ ℜ∈ .
43
krenglón
krenglón
irenglón
irenglón
Z
x
UPFC
g
2
12
2
12
00000
00000
01000
00100
00000
01010
00101
00000
512
−
−
−−
=
MMMMM
MMMMM
MMMMM
Reacomodando (3.8 c):
1202018512
56
1181818
11818181202018512
56
0
00
00
0
00
0
x
UPFC
g
xx
UPFC
g
x
xL
g
xLLN
NLg
xL
g
x
g
x
UPFC
g
xx
xg
X
X
ZV
V
YY
YY
V
VW
X
XZ
+
∆∆
=
∆∆
+
despejando el vector de voltajes:
1202018512
56
1
18181180
0
x
UPFC
g
xx
UPFC
g
xg
xLLN
NLgg
xL
g
X
X
Z
Z
YY
YWY
V
V
−
−=
∆∆
−
(3.8 d)
Reescribiendo (3.2),
1181820125
615
11314
19
132045
915
120202055
1515
0
0
0
0
0
0
xL
g
x
UPFCxg
xg
x
UPFCx
xg
x
UPFCx
xg
x
UPFC
g
x
UPFCx
xg
UPFC
g
V
V
C
C
U
U
B
B
X
X
A
A
X
X
∆∆
+
+
=
•
•
donde los elementos de las matrices UPFCUPFCUPFCUPFC CBUA ;;; se definen
en el apéndice B.
y sustituyendo (3.8 d) en (3.2) resulta
44
1202018512
56
1
18181820125
615
11314
19
132045
915
120202055
1515
0
0
0
0
0
0
0
0
x
UPFC
g
xx
UPFC
g
xg
xLLN
NLgg
x
UPFCxg
xg
x
UPFCx
xg
x
UPFCx
xg
x
UPFC
g
x
UPFCx
xg
UPFC
g
X
X
Z
Z
YY
YWY
C
C
U
U
B
B
X
X
A
A
X
X
−
−
+
+
=
−
•
•
donde se define:
−
−=
−
=
UPFCg
UPFCgg
UPFCg
UPFCgggg
xx
UPFC
g
xg
xx
UPFCxg
xgWUPFCred
ZICZIC
ZICZIC
Z
Z
II
II
C
CA
43
21
2018512
56
181843
21
1820125
615
0
0
0
0
181843
21
1
1818 xxLLN
NLgg
inv II
II
YY
YWYY
=
−=
−
Finalmente,
[ ]
202043
21
11314
19
132045
915
1202020 0
0
x
UPFCg
UPFCg
UPFCg
UPFCg
UPFCgggggtotal
xUPFC
x
xg
xUPFC
x
xg
xUPFC
gx
total
UPFC
g
ZICAZIC
ZICZICAA
U
U
B
B
X
XA
X
X
−−+
=
+
=
•
•
(3.18)
La ecuación (3.18) representa la formulación en variables de estado de un sistemamultimáquinas que incluye un UPFC.
3.7.1 REDUCCIÓN DEL MODELO DEL UPFC
En el modelo del UPFC se toma en cuenta la dinámica asociada a las corrientes de lasfuentes serie y shunt ( BIBREIER IIII ,,, ), y la del voltaje en el capacitor de enlace ( cdV ), sin
embargo, la dinámica asociada a las corrientes es muy rápida respecto a la del voltaje delcapacitor, por lo que se puede realizar una reducción del modelo para despreciar ladinámica de las corrientes.
Reordenando la ec.(3.18), tenemos:
45
+
=
•
•
•
UPFC
g
UPFC)(
UPFC),(
g
UPFC)(
UPFC),(
g
UPFC
)(
UPFC
),(
g
U
U
B
B
B
X
X
X
AAA
AAA
AAA
X
X
X
5
41
5
41
987
654
321
5
41
0
0
0
donde:
[ ]BIBREIERUPFC
),( IIIIX ∆∆∆∆=41
[ ]cdUPFC
)( VX ∆=5
=
4443
3433
2221
1211
41
00
00
00
00
bb
bb
bb
bb
BUPFC),(
[ ]545352515 bbbbBUPFC)( =
[ ]TBBEE
UPFC mmU δ∆∆δ∆∆=
Despreciando la dinámica de las corrientes ( 041 =• UPFC
),(X ), se tiene la siguiente expresión:
04156415441 =+++=•
UPFCUPFC),(
UPFC)(
UPFC),(g
UPFC
),( UBXAXAXAX
de la ecuación anterior se despeja UPFCX )4,1( ,la cual ahora es función de los estados del
generador y de la dinámica del capacitor
[ ]UPFC),(
UPFC),(
UPFC)(g
UPFC),( UBXAXAAX 4141564
1541 ++−= − (3.19)
sustituyendo la ec. (3.19) en las expresiones de gX•
y UPFC
)(X 5
•, se tiene
[ ] [ ] [ ] [ ] UPFCUPFC),(gg
UPFC)(gg UBAAUBXAAAAXAAAAX 41
15256
15234
1521
−−−•
−+−+−=
[ ] [ ] [ ] UPFCUPFC),(
UPFC)(
UPFC)(g
UPFC
)( UBAABXAAAAXAAAAX 411
585561
58941
5875−−−
•−+−+−=
Las expresiones anteriores se pueden agrupar nuevamente en forma matricial, observándoseen este caso que ya no aparecen los estados relacionados a las corrientes del UPFC, de aquíque el nuevo sistema es un modelo reducido.
46
−
−+
−−−−
=
−
−
−−
−−
•
•
UPFC
g
UPFC),(
UPFC)(
UPFC),(g
UPFC)(
gUPFC
)(
g
U
U
BAAB
BAAB
X
X
AAAAAAAA
AAAAAAAA
X
X
411
585
411
52
561
58941
587
61
52341
521
50
(3.20)
Esta última expresión sólo considera el voltaje en el capacitor de CD como la variable deestado del UPFC y desprecia las dinámicas de las corrientes de las fuentes serie y shunt.
3.8 RESUMEN
En este capítulo se presenta una formulación de estado generalizada para un sistemamultimáquinas en el cual es necesario utilizar las ecuaciones de la red para enlazar laformulación de las máquinas con el sistema y obtener una representación en funciónúnicamente de los estados y las entradas (3.9). Además se analizan las formas en las cualesse pueden incorporar dispositivos FACTS, tales como el capacitor serie controlado portiristores (TCSC), para el cual se analizan dos posibles modelos, el primer caso como unsistema dinámico de primer orden (3.9a) y empleando su modelo cuasi-estático (3.9b).Asimismo se presenta una forma de incluir un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC) y se propone una reducción del modelo del UPFC para obtener una formulación envariables de estado más compacta (3.20).
REFERENCIAS
[1] John J. Paserba, N. W. Miller, E. V. Larsen, R. J. Piwko, “A thyristor controlledseries compensation model for power system stability analysis”. IEEE Transactionson Power Delivery, Vol. 10, No.3, July 1995, pp. 1471-1478
[2] S.G. Jalali, R.A.Hedin,M. Pereira, K. Sadek, "A Stability Model for the AdvancedSeries Compensator (ASC)", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 2,April 1996, pp 1128-1137.
[3] Dávalos Marín R. J., “Modelado y análisis dinámico del TCSC y su aplicación paramejorar el comportamiento electromecánico en redes electromecánicas”, Tesis deMaestría, Cinvestav, Unidad Guadalajara, México, 2000.
[4] S. A. Nabavi-Niaki, "Modelling and Aplications of Unified Power Flow Controller(UPFC) for Power Systems". Tesis Doctoral, Universidad de Toronto, 1996.
47
C A P Í T U L O 4
A N Á L I S I S D E LC O N T R O L A D O R U N I F I C A D O
D E F L U J O S D E P O T E N C I A( U P F C )
4.1 INTRODUCCIÓN
En la actualidad los sistemas de potencia presentan una estructura compleja debido a lagran cantidad de interconexiones que existen entre ellos y al tamaño de los mismos, el cualha ido aumentando a pasos agigantados en las últimas décadas debido a la crecientedemanda de energía eléctrica de los sectores comercial, industrial y doméstico. Aunado aesto las grandes inversiones en nuevas plantas generadoras y la dificultad de obtenerderechos de vía hace que se busquen soluciones que ayuden a mitigar este problema.Además los grandes sistemas de potencia traen consigo problemas inherentes a la operacióndel mismo, ya que son difíciles de controlar y pueden presentar condiciones de operaciónno deseadas como flujos en anillo o generación excesiva de potencia reactiva.
El gran auge de la electrónica de potencia ha permitido el desarrollo de dispositivosdenominados FACTS (sistemas de transmisión flexible de C. A.), los cuales tienen lacapacidad de controlar los principales parámetros de los sistemas de potencia (voltaje,ángulo de fase e impedancia de línea), permitiendo el control del flujo de potencia en laslíneas de transmisión hasta cerca de sus límites térmicos. Asimismo, una característicaúnica de los dispositivos FACTS es que son efectivos en las tres etapas de operación:prefalla, falla y postfalla [1].
Dentro de los dispositivos FACTS, el controlador unificado de flujo de potencia (UPFC) esuno de los más versátiles ya que no sólo puede desempeñar las funciones de otroscontroladores FACTS tales como el compensador estático síncrono (STATCOM), elcapacitor serie controlado por tiristores (TCSC), y el regulador de ángulo de fase, sino queademás ofrece gran flexibilidad al combinar algunas de las funciones de los controladoresmencionados[2]. Debido a esta característica el UPFC puede suministrar control en tiemporeal de todos los parámetros básicos de un sistema de potencia o cualquier combinación deellos para controlar la potencia transmitida.
En el presente capítulo se analizan las características de operación del UPFC en un sistemamáquina-barra infinita en condiciones de estado estacionario, asimismo se hace un análisis
48
de señal pequeña para cuantificar el efecto de las señales de control del dispositivo sobrelos modos de oscilación electromecánicos para señales remotas y locales; los resultadosobtenidos se corroboran con simulaciones en el tiempo en las que se observa elcomportamiento de las variables mecánicas ante una falla en la barra infinita.
4.2 MODELO DEL UPFC EN ESTADO ESTACIONARIO
Para estudios de estado estacionario y de flujos de potencia de un sistema que incluye unUPFC es necesario tener un modelo que permita incorporar el dispositivo a un programa deflujos de carga.
El modelo básico de estado estacionario del UPFC incluye la representación del mismo através de dos ramas, una serie y una en derivación compuestas por fuentes ideales devoltaje. El modelo de la Fig. 4.1, incluye una rama serie compuesta por una fuente ideal devoltaje y una rama en derivación formada por una fuente ideal de corriente [3]. Eldispositivo se representa mediante tres parámetros independientes denominados UT, φT, eIq. Donde Up, Us, Ip,e Is, son los voltajes y las corrientes terminales del UPFC,respectivamente. UT, es la magnitud del voltaje de la fuente serie y φT es la fasecorrespondiente al mismo. La fuente ideal de corriente está representada por Iq e It, querepresentan las componentes reactiva y activa, y son componentes en cuadratura y en fasecon Up, respectivamente.
UTUp UsIsIp
Iq It
+
Fig. 4.1. Modelo de estado estacionario del UPFC
El diagrama fasorial del UPFC de la Fig. 4.2, clarifica las señales mencionadas.
UTmáx
φT
δs
δp
UT
U s
U p
Iq
Ip
-Iq
-It
I s
I t
fasor de referencia
Fig. 4.2. Diagrama fasorial de un UPFC
49
Estos tres parámetros pueden variar dentro de la región Γ y están determinados por lacapacidad nominal del UPFC, donde
[ ] [ ] [ ] máxqmáxqqTmáxTTqTT I,II,,,U,U|I,,U −∈π∈φ∈φ=Γ 200 (4.1)
Las relaciones matemáticas de los parámetros del UPFC son las siguientes[3]:
Tps UUU += (4.2)
tqps IIII −−= (4.3)
2)arg()arg( π±= pq UI (4.4)
)arg()arg( pt UI = (4.5)
p
sTt U
IUI
)Re( *
= (4.6)
4.2.1 ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA EN UN SISTEMA CON UPFC'S
Se considera que el UPFC se inserta en una línea de transmisión cuyos nodos terminalesson l y m, Fig. 4.3. En la figura se puede notar que el transformador en derivación delUPFC se conecta directamente al nodo l (I’p = Ip ; Ul = Up).
UTUl UsIsIp
Iq It
+ Zlm
ylm ylm Ym
I's Um
Yl
SGm
SLmSLl
SGl
Fig. 4.3. UPFC conectado en la línea l-m
Donde:
Zlm , ylm representan los parámetros de la línea de transmisión l-m.Yl , Ym representan la admitancia shunt para los nodos l y m.SGl , SLl representan las inyecciones nodales de potencia (generación y carga) en el
nodo l .SGm , SLm representan las inyecciones nodales de potencia (generación y carga) en el
nodo m .
Para los nodos l y m se tienen las siguientes relaciones para las inyecciones de corrientenodal:
50
llmmp
n
jjljl UjBGyUjBGIUYI )()('
1
++−+++
= ∑
=(4.7)
mlmls
n
jjmjm UjBGyUjBGIUYI )()('
1
++−++−
= ∑
=(4.8)
donde 1/Zlm= G + jB.
asimismo, las expresiones para las corrientes Is e I’s son:
slm
lm
mss Uy
Z
UUI +
−= (4.9)
mlm
lm
mss Uy
Z
UUI −
−=' (4.10)
De la Fig. 4.3, se puede observar que el nodo l y el nodo m pertenecen al sistema depotencia, pero el nodo s corresponde a las terminales del UPFC. Este nodo se puedeeliminar trasladando el efecto del UPFC como inyecciones nodales de potencia a los nodosl y m. En otras palabras la Fig. 4.3, se puede transformar en la Fig. 4.4, donde el efecto del
UPFC está representado por las inyecciones nodales de potencia ≈≈≈≈
mmll Q,P,Q,P .
Las ecuaciones de las inyecciones nodales de flujos de potencia debido a la inclusión de unUPFC en un sistema de potencia están dadas por las siguientes expresiones[3]:
Nodo l:
( ) ( ) ( )lmTmTmTTmlTlmTll gGUsenBcosGUUcosgGUUP ++δ−δ−δ+=≈
22 (4.11)
( ) ( )[ ] qllTlmlTlmTll IUcosbBsengGUUQ −δ+−δ+=≈
(4.12)
Nodo m:
( )mTmTTmm senBcosGUUP δ+δ−=≈
(4.13)
( )mTmTTmm cosBsenGUUQ δ−δ−=≈
(4.14)
donde
TmmTTllT φ−δ=δφ−δ=δ
51
Ul Zlm
ylm ylm Ym
Um
Yl
SGm
SLmSLl
SGl
Pl + jQl Pm + jQm˜˜ ˜ ˜
Fig. 4.4. UPFC representado por inyecciones de potencia
De aquí que para un UPFC integrado en la línea de transmisión l-m las ecuaciones de flujode potencia se pueden expresar como:
( )∑=
δ+δ−−=∆n
jijijijijjiLiGii senBcosGUUPPP
1
(4.15)
( )∑=
δ−δ−−=∆n
jijijijijjiLiGii cosBsenGUUQQQ
1
(4.16)
para i = 1, 2, 3, ... , n , i ≠ l, m; n es el número de nodos del sistema
( ) ≈
=
−δ+δ−−=∆ ∑ l
n
jljljljljjlLlGll PsenBcosGUUPPP
1
(4.17)
( ) ≈
=
−δ−δ−−=∆ ∑ l
n
jljljljljjlLlGll QcosBsenGUUQQQ
1
(4.18)
( ) ≈
=
−δ+δ−−=∆ ∑ m
n
jmjmjmjmjjmLmGmm PsenBcosGUUPPP
1
(4.19)
( ) ≈
=
−δ−δ−−=∆ ∑ m
n
jmjmjmjmjjmLmGmm QcosBsenGUUQQQ
1
(4.20)
La diferencia entre las ecuaciones de flujos de potencia para los nodos en los que se conecta
el UPFC y los demás es notoria, debido a los cuatro términos adicionales ≈≈≈≈
mmll Q,P,Q,P .
El modelo presentado tiene la ventaja de que puede integrarse fácilmente a un programa deflujos de potencia convencional basado en Newton-Raphson, debido a que en el procesoiterativo sólo hace falta realizar dos pasos adicionales después de que se ha formado el
jacobiano. Primero hay que añadir las modificaciones ≈≈≈≈
mmll Q,P,Q,P en las ecuaciones de
potencia ∆P y ∆Q, y después hay que corregir el jacobiano agregando las derivadas
52
parciales de (4.11), (4.12), (4.13) y (4.14). Los demás pasos iterativos se realizan de lamisma forma que se harían si no existiera el UPFC.
Las derivadas parciales de las contribuciones de potencia del UPFC se presentan acontinuación:
Nodo l:
( ) lTlmlmTll
l sengGUUP δ+−=δ∂
∂≈
2
( )mTlmmTlmTmm
l cosBsenGUUP δ+δ=δ∂
∂≈
( ) lTlmlmTll
ll cosgGUU
U
PU δ+=
∂∂
≈
2
( )mTlmmTlmTmm
lm senBcosGUU
U
PU δ−δ−=
∂∂
≈
( ) ( )[ ]lTlmlmlTlmlmTll
l senbBcosgGUUQ δ++δ+=δ∂
∂≈
( ) ( )[ ] qllTlmlmlTlmlmTll
ll IUcosbBsengGUU
U
QU −δ+−δ+=
∂∂
≈
Nodo m:
( )mTlmmTlmTmm
m cosBsenGUUP δ−δ=δ∂
∂≈
( )mTlmmTlmTmm
mm senBcosGUU
U
PU δ+δ−=
∂∂
≈
( )mTlmmTlmTmm
m senBcosGUUQ δ+δ−=δ∂
∂≈
( )mTlmmTlmTmm
mm cosBsenGUU
U
QU δ−δ−=
∂∂
≈
En este método los nodos l y m pueden ser tipo PQ o PV. Cuando l y m son nodos distintos,la carga computacional es diferente. Por ejemplo, si l es un nodo PV, su ecuación depotencia nodal reactiva se excluye de las ecuaciones de flujos de potencia, esto es, el vector
∆Q no incluye a las componentes ∆Ql y ≈
lQ .
53
Como ejemplo de aplicación, se van a reproducir los resultados dados en [4]. Para ello seutiliza el sistema de potencia de cinco nodos para mostrar cuantitativamente el desempeñodel modelo del UPFC. Dicho sistema se muestra en la Fig. 4.5.
North Lake Main
South Elm
G
G
1 3 4
2 5
60 + j10
45 + j15
20 + j10
Fig. 4.5. Sistema de 5 nodos, Stagg and El-Abiad
El UPFC se utiliza para mantener el flujo de potencia activa y reactiva del UPFC al nodoMain en 40MW y 2MVARs, respectivamente. Además, la rama en derivación del UPFC seutiliza para regular la magnitud del voltaje del nodo Lake en 1 pu. Los resultadosreportados en [4] después de la corrida de flujos son los siguientes:
Tabla 4.1 Valores de las fuentes ideales de voltaje
Fuente serie Fuente shunt
Vcr (pu) θcr (grados) Vvr (pu) θvr (grados)
0.1013 -92.7332 1.0173 -6.0046
Tabla 4.2 Voltajes nodales de la red modificada
Nodo Voltajes Ángulos Pt Qt
1 1.0600 0 1.3148 0.8577
2 1.0000 -1.7693 0.2000 -0.8549
3 1.0000 -6.0161 -0.4500 -0.1500
4 0.9917 -3.1906 -0.4000 -0.0500
5 0.9745 -4.9741 -0.6000 -0.1000
6 0.9965 -2.5122 0.0000 0.0000
54
Tabla 4.3 Flujo de Potencias en Líneas
Nodo de
Envío
Nodo deRecepción
Flujo de
Envío
Flujo de
Retorno
1 2 0.8114 + 0.7642i -0.7884 - 0.7588i
1 3 0.5034 + 0.0934i -0.4843 - 0.0892i
2 3 0.3748 - 0.1297i -0.3657 + 0.1171i
2 4 0.1374 - 0.0178i -0.1363 - 0.0185i
2 5 0.4761 + 0.0514i -0.4669 - 0.0529i
6 4 0.4000 + 0.0200i -0.3984 - 0.0349i
3 6 -0.6090 + 0.0535i 0.6090 - 0.0161i
4 5 0.1346 + 0.0034i -0.1331 - 0.0471i
En los resultados mostrados, el nodo 6 corresponde a un nodo ficticio, el cual representauno de los extremos del UPFC. Por lo tanto, en la tabla 4.3 puede apreciarse cómo eldispositivo mantiene el flujo de potencia hacia el nodo 4 (Main) en los valores deseados.
Para utilizar el modelo de inyecciones propuesto, tenemos que proporcionar como datos lossiguientes parámetros:
Pcontrol = -0.3984 pu; Qcontrol = -0.0349 pu; Iq = 0.1734 pu
Los resultados encontrados son:
Tabla 4.4 Voltajes nodales de la red modificada
Nodo Voltajes Ángulos Pt Qt
1 1.0600 0 1.3148 0.8577
2 1.0000 -1.7692 0.2000 -0.8549
3 1.0000 -6.0162 -0.4500 -0.1500
4 0.9917 -3.1905 -0.4000 -0.0500
5 0.9745 -4.9740 -0.6000 -0.1000
Al comparar las tablas 4.2 y 4.4 correspondientes a las magnitudes de los voltajes nodales ya la fase de los mismos, podemos ver que los resultados son muy similares. La diferencia enlos resultados estriba en el hecho de que en el modelo propuesto en [4], se especifica elflujo que se desea controlar con el UPFC, y al emplear el algoritmo, se conocen los valoresde magnitud y fase de las fuentes serie y shunt, y los voltajes en todos los nodos delsistema. Mientras que para el modelo propuesto en [3], se utiliza además del flujo depotencia a controlar, la componente Iq de la corriente en derivación. En la tabla 4.5 semuestran los flujos de potencia en las líneas del sistema y se puede ver como los resultadosobtenidos son muy cercanos a los que se tienen con el otro modelo, además se sigue
55
manteniendo el flujo de potencia que se deseaba controlar entre los nodos 3 y 4. Finalmenteen la tabla 4.6 se muestran los parámetros del UPFC según el modelo descrito.
Tabla 4.5 Flujo de Potencias en Líneas
Nodo de
Envío
Nodo de
Recepción
Flujo de
Envío
Flujo de
Retorno
1 2 0.8114 + 0.7642i -0.7884 - 0.7588i
1 3 0.5034 + 0.0934i -0.4843 - 0.0892i
2 3 0.3749 - 0.1297i -0.3657 + 0.1171i
2 4 0.1374 - 0.0178i -0.1362 - 0.0185i
2 5 0.4761 + 0.0514i -0.4669 - 0.0529i
3 4 0.4000 + 0.0200i -0.3984 - 0.0349i
4 5 0.1346 + 0.0034i -0.1331 - 0.0471i
Tabla 4.6 Parámetros del UPFC
UT φT Iq
0.0611 pu 1.5534 rad 0.1734 pu
4.3 INCLUSIÓN DEL DISPOSITIVO UPFC EN EL PROBLEMAMÁQUINA-BARRA INFINITA
Se considera el problema máquina-barra infinita para el análisis de estado estacionario y deestabilidad transitoria cuando en la red se inserta un dispositivo UPFC. La Fig. 4.6 muestraun sistema de potencia máquina-barra infinita con un UPFC, que consiste de untransformador de excitación (ET), un transformador boosting (BT), dos convertidores devoltaje (VSCs) basados en GTO’s trifásicos, y un enlace capacitivo de CD. Para cada VSC,mE, mB y δE, δB son la relación de modulación de amplitud y el ángulo de fase, que son lasseñales de control del UPFC.
VE dcV
δEVE
IECONVERTIDOR
SHUNT
Xtr
2IB
3
δBVB
CONVERTIDORSERIE
P+jQ
VO VB
4 1Xlin
Fig. 4.6. UPFC instalado en un sistema de potencia máquina-barra infinita
56
Primeramente, comenzamos por el desarrollo del análisis de estado estacionario, para locual la red se compone de cuatro nodos, Fig. 4.7.
XBvXtE
2 3 14
PL+jQL
G
GXtE
PL+jQL
XBv
UPFC
Xser
Xsh
V1
Fig. 4.7. Sistema barra infinita incluyendo un UPFC
La rama shunt del dispositivo UPFC controla la magnitud del voltaje del nodo número 3,por lo que se requiere determinar seis incógnitas (δg, δ3, | VB |, δB, | VE |, δE) en el problemade estado estacionario. A continuación se describen las ecuaciones de equilibrio utilizadaspara este propósito.
V4 = V1 + jXBv (PL-jQL) (4.21)
( )3
33
*δδ −=⇒
−=
−g
tE
g
gtE
g
g
gg sinX
VVP
jX
VV
V
jQP(4.22)
sershtET
serTtE
g
ser
B
sh
E
XXXX
jX
V
jX
V
jX
V
jX
V
jX
V
1111
43
++=
−+−=+(4.23)
La ec. (4.23) se descompone en dos ecuaciones, parte real y parte imaginaria:
Esh
EB
ser
Bg
tE
g
Tser X
V
X
V
X
V
X
V
X
Vδδδδδ coscoscoscoscos 3
34
4 −−−= ( 4.23a)
Esh
EB
ser
Bg
tE
g
Tser
sinX
Vsin
X
Vsin
X
Vsin
X
Vsin
X
Vδδδδδ −−−= 3
34
4 (4.23b )
57
serBvT
TserBvser
B
XXX
jX
V
jX
V
jX
V
jX
V
111
2
2
431
+=
+−−=− (4.24)
Haciendo lo mismo para la ec. (4.24), resulta
33
4
2
41 coscoscos δδδser
B
ser
B
TBv X
V
X
V
X
V
X
V−=− (4.24a)
33
42
4 δδδ sinX
Vsin
X
Vsin
X
V
serB
ser
B
T
−=− (4.24b)
Finalmente, se tiene la restricción de potencia activa cero en las fuentes del dispositivoUPFC,
Pbb = PE + PB = 0 (4.25)
donde [4],
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]444
333
2
cos
cos
δδδδ
δδδδ
−+−
+−+−+=
BmmBmmB
BkmBkmBmmBB
sinBGVV
sinBGVVGVP
( ) ( )[ ]333
2cos δδδδ −+−+−= EEEEEEEE sinBGVVGVP
con las siguientes definiciones de conductancias y susceptancias:
111 ;; −−− −=+=+=+ serkmkmshEEsermmmm ZjBGZjBGZjBG
Para la solución del problema de estado estacionario se utiliza el método de Newton, por loque se requiere la linealización de las ecuaciones. Las derivadas parciales que resultan sedescriben en el apéndice C.
4.4 ANÁLISIS DEL UPFC EN ESTADO ESTACIONARIO
El modelo utilizado para el análisis de estado estacionario se muestra en la Fig. 4.8. En estemodelo se considera que la rama serie está formada por una fuente de voltaje, la cual serepresenta en forma fasorial (magnitud y ángulo), además se tiene una reactancia en seriecon ésta, la cual representa al transformador BT. De la misma forma, en la rama shunt, seincluye una fuente de voltaje en forma fasorial y una reactancia que representa altransformador ET. Asimismo, en el esquema se tiene la restricción de que la sumaalgebraica de las potencias reales de las fuentes serie y shunt debe ser cero (PE + PB = 0).
58
XlinXtr
G VB
VE
IE
IB 01 ∠
Xsh
Xs
PL+jQL
Fig. 4.8. Modelo monofásico equivalente de estado estacionario del UPFC en un sistema máquina – barrainfinita
Como ejemplo de aplicación considérese la red mostrada en la Fig. 4.9, para un nivel decarga SL = 0.35 + j 0.125. La magnitud del voltaje de generación se mantiene en 1.05 pu yel correspondiente al nodo controlado del UPFC, en 1.0375 pu.
Se toma como caso base, el esquema mostrado en la Fig. 4.8 con los siguientes datos (todosen pu):
Xtr = XtE = 0.15 Vg = 1.0500Xlin = XBv = 0.10 V3 = 1.0375Xs = Xser = 0.01 PL = 0.3500Xsh = Xsh = 0.01 QL = 0.1250
Con estos parámetros el estado estacionario converge para los siguientes voltajes ycorrientes:
Vg = 1.0449 + 0.1030 i IB = 0.3500 – 0.1250 iV3 = 1.0362 + 0.0519 i IE = -0.0093 + 0.0668 iVB = 0.0225 + 0.0134 i SB = 0.0062 + 0.0075 iVE = 1.0369 + 0.0519 i SE = -0.0062 – 0.0697 iS4 = 0.3500 + 0.1388 i
Las potencias manejadas por las fuentes shunt y serie del dispositivo resultan SE = -0.0062-j0.00697 y SB = 0.0062+j0.0075, respectivamente. Los voltajes y corrientes de las fuentesson como sigue: VE = 1.0369+j0.0519, IE = -0.0093+j0.0668, VB = 0.0225-j0.0134, IB =0.35-j0.125. Nótese que para mantener un nivel de voltaje de 1.0375 pu en el nodo 3, serequiere una cantidad de potencia reactiva importante.
59
j 0.01
VE
Gj 0.15 j 0.01
0.35 + j0.125
VB
062965051 .. ∠ 08673203751 .. ∠ 01∠
j 0.10
Fig. 4.9. Retrato de flujos de carga
4.4.1 COMPORTAMIENTO ANTE CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DELSISTEMA
Para analizar el comportamiento del UPFC, en el sistema máquina - barra infinita, seconsideran los principales parámetros del sistema y se modifican sus valores a fin decalcular el cambio que experimentan diversos componentes importantes en el sistema.
4.4.1.1 Variación de las reactancias de los transformadores ET y BT
Como primer caso se toman las reactancias asociadas a las fuentes serie y shunt del UPFC,y se modifican sus valores tomando como base los valores de XS = 0.01 y XSh = 0.01.
Al hacer las modificaciones en el intervalo XS ∈ [0.005 , 0.15] ; XSh ∈ [0.005 , 0.15], sepuede observar que los parámetros que presentan variaciones son los voltajes de las fuentesserie (VE) y shunt (VSh), así como las potencias asociadas a las mismas (SE y SB). En la Fig.4.10 se puede apreciar que para valores muy pequeños de la reactancia serie (XS), lamagnitud del voltaje VB está influenciada por la reactancia de la línea (Xlin). Sin embargo, alaumentar el valor de la reactancia serie, la magnitud de la fuente de voltaje en serieempieza a aumentar y su fase comienza a decrecer. El voltaje y la fase de la fuente shuntaumentan en forma proporcional a la variación de Xsh. Al observar la Fig. 4.11,correspondiente a la potencia real y reactiva de cada fuente, vemos cómo la potencia real enla fuente serie se mantiene constante, sin embargo, al aumentar el valor de la reactanciaserie la potencia reactiva disminuye hasta ser negativa.
El mayor impacto que se tiene al variar la reactancia shunt (XSh), se refleja en el ángulo dela fuente shunt, ya que la magnitud de ésta, (VE), se mantiene constante, sin embargo elángulo tiende a crecer conforme aumenta el valor de XSh. Respecto a la potencia que manejael dispositivo, se puede observar que la potencia real no varía y su valor es igual que el dela potencia de la fuente serie, pero en este caso es de signo contrario, lo cual confirma elhecho de que la suma algebraica de las potencias reales de las fuentes del UPFC debe serigual a cero. La potencia reactiva del dispositivo disminuye hasta ser negativa.
60
4.4.1.2 Variación de la reactancia de línea
En este caso los parámetros que se ven más afectados son el voltaje de la fuente serie (VB),su potencia (SB) y la potencia del nodo 4 a la barra infinita (S4), esto se debe principalmentea que la reactancia de la línea está conectada en serie con la reactancia XS, además de uniral UPFC a la barra infinita.
En la Fig. 4.12 se puede apreciar el efecto de la variación de la reactancia de línea Xlin ∈[0.001, 0.15]. En este caso se observa que si disminuye la reactancia de la línea, el voltajede la fuente serie aumenta, lo mismo sucede con el ángulo; sin embargo, si la reactancia dela línea aumenta, la magnitud y el ángulo de la fuente disminuyen. La potencia de la fuenteserie, presenta un comportamiento similar al que se tiene cuando cambia el valor de sureactancia, es decir, la potencia real permanece constante, mientras que la potencia reactivacomienza a decrecer, pero en este caso no se hace negativa.
La potencia entre la barra 4 y la barra infinita, presenta cambios en su potencia reactivaprincipalmente, ya que su potencia real permanece constante en un valor de 0.35pu. En estecaso la potencia reactiva se incrementa conforme aumenta el valor de la reactancia de lalínea. Esto se aprecia gráficamente en la Fig. 4.13.
4.4.1.3 Variación de la reactancia del transformador (Xtr)
Los parámetros que se ven más afectados, como consecuencia de la variación de lareactancia del transformador, Xtr ∈ [0.001 , 0.20], son el voltaje en el generador (Vg), elvoltaje de la fuente shunt (VE), su corriente (IE) y su potencia (SE). El voltaje en elgenerador se ve afectado principalmente en su ángulo, que varía en forma proporcional alos valores de Xtr. La magnitud del voltaje de la fuente shunt se mantiene en un valorconstante, y su fase presenta una variación muy pequeña. La magnitud de la corriente en larama shunt, presenta poca variación en su magnitud; sin embargo, su ángulo presenta unavariación después de que el valor de la reactancia del transformador es mayor a 0.085 pu.Ver Figs. 4.14 y 4.15.
La potencia real de la fuente shunt no presenta variación en su valor. La potencia reactiva,presenta valores grandes cuando la reactancia del transformador es pequeña, sin embargo,conforme este valor aumenta la potencia reactiva tiende a estabilizarse, esto puedeapreciarse gráficamente en la Fig. 4.16.
61
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04M
agn
itud
de V
B [
pu]
Magnitud del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xs
y Xsh
Xs, X
sh [pu]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-100
-50
0
50
Áng
ulo
VB
[gra
dos
]
Ángulo del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de X
Xs, X
sh [pu]
s y X
sh
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.161.035
1.04
1.045
1.05
Ma
gnitu
d de
VE
[pu
]
Magnitud del voltaje de la fuente shunt respecto a la variación de Xs y X
sh
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.162.86
2.88
2.9
2.92
2.94
Áng
ulo
VE
[gra
dos
]
Ángulo del voltaje de la fuente shunt respecto a la variación de X
Xs, X
sh [pu]
Xs, X
sh [pu]
s y Xsh
Fig. 4.10. Variación de VB y VE respecto a XS y XSh
62
0 0.05 0.1 0.15-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
Po
ten
cia
rea
l, P
E [
pu]
Xs, Xsh [pu]0 0.05 0.1 0.15
-0.0704
-0.0702
-0.07
-0.0698
-0.0696
Po
ten
cia
rea
ctiv
a, Q
E [p
u]
Xs, Xsh [pu]
0 0.05 0.1 0.150
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Po
ten
cia
rea
l, P
B [
pu]
Xs, Xsh [pu]0 0.05 0.1 0.15
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Po
ten
cia
rea
ctiv
a, Q
B [p
u]
Xs, Xsh [pu]
Fig. 4.11. Variación de SE y SB respecto a XS y XSh
0 0.05 0.1 0.150.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Ma
gnitu
d V
B [
pu]
Magnitud del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xlin
Xlin
[pu]
0 0.05 0.1 0.15-20
0
20
40
60
Áng
ulo
de
VB
[gr
ados
]
Ángulo del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xlin
Xlin
[pu]
Fig. 4.12. Variación de VB respecto a Xlin
63
0 0.05 0.1 0.150
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Po
tenc
ia r
eal
, P
B [
pu]
Xlin
[pu]0 0.05 0.1 0.15
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Po
tenci
a r
eact
iva
, Q
B [
pu]
Xlin
[pu]
0 0.05 0.1 0.150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Po
tenci
a r
eal,
P4
[pu]
Xlin
[pu]0 0.05 0.1 0.15
0.125
0.13
0.135
0.14
0.145
0.15
Po
tenic
a r
eact
iva
, Q
4 [p
u]
Xlin
[pu]
Fig. 4.13. Variación de SB y S4 respecto a Xlin
0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.5
1
1.5
2
Ma
gnitu
d de
Vg
[pu]
Xtr [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.22
3
4
5
6
7
Áng
ulo
de
Vg
[gra
dos]
Xtr [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.20.9
0.95
1
1.05
1.1
Ma
gnitu
d de
VE
[p
u]
Xtr [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.20
1
2
3
4
5
Áng
ulo
de
VE
[gr
ados
]
Xtr [pu]
Fig. 4.14. Variación de Vg y VE respecto a Xtr
64
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
5
10
15
Mag
nitu
d de
IE
[p
u]
Magnitud de la corriente de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr
Xtr
[pu]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-200
-100
0
100
200
Án
gulo
de
IE [
grad
os]
Xtr [pu]
Ángulo de la corriente de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr
Fig. 4.15. Variación de IE respecto a Xtr
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
Pot
enci
a r
eal,
PE
[pu
]
Variación de la potencia real de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr
Xtr
[pu]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-5
0
5
10
15
Pot
enci
a r
eact
iva,
QE
[p
u]
Xtr
[pu]
Variación de la potencia reactiva de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr
Fig. 4.16. Variación de SE respecto a Xtr
65
En los casos anteriores, se puede observar que al variar las reactancias de las fuentes delUPFC o al variar las reactancias de la línea o del transformador se modifican algunos de losparámetros del sistema, sin embargo en ninguno de los casos se modifican todos losparámetros, ya que algunos permanecen constantes.
4.4.1.4 Variación de la potencia de carga
Al variar la carga en la barra infinita todos los parámetros se modifican. Para apreciar demejor manera estos cambios, primero se analiza el comportamiento del sistema al variar lapotencia real (PL) y manteniendo la potencia reactiva (QL) constante. Para el intervalo, PL ∈[0 , 0.70], el voltaje en el generador (Vg) presenta poca variación en su magnitud, sinembargo, su fase varía en forma proporcional a la potencia real. Las magnitudes de lasfuentes serie y shunt sí se ven afectadas, donde la primera tiende a decrecer mientras que lasegunda tiende a aumentar; un comportamiento similar presentan sus fases. Esto se presentagráficamente en la Fig. 4.17.
Las corrientes en las fuentes serie y shunt presentan un comportamiento similar entre ellas,el cual está caracterizado por una variación proporcional a PL tanto en magnitud como enángulo, Fig. 4.18.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.5
1
1.5
2
Mag
nitu
d d
e V
g [p
u]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.72
4
6
8
10
Áng
ulo
de V
g [g
rad
os]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Mag
nitu
d d
e V
B [p
u]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-50
0
50
100
Áng
ulo
de V
B [
gra
dos]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71.0378
1.038
1.0382
1.0384
1.0386
Mag
nitu
d d
e V
E [p
u]
PL [pu]0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
2.86
2.87
2.88
Áng
ulo
de V
E [
gra
dos]
PL [pu]
Fig. 4.17. Variación de Vg, VB y VE respecto a PL
66
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Mag
nitu
d d
e IE
[pu
]
PL [pu]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.780
85
90
95
100
105
Áng
ulo
de
IE [
grad
os]
PL [pu]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.2
0.4
0.6
0.8
Mag
nitu
d d
e IB
[pu
]
PL [pu]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-100
-80
-60
-40
-20
0
Áng
ulo
de
IB [
grad
os]
PL [pu]
Fig. 4.18. Variación de IB e IE respecto a PL.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.02
-0.01
0
0.01
Po
tenc
ia r
eal,
PE
[pu
]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
Po
tenc
ia r
eact
iva,
QE
[p
u]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.01
0
0.01
0.02
Po
tenc
ia r
eal,
PB
[pu
]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.02
-0.01
0
0.01
Po
tenc
ia r
eact
iva,
QB
[p
u]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.5
1
Po
tenc
ia r
eal,
P4
[pu]
PL [pu]0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.12
0.14
0.16
0.18
Po
tenc
ia r
eact
iva,
Q4
[pu
]
PL [pu]
Fig. 4.19. Variación de SE, SB y S4 respecto a PL
67
En la Fig. 4.19 se puede apreciar que la potencia real y reactiva de la fuente shunt varía enforma inversa a PL, sin embargo la potencia real de la fuente serie y de la barra 4 a la barrainfinita varían proporcionalmente a PL. La potencia reactiva de la fuente serie tiende adecrecer conforme aumenta PL. La potencia reactiva de la barra 4 a la barra infinita varíaproporcionalmente a PL.
El efecto en la fuente serie y shunt al variar la potencia reactiva demandada por la barrainfinita, QL ∈ [0 , 0.25], es el de disminuir la magnitud del voltaje de la fuente serie y el deaumentar su ángulo, caso contrario de la fuente shunt en la cual la magnitud del voltajeaumenta, mientras que su ángulo disminuye. Para ambas fuentes, la magnitud de lascorrientes tienden a aumentar conforme se incrementa el valor de la potencia reactiva, sinembargo, sus ángulos se comportan de forma distinta, ya que la fase de la fuente serietiende a disminuir, mientras que la fase de la fuente shunt llega a variar hasta en 180 gradosconforme aumenta la potencia reactiva. Esto se puede apreciar en las Figs. 4.20 y 4.21.
En la Fig. 4.22 se puede observar el comportamiento de las potencias en las fuentes serie yshunt, así como la potencia que fluye de la barra 4 a la barra infinita. De aquí se puede vercómo la potencia real de la fuente shunt tiende a aumentar conforme se incrementa QL,mientras que la potencia reactiva tiende a disminuir y a tomar valores negativos. En lafuente serie, la potencia real tiende a disminuir, mientras que su potencia reactiva tiende aaumentar. Finalmente, podemos observar cómo la potencia de la barra 4 a la barra infinitapresenta el flujo que se requiere en la carga para cada condición dada.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Mag
nitu
d d
e V
B [p
u]
QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
20
30
40
50
60
Án
gulo
de
VB
[gra
dos
]
QL [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251.0365
1.037
1.0375
1.038
1.0385
1.039
1.0395
Mag
nitu
d d
e V
E [p
u]
QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
2.864
2.866
2.868
2.87
2.872
2.874
Án
gulo
de
VE
[gra
dos
]
QL [pu]
Fig. 4.20. Variación de VB y VE respecto a QL
68
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.05
0.1
0.15
0.2
Mag
nitu
d de
IE
[pu
]
QL [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-200
-100
0
100
200
Áng
ulo d
e IE
[g
rados]
QL [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
Mag
nitu
d de
IB
[pu
]
QL [pu]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-40
-30
-20
-10
0
Áng
ulo d
e IB
[g
rados]
QL [pu]
Fig. 4.21. Variación de IB e IE respecto a QL
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-15
-10
-5
0
5x 10
-3
Pot
enci
a re
al,
PE
[pu
]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Pot
. r
eact
iva,
QE
[p
u]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-5
0
5
10
15x 10
-3
Pot
enci
a re
al,
PB
[pu
]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.254
5
6
7
8x 10
-3
Pot
. r
eact
iva,
QB
[p
u]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.1
0.2
0.3
0.4
Pot
enci
a re
al,
P4
[pu]
QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Pot
. r
eact
iva,
Q4
[pu]
QL [pu]
Fig. 4.22. Variación de SE, SB y S4 respecto a QL
69
4.4.1.5 Variación de la magnitud del voltaje en el nodo controlado
Una de las características del UPFC es su capacidad de controlar el voltaje en uno de susextremos, por lo tanto, si se varía la magnitud de dicho voltaje, los principales parámetrosdel dispositivo se modifican de tal forma que se mantengan los valores establecidos. Para elintervalo, V3 ∈ [0.95 , 1.05], se observa lo siguiente. En la Fig. 4.23, se puede ver que lamagnitud del voltaje de las fuentes serie y shunt aumentan en forma proporcional a V3. Sinembargo, la fase de cada uno de estos parámetros se comporta de manera distinta, ya que lafase del generador presenta una variación muy pequeña respecto a la de las fuentes serie yshunt, en las cuales la variación es mucho mayor, siendo la de la fuente serie la más notoria.
En la Fig. 4.24 se muestra el efecto de la variación de V3 sobre la corriente en las fuentesserie y shunt. Aquí se aprecia que la corriente de la fuente serie no presenta variaciónalguna en su magnitud y ángulo, sin embargo la asociada a la fuente shunt presentavariaciones importantes en magnitud y fase.
La potencia reactiva de la fuente shunt es la que presenta una variación importante, esto sedebe principalmente a que esta fuente es la que proporciona el soporte al voltaje del nodocontrolado. La potencia de la fuente serie también presenta cambios pero no tan grandes,mientras que la potencia enviada al nodo de carga no presenta cambio alguno. Esto sepuede apreciar en la Fig. 4.25.
0.95 1 1.051.045
1.05
1.055
Mag
nitu
d de
Vg
[pu
]
0.95 1 1.055.5
5.6
5.7
5.8
Áng
ulo
de
Vg
[gr
ados
]
0.95 1 1.050.01
0.02
0.03
0.04
Mag
nitu
d de
VB
[pu
]
0.95 1 1.050
50
100
150
Áng
ulo
de
VB
[gr
ado
s]
0.95 1 1.050.95
1
1.05
1.1
Mag
nitu
d de
VE
[pu
]
V3 [pu]0.95 1 1.05
2.85
2.86
2.87
2.88
Áng
ulo
de
VE
[gr
ado
s]
V3 [pu]
Fig. 4.23. Variación de Vg, VB y VE respecto a V3
70
0.95 1 1.050.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Mag
nitu
d de
IE
[pu
]
V3 [pu]
0.95 1 1.05-100
-50
0
50
100
Áng
ulo
de I
E [
gra
dos]
V3 [pu]
0.95 1 1.050.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Mag
nitu
d de
IB
[pu
]
V3 [pu]
0.95 1 1.05-21
-20.5
-20
-19.5
-19
-18.5
Áng
ulo
de I
B [
gra
dos]
V3 [pu]
Fig. 4.24. Variación de IB e IE respecto a V3
0.95 1 1.05-0.02
-0.01
0
0.01
Pot
enci
a re
al,
PE
[pu
]
0.95 1 1.05-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Pot
enci
a re
act
iva,
QE
[p
u]
0.95 1 1.05-0.01
0
0.01
0.02
Pot
enci
a re
al,
PB
[pu
]
0.95 1 1.050
0.005
0.01
Pot
enci
a re
act
iva,
QB
[p
u]
0.95 1 1.05-1
0
1
2
Pot
enci
a re
al,
P4
[pu]
V3 [pu]
0.95 1 1.05-1
0
1
2
Pot
enci
a re
act
iva,
Q4
[pu
]
V3 [pu]
Fig. 4.25. Variación de SE, SB y S4 respecto a V3
71
4.4.1.6 Conclusiones
A continuación se resumen los efectos que se tienen al variar los parámetros del sistema enbase a las gráficas mostradas anteriormente.
Parámetro Efecto
Reactancia de lafuente serie, Xs
Afecta principalmente a la fase de la fuente serie y a la potencia reactivaentregada por la fuente.
Reactancia de lafuente shunt, Xsh
Afecta principalmente la magnitud y la fase de la fuente shunt, las cualesvarían en forma proporcional al cambio de Xsh.
Reactancia de lalínea, Xlin
Tiene efecto principalmente en la fase de la fuente serie y en la potenciareactiva de la misma.
Reactancia deltransformador,
Xtr
Tiene un efecto importante en la corriente en la rama en derivación deldispositivo, principalmente en el ángulo, el cual cambia de signo paraciertos valores de Xtr; con la potencia reactiva entregada por la fuenteshunt sucede algo similar.
Potencia decarga, SL
Al variar la potencia de la carga se modifican la mayoría de losparámetros, sin embargo los que presentan la mayor variación son la fasede la fuente serie, la fase de la corriente en la rama serie y la potenciareactiva de las fuentes serie y shunt, las cuales llegan a cambiar de signo.
Magnitud delvoltaje en el
nodo controlado,|V3|
El mayor efecto se presenta en la magnitud de la fuente shunt y el ángulode la corriente en la rama en derivación, asimismo se tiene una variaciónimportante en el ángulo de la fuente serie.
La variación de los valores de las reactancias serie y shunt tiene efecto directo en losvalores de la magnitud y de la fase de las fuentes serie y shunt y en la potencia quemanejan, ya que estos valores se ajustan para mantener el flujo de potencia en la línea detransmisión, así como para mantener la magnitud del voltaje en el nodo controlado. Sinembargo, al variar la potencia de carga (real o reactiva), la magnitud y la fase de las fuentesserie y shunt presentan variaciones importantes.
4.5 ANÁLISIS DINÁMICO ANTE PEQUEÑAS Y GRANDESPERTURBACIONES INCLUYENDO UN UPFC
Para el mismo problema máquina-barra infinita, enseguida se considera la formulación parallevar a cabo estudios dinámicos. El modelo de la máquina síncrona se asume de tercerorden, incluyendo un sistema de excitación estático, de modo que se tienen las siguientesecuaciones diferenciales:
72
[ ]
[ ][ ])(
1
)'(1
1
''
'
0
trefAfdA
fd
dddqfdq
emj
VVKET
E
iXXEEdoT
E
DTTT
−+−=
−−−=
ω∆−−=ω
ω−ω=δ
•
•
•
•
(4.26)
Por lo que para tener un modelo de estado se requiere expresar las corrientes en función deestados. Primeramente reconozcamos las principales ecuaciones de equilibrio del sistema.Si se adopta la modulación de ancho de pulso (PWM) para los VSC basados en GTO, y seignoran la resistencia y el transitorio en los transformadores del UPFC, el modelo delUPFC en coordenadas del sistema es [5]:
+
−=
+
−=
+
−=
+
−=
2
2
cos
0
0
0
0
2
2
cos
0
0
0
0
cdBB
cdBB
Bi
Br
ser
ser
Bi
Br
Bi
Br
ser
ser
Bti
Btr
cdEE
cdEE
Ei
Er
sh
sh
Ei
Er
Ei
Er
sh
sh
Eti
Etr
vsinm
vm
i
i
x
x
V
V
i
i
x
x
V
V
vsinm
vm
i
i
x
x
V
V
i
i
x
x
V
V
δ
δ
δ
δ
(4.27)
donde VBt = VEt - V4. Cuando estas expresiones se trasladan al marco de referencia de lamáquina, resultan las siguientes,
( )
( )
( )
( )
−
−
+
−=
+
−=
−
−
+
−=
+
−=
2
cos2
0
0
0
0
2
cos2
0
0
0
0
cdBB
cdBB
Bq
Bd
ser
ser
Bq
Bd
Bq
Bd
ser
ser
Btq
Btd
cdEE
cdEE
Eq
Ed
sh
sh
Eq
Ed
Eq
Ed
sh
sh
Etq
Etd
vm
vsinm
i
i
x
x
V
V
i
i
x
x
V
V
vm
vsinm
i
i
x
x
V
V
i
i
x
x
V
V
δδ
δδ
δδ
δδ
(4.28)
Asimismo la dinámica del voltaje de corriente directa se toma en cuenta mediante,
[ ] [ ]
+
=
Bq
Bd
BBcd
B
Eq
Ed
EEcd
Ecd
i
isin
C
mi
isin
C
m
dt
dv δδδδ cos4
3cos
4
3(4.29)
Para la red, también podemos escribir las siguientes ecuaciones algebraicas,
73
∞++=+=
VIjxVV
VIjxV
BBvBtEt
EtttE (4.30)
que pueden expresarse en el marco de coordenadas d-q mediante,
( )( ) ( )[ ]
δ+δ+−++=+
+−++=
+++++=+
∞∞ cos
''
jVsinVixijxjVVjVV
iixEjiix
jVVjijiiijxjvv
BqBvBdBvBtqBtdEtqEtd
BdEddqBqEqq
EtqEtdBqEqBdEdtEqtdt
(4.31)
Resolviendo las ecuaciones (4.31) para las corrientes resulta,
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) δδδδδδδ
sinVvsinmsinm
bvsinm
b
xxxxxxxx
xbxxxbii
cdEEBBcdEE
tEqshBvsershtEq
shshBvserBqEq
∞+
−−−=−=
+++++=∆∆
+++=+
22,
2 21
1
1
21
(4.32)
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) δδδδδδδ
cos2
cos
2
cos,
2
cos4
'3
''2
2
43
∞−
−−−=
−−=
+++++=∆
∆+++=+
Vvmm
bvm
Eb
xxxxxxxx
xbxxxbii
cdBBEEcdEE
q
tEdshBvsershtEd
shshBvserBdEd
(4.33)
Con estas corrientes es posible tener una representación de estado que permita llevar a caboestudios de estabilidad transitoria con el objeto de hacer notar las ventajas del uso deldispositivo UPFC en redes de potencia. Como ejemplo, para las condiciones operativasmostradas en la Fig. 4.9, y primeramente considerando las fuentes del dispositivo convalores constantes, se simula una falla trifásica en la barra infinita. Los resultadospresentados en las Figs. 4.26-4.27 comparan las posiciones angulares y velocidades cuandono se incluye y cuando se incluye el dispositivo. Es muy notoria la diferencia en laamplitud de las oscilaciones, lo cual puede explicarse considerando que el dispositivoUPFC tiene una rama shunt que soporta el voltaje, lo cual redunda en que el nodogenerador experimenta una variación en su voltaje inferior a la que experimenta cuando nose tiene ese soporte. Por otro lado, en ambos casos es evidente la falta de amortiguamientoen las oscilaciones [6].
74
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [r
ad]
sin UPFC
Fig. 4.26. Respuesta del ángulo de potencia ante una falla trifásica en la barra infinita
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.6
376.7
376.8
376.9
377
377.1
377.2
377.3
tiempo, s
velo
cida
d a
ngu
lar,
[ra
d/s
]
sin UPFC
Fig. 4.27. Respuesta de la velocidad angular ante una falla trifásica en la barra infinita
75
Un análisis de señal pequeña para el sistema involucra la linealización de todas lasexpresiones, conduciéndonos finalmente a la representación de estado [5],
dcBEBEk
k
A
vkA
d
pk
j
pk
fd
q
A
ddd
jjj
fd
q
vmmu
u
T
KKT
KT
K
E
E
TKK
TT
K
T
KT
K
T
D
T
K
E
E
∆∆∆∆∆=∆
∆
−
+
∆∆∆∆
−
−
=
∆
∆
∆∆
∑•
•
•
•
,,,,
0
10
10
0
0010
'0
'
65
'0
'0
3'0
4
21
'
δδ
ωδ
ωδ
(4.34)
Las constantes empleadas se resumen en el apéndice D.
Como ejemplo de aplicación, para las condiciones operativas descritas anteriormente, seconstruye la matriz de estado (4.34) resultando,
−−−−−−
=
208534.28308043.0
2222.03814.000237.0
06588.2808873.131
0010
A
cuyos valores propios son: [ -0.0018 ± j11.4832, -15.9473, -4.4306 ]T. La frecuencia deoscilación del modo electromecánico es 1.8276 Hz, que concuerda con la frecuencia deoscilación de las Figs. 4.26-4.27, al incluir el UPFC.
La ecuación que le imprime dinámica al enlace de corriente directa en el dispositivo puededesarrollarse como sigue. Las potencias activas de las fuentes shunt y serie son,
[ ]
[ ]
P V i V im v
seni
i
P V i V im v
seni
i
E Ed Ed Eq EqE dc
E EEd
Eq
B Bd Bd Bq BqB dc
B BBd
Bq
= + = − −
= + = − −
2
2
( ) cos( )
( ) cos( )
δ δ δ δ
δ δ δ δ(4.35)
Entonces, de la ecuación (4.29) tenemos
cd
UPFC
cdcd
BE
cd
cd
v
P
Cv
PP
Cdt
dv
2
3
2
3 =+= (4.36)
donde PUPFC es la entrada de potencia activa al UPFC desde el sistema de potencia. Para la
76
operación continua del UPFC en estado estacionario se tiene PUPFC = 0 (se desprecian laspérdidas al interior del UPFC). Esto puede lograrse introduciendo un controlador quemantenga constante el voltaje cd a través del capacitor de enlace. Linealizando la ecuación(4.36) puede escribirse,
∑ ∆+∆+∆+δ∆=
∆=∆+=∆
=
•
4
19
'87
0020
2
3
2
3
2
3
kkckcdq
UPFCcdcd
UPFCcdcdcdcd
UPFCcd
uKvKEKK
PCv
PCvvC
Pv
(4.37)
donde, las constantes K7, K8, K9 y Kck se definen en el apéndice E.
Con la inclusión de la dinámica del voltaje en el capacitor de enlace, la matriz de estadoresultante es,
=
987
5
5
5_
_
00
0
KKK
K
K
KA
A
v
q
pVcdsin
Vcdcon(4.38)
Para el ejemplo de aplicación, considerando Vcd0 = 1.0 pu y Ccd = 2.0 pu, los eigenvaloresde la matriz de estado son: [ -80.2143, -0.1606 ± j10.3464, -15.9322, -4.4327 ].
Las Figs. 4.28-4.29 comparan las posiciones angulares y velocidades cuando no se incluyey cuando se incluye el dispositivo UPFC considerando las fuentes con valores constantes eincluyendo la dinámica del capacitor de enlace, ante una falla trifásica en la barra infinita.
4.5.1 EFECTO DE LAS SEÑALES DE CONTROL DEL UPFC EN ELAMORTIGUAMIENTO DE LOS MODOS DE OSCILACIÓN MECÁNICOS
Para conocer la influencia que tiene la modulación de la amplitud y el ángulo de fase decada una de las fuentes del UPFC en las oscilaciones electromecánicas del generador, seanalizará el efecto de cada una de las señales de manera individual y cuando actúanconjuntamente. Para ello se realizará un estudio de señal pequeña, el cual será corroboradocon un análisis de estabilidad transitoria.
4.5.1.1 Análisis de señal pequeña
Considerando un control proporcional en Vcd, de forma que cdVcdE VK ∆=δ∆ , la matriz de
estado es de la siguiente forma:
77
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad
]
sin UPFC
Fig. 4.28. Comportamiento del ángulo ante una falla trifásica en la barra infinita
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.6
376.7
376.8
376.9
377
377.1
377.2
377.3
tiempo, s
velo
cida
d a
ng
ula
r, [
rad/s
]
sin UPFC
Fig. 4.29. Comportamiento de la velocidad ante una falla trifásica en la barra infinita
78
++++
=
=
+
=
∑=
•
•
•
•
•
3987
35
35
35
4
1
00
0
0
cVcd
vVcdv
qVcdq
pVcdpVcd_sin
Vcd_prop_con
BEBEk
kk
ck
vk
qk
pk
cd
fd
qVcd_prop_con
cd
fd
q
KKKKK
KKK
KKK
KKKA
A
,,m,mu
u
K
K
K
K
v
E
'EA
v
E
'E
δ∆δ∆∆∆∆
∆
∆∆∆
ω∆δ∆
∆∆
∆ω∆δ∆
(4.39)
donde KVcd, representa la constante del control proporcional utilizado para el valor de Vcd.
Tomando como señal de entrada un valor proporcional a la velocidad angular( ω∆=∆ mk ku ), la matriz de estado se ve modificada en su segunda columna, ya que ésta
es la que se encuentra en relación directa con la velocidad angular. Con las condicionesoperativas descritas anteriormente y tomando una entrada a la vez, se calculan los valorespropios para ver el efecto de estas en el modo de oscilación electromecánico, Tabla 4.7.
Tabla 4.7 Valores propios de la matriz de estado para las diferentes entradas.
∆∆∆∆mE = km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆δ∆δ∆δ∆δE = km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆∆∆∆mB= km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆δ∆δ∆δ∆δB = km∆ω∆ω∆ω∆ω
km = 0.10 km = 0.10 km = 0.10 km = 0.10
-16.2952 -17.8224 -15.9840 -16.0462
-0.3271± 11.2447j -2.8158± 6.9512j -0.9858 ± 11.7823j -0.5850 ± 11.2177j
-6.9341 -12.0332 -6.5732 -4.4729
-4.3626 -5.1714 -4.2472 -6.8882
De la Tabla 4.7, se puede concluir que la entrada de control que tiene mayor efecto en elmodo de oscilación electromecánico es la fase de la fuente shunt (∆δE).
Para determinar el efecto al tener dos o más señales de control actuando simultáneamente,se calculan los valores propios para las combinaciones posibles. En la Tabla 4.8, semuestran los resultados obtenidos. Hay que hacer notar que la señal que siguepredominando es la fase de la fuente shunt, aunque la magnitud de la fuente serie tambiéncontribuye positivamente al amortiguamiento. Esto se puede apreciar al comparar losvalores propios que se tienen al considerar sólo como señal de entrada la fase de la fuente
79
shunt (∆δE) y los valores propios cuando se agrega la magnitud de la fuente serie (∆δE &∆mB).
Tabla 4.8 Valores propios de la matriz de estado para combinaciones de entradas
∆∆∆∆mE & ∆ & ∆ & ∆ & ∆mB ∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δB ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δB
|km| = 0.10 |km |= 0.10 |km|= 0.10
-0.7595 ± 11.8533j -0.3694 ± 11.2962j -1.0262 ± 11.8357j
-16.2131 -16.2856 -15.9761
-4.1229 -4.3441 -4.2256
-6.6149 -6.9028 -6.5472
∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δB & ∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δE
|km| = 0.10 |km| = 0.10 |km| = 0.10
-2.7985± 7.1641j -3.6482± 7.0757j -3.7274± 6.8107j
-18.3425 -17.3620 -11.9780
-5.0671 -5.0937 -5.2156
-11.3458 -11.1304 -16.5653
4.5.1.2 Análisis de estabilidad transitoria
Empleando el caso base, se realizan simulaciones en el tiempo para observar cuál es elefecto de cada una de las señales de control en la posición angular y la velocidad de lamáquina ante una falla trifásica en la barra infinita.En la Fig. 4.30 se muestra el comportamiento del ángulo al utilizar diferentes señales decontrol (∆mE , ∆mB , ∆δB , ∆δE). Aquí se puede apreciar cómo la señal correspondiente a lafase de la fuente shunt es la que mayor impacto tiene sobre la posición angular, seguido dela magnitud de la fuente serie. En la Fig. 4.31 se muestra la respuesta de la velocidad antela falla descrita para las mismas señales. El efecto es similar al que presenta la posiciónangular, ya que la fase de la fuente shunt es la que impacta más favorablemente. De estasfiguras, se puede concluir que la señal de control correspondiente a la fase de la fuenteshunt (∆δE), es la que tiene el mayor impacto sobre las variables electromecánicas, lo cualtambién concuerda con el análisis de señal pequeña.
En la Fig. 4.32 se presenta la posición angular cuando se consideran dos o más señales decontrol actuando simultáneamente. En estas gráficas puede observarse que en los casos enlos que está presente la fase de la fuente shunt (∆δE) se tiene el mayor efecto en la respuestadel sistema. En la Fig. 4.33 se aprecia que la velocidad angular presenta el mismocomportamiento de la posición angular, es decir, cuando una de las señales de entrada es lafase de la fuente shunt, el sistema se estabiliza rápidamente.
80
Hay que hacer notar que estos resultados se obtienen considerando como señal de entradaun valor proporcional a la velocidad angular, lo cual puede ser impráctico debido a que éstano es una señal de tipo local ya que generalmente el dispositivo no se encuentra cerca de lasunidades generadoras, sin embargo, sirve como un buen ejemplo del efecto de cada una delas señales de control en la respuesta del sistema ante un disturbio grande. El pasosiguiente, es analizar el comportamiento del sistema cuando se retroalimenta una señallocal, como el flujo de potencia, un voltaje nodal o la corriente en la línea y observar si losresultados obtenidos se mantienen, o si el efecto de los controles tiene relación directa conlas variables utilizadas como retroalimentación.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.19
0.195
posi
ción
ang
ular
, [ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.188
0.19
0.192
0.194
0.196
tiempo, s
posi
ción
ang
ular
, [ra
d]
tiempo, s
∆mE = km ∆ω
∆δE = km ∆ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.19
0.195
posi
ción
ang
ular
, [ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.19
0.195
tiempo, s
posi
ción
ang
ular
, [ra
d]
tiempo, s
∆mB = km ∆ω
∆δB = km ∆ω
Fig. 4.30. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales de control actúanen forma individual
81
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.98
377
377.02
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
tiempo, s
∆mE = km ∆ω
∆δE = km ∆ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
velo
cid
ad a
ngul
ar,
[rad
/s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
velo
cid
ad a
ngul
ar,
[rad
/s]
tiempo, s
tiempo, s
∆mB = km ∆ω
∆δB = km ∆ω
Fig. 4.31. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando las señales de controlactúan en forma individual
82
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.188
0.19
0.192
0.194
0.196
tiempo, s
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.19
0.191
0.192
0.193
0.194
0.195
tiempo, s
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
∆mB y ∆δE
∆mE y ∆δE
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.19
0.191
0.192
0.193
0.194
0.195
tiempo, s
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.19
0.195
tiempo, s
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
∆mE y ∆mB
∆mE , ∆mB , ∆δE , ∆δB
Fig. 4.32. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales de control actúanconjuntamente
83
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.98
377
377.02
tiempo, s
velo
cid
ad a
ngul
ar,
[ra
d/s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.98
377
377.02
tiempo, s
velo
cid
ad a
ngul
ar,
[ra
d/s]
∆mB y ∆δE
∆mE y ∆δE
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.98
377
377.02
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
∆mE , ∆mB , ∆δE , ∆δB
∆mE y ∆mB
Fig. 4.33. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando las señales de controlactúan conjuntamente
84
4.5.2 RETROALIMENTACIÓN DE SEÑALES LOCALES
Generalmente los dispositivos FACTS, tales como el UPFC, no se instalan cerca de lasunidades generadoras, por lo que las señales para retroalimentación que se tienendisponibles, son señales locales tales como el flujo o la corriente en la línea, el voltaje en unnodo, etc. Para continuar el estudio del efecto de las señales de control del UPFC en elamortiguamiento de oscilaciones electromecánicas, vamos a considerar la retroalimentacióndel flujo de potencia real en la línea que conecta al UPFC a la barra infinita, para lo cual esnecesario encontrar la expresión de ésta potencia y posteriormente linealizarla para analizarel efecto que tiene en el sistema.
Resolviendo las ecuaciones (4.31) para la corriente IB se tiene:
1
12
2
34
)(
)´(
∆+++
=
∆+++=
bxbxxxi
bxbxxxi
shtEshq
Bq
shtEshdBd
(4.40)
Trasladando estas corrientes al marco de referencia de la red,
δδδδ
seniii
isenii
BqBdBim
BqBdBre
+−=
+=
cos
cos
por lo que BimBreB ijiI += . De aquí, que el flujo de potencia a través de la línea está dado
por:
[ ] )()()*(44 BimBreBimBreBvB ijiijijxVIVS −++== ∞∞
separando en parte real e imaginaria
[ ]BimBimBreBvBre iViixjiVQPS ∞∞∞∞∞ −++=+= )( 22
444 (4.41)
Considerando términos incrementales, ∞4P , se obtiene:
BreiVP ∆=∆ ∞∞4 (4.42)
donde
BqoBdooBqooBdoBre iisenseniii ∆+∆+∆−=∆ δδδδδ cos)cos(
finalmente
dcBBEEqBre VllmllmllEli ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 7654321 ' δδδ
por lo que el flujo de potencia incremental es:
85
)'( 76543214 dcBBEEq VllmllmllElVP ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ (4.43)
las constantes empleadas se definen en el apéndice F.
4.5.2.1 Análisis de señal pequeña
Para realizar el análisis de señal pequeña, vamos a utilizar la ecuación (4.39). En este casose retroalimenta el flujo en la línea que une al UPFC a la barra infinita, cuya expresión enfunción de los estados está dada por la ecuación (4.43) y vamos a observar el efecto de cadauna de las señales de control del UPFC en las oscilaciones electromecánicas del generador.Tomando como señal de entrada un valor proporcional al flujo de potencia en una línea( ∞∆=∆ 4Pku pijk ), la matriz de estado se ve afectada en la primera, tercera y quinta
columnas, correspondientes a los estados Vdc,q'E, ∆∆δ∆ , respectivamente.
De tal forma que:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] 0001
0001
0001
0001
7421
4
7421
6
7421
5
7421
3
===+++−
=
===+++−
=
===+++−
=
===+++−
=
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
BEBcdVcdq
pij
pij
E
EEBcdVcdq
pij
pij
B
EBEcdVcdq
pij
pij
B
EBBcdVcdq
pij
pij
E
,m,m,VlKll'El)lVk(
Vk
,m,m,VlKll'El)lVk(
Vk
,,m,VlKll'El)lVk(
Vkm
,,m,VlKll'El)lVk(
Vkm
δ∆∆∆∆δ∆∆δ∆
δ∆∆∆∆δ∆∆δ∆
δ∆δ∆∆∆δ∆∆∆
δ∆δ∆∆∆δ∆∆∆
En la Tabla 4.9, se muestran los valores propios correspondientes a cada una de lasentradas. En ésta, puede apreciarse cómo la fase de la fuente shunt y la magnitud de lafuente serie son las que tienen un mayor impacto en el modo de oscilación electromecánico.
Tabla 4.9 Valores propios de la matriz de estado para las diferentes entradas cuando se utilizauna señal local como retroalimentación.
∆∆∆∆mE = kpij ∆P4∞ ∆δ∆δ∆δ∆δE = kpij ∆P4∞ ∆∆∆∆mB = kpij ∆P4∞ ∆δ∆δ∆δ∆δB = kpij ∆P4∞
kpij = 0.02 kpij = 0.02 kpij = 0.02 kpij = 0.02
-16.0042 -15.9159 -16.0690 -16.0567
-0.5391 ± 11.1703j -0.5664 ± 11.0344j -0.5575 ± 11.1694j -0.5430 ± 11.1660j
-4.5492 -4.2346 -4.6021 -4.4991
-6.9363 -8.9647 -6.5012 -6.8863
86
4.5.2.2 Análisis de estabilidad transitoria
Utilizando el caso base, se realizan simulaciones en el tiempo para analizar cuál es el efectode utilizar como retroalimentación el flujo de potencia en la línea que une al UPFC y a labarra infinita para cada una de las señales de control.
En las Figs. 4.34 y 4.35, se muestra el comportamiento de la posición angular para lascuatro señales de control. Asimismo, éstas se comparan con la respuesta debido a la fase dela fuente shunt (∆δE) con el fin de mostrar que la fase de la fuente shunt es la que mayorimpacto tiene sobre la posición angular. El impacto de esta señal se muestra con una líneadiscontinua. De la misma forma, en las Figs. 4.36 y 4.37, se presenta la respuesta de lavelocidad angular para las distintas señales, observándose nuevamente que la señalcorrespondiente a la fase de la fuente shunt es la que proporciona el mayoramortiguamiento.
El resultado anterior concuerda con el análisis realizado al retroalimentar la velocidad, sinembargo, en este caso el amortiguamiento no es tan grande, lo cual se debe principalmentea que el retroalimentar la velocidad, tiene un impacto directo sobre las variableselectromecánicas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185
0.19
0.195
0.2
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
∆δE = k
pij∆P
ij
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185
0.19
0.195
0.2
pos
ició
n a
ngu
lar,
[ra
d]
∆mE = k
pij∆P
ij
∆mE
∆δE
tiempo, s
tiempo, s
Fig. 4.34. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia real en lalínea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE)
87
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185
0.19
0.195
0.2
posi
ción
ang
ular
, [r
ad]
∆mB = kpij∆Pij
∆mB
∆δE
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
posi
ción
ang
ular
, [r
ad]
∆δB = kpij
∆Pij
∆δB
∆δE
tiempo, s
Fig. 4.35. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia real en lalínea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
tiempo, s
velo
cid
ad
an
gu
lar,
[ra
d/s
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
tiempo, s
velo
cid
ad
an
gu
lar,
[ra
d]
∆mE
∆δE
∆mE = kpij∆Pij
∆δE = k
pij∆P
ij
Fig. 4.36. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realen la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE)
88
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
velo
cidad
angu
lar,
[ra
d/s
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
376.95
377
377.05
tiempo, s
velo
cida
d a
ngu
lar,
[ra
d/s
]
tiempo, s
∆mB = kpij∆Pij
∆mB
∆δE
∆δB = kpij
∆Pij
∆δB
∆δE
Fig. 4.37. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realen la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE)
4.5.3 SISTEMA DE CONTROL DEL UPFC
La Fig. 4.38, muestra la estrategia de control adoptada para regular el flujo de potencia delsistema en condiciones de estado estacionario. En este esquema, las variables de control δB
y mB se utilizan para regular el flujo de potencia real y reactiva. El control de mE se utilizapara regular el voltaje de línea, y finalmente la variable de control δE se utiliza para elvoltaje en el enlace de CD[6].
VBtVEt
VSC-BVSC-E
+
-
-
+
+
+
-+
-
+2
1 43
PI
PIPI
PI
mE δBmBδE
Vdc ref
P ref
P line
Q line
Q ref
Q ref
Q s
Fig. 4.38. Sistema de control del UPFC
89
El enlace de CD debe reaccionar lo suficientemente rápido a los disturbios del sistema paramantener el voltaje del enlace de CD en su valor de referencia. En el esquema propuesto,Vdcref se utiliza para controlar Vdc basado en el sistema de control mostrado en la Fig. 4.39.
Fig. 4.39. Control proporcional para el enlace de C.D.
4.5.3.1 Control proporcional integral para el enlace de CD
A continuación vamos a analizar el efecto en la matriz de estado al incorporar un controlproporcional-integral (PI) para el enlace de CD. En base a la Fig. 4.39, el control PIintroduce las siguientes relaciones:
dcppiE VkX ∆+=∆δ (4.44)
dci
ppi V
sT
kX ∆= (4.45)
donde éstas, pueden incorporarse a los análisis de señal pequeña y estabilidad transitoriadesarrolladas.
Considerando la matriz dada por la ecuación (4.38), tenemos,
∆∆∆∆
+
∆
∆
∆∆∆
=
∆
∆
∆∆∆
•
•
•
•
•
B
E
B
E
cccc
vvvv
qqqq
pppp
cd
fd
q
v
q
pVcdsin
cd
fd
q
m
m
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
v
E
E
KKK
K
K
KA
v
E
E
δδ
ωδ
ωδ
4321
4321
4321
4321
987
5
5
5_
0000
'
00
0
'
el control proporcional-integral, se puede adicionar en la expresión anterior, agregando lavariable Xpi como una variable de estado, y sumando la ecuación (4.44) al vector deentradas, de tal forma que el nuevo arreglo tiene la siguiente forma:
kP
kP/sTi
∆Vdc ∆δΕ
Xpi
90
∆∆++∆
∆∆
+
∆
∆
∆∆∆
=
∆
∆
∆∆∆
•
•
•
•
•
•
B
dcppiE
B
E
cccc
vvvv
qqqq
pppp
pi
cd
fd
q
i
p
v
q
pVcdsin
pi
cd
fd
q
VkX
m
m
KKKKKKKK
KKKK
KKKK
X
v
E
E
T
kKKK
K
K
KA
X
v
E
E
δδ
ωδ
ωδ
0000
0000
'
00000
000
0
0
0
00
'
4321
4321
4321
4321
987
5
5
5_
agrupando términos semejantes,
[ ]
++++
=
∆∆∆∆=∆
∆
+
∆
∆
∆∆∆
=
∆
∆
∆∆∆
∑=
•
•
•
•
•
•
00000
00
00
__
0
0
'__
'
33987
335
335
335_
4
1
i
p
ccp
vvpv
qqpq
ppppVcdsin
tBEBE
ci
vi
qi
pi
k
pi
cd
fd
q
pi
cd
fd
q
T
kKKkKKK
KKkK
KKkK
KKkKA
PIcontrolA
mmu
u
K
K
K
K
X
v
E
EPIcontrolA
X
v
E
E
δδ
ωδ
ωδ
donde kp y Ti, representan las constantes del control proporcional integral.
Tomando los valores empleados en el caso base, y asignando kP = 1.5 y Ti = 0.1, los valorespropios de la matriz A cuando se incluye el control proporcional integral son: -1.3544 ±10.0523j, -4.7078 ± 10.1113j, -16.0250, -4.4222, donde el primer par complejo conjugadoestá asociado a los modos electromecánicos, el otro par complejo conjugado corresponde alvoltaje en el enlace de CD y a la variable de estado asociada al control proporcional-integral.
En las Figs. 4.40-4.42 se compara la respuesta de las variables mecánicas y la del voltaje deCD, ante una falla en la barra infinita cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral para el enlace de CD.
91
De aquí podemos concluir que el control proporcional-integral en el enlace de CD, tambiéntiene repercusiones en el comportamiento general del sistema, y en este caso en particularel resultado es favorable.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.182
0.184
0.186
0.188
0.19
0.192
0.194
0.196
0.198
0.2
0.202
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad]
Control proporcional vs Control proporcional-integral
Control proporcional, KVcd
=1
Control proporcional-integral k
p=1.5; T
i=0.1
Fig. 4.40. Comportamiento de la posición angular cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral en el enlace de C.D.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.92
376.94
376.96
376.98
377
377.02
377.04
377.06
377.08
377.1
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
Control proporcional vs Control proporcional-integral
Control proporcional, K Vcd=1
Control proporcional-integral k
p=1.5; T
i=0.1
Fig. 4.41. Comportamiento de la velocidad angular cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral en el enlace de CD.
92
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
tiempo, s
volta
je e
n el
en
lace
de
CD
[pu
]
Control proporcional vs Control proporcional-integral
Control proporcional KVcd=1
Control proporcional-integral kp=1.5; Ti=0.1
Fig. 4.42. Comportamiento del voltaje en el enlace de CD cuando se tiene un control proporcional y uncontrol proporcional-integral.
4.5.3.2 Efecto de las señales de control del UPFC al utilizar un control PI en elenlace de CD.
A continuación se estudia la respuesta del sistema para cada una de las señales de controlcuando se utiliza la velocidad angular como señal de retroalimentación, es decir, ∆u =km∆ω. Al hacer esto, la matriz de estado se modifica en la segunda columna, la cual estaasociada a la velocidad angular.
En la Tabla 4.10 se muestran los valores propios de la matriz de estado asociados a cadauna de las entradas de control.
Tabla 4.10. Valores propios de la matriz de estado para cada una de las entradas
∆∆∆∆mE ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB ∆δ∆δ∆δ∆δB
k=0.01 k=0.01 k=0.01 k=0.01
-1.3886 ±10.0371i -1.5379 ± 11.1945i -1.1042 ± 9.9484i -1.3309 ± 10.0427i
-4.6930 ±10.1188i -3.9273 ± 9.2044i -4.9453 ± 10.1638i -4.7298 ± 10.1165i
-16.0015 -15.9961 -16.0297 -16.0256
-4.4373 -4.4343 -4.4204 -4.4219
En la Tabla 4.10 se puede apreciar que las señales que mayor impacto tiene en los modoselectromecánicos son la fase de la fuente shunt (δE) y la magnitud de la fuente serie (mB).
93
Para corroborar estos resultados se realizan simulaciones en el tiempo. En las Figs. 4.43-4.44 se muestran éstas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad]
∆mE = km ∆ω
∆δE = km ∆ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
posi
ción
an
gula
r, [
rad]
∆mB = km ∆ω
∆δB = km ∆ω
Fig. 4.43. Comportamiento de la posición angular para cada una de las entradas de control ante una falla en labarra infinita al utilizar como señal de retroalimentación la velocidad angular.
94
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.85
376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad
/s]
∆mE = km ∆ω
∆δE = km ∆ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cida
d an
gula
r, [
rad/
s]
∆mB = km ∆ω
∆δB = km ∆ω
Fig. 4.44. Comportamiento de la velocidad angular para cada una de las entradas de control ante una falla enla barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación la velocidad angular.
Sin embargo, el utilizar como retroalimentación la velocidad angular de la máquina es pocofactible ya que un dispositivo FACTS, como el UPFC difícilmente se instalaría cerca de ungenerador.
95
Por lo tanto, a continuación se ve el efecto de tomar una señal local comoretroalimentación, por ejemplo, la potencia real en la línea.
Para el análisis de señal pequeña, es necesario linealizar la potencia real que fluye delgenerador a la barra infinita, la cual esta dada por la expresión (4.43)
)'( 76543214 dcBBEEq VllmllmllElVP ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ
pero en este caso, el control proporcional agrega una variable más, por lo que la expresiónanterior resulta:
[ ] )'( 76543214 dcBBdcppiEEq VllmlVkXlmllElVP ∆+∆+∆+∆++∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ (4.46)
Tomando como entrada un valor proporcional al flujo de potencia, la matriz de estado se vemodificada en la primera, tercera, quinta y sexta columna, correspondientes a los estados∆δ, ∆E’q, ∆Vdc, Xpi. . De tal forma que:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] 0 )('1
0 )('1
0 )('1
0 )('1
474126
474125
474124
474123
=∆=∆=∆+∆++∆+∆−
=∆
=∆=∆=∆+∆++∆+∆−
=∆
=∆=∆=∆+∆++∆+∆−
=∆
=∆=∆=∆+∆++∆+∆−
=∆
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
BEEpidcpqpij
pijB
BEEpidcpqpij
pijB
BBEpidcpqpij
pijE
BBEpidcpqpij
pijE
mmXlVlklElllVk
Vk
mXlVlklElllVk
Vkm
mmXlVlklElllVk
Vk
mXlVlklElllVk
Vkm
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
En la Tabla 4.11 se muestran los valores propios de la matriz de estado, correspondientes acada una de las entradas.
Tabla 4.11. Valores propios de la matriz de estado para cada una de las entradasretroalimentando señales locales
∆∆∆∆mE ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB ∆δ∆δ∆δ∆δB
k = 0.1 k = 0.1 k = 0.1 k = 0.1
-1.3202 ± 10.1620i -1.1312 ± 11.8020i -2.8691 ± 10.8182i -1.4278 ± 10.0160i
-4.8010 ±10.0389i -2.1120 ± 6.8135i -2.3440 ± 8.9071i -4.5459 ± 10.1072i
-15.7309 -16.1892 -16.0679 -16.0322
-4.7233 -4.2399 -4.3909 -4.4166
De la Tabla anterior se puede concluir que la señal que mayor impacto tiene sobre losmodos electromecánicos es la magnitud de la fuente serie (∆mB), seguido de la fase de la
96
fuente serie (∆δB). Estos resultados se pueden comprobar al realizar una simulación en eltiempo. En las Figs. 4.45 y 4.46 se muestra la respuesta de las variables mecánicas cuandose aplica una falla en la barra infinita y en las cuales se puede comprobar que la señal quetiene mayor impacto es la magnitud de la fuente serie.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
pos
ició
n angu
lar,
[ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185
0.19
0.195
0.2
0.205
tiempo, s
pos
ició
n angu
lar,
[ra
d]
∆mB = kpij ∆Pij
∆δB = kpij ∆Pij
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
0.205
tiempo, s
pos
ició
n angu
lar,
[ra
d]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18
0.185
0.19
0.195
0.2
tiempo, s
pos
ició
n angu
lar,
[ra
d]
∆mE = kpij ∆Pij
∆δE = kpij ∆Pij
Fig. 4.45. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realcomo retroalimentación (control PI en el enlace de CD)
97
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cid
ad
an
gu
lar,
[ra
d/s
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
tiempo, s
velo
cid
ad
an
gu
lar,
[ra
d/s
]
∆mB = kpij ∆Pij
∆δB = kpij ∆Pij
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.8
376.9
377
377.1
377.2
tiempo, s
velo
cid
ad a
ngu
lar,
[rad
/s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9
376.95
377
377.05
377.1
tiempo, s
velo
cid
ad a
ngu
lar,
[rad
]
∆mE = kpij ∆Pij
∆δE = kpij ∆Pij
Fig. 4.46. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realcomo retroalimentación (control PI en el enlace de CD)
4.6 RESUMEN
En este capítulo se hace un análisis del controlador unificado de flujos de potencia (UPFC)con el propósito de ver el efecto del mismo al insertarse en un sistema máquina-barrainfinita en estado transitorio y estado estacionario.En la primera parte se analiza la formulación del problema de flujos de potencia cuando setiene un UPFC en la red. A partir de ésta se hace un análisis del comportamiento del
98
dispositivo al variar los parámetros del sistema observándose la versatilidad del UPFC paramantener el flujo especificado.
En la segunda parte se estudia la capacidad del dispositivo para amortiguar oscilaciones depotencia a través de sus señales de control, para ello se hace un análisis de señal pequeña yuno de estabilidad transitoria. Del estudio de señal pequeña se puede observar cómo cadauna de las señales de control del UPFC impacta en mayor o menor grado los modos deoscilación electromecánicos al utilizar diferentes señales como retroalimentación a travésde un control proporcional. Los resultados obtenidos se corroboran con simulaciones en eltiempo, mostrando el comportamiento de la posición angular y de la velocidad angular alaplicar una falla en la barra infinita.
Finalmente se estudia el efecto de un control proporcional integral para el enlace de CD.Aquí se puede ver que la introducción de este tipo de control agrega un estado adicional enel análisis de señal pequeña, asimismo se realiza un análisis similar al desarrollado en 4.5.1y 4.5.2, en el cual se muestra el efecto de las señales de control del UPFC sobre los modosde oscilación electromecánicos al utilizar diferentes señales como retroalimentación.Para dispositivos con múltiples entradas es importante estudiar el efecto que tiene cada unade estas señales sobre el sistema. Estos resultados pueden utilizarse en condiciones deestado estacionario y en condiciones de estado transitorio.
REFERENCIAS
1. B. Avramovic, L. H. Fink, “Energy Management Systems and Control of FACTS”,Electrical Power and Energy Systems, Vol 17, No. 3, pp. 195-198, 1995.
2. K. R. Padiyar, A. M. Kulkarni, “Control Design and Simulation of Unified PowerFlow Controller”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No. 4, pp 1348-1354, October 1998.
3. W.L. Fang, “Coordinated power control of Unified Power Flow Controller and itsapplication for enhancing dynamic power system performance”, Thesis submittedfor the degree of Doctor of Philosophy in Electrical Engineering. The Hong KongPolytechnic University.
4. C. R. Fuerte-Esquivel, E. Acha. “Unified power flow controller a criticalcomparison of Newthon-Raphson algorithms in power flow studies”, IEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 144, No. 5, pp. 437-444, September 1997.
5. H. F. Wang, “Effect of Multi-functional UPFC upon Power System OscillationStability”. Paper BTP99-026-12 accepted for presentation at the IEEE PowerTeach’99 Conference, Budapest, Hungary.
6. A. Valenzuela, “Análisis de estado estacionario y dinámico en SEP al incluir undispositivo UPFC”, Tesis de Maestría, Cinvestav, Unidad Guadalajara, México.Diciembre 2000.
99
C A P Í T U L O 5
L O C A L I Z A C I Ó N D ED I S P O S I T I V O S FA C T S E N U NS I S T E M A M U LT I M Á Q U I N A S
5.1 INTRODUCCIÓN
La creciente demanda de energía eléctrica y los cambios que se están presentando en losmercados de energía eléctrica, como la desregulación y las restricciones para laconstrucción de nuevas líneas de transmisión y plantas generadoras han forzado a operarlos sistemas eléctricos de potencia de forma que se pueda maximizar el uso de las líneasexistentes.
El reciente desarrollo de los controladores FACTS (Sistemas de transmisión flexible deCA) proporciona los medios necesarios para asegurar la operación de los sistemas depotencia, debido a su característica de respuesta rápida y la habilidad para controlar losprincipales parámetros en la transmisión de energía eléctrica (magnitud de voltaje nodal,ángulo de fase e impedancia de línea) en forma independiente o simultánea.
Sin embargo, los dispositivos FACTS pueden impactar de distinta forma en el sistema depotencia, por lo que es importante estudiar el efecto que tienen éstos dependiendo de suubicación. En la literatura se ha tratado el tema de la localización de dispositivos FACTS ensistemas de potencia multimáquina desde diferentes puntos de vista; algunos de ellos seenfocan en los costos de instalación y operación del dispositivo [1,2], para los cuales setoman en cuenta las dimensiones del dispositivo, pérdidas en el sistema y costosmarginales. Por otro lado, la selección de la localización también se ha hecho basándose enla capacidad del dispositivo FACTS para amortiguar oscilaciones de potencia. La mayoríade estos estudios están basados en controlabilidad y observabilidad modal y en residuos.Sin embargo, en este caso, es necesario tomar en cuenta las señales de retroalimentación, yaque para una misma localización las señales de entrada pueden tener diferentes efectos, porlo que es necesario tomarlas en cuenta. Aunado a esto algunos autores han propuestociertos criterios para asegurar la efectividad y la robustez del estabilizador [3].
La selección de la localización y las señales de retroalimentación de los estabilizadoresbasados en FACTS en un sistema multimáquina es un problema que reviste gran
100
importancia debido principalmente a que la inversión en este tipo de dispositivos es muygrande, y por lo tanto se tiene que buscar la condición de operación que maximice sudesempeño en condiciones de estado estacionario y dinámico.
5.2 CRITERIOS PARA LA LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS
Si se tiene un conjunto de posibles lugares en los cuales se puede instalar el estabilizadorbasado en FACTS, denominado ΦΦΦΦ(ϕϕϕϕ), así como un conjunto de condiciones operativas,denominado ΩΩΩΩ(µµµµ), entonces la eficacia del estabilizador se puede representar como C(ϕϕϕϕ,µµµµ),donde esta expresión indica que la eficacia es función de la localización y la señal utilizadacomo retroalimentación, ϕϕϕϕ, así como de la condición operativa, µµµµ.Si se desea saber la localización del dispositivo y la señal de retroalimentación quemaximice el amortiguamiento de oscilaciones para una condición operativa determinada, elcriterio para localizarlo es[3]:
[ ] )(,),( µµµϕϕ
Ω∈ooCMax (5.1)
Sin embargo, con la selección anterior, el desempeño del dispositivo puede variar si elsistema se encuentra en una condición de operación distinta de µo. Por lo que se modifica elcriterio para asegurar la eficacia y la robustez del dispositivo.
),( µϕ
µϕCminMax (5.2)
La ec. 5.2, toma la condición de operación más severa y busca la localización y las señalesde retroalimentación más efectivas, de esta forma se asegura el amortiguamiento.
− ),(),( µϕµϕ
µµϕCminCmaxMin (5.3)
La ec. 5.3, trata de lograr que la diferencia entre la condición óptima de operación y lacondición más severa sea mínima de tal forma que la localización y las señales deretroalimentación elegidas funcionen adecuadamente para las diferentes condicionesoperativas. Es decir, la localización hace que el estabilizador sea robusto.
El siguiente paso corresponde a la forma de calcular la eficacia C(ϕ,µ) del controlador parauna localización y una señal de retroalimentación dadas.
5.3 LOCALIZACIÓN DE CONTROLADORES FACTS MEDIANTERESIDUOS
Si las ecuaciones de estado de un sistema de potencia multimáquina con un estabilizadorbasado en FACTS son:
101
XC
BAXXTy
u
=
+=•
(5.4)
y iii jωσλ +−= es el i-ésimo modo de oscilación o eigenvalor de la matriz de estado
donde:
Tii
Ti
iii
WAW
VAV
λ
λ
=
=(5.5)
Vi y WiT son los eigenvectores derecho e izquierdo de la matriz A correspondientes al
eigenvalor iii jωσλ +−= , se definen,
iT
ii
Tiii
Vc
Wb
C
B
=
=
)(
)(
λλ
(5.6)
siendo bi(λi) el índice de controlabilidad y ci(λi) el índice de observabilidad del modo deoscilación de interés con respecto al estabilizador basado en FACTS. El producto de estosíndices, conocido como residuo, es una medida de la eficacia del estabilizador.Los residuos se calculan para poder hacer una evaluación de las posibles localizaciones yseñales de retroalimentación empleadas. Por ejemplo, si existen dos posibles lugares parainstalar el dispositivo o dos señales de retroalimentación L y M, y si
|)(||)(||)(||)(| iiMiiMiiLiiL cbcb λλ>λλ
entonces L se considera mejor que M para localizar el dispositivo o para tomar esa señalcomo retroalimentación.
Como ejemplo de aplicación se considera un sistema de potencia formado por tresgeneradores, mostrado en la Fig. 5.1. Se decide instalar un compensador serie controladopor tiristores (TCSC) para amortiguar oscilaciones de baja frecuencia. Los posibles lugaresdonde se puede instalar el dispositivo, son las líneas entre el nodo 5 y 4, y entre los nodos 6y 4. Las señales que se pueden emplear como retroalimentación son la magnitud del voltajeen el nodo 4 ó el flujo de potencia en la línea que se instale el dispositivo.
1
2 5 6 3
4
PL
V1
V2 V3XT2 XT3
Fig. 5.1. Sistema de potencia con tres máquinas
102
Los datos del sistema son:Z1-4 = Z5-4 = Z6-4 = Z1-4 = j 0.6XT2 = XT3 = j 0.03PL4 = 1.4|V2| = |V3| = 1.05
Los datos del TCSC son:XL = 2; XC = 10α = 580; XASC = 0.1465 Zb = 132.25
Para las posibles combinaciones de localización y señales de retroalimentación se tienen lossiguientes resultados:
Tabla 5.1 Efectividad del TCSC para las posibles localizaciones y señales de control
Localización Línea 5-4 Línea 6-4 Línea 5-4 Línea 6-4
Señalretroalimentada P5-4 P6-4 V4 V4
Controlabilidad
(b)1.5918e3 1.1038e3 1.5918e3 1.1038e3
Observabilidad
(c)0.2010 0.2013 0.02 0.0248
Efectividad
(b*c)319.927 222.1377 31.865 27.359
De la Tabla 5.1 se puede concluir que la mejor localización y señal para retroalimentar son:la línea 5-4 y la potencia real en esa misma línea.
5.4 LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS MEDIANTERESPUESTA EN FRECUENCIA
Debido a que la técnica de residuos requiere el cálculo de la eigenestructura del sistemalinealizado, lo cual puede ser problemático en redes de gran tamaño, a continuación sepropone una técnica para la selección de la localización y las señales de control paraestabilizadores basados en FACTS, para el amortiguamiento de oscilacioneselectromecánicas. Ésta técnica está basada en el análisis de la respuesta a la frecuencia delas funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado, utilizando gráficas polarespara representar las curvas de respuesta a la frecuencia. En estos métodos, la frecuencia dela señal de entrada se varía en un intervalo específico, con el subsecuente análisis de larespuesta. En nuestro caso, las frecuencias de los modos electromecánicos tienen un rangobien definido, lo cual nos permite enfocarnos en ellas. La Fig. 5.2, muestra la configuraciónde lazo cerrado adoptada aquí para comparar la respuesta a la frecuencia de la planta (lazoabierto) y el sistema en lazo cerrado. Se utiliza una ganancia k para retroalimentar la saliday.
103
La idea principal se basa en el hecho de que para pequeños valores de la señal deretroalimentación (ky), la gráfica polar de la función de transferencia de lazo cerradoexperimenta una pequeña variación con respecto a la gráfica polar de lazo abierto cuando sevisualiza un intervalo reducido de frecuencias [ωlo, ωup] alrededor de la frecuencia deinterés ω (modos electromecánicos). Por ejemplo, considerando las siguientes funciones detransferencia:
49.1
1)(,
42
1)(
2221 ++=
++=
sssG
sssG
cuyos polos son –1 ± j1.73 y –0.95 ± j1.76 respectivamente. En la Fig. 5.3, se muestra larespuesta a la frecuencia para cada una de ellas, y en donde la diferencia puede ser asociadaprincipalmente al amortiguamiento. En general podemos esperar que entre más cerca seencuentre del punto –1+j0, se tiene un sobreimpulso mayor y la respuesta tarda más tiempoen alcanzar el estado estacionario.
En el caso de dispositivos FACTS con múltiples entradas, es necesario evaluar cadarelación entrada-salida para elegir la mejor señal capaz de tener una influencia positivasobre el amortiguamiento. Esto es, la mejor señal produce la mayor diferencia entre lasrespuestas de lazo abierto y lazo cerrado. A continuación se propone un índice basado en elvalor medio de tal diferencia considerando un intervalo de frecuencias [ωlo, ωup], el cual sediscretiza en N puntos. Es decir, cada punto (o frecuencia) ωj ∈ [ωlo, ωup] se analiza y secalcula la diferencia [Glazo cerrado (ωj) – Glazo abierto (ωj)] y entonces se calcula el valor medio.Por otra parte, el amortiguamiento puede reducirse o incrementarse con la localización deldispositivo, por lo tanto es necesario analizar las posibles localizaciones a fin deseleccionar la mejor, así como la mejor señal de retroalimentación. Para hacer lo anterior,se inserta el dispositivo FACTS en una línea determinada y se analizan las gráficas polarespara cada señal de control, seleccionando la mejor de acuerdo a los criterios descritosanteriormente. Posteriormente se modifica la localización del dispositivo FACTS y se llevaa cabo un nuevo análisis. Este procedimiento se repite para todas las posibleslocalizaciones. Al final del proceso podemos cuantificar la señal y la localización queproducen el mayor impacto en el amortiguamiento de la frecuencia de oscilación enestudio. En la Fig. 5.4, se presenta un diagrama de flujo de la técnica propuesta.
Fig. 5.2. Configuración del sistema retroalimentado
+
y
k
u e Σ-
104
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Diagrama de Nyquist
real
imag
ina
rio G1(s)
G2(s)
ωup
ωlo
ωbase
Fig. 5.3. Gráficas de respuesta a la frecuencia para G1(s) y G2(s)
Fig.5.4. Diagrama de flujos para la localización de dispositivos FACTS
105
Fig. 5.5. Sistema de potencia de tres máquinas
5.4.1 SISTEMA RETROALIMENTANDO LA SALIDA
La representación de un sistema LIT en variables de estado puede hacerse de la siguienteforma:
DuCxy
BuAxx
+=+=
•
(5.7)
donde: ,,,,,,, 111 mxrmxnnxrnxnrxmxnx DCBAuyx ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ nes el número de estados; m es el número de salidas; r es el número de entradas
La relación entrada-salida está dada por:
[ ] uDBAsICy +−= −1)( (5.8)
Si para el sistema de lazo abierto (5.7), tomamos como retroalimentación la salida,tendremos una ecuación adicional, ver Fig. 5.2.
kyue −= (5.9)
Replanteando el sistema de ecuaciones (5.7), tenemos:
DeCxy
BeAxx
+=+=
•
(5.10)
con esta última expresión y la relación dada en (5.9), se obtiene el siguiente sistema (lazocerrado):
Carga C
Carga ACarga B
106
uDxCy
uBxAx
rere
rere
+=+=
•
(5.11)
Donde:
DkD
D
CkD
C
BkD
B
BCkD
kAA
re
re
re
re
+=
+=
+=
+−=
1
11
11
11
(m = r = 1)
Se desea estudiar el impacto de cada una de las entradas del dispositivo FACTS cuando seutiliza como señal de retroalimentación una salida del sistema. En este caso la matriz B setransforma en un vector columna que corresponde a la entrada seleccionada.
5.4.2 CASO DE ESTUDIO
Se va a realizar un análisis para determinar la localización y la señal de retroalimentaciónóptimas ejemplificando un UPFC, el cual será instalado en el sistema de tres máquinas,mostrado en la Fig. 5.5. En la Tabla 5.2 se muestran la potencia y el voltaje nodalcontrolado por el dispositivo, considerando tres condiciones operativas llamadas: (a) casobase, en el cual se utilizan los parámetros originales del sistema [4] y se establece unapotencia a mantener por el UPFC; (b) caso débil, en el cual se incrementa en un 35% lapotencia demandada, además se incrementa en un 25% la impedancia serie de las líneas 4-5y 8-9 y añadiendo una nueva carga en el nodo 8, S8 = 0.25 + j0.075; (c) caso mismapotencia, donde el UPFC controla la misma potencia Sij = 0.35 + j0.20 y el mismo voltaje|Vi| = 1.035 en todas las posiciones.
Tabla 5.2 Flujo de potencia controlado por el UPFC
Posición del UPFC Caso base Caso débil Caso misma potencia
Línea 6-7 S6-7 = 0.35 + j0.30, |V6| = 1.035 S6-7 = 0.50 + j0.45, |V6| = 1.005 S6-7 = 0.35 + j0.20, |V6| = 1.035
Línea 6-5 S6-5 = 0.725+j0.15, |V6| = 1.035 S6-5 = 0.80 + j0.25, |V6| = 1.005 S6-5 = 0.35 + j0.20, |V6| = 1.035
Línea 4-9 S4-9 = 0.50 + j0.45, |V4| = 1.035 S4-9 = 0.70 + j0.55, |V4| = 1.005 S4-9 = 0.35 + j0.20, |V4| = 1.035
Línea 4-5 S4-5 = 0.40 + j0.25, |V4| = 1.035 S4-5 = 0.475+j0.275, |V4|=1.005 S4-5 = 0.35 + j0.20, |V4| = 1.035
Línea 8-7 S8-7 = 0.35 + j0.30, |V8| = 1.035 S8-7 = 1.00 + j0.20, |V8| = 1.005 S8-7 = 0.35 + j0.20, |V8| = 1.035
Línea 8-9 S8-9 = 0.86 + j0.15, |V8| = 1.035 S8-9 = 1.15 + j0.25, |V8| = 1.005 S8-9 = 0.35 + j0.20, |V8| = 1.035
Los resultados que se muestran a continuación se obtuvienen al analizar las entradas decontrol para el UPFC, u = [m E, δ E, m B, δ B], tomando el flujo de potencia activalinealizado como señal de retroalimentación y, con un control proporcional con ganancia k= 0.01. Se consideran las seis líneas del sistema de potencia como el conjunto de
107
localizaciones factibles. Cabe hacer mención de que en un sistema de potencia de grandesdimensiones se debe seleccionar un conjunto reducido de líneas donde el impacto sobre losmodos electromecánicos pueda ser importante. Con el propósito de enfocarse en los modoselectromecánicos, se van a utilizar modelos clásicos para las máquinas síncronas, con unfactor de amortiguamiento Di = 0.025. Por lo que las frecuencias de interés cuando elUPFC se inserta en la línea 6-7, por ejemplo, son ω 1 = 10.08 rad/seg y ω 2 = 16.03 rad/seg.Como estas frecuencias pueden cambiar, se usará un intervalo de frecuencia [ω 1 ± 0.5], y[ω 2 ± 0.5], con la finalidad de obtener robustez sobre las incertidumbres. En todos loscasos el control del enlace de CD del UPFC se lleva a cabo a través de un controlproporcional δ E = Kvdc ( vdc_ref - vdc ), con Kvdc = 1.
En las Tablas 5.3-5.8 se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodologíapropuesta para cada una de las posibles localizaciones, señales de entrada y diferentesmodos electromecánicos, además se muestran los residuos para cada caso. En la Fig. 5.6, semuestran las gráficas de respuesta a la frecuencia para el caso base cuando el UPFC seinserta en la línea 4-5.
Analizando las Tablas 5.3 – 5.5, se puede concluir que para este caso de estudio la mejorseñal como retroalimentación es la fase de la fuente shunt (δ E), y que las mejoreslocalizaciones que pueden afectar significativamente las frecuencias de oscilacióncorresponden a la posición 6-7 para ω 1 (la menor) y la posición 8-7 para ω 2 (la mayor). Entodos los casos se consideró el flujo de potencia activa en la línea como señal deretroalimentación. En las Tablas 5.6 – 5.8 se muestran los residuos para cada señal deentrada y para todos los casos. Cabe resaltar que en este caso las dos técnicas nos llevan ala misma elección del conjunto señal de entrada-localización.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
ima
gin
ario
-4 -2 0 2 4 60
2
4
6
8
10
ima
gin
ario
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
real
ima
gin
ario
-1 -0.5 0 0.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
real
ima
gin
ario
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
∆mE
∆mB
∆δE
∆δB
d45(1) = 0.0137
d45(3) = 0.0155
d45(2) = 0.2596
d45(4) = 0.0008
Fig. 5.6. Respuestas de lazo abierto y lazo cerrado con el UPFC en la línea 4-5 para ω1.
108
Tabla 5.3. Distancias normalizadas para el caso base.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.9116 rad/seg 13.4115 rad/seg 8.9118 rad/seg 13.4537 rad/seg 10.1006 rad/seg 16.0342 rad/seg
0.0137 0.0087 0.0191 0.0077 0.0011 0.0064
0.2596 0.3943 0.4940 0.2317 0.0462 0.1343
0.0155 0.0236 0.1310 0.0223 0.0142 0.0611
0.0008 0.0028 0.0013 0.0031 0.0003 0.0008
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
10.0865 rad/seg 16.0340 rad/seg 12.5630 rad/seg 13.2884 rad/seg 12.5616 rad/seg 13.3706 rad/seg
0.0229 0.0046 0.0095 0.0403 0.0025 0.0110
1.0000 0.2831 0.1374 1.0000 0.0156 0.0896
0.0604 0.0003 0.0283 0.4300 0.0158 0.0768
0.0030 0.0018 0.0011 0.0069 0.0000 0.0001
Tabla 5.4. Distancias normalizadas para el caso débil.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.4136 rad/seg 13.3096 rad/seg 8.3796 rad/seg 13.3450 rad/seg 9.7784 rad/seg 16.4371 rad/seg
0.0159 0.0127 0.0127 0.0206 0.0019 0.0120
0.2915 0.2758 0.4918 0.1093 0.0314 0.0907
0.0324 0.0527 0.0800 0.0333 0.0072 0.0348
0.0005 0.0022 0.0033 0.0076 0.0005 0.0020
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
9.8041 rad/seg 16.4367 rad/seg 12.6176 rad/seg 13.1539 rad/seg 12.6143 rad/seg 13.2365 rad/seg
0.0520 0.0083 0.0180 0.0640 0.0026 0.0115
1.0000 0.2324 0.2149 1.0000 0.0116 0.0517
0.1087 0.0000 0.0386 0.4163 0.0119 0.0606
0.0063 0.0037 0.0024 0.0140 0.0001 0.0005
109
Tabla 5.5. Distancias normalizadas para el caso misma potencia.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.8965 rad/seg 13.4204 rad/seg 8.7750 rad/seg 13.4796 rad/seg 10.0973 rad/seg 16.0343 rad/seg
0.0122 0.0078 0.0102 0.0094 0.0018 0.0089
0.2516 0.3578 0.3917 0.1898 0.0391 0.1007
0.0308 0.0546 0.1164 0.0680 0.0031 0.0101
0.0004 0.0016 0.0035 0.0007 0.0013 0.0052
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
10.0678 rad/seg 16.0340 rad/seg 12.5640 rad/seg 13.2906 rad/seg 12.5631 rad/seg 13.3678 rad/seg
0.0233 0.0042 0.0029 0.0111 0.0035 0.0146
1.0000 0.2623 0.1649 1.0000 0.0120 0.0649
0.0670 0.0009 0.0426 0.4712 0.0079 0.0351
0.0013 0.0007 0.0009 0.0035 0.0014 0.0059
Tabla 5.6. Residuos para el caso base.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.9116 rad/seg 13.4115 rad/seg 8.9118 rad/seg 13.4537 rad/seg 10.1006 rad/seg 16.0342 rad/seg
0.7815 0.2876 0.9364 0.0276 0.0723 0.0975
3.8991 2.4518 5.4689 0.2489 0.4299 0.9586
0.8513 0.7494 2.5453 0.0097 0.0050 0.0113
0.1822 0.1818 0.2064 0.0007 0.0033 0.0025
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
10.0865 rad/seg 16.0340 rad/seg 12.5630 rad/seg 13.2884 rad/seg 12.5616 rad/seg 13.3706 rad/seg
0.9766 0.1277 0.3439 1.0013 0.1164 0.0833
6.5158 1.2529 2.8041 5.4603 0.9703 0.5730
1.5901 0.0076 0.0907 3.1594 0.0099 0.0259
0.3431 0.0033 0.0174 0.4352 0.0009 0.0071
110
Tabla 5.7. Residuos para el caso débil.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.4136 rad/seg 13.3096 rad/seg 8.3796 rad/seg 13.3450 rad/seg 9.7784 rad/seg 16.4371 rad/seg
0.3659 0.3416 0.1792 0.0242 0.0814 0.1266
1.7534 2.0065 2.3753 0.1513 0.3357 0.9101
0.8382 1.0965 1.1415 0.0038 0.0053 0.0062
0.0583 0.0963 0.1861 0.0022 0.0015 0.0032
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
9.8041 rad/seg 16.4367 rad/seg 12.6176 rad/seg 13.1539 rad/seg 12.6143 rad/seg 13.2365 rad/seg
1.5187 0.1824 0.8557 1.3213 0.1739 0.0926
6.7141 1.3113 4.8326 5.0806 0.9931 0.3736
2.1893 0.0096 0.2293 3.1541 0.0094 0.0181
0.5152 0.0052 0.0583 0.6318 0.0017 0.0090
Tabla 5.8. Residuos para el caso misma potencia.
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5
8.8965 rad/seg 13.4204 rad/seg 8.7750 rad/seg 13.4796 rad/seg 10.0973 rad/seg 16.0343 rad/seg
0.7299 0.2564 0.6337 0.0193 0.0560 0.0826
3.8485 2.4551 4.7008 0.1988 0.3943 0.8090
1.2246 1.1322 2.2827 0.0058 0.0101 0.0079
0.1064 0.1148 0.3854 0.0020 0.0013 0.0027
Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
10.0678 rad/seg 16.0340 rad/seg 12.5640 rad/seg 13.2906 rad/seg 12.5631 rad/seg 13.3678 rad/seg
0.9808 0.1283 0.3423 0.2847 0.0805 0.0540
6.4877 1.2584 3.0379 5.7731 0.6880 0.5676
1.6695 0.0084 0.1215 3.6783 0.0062 0.0347
0.2209 0.0022 0.0082 0.0775 0.0019 0.0018
111
5.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN. CASO 46 MÁQUINAS.
A continuación se presenta un caso en el cual se desea determinar la localización de uncapacitor en serie controlado por tiristores (TCSC) y un UPFC en el sistema de 46máquinas mostrado en la Fig. 5.7.
Para ejemplificar se consideran las líneas 75-77, 75-84 y 174-181 como el conjunto delocalizaciones factibles; la señal de retroalimentación va a estar dada por el flujo depotencia activa linealizado, utilizando un control proporcional con ganancia k=0.001.Además se tienen cuatro entradas de control para el UPFC y una para el TCSC. Lasfrecuencias de un par de modos interárea de interés son: ω1 = 2.4 rad/seg y ω2 = 3.2 rad/seg,además se usará un intervalo de frecuencia [ω i ± 0.05], i = 1,2; con la finalidad de obtenerrobustez sobre las incertidumbres. En todos los casos el control del voltaje en el enlace deCD del UPFC se lleva a cabo mediante δ E = Kvdc ( vdc_ref - vdc ), con Kvdc = 0.01.
Se van a considerar cuatro casos: (a) un UPFC insertado en la línea 75-84, controlando unflujo de S75-84 = 0.5 + j0.5, y un voltaje |V75| = 1.025; (b) un UPFC insertado en la línea 75-77, controlando un flujo de S75-77 = 5.25 - j0.4, y un voltaje |V75| = 1.025; (c) un TCSCinsertado en la línea 174-181, con una reactancia en estado estacionario Xasc= j0.129 [5];(d) un TCSC insertado en la línea 75-84, con una reactancia de estado estacionario de Xasc=j0.015. En las Tablas 5.12-5.13 se muestran las distancias normalizadas para las cuatroentradas de control del UPFC obtenidas con la metodología propuesta, además se presentanlos valores de los residuos para cada caso. Las Tablas 5.14-5.15 presentan las distanciasnormalizadas referentes al TCSC. En la Fig. 5.8 se muestran las gráficas de la respuesta a lafrecuencia cuando el UPFC se inserta en la línea 75-84, caso (a).
-40 -30 -20 -10 0-10
0
10
20
30
imag
ina
rio
-200 -100 0 100 200-400
-300
-200
-100
0
imag
ina
rio
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
real-2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
real
imag
ina
rio
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
real
imag
ina
rio
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
lazo abierto lazo cerrado
∆mE ∆δE
∆mB ∆δB
Fig. 5.8. Gráficas de respuesta a la frecuencia para la ω1 (frecuencia menor), cuando el UPFC se inserta en lalínea 75-84.
112
113
Tabla 5.9. Distancias normalizadas y residuos para el caso (a)
ω 1 = 2.4953 rad/seg ω 2 = 3.6109 rad/seg
d(i) normalizadas Residuos d(i) normalizadas Residuos
∆mE 0.0316 0.2450 0.0069 0.1329
∆δE 0.8682 1.2983 1.0000 0.0860
∆mB 0.0127 0.0648 0.0089 0.0321
∆δB 0.0003 0.0069 0.0004 0.0120
Tabla 5.10. Distancias normalizadas y residuos para el caso (b)
ω 1 = 2.4923 rad/seg ω 2 = 3.6101 rad/seg
d(i) normalizadas Residuos d(i) normalizadas Residuos
∆mE 0.0211 0.1223 0.0070 0.1473
∆δE 1.0000 0.6645 0.9821 0.1448
∆mB 0.0221 0.0552 0.0704 0.1055
∆δB 0.0000 0.0037 0.0000 0.0131
Tabla 5.11. Distancias normalizadas y residuos para el caso (c)
ω 1 =2.7480 rad/seg ω 2 =3.8597 rad/seg
d(i) normalizadas Residuo d(i) normalizadas Residuo
∆uTCSC 0.0017 1.2710 0.0037 5.5477
Tabla 5.12. Distancias normalizadas y residuos para el caso (d)
ω 1 = 2.6925 rad/seg ω 2 = 3.6122 rad/seg
d(i) normalizadas Residuo d(i) normalizadas Residuo
∆uTCSC 1.0000 3.7889 1.0000 2.4888
De acuerdo con las Tablas 5.9 y 5.10, los resultados de la respuesta a la frecuencia indicanque el impacto del UPFC en el amortiguamiento, desde la perspectiva de ω 1, escomparable si se inserta en la línea 75-84 o en la línea 75-77, cuando se utiliza ∆δ E comoseñal de retroalimentación. Los residuos indican que el UPFC tiene un mayor impactosobre ω 1 si se inserta en la línea 75-84, usando ∆δ E como señal de retroalimentación.Respecto a ω 2, las Tablas 5.9 y 5.10 muestran que el impacto del UPFC en elamortiguamiento es comparable, de acuerdo a la respuesta a la frecuencia, si se inserta en lalínea 75-84 o en la línea 75-77 cuando se usa ∆δ E como señal de retroalimentación.
114
Residuos indica que el UPFC presenta un mayor impacto sobre ω 2 si se inserta en la línea75-77, usando ∆mE o ∆δ E como señal de retroalimentación.
De acuerdo a las Tablas 5.11 y 5.12, los resultados de la respuesta a la frecuencia indicanque el impacto del TCSC en el amortiguamiento, desde la perspectiva de ω 1, es mayor si seinserta en la línea 75-84, lo cual coincide con residuos, Respecto a ω 2, las Tablas 5.11 y5.12 muestran que el impacto del TCSC en el amortiguamiento es mayor, de acuerdo a larespuesta a la frecuencia, si el dispositivo se inserta en la línea 75-84. Residuos indica queel TCSC tiene un mayor impacto sobre ω 2 si se inserta en la línea 174-181.
5.5 ANÁLISIS DE LOCALIZACIONES FACTIBLES UTILIZANDO ELVALOR SINGULAR
Para sistemas de potencia pequeños se pueden tomar como localizaciones factibles todas laslíneas del mismo, sin embargo en un sistema de grandes dimensiones esto puede ser unproceso muy tedioso debido al gran tamaño de los mismos, por lo que a continuación sepresenta una propuesta para la determinación de localizaciones factibles para dispositivosFACTS; ésta se basa en el análisis de la matriz de estado A y de la modificación que sufrecuando se considera la localización y la señal de retroalimentación a través de unaconstante de proporcionalidad (lazo cerrado).
5.5.1 VALORES SINGULARES
Vamos a revisar brevemente la noción de valores singulares de una matriz. Si Q es unamatriz de n x m con elementos complejos, entonces las matrices QHQ y QQH sonhermitianas y definidas positivas. Por lo tanto, los eigenvalores de QHQ y QQH son todosreales y no negativos. Los min(n, m) eigenvalores más grandes
λ i (QHQ) , λ i (QQH) , i = 1, 2, ..., min(n, m) (5.12)
de QHQ y QQH, respectivamente, ordenados en forma decreciente, son iguales. Loseigenvalores restantes, si existen, son cero. Las raíces cuadradas de estos min(n, m)eigenvalores se denominan valores singulares de la matriz Q, y se denotan como,
σ λ λi iH
iHQ Q Q QQ i n m( ) ( ) ( ), , ,....,min( , )/ /= = =1 2 1 2 1 2 (5.13)
Obviamente son números reales no negativos. El número de valores singulares diferentesde cero es igual al rango de Q [6].
El conjunto de valores singulares, máximo valor singular y mínimo valor singular de lamatriz Q de n x m se denotarán por
σ σ
σ σσ σ
( ) : , ,...,min( , )
( )( ) .
_
Q i n m
i
r
= =
==
−
1 2
1 (5.14)
115
Cuando Q es cuadrada, 0(Q) >−σ si y solo si Q es no singular. Considerando la matriz Q
como una transformación lineal del espacio vectorial Cn en el espacio vectorial Cm, definidacomo,
Q : Cn → Cm
: u → Qu (5.15)
El máximo valor singular 0(Q)_
>σ y el mínimo valor singular 0(Q)-
>σ juegan un papel
muy importante y están dados por las siguientes identidades [7]
σ
σ
_
( ) max
( ) min
Q Qu
Q Quu
u
=
==
− =
1
1
(5.16)
en las cuales la norma del vector es la norma Euclidiana. Por lo que 0(Q)_
>σ y 0(Q)-
>σ
son la máxima y mínima ganancia de la matriz Q.
A continuación se va a utilizar la información que proporcionan los valores singulares paraanalizar qué localización y señal de retroalimentación tienen un mayor impacto sobre lamatriz de estado y de esta manera tener más bases en la decisión de la localización dedispositivos FACTS.
La matriz Are dada por (5.11) representa la matriz de lazo cerrado al retroalimentar lasalida, la perturbación a la matriz de estado A debido a ésta retroalimentación está dadapor:
BCkD
kA
+=∆
1(5.17)
De aquí que la matriz ∆A es la que puede hacer que los valores propios de la matriz de lazocerrado (Are = A - ∆A) se modifiquen y ayuden o penalicen el amortiguamiento de losmodos. Por lo tanto, para determinar el impacto global sobre la matriz Are, se obtiene elvalor singular de ∆A para cada entrada y cada localización. Cuando se tienen identificadoslos conjuntos entrada-localización que presenten el mayor valor singular, se aplica lametodología de respuesta a la frecuencia explicada anteriormente.
Para ilustrar el procedimiento se va a emplear el sistema de la Fig. 5.5, en el cual sólo seconsideran modelos clásicos para tener una mejor idea del impacto sobre las variableselectromecánicas. En las Tablas 5.13 – 5.15, se muestran los valores singulares para cadauna de las matrices ∆A tomando una k = 0.01 para los tres casos estudiados anteriormente.De aquí se puede concluir que las posiciones 6-5, 6-7, 8-7 y 8-9 y la señal correspondientea la fase de la fuente shunt (δE) son las que presentan los valores singulares más altos. Delos resultados obtenidos anteriormente tenemos que las localizaciones 6-7 y 8-7correspondientes a ω1 y ω2, y la fase de la fuente shunt (δE) son las mejores opciones.
116
Tabla 5.13. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso base, k =0.01)
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5 Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
∆mE 0.5622 0.5818 1.2493 1.1949 1.2308 1.1471
∆δE 4.4194 5.0705 11.3481 11.1325 8.8728 8.9768
∆mB 0.7880 1.0012 0.3051 0.7147 2.2764 0.4291
∆δB 0.1823 0.0785 0.1095 0.1566 0.3065 0.0969
Tabla 5.14. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso débil, k =0.01)
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5 Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
∆mE 0.7550 0.6767 1.7079 1.8072 1.8800 1.7678
∆δE 3.9812 4.3210 11.3815 12.2050 9.4562 9.0132
∆mB 1.2341 0.8240 0.0959 0.9580 2.3574 0.3965
∆δB 0.0972 0.1588 0.1104 0.2283 0.4641 0.1681
Tabla 5.15. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso mismapotencia, k = 0.01)
Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5 Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9
∆mE 0.5164 0.4471 1.0328 1.1946 0.7178 0.8023
∆δE 4.3137 4.6185 9.7518 11.1002 7.3775 7.3376
∆mB 1.1498 0.8554 0.3013 0.7569 2.0947 0.4346
∆δB 0.1102 0.1516 0.0731 0.1018 0.0428 0.0336
5.6 PARES DE AMORTIGUAMIENTO Y SINCRONIZACIÓN
Los estabilizadores basados en dispositivos FACTS inducen pares de amortiguamiento ysincronización en las flechas de los generadores del sistema. El efecto de los estabilizadoresFACTS se muestra en el modelo de la Fig. 5.9 (apéndice G) [8].
Donde M es una matriz diagonal (z x z) que utiliza señales de estabilización locales y∆(por ejemplo perturbaciones de potencia en las líneas) en los nodos con dispositivosFACTS. La señal del estabilizador sU∆ se suma a la señal de entrada de los dispositivosFACTS, rU∆ .
117
Fig. 5.9. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS.
De la Fig. 5.9 podemos observar que existe una ruta de ω∆ a P∆ , a través de losdispositivos FACTS. Esto tiene como consecuencia que sean inducidos pares deamortiguamiento y sincronización (de origen electromagnético) en las flechas de losgeneradores del sistema por estos estabilizadores.
Considerando la componente del par eléctrico inducido en la flecha de la i-ésima máquinadebido a la señal de estabilización jy∆ en el j-ésimo dispositivo FACTS [7]:
)()()()()()()( sjysjMsrijPUHsjysjysjU
ssjUijP
sijP ∆=∆∆∆
∆∆
=∆ (5.18)
donde el j-ésimo estabilizador FACTS es de la forma M j (s)=k j Q j (s).
Para obtener los pares inducidos de amortiguamiento y sincronización, los cuales son lascomponentes del par en fase y en cuadratura con las perturbaciones de velocidad en elgenerador, la ec.(5.18) debe modificarse de tal forma que la componente del par eléctricoinducido en la i-ésima máquina esté relacionada con su propia variación en la velocidad,
iω∆ .
Si sólo se excita el h-ésimo modo complejo de oscilación del rotor (λh), la relación entre elcambio en la velocidad en cualquier máquina del sistema y cualquier salida del sistema estádada por [8]:
ihu
h**luc
hilyh
li =∆∆= )(λωψ (5.19)
que es un número complejo, y donde:
*lc es el l-ésimo vector fila de la matriz C.
h*u es el h-ésimo eigenvector derecho de A.
ihu es el i-ésimo elemento del eigenvector derecho.
rU∆
sU∆++
P∆
+ +
ω∆
)(sL
)(srPUH
)(srUyH
)(sG
y∆)(sM
118
Cuando se excita sólo un modo de oscilación del rotor (λh) podemos definir un coeficientecomplejo del par inducido de amortiguamiento
hijnhjhPUrijh
i
jh
j
ijh
i
ijhij MH
y
y
PP)()()()()()( +=
∆∆
∆∆
=∆∆
= ψλλλω
λλω
Te (5.20)
el cual esta compuesto de la relación del par eléctrico - señal de estabilización y la relaciónde la señal de estabilización - cambios en la velocidad [8].
El arreglo [ ]zn
hijTe
×es el arreglo de los coeficientes de pares inducidos de amortiguamiento y
sincronización (CPIAS). Cada elemento de este arreglo es un número complejo y su partereal e imaginaria representan los coeficientes del par de amortiguamiento y sincronización
respectivamente. Un elemento hijTe puede ser interpretado como un coeficiente del par
inducido en la i-ésima máquina como resultado del incremento en la ganancia del j-ésimoestabilizador FACTS.
De la ec. (5.20), el par inducido en la flecha del i-ésimo generador como resultado delincremento en la ganancia del estabilizador en el j-ésimo dispositivo FACTS es:
ihijij TeP ω∆=∆ (5.21)
y por lo tanto a la frecuencia modal λh, el par total inducido en el i-ésimo generador debidoa todos los estabilizadores FACTS es:
( )∑=
∆∗=∆z
ji
hiji TeP
1
ω (5.22)
El CPIAS total en la i-ésima máquina se define como,
∑=
=Γz
j
hij
hi Te
1
(5.23)
El incremento en el coeficiente del par inducido, hijD∆ , en el generador i debido a un
incremento en la ganancia ( jk∆ ) en el j-ésimo estabilizador FACTS está dado por [8]:
[ ]jkhjQuc
hijPUrHhijD ∆=∆ )()(_ λλ
ihuh**l (5.24)
Una expresión general para el incremento en el coeficiente del par inducido en el i-ésimogenerador debido a un cambio en la ganancia en el estabilizador j es,
119
[ ]jkhjQhijhijD
uchijrPHij
∆=∆
=
)()(
)(_*
λλφ
λφihu
h**l
(5.25)
donde el estabilizador j puede ser un PSS o un dispositivo FACTS.
De aquí que el cambio en el h-ésimo modo está relacionado a los cambios en el coeficiente
del par, hijD∆ , en la máquina i.
hijD
iHihPh
ij ∆−=∆
2
λ (5.26)
donde para el i-ésimo generador,
−
iHihP
2, es la sensitividad de λh a las perturbaciones en
el coeficiente de par eléctrico Di, Pih es el factor de participación complejo de ∆ω i en elmodo λλλλh, y Hi es su constante de inercia.
Se puede tener una expresión que muestre la contribución en el modo debido a los ngeneradores como resultado de un incremento en la ganancia en cualquier estabilizador j[9].
[ ]jkhjGn
i hijiH
ijP
jstabh ∆
∑=
−=∆ )(1
)(2_| λλφλ (5.27)
Como en el caso de los valores singulares vamos a utilizar la información proporcionadapor las contribuciones en los modos electromecánicos debido al incremento en la gananciade los estabilizadores, para tener más bases para la localización de dispositivos FACTS.
El cambio en el modo de interés nos puede auxiliar en la localización de dispositivosFACTS, ya que para un conjunto de posibles localizaciones, podemos determinar cuál es laque tiene un mayor impacto en el modo de oscilación electromecánico. Para ilustrar loanterior vamos a utilizar el sistema de tres máquinas, nueve nodos y vamos a estimar elimpacto que tiene el insertar un estabilizador basado en FACTS (en este caso un UPFC)sobre el modo de oscilación electromecánico al insertarlo en diferentes líneas y qué señalde entrada es la más recomendable. Se van a considerar tres condiciones operativasllamadas: (a) caso base, en el cual se utilizan los parámetros originales del sistema y seestablece una potencia a mantener por el UPFC; (b) caso débil, en el cual se incrementa enun 35% la potencia demandada, además se incrementa en un 25% la impedancia serie de laslíneas 4-5 y 8-9 y añadiendo una nueva carga en el nodo 8, S8 = 0.25 + j0.075; (c) casomisma potencia, donde el UPFC controla la misma potencia Sij = 0.35 + j0.20 y el mismovoltaje |Vi| = 1.035 en todas las posiciones.
120
En las Tablas 5.16-5.18 se muestran los cambios en los modos electromecánicos que sepresentan al variar la ganancia del estabilizador cuando éste se inserta en las líneas delsistema de potencia en estudio. Asimismo en las tablas se puede ver qué señal es la quepresenta un mayor impacto sobre la parte real de los modos.
En la Tabla 5.16 se puede apreciar que para la frecuencia ω 2 las posiciones en las cuales setiene un mayor cambio son 8-7 y 4-5 con ∆δE y ∆mB como señales de entradarespectivamente. Para la frecuencia ω 1 las mejores posiciones son 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE
como señales de entrada.
Tabla 5.16. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso base]
Caso
baseω 2 ω 1
Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4
4-5 0.0012 +j0.0002
-0.0001 +j0.0008
-0.0013 –j0.0006
0.0000 +j0.0000
0.0026 +j0.0.0013
-0.0017 +j0.0013
-0.0011 –j0.0004
0.0000 +j0.0000
4-90.0001-j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0037 +j0.0016
-0.0025 +j0.0021
0.0020 +j0.0007
0.0004 +j0.0002
6-5-0.0004 –j0.3072
0.0003 +j0.0003
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0003 +j0.0002
-0.0002 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 –j0.0000
6-7-0.0005 –j0.0005
0.0003 +j0.0005
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0036 +j0.0023
-0.0019 +j0.0003
-0.0033 –j0.0020
0.0000 +j0.0000
8-70.0042 + j
0.0013-0.0016 +j0.0015
- 0.0003 –j0.0002
-0.0008 –j0.0006
-0.0011 +j0.0011
0.0009 –j0.0008
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
8-9 0.0005 +j0.0001
-0.0003 +j0.0001
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
-0.0006 –j0.0002
0.0005 +j0.0002
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
Tabla 5.17. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso débil]
Caso
débilω 2 ω 1
Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4
4-5 0.0009 +j0.0003
-0.0002 +j0.0003
-0.0005 –j0.0003
0.0003 +j0.0002
0.0023 +j0.0006
-0.0010 +j0.0020
-0.0004 +j0.0001
0.0003 +j0.0001
4-9 0.0001 –j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0033 +j0.0010
-0.0019 +j0.0028
0.0008 +j0.0000
0.0008 +j0.0003
6-5-0.0004 –j0.0002
0.0004 +j0.0003
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0002 +j0.0001
-0.0003 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
6-7-0.0005 –j0.0004
0.0004 +j0.0006
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0031 +j0.0017
-0.0007 +j0.0011
-0.0026 –j0.0012
0.0002 +j0.0002
8-70.0036 +j0.0014
-0.0004 +j0.0017
-0.0005 –j0.0003
-0.0010 + j0.0007
-0.0005 +j0.0011
0.0004 –j0.0006
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
8-9 0.0004 +j0.0000
-0.0002 +j0.0002
0.0073 +j0.00247
-0.0000 –j0.0000
-0.0007 –j0.0000
0.0005 +j0.0001
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
121
En la Tabla 5.17, el mayor impacto en la frecuencia ω 2 se tiene en las posiciones 8-7 y 4-5,con ∆δB y ∆mB como señales de entrada, respectivamente. De la misma forma para lafrecuencia ω 1, las posiciones 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE como señales de entradas son lasque muestran un mayor impacto.
Finalmente en la Tabla 5.18, se ve que las posiciones 8-7 y 6-7 con ∆δE y ∆mE comoseñales de entrada tienen un mayor efecto sobre la frecuencia ω 2 y para la frecuencia ω 1corresponden las posiciones 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE .
Tabla 5.18. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso misma potencia]
Caso misma ω 2 ω 1Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4
4-50.0011 +j0.0003
-0.0002 +j0.0006
0.0011 +j0.0006
0.0001 +j0.0001
0.0025 +j0.0013
-0.0018+j0.0013
0.0009 +j0.0003
0.0001 +j0.0001
4-90.0001 –j0.0000
0.0000 +j0.0001
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0032 +j0.0017
-0.0031 +j0.0014
-0.0004 –j0.0000
0.0008 +j0.0005
6-5-0.0004 –j0.0003
0.0003 +j0.0003
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0003 +j0.0002
-0.0002 –j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
6-7 -0.0005 –j0.0005
0.0003 +j0.0005
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
0.0034 +j0.0024
-0.0020 +j0.0000
-0.0032 –j0.0021
0.0000 +j0.0000
8-7 0.0040 +j0.0011
-0.0034 +j0.0003
-0.0014 –j0.0011
0.0013 +j0.0010
-0.0010 +j0.0012
0.0009 –j0.0009
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
8-9 0.0004 +j0.0001
-0.0003 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
-0.0000 –j0.0000
-0.0005 –j0.0001
0.0004 +j0.0001
0.0000 +j0.0000
0.0000 +j0.0000
Algunos de los resultados obtenidos anteriormente muestran concordancia con aquellosobtenidos con el método de respuesta en frecuencia y la diferencia radica en las señalesutilizadas como retroalimentación. Así que este tipo de análisis sirve como una herramientade apoyo para la selección de una localización y señal de retroalimentación factible.
5.7 SENSITIVIDADES
Las sensitividades de los eigenvalores respecto a un parámetro del sistema también puedenproporcionar información para la localización de dispositivos FACTS. Esto se hace a travésdel cálculo del incremento en los eigenvalores al perturbar la matriz A con una matrizE=εB. El eigenvalor y el eigenvector de la matriz (A+E) son (λ i + ∆λ i) y (vi + ∆vi)respectivamente. De aquí [10],
(A+E) (vi + ∆vi) = (λ i + ∆λ i)(vi + ∆vi) (5.28)
La perturbación del eigenvalor puede ser representada por una serie de Taylor como:
122
2)2()1()2()1( εελλλ iii ss +=∆+∆=∆ (5.29)
Las perturbaciones de primer orden del eigenvalor y eigenvector están dadas por [10]:
iii Bvws =)1( (5.30)
)(,)(,1
ikki
n
ikk ki
kkii Bvw
vv =β∑
λ−λβε=∆
≠=(5.31)
donde wi es el eigenvector izquierdo de la matriz A. Premultiplicando wi a (5.28) resulta:
( )( ) iiiiiiiiiiiiiii vBwvAwBvwAvwvwvwss ∆ε+∆+ε+=∆+ε+ε+λ 2)2()1( (5.32)
Como resultado de las relaciones entre los eigenvalores y sus eigenvectores en (5.32)tenemos la siguiente relación,
iiiiii vBwBvwss ∆ε+ε=ε+ε 2)2()1( (5.33)
De aquí se pueden definir la perturbación del eigenvalor de primer y segundo orden como:
iii
iii
vEw
Evw
∆=λ∆
=λ∆)2(
)1(
(5.34)
En este trabajo se emplea éste enfoque para estimar los cambios que se presentan cuando seinserta un dispositivo FACTS, como el TCSC en el sistema de potencia. A continuación sevan a calcular las perturbaciones de primer (FOEP) y segundo orden (SOEP) cuando sevaría la reactancia de cada línea en un 25%, simulando la inserción de un TCSC, en elsistema de 3 máquinas – 9 nodos de la Fig. 5.5. En las Tablas 5.19–5.20 se muestran losresultados para los modos –1.0724 ± j13.4233 y –0.3285 ± j8.7278 (frecuencias ω 2 y ω 1respectivamente).
Tabla 5.19 Perturbaciones de la frecuencia ω ω ω ω 2 de primer y segundo orden al variar lareactancia en cada línea.
FOEP SOEPLínea
Real Imaginario Real Imaginario
Nuevo eigenvalor
4-5 -0.0084 0.0520 -0.0001 0.0003 -1.0809 ± j13.4756
4-9 0.0067 0.0004 0.0000 0.0000 -1.0657 ± j13.4237
6-5 -0.0115 0.0549 -0.0003 0.0004 -1.0841 ± j13.4786
6-7 -0.0603 0.1637 -0.0001 0.0014 -1.1328 ± j13.5855
8-7 -0.0368 0.1555 -0.0004 0.0009 -1.1097 ± j13.5778
8-9 0.0036 0.0015 0.0000 0.0000 -1.0688 ± j13.4247
123
Tabla 5.20 Perturbaciones de la frecuencia ω ω ω ω 1 de primer y segundo orden al variar lareactancia en cada línea.
FOEP SOEPLínea
Real Imaginario Real Imaginario
Nuevo eigenvalor
4-5 -0.0045 0.0525 0.0001 0.0009 -0.3329 ± j8.7794
4-9 -0.0075 0.1107 0.0000 0.0008 -0.3360 ± j8.8377
6-5 -0.0147 0.0599 0.0003 0.0011 -0.3429 ± j8.7866
6-7 0.0002 0.0133 0.0000 0.0005 -0.3283 ± j8.7406
8-7 -0.0086 0.0195 0.0005 0.0008 -0.3365 ± j8.7465
8-9 -0.0332 0.1216 0.0001 0.0010 -0.3616 ± j8.8484
De los resultados anteriores se puede apreciar que la posición 6-7, es la que presenta unmayor impacto sobre el modo 1, mientras que la posición 8-9 lo tiene para el modo 2, porlo que éstas son dos localizaciones factibles para la instalación de un TCSC para amortiguaroscilaciones de potencia. Cabe hacer mención que la perturbación de segundo orden deleigenvalor es la que proporciona la mejor estimación ya que se sabe que los cambios en losparámetros son no-lineales [10].
5.8 RESUMEN
En este capítulo se propone una metodología para la localización de dispositivos FACTS enun sistema multimáquinas basado en la respuesta a la frecuencia. La técnica de localizaciónpropuesta está basada en la capacidad de estos dispositivos para amortiguar oscilaciones depotencia. La metodología se ejemplifica con un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC) y un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC), sin embargo ésta puedeextenderse a otros dispositivos FACTS. Para verificar la robustez del algoritmo propuestose utilizan diferentes condiciones operativas (caso base, caso débil, caso misma potencia)en un sistema de potencia pequeño. Finalmente, la técnica se utiliza en un sistema de 46máquinas para localizar un UPFC y un TCSC. Los resultados obtenidos se comparan conlos que se obtienen por medio de residuos, llegando a conclusiones similares en la mayoríade los casos estudiados.
En forma complementaria se analizan algunas metodologías alternas, como son los valoressingulares o sensitividades, las cuales se proponen como medios auxiliares para la selecciónde un conjunto de localizaciones factibles.
Una vez elegida la localización para el dispositivo FACTS, es necesario diseñar suestabilizador y coordinarlo con los otros estabilizadores existentes en el sistema para que deesta manera puedan actuar de manera conjunta. En el capítulo siguiente se considera esteproblema y también se realizan simulaciones en el tiempo para ver el comportamientodinámico del sistema cuando se instala un dispositivo FACTS en la red y se coordina conlos elementos de control existentes.
124
REFERENCIAS
[1] E.J. de Oliveira, J.W. Marangon Lima, J.R.L. Pereira, “Flexible AC transmissionsystems devices: allocation and transmission pricing”, Electrical Power and EnergySystems, pp. 111-118, 1999.
[2] W.L. Fang, H.W. Ngan, “Optimising location of unified power flow controllersusing the methodof augmented Lagrange multipliers”. IEE Proc.-Gener. Transm.Distrib., Vol. 146, No. 5, September 1999.
[3] H.F. Wang, “Selection of robust installing locations and feedback signals ofFACTS-based stabilizers in Multi-machine Power Systems”. IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 14, No. 2, pp. 569-574, May 1999.
[4] P.M. Anderson, A.A. Fouad, “Power System Control and Stability”, IEEE PressPower Systems Engineering Series, pp. 38-39.
[5] S.G. Jalali, R.A. Hedin, M. Pereira and K. Sadek, “A stability model for theAdvanced Series Compensator (ASC)”. IEEE Transactions on Power Delivery,Vol. 11, No. 2, pp.1128-1137, 1996.
[6] R. A Horn and C. R. Johnson, “Matrix Analysis.” Cambridge University Press,1985.
[7] M. Green and D. J. N. Limebeer, “Linear Robust Control.” Prentice-Hall, 1995.
[8] P. Pourbeik, M.J. Gibbard, “Damping and synchronizing torques induced ongenerators by FACTS stabilizers in Multimachine Power Systems”, IEEETransactions on Power Systems, Vol. 11, No. 4, pp. 1920-1925, November 1996.
[9] M.J. Gibbard, P. Pourbeik, “Interactions between, and effectiveness of powersystems stabilizers and FACTS device stabilizers in multimachine systems”, IEEETransactions on Power Systems, Vol. 15, No. 2, pp. 748-755, May 2000.
[10] Hae-Kon Nam, Yong-Ku Kim, Kwan-Shink Shim, and Kwang Y. Lee “A neweigen-sensitivity theory of augmented matrix and its applications to power systemstability analysis”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 1, pp.,February 2000.
125
C A P Í T U L O 6
S I M U L A C I O N E S E N E LT I E M P O
En este capítulo se muestran simulaciones en el tiempo para analizar el efecto de lalocalización de dispositivos FACTS en el amortiguamiento de oscilacioneselectromecánicas, para lo cual es necesario coordinar los controladores basados en FACTScon aquellos dispositivos de control existentes en el sistema de potencia, como losestabilizadores de sistemas de potencia.
Primero se va a hacer referencia a la metodología empleada para la coordinación decontroladores y posteriormente se aplicara ésta a un sistema de potencia.
6.1 INTRODUCCIÓN
A finales de los años 50's y principios de los 60's, la mayoría de las nuevas unidadesgeneradoras fueron equipadas con reguladores de voltaje de acción continua. Conformeestas unidades llegaron a representar un gran porcentaje de la capacidad de generación, laacción de los reguladores tuvo un impacto en detrimento de la estabilidad del sistema depotencia. Sucedió que aparecieron oscilaciones de baja frecuencia y magnitud pequeña, quepodían persistir por largos periodos de tiempo, y en muchos casos esto implicabalimitaciones en la transferencia de potencia.
Se reconoció entonces que se requería amortiguamiento para esas oscilaciones. El primercontrolador desarrollado para tales efectos, a través de la modulación de la excitación delgenerador, fué el Estabilizador de Sistemas de Potencia (PSS).
Con el paso del tiempo, no solo los PSS, sino también los compensadores estáticos deVARS (SVC) y la modulación de enlaces de HVDC, se han utilizado como medio paraproporcionar amortiguamiento adicional a los modos electromecánicos. Más recientementecon el advenimiento de la tecnología de la electrónica de potencia, se han introducido lossistemas de transmisión flexibles (FACTS). Estos han superado las limitaciones de tenersistemas de transmisión controlados mecánicamente. Mediante el uso de controladoresconfiables y de alta velocidad, la tecnología de FACTS ofrece mejoras en la operación delos sistemas de potencia, tales como:
126
" Un mayor control de la potencia, de modo que pueda fluir en rutas prescritas detransmisión.
" Cargar las líneas de transmisión en niveles más cercanos a sus límites térmicos." Mayor facilidad para transferir potencia entre áreas controladas, de modo que puedan
reducirse los márgenes de reserva de generación." El amortiguamiento de las oscilaciones de potencia, que puede dañar equipos." La capacidad de incrementar los límites de transferencia de potencia, debido al
incremento del amortiguamiento.
Los sistemas de potencia experimentan diariamente variaciones amplias de sus condicionesoperativas, por lo tanto, el diseño de los controladores debe tomar en cuenta estaconsideración. Conforme los sistemas de potencia son más grandes y complejos de operar,el uso de controladores robustos es crucial para su funcionamiento. La robustez implica laoperación con márgenes adecuados de estabilidad y niveles de desempeño, a pesar de lasincertidumbres del modelo y sus suposiciones.
El diseño de los PSS tradicionales normalmente está basado en la combinación de análisismodal, lugar de las raíces, y sensitividades. Generalmente, la estructura del controlador essimple, consistente de una cascada de componentes PID, y filtros del tipo adelanto-atraso.Los resultados del diseño normalmente son conservativos.
Así como los PSS, los dispositivos FACTS también pueden afectar, simultáneamente,varios modos locales e inter-área. La naturaleza de estos modos puede cambiardependiendo de las condiciones de operación, tal como la cantidad de potencia detransferencia entre áreas y la conmutación de líneas de transmisión. Un dispositivo FACTSpuede afectar los modos dominantes de manera diferente para diferentes condicionesoperativas, lo que resulta en la controlabilidad. El atributo de robustez refleja el hecho deque el desempeño de un controlador de amortiguamiento debe preservarse aún en sistemascon modos que tienen requerimientos de compensación conflictivos.
A diferencia de los PSS, los dispositivos FACTS no están, en general, localizados cerca demáquinas síncronas. Como resultado, las mediciones de la velocidad de la máquina y lapotencia, que son críticas en el diseño de PSS, normalmente no están disponibles para losdispositivos FACTS, a menos que se instalen lazos de comunicación. Así que estosdispositivos dependen de mediciones locales para obtener las señales que sean útiles para elamortiguamiento de los modos deseados. Las mediciones locales pueden tenerobservabilidades modales bajas y así, no poder usarse directamente. Sin embargo, variasseñales locales pueden utilizarse para sintetizar señales remotas que puedan tenerobservabilidades modales mayores.
6.2 METODOLOGÍA
Se considera un sistema LIT,&x Ax Bu
y Cx
= += (6.1)
127
con A ℜ∈ n x n, B ℜ∈ n x m, C ℜ∈ p x n. Se aplican compensadores H(s) = diag[ hi (s) ], i = 1,..., m, para retroalimentar señales locales accesibles en los m elementos donde se instalanlos controladores. Para el presente trabajo, las señales yi(s) que se han empleado son:velocidad angular y flujo de potencia activa en la línea.
El problema consiste en determinar los parámetros ajustables de hi (s), i = 1, ..., m, de modoque el sistema en lazo cerrado asigne un conjunto de eigenvalores λ j, j = 1, ...., k. Se asumeque el conjunto λ j no incluye ningún eigenvalor de lazo abierto.
La relación entrada-salida del sistema (6.1) se describe mediante la matriz función detransferencia,
Y(s) = Go(s) U(s) (6.2)
dondeGo(s) = C (sI - A)-1 B (6.3)
mientras que en el sistema dinámico de retroalimentación, la salida del compensador puedeexpresarse como:
U(s) = -H(s) Y(s) (6.4)
El polinomio característico de lazo cerrado resulta ser,
∆ c (s) = ∆ o (s) det [I + Go(s) H(s) ] (6.5)
donde ∆ o (s) = det [sI - A] es el polinomio característico de lazo abierto. Así, si λ es eleigenvalor deseado para el sistema en lazo cerrado:
det [I + Go(λ) H(λ)] = 0 (6.6)
Se utilizó el compensador hi (s) tipo PSS, cuyo diagrama se muestra en la Fig. 6.1.
Fig 6.1. Controlador tipo PSS
Los parámetros de este compensador son: K (ganancia del PSS), T (constante del bloquewash-out), T1, T2 (constantes relacionadas con los bloques de atraso-adelanto de fase).El objetivo central aquí es lograr que la ec. (6.6) se satisfaga para un eigenvalor λ deseado.Dado que cuando se maneja un sistema de grandes dimensiones no es factible realizar los
Entrada
ω, f ó Po
QK
ω 2
1
1
1
sT
sT
++
4
3
1
1
sT
sT
++
Q
Q
sT
sT
+1
Salida
128
cálculos algebraicos necesarios para satisfacer (6.6) exáctamente, se propone un algoritmocuyo propósito es minimizar la siguiente función objetivo,
min abs (|I + G(λ) H(λ) |) (6.7)sujeto a,
2
2
1
1
1
1)(
++
+=
i
i
Qi
QiQii T
T
T
TKh
λλ
λλ
λ
Como resultado de este proceso se obtiene el valor de los diferentes parámetros de loscontroladores considerados.
6.2.1 CONSIDERACIONES PARA LA RAPIDEZ DE LA CONVERGENCIA DELPROBLEMA
(i) La matriz diagonal H de m elementos, sólo contiene los q (q << m) principalescompensadores que intervienen sustancialmente en el modo de oscilación que deseamodificarse.
(ii) Se asignan de antemano valores típicos para Ti (wash-out) y T2i (bloques adelanto-atraso), de modo que, para cada compensador, solo hay dos parámetros pordeterminar, T1i y Ki. Se elige Ti ≥ 3 s, para asegurar que sea despreciable lacontribución del bloque wash-out al cambio de fase y ganancia, para el rango defrecuencias de oscilación de interés. Se elige un valor bajo de T2i ≈0.02-0.05 s, porlimitaciones de tipo práctico [1].
6.3 ROBUSTEZ DE LOS CONTROLADORES
La metodología propuesta se basa en un valor fijo de λ para el cálculo de los parámetros delos controladores. Como una manera de mejorar el algoritmo se considerará que eleigenvalor deseado puede localizarse dentro de un intervalo, tanto en su parte real como ensu parte imaginaria. Esta propuesta se hace con el objeto de lograr robustez en el diseño delos PSSs.
Así, ahora consideramos que en la expresión (6.6) el eigenvalor λ pertenece a un intervalo:
λ ∈ [λmin , λmax]
donde λmin y λmax serían eigenvalores deseados mínimo y máximo.
Definido el intervalo del eigenvalor deseado, viene el cálculo de los mejores parámetros delos PSSs que permitan lograr que, en lazo cerrado, efectivamente se obtenga un eigenvalorlocalizado dentro de ese intervalo esperado. Para esto se propone una expresión similar a(6.7), aunque toma en cuenta todos los puntos del intervalo:
+∑
=
N
kkk HGIabsmin
1
)()( λλ
129
donde el intervalo [λmin , λmax] se ha discretizado en N puntos, y λk es el k-ésimo elemento.La Fig. 6.2, ilustra un diagrama de flujos que resume el algoritmo de sintonizaciónsimultánea de controladores tipo PSS [2].
6.4 APLICACIÓN
Como ejemplo de aplicación, se va a llevar a cabo la sintonización de los estabilizadores desistemas de potencia (PSS’s) de los generadores y los estabilizadores de un controladorunificado de flujos de potencia (UPFC) y de un capacitor serie controlado por tiristores(TCSC), los cuales se van a instalar en el sistema de potencia de 46 máquinas de la Fig. 5.7.Para demostrar la efectividad y desempeño de los estabilizadores diseñados se lleva a caboun análisis de estabilidad transitoria.
El UPFC se conecta en la línea que une a los nodos 75 y 84, teniendo su rama en derivaciónen el nodo 75; el TCSC se conecta en la línea 181-174.
Las simulaciones se van a llevar a cabo en cuatro escenarios:
Caso uno o caso base, en esta condición operativa se considera que el sistema ya incluye elUPFC y el TCSC.
Caso dos o caso débil, en esta condición se aumenta la potencia real generada y de carga enun 15% y se disminuye la magnitud de los voltajes nodales en un 1.5%.
Caso tres, tomando como referencia el caso base se sacan dos líneas de operación, la línea158-141 y la línea 185-183.
Caso cuatro, tomando como referencia el caso base se sacan dos líneas de operación, lalínea 172-174 y la línea 75-89.
En todos los casos el UPFC está controlando un flujo de S 75-84= 0.5 + j0.5. Las señales deretroalimentación son las siguientes: velocidades angulares, ωi, asociadas a cada generadorpara los PSSs, el flujo de potencia activa, Pij, en las líneas en las cuales se localizan elUPFC y el TCSC respectivamente. La función de transferencia de los estabilizadores tienela forma:
i
i
i
i
i
iii sT
sT
sT
sT
sT
sTKsh
4
3
2
1
1
1
1
1
1)(
++
++
+=
En la Fig. 6.3 se muestran los esquemas utilizados para los estabilizadores de losdispositivos FACTS.
En la tabla 6.1, se muestran los parámetros para los trece PSSs instalados en el sistema depotencia. De la misma forma en la tabla 6.2 se muestran los parámetros para los dosestabilizadores basados en FACTS utilizados en el sistema. Cabe hacer mención que lasintonización de los estabilizadores se llevo a cabo a través de la metodología expuestaanteriormente.
130
Fig. 6.2. Algoritmo para coordinar controladores tipo adelanto-atraso
Datos:" Calcular las matrices A, B, C y D." Escoger la posición del controlador que
impacte al eigenvalor deseado, desiλ .
" Fijar las constantes TQi y T2i.
" [ ]maxi
mini
desi λλ∈λ , .
" Tipo de señal a retroalimentar:velocidad angular o flujo de potencia
Inicio
1
Sí No
Sí
No
Sí
No
Se inicializan las variables S=0k=1
Se evaluan las siguientes expresiones:
[ ])(det
_
1_
ikGabsSS
iHikoGIikG
DBnCAikoG
AIikënA
+=
+=
+−=
−=
Nk ≤
k = k + 1
min S ε≤S
Se encuentran losparámetros:KQi y T1i
V
Fin
1
[ ]TQiKiTx
xxx
,1=
∆+=
V = ¿Desea sintonizar otro modo λλλλides,
incluyendo los controlespreviamente sintonizados?
131
(a)
(b)
Fig. 6.3. Estabilizadores para el TCSC y el UPFC
Tabla 6.1. Parámetros de los estabilizadores de sistemas de potencia (PSS) empleados en elsistema de 46 máquinas.
Parámetros T K T1 T2
PSS_1 7.5 0.2371 0.0800 0.015
PSS_2 7.5 0.2306 0.0800 0.015
PSS_3 7.5 0.2435 0.0800 0.015
PSS_6 7.5 0.0694 0.0371 0.015
PSS_15 7.5 0.2435 0.0200 0.015
PSS_19 7.5 0.2435 0.0200 0.015
PSS_24 7.5 0.2500 0.0286 0.015
PSS_32 7.5 0.2242 0.0200 0.015
PSS_33 7.5 0.1081 0.0457 0.015
PSS_35 7.5 0.2500 0.0200 0.015
PSS_36 7.5 0.2371 0.0200 0.015
PSS_38 7.5 0.2371 0.0457 0.015
PSS_39 7.5 0.2177 0.0629 0.015
+ΣΣΣΣ f( • )
Xtcsc
EDF_TCSC
ααααref
P 174-181
-
+ΣΣΣΣ
∆δ∆δ∆δ∆δE
EDF_UPFC
P 75-84_ref
P 75-84
132
Tabla 6.2. Parámetros de los estabilizadores de los dispositivos FACTS empleados en el sistemade 46 máquinas.
Parámetros T K T1 T2
EDF_UPFC 7.5 0.1403 0.0371 0.0400
EDF_TCSC 7.5 0.0075 0.0526 0.0400
En las Figs. 6.4- 6.23, se muestra el comportamiento de algunas posiciones de los rotores,δi, velocidades angulares, ωi, y potencias eléctricas, Pei, después de aplicar una fallatrifásica en los nodos 59, 78, 185 ó 53, para cada uno de los escenarios propuestos.
En las todas las figuras se compara la respuesta del sistema cuando no se tienenestabilizadores y la respuesta del mismo cuando se tienen todos los estabilizadores y paracada una de las condiciones operativas propuestas. Cabe hacer mención que la respuesta delsistema cuando no se consideran los estabilizadores corresponde al caso base.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
tiempo (seg)
posi
ción
an
gula
r (r
ad)
- ge
ner
ador
12
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.4. Ángulo del generador 12 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59
133
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
tiempo (seg)
posi
ción
an
gula
r (r
ad)
- ge
ner
ador
45
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.5. Ángulo del generador 45 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53
4
5
6
7
8
9
tiempo, (seg)
pote
ncia
elé
ctric
a (p
u) -
gen
era
dor
5
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.6. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59
134
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56
7
8
9
10
11
12
13
14
15
tiempo (seg)
pot
enci
a el
éctr
ica
(pu
) -
gene
rado
r 3
sin controladores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.7. Potencia eléctrica del generador 3 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tiempo (seg)
posi
ción
ang
ular
(ra
d) -
gen
erad
or
4
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.8. Ángulo del generador 4 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
135
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
tiempo (seg)
posi
ción
an
gula
r (r
ad)
- ge
ner
ador
7sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.9. Ángulo del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.998
0.9985
0.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
1.0025
1.003
tiempo (seg)
velo
cida
d an
gula
r (p
u) -
gen
erad
or
7
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.10. Velocidad del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
136
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
tiempo (seg)
velo
cida
d an
gula
r (p
u) -
gen
erad
or
5
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.11 Velocidad del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56
8
10
12
14
16
18
tiempo (seg)
pot
enci
a el
éctr
ica
(pu
) -
gene
rado
r 4
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.12. Potencia eléctrica del generador 4 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
137
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53
4
5
6
7
8
9
tiempo (seg)
pote
ncia
elé
ctric
a (p
u) -
gen
era
dor
5
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.13. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
tiempo (seg)
pos
ició
n an
gula
r (r
ad)
- ge
nera
dor
18
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.14. Ángulo del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185
138
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
tiempo (seg)
pos
ició
n an
gula
r (r
ad)
- ge
nera
dor
39
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.15 Ángulo del generador 39 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
tiempo (seg)
velo
cida
d an
gula
r (p
u) -
gen
erad
or
18
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.16 Velocidad del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185
139
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
tiempo (seg)
pote
ncia
elé
ctri
ca (
pu)
- ge
nera
dor
18
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.17. Potencia eléctrica del generador 18 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
tiempo (seg)
pos
ició
n an
gula
r (r
ad)
- ge
nera
dor
1
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.18 Ángulo del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
140
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tiempo (seg)
posi
ción
ang
ular
(ra
d) -
gen
erad
or
5
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.19. Ángulo del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
1.0025
tiempo (seg)
velo
cida
d an
gula
r (p
u) -
gen
erad
or
1
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.20 Velocidad del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
141
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9994
0.9996
0.9998
1
1.0002
1.0004
1.0006
1.0008
1.001
tiempo (seg)
velo
cida
d an
gula
r (p
u) -
gen
erad
or
5
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.21 Velocidad del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56
8
10
12
14
16
18
20
22
24
tiempo (seg)
pot
enci
a el
éctr
ica
(pu
) -
gene
rado
r 1
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.22 Potencia eléctrica del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
142
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
tiempo (seg)
pote
ncia
elé
ctri
ca (
pu)
- ge
nera
dor
6
sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89
Fig. 6.23. Potencia eléctrica del generador 6 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53
6.5 RESUMEN
En este capítulo se muestra a través de simulaciones en el tiempo el efecto de lalocalización de un controlador unificado de flujos de potencia (UPFC) y un capacitor seriecontrolado por tiristores (TCSC) en un sistema de potencia de 46 máquinas y 190 nodos. Lalocalización de estos dispositivos FACTS se hace en base a los resultados obtenidos en elcapítulo anterior. Para poder llevar a cabo las simulaciones es necesario ajustar losparámetros de los estabilizadores de sistemas de potencia (PSS’s) y de los estabilizadoresbasados en FACTS (EDF_TCSC y EDF_UPFC), para lo cual se utiliza la metodología decoordinación resumida en la primera parte de este capítulo.
Para considerar la robustez de la localización se lleva el sistema a diferentes condicionesoperativas y se estudia el comportamiento del mismo al aplicar fallas en distintos nodos,comprobando que ante distintas condiciones la respuesta del sistema en general essatisfactoria.
REFERENCIAS
[3] Prabha Kundur, “Power system stability and control”, The EPRI Power SystemEngineering Series, 1994.
[4] J. M. Ramírez, R. J. Dávalos, A. Valenzuela, I. Coronado,“FACTS-based stabilizerscoordination”, aceptado para su publicación en el International Journal of ElectricalPower & Energy Systems.
143
C O N C L U S I O N E S
La motivación de este trabajo es la localización de dispositivos FACTS para mejorar eltransitorio electromecánico en sistemas eléctricos de potencia a través del aumento delamortiguamiento de las oscilaciones de potencia. Para lo cual es necesario obtener larepresentación del sistema de potencia incluyendo los dispositivos FACTS a fin dedesarrollar análisis de señal pequeña y grandes perturbaciones. Con estos modelos se puedeobservar el impacto de éste tipo de dispositivos sobre el sistema y sobre los modos deoscilación electromecánicos.
Se muestra la forma de implementar el capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) y elcontrolador unificado de flujos de potencia (UPFC) en una representación de estado delsistema eléctrico de potencia. Asimismo se presenta el efecto que tienen las entradas decontrol del UPFC en los modos de oscilación electromecánicos en un sistema máquina-barra infinita, lo cual sirve como base cuando se extienden estos resultados a un sistemamultimáquina.
Los resultados de los casos de estudio al aplicar la técnica de localización propuesta sonsemejantes a los proporcionados al aplicar otras técnicas comúnmente empleadas como sonlos residuos. Cabe hacer mención que en la metodología propuesta se considera unintervalo de frecuencias alrededor de la frecuencia de interés con el objeto de que lalocalización seleccionada tenga robustez sobre incertidumbres, para que de esta forma setomen en cuenta posibles cambios en el punto de operación base.
La metodología propuesta usa un conjunto de localizaciones factibles para su utilización,por lo que se mostraron algunas formas de seleccionar éstas a través del empleo de distintasherramientas auxiliares como son los valores singulares o las sensitividades.
Finalmente se muestra con un sistema de potencia de 46 máquinas y 190 nodos lautilización de la técnica propuesta y a través de simulaciones no lineales se verifica elimpacto de los dispositivos FACTS en el comportamiento transitorio del sistema. Esto selleva a cabo a través de la coordinación de los estabilizadores de sistemas de potencia(PSSs) y los estabilizadores basados en FACTS (EDF_TCSC y EDF_UPFC) al aplicarfallas en distintos nodos del sistema y al considerar diferentes condiciones operativas parademostrar la robustez de la localización.
El problema de la localización es un problema complejo ya que involucra muchos factoresaparte de los relacionados a la operación de los dispositivos FACTS, ya sea en condicionesde estado estacionario o dinámico, como los económicos y financieros, por lo que sería unerror considerar sólo un criterio como método de selección, así que la metodologíapropuesta debe considerarse como una herramienta de apoyo más que como unaherramienta de decisión.
144
A P O RTA C I O N E S
• El procedimiento para la obtención de la formulación para estudios de señal pequeña deun sistema de potencia multimáquinas con la incorporación de dispositivos FACTS,utilizando el capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) y el controlador unificadode flujos de potencia (UPFC).
• El análisis del controlador unificado de flujos de potencia (UPFC) en condiciones deestado estacionario y dinámico. Para el estado estacionario se comparan dos modelos deestado estacionario, el modelo unificado y el modelo de inyecciones de potencia y semuestra que ambos se complementan entre sí. Para condiciones dinámicas y lossistemas analizados se concluye que de las señales de control del UPFC, la fase de lafuente shunt y la magnitud de la fuente serie son las que mayor impacto tienen sobre losmodos electromecánicos.
• La principal aportación de éste trabajo es la metodología basada en la respuesta a lafrecuencia de las funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado, la cual es útilpara seleccionar la mejor localización para un dispositivo FACTS y la mejor señal decontrol. Asimismo se proponen para el problema de localización de dispositivosFACTS otras técnicas como valores singulares, sensitividades y pares deamortiguamiento y sincronización, las cuales se utilizan como una herramienta dedecisión.
• La integración de trabajos desarrollados anteriormente y el propuesto en este trabajo através de herramientas analíticas y computacionales para el análisis de estadoestacionario y dinámico de un SEP cuando se incluyen dispositivos FACTS.
145
T R A B A J O S F U T U R O S
El trabajo presentado forma parte de un conjunto de esfuerzos encaminados al estudio delos Sistemas Flexibles de Transmisión de C.A. en lo referente a su modelado eimplementación en sistemas eléctricos de potencia, a través de simulaciones, con diferentesobjetivos, como el control de flujos de potencia, mejorar la estabilidad transitoria delmismo, entre otros. Dentro del enfoque dado por esta tesis se recomiendan los siguientestrabajos que puedan dar continuidad a lo aquí expuesto:
• Para el problema de la localización de dispositivos FACTS es necesario realizar análisisfinancieros y económicos que complementen los estudios técnicos y de esta maneratener más bases para la selección de una localización.
• En la técnica propuesta se emplea un promedio aritmético de la distancia entre lascurvas de respuesta a la frecuencia, sin embargo conviene explorar otras medidas dedistancia como un valor cuadrático medio.
• Es necesario el modelado de otros dispositivos FACTS, como el compensador estáticosíncrono (STATCOM), a fin de poder extender la metodología propuesta a estoselementos.
• En este trabajo se hace hincapié en las ventajas del controlador unificado de flujos depotencia, por lo que se recomienda la implementación en laboratorio del mismo paratener información más precisa del mismo en condiciones reales.
• Analizar las interacciones que se presentan entre dispositivos FACTS y los demáselementos de los sistemas de potencia a fin de minimizar las mismas y lograr undesempeño aceptable de todo el sistema.
146
P U B L I C A C I O N E S
Durante la realización de este trabajo y hasta la fecha de su publicación se han sometido ypresentado a diferentes congresos y revistas los siguientes artículos técnicos.
• J. M. Ramírez, I. Coronado, P. Zúñiga, R. Dávalos, A. Valenzuela, I. Castillo, “Controlde una red eléctrica de potencia”, Avance y perspectiva, Noviembre-Diciembre de2000, Vol. 19, pp. 347-357.
• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado,“Allocation of the UPFC to enhance thedamping of power oscillations”, aceptado para su publicación en el InternationalJournal of Electrical Power & Energy Systems.
• J. M. Ramírez, R. J. Dávalos, A. Valenzuela, I. Coronado,“FACTS-based stabilizerscoordination”, aceptado para su publicación en el International Journal of ElectricalPower & Energy Systems.
• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Comparación de metodologías para lainclusión del UPFC en estudios de estado estacionario”, presentado y publicado en lamemoria del Congreso Bienal CIGRE – México 2001, CIGRE/2001_14-04.
• P. Zúñiga, R. J. Dávalos, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Análisis de corrientes y voltajesen los dispositivos SVC y TCSC”, presentado y publicado en la memoria del CongresoBienal CIGRE – México 2001, CIGRE/2001_14-07.
• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado, “A frequency response technique to allocateFACTS devices”, IEEE Summer Power Meeting 2001, PES SM/2001-65_18.
• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Impacto del UPFC en los modos de oscilaciónelectromecánicos en un SMBI”, presentado y publicado en la memoria de laDecimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001, RVP-AI/2001-SIS-12.
• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Localización de un UPFC en un SEP paraamortiguar oscilaciones electromecánicas”, presentado y publicado en la memoria dela Decimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001,RVP-AI/2001-SIS-13.
• P. Zúñiga, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Metodología para el cálculo de redes snubberen tiristores y su aplicación al TCSC”, presentado y publicado en la memoria de laDecimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001, RVP-AI/2001-EDU-22.
147
• P. Zúñiga, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Análisis armónico del TCR incluyendo laresistencia asociada al reactor del dispositivo”, presentado y publicado en la memoriade la Decimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001,RVP-AI/2001-EDU-21.
• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado “A frequency response technique to allocateFACTS devices”, IEEE Power Engineering Review, Vol. 21, No. 7, Julio 2001, pp. 63-64.
• I. Coronado, P. Zúñiga, J.M. Ramírez,“FACTS: soluciones modernas para la industriaeléctrica”, Avance y perspectiva, Julio-Agosto de 2001, Vol. 20, pp. 235-244.
148
APÉNDICE A
( )
( )
( ) ( )
++−−=
++−=
−+−=
−−−=
−+−=
−−=
+−=
−=
−+−=
j
odaoqdoqaodq
j
aqqo
j
dado
'do
oqaodqg'dd
'do
qg'dd
'do
ag'dd
'qo
odaoqdg'qq
'qo
ag'qq
'qo
dg'qq
T
VRV'XFVRV'XFa
T
RF'XFia
T
'XFRFia
T
VRV'XY)XX(a
T
'XY)XX(a
T
RY)XX(a
T
VRV'XY)XX(a
T
RY)XX(a
T
'XY)XX(a
21
34
21
32
2131
24
22
21
14
12
11
1
1
( )
( )
( )
( )
δ−δ−−=
δ+δ−=
δ+δ−−=
δ+δ−−−=
'do
oqoag'dd
'do
oqoag'dd
'qo
oaodg'qq
'qo
oaodg'qq
T
sen'XcosRY)XX(c
T
cos'XsenRY)XX(c
T
senRcos'XY)XX(c
T
cosRsen'XY)XX(c
22
21
12
11
149
( ) ( )
( ) ( )
2252
2251
21
32
21
31
IR
Io
IR
Ro
ttA
tA
ttA
tA
j
oaodoqoa
j
oaodoqoa
VVT
Vkc
VVT
Vkc
T
senRcos'XFsen'XcosRFc
T
cosRsen'XFcos'XsenRFc
+−=
+−=
δ+δ+δ−δ−=
δ+δ−+δ+δ=
( )( ) ( )( ) gdodqqogqodqdo YiXXEFYiXXEF '''''' 21 −+=−+= ''2
1
qda
gXXR
Y+
=
150
APÉNDICE B
El modelo linealizado para análisis de señal pequeña esta dado por la siguiente ecuación
UPFCUPFCUPFCUPFCUPFC
UBXAX +=•
donde:
[ ]TdcIBRBIERE
UPFC VIIIIX ∆∆∆∆∆=
[ ]TBBEE
UPFC mmU δ∆∆δ∆∆=
Los elementos diferentes de cero de la matriz AUPFC son:
d
BO
d
EO
B
BO
E
EO
BB
EE
BB
EE
O
B
OB
E
OE
C
Mk
C
Mk
l
Mk
l
Mk
senkaka
senkaka
senkaka
senkaka
aaaa
l
Raa
l
Raa
22
3,
22
3,
2,
2
,cos
,cos
,cos
,cos
,
8765
854853
752751
645635
525515
43342112
44332211
ωωωωδδδδδδδδ
ω
ωω
−===−=
========
=−==−=
−==−==
Los elementos diferentes de cero de la matriz BUPFC son:
d
O
B
O
E
O
BBqBBdB
BBqBBd
EEqEEdE
EEqEEd
BdBBd
BdBBd
EdEEd
EdEEd
Ck
lk
lk
IsenIMkb
senIIkb
IsenIMkb
senIIkb
VMkbsenVkb
senVMkbVkb
VMkbsenVkb
senVMkbVkb
22
3,
2,
2
)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
cos,
,cos
cos,
,cos
11109
1154
1153
1152
1151
10441043
10341033
922921
912911
ωωωδδ
δδδδ
δδδδδδδδ
δδ
===
−=
+−=
−−=
+===
−==−=−=
=−=
151
APÉNDICE C
( ) ( )3
3
3
3
3cos,cos δδ
δδδ
δ−−=
∂∂
−=∂∂
g
tE
ggg
tE
g
g
g
X
VVP
X
VVP(C.1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )E
sh
E
E
aE
shE
a
B
ser
B
B
aB
serB
a
T
ag
tE
g
g
a
X
Vf
XV
f
X
Vf
XV
f
X
Vf
X
Vf
δδ
δ
δδ
δ
δδ
δδ
sin,cos1
sin,cos1
sin,sin
33
33
33
3
33
=∂∂−=
∂∂
=∂∂−=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
(C.2)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )E
sh
E
E
bE
shE
b
B
ser
B
B
bB
serB
b
T
bg
tE
g
g
b
X
Vf
XV
f
X
Vf
XV
f
X
Vf
X
Vf
δδ
δ
δδ
δ
δδ
δδ
cos,sin1
cos,sin1
cos,cos
33
33
33
3
33
−=∂∂−=
∂∂
−=∂∂−=
∂∂
=∂∂−=
∂∂
(C.3)
( )
( ) ( )
0,0
sin,cos1
sin,0
44
44
33
3
44
=∂∂=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
=∂∂=
∂∂
E
a
E
a
B
ser
B
B
aB
serB
a
ser
a
g
a
f
V
f
X
Vf
XV
f
X
Vff
δ
δδ
δ
δδδ
(C.4)
( )
( ) ( )
0,0
cos,sin1
cos,0
44
44
33
3
44
=∂∂=
∂∂
=∂∂=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
E
b
E
b
B
ser
B
B
bB
serB
b
ser
b
g
b
f
V
f
X
Vf
XV
f
X
Vff
δ
δδ
δ
δδδ
(C.5)
152
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]333
333
444
333
444
333
333
333
3
cossin
2sincos
cossin
cossin
2sincos
sincos
cossin
cossin
0
δδδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδδ
δ
−+−−=∂∂
−−+−=∂∂
−+−−+
+−+−−=∂∂
+−+−+
+−+−=∂∂
−−−+
+−−−=∂∂
=∂∂
EEEEE
E
bb
EEEEEE
E
bb
BmmBmmB
BkmBkmB
B
bb
mmBBmmBmm
BkmBkm
B
bb
EEEEE
BkmBkmBbb
g
bb
BGVVP
GVBGVV
P
BGVV
BGVVP
GVBGV
BGVV
P
BGVV
BGVVP
P
(C.6)
donde las funciones f3a, f3b, f4a, f4b se refieren a las funciones descritas en las ecuaciones(4.23a)-(4.24b), respectivamente. Así que las ecuaciones (C.1)-(C.6) conforman la matrizjacobiana para el cálculo del estado estacionario del sistema máquina-barra infinita alincluir un dispositivo UPFC.
153
APÉNDICE D
cx V x x
m vx
m v
cx x
sen v cx x
m v
cx x
m senx
m sen
sh ser BVE E dc
shB B dc
ser BVE dc
ser BVE E dc
ser BVE E
shB
10
1 10 0 0 0
10 0 0 0
21
0 0 0 31
0 0 0 0
41
0 0 01
0 0
2 2
2 2
2 2
= + + − + −
= + − = − + −
= + − +
∞ cos[ cos( ) ] [ cos( ) ]
[ ( ) ] , [ cos( ) ]
[ ( )] [ (
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ
∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆−
= − = − −
δ
δ δ δ δ
B
shB dc
shB B dcc
xsen v c
xm v
0
51
0 0 0 61
0 0 0 02 2
)]
[ ( ) ] , [ cos( ) ]∆ ∆
cx x x
cx V sen x x
m sen vx
m sen v
cx x
v cx x
m sen v
cx x
m
ser BV sh
sh ser BVE E dc
shB B dc
ser BVE dc
ser BVE E dc
ser BVE E
72
80
2 20 0 0 0
20 0 0 0
92
0 0 0 102
0 0 0 0
112
0 0
2 2
2 2
2
= + +
= + + − + −
= − + − = − + −
= − + −
∞
∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ
[ ( ) ] [ ( ) ]
[cos( ) ] , [ ( ) ]
[ cos( 02
0 0 0
122
0 0 0 132
0 0 0 0
2
2 2
)] [ cos( )]
[cos( ) ] , [ ( ) ]
− −
= − − = − −
xm
cx
v cx
m sen v
shB B
shB dc
shB B dc
∆
∆ ∆
δ δ
δ δ δ δ
c x i v c x i v
c x x cK
T
v
vx c
K
T
v
vx
d qt dt q dt qt
d dA
A
dt
tq
A
A
qt
td
14 0 0 15 0 0
16 170
018
0
0
= − = − +
= − − = − =
'
' '
,
( ) , ,
K c c c c K c c i K c c
K c c K c c c c K c cK
T
v
v
qt
A
A
qt
t
1 1 15 8 14 2 14 7 0 3 16 7
4 8 16 5 1 17 8 18 6 18 70
0
1= + = − = −
= = + = −
, ,
, ,
K c c c c K c c c c K c c c c
K c c c c K c c c c
K c c K c c K c c K c c
K c c
p p p
p p
q q q q
q
1 14 9 15 2 2 14 12 15 5 3 14 10 15 3
4 14 13 15 16 5 14 11 15 4
1 16 9 2 16 12 3 16 10 4 16 13
5 16 11
= + = + = += + = += = = ==
, ,
,
, , ,
154
Kv
vx c
v
vx c K
v
vx c
v
vx c
Kv
vx c
v
vx c K
v
vx c
v
vx c
Kv
vx c
v
vx c
vdt
tq
qt
td v
dt
tq
qt
td
vdt
tq
qt
td v
dt
tq
qt
td
vdt
tq
qt
td
10
02
0
09 2
0
05
0
012
30
03
0
010 4
0
06
0
013
50
04
0
011
= − = −
= − = −
= −
' '
' '
'
,
,
155
APÉNDICE E
c v i sen i
c m v i sen i
c m i sen i
c m v sen c m v
c m v i
dc Ed E Eq E
E dc Eq E Ed E
E Ed E Eq E
E dc E E dc E
E dc Ed
19 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 23 0 0 0 0
24 0 0 0 0
= − + −= − − −= − + −= − = −= −
[ ( ) cos( )]
[ ( ) cos( )]
[ ( ) cos( )]
( ) , cos( )
cos('
δ δ δ δδ δ δ δ
δ δ δ δδ δ δ δ
δ δE E dc Eq Em v i sen0 0 0 0 0 0) ( )− −δ δ
c v i sen i
c m v i sen i
c m i sen i
c m v sen c m v
c m v i
dc Bd B Bq B
B dc Bq B Bd B
B Bd B Bq B
B dc B B dc B
E dc Bd
24 0 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0
26 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 28 0 0 0 0
28 0 0 0 0
= − + −= − − −= − + −= − = −= −
[ ( ) cos( )]
[ ( ) cos( )]
[ ( ) cos( )]
( ) , cos( )
[ cos('
δ δ δ δδ δ δ δ
δ δ δ δδ δ δ δ
δ δ δ δB Bq Bi sen0 0 0 0) ( )]− −
cx x
vx x
v
cx x
m vx x
m m
cx x
m sen vx x
m sen
d tEdc E
ser BVdc E
ser BVE E dc
d tEE E B B
ser BVE E dc
d tEE
292
0 0 02
0 0 0
302
0 0 0 02
0 0 0 0 0 0
312
0 0 0 02
0 0
2 2
2 2
2 2
= − + − − + −
= − + − − + − − −
= − + − − + −
'
'
'
cos( ) cos( )
cos( ) [ cos( ) cos( )]
( ) (
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δB dc
ser BV
d tE ser BV E E dc
d tE dcB B E E
d tE dcB
d tE dc B
v
cx x
cx x V sen x x m sen v
x x vm sen m sen
cx x v
cx x v m
sen
0 0
322
330
2
0 0 0 0
2
0
20 0 0 0 0 0
340
20 0 35
0 0
2
2
2
2 2
)
( ) ( ) ( )
( )[ ( ) ( )]
( )cos( ) ,
( )(
'
'
' '
= +
= − + + + −
− + − − −
= + − = +
∞
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ0 0−δB )
156
cx x x
vx
v
cx
mx x x
m m
cx
m sen vx x x
m sen v
d tE shdc E
shdc E
shE E
d tE shE E B B
shE E dc
d tE shE E dc
362
0 0 02
0 0 0
372
0 0 02
0 0 0 0 0 0
382
0 0 0 02
0 0 0
2 2
2 2
2 2
= + + − − −
= − − + + + − − −
= − − + + + −
'
'
'
cos( ) cos( )
cos( ) [ cos( ) cos( )]
( ) ( )
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ 0
392
400
2
0 0 0 0
2
0
20 0 0 0 0 0
410
20 0 42
0 0
2
2
2
2 2
cx
cx x x V sen x m sen v
x x x vm sen m sen
cx x x v
cx x x v m
sen
sh
d tE sh sh E E dc
d tE sh dcB B E E
d tE sh dcB
d tE sh dc B
=
= + + + −
+ + + − − −
= − + + − = − + +
∞
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
( ) ( )
( )[ ( ) ( )]
( )cos( ) ,
( )(
'
'
' '
δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ0 0−δB )
cx x
v senx x
v sen
cx x
m senx x
m sen m sen
cx x
m vx x
m v
ser BVdc E
q tEdc E
ser BVE E
q tEB B E E
ser BVE E dc
q tEE E dc
431
0 0 01
0 0 0
441
0 0 01
0 0 0 0 0 0
451
0 0 0 01
0 0 0 0
2 2
2 2
2 2
= + − ++
−
= + − −+
− − −
= − + − −+
−
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
( ) ( )
( ) [ ( ) ( )]
cos( ) cos( )
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
cx x
Vm v m v
x x vm
cx x v
sen cx x v m
q tE E E dc B B dc
ser BV dcE E
tE q dcB
tE q dc BB
461
00 0 0 0 0 0 0 0
0
10 0 0
470
10 0 48
0 0
10 0
2 2
2
2 2
= −+
− − + − +
+ + −
= −+
− =+
−
∞∆
∆
∆ ∆
[ coscos( ) cos( )
]
( )cos( )
( )( ) ,
( )cos( )
δ δ δ δ δ
δ δ
δ δ δ δ
cx
v senx x x
v sen
cx
m senx x x
m sen m sen
cx
m vx x x
m v
shdc E
q tE shdc E
shE E
q tE shB B E E
shE E dc
q tE shE E dc
491
0 0 01
0 0 0
501
0 0 01
0 0 0 0 0 0
511
0 0 0 01
0 0 0 0
2 2
2 2
2 2
= − −+ +
−
= − ++ +
− − −
= − − ++ +
−
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
( ) ( )
( ) [ ( ) ( )]
cos( ) cos( )
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
cx x x
Vm v m v
x vm
cx x x v
sen cx x x v m
q tE sh E E dc B B dc
sh dcE E
tE q sh dcB
tE q sh dc BB
521
00 0 0 0 0 0 0 0
0
10 0 0
530
10 0 54
0 0
10 0
2 2
2
2 2
=+ +
− − + − +
+ −
=+ +
− = −+ +
−
∞∆
∆
∆ ∆
[ coscos( ) cos( )
]
cos( )
( )( ) ,
( )cos( )
δ δ δ δ δ
δ δ
δ δ δ δ
157
Kv C
c c c c c c c c c c
Kv C
c c c c
Kv C
c c c c c c c c c c
Kv C
c c c c c c c c c
Kv C
c c c
dc dc
dc dc
dc dc
cdc dc
cdc dc
70
24 28 22 33 23 46 27 40 28 52
80
22 32 27 39
90
21 26 22 30 23 44 27 37 28 50
10
19 22 29 23 43 27 36 28 49
20
24 22
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
= + + + + +
= +
= + + + + +
= + + + +
= +
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
' '
34 23 47 27 41 28 53
30
20 22 31 23 45 27 38 28 51
40
25 22 35 23 48 27 42 28 54
3
4
3
4
+ + +
= + + + +
= + + + +
c c c c c c
Kv C
c c c c c c c c c
Kv C
c c c c c c c c c
cdc dc
cdc dc
]
[ ]
[ ]
158
APÉNDICE F
δδδδδ ∆+∆+∆+∆−∆−∆+∆+∆+∆+∆=∆ 10987654321 ' fVfffmfVfffmfEfi dcBBdcEEqBd
δδδδδ ∆+∆+∆−∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 987654321 gVgggmgVgggmgi dcBBdcEEBq
2
1110
2
119
2
118
2
117
2
116
2
115
2
114
2
113
2
112
2
111
11
2
)cos(
2
)(
2
)(
2
)cos(
2
)cos()(
2
)()(
2
)()(
2
)cos()(
'
∆=
∆−
=
∆−
=
∆−
=
∆−
=
∆−−
=
∆−−
=
∆−−
=
∆−−
=
∆=
++=
∞ o
BooBo
dcoBooBo
dcoBooBo
dcoBoo
EooEosh
dcoEooEosh
dcoEooEosh
dcoEoosh
tEshd
senVcf
mcf
Vsenmcf
Vsenmcf
Vcf
mxcf
Vsenmcxf
Vsenmxcf
Vxcf
cf
xxxc
δ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
1
119
1
118
1
117
1
116
1
115
1
114
1
113
1
112
1
111
11
cos
2
)(
2
)cos(
2
)cos(
2
)(
2
)()(
2
)cos()(
2
)cos()(
2
)()(
∆=
∆−=
∆−=
∆−=
∆−=
∆−−=
∆−−=
∆−−=
∆−−=
++=
∞ o
BooBo
dcoBooBo
dcoBooBo
dcoBoo
EooEosh
dcoEooEosh
dcoEooEosh
dcoEoosh
qshtE
Vag
senmag
Vmag
Vmag
Vsenag
senmaxg
Vmxag
Vmaxg
Vsenaxg
xxxa
δ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
159
dcBBEEqBre VllmllmllEli ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 7654321 ' δδδ
oo
oo
oo
oo
oo
oooBqooBdo
o
ggsenffl
gsenfl
gsenfl
gsenfl
gsenfl
gggsenfffseniil
senfl
δδδδδδ
δδδδ
δδδδδ
cos)()(
cos
cos
cos
cos
cos)()()cos(
84957
776
565
334
123
96210842
11
+++=−−=+−=
+=+=
++++++−==
160
APÉNDICE G
Modelo del sistema de potencia
El sistema de potencia se modela en el espacio de estado, linealizando las ecuaciones quedescriben el sistema alrededor de una condición operativa.
xCyuBxAx
∆=∆∆+∆=
⋅∆ (G.1)
donde[7]:
z)x1(nz)x1(nNx1
Nx1z)xN(n
z)x1(nz)Nx(nNx1NxN
0
0
00
00
00
+
+
+
=
+
+
=
⋅∆
⋅∆
⋅∆
∆∆
=∆∆∆
=∆∆∆∆
=∆
∆∆∆
∆∆
∆∆
+∆∆∆
rUrV
uy
Pey
x
x
xxyCyCxPCPC
y
Pe
rUrV
rUxBrVxBxxxAxAxA
Io
xAAA
x
δω
δω
δδ
δω
δω
ωωωδωω
δ
ω
n es el número de generadoresz es el número de dispositivos FACTS.
eP∆ es el vector de salida correspondiente a las potencias eléctricas de los generadores.y∆ es el vector de salida correspondiente a las señales de estabilización locales en los
nodos con FACTS.
rV∆ es el vector de entrada correspondiente a los voltajes de referencia.
rU∆ es el vector de entradas de referencia a los controladores FACTS.
Deshabilitando temporalmente las dinámicas de la flecha removiendo las ecuaciones deestado asociadas con ∆ω e ignorando temporalmente la matriz particionada ωxA , la cual
describe la acción del gobernador y considerando δ∆ como entrada, tenemos que:
[ ]
∆∆∆
+∆=∆
∆∆∆
+∆=⋅
∆
δδδ
δδ
rUrV
yCPC
xxyCxPC
y
rUrV
xArUxBrVxBxxxAx
00
00
(G.2)
161
resolviendo para el vector de salidas:
( ) [ ]
∆∆∆
+∆
∆∆
−−=∆∆
=∆δδ
δ
δδ rU
rV
yCPC
rUrV
xArUxBrVxBxxAsIxyCxPC
sy
sePy
00
001)(
)(
desarrollando [7]:
( )( )
( )( )( )
( ) δδδ
δδδ
δδδ
yCxAxxAsIxyCsyH
rUxBxxAsIxyCsrUyH
rVxBxxAsIxyCsrVyH
PCxAxxAsIxPCsPH
rUxBxxAsIxPCsrPUH
rVxBxxAsIxPCsrPVH
rUrV
syHsrUyHsrVyH
sPHsrPUHsrPVH
sy
seP
+−−=
−−=
−−=
+−−=
−−=
−−=
∆∆∆
=∆∆
1)(
1)(
1)(
1)(
1)(
1)(
)()()(
)()()(
)(
)(
(G.3)
Para el n-ésimo generador del sistema, las dinámicas de la flecha están definidas por:
[ ])()()(
)()()()(ssNs
sPesPmsJsωδ
ω∆=∆
∆−∆=∆(G.4)
donde
)()(
],1[2
1)(
nnsodiagsN
niiDsiH
diagsJ
×=
∈∀+=
ω(G.5)
De aquí que con (3)-(5) el sistema se puede representar de la siguiente forma:
162
Fig. G1. Representación de la función de transferencia matricial del sistema de potencia linealizado.
El modelo de la Fig. G1 se puede simplificar como se muestra en la Fig. G2.
Fig. G2. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS.
+
+
+
+
++ +
_
δ∆
)(syH δ
)(sPH δ )(sN
)(sH gov
)(sJ
)(srPVH
)(srVyH
)(srPUH
)(srUyH
rV∆
rU∆
y∆
Pe∆
Pm∆
ω∆
rU∆
sU∆++
P∆
+ +
ω∆
)(sL
)(srPUH
)(srUyH
)(sG
y∆)(sM